1. No category

MAA4 22.5.2013
Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko!
Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla!
1
Jussi Tyni
Ratkaise:
a) 3x 
x  2y  3
2 x  6 y  6

1
 2 x
5
b) 
c) Missä kulmassa suora y  4 x  3 leikkaa x-akselin?
6p
2
a) Määritä ympyrän x2  y 2  10 x  8 y  36  0 keskipiste ja säde. Laske kuinka kaukana ympyrä on
origosta!
b) Suora kulkee pisteen (-5,4) kautta ja yhdensuuntainen suoran 3x  2 y  4  0 kanssa. Määritä
suoran yhtälö.
6p
3
a) Kumpi pisteistä A(1, –10) vai B(–2, 5) on lähempänä suoraa y 
b) Laske yhdensuuntaisten suorien y  
4
3
x2?
5
3
3
x  2 ja y   x  5 välinen etäisyys.
4
4
Kolmion ABC kärkipisteet ovat A(-300,-150), B(150,-300) ja C(300,300).
a) Ratkaise kolmion korkeusjanan yhtälö, joka kulkee pisteestä C kohtisuoraan janalle AB.
b) Kuinka korkea korkeusjana on?
c) Mikä on kolmion pinta-ala?
6p
6p
5
a) Ratkaise ympyrälle x2  y 2  5x  2 y  60  0 piirrettyjen tangenttien yhtälöt, jos tangentit
kulkevat pisteen (15,18) kautta.
b) Ympyrän halkaisijana on jana AB, missä A= (–3, 1) ja B=(3, 5). Määritä ympyrän yhtälö
yleisessä muodossa x2  y 2  ax  by  c  0 .
6p
6
a) Määritä ympyröiden x + y – 6 x + 2 y – 3 = 0 ja x + y + 2 x – 6 y – 27 = 0 leikkauspisteet.
b) Määritä sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (–1, –1) ja joka sivuaa suoraa
2
2
2
2
2x – 3y + 12 = 0.
7
4 x  y  z  17

2 x  3 y  z  13
Ratkaise
2 x  y  z  5

8
6p
6p
Oviaukko on paraabelin muotoinen. Se on 2m leveä ja 2m korkea. Voiko ovesta työntää kallistamatta
läpi kaappia, joka on suorakulmaisen särmiön muotoinen. Kaappi on rullilla, joiden halkaisija on 10 cm
ja kaapin mitat ovat 114 cm x 124 cm x 300 cm?
6p
Ota tama paperi matkaasi kun poistut kokeesta ja kirjaa siihen vastauksesi lyhyesti.
Oikeat vastaukset näet kokeen jälkeen: http://jussityni.wordpress.com/
Ratkaisut:
1
 2 x määritelty kun 2 x  0  x  0
5
1
1
3x   2 x tai 3x   (2 x)
5
5
1
1
3x  2 x  tai 3x  2 x 
5
5
1
1
1
1
5 x  tai x   x1 
tai x2 
5
5
25
5
1. a) 3x 
Nyt kumpikaan ratkaisuista x1 tai x2 ei toteuta määrittelyjoukon ehtoa, että x:n pitäisi olla
negatiivinen, joten itseisarvoyhtälöllä ei ole ratkaisua.
 x  2 y  3 *2
2 x  4 y  6


b) 
lasketaan alekkain yhteen. =>
2 x  6 y  6
2 x  3 y  6
12
7 y  12, y  . Sijoitetaan jompaankumpaan yht. => x= -3/7
7
c) Suoran kulmakerroin k=-4, ts. k 
tan  
4
tan 1    76
1
y 4
, joten

x 1
Kulman suuruus on siis n. 76 astetta.
2. a)
x 2  y 2  10 x  8 y  36  0
x  10 x  25  y 2  8 y  16  36  25  16
( x  5)2  ( y  4) 2  5
kp: (-5,4) ja r  5 . Nyt d=keskipisteen etäisyys origosta on:
d  (5  0)2  (4  0)2  (5)2  42  25  16  41
Täten s=ympyrän (reunan) etäisyys origosta on:
s  41  5  4,17
b) Suora 3x  2 y  4  0 . Kirjoitetaan normaaliin muotoon:
2 y  3x  4 : (2)
y
3
x2
2
Hakemamme suora on tämän kanssa yhdensuuntainen, joten niillä on sama kulmakerroin, k = 3/2.
y  y0  k ( x  x0 )
Nyt:
3
3
23
y  4  ( x  (5))  y  x 
2
2
2
3. a) Kirjoitetaan suoran yhtälö ensin muotoon 3x  5 y  10  0 .
dA 
3  50  10
9  25

