Diplomi-insino¨ orien ¨ ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insino¨ orivalinnan ¨ fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut A1 Kalle ja Anne tekiv¨at fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla j¨aa¨ ll¨a. Anne veti vakiovoimalla vaakasuoraan laatikkoa, johon oli lastattu tiiliskivi¨a. Kalle mittasi laatikon kiihtyvyyden. Kun laatikossa oli kaksi tiiliskive¨a, kiihtyvyys oli a1 = 1,30 m/s2 ja kun laatikossa oli viisi tiiliskive¨a, kiihtyvyys oli a2 = 1,05 m/s2 . Molemmissa tapauksissa Anne veti laatikkoa yht¨a suurella voimalla. Kuinka suuri oli laatikon massa ja Annen k¨aytt¨am¨a voima, kun yhden tiiliskiven massa oli 2,23 kg? (1p) F= A B C D Sarjoittaiset arvot: a1 a2 m (m/s2 ) (m/s2 ) (kg) A 1,30 1,05 2,23 B 1,25 1,05 2,13 C 1,20 1,05 2,07 D 1,35 1,05 2,21 Newtonin toisen lain (1p) mukaan ∑ ~Fi = m~a ja Annen laatikkoa vet¨aess¨aa¨ n k¨aytt¨am¨a voima A B C D N (1p) i Kalle mittasi laatikon kiihtyvyyden kahdessa tapauksessa, kun sen massa oli m1 = M + 2m0 ja m2 = M + 5m0 , miss¨a M on laatikon massa ja m0 yhden tiiliskiven massa. Mittaustulosten ¨ avulla voidaan muodostaa yht¨alopari ( F = m1 a1 = ( M + 2m0 ) a1 F = m2 a2 = ( M + 5m0 ) a2 5a2 − 2a1 m0 + 2m0 a1 − a2 z }| { 3a2 m0 a1 ≈ 36,5 N a1 = a1 − a2 M (kg) 23,6 29,3 39,3 18,8 F (N) 36,5 41,9 52,2 31,3 F G Kuva. (1p) (1p) ¨ Yht¨aloparista voidaan ratkaista laatikon massa (1p) z }| { 5a2 − 2a1 M= m0 ≈ 23,6 kg a1 − a2 (c) DIA-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto A2 ¨ ¨ Kes¨amokin sein¨all¨a on heilurikello. Kello k¨ay oikein, kun huoneen l¨ampotila on +18,0 ◦ C. Kello k¨aynnistet¨aa¨ n 1. tammikuuta klo 12.00. Kuinka suuri on oikean ajan ja kellon ajan erotus vuorokauden kuluttua, 2. tammikuuta, ¨ ¨ kun heilurikello n¨aytt¨aa¨ tasan klo 12.00? Kes¨amokin l¨ampotila pysyy koko ajan vakioarvossa −14,0 ◦ C. Kellon heiluri on messinki¨a ja sit¨a voidaan pit¨aa¨ matemaattisena heilurina. Sarjoittaiset arvot: T0 T1 (◦ C) (◦ C) A +18,0 −14,0 B +18,0 −12,0 C +18,0 −17,0 D +18,0 −21,0 A B C D Kellon k¨aydess¨a oikein yhden heilahduksen jaksonaika on s `0 t0 = 2π (1p) g ¨ miss¨a `0 on kellon heilurin varren pituus. L¨ampotilan laskiessa heilurin varsi lyhenee (1p) pituuteen `1 = `0 (1 − α∆T ) (1p) ¨ ¨ miss¨a l¨ampotilaero ∆T = T0 − T1 . Matalammassa l¨ampotilassa heilurin jaksonaika on s s `1 `0 (1 − α∆T ) t1 = 2π = 2π (1p) g g Vuorokauden pituus on t = 86400 s ja kellon heiluri heilahtaa N0 = t t0 kertaa, kun kellon mittauksen mukaan on kulunut yksi vuorokausi. Koska heilurin jaksonaika on t1 , on aikaa kulunut t0 = N0 t1 = t eli kello on edist¨anyt. (1p) Oikean ajan ja kellon n¨aytt¨am¨an ajan erotus on siis q t1 0 ∆t = t − t = t 1 − = t 1 − (1 − α∆T ) ≈ 29,0 s t0 t1 <t t0 ∆t (s) 29,0 27,2 31,8 35,4 (1p) A3 Valkoinen valo osuu oheisen kuvan mukaisesti dispersiivisesta