1. No category

Nelj¨
annen viikon luennot
Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion
raja–arvo
LaMa 1U syksyll¨a 2011
Perustuu Trench’in verkkokirjan lukuun 2.1.
Esko Turunen
[email protected]
Funktion y = f (x) on intuitiivisesti ajatellen jatkuva (jollain
reaalilukuv¨alill¨a) jos sen kuvaaja on katkeamaton k¨ayr¨a.
Tarkoituksena on esitt¨
a¨
a t¨
am¨
a asia puhtaan aksiomaattisesti.
Asetamme ensin seuraavan
Funktion y = f (x) on intuitiivisesti ajatellen jatkuva (jollain
reaalilukuv¨alill¨a) jos sen kuvaaja on katkeamaton k¨ayr¨a.
Tarkoituksena on esitt¨
a¨
a t¨
am¨
a asia puhtaan aksiomaattisesti.
Asetamme ensin seuraavan
M¨a¨aritelm¨a (Funktion raja–arvo)
Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan m¨a¨aritelty
jossain pisteen x0 ymp¨arist¨
o ss¨a (mutta ei v¨altt¨am¨att¨a pisteess¨a
x0 ). Funktion raja–arvo pisteess¨a x0 on L ∈ R, jota merkit¨a¨an
limx→x0 f (x) = L, jos
∀ > 0 ∃δ > 0 siten, ett¨a |f (x) − L| < , kun 0 < |x − x0 | < δ.
Funktion y = f (x) on intuitiivisesti ajatellen jatkuva (jollain
reaalilukuv¨alill¨a) jos sen kuvaaja on katkeamaton k¨ayr¨a.
Tarkoituksena on esitt¨
a¨
a t¨
am¨
a asia puhtaan aksiomaattisesti.
Asetamme ensin seuraavan
M¨a¨aritelm¨a (Funktion raja–arvo)
Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan m¨a¨aritelty
jossain pisteen x0 ymp¨arist¨
o ss¨a (mutta ei v¨altt¨am¨att¨a pisteess¨a
x0 ). Funktion raja–arvo pisteess¨a x0 on L ∈ R, jota merkit¨a¨an
limx→x0 f (x) = L, jos
∀ > 0 ∃δ > 0 siten, ett¨a |f (x) − L| < , kun 0 < |x − x0 | < δ.
Funktion raja-arvon l¨
oyt¨
aminen on helpompaa kuin asian
todistaminen δ–tekniikalla.
Esimerkki. [Yksityiskohdat liitutaululla]
Todistetaan, ett¨a limx→1 f (x) = 4 kun f (x) = x 2 + 2x + 1.
Teoreema (Raja–arvon yksik¨asitteisyys)
Jos funktiolla f (x) on raja–arvo pisteess¨a x0 , niin se on yksik¨asitteinen.
Todistus Tehd¨a¨an vasta–oletus: raja–arvoja on kaksi kappaletta
eli limx→x0 f (x) = L ja limx→x0 f (x) = K .
Teoreema (Raja–arvon yksik¨asitteisyys)
Jos funktiolla f (x) on raja–arvo pisteess¨a x0 , niin se on yksik¨asitteinen.
Todistus Tehd¨a¨an vasta–oletus: raja–arvoja on kaksi kappaletta
eli limx→x0 f (x) = L ja limx→x0 f (x) = K . Raja–arvon m¨a¨aritelm¨an nojalla jokaista positiivista lukua kohti on olemassa
positiiviset luvut δ1 ja δ2 siten, ett¨
a
|f (x) − L| < ja |f (x) − K | < kun 0 < |x − x0 | < min{δ1 , δ2 }.
Teoreema (Raja–arvon yksik¨asitteisyys)
Jos funktiolla f (x) on raja–arvo pisteess¨a x0 , niin se on yksik¨asitteinen.
Todistus Tehd¨a¨an vasta–oletus: raja–arvoja on kaksi kappaletta
eli limx→x0 f (x) = L ja limx→x0 f (x) = K . Raja–arvon m¨a¨aritelm¨an nojalla jokaista positiivista lukua kohti on olemassa
positiiviset luvut δ1 ja δ2 siten, ett¨
a
|f (x) − L| < ja |f (x) − K | < kun 0 < |x − x0 | < min{δ1 , δ2 }.
