1. No category

Diplomi-insin¨oo¨rien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2013
Insin¨
o¨
orivalinnan matematiikan koe, 28.5.2013 klo 14-17
Ohjeita. Sijoita jokainen teht¨av¨a omalle sivulleen. Merkitse, jos teht¨av¨a jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selke¨
asti v¨
alivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu
uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisu tai hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sill¨
a saman teht¨
av¨
an useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, ett¨
a kukin teht¨
av¨
a arvostellaan kokonaisuutena, eiv¨atk¨a alakohdat
v¨
altt¨
am¨
att¨
a ole pisteytyksess¨
a samanarvoisia. Yleisesti teht¨av¨an ratkaisun tulisi sis¨alt¨a¨a
my¨
os annetun vastauksen perustelut.
Apuv¨
alineet: Kirjoitusv¨
alineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
Sarja A-FI
.
A4 K¨ayr¨an y = 1/x, x > 0 pisteeseen P = (x0 , y0 ) piirretty tangentti ja
koordinaattiakselit rajaavat kolmion A.
(a) M¨aa¨rit¨
a kolmion A pinta-ala, ja totea, ett¨
a se on riippumaton pisteest¨a P .
(b) Miten P on valittava, jotta kolmion A hypotenuusa olisi mahdollisimman lyhyt? Perustele ratkaisusi.
A5 (a) Mill¨a muuttujan t arvolla integraali
A1 Varastossa on 13 litraa liuosta A suolapitoisuudeltaan 0,04 % ja 5 litraa
liuosta B suolapitoisuudeltaan 0,08 %. N¨aist¨a sekoitetaan liuosta C, jonka
suolapitoisuus on 0,05 %.
(a) Kuinka monta litraa liuoksia A ja B tarvitaan 1 litraan liuosta C?
(b) Kuinka monta litraa liuosta C voidaan valmistaa varastossa olevista
m¨a¨arist¨
a?
Anna vastaukset 0,01 litran tarkkuudella.
A2 Hae reaaliset ratkaisut seuraaville yht¨
al¨oille:
(a) (x − 3)3 = x − 3
(b) ln(3 + x) = 3 ln 3 + ln x
Z
t+ π6
sin x dx
t
saa suurimman arvonsa, kun 0 ≤ t ≤ π?
(b) Osoita annettuja trigonometrisia kaavoja k¨
aytt¨
aen, ett¨
a edell¨
a maiπ
nittu suurin arvo on 2 sin 12
.
A6 Harri Potteri pyrkii 610 cm leve¨
an tien yli. H¨
anen askeleensa ovat 60 cm
pitki¨a. Kullakin askeleella h¨
an etenee
– kohtisuoraan tien poikki todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,6,
– kohtisuorasta 60 astetta vasemmalle todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,2,
– kohtisuorasta 60 astetta oikealle todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,2.
A3 Olkoon f (x) = |x − 1| − 2 ja g(x) = |f (x)|.
(a) Mill¨a muuttujan x reaaliarvoilla on f (x) ≥ 0?
(b) Piirr¨a funktion g(x) kuvaaja v¨
alill¨a x ∈ [−2, 3]. M¨a¨arit¨a kuvaajan ja
x-akselin rajaaman alueen pinta-ala mainitulla v¨alill¨a.
Mill¨a todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a Harri p¨
a¨
asee tien toiselle puolelle ottamatta kolmattatoista askelta?
c 2013, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomi-insin¨oo¨rien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2013
Insin¨
o¨
orivalinnan matematiikan koe, 28.5.2013 klo 14-17
Ohjeita. Sijoita jokainen teht¨av¨a omalle sivulleen. Merkitse, jos teht¨av¨a jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selke¨
asti v¨
alivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu
uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisu tai hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sill¨
a saman teht¨
av¨
an useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, ett¨
a kukin teht¨
av¨
a arvostellaan kokonaisuutena, eiv¨atk¨a alakohdat
v¨
altt¨
am¨
att¨
a ole pisteytyksess¨
a samanarvoisia. Yleisesti teht¨av¨an ratkaisun tulisi sis¨alt¨a¨a
my¨
os annetun vastauksen perustelut.
Apuv¨
alineet: Kirjoitusv¨
alineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
Sarja B-FI
.
B4 K¨ayr¨an y = 1/x, x > 0 pisteeseen P = (x0 , y0 ) piirretty tangentti ja
koordinaattiakselit rajaavat kolmion A.
(a) M¨aa¨rit¨
a kolmion A pinta-ala, ja totea, ett¨
a se on riippumaton pisteest¨a P .
(b) Miten P on valittava, jotta kolmion A hypotenuusa olisi mahdollisimman lyhyt? Perustele ratkaisusi.
B5 (a) Mill¨a muuttujan t arvolla integraali
B1 Varastossa on 5 litraa liuosta A suolapitoisuudeltaan 0,04 % ja 14 litraa
liuosta B suolapitoisuudeltaan 0,08 %. N¨aist¨a sekoitetaan liuosta C, jonka
suolapitoisuus on 0,07 %.
(a) Kuinka monta litraa liuoksia A ja B tarvitaan 1 litraan liuosta C?
(b) Kuinka monta litraa liuosta C voidaan valmistaa varastossa olevista
m¨a¨arist¨
a?
Anna vastaukset 0,01 litran tarkkuudella.
B2 Hae reaaliset ratkaisut seuraaville yht¨
al¨oille:
(a) (x − 4)3 = x − 4
(b) ln(5 + x) = 3 ln 3 + ln x
Z
t+ π5
sin x dx
t
saa suurimman arvonsa, kun 0 ≤ t ≤ π?
(b) Osoita annettuja trigonometrisia kaavoja k¨
aytt¨
aen, ett¨
a edell¨
a maiπ
nittu suurin arvo on 2 sin 10
.
