1. No category

Yhden muuttujan reaalifunktiot
Määritelmä
Monisteessa määritellään, mitä tarkoittaa funktio eli kuvaus A → B, missä
A ja B ovat joitain reaalilukujoukkoja, siis joukon R osajoukkoja. Itse asiassa aivan samalla tavalla määritellään yleinenkin funktiokäsite, siis funktio
f : A → B, missä A ja B saavat olla mielivaltaisia joukkoja. Tällä kurssilla funktiot ovat kuitenkin aina reaalifunktioita eli monisteen määritelmän
mukaisia funktioita kahden reaalijoukon välillä.
a. Eräs funktio on f : R → R, f (x) =
x3 + 1. Tämän funktion määrittelyjoukko on R, samoin maalijoukko on
R, ja määritelmässä mainittu ”sääntö”
on annettu lausekkeella x3 + 1.
...
..
..
..
..
.
.
...
...
...
....
3
.
.
.
.
..
..........
....................................
.......
.....
....
.
.
...
...
..
..
..
.
..
..
..
...
....
..
...
..
y
Esimerkki
y =x +1
....
b. f : R → R,
f (x) =
{
x .....
y
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
...
.....
.....................................................................................•
.. .........
..
.....
.
.
.
.
.
.....
y = f (x)
1 kun x ≤ 0,
x kun x > 0.
x .....
c. Tässä on vielä esimerkkinä funktio, joka ei ole reaalifunktio vaan
kahden äärellisen joukon välillä määritelty funktio. Tässä esimerkissä
”sääntö” on annettu luettelemalla. Tällaisia ei meillä muita tule.

 f (1) = α,
f (2) = δ,
f : {1, 2, 3} → {α, β, γ, δ},

f (3) = β.
Tämä on funktio, koskapa jokaiselle määrittelyjoukon alkiolle x on
määritelty yksikäsitteinen kuva f (x) maalijoukosta.
Esimerkki 2.1
....
.....
...
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
.....
..... .........
........
y
i) f : R → R, f (x) = |x|.
y = |x|
x.....
ii) Monisteen esimerkissä 2.1 on annettu
kolme sääntöä, jotka ensi silmäyksellä
näyttäisivät määrittelevän funktiot, mutta joista kysytään, miksi ne
eivät ole funktioita. Tässä on selitykset.
Sääntö f1 : R → Z, f1 (x) = x ei ole funktio, koska annetut kuva-alkiot
eivät kaikki ole annetussa maalijoukossa Z.
Sääntö f2 : R → R, f2 (x) = sinx x ei ole funktio, koska f2 (0) ei ole
määritelty; siis määrittelyjoukon alkiolla 0 ei ole kuvaa.
Kolmas sääntö f3 ei ole funktio, koska alkiolle 2 tulisi kaksi eri kuvaa.
1
Käänteisfunktio
Seuraavassa käänteisfunktion käsite on esitelty hiukan toisin kuin monisteessa.
Olkoon f : A → B bijektio. Silloin jokainen y ∈ B on jonkin alkion
x ∈ A kuva (f :n surjektiivisuus) ja ko. x on yksikäsitteinen (f :n injektiivisyys). Siis voidaan määritellä funktio f −1 : B → A (f :n käänteisfunktio)
säännöllä:
Kun y ∈ B niin f −1 (y) = x, missä x ∈ A on se alkio jolla f (x) = y.
Sama lyhyemmin: Kun x ∈ A ja y ∈ B niin
f −1 (y) = x
⇐⇒
f (x) = y.
Esimerkki
1
Tarkastellaan funktiota f (x) = 2x+3
x+1 = 2 + x+1 . Hahmotellaan sen kuvaajaa. Jos sitä ei osaa piirtää suoraan, niin voi piirtää ensin apukuvioina
1
funktioiden y = x1 ja y = x+1
kuvaajat (hyperbelit)
y
... ..
..
..
..
...
...
...
...
..
..
..
...
..
...
....
.....
.......
..........
................
..............................
...........................
.............................................
.....................
............
........
......
....
....
...
...
...
..
..
..
...
..
..
..
..
..
..
..
x
...
..
..
..
...
..
..
..
..
...
...
...
..
...
..
...
....
.....
........
.............
..........................
.........................................................
y
1
y=
x
−1
...
y=
.................................................
...................
...........
.......
....
...
...
..
..
..
..
...
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
..
...
..
..
...
..
..
..
..
...
..
...
...
...
....
......
........
............
...................
.....................................
................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................
................................
.................
...........
.......
.....
....
...
...
...
..
..
..
.....
..
..
..
..
..
..
..
..
...
...
...
...
...
..
..
..
...
...
...
..
..
.
y
2x + 3
x+1
2
−1
2
...
x
jolloin jo saadaankin:
y=
1
x+1
x
Kuviosta nähdään, että tästä saadaan bijektiivinen funktio, kun määrittelyja maalijoukot valitaan sopivasti:
f : R \ {−1} → R \ {2},
f (x) =
2x + 3
.
x+1
Nimittäin kuvio mukaan nyt f on, paitsi määritelmän mukainen funktio,
myös sekä injektio että surjektio. (Meille riittäköön nyt kuviosta katsominen.)
Koska f on bijektio, niin sillä on käänteisfunktio f −1 . Tiedetään f :n
lauseke, mutta mikä on f −1 :n lauseke? Ensinnäkin f −1 on funktio R\{2} →
R \ {−1}. Kun y ∈ R \ {2} ja x ∈ R \ {−1}, niin
f −1 (y) = x
⇐⇒
f (x) = y.