43
34
, dB 
 6  25  10
9  25

 41
34

41
34
. Nähdään, että d B  d A .
Vastaus: piste B
3
x  2 , koska se leikkaa y-akselin korkeudella 2. Lasketaan siis pisteen
4
3
3
x  y  5  0 . Nyt
(0,2) etäisyys suorasta y   x  5 . Täytyy muuttaa yleiseen muotoon:
4
4
3
 0  1 2  5
3
3
4 12
4
d


 3 
2
5 5
25  5 
3
2
 
  1
16  4 
4
b) Piste (0,2) on suoralla y  
Etäisyys on siis 12/5
1
3
64
. Korkeusjana pisteestä C
3
1
tälle janalle AB on äskeisen suoran normaali, eli sen kulmakerroin k 2 lasketaan:  k 2  1, k 2  3 .
3
4. Ratkaisu: a) Pisteiden AB kautta kulkevan suoran yhtälö on y   x 
Lisäksi normaali kulkee pisteen C kautta, joten normaalin yhtälö saadaan:
y  19  3( x  17)  y  3x  32
1
64
. Nyt
3
3
 1 17  3  19  64
1
64
10
y  x
  x  3 y  64  0 , joten d 

 10 .
3
3
10
(1) 2  (3) 2
b) Käytännössä lasketaan pisteen C etäisyys suorasta y   x 
c) Kolmion pinta-ala on (kanta*korkeus)/2. Ajatellaan nyt b-kohdan d korkeutena ja janan AB pituus
2
2
kantana. Lasketaan pisteiden A ja B välinen etäisyys, olkoon se s. s  (19  16)  (15  16)  10 .
Nyt A  ( 10 * 10 ) / 2  5 .
5. a)
x 2  y 2  5 x  2 y  60  0
25
25
 y 2  2 y  1  60   1
4
4
5 2
269
( x  )  ( y  1) 2 
2
4
5
269
269

Eli keskipiste on ( ,1), r 
2
4
2
x2  5x 
Tangentti kulkee pisteen (15,18) kautta, mutta sen kulmakerrointa ei tiedetä. Muodostetaan kuitenkin
tangentin yhtälö väkisin:
y  y0  k ( x  x0 )
y  18  k ( x  15)
kx  y  18  15k  0
5
2
Tämän suoran etäisyys ympyrän keskipisteestä ( ,1) pitää olla säteen verran, joten:
269

2
5
k   11  18  15k
2
2
5
2
  1
2

269

2

25
k  17
2
29
4
 
2
2
 25

 k  17 
2

269  2
29
269 29  25




 
    k  17 
29
4
4
4 4  2

4
7801 625 2


k  425k  289 16
16
4
 7801  2500k 2  6800k  4624
 2500k 2  6800k  3177  0
k1  3,1
k2  0, 4
Toisen asteen yhtälön ratkaisuiksi saadaan (valitettavasti) likiarvot 
Ja näiden avulla, sekä jo muodostetulla tangenttien yhtälöllä
kx  y  18  15k  0 saadaan yhtälöt:
3,1x  y  18  15  3,1  0 0, 4 x  y  18  15  (0, 4)  0
ja
3,1x  y  28,5  0
0, 4 x  y  24  0
b) Ratkaisu:
  3  3 1 5 
,
 = (0, 3). Säteen neliö on (0  3) 2  (3  1) 2  13 . Ympyrän
2 
 2
2
2
yhtälö on ( x  0)  ( y  3)  13 eli x 2  y 2  6 y  9  13  0 ja edelleen sievennettynä
x 2  y 2  6 y  4  0 . Tästä käy ilmi, että a  0 , b  6 ja c  4 .
Vastaus: a  0 , b  6 ja c  4
Ympyrän keskipiste on 
6. a) Ratkaisu
2
2
x +y –6x+2y– 3=0
2
2
x + y + 2 x – 6 y – 27 = 0
Vähennetään yhtälöt puolittain
 8 y = 8 x– 24 || : 8 
8 x – 8 y – 24 = 0
y = x– 3
Sijoitetaan toiseen ympyrän yhtälöön y = x– 3 ja ratkaistaan leikkauspisteiden x-koordinaatit
2
2
2
2