B6 Harri Potteri pyrkii 610 cm leve¨
an tien yli. H¨
anen askeleensa ovat 60 cm
pitki¨a. Kullakin askeleella h¨
an etenee
– kohtisuoraan tien poikki todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,6,
– kohtisuorasta 60 astetta vasemmalle todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,2,
– kohtisuorasta 60 astetta oikealle todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,2.
B3 Olkoon f (x) = |x − 2| − 1 ja g(x) = |f (x)|.
(a) Mill¨a muuttujan x reaaliarvoilla on f (x) ≥ 0?
(b) Piirr¨a funktion g(x) kuvaaja v¨
alill¨a x ∈ [−1, 3]. M¨a¨arit¨a kuvaajan ja
x-akselin rajaaman alueen pinta-ala mainitulla v¨alill¨a.
Mill¨a todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a Harri p¨
a¨
asee tien toiselle puolelle ottamatta kolmattatoista askelta?
c 2013, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomi-insin¨oo¨rien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2013
Insin¨
o¨
orivalinnan matematiikan koe, 28.5.2013 klo 14-17
Ohjeita. Sijoita jokainen teht¨av¨a omalle sivulleen. Merkitse, jos teht¨av¨a jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selke¨
asti v¨
alivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu
uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisu tai hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sill¨
a saman teht¨
av¨
an useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, ett¨
a kukin teht¨
av¨
a arvostellaan kokonaisuutena, eiv¨atk¨a alakohdat
v¨
altt¨
am¨
att¨
a ole pisteytyksess¨
a samanarvoisia. Yleisesti teht¨av¨an ratkaisun tulisi sis¨alt¨a¨a
my¨
os annetun vastauksen perustelut.
Apuv¨
alineet: Kirjoitusv¨
alineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
Sarja C-FI
.
C4 K¨ayr¨an y = 1/x, x > 0 pisteeseen P = (x0 , y0 ) piirretty tangentti ja
koordinaattiakselit rajaavat kolmion A.
(a) M¨aa¨rit¨
a kolmion A pinta-ala, ja totea, ett¨
a se on riippumaton pisteest¨a P .
(b) Miten P on valittava, jotta kolmion A hypotenuusa olisi mahdollisimman lyhyt? Perustele ratkaisusi.
C5 (a) Mill¨a muuttujan t arvolla integraali
C1 Varastossa on 14 litraa liuosta A suolapitoisuudeltaan 0,03 % ja 5 litraa
liuosta B suolapitoisuudeltaan 0,08 %. N¨aist¨a sekoitetaan liuosta C, jonka
suolapitoisuus on 0,04 %.
(a) Kuinka monta litraa liuoksia A ja B tarvitaan 1 litraan liuosta C?
(b) Kuinka monta litraa liuosta C voidaan valmistaa varastossa olevista
m¨a¨arist¨
a?
Anna vastaukset 0,01 litran tarkkuudella.
C2 Hae reaaliset ratkaisut seuraaville yht¨al¨oille:
(a) (x + 3)3 = x + 3
(b) ln(3 + x) = 3 ln 2 + ln x
Z
t+ π4
sin x dx
t
saa suurimman arvonsa, kun 0 ≤ t ≤ π?
(b) Osoita annettuja trigonometrisia kaavoja k¨
aytt¨
aen, ett¨
a edell¨
a mainittu suurin arvo on 2 sin π8 .
C6 Harri Potteri pyrkii 610 cm leve¨
an tien yli. H¨
anen askeleensa ovat 60 cm
pitki¨a. Kullakin askeleella h¨
an etenee
– kohtisuoraan tien poikki todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,6,
– kohtisuorasta 60 astetta vasemmalle todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,2,
– kohtisuorasta 60 astetta oikealle todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,2.
C3 Olkoon f (x) = |x − 1| − 2 ja g(x) = |f (x)|.
(a) Mill¨a muuttujan x reaaliarvoilla on f (x) ≥ 0?
(b) Piirr¨a funktion g(x) kuvaaja v¨
alill¨a x ∈ [−1, 4]. M¨a¨arit¨a kuvaajan ja
x-akselin rajaaman alueen pinta-ala mainitulla v¨alill¨a.
Mill¨a todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a Harri p¨
a¨
asee tien toiselle puolelle ottamatta kolmattatoista askelta?
c 2013, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomi-insin¨oo¨rien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2013
Insin¨
o¨
orivalinnan matematiikan koe, 28.5.2013 klo 14-17
Ohjeita. Sijoita jokainen teht¨av¨a omalle sivulleen. Merkitse, jos teht¨av¨a jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selke¨
asti v¨
alivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu
uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisu tai hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sill¨
a saman teht¨
av¨
an useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, ett¨
a kukin teht¨
av¨
a arvostellaan kokonaisuutena, eiv¨atk¨a alakohdat
v¨
altt¨
am¨
att¨
a ole pisteytyksess¨
a samanarvoisia. Yleisesti teht¨av¨an ratkaisun tulisi sis¨alt¨a¨a
my¨
os annetun vastauksen perustelut.
Apuv¨
alineet: Kirjoitusv¨
alineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
Sarja D-FI
.
D4 K¨ayr¨an y = 1/x, x > 0 pisteeseen P = (x0 , y0 ) piirretty tangentti ja
koordinaattiakselit rajaavat kolmion A.
(a) M¨aa¨rit¨
a kolmion A pinta-ala, ja totea, ett¨
a se on riippumaton pisteest¨a P .
(b) Miten P on valittava, jotta kolmion A hypotenuusa olisi mahdollisimman lyhyt? Perustele ratkaisusi.
D5 (a) Mill¨a muuttujan t arvolla integraali
D1 Varastossa on 4 litraa liuosta A suolapitoisuudeltaan 0,03 % ja 14 litraa
liuosta B suolapitoisuudeltaan 0,08 %. N¨aist¨a sekoitetaan liuosta C, jonka
suolapitoisuus on 0,07 %.
(a) Kuinka monta litraa liuoksia A ja B tarvitaan 1 litraan liuosta C?