Niinpä f −1 (y) saadaan lausekkeena selville ratkaisemalla x seuraavasti:
1
x+1
1
⇐⇒ y − 2 =
x+1
1
=x+1
⇐⇒
y−2
1
⇐⇒ x = −1 +
.
y−2
y = f (x) ⇐⇒ y = 2 +
1
Näin ollen f −1 (y) = −1 + y−2
. Jos halutaan merkitä myös f −1 :n argumenttia x:llä, niin
−x + 3
1
=
.
f −1 (x) = −1 +
x−2
x−2
Esimerkki
Koska y = f (x) ⇔ x = f −1 (y), niin funktion f kuvaajasta saadaan käänteisfunktion f −1 kuvaaja ”vaihtamalla x- ja y-akselien roolit”. Esimerkiksi
√
jos funktio on f (x) = x3 : R → R, niin käänteisfunktio on f −1 (x) = 3 x :
R → R, ja kuvaajat ovat seuraavanlaiset.
y
...
..
..
..
..
..
.
...
...
...
..
.
..
3 ......................................................................
.....
... ....
.
.
.... ..
.... ....
.....
....
........
.....................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.......
.....
.
.
.
...
...
...
...
..
.
.
..
..
..
3
...
..
.
...
....
.
..
..
..
..
y
.............
.................
................
..............
.............
.................................................................
.... ..
....... ....
......
...
.....
..
....
.
...
.
.
.
...
...
.....
....
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
..
...
....
....
.
.
.
.
.....
3
.......
........
.........
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
................
.................
..................
√
3
a
a
x
...
...
b
b
y=
y=x
3
√
x
x
Yhdistetty funktio
Esimerkki 2.18
Jos f : A → B on bijektio ja sillä siis on käänteisfunktio f −1 : B → A, niin
(f ◦ f −1 )(y) = y
∀ y ∈ B,
(f −1 ◦ f )(x) = x
∀ x ∈ A.
Jos myös f −1 :n argumenttia merkitään x:llä, niin ensimmäinen ehdoista
kuuluu (f ◦ f −1 )(x) = x ∀ x ∈ B.
Perustelu: Kun x ∈ A ja y ∈ B, niin f (x) = y ⇔ x = f −1 (y). Siis, kun
y ∈ B on mielivaltainen ja merkitään x = f −1 (y), niin
(f ◦ f −1 )(y) = f (f −1 (y)) = f (x) = y.
Kun x ∈ A on mielivaltainen ja merkitään y = f (x), niin
(f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = f −1 (y) = x.
Esimerkki
Käytämme tätä nyt keinona tarkistaaksemme aikaisemmassa esimerkissä
lasketun tuloksen. Funktion
f : R \ {−1} → R \ {2},
f (x) =
2x + 3
x+1
käänteisfunkioksi saimme
f −1 : R \ {2} → R \ {−1},
f −1 (x) =
−x + 3
.
x−2
Kun x ̸= 2, niin
(f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x))
=
=
=
2f −1 (x) + 3
f −1 (x) + 1
−x+3
x−2 + 3
−x+3
x−2 + 1
2·
2(−x + 3) + 3(x − 2)
(−x + 3) + (x − 2)
= x,
4
ja kun x ̸= −1, niin
(f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x))
=
=
=
−f (x) + 3
f (x) − 2
− 2x+3
x+1 + 3
2x+3
x+1
−2
−(2x + 3) + 3(x + 1)
(2x + 3) − 2(x + 1)
= x.
Polynomifunktio
Huomautus 2.19
Monisteen sivulla 29 esitetään keino, jolla löydetään kokonaislukukertoimisen polynomin kokonaislukunollakohdat jos sillä on sellaisia. Tässä se keino
esitetään hiukan yleisempänä.
Olkoon p(x) kokonaiskertoiminen polynomi,
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
(ai ∈ Z, a0 , an ̸= 0).
Jos p(x):llä on rationaalinen nollakohta r/q ∈ Q, missä r/q on supistettu
muoto, niin r on a0 :n tekijä ja q on an :n tekijä.
Siis r, q ∈ Z, ja ”supistettu muoto” tarkoittaa ettei r:llä ja q:lla ole muita
yhteisiä tekijöitä kuin ±1. Ehtoja ”r on a0 :n tekijä” ja ”q on an :n tekijä”
merkitään r | a0 ja q | an ja luetaan myös ”r jakaa a0 :n” ja ”q jakaa an :n”.
Otetaan tästä ensin esimerkki ja sitten esitetään todistus.
Esimerkki
Olkoon p(x) = 4x3 + 6x2 + 2x + 3. Halutaan löytää p(x):lle rationaalinen
nollakohta, jos sillä on sellainen. Jos r/q (supistettu muoto) on nollakohta,
niin r | 3 ja q | 4. Siis
{
}
r
1 3 1 3
∈ ±1, ±3, ± , ± , ± , ±
.
q
2 2 4 4
Kokeilemalla yksi kerrallaan, mikä näistä kahdestatoista ehdokkaasta toteuttaa ehdon p(x) = 0, todetaan, että ainakin − 34 on nollakohta.
Menetelmän todistus. Oletetaan, että p(x) on kuten edellä ja että p(r/q) =
0, missä r/q ∈ Q on supistetussa muodossa. Toisin sanoen
an
( )n−1
( )n
r
r
r
+ an−1
+ · · · + a1 + a0 = 0.
q
q
q
5
Kertomalla q n :lla saadaan
an rn + an−1 rn−1 q + · · · + a1 rq n−1 + a0 q n = 0.
Kirjoitetaan tämä kahteen muotoon:
(
)
an rn = −q an−1 rn−1 + · · · + a0 q n−1 ,
(
)
a0 q n = −r an rn−1 + · · · + a1 q n−1 .
Ensimmäisestä muodosta seuraa, että q jakaa tulon an rn , ja koska q:lla ja
r:llä ei ole yhteisiä tekijöitä (paitsi ±1), niin q jakaa an :n. Toisesta muodosta
saadaan samoin, että r jakaa a0 :n.
