Tenniksen pistelasku

Tenniksen pistelaskusäännöt, lukio/ammatilliset oppilaitokset
Tim Bebensee
Tenniksen pistelasku
Useimmat meistä ovat joskus katsoneet TV:stä tennisottelua. Katsoja kokee jännitystä voidessaan
seurata kuinka pisteden kertyminen johtaa ottelun päättymisen toisen pelaajan voittoon ja toisen
tappioon. Pistelaskun etenemistä on vaikeampi seurata - osittain laskennassa käytettyjen
englanninkielisten ilmausten vuoksi.
Aluksi on tärkeätä ymmärtää, että pelaaja pyrkii aina periaatteessa voittamaan 'pelin' (engl. Game)
. Kuusi tai enemmän pelin voittoa johtaa 'erän' voittamiseen. Pelaaja voi voittaa koko 'ottelun'
voittamalla useamman 'erän': peli, erä ja ottelu (Game, Set and Match).
Myös yksittäisen pelin pistelasku voi kuulostaa monimutkaiselta, sillä ensin mainitaan aina
syöttövuorossa olevan pelaajan pisteet. Lisäksi pisteet eivät kerry yksittäin, vaan 'pallon' voittaja
saa 15 pistettä. Pelaaja, joka voittaa ensimmäisenä neljä palloa, eli neljä kertaa 15 pistettä ja
yhteensä 60 pistettä, voittaa pelin. Tämä pätee kuitenkin vain silloin, kun vastustaja on voittanut
vähintään kaksi palloa vähemmän.
Pelitilanteen hahmottamista vaikeuttaa lisäksi se, että kolmen voitetun pallon jälkeen pelaajalla ei
olekaan 45 vaan – ehkäpä taannoisten pelaajien hengästymisestä johtuen lyhyemmin – 40
pistettä (forty). Erikoista on myös se, että nolla pistettä on englannin kielessä "love“ eikä "Zero" (!).
Yksinkertaisimmassa tapauksessa pelaaja voittaa vastustajansa siten, että tämä ei onnistu
keräämään yhtään pistettä. Mutta mitä tapahtuu tilanteessa, jossa erävoittoa varten molemmilta
pelaajilta puuttuu vielä yhden pallon voitto? Vastaus on yksinkertainen: Peliä jatketaan niin
pitkään, että jompi kumpi pelaajista voittaa kaksi palloa enemmän.
Pistelasku
pelaaja 1
pelaaja 2
pelaaja 1
pelaaja 1
pelaaja 2
pelaaja 2
pelaaja 2
pelaaja 1
pelaaja 1
pelaaja 1
yksinkertain
tenniksen pistelasku englantilainen pistelasku
en
pistelasku
0-0
0-0
1-0
15-0
Fifteen-Love
1-1
15-15
Fifteen all
2-1
30-15
Thirty-Fifteen
3-1
40-15
Forty-Fifteen
3-2
40-30
Forty-Thirty
3-3
40-40/ tasatilanne
Deuce
3-4
etu pelaaja 2
Advantage „player 2“
4-4
tasatilanne
Deuce
5-4
etu pelaaja 1
Advantage „player 1“
6-4
peli
Game „player 1“
Esimerkki tenniksen pelitilanteen kehittymisestä, pelaaja 1 syöttää
Tämän pistelaskentatavan historiasta olisi paljonkin kerrottavaa, mutta tässä kerrottakoon vain,
että asiantuntijat eivät ole alkuunkaan yksimielisiä siitä, juontuuko laskutapa pienten kolikoiden
arvosta (15), joita käytettiin vedonlyönnissä vaiko kentän mitoista, joissa pelaaja voi johdossa
ollessaan siirtyä aina 15 tuumaa eteenpäin kohti kentän keskustaa.
Kahden yksikön voittomarginaalia sovelletaan paitsi palloihin, niin myös peleihin. Niinpä
erävoittoon vaaditaan kuusi pelivoittoa ja vähintään kaksi enemmän kuin vastustajalla. Kentältä voi
kuitenkin poistua voittajana myös "vain" yhden erän vastustajaa enemmän voittaneena: Riippuen
turnauksesta voiton perusteena voi olla "paras kolmesta" tai "paras viidestä".
Sivu 1 / 7
www.casio-laskimet.fi
Tenniksen pistelaskusäännöt, lukio/ammatilliset oppilaitokset
Tim Bebensee
Matematiikan näkökulmasta tarkastellen tämä laskutapa on mielenkiintoinen, koska tällöin ei voi
välttyä miettimästä, voiko tämä laskentatapa vaikuttaa ottelun lopputulokseen.
