1. No category

PRELIMINÄÄRIKOE
Lyhyt Matematiikka 4.2.2015
Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä.
1. a) Sievennä 2 x( x  3)  2( x2  x).
b) Ratkaise yhtälö 5( x  4)  5  ( x  4).
c) Laske erotuksen 32  31 tarkka arvo. Anna tulos murtolukuna.
Ratkaisu
a) 2 x( x  3)  2( x2  x)  2 x2  6 x  2 x2  2 x
 4 x.
b) 5( x  4)  5  ( x  4)  5x  20  5  x  4
 4 x  11
11
3
x 2 .
4
4
1
1
c) 32  31  2 
3 3
1 1 1 3
2
     .
9 3 9 9
9
Vastaus a) 4x
b) x  2
3
4
c) 
1p
+1p
1p
+1p
1p
+1p
2
9
2.
a) Suorakulmaisessa kolmiossa sivujen pituudet ovat 9 cm, 40 cm ja 41 cm.
Laske kolmion pienimmän kulman suuruus asteen tarkkuudella.
b) Suora kulkee pisteiden A  (10, 20) ja B  (30, 4) kautta. Määritä suoran kulmakerroin.
c) Kuinka monella eri tavalla viidestä opiskelijasta voidaan valita kolmen opiskelijan ryhmä?
Ratkaisu
a) Sivu 9 cm on lyhin, joten sen vastainen kulma  on pienin.
9
Täten sin   .
1p
41
+1p
  12,68038349  13 .
b) x  30  (10)  40 ja y  4  (20)  24.
1p
y 24
3
k

 .
+1p
x 40
5
5
c) Käytetään kombinaatioita    10. Laskimen nCr-näppäin.
1p+1p
 3
3
Vastaus a) 13 b) 
c) 10
5
3.
a) Luvun ja luvun neliön summa on 6. Määritä kyseinen luku.
b) Olkoon f ( x)  2 x( x  6). Ratkaise yhtälö f ( x)  3  0.
c) Geometrisen lukujonon toinen termi on 3 ja kolmas termi on 6.
Määritä lukujonon ensimmäinen termi.
Ratkaisu
a) Saatu x  x2  6  x2  x  6  0 ja huomattu, että II-asteen ratkaisukaava
1  1  4 1 (6) 1  5

 x  2 tai x  3.
2 1
5
b) f ( x)  2 x( x  6)  2 x2  12 x  f ( x)  4 x  12.
15
3
Täten yhtälö 4 x  12  3  0  x   3 .
4
4
a
6
c) Jonon suhdeluku q  3   2.
a2 3
a
3
1
a1  2   1 .
q 2
2
3
1
Vastaus a) x  2 tai x  3 b) x  3
c) 1
4
2
1p
2
Täten x 
+1p
1p
+1p
1p
+1p
4. Teräsputken pituus on 12 m ja poikkileikkauksen ulkohalkaisija on 8 cm ja sisähalkaisija 6 cm.
Laske a) Teräsosan tilavuus litroina. Anna tulos litran tarkkuudella.
b) Putken paino, kun teräksen tiheys on 7800 kg/m3. Anna tulos kymmenen kilon tarkkuudella.
Ratkaisu
a) Ulkosäde
8
ru  cm  4 cm  0, 4dm  Ulkotilavuus Vs    ru 2  h    (0, 4 dm) 2 120dm  60,31857895 dm3 .
2
1p
Sisäsäde
6
rs  cm  3 cm  0,3dm  Sisätilavuus Vs    ru 2  h    (0,3 dm) 2 120dm  33,92920066 dm3 .
2
Teräsosan tilavuus V  Vu  Vs  26,38937829 dm  26,38937829 litraa  26 l.
3
b) Massa on tiheys  tilavuus
Täten massa m  7800 kg/m3  0,02638937829 m3
 205,8371507 kg  210 kg.
Vastaus a) 26 l b) 210 kg
+1p
+1p
1p
+1p
+1p
5. Hedelmäkorissa on 3 omenaa, 4 päärynää ja 5 mandariinia. Pikku Kalle valitsee umpimähkäisesti
kaksi hedelmää. Millä todennäköisyydellä a) hän saa ainakin yhden omenan,
b) molemmat hedelmät ovat samaa lajia? Anna tulokset murtolukuna.
Ratkaisu
a) P("ainakin yksi omena")  1  P("ei yhtään omenaa")
1p
 1  P("kumpikin muu kuin omena")
9 8 5
 1   .
12 11 11
+1p+1p
b) Hedelmät joko omenia tai päärynöitä tai mandariineja.
P("kysytty")  P("o ja o tai p ja p tai m ja m")
3 2 4 3 5 4
      .
12 11 12 11 12 11
38 19

 .
132 66
5
19
Vastaus a)
b)
11
66
1p
+1p
+1p
6. Kalle suunnitteli saunan remonttia. Budjetin mukaan palkkakulut ovat 40 % kokonaiskuluista ja
materiaalikulut 45 % kokonaiskuluista. Palkat nousivat 2,5 %, mutta materiaalikulut laskivat 8 %.
Kuinka monta prosenttia saunan rakennuskulut muuttuivat, kun muut kustannukset säilyivät
ennallaan?
Anna tulos prosentin kymmenyksen tarkkuudella.
Ratkaisu
Olkoon alkuperäiset arvioidut kokonaiskulut a, tällöin palkkakulut 0, 4 a
1p
Tällöin materiaalikulut 0,45a ja muut kulut a  0, 4 a  0, 45 a  0,15 a
+1p
Uudet palkkakulut 1,025  0, 4 a  0, 41a ja uudet materiaalikulut (1  0,08)  0, 45 a  0, 414 a
+1p+1p
Uudet kulut yhteensä 0, 41a  0, 414 a  0,15 a  0,974 a
+1p
Täten kulut ovat laskeneet 100%  97, 4%  2,6%.
+1p
Vastaus Laskeneet 2, 6%
7. Konserttisalin kolmannella penkkirivillä on 60 paikkaa, neljännellä 63 paikkaa, viidennellä 66
paikkaa ja jne. Neljänneksi viimeisellä rivillä on 117 paikkaa.
a) Montako penkkiriviä salissa on yhteensä? ( 4p)
b) Montako paikkaa salissa on yhteensä?
( 2p)
Ratkaisu
a) a3  60, a4  63 ja a5  66  d  a5  a4  a4  a3  3, joten jono on aritmeettinen.
Yleinen termi an  a1  (n  1)d  a1  a3  2d  60  2  3  54.
4. viimeisellä rivillä 117 paikkaa, siten 2. viimeisellä 117  2  3  123 paikkaa, joten
viimeisellä rivillä 123+3=126 paikkaa.
Yleinen termi an  a1  (n  1)d  126  54  (n 1)  3
1p
+1p
+1p
72  (n  1)  3 : 3  n  1  24  n  25
Rivejä siis 25
b) Aritmeettisen summan nojalla S25  25 
54  126
2
+1p
+1p
 2 250.
+1p
Vastaus a) 25 b) 2 250
8. Olkoon funktio f ( x)  2 x3  3x 2  12 x  1.
a) Muodosta funktion derivaatan merkkikaavio ja funktion kulkukaavio.
b) Määritä funktion ääriarvot.
c) Hahmottele funktion kuvaaja.
Ratkaisu
a) Derivaatta f ( x)  6 x 2  6 x  12.
(6)2  4  6  (12) 6  18

 x  2 tai x  1.
26
12
Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten saadaan derivaatan merkkikaavio
ja siten myös funktion kulkukaavio
Derivaatan nollakohdat: x 
6
+
+
f
väh
kasv
f kasv
2
1
b) Kulkukaavion nojalla x  1 on maksimikohta ja x  2 on minimikohta.
Vastaavat y  arvot: f (1)  2  (1)3  3  (1)2  12  (1)  1  8 maksimiarvo
f (2)  2  23  3  22 12  2  1  19 minimiarvo
c)
1p
+1p
1p
+1p
+1p+1p
Vastaus b) f (1)  8 maksimiarvo, f (2)  19 minimiarvo
9. Pienillä kulman arvoilla tangenttifunktion arvot kasvavat lähes suoraviivaisesti.
Arvioi lineaarisen mallin avulla tan 2,3 , kun käytetään näitä likiarvoja.
tan1  0,0175 ja tan 3  0,0524. Vertaa laskimen antamaan tulokseen.
Ratkaisu
Lineaarinen malli tarkoittaa, että pisteet (1;0,0175) ja (3;0,0524) ovat samalla suoralla.
Suoran yhtälö on muotoa y  kx  b
 0, 0175  1 k  b
Saadaan yhtälöpari 
0, 0524  3  k  b
0, 0175  k  b
Kertomalla ylempi yhtälö (1) : llä saadaan yhtälöpari 
 0, 0524  3k  b
1p
+1p
Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 2k  0,0349k  k  0,01745
Tällöin b  0,0524  3  0,01745  0,00005
Malli on siis y  0,01745x  0,00005
Täten tan 2,3  y(2,3)  0,01745  2,3  0,00005  0,040185  0,0402
Laskimen mukaan tan 2,3  0,040164149 . Täten tulokset ovat 3 merkitsevän numeron
tarkkuudella samat.
+1p
+1p
+1p
+1p
Vastaus tan 2,3  0,0402 . Tulokset ovat 3 merkitsevän numeron tarkkuudella samat
10. Kymmenottelussa pituushypystä saatava pistemäärä p lasketaan kaavasta
p  90,5674  5 (s  2, 2)7 , missä s on hyppytulos metreinä. Vastaavasti 100 m juoksusta
saatava pistemäärä lasketaan kaavalla P  25,4348  (18,00  x)1,81 , missä x on sähköisesti
mitattu juoksutulos sekunteina. Molempien kaavojen antamasta pistemäärästä otetaan vain
kokonaisosa ilman pyöristystä.
a) Kalle hyppäsi tuloksen 7,23 m ja juoksi 100 m aikaan 10,83 s. Laske Kallen saamat
pistemäärät.
b) Kalle arvioi pystyvänsä parantamaan entistä ennätystään ( 10,70 s) 100 m juoksussa 2,1 %.
Montako pistettä 100 m juoksusta saatava pistemäärä tällöin kasvaisi verrattuna entiseen
ennätykseen?
c) Millä tuloksella saadaan kymmenottelussa pituushypystä 1000 pistettä?
Ratkaisu
a) pituus: p  90,5674  5 (7, 23  2, 2)7  869, 2947951  869.
100 m: P  25, 4348  (18,00  10,83)1,81  899,3277591  899.
b) uusi ennätysaika (1  0,021) 10,70  10, 4753  10, 48.
Uusi pisteluku P2  25, 4348  (18,00  10, 48)1,81  980,3533...  980 ja
1p
+1p
+1p
Vanha pisteluku P1  25, 4348  (18,00  10,70)1,81  929,0577...  929.
Pisteet kasvoivat P2  P1  980  929  51 pistettä
1000 5
c) 1000  90,5674  5 ( s  2, 2)7  (
)  ( s  2, 2)7 ( tai muuta järkevää)
90,5674
1000 5
)  s  7, 759299494  7, 76 m.
90,5674
Vastaus a) pituus 869 ja sata metriä 899 b) 51 c) 7,76 m
s  2, 2  7 (
+1p
+1p
+1p
11. Maan päällä tasaisella hiekkakentällä makaa kyljellään 3 000 litran öljysäiliö, joka on suoran
ympyräpohjaisen lieriön muotoinen. Säiliön pituus 3,2 m. Mittatikulla selvitettiin, että öljyn pinta
on 40 cm korkeudella pohjasta. Kuinka monta litraa öljyä säiliössä on? Ilmoita tulos kymmenen
litran tarkkuudella.
Ratkaisu
Öljymäärän tilavuus Vö liroina saadaan kaavasta Vö  Ahp , missä A on ympyräsegmentin pintaala neliödesimetreinä ja hp  32 dm.
Kuvio
1p
+1p
Toisaalta V   r 2 h  r 
V

 h
3000 dm3
 5, 462742153  5, 46 dm.
  32 dm
Kuvion merkinnöillä h  r  4  1, 462742153 ja x2  r 2  h2  x  5, 263262983 dm.
h
Kuvion merkinnöillä kolmiosta OAB: cos      74, 46856574 .
r
2
2 x  h 74, 46...
Asegm 
  r 2 

   5, 4622...  5, 263... 1, 462...  31,086147 dm 2.
360
2
180
3
Vö  31,086147  32 dm  994,7812703 dm3  994,7812703 litraa  990 litraa.
+1p
+1p
+1p
+1p
Vastaus 990 litraa
12. Junan A pituus on 80 m ja sen nopeus on 20 m/s ja junan B pituus on 60 m ja
nopeus on 108 km/h, ajavat vierekkäisiä raiteita pitkin vastakkaisiin suuntiin.
Kuinka pitkän ajan junat ovat osittain vierekkäin?
Ratkaisu
Ohitusvaiheen aikana junat kulkevat 80 m  60 m  0,140 km.
Junan A nopeus on 20  3,6  72 km/h ja se kulkee t tunnissa matkan 72t.
Matkoista saadaan yhtälö 72t  108t  0,140
0,140
7
t

 0,000777...tuntia
180
9000
7
 3600  2,8 sekuntia.
Tämä tarkoittaa ajassa
9000
Vastaus 2,8 s
1p
+1p
+2p
+1p
+1p
13. Kiinan autokannan arvioidaan kasvavan 100 % vuosikymmenessä.
Autokannan suuruus oli arviolta noin 80 miljoonaa autoa vuonna 2010.
a) Esitä malli, joka kuvaa tätä autokannan kehitystä.
b) Piirrä mallin kuvaaja vuosille 2010-2015.
c) Montako prosenttia autokanta kasvoi aikavälillä 2005-2009, jos oletetaan mallin pätevän koko
tarkasteluvälillä? Anna tulos prosentin tarkkuudella.
Ratkaisu
a) Jos autokanta tulee vuodessa k-kertaiseksi, niin se tulee kymmenessä vuodessa
k 10  kertaiseksi.
Täten saadaan yhtälö k10  80 milj  160 milj ,
josta k 
10
1p
2  1,071773463 .
Autojen määrä on siten t vuoden kuluttua f (t )  1,07177t...  80 milj
b) Vuosi 2010  f (5)  1,071775...  80 milj  113,137... milj
c) Vuosi 2005  f (5)  1,071775...  80 milj  56,5685... milj
Vuosi 2009  f (1)  1,071771...  80 milj  74,6426... milj
74, 64263929  56,56854237
Kasvu on siten prosentteina
100%  31,950...%  32%.
56,56854237
Vastaus a) f (t )  1,07177t...  80 milj b) 32 %
+1p
+ 2p
+1p
+1p
14. a) Kalle sai viikkorahaa 4,5 euroa vuonna 2013. Hänen isänsä Simo sai vastaavasti viikkorahaa
8 markkaa vuonna 1983. Kumman viikkoraha oli ostovoimaltaan suurempi, jos inflaatiota mitataan
elinkustannusindeksillä, joka oli arvoltaan 865 vuonna 1983 ja 1890 vuonna 2013 ja
1 euro= 5,94573 mk?
b) Taloustieteilijät arvioivat, että rahan ostovoima laskee kahdessa vuodessa 4,2 %. Kuinka suureksi
inflaatio on arvioitu tällä aikavälillä.
c) Erään opettajaryhmän palkka oli 2860 €/kk vuonna 2006 ja vastaavasti 2905 €/kk seuraavana
vuonna. Laske kuluttajahintaindeksin avulla, kuinka paljon palkka oli muuttunut reaalisesti. Käytä
oheista taulukkoa.
Vuosi
2000
2006
2007
Kuluttajahintaindeksi
100
108,1
110,8
Ratkaisu
a) Inflatoidaan viikkorahat vuoteen 2013 ja muutetaan summa euroiksi.
1890
17,4797...
 8mk  17,4797...mk 
€  2,9398...€  2,94 €
Simon viikkoraha oli
865
5,94573
Kallen viikkoraha oli siten ostovoimaltaan suurempi.
b) Olkoon alkuperäinen ostovoima v, tällöin uusi ostovoima on (1  0,042)v  0,958v
1
 1, 0438...  104, 4 %.
Inflaatiokerroin on ostovoiman käänteisluku. Siis
0,958
Täten inflaation suuruudeksi on arvioitu 4, 4 %.
c) Jos palkka olisi noudattanut indeksiä, niin opettajan palkka pitäisi olla
110,8
 2860 €  2931, 4338...€  2931, 43 €
108,1
2905 €
 0,99098...  99,1%.
Verrataan todellista palkkaa tähän arvoon:
2931, 43 €
Täten palkka on laskenut reaalisesti 100 %  99,1%  0,9%.
Vastaus a) Kallen
1p
+1p
+1p
+1p
+1p
+1p
b) 4,4 % c) Reaalipalkka on laskenut 0,9 %.
15. Funktion f (t )  8, 2  sin(0, 2t  2)  6,3 arvo kertoo ilman lämpötilan celsiusasteina eräänä
syksyisenä päivänä, missä t on keskiyöstä kulunut aika tunteina. Muuttuja on ilmaistu radiaaneina.
a) Mikä oli lämpötila klo 8.45?
b) Milloin lämpötila on 6,3 astetta?
c) Mikä oli päivän maksimilämpötila?
Ratkaisu
3
3
a) 45 min  h  f (8 )  8, 2  sin(0, 2  8,75  2)  6,3  4, 27128...  4, 3 astetta.
1p+1p
4
4
b) 8, 2  sin(0, 2t  2)  6,3  6,3  8, 2  sin(0, 2t  2)  0  sin(0, 2t  2)  0
+1p
0, 2t  2  n   , n on kokonaisluku
n   2
t
 10  n  5  t  10, sillä 0  t  24.
+1p
0, 2
c) Koska sinifunktio saa arvoja vain suljetulta väliltä [1,1] , niin
päivän maksimilämpötila on 8, 2 1  6,3  14,5.
Vastaus a) 4,3 celsiusastetta b) klo 10.00
c) 14,5 celsiusastetta
+1p
+1p