Diplomi-insin¨oo¨rien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2014 Arkkitehtivalinnan matematiikan koe, 19.5.2014 klo 13-16 Ohjeita. Sijoita jokainen teht¨av¨a omalle sivulleen. Merkitse, jos teht¨av¨a jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selke¨ asti v¨ alivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylk¨ a¨ am¨ asi ratkaisu tai hylk¨ a¨ am¨ asi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sill¨ a saman teht¨ av¨ an useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, ett¨ a kukin teht¨ av¨ a arvostellaan kokonaisuutena, eiv¨atk¨a alakohdat v¨ altt¨ am¨ att¨ a ole pisteytyksess¨ a samanarvoisia. Yleisesti teht¨av¨an ratkaisun tulisi sis¨alt¨a¨a my¨ os annetun vastauksen perustelut. Apuv¨ alineet: Kirjoitusv¨ alineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma. A1 Arkkitehti A rentoutuu suunnistusreitill¨a. Ensimm¨ainen rasti on 600 m l¨aht¨opisteest¨ a koilliseen, toinen on ensimm¨aisest¨a rastista 1600 m etel¨a¨an, ja kolmas on toisesta rastista 1800 m suuntaan 12◦ l¨annest¨a pohjoiseen p¨ain. L¨oydetty¨ a¨ an kolmannen rastin A p¨a¨att¨a¨a keskeytt¨a¨a. (a) Kuinka kaukana toinen rasti on l¨ aht¨opisteest¨a? (b) Mihin suuntaan A:n on suunnistettava kolmannelta rastilta p¨a¨ast¨akseen suorinta tiet¨ a takaisin l¨aht¨opisteeseen? Anna kohdassa (a) et¨ aisyys 10 metrin ja kohdassa (b) suunta suhteessa l¨ahimp¨a¨an p¨ a¨ ailmansuuntaan yhden asteen tarkkuudella. A2 Nelikulmion k¨ arjet (my¨ ot¨ ap¨ aiv¨ a¨ an) ovat A,B,C ja D ja niit¨a vastaavat kulmat a,b,c ja d. Tied¨ amme, ett¨ a a = 15◦ , b = 30◦ , c = 45◦ , |AB| = |BC| ja |AD| = 1. Laske |AC|. 2 1 1 A3 (a) Ratkaise − = x−1 x−2 x−3 2x−1 3x−4 2 3 (b) Ratkaise = 3 2 Sarja A-FI ◦ A4 Nurmikent¨ an ymp¨ ar¨ oim¨ alle, tasasivuisen kolmion muotoiselle alueelle suunnitellaan istutettavan N kpl kuusentaimia s¨ a¨ ann¨ ollisin v¨ alimatkoin: Ensin istutetaan taimet kolmion k¨ arkiin. Sitten istutetaan taimia tasav¨alein kolmion sivuille siten, ett¨ a jokaisen istutettavan taimen et¨ aisyys kahteen l¨ahimp¨ a¨ an taimeen on a. Lopuksi istutetaan taimet kolmion sis¨ a¨ an siten, ett¨a jokaisen et¨ aisyys kuuteen l¨ ahimp¨ a¨ an taimeen on a. (a) Piirr¨a kaaviokuva istutuksesta, jossa N = 10. (b) Sama suunnitelma toteutetiin juhlistamaan my¨ os vuotta N , jolloin merkkimies S kuoli. Mik¨ a vuosi N on, kun 1900 ≤ N ≤ 1999? A5 Laakson pohjalla on j¨ arvi. Kartan koordinaatistossa, jossa positiivinen xakseli osoittaa it¨ a¨ an ja positiivinen y-akseli pohjoiseen, noudattaa maan pinnan korkeus pisteess¨ a P = (x, y) j¨ arven l¨ ahiymp¨ arist¨ oss¨ a kaavaa h = 9x2 + 6y 2 − 4xy + 36x − 8y, miss¨a x ja y ilmaistaan kilometreiss¨ a. Kaava antaa korkeuden j¨ arven pinnan tasosta metreiss¨ a. Jos h < 0, on piste P j¨ arvell¨ a, ja j¨ arven syvyys pisteess¨a P on −h. J¨ arven rantaviivalla on h = 0. Lossin kulkureitti kartalla on pitkin suoraa y = 4/3 j¨ arven rannalla olevasta pisteest¨ a