lasista tehtyyn prismaan, jonka taittava kulma on α = 40,0◦ . Lasin taitekerroin riippuu valon aallonpituudesta siten, ett¨a violetin valon taitekerroin on n1 = 1,535 ja punaisen valon taitekerroin on n2 = 1,522. a) M¨aa¨ rit¨a violetin ja punaisen s¨ateen taitα tumiskulmat lasi–ilma-rajapinnassa. b) Kuinka suuri prisman taittavan kulman on v¨ahint¨aa¨ n oltava, jotta jompi kumpi akohdan s¨ateist¨a kokonaisheijastuu lasi–ilmarajapinnassa? Teht¨av¨an 3 kuva. Sarjoittaiset arvot: α n1 n2 (◦ ) (−) (−) A, B, C, D 40,0 1,535 1,522 a) Kuvan mukaan valons¨ateen tulokulma lasi– ilma-rajapintaan on yht¨asuuri kuin prisman taittava kulma α. Taittumislain tai Snellin lain (++) mukaan nilma sin β i = ni sin α (1p) miss¨a ni on lasin taitekerroin ja β i valon taittumiskulma. Koska ilman taitekerroin nilma ≈ 1,0, saadaan taittumiskulmaksi α α βi α β i = arcsin (ni sin α) Violetin valon tapauksessa β 1 ≈ 80,6 ◦ Kuva s¨ateiden kulusta a-kohdassa. (++) (+) ja punaisen β 2 ≈ 78,0◦ (+) b) Valons¨ateen kokonaisheijastuksen rajakulma saadaan ehdosta ni sin α = nilma sin 90◦ = 1 (+) α α eli α = arcsin 1 ni Koska n1 > n2 (1p), niin pienempi rajakulma on violetin valon tapauksessa, jolloin α ≈ 40,7◦ (1p) α Kuva s¨ateiden kulusta b-kohdassa. (++) a-kohta: A, B, C, D A, B, C, D β1 (◦ ) 80,6 β2 (◦ ) 78,0 b-kohta: A, B, C, D β1 (◦ ) 40,7 A4 ¨ a ilmiot¨ ¨ a valaisemalla valokennon Laboratoriokokeessa tutkittiin valos¨ahkoist¨ ¨ metallielektrodin pintaa valolla, jolloin kennossa kulki s¨ahkovirta. Valokennon elektrodien v¨alille oli kytketty j¨annite, jota s¨aa¨ t¨am¨all¨a virran kulku elektrodien v¨alill¨a voitiin pys¨aytt¨aa¨ . Kokeen tuloksena saatiin oheisen taulukon mukaiset pys¨aytysj¨annitteet eri aallonpituuksille. Aallonpituus (nm) Pys¨aytysj¨annite (V) 410 0,77 430 0,63 450 0,50 470 0,38 Sovittamalla taulukon arvoihin oheisen kuvan mukaisesti Einsteinin mallin ¨ mukainen suora, voidaan elektrodin materiaalin tyofunktio m¨aa¨ ritt¨aa¨ ekstrapoloimalla suoraa pitkin arvoon f = 0. N¨ain saadaan elektrodin metallin ¨ tyofunktioksi W0 = 2,2 eV (1p) eli elektrodi oli tehty kaliumista. (++) 490 0,29 M¨aa¨ rit¨a, mist¨a metallista elektrodi oli tehty. K¨ayt¨a sopivaa graafista esityst¨a. Einsteinin mukaan valokvantin energian ja metallista irronneiden elektronien suurimman liike-energian v¨alill¨a on yhteys Ekmax = h f − W0 . Metalli W0 (eV) Al 4,3 Ca 3,0 Cu 4,7 K 2,3 Pt 6,3 Valon aallonpituuden ja taajuuden v¨alinen yhteys on f = c λ Kuva (2p) (++) miss¨a c on valon nopeus. Toisaalta elektronin suurin liike-energia on yht¨a suuri kuin pys¨aytysj¨annitett¨a vastaan tehty tyo¨ eli Ekmax = eU (++) N¨ain saadaan havaintopisteist¨a taulukko f (1014 Hz) Ekmax (eV) 7,31 0,77 6,97 0,63 (1p) 6,66 0,50 6,38 0,38 6,12 0,29 A5 Sininen laservalo osuu kohtisuoraan tasoon, jossa on rako. Raon leveys on 13,6 