x + (x – 3) – 6 x + 2 (x – 3) – 3 = 0
x +x –6x+9–6x+2x–6–3=0
2
2 x – 10 x = 0 || : 2
2
x – 5 x = 0, josta x = 0 tai x = 5
y = x– 3, josta , josta y = – 3 tai y = 2
Vastaus: (0, – 3) ja (5, 2)
b) Ratkaisu:
Kysytyn ympyrän säde on keskipisteen etäisyys ympyrän tangentista eli annetusta suorasta. Se on
 2  3  12
13
 13 . Ympyrän yhtälö on siis ( x  1) 2  ( y  1) 2  13 eli yleisessä muodossa
49
13
x 2  y 2  2 x  2 y  11  0 .
Vastaus: ( x  1) 2  ( y  1) 2  13 eli x 2  y 2  2 x  2 y  11  0
7.

4 x  y  z  17
4 x  y  z  17

4 x  y  z  17


2
x

3
y

z


13



 2 x  3 y  z  13 ja 2 x  y  z  5
2 x  y  z  5

6 x  2 y  12
2 x  4 y  4
Jäljelle jäävistä x:ää ja y:tä sisältävistä yhtälöistä voidaan tehdä yhtälöpari:
2 x  4 y  4 3

6 x  2 y  12 Nyt 10 y  0  y  0 ,
10 y  0
joten koska 2 x  4 y  4 , niin 2 x  4  0  4  2 x  4  x  2
Nyt voidaan laskea myös z, vaikka yhtälöryhmän alimmasta yhtälöstä:
 x  2
2  (2)  0  z  5  4  5   z 
=>  y  0
z  9
 z  9

8.
Muodostetaan paraabelin yhtälö. Sijoitetaan parabelin huippu y-akselille, jolloin se leikkaa y-akselin
korkeudella 2 => paraabelin yhtälön vakiotermi c=2. Nollakohdat tulevat x-akselille symmetrisesti
nollan molemmille puolille pisteisiin (-1,0) ja (1,0). Koska paraabeli on symmetrinen y-akselin
2
2
suhteen, sen yhtälö on muotoa y  ax  c  ax  2 . Ratkaistaan tästä a, esim. pisteen (1,0)
avulla. Koska paraabeli kulkee pisteen (1,0) kautta, tällöin:
0  a 12  2  0  a  2  a  2 . Tällöin paraabelin yhtälö on y  2 x 2  2 .
Kokeillaan työntää laatikkoa ensin lyhin sivu 124 cm = 1,24 m lattiaa kohti. Tällätään laatikko
tismalleen keskeltä oviaukkoa läpi. Tällöin laatikon kulmat menevät x-akselin kohdista -0,62 ja
+0,62. Lasketaan oviaukon korkeus kohdassa x=0,62 paraabelin yhtälöstä:
y  2(0,62)2  2  1, 23m
Laatikon pystysivu on tässä vaihtoehdossa 1,14 m korkea, ja siinä on 10cm=0,1m korkeat rullat alla,
joten laatikon pystysivu olisi 1,24m korkeudella, eli ei tule mahtumaan!
Kokeillaan kääntää laatikko toisinpäin, eli 1,14 m sivu lattiaa vasten: Tällöin laatikon kulmat
menevät x-akselin kohdista 0,57 ja -0,57. Lasketaan oviaukon korkeus kohdassa x=0,57 paraabelin
yhtälöstä:
y  2(0,57)2  2  1,35m
Laatikon pystysivu on tässä vaihtoehdossa 1,24 m korkea, ja siinä on edelleen 0,1 m korkeat rullat
alla, joten laatikon pystysivu olisi 1,34 m korkeudella. Eli näin päin laatikko mahtuu!