A vastarannan pisteeseen B. (a) Onko piste (−1, −1) maalla, j¨ arvell¨ a vai rantaviivalla? (b) M¨aa¨rit¨ a lossin kulkureitin p¨ aa ¨tepisteet A ja B. (c) Mik¨a on j¨ arven suurin syvyys lossin kulkureitill¨ a? A6 Kuution jokaisesta k¨ arjest¨ a leikataan pois tetraedrin muotoinen pala siten, ett¨a syntyy 14-tahokas, jonka kaikkin s¨ arm¨ at ovat yht¨ a pitk¨ at. M¨ a¨ arit¨ a alkuper¨aisen kuution ja 14-tahokkaan s¨ armien pituuksien suhde. Huomioi, ett¨a ratkaisuja on kaksi ja piirr¨ a niist¨ a havainnekuvat. c 2014, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut Diplomingenj¨ors- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2014 Arkitekturantagningens prov i matematik, 19.5.2014 kl 13-16 Anvisningar. Placera varje uppgift p˚ a en egen sida. Markera om svaret forts¨atter p˚ a flera koncept. Ge klart utarbetade l¨ osningar inklusive mellanstadier, renskriv l¨osningen vid behov. F¨ orkastade l¨ osningar och f¨ orkastade delar av en l¨ osning skall ¨ overstrykas. Om icke-¨ overstrukna l¨ osningar f¨ oreligger, bed¨ oms den s¨amsta av dessa. Notera, att varje fr˚ aga bed¨ oms som en helhet och att delfr˚ agorna inte n¨odv¨andigtvis har samma vikt i bed¨ omningen. Generellt borde l¨ osningen omfatta ¨aven argumentationen f¨or det givna svaret. Hj¨ alpmedel: Skrivredskap och funktionsr¨ aknare. Bilaga: Formelsamling. A1 Arkitekten A kopplar av genom att orientera. F¨orsta kontrollen ¨ar 600 m nordost om startpunkten, andra kontrollen 1600 m s¨oder om f¨orsta kontrollen och tredje kontrollen ¨ ar p˚ a 1800 m avst˚ and fr˚ an andra kontrollen i riktningen 12◦ norr om v¨ ast. Efter att ha funnit tredje kontrollen avbryter A orienteringen. (a) Hur l˚ angt fr˚ an startpunken ¨ ar den andra kontrollen? (b) I vilken rikting skall A g˚ a fr˚ an tredje kontrollen f¨or att ˚ aterv¨anda raka v¨agen till startpunkten? Ge (a) avst˚ andet med 10 meters noggrannhet och (b) riktningen i f¨orh˚ allande till det n¨ armaste huvudv¨ aderstrecket med en grads noggrannhet. A2 Fyrh¨orningens h¨ orn (motsols) a ¨r A,B,C och D och motsvarande vinklar a,b,c och d. Vi vet, att a = 15◦ , b = 30◦ , c = 45◦ , |AB| = |BC| och |AD| = 1. Ber¨ akna |AC|. 2 1 1 − = x−1 x−2 x−3 2x−1 3x−4 2 3 (b) L¨os = 3 2 A3 (a) L¨os Serie A-SV ◦ A4 Man planerar att plantera N stycken granplantor p˚ a ett omr˚ ade i form av en liksidig triangel p˚ a en ¨ ang. F¨ orst planteras plantor i triangelns h¨ orn. D¨arefter planteras plantor med j¨ amna mellanrum p˚ a triangelns sidor s˚ a att avst˚ andet fr˚ an varje planterad planta till dess tv˚ a n¨ armaste grannar aven i triangelns innand¨ ome s˚ a att ¨ar a. Slutligen planteras granplantor ¨ varje plantas avst˚ and till dess sex n¨ armaste grannar ¨ ar a. (a) Skissa planteringen d˚ a N = 10. (b) Samma schema anv¨ andes ocks˚ a f¨ or att h¨ ogtidligg¨ ora ˚ aret N , d˚ a den bem¨arkte personen S dog. Vilket ˚ ar ¨ ar N , d˚ a 1900 ≤ N ≤ 1999? A5 I bottnet av en dal finns