2
Esimerkki
Onko polynomilla p(x) = x5 + 2x2 + x + 3 rationaalisia nollakohtia? Jos
sellainen nollakohta r/q on, niin täytyy olla r | 3 ja q | 1; siis r/q ∈ {±1, ±3}.
Kokeilemalla nähdään, ettei mikään näistä neljästä ole nollakohta. Siispä
polynomilla ei ole rationaalisia nollakohtia.
Juurifunktio
√
Juurifunktio n x määritellään potenssifunktion xn käänteisfunktiona. Koska käänteisfunktio määritellään vain bijektiiviselle funkiolle, käsittelemme
parillisen ja parittoman n:n tapaukset erikseen. Olkoon n ∈ Z, n ≥ 2. Muistetaan, että R+ tarkoittaa epänegatiivisia reaalilukuja.
1) Oletetaan, että n on parillinen. Potenssifunktio f (x) = xn : R+ → R+ on
bijektiivinen, joten sillä on käänteisfunktio f −1 : R+ → R+ , jota merkitään
√
√
f −1 (x) = n x. Siis parillisen n:n tapauksessa juurifunktio n x on funktio
√
n
x : R+ → R+ .
y
..
...
...
...
.
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
.
.
...
...
..
..
.
.
...
....
.....
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................................
...
y=
y
xn
....
...
√
n
........
........................
............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
............
.........
........
........
......
.
.
.
.
....
...
...
...
....
..
...
...
.....
..
y=
x
....
x
x
2) Oletetaan, että n on pariton. Potenssifunktio f (x) = xn : R → R on
bijektiivinen, joten sillä on käänteisfunktio f −1 : R → R, jota merkitään
√
√
f −1 (x) = n x. Siis parittoman n:n tapauksessa juurifunktio n x on funktio
√
n
x : R → R.
6
...
.
..
..
..
..
.
...
...
..
..
.
.
...
...
...
...
.
.
.
.
..
........
......................................
.........
......
....
.
.
.
...
..
..
..
.
.
.
...
..
...
..
...
..
..
y
.......
...............
...............
...........
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
n
........
........
.....
.....
....
.
.
.
...
...
...
.....
..
....
...
...
....
.
.
.
...
....
....
.....
.
.
.
.
.
.......
.......
........
........
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
...............
y = xn
y
...
y=
....
x
√
x
x
Monisteen huomautuksissa 2.23 ja 2.24 s. 31 on juurifunktion ominaisuuksia.
Eksponenttifunktio
Eksponenttifunktion ax tarkka määritelmä menee tämän kurssin ulkopuolelle, mutta seuraavassa siitä on ylimalkainen selitys.
Olkoon a ∈ R, a ≥ 0. Halutaan määritellä ax kun x ∈ R. Tapauksessa
x ∈ Z tämä on helppoa: Kun n ∈ Z, n ≥ 0, niin määritellään
a−n =
an = a · · · a (n tekijää),
1
an
(a ̸= 0).
√
Mutta mitä esimerkiksi tarkoittaisi a 2 ? Yleinen potenssi ab , b ∈ R, voidaan määritellä kahdessa vaiheessa seuraavasti.
1) Olkoon ensin b ∈ Q. Siis b =
missä m, n ∈ Z, n ̸= 0. Määritellään
√
ab = am/n = n am .
m
n,
Jotta määritelmä olisi järkevä, niin tässä kohden pitäisi todistaa, että jos
q
m
m/n = aq/r .
n = r , niin a
2) Olkoon b ∈ R. Voidaan osoittaa, että b saadaan jonkin rationaalilukujonon raja-arvona
mi
b = lim
.
i→∞ ni
(Raja-arvoista puhutaan myöhemmin.) Kaikki luvut ami /ni ovat nyt jo määriteltyjä, ja määritellään
ab = lim ami /ni .
i→∞
i
on aina olemassa ja riipNyt pitäisi vielä osoittaa, että raja-arvo lim m
i→∞ ni
pumaton siitä, miten ko. rationaalilukujono on valittu.
Sitten pitäisi tämän määritelmän avulla todistaa kaikki eksponenttifunktion ominaisuudet, mm. seuraavat (vrt. s. 34):
ab1 ab2 = ab1 +b2 ;
(ab1 )b2 = ab1 b2 ;
(a1 a2 )b = ab1 ab2 ,
7
missä luvut ovat reaalisia ja a, a1 , a2 ≥ 0. Kaikkiaan kyseessä olisi suuri työ,
ja tällä kurssilla otamme tämän kaiken tunnettuna.
Tästä saadaan kaksi tärkeää luokkaa funktioita. Kun otetaan a muuttujaksi, merkitään a = x, saadaan ns. potenssifunktiot xb : R+ → R+ , missä
b on mielivaltainen reaaliluku. Meitä kiinnostaa nyt toinen mahdollisuus:
Ottamalla b muuttujaksi, b = x, saadaan eksponenttifunktiot ax : R → R.
Monisteessa on näiden kuvaajat ja perusominaisuuksia.
Esimerkki (eksponentiaalinen kasvu)
Suureen f (x) sanotaan kasvavan eksponentiaalisesti (tai vähenevän), jos
f (x) = kax missä k, a ovat vakioita.
Oletetaan, että tutkittava suure f (x) kasvaa eksponentiaalisesti ja että
tiedetään arvot f (10) = 100 ja f (12) = 130. Suuriko on f (20)? Siis

 f (x) = kax (k ja a toistaiseksi tuntemattomia vakioita),
f (10) = 100,

f (12) = 130.
Jakamalla yhtälöt ka10 = 100 ja ka12 = 130 keskenään saadaan a2 =
13
10 , joten
(
f (20) = ka
20
= ka
10
· (a ) = 100 ·
2 5
13
10
)5
=
130
100
=
135
371293
=
3
10
1000
= 371,293.
Tässä ei siis tarvinnut ratkaista vakioita k ja a, mutta nekin olisi saatu.