µm. Kaukana tason takana olevalle varjostimelle syntyy diffraktiokuvio, jossa kolmannen kertaluvun diffraktiominimi havaitaan kulmassa 6,00◦ . a) Kuinka suuri on laservalon aallonpituus? b) Kuinka suuri on ensimm¨aisen ja toisen sivumaksimin intensiteettien suhde? Sarjoittaiset arvot: a n θ (µm) (-) (◦ ) A 13,6 3 6,00 B 13,6 3 5,40 C 13,6 3 5,80 D 13,6 3 5,60 a) Teoriaosan kaavan (1) mukaan intensiteettiminimeille p¨atee ehto Raon reunoilta tulevien alkeisaaltojen vaihe-erot ovat kaavan (2) mukaisesti φ1 = 2πa sin θ2 = 5π ≈ 15,71 rad (+) λ Intensiteettien suhde saadaan vaihe-erojen avulla kaavasta (5) φ2 = (++) z " a-kohta: λ (m) A 4,74 · 10−7 B 4,27 · 10−7 C 4,58 · 10−7 D 4,42 · 10−7 b) Sivumaksimien suunnat saadaan ehdosta 1 λ a sin θ = ± m + 2 (++) Ensimm¨ainen sivumaksimi saadaan, kun m = 1 (+) : ! 3 2λ θ1 = arcsin ≈ 2,996◦ a ja toinen, kun m = 2 (+) : θ2 = arcsin 5 2λ a ! ≈ 4,997◦ φ1 2 φ2 /2 b-kohta: (1p) }| { z }| { a sin θ λ= ≈ 4,74 · 10−7 m = 474 nm n sin #2 }| { 2  (+) φ φ1 /2 φ2 sin 21 z}|{ I1 25  = = " #2 =  ≈ 2,78 φ φ I2 9 φ1 sin 22 sin 22 miss¨a n on minimin kertaluku. Nyt n = 3 (1p) ja laservalon aallonpituus on siis (1p) (+) ja a sin θ = nλ z 2πa sin θ1 = 3π ≈ 9,425 rad λ A, B, C, D I1 /I2 (-) 2,78 A6 Teht¨av¨an 5 tilannetta muutetaan siten, ett¨a laservalon tulokulma tason normaalin suhteen on α oheisen kuvan mukaisesti. Ensimm¨aisen kertaluvun ¨ varjostimella suunnassa θ1 = diffraktiominimi (n = +1) havaitaan t¨alloin 11,0◦ . a) Yht¨alo¨ (1) m¨aa¨ ritt¨aa¨ ehdon diffraktiominimille, kun valo osuu rakoon tason n¨ahden kohtisuorasti eli kun α = 0◦ . Kirjoita vastaava ehto, kun valon tulokulma α 6= 0◦ . (2p) b) Kuinka suuri on kulma α? (1p) c) Miss¨a kulmissa θ2 havaitaan nyt toisen kertaluvun diffraktiominimit? (3p) Sarjoittaiset arvot: θ1 λ (◦ ) (nm) A 11,0 474 B 10,0 427 C 7,00 458 D 8,00 442 a) S¨ateiden v¨alinen matkaero koostuu nyt kahdesta osasta, matkaerosta ennen varjostinta ja sen j¨alkeen. Matkaero ennen varjostinta on ∆r1 = a sin α (++) a sin α θ α a sin θ Kuva s¨ateiden kulusta a-kohdassa. ∆r2 = a sin θ (++) Diffraktiominimi syntyy, kun kokonaismatkaero ∆r = −∆r1 + ∆r2 on aallonpituuden monikerta: miss¨a b) Kun n = +1 ja θ = θ1 kulmaksi α saadaan λ α = arcsin sin θ1 − ≈ 8,97◦ a b-kohta: α (◦ ) A 8,97 B 8,18 C 5,06 D 6,12 n=2 α θ2 α θ-2 n = -2 Kuva s¨ateiden kulusta c-kohdassa. ja varjostimen j¨alkeen − a sin α + a sin θ = nλ (++), c) Kun s¨ateiden tulokulma α on selvill¨a, voidaan toisen kertaluvun diffraktiominimit ratkaista ylt¨a asettamalla n = +2 ja n = −2 ( 13,0◦ , kun n = 2 (1p) ±2λ θ±2 = arcsin sin α + ≈ a 4,95◦ , kun n = −2 (1p) n = ±1, ±2, ±3, . . . (1p) Kuten kuvasta n¨akyy, toisen kertaluvun minimit eiv¨at siis sijaitse symmetrisesti katkoviivan suhteen. (1 p) c-kohta: θ2 θ −2 (◦ ) (◦ ) A 13,0 A 4,95 B 11,8 B 4,56 C 8,95 C 1,19 D 9,89 D 2,38