1. No category

Physica 9
RATKAISUT
2. painos
1(7)
14. Aaltoliike, heijastuminen ja taittuminen
RATKAISUT: 14. Aaltoliike, heijastuminen ja taittuminen
14.1 a) Aallonpituus on kahden lähimmän samassa vaiheessa olevan
värähtelijän välimatka.
b) Aaltoliikkeen perusyhtälö on v = λ f , jossa λ on aallonpituus, f on
taajuus ja v on aallonnopeus.
c) Taitekerroin määritellään valolle. Taitekerroin kuvaa, millainen valon nopeus on
väliaineessa. Aineen A taitekerroin on nA =
c0
, jossa c0 on valon nopeus tyhjiössä ja cA
cA
valon nopeus aineessa A.
d) Taitesuhde on jokaiselle aineparille ominainen vakio n12 =
v1 λ1
= . Taitesuhde kuvaa,
v2 λ2
kuinka voimakkaasti rajapinta taittaa aaltoja.
e) Kun aaltolähde ja havaitsija liikkuvat toistensa suhteen, havaitsija havaitsee
aaltoliikkeen taajuuden erilaisena kuin aaltolähteen taajuus on. Jos aaltolähde lähestyy
havaitsijaa, taajuus havaitaan suurempana ja, jos aaltolähde etääntyy havaitsijasta, niin
taajuus havaitaan pienempänä.
14.2 Aallon nopeus on v1 = 14,3
m
, tulokulma α1 = 18,9° , taitesuhde n12 = 1, 67 ,
s
taitekulma α 2 = ? ja kysytään nopeutta v2 = ? .
a) Taittumislaista
sin α 2 =
sin α1
= n12 saadaan
sin α 2
sin α1 sin18,9°
=
= 0,19396
n12
1, 67
ja taitekulma α 2 = 11,1841° ≈ 11, 2°.
b) Rajapinnan taitesuhde on n12 =
v1
, josta saadaan aallon nopeus väliaineessa 2
v2
m
14,3
v1
s = 8,5629 m ≈ 8,56 m .
v2 =
=
n12
1, 67
s
s
Vastaus:
a) Taitekulma on 11,2°.
b) Nopeus väliaineessa 2 on 8,56 m/s.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
2(7)
14. Aaltoliike, heijastuminen ja taittuminen
14.3 a) Ääniraudan taajuus on f = 440 Hz , äänen nopeus ilmassa vi = 343
m
s
ja kysytään aallonpituutta λ = ? .
Aaltoliikkeen perusyhtälö v = λ f .
Ratkaistaan aallonpituus
m
343
vi
s = 0, 77955 m ≈ 0, 78 m.
λi = =
f 440 Hz
b) Äänen nopeus alumiinissa on vAl = 5000
m
.
s
Ääniaaltojen taajuuden määrää värähtelijä, joten taajuus alumiinitangossa on
f = 440 Hz.
m
5000
vAl
s = 11,3636 m ≈ 11, 4 m.
Aallonpituus λAl =
=
f
440 Hz
c) Antennin pituus on l = 78 cm ja taajuutta kysytään f = ? .
Antenni ottaa parhaiten vastaan signaalia, jonka aallonpituus on λ = 2l.
Aaltoliikeopin perusyhtälöstä sähkömagneettisille aalloilla on c = λ f .
Ratkaistaan taajuus
c
c
f = = =
λ 2l
m
s
2 ⋅ 0, 78 m
2,998 ⋅108
= 192,1795 ⋅106 Hz ≈ 190 MHz.
Vastaus:
a) Ääniaaltojen aallonpituus ilmassa on 0,78 m.
b) Ääniaaltojen taajuus on 440 Hz ja aallonpituus on 11.4 m alumiinitangossa.
c) Radioaaltojen taajuus on 190 MHz.
14.4 a) Kun luonnon (ns. valkoinen) valo taittuu prismassa, tapahtuu dispersio eli väreihin
hajoaminen. Lasisen prisman taitekerroin riippuu valon aallonpituudesta. Punainen
taittuu vähiten ja violetti taittuu eniten (nviol > npun ).
b) Veden taitekerroin näkyvälle valolle on noin 1,3 ja lasin noin 1,5. Lasi on valolle
optisesti tiheämpää kuin vesi, koska lasin taitekerroin on suurempi. Tällöin valon säde
taittuu vedestä lasiin niin, että lasissa säde taittuu normaaliin päin. Kokonaisheijastusta
ei voi tapahtua. Väite on väärä.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
3(7)
14. Aaltoliike, heijastuminen ja taittuminen
c) Kun valo kulkee vedestä ilmaan, valo taittuu normaalista
poispäin. Ihminen ei tajua valon säteen taittumista, joten kala
vaikuttaa suuremmalta.
d) Veden taitekerroin näkyvälle valolle on noin 1,3, lasin noin 1,5 ja
ilman noin 1,0. Lasi on valolle optisesti tiheämpää kuin ilma ja vesi,
joten kokonaisheijastuminen voi tapahtua, kun valo tulee lasista joko
ilmaan tai lasista veteen.