Toinen tapa ajatella tehtävää olisi seuraava: Välillä [10, 12] suure f (x)
kasvaa 1,3-kertaiseksi. Silloin f (x) kasvaa 1,3-kertaiseksi jokaisella 2:n pituisella välillä (eksponentiaalisen kasvun ominaisuus). Siis välillä [10, 20] =
[10, 12] ∪ [12, 14] ∪ [14, 16] ∪ [16, 18] ∪ [18, 20] suure f (x) kasvaa (1, 3)5 kertaiseksi, mistä saadaan f (20) = f (10) · (1,3)5 .
y
..
..
....
y = f (x) .....
.
..
..
..
..
.
...
...
...
..
.
.
.
...
...
...
...
.
.
...
...
...
....
....
.
.
...
...
....
....
....
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
......
.
.
.
.
.
......
......
.......
........
........
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..........
...........
............
..............
................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............
..........................
...................................
......................................................
130
100
10 12
8
20
x
.....
Logaritmifunktio
Olkoon a > 0, a ̸= 1. Eksponenttifunktion ax kuvaajasta s. 33 nähdään,
että katsottuna funktioksi R → (0, ∞), siis
f (x) = ax : R → (0, ∞),
se on bijektiivinen. Siis sillä on käänteisfunktio, ns. a-kantainen logaritmifunktio
f −1 (x) = loga x : (0, ∞) → R.
Koska kyse on käänteisfunktiosta, niin, kun y ∈ (0, ∞),
loga y = se x jolla ax = y
eli
⇐⇒
x = loga y
y = ax .
Lisäksi (f −1 ◦ f )(x) = x ja (f ◦ f −1 )(x) = x joten
loga (ax ) = x,
aloga (x) = x;
katso monisteen esimerkkiä 2.29. Edelleen, logaritmifunktion kuvaaja saadaan eksponenttifunktion kuvaajasta ”vaihtamalla x- ja y-akselien roolit”,
joten kuvaajat ovat seuraavanlaisia:
...
...
..
..
x
..
..
.
...
....
.
..
..
..
a ...........
..
.
.
.
.........................
...
.....................
....
.................
..............
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
....
..........
.......
........
..........
......
.................
......
...
.........................................................
....
.
.
.
..
...
..
.
..
...
..
..
....
..
..
..
...
y
Tapaus a > 1
y=a
y=
y = log x
x
...
.....
..
...
..
...
.
...
...
...
...
...
..
...
..
..
..
..
..
...
..
...
... .....
.... .
.... ...
..... ..
.........
.........
............
.... .................
..... ..................................................................................................... ..
......
.
.......
........
..........
............
..............
.................
....................
........................
............
..
ax ...
y
Tapaus 0 < a < 1
x
y = loga x
Huomautus 2.30
Monisteen sivulla 35 olevat logaritmin perusominaisuudet seuraavat siitä,
että kyseessä on eksponenttifunktion käänteisfunktio, ja siitä, että eksponenttifunktiolla on mukavia ominaisuuksia.
a) Ominaisuus
loga xr = r loga x
seuraa eksponenttifunktion ominaisuudesta (ax1 )x2 = ax1 x2 . Nimittäin kaavaa a) varten pitäisi todistaa, että
ar loga x = xr .
Kehittämällä vasemmasta puolesta tulee
ar loga x = (aloga x )r = xr .
9
b) Ominaisuus
loga (xy) = loga x + loga y
seuraa yhtä helposti eksponenttifunktion ominaisuudesta ax1 ax2 =
ax1 +x2 .
c) Ominaisuus
loga
(x)
y
= loga x − loga y
seuraa ominaisuuksista a) ja b).
d) Ominaisuus
loga x =
logb x
logb a
seuraa helposti ominaisuudesta a).
Esimerkki
Otetaan yksi esimerkki ominaisuuksien käytöstä. On ratkaistava yhtälö
2 log3 x + log9 x = 5.
Huomaa, että pitää olla x > 0, jotta yhtälön termit olisivat määriteltyjä.
Koska yhtälössä on kahta eri logaritmin kantalukua, vaihdetaan toinen:
log9 x =
log3 x
log3 x
1
=
= log3 x.
log3 9
log3 32
2
Siis
2 log3 x + log9 x = 5
⇐⇒
1
log3 x = 5
2
√
log3 x2 + log3 x = 5
√
log3 (x2 x ) = 5
√
35 = x2 x = x5/2
⇐⇒
x = (35 )2/5 = 32 = 9.
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
2 log3 x +
Kulma radiaaneissa
Monisteessa määritellään (s. 36), mitä tarkoittaa
kulman lausuminen radiaaneissa:
α (rad.) =
b
r
.
...
....
...
..
...
..
...
..
......
....... ....... .......
.......
......
.
.....
.....
..... ...
..... .....
.....
.
...
.
.
.
...
....
.....
...
.....
...
............
.
.
.
.
...
..... ..
..
..
.
...
..
...
.....
..
..
.....
.......
.
....... ....... ....... .....
..
...
b
α
r
kun α on sijoitettu r-säteiseen ympyrään keskuskulmaksi ja b on kaaren pituus, otettuna miinusmerkkisenä jos kiertosuunta on negatiivinen (myötäpäivään). Voi olla
α > 360◦ tai α < 0.
10
Seurauksena tästä nähdään, että jos r-säteisen ympyrän keskuskulma
on suuruudeltaan α radiaaneissa ja α > 0, niin ko. kaaren pituus on αr.
Monisteen sivulla 37 selitetään, miten tehdään muunnos radiaanien ja
asteiden välillä. Jos kulma α on annettu radiaaneissa, niin asteissa sama
180
kulma on 360
2π α eli π α. Kääntäen, jos β on asteissa lausuttu kulma, niin
π
π
radiaaneissa sama kulma on 180
β. Esimerkiksi 45◦ = 180
45 (rad) = π4 (rad).