Lähestykäämme tätä kysymystä kuvittelemalla kaksi tasavahvaa ja väsymätöntä henkilöä
pelaamassa tennistä. Pelaajat voittavat ja häviävät palloja yhtä suurella todennököisyydellä.
Ajatellaanpa, että toinen pelaajista voittaa pallon 55 %:n todennäköisyydellä ja häviää pallon 45%
todennäköisyydellä, ja lasketaan sitten voittaako hän ottelun samalla todennäköisyydellä, vai
muuttuuko todennäköisyys pistelaskumenetelmästä johtuen.
Tästä teemasta löytyy Internetistä artikkeli, jonka kirjoittaja on Mannheimin yliopiston matematiikan
professori Jürgen Potthoff. Samaa ajatusta voi työstää myös oppilaiden kanssa. Laskutoimitukset
voivat olla aika vaativia, jos käytössä on vain normaali tieteislaskin. Grafiikkalaskin soveltuu tämän
tyyppisiin tehtäviin oivallisesti.
Kaikki mahdolliset pelitilanteet voi merkitä kaavioon, johon sitten täydennetään vastaavat
todennäköisyydet. Todennäköisyydet oikealla näkyville viidelle pelitilanteelle voi laskea jo
yläkoulutasolla todennäköisyyslaskennan kertolaskusääntöjen avulla. Nämä pelitilanteet ovat
tärkeitä, sillä niistä ei enää voi palata takaisin muihin pelitilanteisiin.
Tennisottelun puukuvaaja
Todennäköisyys P1 sille, että „0-0“ tilanteesta päästään „ottelun voitto.“ tilanteeseen ilman, että
tätä ennen päädytään johonkin muuhun tilanteeseen, voidaan laskea seuraavasti:
P1 = 0,554 + 4 · (0,45 · 0,554) = 0,2562
P2, todennäköisyys vastaavasti sille, että päädytään tilanteeseen „40-30“, voidaan laskea
seuraavasti:
P2 = 4 · 0,553 · 0,452 = 0,256 = 0,1348
Sivu 2 / 7
www.casio-laskimet.fi
Tenniksen pistelaskusäännöt, lukio/ammatilliset oppilaitokset
Tim Bebensee
FX-9860GII: Päävalikko ja laskelmat RUN-MAT-sovelluksessa
Näiden laskelmien tulokset näkyvät seuraavassa taulukossa:
Ottelun voitto
40-30
30-30
30-40
ottelun häviö
P1
P2
P3
P4
P5
0,2562
0,1348
0,3675
0,1102
0,1312
Todennäköisyydet viiden ergodisen lopputuloksen saavuttamiselle
Tämä taulukko voidaan laatia helposti grafiikkalaskimen taulukkolaskennan avulla.
FX-9860GII: Päävalikko ja laskelmat S-SHT-taulukkolaskennassa
Jos pelaajat ovat saavuttaneet jonkin viidestä pelitilanteesta, he voivat tuossa tilanteessa
teoriassa hyppiä siihen ja takaisin loputtomasti. Käytännössä on tietysti niin, että nämä tilanteet
„ottelun voitto“ ja „ottelun häviö“ johtavat siihen, että seuraava peli alkaa. Matemaattisesti
tarkastellen näiden tilanteiden suhtee todennäköisyys tuloksen vaihtumiseksi toiseksi on 100%,
toisin kuin muiden kolmen pelitilanteen kohdalla. Todennäköisyys kolmen muun pelitilanteen
muuttumiselle jompaan kumpaan seuraavista tilanteista on 55% tai 45%. Näiden pelitilanteiden
pysyminen ennallaan on mahdotonta, eli tämän todennäköisyys on 0%.
Markovin ketju, ergodiset pelitilanteet
Sivu 3 / 7
www.casio-laskimet.fi
Tenniksen pistelaskusäännöt, lukio/ammatilliset oppilaitokset
Tim Bebensee
Siirtyminen pelitilanteesta toiseen voidaan kuvata siirtymämatriisilla:
päätepiste
lähtö
piste
ottelun voitto
ottelun
voitto
40-30
40-40
30-40
ottelun
häviö
40-30
40-40
30-40
ottelun häviö
Siirtymämatriisi, ergodiset pelitilanteet
Tarkasteluun voidaan ottaa myös todennäköisyydet voittaa ottelu näistä viidestä tilanteesta
lähtien. Kaksi näistä todennäköisyydestä selviää asiayhteydestä:
P1,1 on oltava yksi, eli 100%, sillä jo voitettua ottelua ei voi enää hävitä. P1,5 on oltava nolla, sillä jo
hävittyä ottelua ei voi enää voittaa. Muut todennäköisyydet voidaan laskea siirtymämatriisin avulla,
sillä:
Kertominen siirtymämatriisilla ei aiheuta muutoksia.