Siten
|K − L| = |K − f (x) + f (x) − L|
Teoreema (Raja–arvon yksik¨asitteisyys)
Jos funktiolla f (x) on raja–arvo pisteess¨a x0 , niin se on yksik¨asitteinen.
Todistus Tehd¨a¨an vasta–oletus: raja–arvoja on kaksi kappaletta
eli limx→x0 f (x) = L ja limx→x0 f (x) = K . Raja–arvon m¨a¨aritelm¨an nojalla jokaista positiivista lukua kohti on olemassa
positiiviset luvut δ1 ja δ2 siten, ett¨
a
|f (x) − L| < ja |f (x) − K | < kun 0 < |x − x0 | < min{δ1 , δ2 }.
Siten
|K − L| = |K − f (x) + f (x) − L| ≤ |K − f (x)| + |f (x) − L| =
Teoreema (Raja–arvon yksik¨asitteisyys)
Jos funktiolla f (x) on raja–arvo pisteess¨a x0 , niin se on yksik¨asitteinen.
Todistus Tehd¨a¨an vasta–oletus: raja–arvoja on kaksi kappaletta
eli limx→x0 f (x) = L ja limx→x0 f (x) = K . Raja–arvon m¨a¨aritelm¨an nojalla jokaista positiivista lukua kohti on olemassa
positiiviset luvut δ1 ja δ2 siten, ett¨
a
|f (x) − L| < ja |f (x) − K | < kun 0 < |x − x0 | < min{δ1 , δ2 }.
Siten
|K − L| = |K − f (x) + f (x) − L| ≤ |K − f (x)| + |f (x) − L| =
|f (x) − K | + |f (x) − L| < 2.
Teoreema (Raja–arvon yksik¨asitteisyys)
Jos funktiolla f (x) on raja–arvo pisteess¨a x0 , niin se on yksik¨asitteinen.
Todistus Tehd¨a¨an vasta–oletus: raja–arvoja on kaksi kappaletta
eli limx→x0 f (x) = L ja limx→x0 f (x) = K . Raja–arvon m¨a¨aritelm¨an nojalla jokaista positiivista lukua kohti on olemassa
positiiviset luvut δ1 ja δ2 siten, ett¨
a
|f (x) − L| < ja |f (x) − K | < kun 0 < |x − x0 | < min{δ1 , δ2 }.
Siten
|K − L| = |K − f (x) + f (x) − L| ≤ |K − f (x)| + |f (x) − L| =
|f (x) − K | + |f (x) − L| < 2.
Koska saa olla kuinka pieni positiivinen luku tahansa,
merkitsee t¨am¨a, ett¨a pit¨
a¨
a olla K = L. M.O.T.
Teoreema (Raja–arvon laskus¨a¨ant¨oj¨a)
Jos limx→x0 f (x) = L ja limx→x0 g (x) = K , niin
I
limx→x0 (f + g )(x) = L + K ,
I
limx→x0 (f − g )(x) = L − K ,
I
limx→x0 (fg )(x) = LK ,
I
limx→x0 gf (x) =
L
K
kun K 6= 0.
Todistus Todistetaan malliksi kaava limx→x0 (f + g )(x) = L + K
liitutaululla. Loput harjoitusteht¨
av¨
an¨
a.
Teoreema (Raja–arvon laskus¨a¨ant¨oj¨a)
Jos limx→x0 f (x) = L ja limx→x0 g (x) = K , niin
I
limx→x0 (f + g )(x) = L + K ,
I
limx→x0 (f − g )(x) = L − K ,
I
limx→x0 (fg )(x) = LK ,
I
limx→x0 gf (x) =
L
K
kun K 6= 0.
Todistus Todistetaan malliksi kaava limx→x0 (f + g )(x) = L + K
liitutaululla. Loput harjoitusteht¨
av¨
an¨
a.
Voidaan helposti todistaa, ett¨
a vakiofunktiolle f (x) = c on
limx→x0 f (x) = c ja funktiolle f (x) = x on limx→x0 f (x) = x0 , ja
edelleen t¨am¨an nojalla limx→x0 x n = x0n . Lasketaan t¨am¨an
perusteella liitutaululla
limx→2
9−x 2
x+1 .