(b) Kuinka monta litraa liuosta C voidaan valmistaa varastossa olevista
m¨a¨arist¨
a?
Anna vastaukset 0,01 litran tarkkuudella.
D2 Hae reaaliset ratkaisut seuraaville yht¨
al¨oille:
(a) (x + 4)3 = x + 4
(b) ln(5 + x) = 3 ln 2 + ln x
Z
t+ π3
sin x dx
t
saa suurimman arvonsa, kun 0 ≤ t ≤ π?
(b) Osoita annettuja trigonometrisia kaavoja k¨
aytt¨
aen, ett¨
a edell¨
a mainittu suurin arvo on 2 sin π6 .
D6 Harri Potteri pyrkii 610 cm leve¨
an tien yli. H¨
anen askeleensa ovat 60 cm
pitki¨a. Kullakin askeleella h¨
an etenee
– kohtisuoraan tien poikki todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,6,
– kohtisuorasta 60 astetta vasemmalle todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,2,
– kohtisuorasta 60 astetta oikealle todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a 0,2.
D3 Olkoon f (x) = |x − 2| − 1 ja g(x) = |f (x)|.
(a) Mill¨a muuttujan x reaaliarvoilla on f (x) ≥ 0?
(b) Piirr¨a funktion g(x) kuvaaja v¨
alill¨a x ∈ [1, 5]. M¨a¨arit¨a kuvaajan ja
x-akselin rajaaman alueen pinta-ala mainitulla v¨alill¨a.
Mill¨a todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a Harri p¨
a¨
asee tien toiselle puolelle ottamatta kolmattatoista askelta?
c 2013, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomingenj¨ors- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2013
Ingenj¨
orantagningens prov i matematik, 28.5.2013 kl 14-17
Anvisningar. Placera varje uppgift p˚
a en egen sida. Markera om svaret forts¨atter p˚
a
flera koncept. Ge klart utarbetade l¨
osningar inklusive mellanstadier, renskriv l¨osningen
vid behov. F¨
orkastade l¨
osningar och f¨
orkastade delar av en l¨
osning skall ¨
overstrykas.
Om icke-¨
overstrukna l¨
osningar f¨
oreligger, bed¨
oms den s¨amsta av dessa. Notera, att varje
fr˚
aga bed¨
oms som en helhet och att delfr˚
agorna inte n¨odv¨andigtvis har samma vikt i
bed¨
omningen. Generellt borde l¨
osningen omfatta ¨aven argumentationen f¨or det givna
svaret.
Hj¨
alpmedel: Skrivredskap och funktionsr¨
aknare. Bilaga: Formelsamling.
Serie A-SV
.
A4 Tangenten till kurvan y = 1/x, x > 0 i punkten P = (x0 , y0 ) och koordinataxlarna begr¨
ansar en triangel A.
(a) Best¨am triangeln A:s area och konstatera att arean ¨
ar oberoende av
valet av punkten P .
(b) Hur skall P v¨
aljas, f¨
or att triangeln A:s hypotenusa skall vara s˚
a kort
som m¨
ojligt? Motivera l¨
osningen.
A5 (a) F¨or vilket v¨
arde p˚
a variabeln t antar integralen
A1 I ett f¨orr˚
ad finns 13 liter l¨
osning A, vars salthalt ¨ar 0,04 %, och 5 liter
l¨osning B, vars salthalt a
r
¨ 0,08 %. Av dessa blandas en l¨osning C, vars
salthalt ¨ar 0,05 %.
(a) Hur m˚
anga liter av l¨
osningarna A och B beh¨ovs f¨or att blanda till en
liter av l¨
osning C?
(b) Hur m˚
anga liter av l¨
osning C kan man tillverka av det, som finns i
f¨orr˚
adet?
Ge svaren med 0.01 liters noggrannhet.
A2 S¨ok de reella l¨
osningarna till de f¨
oljande ekvationerna:
(a) (x − 3)3 = x − 3
(b) ln(3 + x) = 3 ln 3 + ln x
A3 L˚
at f (x) = |x − 1| − 2 och g(x) = |f (x)|.
(a) F¨or vilka reella v¨
arden p˚
a variabeln x ¨ar f (x) ≥ 0?
(b) Skissa funktionen g:s graf i intervallet x ∈ [−2, 3] och best¨am arean
hos omr˚
adet som begr¨
ansas av grafen och x-axeln i detta intervall.
Z
t+ π6
sin x dx
t
sitt st¨
orsta v¨
arde, d˚
a 0 ≤ t ≤ π?
(b) Visa, med hj¨
alp av de givna trigonometriska formlerna, att det ovan
π
n¨amnda st¨
orsta v¨
ardet a
.
¨r 2 sin 12
A6 Harri Potteri f¨
ors¨
oker ta sig o
ag. Hans steg a
¨ver en 610 cm bred v¨
¨r 60 cm
l˚
anga. Varje steg tar honom
– vinkelr¨
att mot v¨
agen med sannolikheten 0,6,
– 60 grader ˚
at v¨
anster fr˚
an vinkelr¨
att med sannolikheten 0,2,
– 60 grader ˚
at h¨
oger fr˚
an vinkelr¨
att med sannolikheten 0,2.
Med vilken sannolikhet n˚
ar Harri andra sidan av v¨
agen utan att beh¨
ova
ta tretton steg?
c 2013, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice
Common University Admission in Engineering and Architecture (dia-admission) 2013
Engineering mathematics, May 28th 2013 at 14-17
Instructions. Use a separate page for each problem. Clearly indicate if the answer
continues on a separate sheet. Give your solutions in a clear form including intermediate
steps. Rewrite a clean copy of the solution if needed. Cross out discarded solutions and
any discarded parts of solutions. In the case of several solutions for the same problem,
only the weakest one will be credited. Note that subsections of a question are not necessarily equally weighted. Generally, the solution should include even the reasoning for
the given answer.