en sj¨ o. I kartans koordinatersystem, d¨ ar positiva x-axeln pekar o sterut och positiva y-axeln norrut ges markens h¨ ojd i ¨ punken P (x, y) i en omgivning av sj¨ on av formeln h = 9x2 + 6y 2 − 4xy + 36x − 8y, d¨ar x och y ges i kilometer. Formeln ger h¨ ojden fr˚ an sj¨ ons niv˚ a i meter. Om h < 0 a r punkten P i sj¨ o n och sj¨ o ns djup i punkten P a r ons ¨ ¨ −h. Sj¨ strandlinje ges av h = 0. En f¨ arja har som sin rutt linjen y = 4/3 p˚ a kartan fr˚ an punkten A p˚ a standen till punkten B p˚ a motsatta stranden. ¨ punkten (−1, −1) p˚ (a) Ar a land, i sj¨ on eller p˚ a stranden? (b) Best¨am ¨ andpunkterna A och B f¨ or f¨ arjans rutt. (c) Vad ¨ar sj¨ ons st¨ orsta djup l¨ angs f¨ arjans rutt? A6 Tetraedersformade bitar sk¨ ars bort fr˚ an h¨ ornen i en kub s˚ a att en 14-siding uppst˚ ar vars alla kanter ¨ ar lika l˚ anga. Best¨ am f¨ orh˚ allandet mellan den ursprungliga kubens och 14-sidingens kantl¨ angder. Observera att det finns tv˚ a l¨osningar samt rita figurer f¨ or att ˚ ask˚ adligg¨ ora dessa. c 2014, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 2014- vastaukset Teht¨ av¨ a1 Vaihtoehto 2: (tyypillinen ratkaisu) Merkit¨ a¨ an pisteit¨ a kuten yll¨ a: R0 = O, R1 , R2 , R3 . Tarkastellaan kahta kolmiota OR1 R2 ja OR2 R3 . Vaihtoehto 1: Oletetaan l¨ aht¨ opiste O origoksi ja olkoon x-akseli it¨a¨an ja y-akseli K¨aytt¨am¨all¨a kosinilausetta pohjoiseen. M¨a¨aritet¨ a¨ an pisteiden koordinaatit: √ √ |R2 |2 = |R1 |2 + |R2 − R1 |2 + 2 · |R1 | · |R2 − R1 | · cos α R1 = 600 · (cos(45◦ ), sin(45◦ )) = 300 · ( 2, 2) = 6002 + 16002 + 2 · 600 · 1600 · cos 45◦ ≈ (424, 3, 424, 3). |R2 | ≈ 1250 (a) R2 = R1 + (0, −1600) ≈ (424.3, −1176, 7) R3 = R2 + 1800 · (− cos 12◦ , ≈ (424, 3, P¨atee β1 + β2 + β3 = 90◦ , jossa β3 = 12◦ , β1 saadaan sinilauseesta sin 12◦ ) −1175, 7) + (−1761, 7, 374, 2) = (−1336, 4, −801, 5). (b) Kolmas rasti on suunnassa sin β1 = |R1 | sin R1 ; |R2 | β1 ≈ 19, 84197◦ . joten β2 = 90◦ − β1 − β3 ≈ 58, 158◦ . (a) Toinen rasti on et¨ aisyydell¨ a |R2 − R0 | = |R2 | ≈ sin R1 sin β1 = ; |R2 | |R1 | p 424, 32 + 1175, 72 ≈ 1249, 9 ≈ 1250. tan−1 (801, 5/1336, 4) ≈ 31◦ id¨ast¨a pohjoiseen. Tarkastellaan toista kolmiota: |R3 |2 = |R3 − R2 |2 + |R2 |2 + 2 · |R3 − R2 | · |R2 | · cos β2 = 18002 + 12502 + 2 · 1800 · 1250 · cos β2 |R3 | ≈ 1558, 3206 sin γ sin β2 = ; |R3 | |R3 − R2 | sin γ = |R3 − R2 | sin β2 ; |R3 | Suunta on γ − 12◦ ≈ 31◦ astetta id¨ ast¨ a pohjoiseen (b). γ ≈ 42, 9528◦ . Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 2014- vastaukset Teht¨ av¨ a2 Teht¨ av¨ a3 Koska |AB| = |BC| on ABC tasasivuinen kolmio. T¨am¨an kolmion ABC kan- (a) M¨a¨arittelyalueella x 6= 1, 2, 3 ja takulmat ovat ∠BAC = a + a0 = ∠BCA = c + c0 = 21 (180 − b) = 75◦ (kuvan merkinn¨oin). 1 2 1 2(x − 2) − (x − 1) x−3 = − = = 0 ◦ 0 ◦ x − 3 x − 1 x − 2 (x − 1)(x − 2) (x − 1)(x − 2) Kolmion ADC kulmat a = 75 − a = 60 ja c = 75 − c = 30 , joten kulma 0 0 0 ◦ d = 180 − a − b = 90 . ristiinkertomalla 1 0 Kyseess¨a on suorakulmainen kolmio, joten |AD| |AC| = cos a = 2 eli |AC| = 2. 