√
Funktiota f (x) = 2x sin x ei ole m¨
a¨
aritelty miss¨a¨an pisteen
x = 0 ymp¨arist¨oss¨a [−a, a], a > 0, joten raja–arvoa limx→o (f )(x)
ei voi olla olemassa.
√
Funktiota f (x) = 2x sin x ei ole m¨
a¨
aritelty miss¨a¨an pisteen
x = 0 ymp¨arist¨oss¨a [−a, a], a > 0, joten raja–arvoa limx→o (f )(x)
ei voi olla olemassa.
Kuitenkin p¨atee, ett¨
a kiinnitt¨
am¨
all¨
a positiivinen , kun
p
√
0 < x − 0 < δ = 2 , on f (x) = 2x sin x − 0 < 2 2 sin 2 < (mutta ei p¨ade 0 < |x − 0| < δ · · · .) T¨
am¨
a johtaa seuraavaan
√
Funktiota f (x) = 2x sin x ei ole m¨
a¨
aritelty miss¨a¨an pisteen
x = 0 ymp¨arist¨oss¨a [−a, a], a > 0, joten raja–arvoa limx→o (f )(x)
ei voi olla olemassa.
Kuitenkin p¨atee, ett¨
a kiinnitt¨
am¨
all¨
a positiivinen , kun
p
√
0 < x − 0 < δ = 2 , on f (x) = 2x sin x − 0 < 2 2 sin 2 < (mutta ei p¨ade 0 < |x − 0| < δ · · · .) T¨
am¨
a johtaa seuraavaan
M¨a¨aritelm¨a (Funktion oikeanpuoleinen raja–arvo)
Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan m¨a¨aritelty
avoimella v¨alill¨a (x0 , a) (mutta ei v¨altt¨am¨att¨a pisteess¨a x0 ).
Funktion oikeanpuoleinen raja–arvo pisteess¨a x0 on L ∈ R, jota
merkit¨a¨an limx→x + f (x) = L, jos
0
∀ > 0 ∃δ > 0 siten, ett¨a |f (x) − L| < , kun x0 < x < x0 + δ.
Samoin asetetaan vasemmanpuoleisen raja–arvon m¨a¨aritelm¨a
M¨a¨aritelm¨a (Funktion vasemmanpuoleinen raja–arvo)
Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan m¨a¨aritelty
avoimella v¨alill¨a (a, x0 ) (mutta ei v¨altt¨am¨att¨a pisteess¨a x0 ).
Funktion vasemmanpuoleinen raja–arvo pisteess¨a x0 on L ∈ R, jota
merkit¨a¨an limx→x − f (x) = L, jos
0
∀ > 0 ∃δ > 0 siten, ett¨a |f (x) − L| < , kun x0 − δ < x < x0 .
M¨a¨aritelm¨a (Funktion vasemmanpuoleinen raja–arvo)
Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan m¨a¨aritelty
avoimella v¨alill¨a (a, x0 ) (mutta ei v¨altt¨am¨att¨a pisteess¨a x0 ).
Funktion vasemmanpuoleinen raja–arvo pisteess¨a x0 on L ∈ R, jota
merkit¨a¨an limx→x − f (x) = L, jos
0
∀ > 0 ∃δ > 0 siten, ett¨a |f (x) − L| < , kun x0 − δ < x < x0 .
Oikean- ja vasemmanpuoleisille raja–arvoille on voimassa samat
x
laskus¨a¨ann¨ot kuin raja–arvoillekin. Esimerkiksi kun f (x) = |x|
,
jota ei ole m¨a¨aritelty kun x = 0, on
limx→x − f (x) = −1 ja limx→x + f (x) = 1, sill¨
a
0
0
−1 kun x < 0
f (x) =
1
kun x > 0
Funktiolla voi olla jossain pisteess¨
a vain oikean– tai vasemmanpuoleinen raja–arvo, mutta ei molempia (eik¨
a siis my¨osk¨a¨an
raja–arvoa), kuten seuraava liitutaululla laskettava esimerkki
osoittaa. T¨ass¨a(kin) esimerkiss¨
a tulee esille funktion raja–arvon
m¨a¨aritelm¨an intuitiivinen idea: mit¨
a l¨
ahemp¨
an¨a x on pistett¨a
x0 , sit¨a l¨ahemp¨an¨a funktion arvo f (x) on arvoa L.