Katsottaessa akvaarion sisälle, kokonaisheijastuminen tapahtuu
sivuseinän lasin ja ilman rajapinnassa kuvan mukaisesti.
Pinta, josta kokonaisheijastuminen tapahtuu, näyttää hopeoidulta
peilipinnalta. Se heijastaa vedestä sironnutta valoa.
14.5 Tulokulma on α1 = 62, 0°, lasin paksuus h = 3,50 cm, ilman
taitekerroin n1 = 1, 00 ja lasin taitekerroin n2 = 1,51 .
a) Lasketaan taittumislaista
sin α1 n2
=
taitekulma ensimmäisessä
sin α 2 n1
rajapinnassa
sin α 2 =
n1
1, 00
sin α1 =
⋅ sin 62, 0° = 0,58473
n2
1,51
ja α 2 = 35, 78417°.
Kuviosta saadaan
cos α 2 =
h
h
3,50 cm
, josta s =
=
= 4,31446 cm.
s
cos α 2 cos 35, 78417°
Valon säde muuttaa suuntaa kulman Δα verran
Δα = α1 − α 2 = 62, 0° − 35, 78417° = 26, 21583°
ja lasersäde poikkeaa lasissa matkan
d = s ⋅ sin Δα = 4,31446 cm ⋅ sin 26, 21583° = 1,90593 cm ≈ 1,9 cm.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
4(7)
14. Aaltoliike, heijastuminen ja taittuminen
b) Aineen taitekerroin riippuu valon aallonpituudesta (taajuudesta). Kolmion muotoisessa
lasikappaleessa (prismassa) taittuminen tapahtuu kummassakin
rajapinnassa samaan suuntaan, jolloin eri aallonpituuksien kulkusuunnan
muuttuminen vahvistuu. Punainen taittuu vähiten ja violetti eniten.
Tasapaksussa lasilevyssä tapahtuu yhdensuuntaissiirtymä, jolloin
väreihin hajaantumista ei tapahdu.
Vastaus: a) Lasersäde poikkeaa 1,9 cm.
14.6 Näkökulma on α = 58, 0°, katselukorkeus y = 1, 62 m, altaan
syvyys h = 3, 00 m, ilman taitekerroin n1 = 1, 00 ja veden
taitekerroin n2 = 1,33
a) Valon säteiden taittumisen vuoksi lamppu näyttää olevan
todellisuutta kauempana.
b) Kun valo tulee veden ja ilman rajapintaan, se taittuu ilmassa
normaalista poispäin.
Näkökulma on α = 58, 0°, joten valon taitekulma β vedestä
ilmaan saadaan kuvaajasta suorakulmaisen kolmion avulla
β = 90, 0° − α = 90, 0° − 58, 0° = 32, 0°.
Taittumislain nv sin γ = ni sin β mukaan valon säteen tulokulma vedessä saadaan
sin γ =
ni sin β 1, 00 ⋅ sin 32, 0°
=
= 0,39844
nv
1,33
γ = 23, 4804°.
Etäisyys kuvan kolmioiden perusteella
x = y tan β + h tan γ
= 1, 62 m ⋅ tan 32, 0° + 3, 00 m ⋅ tan 23, 4804°
= 2,3155 m ≈ 2,32 m.
Vastaus: b) Lampun etäisyys altaan seinämästä on 2,14 m.
14.7 a) Polarisoitunutta valoa havaitaan muun muassa:
– polarisoivien aurinkolasien läpi tuleva valo
– nestekidenäyttöjen lähettämä valo
– taivaan sininen valo
– eristeaineen pinnasta heijastunut valo (täydellinen polarisaatio, jos heijastuneen ja
taittuneen säteen välinen kulma on 90˚)
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
5(7)
14. Aaltoliike, heijastuminen ja taittuminen
b) Lasi on eriste, joten sen pinnasta heijastuneet säteet ovat ainakin osittain
polarisoituneita. Tällöin lasiin taittuvat säteet eivät sisällä kaikkia sähkökentän
värähtelytasoja, joten lasin läpäissyt valo on osittain polarisoitunutta.
c) Ilman taitekerroin on ni = 1, 00 ja lasin taitekerroin taulukosta nl = 1,51 .
Brewsterin lain mukaan täydellinen polarisaatio tapahtuu, kun heijastuneen ja taittuneen
säteen välinen kulma on 90˚, jolloin polarisaatiokulma voidaan laskea
tan α p =
n2 1,51
=
,
n1 1, 00
josta täydellisen polarisaation kulma on
α p = 56, 4854° = 56, 49° .
Vastaus: c) Täydellinen polarisaatio tapahtuu, kun tulokulma on 56,49˚.
14.8 a) Mitataan kulmat α1 = 33° ja α 2 = 20°.
Taittumislain perusteella
sin α1 nlasi
=
.
sin α 2 nilma
Saadaan lasin taitekertoimeksi
nlasi = nilma
sin α1
sin 33°
= 1, 00 ⋅
= 1,5924 ≈ 1,59.
sin α 2
sin 20°
b) Taitekerroin määritellään nlasi =
c0
.
clasi
Ratkaistaan valonnopeus lasissa
clasi
c
= 0 =
nlasi
m
s = 1,8828 ⋅108 m ≈ 1,9 ⋅108 m .