Radiaania ei yleensä merkitä näkyviin vaan kirjoitetaan vain β = π4 laaduttomana suureena.
..
y
Tulemme aina sijoittamaan kulman α yksikköym................
..........
..
.........
......
.....
......
.....
.....
....
.
.....
.
...... ...
...
.
...... ....
.
.
.
.
.
....
...
...
.
.
.
.
...
.
...
........
...
...... ...
.....
.
...
..
.
.
...
..
...
.
.
.
...
.
..
...
...
.....
.....
.....
.....
.......
............ ..................
..........
pyrään oheisen kuvion mukaisesti. Negatiivisille kulmille käytetään negatiivista kiertosuuntaa, ts. ympyrän kehää kierretään myötäpäivään.
Seuraavissa kuvioissa on merkittynä kolme esiπ
◦
◦
merkkikulmaa: π4 = 45◦ , 2π
3 = 120 ja − 6 = −30 .
.
α
1
.
y
..........
.............. .....................
.......
......
......
.....
.....
.....
.
.
.
.
..... ....
.....
..... .....
.
...
.
.
.
...
...
.
..
.
.
.
...
.
..
...
...
.....
...
.....
...
........
.
...
.
.
.
.
.
....
...
.... .....
.
.
.
....
.
...
...
...
....
...
.
.
...
...
...
...
...
...
...
...
.....
.
.
.
..
.....
.....
......
.....
.......
.......
..........
..................................
x..
y
.....................................
.........
.......
........
......
...... .....
.....
.
.
.
.
.....
...
..
...
....
...
...
...
.
.
...
...
..
.
.
...
...
..
.
.
.
...
....................
.....
...
...
....
...
...
...
...
...
...
..
....
.......
...
....... .....
...
...........
..
...
.
.......
.
...
.
.
.......
...
....... ...
...
....... ...
..
...
...
...
.....
...
....
.....
.
.
.
.
.
......
...
.
.
.......
.
.
.
....
..........
..................................
2π/3
π/4
π/4
1
2π/3
x..
−π/6
x..
−π/6
Seuraavassa kuviossa on esimerkkikulmia enemmän. Huomaa 2π:n jaksolπ
lisuus: Esimerkiksi α = 7π
4 ja β = − 4 ovat erisuuria kulmia, mutta niitä
vastaavat pisteet yksikköympyrän kehällä osuvat päällekkäin.
....
.......................................
.................
..........
..........
........
.......
........
......
.......
......
..........
.
.
.
.
.
...
......
....
.
.
.....
.
.
.
...
...
.....
.
.
.
.
.
...
.........
.
.
..........
.
.
.
...
..... .......
.
.... ........
.
.
.
.
.
.
...
...
.....
...
..
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.....
...
..
..
...
.....
.....
...
...
...
.....
.....
...
...
...
.....
.....
.
.
.
..
.
.
.
...
.
.
.....
...
...
.
.
..
.
...
.
.
.
.
.
.....
.
...
.
...
..
.
..... ....
.
.
.
..... ...
...
....
.
.
.
....
..... ...
...
...
.
.
..... ..
.
...
.
...
...
..... ...
.
.
.
...
.
...
..... ...
...
.
.
.
...
...
........
.
....... .........
...
...
........ .....
...
...
..............
.
...
.
.
..
... ...............
.
...
..
.
.
.
.
..... .......
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..... .......
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..... .......
...
.....
.....
.
...
...
.....
..... .............
...
...
.....
.....
.......
..
.....
...
.......
.....
..
....
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.....
...
....
..
.......
.....
.....
...
....... ....
.....
.....
...
.......
.....
.....
...
.....
..
.....
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.....
...
...
...
.....
..... ........
..... .......
..... ......
.........
......
.....
....
.
.
.
.....
.
......
......
......
.....
.......
.......
........
.......
..........
.........
.
.
.
.
.
.
...............
.
.
.
..........................................
2π/3
3π/4
π
y
•
•
•
π/4
•
x
.....
•
0, 2π, −2π
•
•
•
5π/4
11
11π/6, −π/6
7π/4, −π/4
Trigonometriset funktiot
Määritellään trigonometriset funktiot sin x, cos x, tan x ja cot x.
Tapaus 0 < x < 90◦ (s. 15–16): Tuttuun tapaan terävillä kulmilla trigonometriset kulmat määritellään suorakulmaisesta kolmiosta.
......
......
.....
c.......................
.....
.....
......
......
........
...... ..
sin x =
b
cos x =
x
b
c
a
c
tan x =
cot x =
b
a
a
b
=
=
sin x
cos x
cos x
sin x
=
1
tan x
a
On syytä muistaa seuraavat kaksi muistikolmiota.
.....
.....
.............
.....
.
.
.
.
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
.......
.
.
.
.. .
..... ..
√
2
π/4
.....
.......
..........
....... ..........
.......
.
.
.
.
.
......
.......
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
......
.......
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
.....
.......
.......
.......
....... ...
....... ..
2
1
π/6
π/4
1
π/3
1
√
3
√
Niistä nähdään mm. sin π4 = cos π4 = √12 ja tan π3 = 3 jne.
..
Jatkoa varten on huomattava, että kun
v
.............................
........
............
.
.
.
.
.
.
......(cos x, sin x)
.....
.
.
.•
.
kulma x sijoitetaan em. tavalla yksikköym.
.
.....
sin x
.....
... ......
.....
... .......
.
.
..
...
...
.
.
.
.
.
...
1.......
pyrään uv-tasossa, niin ympyrän kehälle syn...
...
...
...
...
.
...
....
.
.
.
...
.
...
.
..... x
.
...
.
u..
.
.
.
tyvän pisteen koordinaatit ovat (cos x, sin x).
....
... ...
..
...
...
...
cos
x
..