7 Vaihtoehtoisesti (keskimm¨ aisess¨ a kappaleessa) voidaan kolmiosta ADC todeta: (x − 1)(x − 2) = (x − 3)2 ⇔ 2 − 3x = 9 − 6x ⇔ x = 3 Kulma a0 = 75 − a = 60◦ . Nelikulmiosta ABCD saadaan ∠D = 360 − (a + b + c). Toisaalta d0 on kulman ∠D explementtikulma eli d0 = 360 − ∠D = 360 − (360 − (a + b + c)) = a + b + c = 90◦ . (b) Koska 2/3 = (3/2)−1 , saamme 2x−1 −(2x−1) 3x−4 2 3 3 = = . 3 2 2 Saman positiivisen kantaluvun potenssina 1 − 2x = 3x − 4 eli x = 1. Vaihtoehtoisesti: Ottamalla logaritmi puolittain: 2x−1 3x−4 3 2 = log log 3 2 ⇔ (2x − 1)(log 2 − log 3) = (3x − 4)(log 3 − log 2) ⇔ 1 − 2x = 3x − 4 ⇔ x=1 Vaihtoehtoisesti: 2x−1 3x−4 2 3 = ⇔ 3 2 22x−1 33x−4 = ⇔ 32x−1 23x−4 joten v¨altt¨am¨att¨ a 5x − 5 = 0 eli x = 1. Nelikulmio ABCD teht¨ av¨ ass¨ a2 3 25x−5 = 35x−5 Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 2014- vastaukset Teht¨ av¨ a4 ja todettava, ett¨ a n 7→ N on kasvava funktion, ja huomioitava arvot n 61 62 63 . N (n) 1891 1953 2016 (a) Kun kolmion k¨ arkiin sijoitetaan kuuset, kullekin sivulle lis¨ aksi kaksi, ja kolmion keskelle yksi, kuusia on yhteens¨a 10. (b) Oletetaan, ett¨ a kuusia on kullakin sivulla n − 2 kappaletta k¨arjet poislukien. T¨all¨oin (kuvaan viitaten) k¨ arjess¨ a on yksi, seuraavalla rivill¨a kaksi, jne, alimmalla, n:nnell¨ a rivill¨ a n kappaletta. Yhteens¨a siis N N 2N = 1 + 2 + ... = n + n − 1 + ... = n + 1 + n + 1 + ... + n−1 + n + 2 + 1 + n + 1 + n + 1 = n(n + 1) josta ratkaistaan n kokonaism¨ aa an N funktiona1 ¨r¨ √ −1 + 1 + 8N 2 n + n − 2N = 0 ⇔ n = =: f (N ). 2 V¨altt¨am¨att¨a n on oltava kokonaisluku, mutta f on kaikilla positiiviluvuilla m¨aa¨ritelty kasvava funktio2 . Niinp¨ a riit¨ aa ¨ tarkastella vuosisadan a¨a¨rip¨ait¨a: f (1900) ≤ n ≤ f (1999) | {z } | {z } ≈61,14 ja vuosi N = n(n+1) 2 ⇔ n = 62 ≈62,73 = 1953. Vaihtoehtoisesti tulokseen voi p¨ aa a systemaattisesti kokeilemalla n:n arvoja. ¨st¨ Ratkaisuja voi apriori kuitenkin olla useita. Yksik¨asitteisyyden toteamiseksi on 1 2 2 T¨ am¨ a on aritmeettinen summa N = 1 + 2 + 3 + · · · +√n = n+n 2 Voidaan pit¨ aa an¨ a, mutta my¨ os koska f 0 (N ) = 2/ 1 + 8N > 0 kaikilla N ≥ 1. ¨ selv¨ 4 Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 2014- vastaukset Teht¨ av¨ a5 Teht¨ av¨ a6 (a) Sijoitetaan x = −1 ja y = −1 Olkoon kuution sivun pituus d. V¨ altt¨ am¨ att¨ a poisleikattava pala on tetraedri, jonka kukin sivutahko on tasasivuinen kolmio. h = 9 + 6 − 4 − 36 + 8 = −17 < 0 Merkit¨a¨an tetraedrin s¨ arm¨ an pituutta x, j¨ aljelle j¨ a¨ a kuution alkuper¨ aist¨ a s¨ arm¨ a¨ a t¨all¨oin d − 2x. Muodostuvat 14-tahokkaan s¨ a rm¨ a t on tetraedrin pohjan sivuja, √ pituudeltaan s := x 2. joten piste on j¨arvell¨ a. (b) Kulkureitill¨a y = 4/3 ja p¨ aa a (rannalla) h = 0: ¨tepisteiss¨ Yksi ratkaisu saadaan kun alkuper¨ aist¨ a kuution s¨ arm¨ a¨ a ei j¨ a¨ a j¨ aljelle, d−2x = 