Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Vejledende besvarelse 1. Udfyld tabellen Givet funktionen f ( x )=4⋅5x beregnes f(2) f (2)=4⋅5 2=4⋅25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100 2. Isoler y i ligningen −15 x +5 y−45=0⇔ −15 x+5 y−45+15 x=0+15 x ⇔ 5 y−45=15 x ⇔ 5 y−45+45=15 x+45⇔ 5 y=15 x+45⇔ 5y 15 x+45 = ⇔ 5 5 x 45 y=15 + ⇔ 5 5 y=3 x+9 Dvs.: y=3 x+9 Side 1 Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 3. Højdeberegning Givet trekanten med mål som vist her. Da trekanten er ligebenet falder højde og median sammen; |AH| = 12/2 = 6 (idet H er fodpunktet for højden. Da trekant ABH er retvinklet, kan Pythagoras sætning benyttes: 2 2 2 hyp =k 1 +k 2 De kendte tal indsættes: 2 2 2 10 =6 +hb ⇔ 100−36=h2b ⇔ h b=√ 64 Dvs.: h b=8,0 4. Løs ligningen Givet ligningen: 2 x 2 −8=0 som løses her: 2 2 x −8=0 ⇔ x 2−4=0 ⇔ x 2=4 ⇔ x=2∨ x=−2 L={-2 ; +2} Side 2 Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 5. Hvilken funktion er en stamfunktion? Givet f(x) = 3 x + 2 Stamfunktionen findes: 1 1+1 F ( x)=3⋅ x +2⋅x+k ⇔ 1+1 3 F ( x)= ⋅x 2+2⋅x+k 2 Heraf ses, at funktionerne g og h ikke er stamfunktioner. Da k er en vilkårlig konstant (som også kan være 1), er p en stamfunktion til f. 6. Find ligningen for tangenten Find ligningen for tangenten i punktet P(0,f(0)), når f ( x )=4⋅e x +1 . Den afledte funktion findes for at beregne tangentens hældningskoefficient. f ' ( x)=4⋅e x P findes: f (0)=4⋅e 0+1=4⋅1+1=5 P = (0,5) Parameteren a = f'(0) findes: a= f ' (0)=4⋅e 0 =4⋅1=4 Side 3 Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 4 Parameteren b findes: Med formlen: b= y 1−a⋅x 1 fås ved at indsætte de kendte tal: b=5−4⋅0=5 Tangentens ligning er derfor: y = 4 x + 5 7. Sangfugle a Parametre Der er givet nogle samhørende værdier af den gennemsnitlige kuldstørrelse og antal ynglende sangspurvepar pr. acre; disse data er gengivet i regnearket til højre. Ved lineær regression er sammenhængen fundet som y=−0,00971 x+3,81 ; dvs. parametrene er: a = -0,00971 og b= 3,81 b Beregning af antal ynglende par Ved skæring af regressionslinjen med y = 3 fås skæringspunktet (83,4 ; 3,0); ifølge modellen er der ca 83 ynglende par pr. acre, når kuldstørrelsen er 3,0. Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 8. Trekantsberegninger Givet sejlruten med de anførte mål. a Beregning af vinkel C i trekant ABC Da både AC og den stiplede linje går i retningen NS er det parallelle linjer (idet der ikke tages hensyn til at jorden er en kugle, men betragtes som en plan flade); derfor bliver den markerede vinkel med spids i B (og med størrelsen 43º) og vinkel BCA ensliggende vinkler ved parallelle linje (idet begge har venstre ben på den skærende linje.) Sådanne vinkler er lige store: derfor er vinkel C i trekanten også 43º a Beregning af afstanden fra B til C I enhver trekant gælder 180º-reglen og sinusrelationerne: vinkel B = 180º – 58º – 43º = 79º a b = sin ( A) sin (B) De kendte størrelser indsættes: a 9,8 = ⇔ sin(58) sin (79) 9,8 a= ⋅sin(58)⇔ sin(79) a=8,46 Afstanden fra B til C er 8,5 km Side 5 Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 6 Arealet af trekant ABC Arealet kan findes med formlen T = ½ab sin(C), som gælder i enhver trekant. De kendte tal indsættes: T =0,5⋅8,5⋅9,8⋅sin(43)=28,29 Det afspærrede areal er 28,3 kvadratkilometer 9. Affaldsmodel mv. For årene 1994 og 2004 er det oplyst, hvor meget affald der er produceret i Danmark; det antages, at der har været en eksponentiel udvikling i perioden, a Find vækst i procent Ved eksponentiel regression ses at vækstfaktoren (fundet som f(1)/b) er 1,01865. Kaldes den årlige procentvise stigning r, gælder a = 1+r. Derfor Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 7 r = a – 1 og ved indsætning: r = 1,01865 – 1 = 0,01865 = 1,865 % a = 1,865 % b En model Idet x er tiden fra 1994 målt i år og f(x) er affaldsmængden i det tilsvarende år gælder f ( x )=11,1⋅1,01865 x c Fordoblingstiden Fordoblingstiden beregnes med formlen T 2= log(2) =37,51 log (1,01865) Fordoblingstiden er 37,5 år T 2=log (2) (a) ; de kendte tal indsættes: log Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 8 10. Samenhæng mellem kropstemperatur og tid siden død I Indien regnes der med sammenhængen vist ved funktionen f, hvis forskrift og graf ses på tegningen herover. Tiden der er gået, når kropstemperaturen er 90º F, fås som f(90) = 7,2 Når kropstemperaturen er 90º, er der gået 7,2 timer efter dødsfaldet Kropstemperatur 2 timer efter dødstidspunktet I skæringspunktet A på tegningen mellem grafen for f og y=2 ses, at kropstemperaturen 2 timer efter dødstidspunktet er 97,3º F Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 9 11. Test Der foreligger oplysninger fra 2010 om alle danske husholdningers adgang til Internettet i tabelform samt en stikprøve taget et år senere. Spørgsmålet er, om der er sket ændringer i måden, man får adgang på. Som nulhypotese (H0) antages, at der er den samme fordeling i stikprøven som i populationen fra 2010. Populationen, der undersøges, er de danske husholdninger i 2011 med adgang til Internettet.1 Stikprøven er en lile (repræsentativ) delmængde af disse. Med forholdstalsregning findes de forventede værdier i stikprøven med procenterne fra 2010: Forventet antal med adsl-adgang beregnes som: 38 % af 800 og tilsvarende for de øvrige. I lommeregneren indtastes de fundne tal og p-værdien findes: p-værdi = 4,1 % Da p-værdien er mindre end signifikansniveauet, forkastes H 0 . Internetadgangen har ændret sig fra 2010 til 2011. 1 Det fremgår ikke specielt præcist. Det var i øvrigt omkring 86 % af samtlige husstande i 2010.