.
...
...
(Nyt ensi alkuun näin on vain kun 0 < x <
...
...
...
...
...
..
...
.
.
....
...
.....
π/2, mutta aivan kohta tämä yleistetään.)
....
.....
.....
......
......
.......
......
.
.
..........
.
.
.
.
.
................................
Huomaa, että koska haluamme nyt merkitä argumenttikulmaa x:llä, niin kutsumme
koordinaatteja tavallisuudesta poiketen uv-koordinaateiksi.
..
Yleinen tapaus x ∈ R: Nyt laajennamme siniv
.............................
........
............
.
.
.
.
.
.
.
...... P
.....
.
..•
.
....
ja kosini-funktiot koskemaan kaikkia reaalilu.
.
.
v
.....
... ......... (u, v)
.....
...
...
.
.
...
...
...
.
.
...
.
...
...
kuja x seuraavasti. Olkoon x ∈ R mielivaltai...
...
...
..
.
.
.
...
..
.
....
.
...
....
.
.
...
.
...
u..
......... x
....
.
nen. Silloin on kulma, jonka suuruus radiaa..
.. .
...
.
...
...
u
...
.. 1
.
...
...
neissa on x. Sijoitamme kulman uv-tason yk...
...
...
..
...
...
.
...
.
.....
..
sikköympyrään kuten edellä, siis kärki on ori....
.....
.....
......
.....
......
........
.......
............... .....................
..........
gossa, oikea kylki on positiivisella u-akselilla,
ja toinen kylki löydetään kulkemalla ympyrän kehää tarvittava määrä, vastapäivään jos x ≥ 0, ja myötäpäivään jos
x < 0. Kehälle syntyy piste P , jonka koordinaatit olkoot (u, v).
12
Jos |x| > 2π, niin kehää kierretään tarpeeksi monta kierrosta.
..
..
v
..................................
.........
..............
.......
.........
......
........
.•
.....
...... .....
.
.
.
....
...
...
.
...
.
.
...
...
..
.
.
.
...
...
..
.
.
..
...
..
..
... .........
.
...
.•
................................
.....
...
...............................
.
...
.
...
.
..
....
......................... .... ..... ....
.
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.................................
..
...
.
.
.
.
.
.
.................
...
.
.
.
..
.
..
..
...
...
...
...
...
....
...
.
.
....
....
......
......
.......
.......
.........
.........
..............
..................................
(u, v)
P
x>0
1
v
........................................
........
............
.......
........
......
.......
....
......
.
.
.
....
...
.
...
.
...
..
.
.
...
..
.
..
..
..
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.. ..
...
..................................
.
...
...
..
....
..... ..... ... .. .... ....
...
..............................
...
...
.........................
..
.
...
...
.
•
.
.
.
..
...
.
..
...
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
....
.
.
.
.
... ....
....
... .....
......
.......
....
....•
.........
.........
..............
..................................
u..
x<0
P
Määritellään
1
u..
(u, v)
..
v
...........................
........
......
......
....
.•
.....
..... .....
.
.....
.
.
...
...
...
.
.
.
...
...
...
.
.
...
...
..
...
.
.
...
...
...
....
...
... . ..
...
......... ........
...
...
... ...
...
... ..
....
.
...
..
...
...
...
..
.
...
..
.
...
...
...
...
...
...
...
.....
...
.
.
.
.
.....
.
......
.....
.......
.....
.........
......
.........................................
............
(cos x, sin .x)
........
......
sin x = u,
sin x
x
cos x = v.
cos x
u..
1
Silloin olemme määritelleet sinin ja kosinin
funktioina sin x : R → R ja cos x : R → R.
Viereinen kuvio on edelleen voimassa, ja nyt
se pätee kaikille kulmille x ∈ R. Määritellään myös tangentti ja kotangentti:
sin x
cos x
cos x
cot x =
sin x
kun cos x ̸= 0,
tan x =
kun sin x ̸= 0.
Monisteessa s. 38 on näiden funktioiden kuvaajat. Sivulla 39 on merkkikaaviot, jotka seuraavat suoraan yo. määritelmästä.
...
Esimerkki
Jos α = − π6 , niin suuriako ovat sin α jne.?
Merkkikaavioista nähdään, että sin x < 0
ja cos x > 0, joten muistikolmion perus√
teella sin α = −1/2, cos α = 3/2, ja siis
√
√
tan α = −1/ 3 ja cot α = − 3.
......
.................. ..........................
........
.......
.......
......
......
.....
.
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
...
.
.
...
..
.
.
...
...
...
.
...
..
.
...
..
.
...
....
...
...
...
...
...
....... ..
...
.
..............
...
..
.
.
.
.......
..
...
.
.
.
.......
...
.
.
.
.
.
.
.......
...
..
.......
...
....... ....
...
.........
...
...
...
.•
.
.
....
...
.....
.....
.....
.....
......
.....
......
......
.
.
........
.
.
.
.
...........
....
......................................
√
3/2
−π/6
...
−1/2
Esimerkki
√
Ratkaise yhtälö cos x = 1/ 2.
Muistikolmion mukaan eräs ratkaisu
on x = π/4. Koska cos x saadaan vaakaakselilta, niin x = −π/4 on toinen ratkaisu. Muistamalla 2π:n jaksollisuus saadaan
vastaukseksi x = ±π/4 + 2πn, n ∈ Z.
13
...
.........................................
........
..........
.......
......
......
......
.....
.....
.
.
.
.
...
....
.
.
.
.....•.....
..
.
..... .....
.
.
.
...
...
.
...
.
.
.
.
...
...
.
..
.
.
.
.
...
.....
...
...
.....
.
.
...
.
.
....
....
...
.
.
.
...
......
...
.
.
.
...
.
...
... ...
.
.
.
....
.
..... .
...
.....
...
.....
..
...
.
.....
.
...
.