0, jolloin 14-tahokkaan sivut ovat tasasivuisia kolmioita (8kpl) ja neli¨ oit¨ a (6kpl): √ d 2x r := = √ = 2. s x 2 92 h(x, 4/3) = 9x2 + 6(4/3)2 − 4(4/3)x + 36x − 8(4/3) = 9x2 + x = 0 3 92 4 4 josta x = 0 tai x = − 92 27 ≈ −3, 407. Pisteet ovat (− 27 , 3 ) ja (0, 3 ). (c) Kulkureitin p¨ aiss¨ a (rannalla) on matalampaa, joten lossin kulkureitill¨a suu- Toinen ratkaisu saadaan, kun j¨ aljelle j¨ a¨ av¨ a kuution s¨ arm¨ an osuus, d − 2x on rin syvyys saavutetaan, kun saman pituinen kun tetraedrin pohjan sivu, s. T¨ all¨ oin 14-tahokkaan sivut ovat tasasivuisia kolmioita (8kpl) ja kahdeksankulmioita (6kpl): d 4 d 92 92 92 46 √ √ 2 0= h(x, ) = 9x + x = 18x + ⇔ x = − = − ≈ −1.704. d − 2x = s = x 2 ⇔ d = (2 + 2)x. dx 3 dx 3 3 54 27 √ √ d 2+ 2 46 4 √ r := = = 1 + 2. h(− 27 , 3 ) ≈ −26, 123. joten suurin syvyys on noin 26 m. s 2 5 Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 2014- vastaukset Arkkitehtivalinnan matematiikankokeen arvostelu Yleisperiaatteet: Mik¨ ali ratkaisussa on lasku- tai kopiointivirhe joka vaikuttaa Teht¨ av¨ a4 ratkaisun loppuosaan, vaikuttaa se alentavasti koko loppuosankin arvosteluun. Kohta (a) 2p, pelkk¨ a kuva riitt¨ a¨ a, jos istutuspisteet ovat suorissa linjoissa. Erityisen vakavaksi virhe arvioidaan, jos se muuttaa teht¨av¨an luonnetta. Kohta (b) 4p. N muodostaa aritmeettisen summan (2p). Kokeiltaessa vastauksesta tulee selvit¨ a, ettei 1900-luvulla ole kuin yksi mahdollinen N :n arvo (-1p). Teht¨ av¨ a1 Kummastakin alakohdasta 3p. Teht¨ av¨ a5 Vaihtoehdossa 1: Pisteen R1 , R2 , R3 koordinaatit, kukin +1p. Osakokonaisuudet 2+2+2p. T¨ aysiin pisteisiin ei hyv¨ aksyt¨ a mink¨ a¨ anlaisia laskuVaihtoehdossa 2: Kulman β2 ja pituuden R3 m¨a¨aritt¨amien b-kohdassa: hyvivirheit¨a. Virheet saattavat v¨ ahent¨ a¨ an my¨ os my¨ ohempien kohtien ansioita; eritett¨a¨an 1p kummastakin. tyisesti isot laskuvirheet b-kohdan funktiossa vaikuttavat my¨ os c-kohdan arvos¨ teluun. A¨ariarvon perusteluja c-kohdassa ei vaadita. Teht¨ av¨ a2 av¨ a6 Ratkaisun piirroksessa on nelikulmion kulman d oltava d > 180◦ ja ratkaisussa Teht¨ on eksplisiittisesti viitattava tasakylkisyyteen, jotta ratkaisu oikeuttaisi t¨aysiin Osateht¨avien arvostelu 3p+3p. Kussakin kohdassa ratkaisun realistisilla mittapisteisiin. suhteilla piirretty kolmiuloitteisen tilanteen hahmottava skissi 1p, suhteen (lu◦ , koska kolmio tasaT¨all¨ on esimerksi kantakulma a + a0 = c + c0 = 180−b = 75 kuarvo) ratkaisu 2p. Vastauksessa suhteen on oltava puhdas luku (ei riipu si2 kylkinen antaa 2p, kulmat a ja c0 edellen kumpikin 1p. Loppulasku 2p vunpituudesta). Mik¨ ali suhde on oikean vastauksen k¨ a¨ anteisluku v¨ ahennet¨ a¨ an ◦ 0 ◦ teht¨ a v¨ a n kokonaispisteist¨ a 1p. Tyypillisi¨a hyvityksi¨ a, ovat kulma d = 270 +1p, explementtikulma d = 90 +1p. Pelkk¨a kuva ilman laskuja ei kuitenkaan anna pisteit¨a. Teht¨ av¨ a3 Kummastakin alakohdasta 3p. Muoto, jossa x:lle on tuotettu lineaarinen yht¨al¨o antaa 2p. 6