Tästä seuraavat yhtälöt kolmella tuntemattomalla on mahdollista ratkaista FX-9860GII-laskimella.
Yhtälöiden syöttäminen grafiikkalaskimeen
FX-9860GII: EQUA-sovelluksen päävalikko ja valinnat
Sivu 4 / 7
www.casio-laskimet.fi
Tenniksen pistelaskusäännöt, lukio/ammatilliset oppilaitokset
Tim Bebensee
FX-9860GII: Yhtälömatriisien (kaavamatriisien) ja ratkaisuvektorien
syöttäminen
Laskimella voidaan tietenkin myös osoittaa todeksi matriisi/vektoriyhtälö:
FX-9860GII: Siirtymämatriisin ja ratkaisuvektorien kertominen RUN-MAT-sovelluksessa.
Matriisien ja vektorien määrittäminen tapahtuu alavalikon Mat (F3) -valinnan kautta.
FX-9860GII: Siirtymämatriisin ja ratkaisuvektorin määrittäminen alavalikon Mat-valinnan kautta
Löydettyjä todennäköisuuksia P1,2 = 0,8195, P1,3 = 0,599 ja P1,4 = 0,3295 voi käyttää pelin
voittamisen todennäköisyyden laskemiseen. Todennäköisyys lasketaan seuraavasti:
P(peli) = P1 · P1,1 + P2 · P1,2 + P3 · P1,3 + P4 · P1,4 + P5 · P1,5 = 0,6231 = 62,31%
FX-9860GII: Pelin voittamisen todennäköisyyden laskeminen P(Spiel) taulukkolaskennassa
Sivu 5 / 7
www.casio-laskimet.fi
Tenniksen pistelaskusäännöt, lukio/ammatilliset oppilaitokset
Tim Bebensee
Samalla tavalla lasketaan erän ottelun todennäköisyydet. Voidaan todeta, että pelin voittamisen
todennäköisyys, P(peli) = 82,2%, kun taas todennäköisuus voittaa ottelu kolmen erän voitolla,
P(ottelu) = 95,7%. Kaikki tämä perustuu vakiona pysyvään todennäköisyyteen voittaa pallo 55%:n
todennäköisyydellä.
Mikäli tarkasteluun otetaan tämä pallon voiton todennäköisyyden, P(pallo), muitakin tekijöitä,
päästään seuraavaan kuvaukseen.
P(pallo)
51%
55%
60%
70%
P(peli)
52,5%
62,3%
73,6%
90,1%
P(erä)
57,3%
82,2%
96,6%
100%
P(ottelu)
63,6%
95,7%
100%
100%
Voittotodennäköisyydet tenniksessä perustuen pallon voittamisen todennäköisyyteen
Yllättävä johtopäätös on, että tämä tenniksen laskentatapa suosii vahvempia pelaajia. Jo 55%:n
todennäköisyydellä voittaa pallo vahvemmalla pelaajalla on melkein 96%:n mahdollisuus voittaa
ottelu.
Todellisuudessa sen todennäköisyys vaihtelee, millä pelaaja voittaa pallon. Vahvat ja heikot hetket
vaihtelevat pelissä, omalla syöttövuorolla voitetaan yleensä enemmän palloja jne.
Tästä huolimatta matematiikka selittää suuren osan pelin jännittävyydestä: Heti kun pelaaja on
otteissaan vahvempi kuin vastustaja, hän alkaa tenniksen laskutavan takia voittaa enemmän
pelejä. Tämä ei riipu ottelun tilanteesta, joten tennisottelujen suunta voi muuttua hetkenä minä
hyvänsä. Juuri tämä tekee tennisottelujen seuraamisesta kiehtovaa.
Sivu 6 / 7
www.casio-laskimet.fi
Tenniksen pistelaskusäännöt, lukio/ammatilliset oppilaitokset
Tim Bebensee
Tässä esimerkissä käytetään FX-9860GII-grafiikkalaskinta . Tennisottelun tutkimiseen
muuntuvilla todennäköisyyksillä P(pallo) voidaan käyttää lisäksi ClassPad 330 -laitetta, jonka
Computer-Algebra-System-ohjelmisto kykenee myös laskemaan muuttujilla.
ClassPad 330: Ratkaisuvektorin laskeminen yleisesti ja arvolle p = 55%
Sivu 7 / 7
www.casio-laskimet.fi