.
.
.....
.
...
.
.
.
.
.....
...
.....
...
...
.....
..
...
.....
..
...
.....
...
...
.
.
.
.
.
.
..... ....
.....
......
.....
.....
.....•
......
......
.......
......
.
.........
.
.
.
.
.
.
...........................................
1
π/4
√
1/ 2
...
Esimerkki
√
Ratkaise yhtälö sin x = − 3/2.
Muistikolmiosta nähdään, että
√
sin(π/3) = 3/2. Koska sini saadaan pysty-akselilta, niin vastaus on
{
x = −π/3 + 2πn tai
x = −2π/3 + 2πn,
eli
{
...
.............................................
.......
.........
......
.......
......
......
.
.
.
.
.
.....
.....
.....
...
.....
.
.
...
...
.
...
..
...
.
...
..
.
...
....
...
...
...
...
...
...
...
.
...
.
.
.
.
..
...
... .............
.
..
. ...
...
.
.
.
.
...
.
..
...
.
.
.
.
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
...
....
.
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...... .....
... ..........
........
......
.....
.
.
•............
•
.
.
.................. ................................
..... .....
.....
.....
..
−π/3
...
1
x = 5π/3 + 2πn tai
4π/3
√
5π/3
− 3/2
x = 4π/3 + 2πn.
Trigonometriset identiteetit
Esimerkki
Monisteessa todistetaan
1
,
cos x = ± √
2
tan x + 1
josta voidaan laskea cos x, jos tan x tunnetaan, edellyttäen, että jostain
voidaan päätellä kumpi merkki on oikein. Vastaava kaava sinille kuuluu
tan x
sin x = tan x · cos x = ± √
.
tan2 x + 1
Jos esimerkiksi tiedetään, että tan x =
cos x = − √
1
3
ja että x on II neljänneksessä, niin
1
3
= −√ ,
10
( 13 )2 + 1
1
sin x = √ .
10
Esimerkki
Todistetaan hyvin tärkeä kaava
sin x = cos
(π
2
)
−x .
Sivulla 39 on kaava
cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β,
joka on myös kaavakokoelmassa. (Tämä kuuluu kaavoihin, joita ei tällä kurssilla todisteta mutta joita saa käyttää.) Sen avulla saadaan
(π
)
(π )
(π )
cos
− x = cos
· cos x + sin
· sin x
2
2
2
= 0 · cos x + 1 · sin x
= sin x.
Kaava on helppo muistaa siitä, että tapauksessa 0 < x < π2 se nähdään suorakulmaisesta
kolmiosta.
14
.......
...........
.......... ..........
..........
.......... π
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
2
..........
..........
..........
...........
.......... ..
−x
x
Esimerkki
Edellisen esimerkin kaava sin x = cos( π2 − x) näkyy funktioiden kuvaajista
y = sin x ja y = cos x siten, että ne saadaan toisistaan peilaamalla suoran
x = π4 suhteen:
.....
y
x = π4
y = cos x
1
........
...................................... .............................................
............. ................... ..........
.......
.........
......
.......
...
......
.....
.....
.........
..... ......... π
.....
..... ........
3π ..........
.....
.....
.
.
.
.....
.
.
.
....
.... 2
..
....
.
...
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
....
.
......
...
....
....
....
...
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.....
.....
....
....
.....
.....
....
.....
.....
.....
..... .........
.....
....
.
.
.....
....
.
.
.
.
.
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
..
...........
........
......
......
...........
.................................. ........................................
......... ......................................
....
− π2 .............
...
π
2π
x
−1
y = sin x
Toinen vastaava identiteetti on cos x = sin(x + π2 ). Sekin näkyy kuvaajista.
Miten?
Esimerkki
On laskettava tarkasti sin 7π
12 .
4π
π
π
π
π
7π
Hoksaamalla, että 12 = 3π
12 + 12 = 4 + 3 , missä kulmien 4 ja 3 trigonometriset funktiot saadaan muistikolmioista, tämä voidaan ratkaista:
sin
(π π)
7π
= sin
+
12
4
3
π
π
π
π
= sin · cos + cos · sin
4
3
4
3
√
3
1 1
1
= √ · +√ ·
2 2
2 2
√
1+ 3
√ .
=
2 2
Trigonometriset yhtälöt
Esimerkki
.
Ratkaise yhtälö sin2 2x = 14 .
sin2 2x =
5π/6
1
1
⇐⇒ sin 2x = ±
4
2
π
⇐⇒ 2x = ± + nπ
6
π
π
⇐⇒ x = ± + n .
12
2
sin x = ± 12
..........................................
.......
........
......
......
.....
.....
.
.
.
....
.....
...
...
.
.
.....
..........
.....•
.•
.
.......
....... .....
.
.
.
.
.......
.
.
....
...
....
.
.......
.
.
.
.
...
.
...
..
.......
.
.......
.......
...
..
...................
.
.....
..........
.
.
.
.
.
...
.
.......
...
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.......
.
....
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.......
... .............
....... ...
..........
...........
..
•....
..•
....
...
.....
.....
.
.
.....
.
.
......
....
.
.
.
.
.
........
............... .....................
........
−5π/6
1/2
−1/2
π/6
..
−π/6
Esimerkki
Ratkaise yhtälö 2 cos2 x + sin x = 2.
Trigonometrisissa yhtälöissä pitää yleensä hoksata jokin keino, jolla yhtälö saadaan ratkaistavaan muotoon; rutiinikeinoja, jotka toimisivat aina,
15
ei ole. Kun nyt käsiteltävään yhtälöön sijoitetaan cos2 x = 1 − sin2 x, siihen
jää vain siniä:
2 cos2 x + sin x = 2 ⇐⇒ 2(1 − sin2 x) + sin x = 2
⇐⇒ 2 sin2 x − sin x = 0
⇐⇒ sin x · (2 sin x − 1) = 0
1
2
⇐⇒ sin x = 0 tai
sin x =
⇐⇒ x = nπ tai x =
π
5π
+ 2nπ tai x =
+ 2nπ.