Allowed instruments: Writing instruments, non–programmable calculator; no dictionaries allowed. Attachment: Table of formulae.
A1 In stock there are 13 litres solution A of salt concentration 0.04 % and
5 litres solution B of salt concentration 0.08 % used to produce, by mixing, solution C of salt concentration 0.05 %.
(a) How many litres of solutions A and B are needed to produce 1 litre
solutions C?
(b) How many litres solution C may be produced from the solutions in
stock?
Series A-EN
.
A4 The tangent at point P = (x0 , y0 ) of the curve y = 1/x, x > 0 and the
co-ordinate axes determine triangle A.
(a) Determine the area of triangle A and show that it is independent of
the choice of the point P .
(b) How should P be chosen so that the hypotenuse of the triangle A is
the shortest possible? Justify your answer.
A5 (a) For which value of t does the integral
Z
t+ π6
sin x dx
t
obtain its largest value, when 0 ≤ t ≤ π?
(b) Prove, using given formulas for trigometric functions, that the above
π
mentioned largest value equals 2 sin 12
.
A6 Harri Potteri aims across a 610 cm wide road. His steps are 60 cm long.
At each step he advances
Give the answers to the accuracy of 0.01 liter.
A2 Seek the real solutions x for the following equations:
(a) (x − 3)3 = x − 3
(b) ln(3 + x) = 3 ln 3 + ln x
A3 Let f (x) = |x − 1| − 2 and g(x) = |f (x)|.
(a) For which real values of x is f (x) ≥ 0?
(b) Draw the graph of the function g in the interval x ∈ [−2, 3] and determine the area bounded by the graph and the x-axis in the given
interval.
– in perpendicular direction straigh across the road with probability
0.6,
– 60 degrees to the left from the perpendicular direction with probability 0.2,
– 60 degrees to the right from the perpendicular direction with probability 0.2.
At which probability does he cross the road without taking the thirteenth
step?
c 2013, Dia-admission, c/o Aalto University, Student Services
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 11. kes¨
akuuta 2013
Teht¨
av¨
a1
A
B
C
D
pA = 0,04%,
pB = 0,08%,
pC = 0,05%
pA = 0,04%,
pB = 0,08%,
pC = 0,07%
pA = 0,03%,
pB = 0,08%,
pC = 0,04%
pA = 0,03%,
pB = 0,08%,
pC = 0,07%
VA = 0,75 l
VB = 0,25 l
VA = 0,25 l
VB = 0,75 l
VA = 0,80 l
VB = 0,20 l
VA = 0,20 l
VB = 0,80 l
(b) Merkit¨a¨an liuoksen A suhteellista osuutta α := VA /VC . Merkit¨a¨an V A ja V B varastossa olevia liuosm¨a¨ari¨a.
V A = 13
VB =5
VA =5
V B = 14
V A = 14
VB =5
VA =4
V B = 14
Vaihtoehto 1: Jotta seosta voidaan valmistaa m¨aa¨r¨a V C , tulee
kumpiakin ainesosia olla riitt¨
av¨
asti:
α = 0,75
α = 0,25
α = 0,80
α = 0,20
V A /α = 17,33
V B /(1 − α) = 20,00
V A /α = 20,00
V B /(1 − α) = 18,67
V A /α = 17,50
V B /(1 − α) = 25,00
V A /α = 20,00
V B /(1 − α) = 17,50
V C ≤ 17,33
V C ≤ 18,67
V C ≤ 17,50
V C ≤ 17,50
VA
VB
VC
VA
VB
VC
VA
VB
VC
VA
VB
VC
(a) Merkit¨a¨an konsentraatioita pA , pB , pC ja tilavuuksia VA , VB , VC .
(
VC pC = VA pA + VB pB
(1)
Vc
= VA + VB = 1
= VA pA + (1 − VA ) pB
pB − pC
=
pB − pA
pC
VA
⇔
αV C ≤ V A ja (1 − α)V C ≤ V B
VA
VB
VC ≤
ja V C ≤
α
1−α
(2)
(3)
(4)
(5)
Liuosta voidaan siis korkeintaan yl¨
arajan verran.
A
α
Vaihtoehto 2: Jos VV B < VVBA = 1−α
, on liouksen A varastom¨a¨ar¨a
kriittinen, muutoin liuoksen B varastom¨a¨ar¨a m¨a¨ar¨a¨a suurimman
valmistettavan m¨
aa
an. Siisp¨
a ...
¨r¨
≈ 2, 6 < 3
≤ V A /α
≈ 0, 35 6<
1
3
≤ V B /(1 − α)
≈ 2.8 < 4
≤ V A /α
≈ 0, 28 6<
1
4
≤ V B /(1 − α)
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 11. kes¨
akuuta 2013
Teht¨
av¨
a2
(a) Selv¨asti x = a on ratkaisu. Jakamalla yht¨al¨o (x − a):lla saadaan
(x − a)3 = (x − a)
⇔
x=a
∨
A
B
C
D
a=3
a=4
a = −3
a = −4
x ∈ {2, 3, 4}
x ∈ {3, 4, 5}
x ∈ {−4, −3, −2}
x ∈ {−5, −4, −3}
c=3
b=3
c=5
b=3
c=3
b=2
c=5
b=2
x = 3/(27 − 1)
≈ 0,11538
x = 5/(27 − 1)
≈ 0,19231
x = 3/(8 − 1)
≈ 0,42857
x = 5/(8 − 1)
≈ 0,71429
(x − a)2 = 1
jossa (x − a)2 = 1 ⇔ x − a = ±1 ⇔ x = a ± 1. Saamme
x ∈ {a − 1, a, a + 1}.
(b) Yht¨al¨o on m¨
aa
¨ritelty kun x + c > 0 ja x > 0 eli (annetuilla c:n
arvoilla) kun x > 0. Muokkaamalla yht¨al¨on oikeaa puolta
ln(c + x) = ln x + 3 ln b
3
(6)
= ln(b x)
(7)
3
(8)
c+x = b x
c
x = 3
.
b −1
(9)
Koska x > 0, ratkaisu on m¨
a¨
arittelyalueella.