1,5924
s
s
2,998 ⋅108
Vastaus:
a) Lasin taitekerroin on 1,59.
b) Valon nopeus lasissa on 1,9 ⋅108
m
.
s
14.9 Valonsäteen tulokulma on α1 = 52,5° , ilman
taitekerroin n2 = 1, 00, veden taitekerroin n2 = 1,33 ja lasin
taitekerroin n3 = 1, 61 .
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
a) Lasketaan taitekulma α 2 taittumislaista
sin α 2 =
6(7)
14. Aaltoliike, heijastuminen ja taittuminen
sin α1 n2
= , josta
sin α 2 n1
n1
1, 00
sin α1 =
⋅ sin 52,5° = 0,59651 ja α 2 = 36, 6201°.
n2
1,33
Merkitään, että tulokulma peiliin on β1 .
Säteiden muodostaman suorakulmaisen kolmion perusteella saadaan peilin
kaltevuuskulmaksi
(90 − β1 + Θ) + α 2 + 90° = 180° , josta Θ = β1 − α 2 .
Lasinlevyn pannassa tapahtuu heijastuneen säteen täydellinen polarisaatio, joten
Brewsterin laista saadaan tulokulma β1
tan β1 =
n3 1, 61
=
= 1, 21053
n2 1,33
ja β1 = 50, 4403° .
Siten peilin kaltevuuskulma on
Θ = β1 − α 2
= 50, 4403° − 36, 6201°
= 13,8202° ≈ 13,8°.
b) Vesi-ilma –rajapinnassa tapahtuu kokonaisheijastuminen, jos tulokulma on riittävän
suuri. Lasketaan kokonaisheijastuksen rajakulma taittumislain perusteella
sin α r
n 1, 00
= 1 =
= 0, 75188 ,
sin 90° n2 1,33
josta rajakulma α r = 48, 7535°.
Säteiden muodostaman kolmion perusteella
180° − (90° − 36, 6201°) − 2 ⋅ 50, 4403° = 25, 7395° ,
josta vesi-ilma –rajapinnan tulokulma kuvan tilanteessa on
γ = 90° − 25, 7395° = 64, 2605°.
Koska tulokulma γ > α r , niin kokonaisheijastuminen tapahtuu ja heijastunutta valoa ei
havaita veden pinnan yläpuolella.
Vastaus:
a) Lasilevy muodostaa kulman 13,8° vaakatason kanssa.
b) Tapahtuu kokonaisheijastuminen, valoa ei havaita veden pinnan yläpuolella.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
2. painos
7(7)
14. Aaltoliike, heijastuminen ja taittuminen
14.10 Kuidun ydinosan taitekerroin on nkuitu = 1,530 ja kuoren
nkuori = 1,520.
Kuidun ydinosan halkaisija on 70,0 µm ja pituus l = 1,0 km.
Valonnopeus tyhjiössä on c0 ja kuidussa ckuitu =
c0
.
nkuitu
Nopeimmin etenevä säde kulkee kuidussa suoraan matkan l = 1, 0 km , joten pienin
aika on tmin =
ln
l
l
=
= kuitu .
c0
ckuitu
c0
nkuitu
Hitaimmin etenevä säde kulkee kuidussa niin, että se kokonaisheijastuu mahdollisimman
monta kertaa kuidun ytimen ja kuoriosan rajapinnasta. Tällöin säde saapuu kuituun
kokonaisheijastuksen rajakulmassa
nkuitu sin α1 = nkuori sin 90°
sin α1 =
nkuori
.
nkuitu
Kuvan mukaan sin α1 =
x=
l
x
ln
l
l
=
= kuitu .
nkuori
sin α1 nkuori
nkuitu
Nyt hitaimmin edenneen valonsäteen kulkuaika on
tmax =
xn
x
x
=
= kuitu
c0
ckuitu
c0
nkuitu
lnkuitu
nkuitu
nkuori
ln 2
=
= kuitu .
c0
c0 nkuori
Aikaero hitaimmin edenneen ja nopeimmin edenneen säteen välillä on
Δt = tmax − tmin =
Δt = tmax − tmin =
b)
2
lnkuitu
ln
ln
n
− kuitu = kuitu ( kuitu − 1)
c0 nkuori
c0
c0 nkuori
m
⋅1,530
1,530
s
⋅(
− 1) = 3,3575 ⋅10−8 s = 0, 034 μs.
m
1,520
8
2,998 ⋅10
s
1, 0 ⋅103
Jotta pulssit voidaan erottaa, niiden välin pitää olla vähintään 2 ⋅ Δt , joten suurin
mahdollinen käytettävissä oleva taajuus on tämän ajan käänteisarvo
f max =
1
1
=
= 14,892 ⋅106 Hz = 15 MHz.
2Δt 2 ⋅ 3,3575 ⋅10−8 s
Vastaus:
a) Hitaimmin ja nopeimmin edenneen säteen välinen aikaero kuidussa on 0, 034 μs.
b) Suurin taajuus on 15 MHz.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät