BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit
Harjoitus 3, Syksy 2015
1.
(a) Suora kulkee pisteiden a ja b kautta, joten sen suuntavektori on
→
−
v = ab = (2 − 0)i + (0 − (−1))j + (4 − (−2))k = 2i + j + 6k
Suoran yhtälö on siis

  
0
2
r = a + tv = −1 + t 1
−2
6
(b) Tason normaalivektori on b = 2i + 4k, joten sen normaalimuotoinen yhtälö on 2x + 4z + D =
0. Koska taso kulkee pisteen (2, 1, 0) kautta, piste toteuttaa tason yhtälön. Sijoitetaan piste
yhtälöön:
2·2+4·0+D = 0
D = −4
Tason yhtälö on siis 2x + 4z − 4 = 0.
(c) Taso on yhdensuuntainen vektorien a ja b kanssa, jos sen virittäjävektorit ovat yhdensuuntaiset niiden kanssa. Täten voidaan valita virittäjävektoreiksi esim. a ja b. Kulkekoon taso esim.
origon kautta, jolloin tason yhtälö on
r = t1 a + t2 b
2. Ajatellaan, että kepin päähän osuvat auringonsäteet muodostavat suoran, joka kulkee pisteen (1, 2, 2)
kautta ja jonka suuntavektori on a = [−10, 6, 2]T . Varjon ”pää” on siis siinä pisteessä, jossa tämä suora leikkaa xy-tason. Olkoon piste (x, y, 0). Sijoittamalla piste suoran yhtälön parametriseen
muotoon saadaan yhtälöryhmä


1 − 10t = x
2 + 6t = y


2 + 2t = 0
Kolmannesta yhtälöstä saadaan t = −1. Sijoittamalla se kahteen ylempään yhtälöön saadaan ratkaisuksi x = 11 ja y = −4. Varjon pää siis on pisteessä (11, −4, 0).
3.
(a) f on määritelty, kun sin(x) ≥ 0 eli D ( f ) = {(x, y)|0 + 2nπ ≤ x ≤ π + 2nπ}.
f saa pienimmän arvonsa, kun sin(x) = 0 ja suurimman, kun sin(x) = 1, jolloin f :n arvojoukko on R ( f ) = [0, 1].
(b) f on määritelty, kun x2 + y2 − 4 > 0 eli D ( f ) = (x, y)|x2 + y2 − 4 > 0 .
f :n arvojoukko on R ( f ) =] − ∞, ∞[.
(c) f on määritelty, kun x−1 ≥ 0 ja y−1 ≥ 0, eli f : määrittelyjoukko on D ( f ) = {(x, y)|x ≥ 1 ∧ y ≥ 1}.
f :n arvojoukko R ( f ) =] − ∞, ∞[.
(d) f : määrittelyjoukko on D ( f ) = (x, y)|x, y 6= π2 + nπ .
f :n arvojoukko R ( f ) =] − ∞, ∞[.
(e) f :n määrittelyjoukko D ( f ) = [ π6 , 5π
] + 2πn.
q 6
f :n arvojoukko on R ( f ) = [0, 12 ].
(f) f on määritelty, kun 4 − x2 ≥ 0, eli D ( f ) = {(x, y)| − 2 ≤ x ≤ 2}.
f :n arvojoukko on R ( f ) = [0, 2].
(g) f on määritelty, kun x + y − 1 ≥ 0 eli D ( f ) = {(x, y)|x + y ≥ 1}.
f :n arvojoukko on R ( f ) = [0, ∞[.
(h) f :n määrittelyjoukko on D ( f ) = {(x, y)|0 + 2nπ ≤ x ≤ π + 2nπ, 0 + 2nπ ≤ y ≤ π + 2nπ}.
f :n arvojoukko on R ( f ) = [0, 2].
4. Ks. kuva 1.
y
y
y
x
(a) y = − 14 x − 12 (c − 100)
x
(b) |y| = c − |x|
y
(d) x2 + 2y2 = c
(c) y =
y
x
x
c
x
y
x
(e) y = 2c − 21 cos(x)
Kuva 1: Tasa-arvokäyriä
x
(f) y =
1
cx
5. Ks. kuva 2.
y
y
t =2
t =1
1
1
x
x
1
1
t = −1
t = −2
(a) - kohta
y
(b) - kohta
y
1
t =0
t =π
1
1
t =4
x
t = −4
(c) - kohta
x
1
(d) - kohta
Kuva 2: 5-tehtävän kuvaajat
6. Koska x on suoralla L , voidaan esittää x = (1 +t, 3 − 2t, 4 − 3t) ja vektori b = (t − 3)i + (2 − 2t)j +
(6 − 3t)k. Nyt siis pisteen A ja suoran L välinen lyhyin etäisyys saadaan vektorin b pituutena, kun
a ⊥ b ⇔ a · b = 0 eli
1 · (t − 3) − 2 · (2 − 2t) − 3 · (6 − 3t) = 0
t − 3 − 4 + 4t − 18 + 9t = 0
14t = 25
25
t=
14
17
9
Voidaan siis esittää b = − 14
i − 11
7 j + 14 k, jolloin
s
2 r
17 2
11 2
9
61
|b| =
−
+ −
+
=
14
7
14
14
7.
(a) Taso on suorien kanssa yhdensuuntainen, jos tason virittäjävektorit ovat yhdensuuntaiset suorien suuntavektoreiden kanssa. Koska tason yhtälö parametrimuodossa on r = r0 +t1 v1 +t2 v2 ,
tason, joka kulkee pisteen (0, 2, 1) ja on yhdensuuntainen suorien L1 ja L2 kanssa, yhtälö on
 
 
 
1
1
0
r =  2  + t1 1 + t2 1
3
2
−1
ja tason, joka kulkee pisteen (1, 0, −1) kautta, yhtälö on
 
 
 
1
1
1





r = 0 + t1 1 + t2 1
3
2
−1
(b) Vektori n on kohtisuorassa suoria L1 ja L2 vastaan, jos se on kohtisuorassa niiden suuntavektoreita vastaan. n voidaan etsiä ristitulon tai pistetulon avulla. Olkoon n = xi + yj + zk.
Pistetulon avulla:
(
(
(
n · u1 = 0
x + y + 2z = 0
z=0
⇔
⇔
n · u2 = 0
x + y + 3z = 0
y = −x
Nyt eräs ehdot toteuttava vektori n saadaan, kun valitaan esimerkiksi x = 1, jolloin n = i − j.
(c) Suorien parametriset esitysmuodot:


x = t1
y = 2 + t1


z = −1 + 2t1


x = 1 + t2
y = t2


z = −1 + 3t2
Nyt siis suorien välinen vektori on
−→
PQ = (1 + t2 − t1 )i + (t2 − 2 − t1 )j + (−1 + 3t2 + 1 − 2t1 )k
On siis oltava
(−→
PQ · u1 = 0
−→
PQ · u2 = 0
(
−6t1 + 8t2 = 1
⇔
−8t1 + 11t2 = 1
Tämän yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan t1 = − 23 ,t2 = −1, jolloin
3
−→ 3
PQ = i − j
2
2
Suorien välinen lyhyin etäisyys on siis
s
√
2 2
−→
3
3
3 2
+ −
=
PQ =
2
2
2
8.
(a) Tasojen normaalivektorit ovat n1 = 2i − 3j + k ja n2 = i − j + k. Tasojen välinen kulma on
tällöin
|6|
|n1 · n2 |
=√ √
|n1 ||n2 |
14 3
⇒ θ = 0.38760 rad ≈ 22.2◦
cos θ =
Tasot leikkaavat siis toisensa. Lasketaan leikkaussuoran yhtälö:
(
2x − 3y + z = 4
x−y+z = 1
Vähentämällä ylemmästä yhtälöstä alempi saadaan
x − 2y = 3
x = 3 + 2y
Sijoittamalla tämä ylempään yhtälöön saadaan:
3 + 2y − y + z = 1
z = −2 − y
Kun merkitään y = t, t ∈ R, saadaan leikkaussuoran yhtälöksi parametrisessä muodossa

   

3
2
x = 3 + 2t



0
1
,
eli
r
=
+
t
y=t


−2
−1
z = −2 − t
(b) Tasojen normaalivektorit ovat n1 = i + 2j − k ja n2 = 3i + 6j − 3k, ja niiden välinen kulma
cos θ =
|n1 · n2 |
|18|
= √ √ =1
|n1 ||n2 |
6 54
⇒θ=0
Tasot siis joko ovat yhtenevät tai yhdensuuntaiset. Lasketaan mahdolliset yhteiset pisteet (joita pitäisi siis olla äärettömän monta tai ei yhtään):
(
x + 2y − z = 3
3x + 6y − 3z = 2
Kerrotaan ylempi yhtälö kolmella ja vähennetään siitä alempi yhtälö, jolloin saadaan 0 = 7.
Tasoilla ei siis ole yhtään samoja pisteitä, eli ne ovat yhdensuuntaiset.