3
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 11. kes¨
akuuta 2013
Teht¨
av¨
a3
Sarjat AC:
a) Itseisarvon nollakohta x = 1, joten
(
(
−(x − 1) − 2, x < 1
−x − 1, x < 1
f (x) =
=
(x − 1) − 2, 1 ≤ x
x − 3, 1 ≤ x
Sarjat BD:
a) Itseisarvon nollakohta x = 2, joten
(
(
−(x − 2) − 1, x < 2
−x + 1, x < 2
f (x) =
=
(x − 2) − 1, 2 ≤ x
x − 3, 2 ≤ x
(10)
T¨ast¨a f (x) ≥ 0 kun x ≥ 3 tai x ≤ −1.
T¨ast¨a f (x) ≥ 0 kun x ≥ 3 tai x ≤ 1.
Vaihtoehtoisesti:
Vaihtoehtoisesti:
⇔
f (x) = |x − 1| − 2 ≥ 0
x − 1 ≥ 2 ∨ x − 1 ≤ −2
⇔
⇔
|x − 1| ≥ 2
x ≥ 3 ∨ x ≤ −1
(11)
⇔
b) Koska g(x) = −f (x), kun x ∈ [−1, 3] (ja muutoin g(x) = f (x)), saadaan kuvan mukainen kuvaaja y = g(x) ja vastaava ala. Huomaa, ett¨a kuvaaja on paloittain suora kulmapistein¨
a x = 1 ja nollakohdat g(x) = f (x) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 3}.
Kulmapisteiss¨a ja v¨
alin p¨
a¨
atepisteiss¨
a
x
−2 −1
1
3
g(x)
1
0
2
0
f (x)
1
0 −2
0
sarja A AC AC AC
0
1
2
3
A
0
1
2
5
2
2
D
3
(15)
Pinta-ala voidaan laskea suoraan muodostuvien kolmioiden avulla:
A = 21 (1 · 2 + 2 · 2) = 3.
2
1
0
-1
-1
(14)
Vaihtoehtoisesti voidaan kirjoittaa auki

−x + 1,
x ≤1



x − 1, 1 < x ≤ 2
g(x) = |f (x)| =
(12)
−x + 3, 2 < x ≤ 3



x − 3, 3 < x
2
1
0
-1
-2
-1
|x − 2| ≥ 1
x≥3 ∨ x≤1
x
−1
1
2
3
g(x)
2
0
1
0
f (x)
2
0 −1
0
sarja B BD BD BD
Pinta-ala voidaan laskea suoraan muodostuvien kolmioiden avulla:
A = 21 (1 · 1 + 4 · 2) = 92 .
-2
⇔
⇔
b) Koska g(x) = −f (x), kun x ∈ [1, 3] (ja muutoin g(x) = f (x)), saadaan kuvan
mukainen kuvaaja y = g(x) ja vastaava ala. Huomaa, ett¨
a kuvaaja on paloittain suora kulmapistein¨
a x = 1 ja nollakohdat g(x) = f (x) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 3}.
Kulmapisteiss¨a ja v¨
alin p¨
a¨
atepisteiss¨
a
4
1
1
C
Vaihtoehtoisesti voidaan kirjoittaa auki

−x − 1,
x ≤ −1



x + 1, −1 < x ≤ 1
g(x) = |f (x)| =
−x + 3,
1< x ≤ 3



x − 3,
3< x
2
1
0
-1
-2
f (x) = |x − 2| − 1 ≥ 0
x − 2 ≥ 1 ∨ x − 2 ≤ −1
(13)
4
2
1
0
-1
-1
C
4
0
1
2
3
B
1
2
3
4
5
D
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 11. kes¨
akuuta 2013
Teht¨
av¨
a4
b) Tarkastellaan hypotenuusan pituuden neli¨
ot¨
a
2
2
1
a) Pisteess¨a P = (x0 , y0 ) = (a, 1/a) tangentin y − y0 = k(x − x0 ) ⇔ y − 1/a =
2
2
s(a) = (2a) +
=4 a + 2
a
a
k(x − a) kulmakerroin
d 1
1
k=
= − 2.
Se minimoituu samalla kun hypotenuusan pituus. Etsit¨
a¨
an minimikohtaa deridx x x=a
a
vaatan
Tangentti leikkaa koordinaatti-akselit pisteess¨a (x, 0), jossa
2
a4 − 1
0
s (a) = 4 2a − 3 = 8 3
1
1
1
a
a
− = k(x − a) = − 2 x,
a
a a
nollakohdasta
ja my¨os pisteess¨a (0, y), jossa
1
1
y − = −ka = ,
s0 (a) = 0 ⇔ a4 − 1 = (a2 − 1) (a2 + 1) = 0 ⇔ a = ±1
(16)
a
a
| {z }
≥1
joten leikkauspisteiss¨
a x = 2a ja y = a2 . Vastaava pinta-ala A = 12 xy = 2.
√
Ainoassa positiivisessa derivaatan nollakohdassa, a = 1, on s = 8 eli s = 2 2.
3/a
Kun a → ∞ tai a → 0, selv¨
asti s → ∞, joten minimikohta saadaan derivaatan
nollakohdassa.
2/a
1/a
P=(a,1/a)
a
2a
5
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 11. kes¨
akuuta 2013
b) Merkit¨a¨an a = π2 ja b = c/2 jolloin t0 = a − b. Nyt saadaan joko kaavakokoelman summakaavaa cos (a ± b) soveltaen
Teht¨
av¨
a5
Parametri:
sarja
c
A
π/6
B
π/5
C
π/4
D
π/3
F (t0 ) = cos t0 − cos (t0 + 2b)
= cos(a − b) − cos(a + b)
= [cos a cos b + sin a sin b] − [cos a cos b − sin a sin b]
= 2 sin a sin b
c
Suoraviivaisesti: Merkit¨
a¨
an F (t) = t sin x dx. Funktio saa maksiminsa
= 2 · 1 · sin( ).
2
joko suljetun v¨alin p¨
a¨
atepisteiss¨
a tai derivaatan nollapisteess¨a.
tai, yleisest¨a yhteydest¨
a cos t = sin(a − t), ∀t,
a) Integroimme F (t):n lausekkeen, josta
F (t0 ) = cos t0 − cos (t0 + 2b)
R t+c
= sin(a − t0 ) − sin(a − (t0 + 2b))
F (t) = − cos (t + c) + cos t
= sin b − sin (−b)
= 2 sin b
c
= 2 sin( ).
2
ja edelleen derivaatan nollakohdasta saamme
⇔
⇔
⇔
⇔
F 0 (t)
sin (t + c)
t + c = t + 2πn
c = 2πn
ep¨
atosi
=
=
∨
∨
∨
sin (t + c) − sin t = 0
sin t
t + c = π − t + 2πn (n ∈ Z)
2t = π − c + 2nπ
t = π−c
2 + πn
Vaihtoehtoisesti:
(17)
a) Derivaatan nollakohta t = t0 saadaan kuten (17) yll¨
a.
1
0.5
0
V¨alille [0, π] osuu ratkaisu t =
p¨a¨atepisteiss¨a saadaan
t0 =
A
5
12 π
π−c
2
-0.5
:= t0 arvolla n = 0. Nollakohdassa ja
0
B
2
5π
C
3
8π
1pi/5 2pi/5 3pi/5 4pi/5
pi
6pi/5
Tarkastelmalla integrandin kuvaajaa (yll¨
a) arvioidaan funktion F arvoja (harmaat pinta-alat) pisteiss¨
a t = 0, t0 , π. Selv¨
asti F (π) < 0. Arvoja F (0) ja F (t0 )
voidaan arvioida kuvassa n¨
akyvien suorakaiteiden aloja k¨
aytt¨
aen:
D
1
3π
F (t0 ) ≈
0.51764
0.61803
0.76537
1.00000
F (0) ≈
0.13397
0.19098
0.29289
0.50000
F (π) ≈ −0.13397 −0.19098 −0.29289 −0.50000
F (π) < 0 < F (0) < c sin(c) < c sin(π/2) < F (t0 ),
maksimi on siis F (t0 ). Kuva on B-sarjalle.
b) K¨aytt¨aen yhteytt¨
a sin x = cos ( π2 − x), ∀x,
Z 1 (π+c)
2
π
π−π−c
π−π+c
c
F (t0 ) =
cos ( − x) dx = − sin(
) + sin(
) = 2 sin( )
1
2
2
2
2
(π−c)
F (t0 ) on maksimi, koska selv¨
asti F (t0 ) > F (0) > F (π).
2
6
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 11. kes¨
akuuta 2013
Teht¨
av¨
a6
Tarkastellaan nyt tien yli johtavia pistevieraita askelkombinaatiota ja jaetaan
otetut askeleet kahteen vaiheeseen.
Kohdassa (1) etenem¨
a kohtisuoraan suuntaan on a = 60 cm, muissa kohdissa
Vaihessa I otetaan ensimm¨
aiset 10 askelta. Kymmenen askelta viev¨
at korkein◦
b = 60 cos 60 = 30 cm.
taan 600 cm p¨a¨ah¨
an (tapaus X(10,0)), joten ylitys tapahtuu siis aikaisintaan 11.
Merkit¨a¨an suorien askelien lukum¨
a¨
ar¨
a¨
a n ja tarkastellaan kaikki 12 askeleen askelella.
kombinaatioita ja vaaditaan, ett¨
a etenem¨
a on v¨ahint¨a¨an 610 cm.
Vaiheessa II voidaan ottaa korkeintaan 2 askelta, jotta askeleiden yhteism¨
a¨
ar¨
a
610 − 12b
olisi
alle
13.
Kahdella
askeleella
p¨
a
a
st¨
a
a
n
korkeintaan
120
cm
matka,
joten
vai¨
¨
d(n) = na + (12 − n)b ≥ 610 ⇔ n ≥
= 8, 333 . . . ⇒ n ≥ 9
a−b
heen I suorien askeleiden m¨
aa
an alittaessa 7, ei 12 askeleella p¨
aa
a perille:
¨r¨
¨st¨
Toisaalta kutakin (toisensa poissulkevaa) tapausta vastaava todenn¨ak¨oisyys on
12 n
Vaihe I: ensimm¨
aiset 10 askelta
Vaihe II: 1-2 askelta
qn =
p (1 − p)12−n ,
p = 0, 6.
askeleet etenem¨
a (cm) uupuu (cm)
askeleet
tn. (p = 0, 6)
n
X(10,0)
600
10
S,V
q10 = 1
Todenn¨ak¨oisyys kadun ylitt¨
amiselle on
570
40
S,VS,VV q9 = 1
X(9,1)
12
X
X(8,2)
540
70
SS,SV,VS q8 = p + (1 − p)p
q=
qn ≈ 0, 22534.
X(7,3)
510
100
SS
q7 = p 2
n=9
480
130
ei ole
q6 = 0
X(6,4)
Vastaavat osatodenn¨
ak¨
oisyyksien numeroarvot:
Kokonaistodenn¨
ak¨
oisyys on
12
n
12−n
n 12 − n etenem¨
a
p
(1 − p)
qn
10 X
n
10 n
q=
p (1 − p)10−n qi ≈ 0, 22534.
12
0
720
1 0.002177
1.000000 0.002177
n
n=7
11
1
690
12 0.003628
0.400000 0.017414
10
2
660
66 0.006047
0.160000 0.063852
Vaihtoehtoisesti Alkeistapaukset voidaan ryhmitell¨
a my¨
os pistevieraisiin
9
3
630
220 0.010078
0.064000 0.141894
joukkoihin X(11, 0) ∪ X(10, 1) ∪ X(9, 2)S ∪ X(9, 3). T¨
all¨
oin ratkaisussa edellytet¨a¨an erikseen perusteltavan miksi joukot ovat pistevieraita. Edell¨
a perustelu
Vaihtoehtoisesti teht¨
av¨
aa
¨ voidaan tarkastella niiden askelkombinaatioiden tapahtuu konstruktiivisesti. Yhteys edelliseen ryhmittelyyn on seuraava:
kautta, joilla juuri viimeisell¨
a askelella astutaan tien yli. Merkit¨a¨an nyt askeleiVaihe I
Vaihe II
ta tai askelkombinaatioita:
X(10, 0)
S
V
merkint¨a selite
tn. (p = 0, 6)
X(9, 1)
S
VS
VV
S
suora askel
p
X(8, 2)
SS
SV, V S
V
vino askel
1− p
X(7,
3)
SS
m+n n
X(n,m) kombinaatiot n suorasta ja m vinosta asp (1 − p)m
∪
X(11, 0) X(10, 1) X(9, 2)S X(9, 3)
n
keleesta mielivaltaisessa j¨
arjestyksess¨a
7
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 11. kes¨
akuuta 2013
Arvostelu
jan ratkaisu (9), +1p M¨
a¨
arittelyalueen tarkastelu +1.
Arvosteluohjeita sovelletaan mallivastauksen kaltaiseen ratkaisuun ja soveltuvin
av¨
a3
osin muihin ratkaisuihin. Oleelllisesti mallivastauksista poikkeavissa ratkaisuta- Teht¨
voissa sovelletaan sensorin harkintaa.
Alakohdat 2+4p.
a) Funktion f tarkasteleminen kahdessa alueessa, hieman v¨
a¨
arinkin, antaa 1p.
Oikea lauseke rajoineen +1p.
Teht¨
av¨
a1
Alakohdat 3+3p.
b) Ratkaisussa tulee k¨
ayd¨
a eksplisiittisesti ilmi, ett¨
a funktio on kulmapisteiden
ulkopuolella (paloittain) lineaarinen (+1p). T¨
am¨
a k¨
ay selv¨
asti ilmi yht¨
al¨
oist¨
a
(15), (12), tai (13), (10) yhdistettyn¨
a toteamukseen g(x) = −f (x) a-kohdan
v¨alill¨a. (Itseisarvoja sis¨
alt¨
av¨
at lausekkeet eiv¨
at ole lineaarisia muuttujan suhteen.) Erityisesti, jos a-kohdassa on k¨
aytetty muotoa (11) vastaavasti (14) lineaarisuus t¨aytyy erikseen todeta. Ylim¨
a¨
ar¨
aisten “v¨
alipisteiden” laskeminen ei
perustele suoraa, eik¨
a n¨
ain sit¨
a, ett¨
a pinta-ala voidaan jakaa kolmioiksi. Toiseksi (+1p) teht¨av¨ast¨
a tulee k¨
ayd¨
a ilmi vastauksessa mainitut “kulmapisteet” ja
niiden luonne; kaksi nollakohtaa, v¨
alin p¨
a¨
atepisteet, ja f :n kulmapiste, yhteens¨
a
nelj¨a pistett¨a.
a) Yht¨al¨o (1) 1p, Yht¨
al¨
o (2) 2p, kummatkin vastaukset +1. Mik¨ali VB puuttuu
vastauksena annetaan teht¨
av¨
ast¨
a korkeintaan 5p.
b) Vaihtoehto 1: Vasen puoli yht¨
al¨
oss¨
a (4) tai (5) antaa +1p, samoin oikea puoli. Vastauksena antaminen minimin¨
a antaa viimeisen pisteen. Tapauksessa, jossa
erikseen perustelematta k¨
aytetty vain toista puolta antaa 1p osateht¨av¨ast¨a.
b) Vaihtoehto 2: Jos verrataan V A /V B ja VA /VB kesken¨a¨an, 1p. Jos vastauksesta k¨ay ilmi, ett¨
a kriittinen aine valittu perustellusti +1p. Vastaus viimeinen
piste.
Huolellisesti laaditusta funktion g kuvaajasta annetaan +1p; kuvaan tulee olla merkitty koordinaattiakselit ja skaala ja (esimerkiksi) erillisest¨
a taulukosta
k¨ay ilmi lasketut pisteet. Pinta-alan laskemisesta (integroimalla tai kolmioita
k¨aytt¨aen) annetaan +1p.
Teht¨
av¨
a2
Alakohdat 3+3p.
Tulkinnasta, jossa pinta-alan on tulkittu tarkoittavan vain kuvaajan ja x-akselin
a) Juuri x = a antaa 1p. Huomaa, ett¨
a juuri x = a voidaan saada my¨os perusrajaamaa kolmiota (ei reunassa olevaa kolmiota) annetaan t¨
aydet pisteet.
teettomasti sievent¨
am¨
all¨
a, (x − a)3 = (x − a) 6⇔ (x − a)2 = 0, joka ei arvokasta.
2
Yht¨al¨on (x−a)
√ = 1 ratkaisusta saa 2p. Ensimm¨aisen pisteen t¨ass¨a saa joko muoa±
dosta x =
ei siis arvokas.
a2 −(a2 −1)
2
Teht¨
av¨
a4
tai muodosta x − a = ±1. Yht¨al¨o x2 − 2ax + a2 − 1 = 0
Alakohtien arvostelu 4+2p.
Huomiosta x 6= a ei anneta hyvityst¨
a. Pelkk¨a yht¨al¨on sievent¨aminen muotoon
a) Tangentin yht¨
al¨
on m¨
a¨
aritt¨
aminen (+2p): Kulmakertoimen laskeminen k =
x3 + c2 x2 + c1 x + c0 = 0, antaa 0p. Ratkaisuyritteist¨a edelliseen, jossa yrite
−1/a2 tai muoto y − a1 = k(x − a) antavat ensimm¨
aisen pisteen. Kahden pison luvun c0 tekij¨
oit¨
a, (jos kaikkia ratkaisuja ei l¨oydet¨a) saa 1p, ei kuitenkaan
teen osiossa my¨os y0 = 1/a oltava sijoitettu lausekkeeseen. Pelk¨
ast¨
a lausekkeen
enemp¨a¨a.
derivoinnista ei hyvityst¨
a, ellei vastauksesta k¨
ay ilmi, ett¨
a kyse nimenomaan on
b) Oikean puolen sievennys muotoon (7) antaan ensimm¨aisen pisteen. Muuttu- kulmakertoimista pisteess¨
a x = x0 .
8
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus June 11, 2013
Tangentin ja koordinaattiakseliden keskin¨
aisten leikkauspisteiden m¨a¨aritt¨aminen Teht¨
av¨
a6
(+1p).
Jos ratkaisusta k¨
ay ilmi, ett¨
a vinot askeleet voidaan yhdist¨
a¨
a yhdeksi tapauksekPinta-alan m¨a¨aritt¨
aminen ja toteaminen vakioksi (+1p); Muodosta A = 12 (1 +
si, jonka todenn¨ak¨
oisyys on 1−p = 0, 4 ja pituus 30cm, annetaan 1p; ratkaisussa
x0 y0 )2 (vertaa A = 2) ei anneta pistett¨
a. Riippumattomuuden tarkasteluksi
voidaan siis tarkastellaan siis kahta ei kolmea askelvaihtoehtoa.
riitt¨a¨a, ett¨a alaksi on saatu vakio, eik¨
a sit¨
a erikseen tarvitse todeta.
Teht¨av¨an kannalta keskeist¨
a on, ett¨
a alkeistapaukset jaetaan kesken¨
a¨
an
b) Lausekkeesta s(a) ei hyvityst¨
a, derivointi +1p, minimikohdan perustelu +1p.
pistevieraisiin ryhmiin, jolloin todenn¨
ak¨
oisyys on summa osajoukkojen toHuomaa: Jos piste P = (a, 1/a) on minikohta, symmetriasyist¨a my¨os P = denn¨ak¨oisyyksist¨a. Pistevierauden osoittaminen riippumattomuuden peruste(1/a, a) on. T¨ast¨
a ei seuraa, ett¨
a minimi olisi kohdassa (x0 , y0 ) = (1, 1).
luksi on teht¨av¨an keskeisin osa. Ensimm¨
aisess¨
a kahdessa vastausvaihtoehdossa
a tapauksessa edellytet¨
a¨
an tarkemRatkaisusta, jossa pinta-alaa on tarkasteltu vain yksitt¨aisiss¨a pisteiss¨a. ei anne- t¨am¨a osoitetaan konstruktiivisesti, viimeisess¨
paa
analyysi¨
a
.
ta pistett¨a. Teh¨av¨
ass¨
a pit¨
a¨
a nimen omaan osoittaa pinta-alan riippumattomuus
pisteest¨a.
Mallivastauksen ensimm¨
ainen ratkaisumalli: Jos p¨
a¨
adyt¨
a¨
an mallivastauksen askelkombinaatioihin ja ratkaisusta k¨
ay ilmi ett¨
a askeltyypit ovat alternoivia
(esiintyy binomikerroin): annetaan +2p. Erityisesti tapauksesta, jossa on tulkittu otettavaksi vaikkapa ensin suorat ja sen j¨
alkeen vinot askeleet, ei anneta
pisteit¨
a
.
Lausekkeesta
q
,
q
tai
q
,
+1p,
kaikista
2p. Vastauksen yhdist¨
aminen
9 10
11
P
q = . . . antaa +1p.
Teht¨
av¨
a5
Alakohtien arvostelu (5+1p)
(a) F lauseke (tai F 0 lauseke) 1p. F 0 (t) = 0 ratkaisussa saavutettaessa muoto
Muut ratkaisutavat arvostellaan soveltaen samoja periaatteita. Erityisesti tasin(t + c) = sin(t) ansaitaan +1p.
pauksissa jossa ei p¨
a¨
adytty oikeaan vastaukseen, osajoukot ei ole kesken¨
a¨
an
Yksik¨asitteinen t0 :n ratkaisu jossa k¨
asitelty jaksollisuus ja kummatkin haarat riippumattomia, tarkastellaan binomitoden¨
ak¨
oisyyksi¨
a, jossa askelsarjat alter+2p. Jos k¨asittely puutteellista, mutta t0 arvo oikein, l¨aht¨okohtaisesti vain +1p. novat, ja askelsarjat johtavat tien yli, hyvitet¨
a¨
an +1p todenn¨
ak¨
oisyyden muo
m+n n
m , n, m > 0.
dosta
p
(1
−
p)
¨ ariarvon perustelut, esimerkiksi reuna-pisteit¨a tarkastelemalla, +1p.
n
A¨
Samaistamalla integraali ja pinta-ala, voidaan n¨aytt¨a¨a, ett¨a suurin F (t):n arvo
saavutetaan, kun integrointiv¨
alin keskipiste t0 + c/a = π/2, koska integrandi
t 7→ sin(t) on symmetrinen eli f ( π2 + s) = f ( π2 − s) kaikilla |s| < π, ja integrandi
on konveksi. Niinp¨
a intuitiivisesti selv¨
alt¨
a vaikuttava v¨aite “pinta-ala selv¨asti saa
suurimman arvonsa keskell¨
a” on arvokas huomio (1p), muttei itsest¨a¨anselvyys.
Ilman tarkempaa integradin ominaisuuksien analyysi¨a ratkaisutavasta ei voi saada t¨aysi¨a pisteit¨a.
(b) Alakohdasta hyvitet¨
aa
ali todistus on oikein.
¨n mik¨
9