Esimerkki.
M¨a¨aritell¨a¨an f (x) =
x+|x|(1+x)
x
sin x1 , kun x 6= 0.
Silloin limx→x − f (x) = 0, mutta raja–arvoa limx→x + f (x) ei ole
0
0
olemassa.
Funktiolla voi olla jossain pisteess¨
a vain oikean– tai vasemmanpuoleinen raja–arvo, mutta ei molempia (eik¨
a siis my¨osk¨a¨an
raja–arvoa), kuten seuraava liitutaululla laskettava esimerkki
osoittaa. T¨ass¨a(kin) esimerkiss¨
a tulee esille funktion raja–arvon
m¨a¨aritelm¨an intuitiivinen idea: mit¨
a l¨
ahemp¨
an¨a x on pistett¨a
x0 , sit¨a l¨ahemp¨an¨a funktion arvo f (x) on arvoa L.
Esimerkki.
M¨a¨aritell¨a¨an f (x) =
x+|x|(1+x)
x
sin x1 , kun x 6= 0.
Silloin limx→x − f (x) = 0, mutta raja–arvoa limx→x + f (x) ei ole
0
0
olemassa.
Seuraavan sivun Maplella tehty kuvaaja selvent¨
a¨a funktion sin x1
k¨aytt¨aytymist¨a nollan l¨
aheisyydess¨
a.
Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja–arvoja kutsutaan yhteisesti
toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkit¨
a¨
an joskus
limx→x − f (x) = f (x0− ) ja limx→x + f (x) = f (x0+ ).
0
0
Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja–arvoja kutsutaan yhteisesti
toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkit¨
a¨
an joskus
limx→x − f (x) = f (x0− ) ja limx→x + f (x) = f (x0+ ).
0
0
Voidaan todistaa seuraava tulos
Teoreema
Funktiolla f (x) on raja–arvo limx→x0 f (x) = L t¨asm¨alleen silloin,
kun f (x0− ) = f (x0+ ) = L.
Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja–arvoja kutsutaan yhteisesti
toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkit¨
a¨
an joskus
limx→x − f (x) = f (x0− ) ja limx→x + f (x) = f (x0+ ).
0
0
Voidaan todistaa seuraava tulos
Teoreema
Funktiolla f (x) on raja–arvo limx→x0 f (x) = L t¨asm¨alleen silloin,
kun f (x0− ) = f (x0+ ) = L.
Laajennetaan raja–arvon k¨
asitett¨
a tilanteisiin x → ±∞.
Tutustutaan kuitenkin ensin k¨
asitteeseen ¨
a¨
aret¨on.
Vasemman- ja oikeanpuoleisia raja–arvoja kutsutaan yhteisesti
toispuoleisiksi rajarvoiksi ja merkit¨
a¨
an joskus
limx→x − f (x) = f (x0− ) ja limx→x + f (x) = f (x0+ ).
0
0
Voidaan todistaa seuraava tulos
Teoreema
Funktiolla f (x) on raja–arvo limx→x0 f (x) = L t¨asm¨alleen silloin,
kun f (x0− ) = f (x0+ ) = L.
Laajennetaan raja–arvon k¨
asitett¨
a tilanteisiin x → ±∞.
Tutustutaan kuitenkin ensin k¨
asitteeseen ¨
a¨
aret¨on.
M¨a¨aritelm¨a (limx→∞ f (x))
Funktio f (x), joka on m¨a¨aritelty kaikilla reaaliarvoilla > a, a ∈ R
l¨ahestyy rajatta arvoa L ∈ R jos aina, kun > 0, on sellainen arvo
β, ett¨a |f (x) − L| < kun x > β. Merkit¨a¨an limx→∞ f (x) = L.
Kontinuumihypoteesi
Kontinuumihypoteesi on Georg Cantorin esittämä väite, joka koskee äärettömien joukkojen kokoja. Cantor esitteli mahtavuuden käsitteen
vertaillakseen äärettömien joukkojen kokoja ja osoitti, että kokonaislukujen joukon mahtavuus on pienempi kuin reaalilukujen. Kontinuumihypoteesi on
seuraava väite:
Ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin kokonaislukujen joukon, mutta pienempi kuin reaalilukujen joukon.
Matemaattisessa tekstissä kokonaislukujen mahtavuutta merkitään
(luetaan alef-nolla) ja reaalilukujen mahtavuutta merkitään
(reaalilukujen
joukon mahtavuus on siis sama kuin kokonaislukujen joukon potenssijoukon). Nyt voimme esittää kontinuumihypoteesin seuraavassa muodossa:
.
Ei ole olemassa joukkoa S, siten että
Tämä väite on yhtäpitävä väitteen
kanssa.
Todistumattomuus
Georg Cantor uskoi kontinuumihypoteesin pitävän paikkaansa, minkä takia hän yritti todistaa sitä monen vuoden ajan mutta tuloksetta. David Hilbert
otti otaksuman ensimmäiseksi listaansa avoimista ongelmista, jotka hän esitti kansainvälisissä matemaattisessa kongressissa Pariisissa vuonna 1900.
Kurt Gödel osoitti vuonna 1940, että kontinuumihypoteesiä ei voida todistaa vääräksi Zermelon–Frankelin aksiomaattisessa joukko-opissa vaikka mukaan
liitettäisiin valinta-aksiooma. Paul Cohen osoitti vuonna 1963 että kontinuumihypoteesiä ei myöskään voida todistaa oikeaksi Zermelon–Fraenkelin
joukko-opissa. Siten kontinuumihypoteesi on riippumaton valinta-aksioomalla laajennetusta Zermelon–Fraenkelin joukko-opista. Molemmat tulokset
olettavat Zermelon–Frankelin aksioomien olevan ristiriidattomia. Aksioomien ristiriidattomuuden uskotaan yleisesti pitävän paikkaansa.
Hypoteesin riippumattomuuden perusteella monien muiden otaksumien on myös osoitettu olevan riippumattomia aksiomisysteemistä.
Lähteet
Gödel, Kurt: 'The Consistency of the Continuum-Hypothesis' Princeton University Press 1940
McGough, Nancy: Continuum Hypothesis
Vastaavalla tavalla m¨
a¨
aritell¨
a¨
an raja–arvo limx→−∞ f (x) = L.
Vastaavalla tavalla m¨
a¨
aritell¨
a¨
an raja–arvo limx→−∞ f (x) = L.
Esimerkki. limx→∞ f (x) = 1, kun f (x) = 1 −
1
.
x2
Vastaavalla tavalla m¨
a¨
aritell¨
a¨
an raja–arvo limx→−∞ f (x) = L.
Esimerkki. limx→∞ f (x) = 1, kun f (x) = 1 −
Valitaan > 0.
1
.
x2
Todistus.
Vastaavalla tavalla m¨
a¨
aritell¨
a¨
an raja–arvo limx→−∞ f (x) = L.
Esimerkki. limx→∞ f (x) = 1, kun f (x) = 1 − x12 . Todistus.
Valitaan > 0. Koska |f (x) − 1| = x12 < , kun x > √1 , on v¨aite
tosi.
Vastaavalla tavalla m¨
a¨
aritell¨
a¨
an raja–arvo limx→−∞ f (x) = L.
Esimerkki. limx→∞ f (x) = 1, kun f (x) = 1 − x12 . Todistus.
Valitaan > 0. Koska |f (x) − 1| = x12 < , kun x > √1 , on v¨aite
tosi.
2|x|
Vastaavasti limx→∞ g (x) = 2, kun g (x) = 1+x
, mutta
raja–arvoa limx→∞ sin(x) ei ole olemassa (¨
a¨
arett¨om¨an¨ak¨a¨an).
Vastaavalla tavalla m¨
a¨
aritell¨
a¨
an raja–arvo limx→−∞ f (x) = L.
Esimerkki. limx→∞ f (x) = 1, kun f (x) = 1 − x12 . Todistus.
Valitaan > 0. Koska |f (x) − 1| = x12 < , kun x > √1 , on v¨aite
tosi.
2|x|
Vastaavasti limx→∞ g (x) = 2, kun g (x) = 1+x
, mutta
raja–arvoa limx→∞ sin(x) ei ole olemassa (¨
a¨
arett¨om¨an¨ak¨a¨an).
Laajennetaan viel¨a raja–arvon k¨
asitett¨
a.
M¨a¨aritelm¨a (limx→x0− f (x) = ±∞)
Tarkastellaan funktiota y = f (x), joka oletetaan olevan m¨a¨aritelty
avoimella v¨alill¨a (a, x0 ) (mutta ei v¨altt¨am¨att¨a pisteess¨a x0 ).
Funktion vasemmanpuoleinen raja–arvo pisteess¨a x0 on ∞, jota
merkit¨a¨an limx→x − f (x) = ∞, jos
0
∀M > 0 ∃δ > 0 siten, ett¨a f (x) > M, kun x0 − δ < x < x0 .
Emme esit¨a t¨ass¨a kaikkia mahdollisia raja–arvojen m¨a¨aritelmi¨a,
mutta katsotaan niit¨a liitutaululla laskettavien esimerkkien
avulla.
Emme esit¨a t¨ass¨a kaikkia mahdollisia raja–arvojen m¨a¨aritelmi¨a,
mutta katsotaan niit¨a liitutaululla laskettavien esimerkkien
avulla.
(a) limx→0+ x1 = ∞, (b) limx→0− x12 = ∞,
(c) limx→∞ sinh(x) = ∞, (d) limx→∞ e 2x − e x = ∞,
2x 2 −x+1
2
(e) limx→∞ 3x
2 −2x−1 = 3 .
Emme esit¨a t¨ass¨a kaikkia mahdollisia raja–arvojen m¨a¨aritelmi¨a,
mutta katsotaan niit¨a liitutaululla laskettavien esimerkkien
avulla.
(a) limx→0+ x1 = ∞, (b) limx→0− x12 = ∞,
(c) limx→∞ sinh(x) = ∞, (d) limx→∞ e 2x − e x = ∞,
2x 2 −x+1
2
(e) limx→∞ 3x
2 −2x−1 = 3 .
M¨a¨aritelm¨a
Jollain v¨alill¨a I m¨a¨aritelty funktio f (x) on kasvava v¨alill¨a I , jos
ehdosta x0 < x1 seuraa ehto f (x0 ) ≤ f (x1 ). Jos erityisesti ehdosta
x0 < x1 seuraa ehto f (x0 ) < f (x1 ), sanotaan funktiota f aidosti
kasvavaksi.
Vastaavalla tavalla m¨a¨aritell¨a¨an v¨ahenev¨a ja aidosti v¨ahenev¨a
funktio.
Funktio, joka on koko v¨alill¨a I v¨ahenev¨a tai kasvava (mutta ei
aidosti molempia), on monotoninen funktio.
Monotonisten funktioiden, raja–arvojen ja infimumin ja
supremumin v¨alill¨a on seuraava yhteys, jonka todistus
sivuutetaan:
Teoreema
Jos funktio f (x) on avoimella v¨alill¨a (a, b) kasvava ja
α = infa<x<b f (x) ja β = supa<x<b f (x),
niin f (a+ ) = α ja f (b − ) = β. Jos lis¨aksi a < x0 < b, niin
toispuoleiset raja–arvot f (x0− ) ja f (x0+ ) ovat ¨a¨arellisin¨a olemassa ja
f (x0− ) ≤ f (x0 ) ≤ f (x0+ ).
Vastaavat tulokset p¨atev¨at avoimella v¨alill¨a (a, b) v¨aheneville
funktiolle.
Monotonisten funktioiden, raja–arvojen ja infimumin ja
supremumin v¨alill¨a on seuraava yhteys, jonka todistus
sivuutetaan:
Teoreema
Jos funktio f (x) on avoimella v¨alill¨a (a, b) kasvava ja
α = infa<x<b f (x) ja β = supa<x<b f (x),
niin f (a+ ) = α ja f (b − ) = β. Jos lis¨aksi a < x0 < b, niin
toispuoleiset raja–arvot f (x0− ) ja f (x0+ ) ovat ¨a¨arellisin¨a olemassa ja
f (x0− ) ≤ f (x0 ) ≤ f (x0+ ).
Vastaavat tulokset p¨atev¨at avoimella v¨alill¨a (a, b) v¨aheneville
funktiolle.
Funktion monotonisuuden voi todeta derivaatan avulla.