6
6
Esimerkki
Ratkaise yhtälö cos x + sin x = 0.
Tapa 1. Todetaan ensin, ettei ole cos x = 0: Jos olisi cos x = 0, niin olisi
sin x = ±1, eikä yhtälö toteutuisi. Siis cos x ̸= 0,
..
tan x = −1
...........................
.........
......
.
.
.
.
.
.....
3π/4..•.........
joten sillä voidaan jakaa:
.....
..
... .....
sin x = − cos x ⇐⇒ tan x = −1
3π
⇐⇒ x =
+ nπ.
4
...
.. ......
...
.....
...
.....
...
...
.....
...
.....
....
...
.....
....
.....
...
...
.....
..
...
.....
..
.....
...
.
.
.....
.
...
.
.
.
..... ..
...
..... ....
.....
.....
.....
....•
......
......
.........
.............................
..
Nimittäin muistikolmiosta nähdään, että tan π4 = 1, ja merkkikaavioista
nähdään oikeat neljännekset.
Tapa 2. Käytetään sitä, että
(π
)
(π
)
− sin x = sin(−x) = cos
− (−x) = cos
+x .
2
2
Siis
cos x + sin x = 0 ⇐⇒ cos x = − sin x
)
(π
⇐⇒ cos x = cos
+x .
2
..
Nyt tarvitaan huomio
........
............. ..................
......
.•
......
.....
... .....
.....
... .....
...
.
...
...
..
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.....
.....
..
...
...
..
...
.
.
.
...
...
..
.
.
...
...
...
...
.. ......
.....
......
.......
.•
.......
......................................
α
cos x = cos α ⇐⇒ x = ±α + 2nπ.
Siis
cos α
−α
..
)
(π
)
+x
⇐⇒ x = ±
+ x + 2nπ
cos x = cos
2
2
π
π
⇐⇒ x =
+ x + 2nπ tai x = − − x + 2nπ
2
2
π
π
⇐⇒ 0 =
+ 2nπ tai 2x = − + 2nπ
2{z
2
|
}
(π
ei ratkaisua
π
⇐⇒ x = − + nπ.
4
16
Tapa 3. Käytetään kaavaa
cos α + cos β = 2 cos
(monisteessa ja kaavakokoelmassa):
cos x + sin x = cos x + cos
α+β
α−β
cos
2
2
(π
)
−x
2
x − ( π2 − x)
x + ( π2 − x)
= 2 cos
cos
2
2
(
(π )
π)
cos x −
= 2 cos
4
4
(
√
π)
= 2 cos x −
;
4
siis
(
π)
cos x + sin x = 0 ⇐⇒ cos x −
= 0
4
π
π
⇐⇒ x −
=
+ nπ
4
2
3π
+ nπ.
⇐⇒ x =
4
..
π/2
cos x = 0
.................
...........•
.......
........
......
......
.....
.....
...
....
.
...
..
.
...
...
....
...
...
..
....
...
...
..
...
.
...
..
.
.
...
.
.
...
...
.....
.....
.....
.....
......
......
.........
.............................
..
•
−π/2
Esimerkki
On mukava katsoa edellisen esimerkin yhtälön cos x + sin x = 0 ratkaisuja
graafisesti. Kuviossa on käyrät y = cos x ja y = − sin x.
...
y = − sin x
y
1
...................................... ...............................................
...................................... ...............................................
.............
.............
.......
..
..........
..........
......
.......
.......
.....
..........
......
......
......
...... ..........
...... ..........
.....
......
.
.....
.....
3π
.
.
.
.
.....
.....
.
.
.
.
.
.....
.....
...
...
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.....
.....
.....
....
....
....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
π
.....
.....
.....
7π
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
..
...... ......
4
.
4
......
.......
......
............
.......
.........
.......
.......................................... ..................................................
•
•
−
y = cos x
−1
2π
x
•
Trigonometriset epäyhtälöt
..
Esimerkki
.........................................................
..............................................
................................................
............................................................................
.
.
.
.
.
. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..
.... ............................................... .......
....
.... ...................................................................
...
...
....................................
...
...............................
...
.........................
..
...
.
......................
...
....
................
...
.............
...
...
..........
....
.........
.
...
...
.
.
.
....................
..
...
.
.
.
.
.
.
...
.............................
.
.
.
.
.
.
.
...
........................................
..
.
.
.
.
...
.
.
.
..
..................................
...
...
....
.........................................
.... ........................................................................ .......
.........................................................
...................................................
........ . . . . . . . . . . . . . . . ......
...............................................
...............................................
..................................
3π/4
Ratkaise epäyhtälö cos2 x ≤ 12 .
•
•
√
π/4
√
−1/ 2
1
1/ 2
..
⇐⇒ | cos x| ≤ √
2
1
1
•
•
5π/4
7π/4
⇐⇒ − √ ≤ cos x ≤ √ .
2
2
√
Pisteet cos x = ±1/ 2 saadaan kun x = π4 + n π2 . Kuviosta nähdään vastaus
cos2 x ≤
1
2
π
3π
+ 2nπ ≤ x ≤
+ 2nπ
4
4
tai
5π
7π
+ 2nπ ≤ x ≤
+ 2nπ.
4
4
Nämä voidaan yhdistää muotoon
3π
π
+ nπ ≤ x ≤
+ nπ.
4
4
17
Esimerkki
Monisteen esimerkissä 2.42 nähdään menetelmä trigonometristen murtolauseke-epäyhtälöiden ratkaisemiseksi: Viedään kaikki samalle puolelle ja
samalle murtoviivalle ja tehdään merkkitarkastelu.
sin x
Ratkaistaan epäyhtälö 2 sin x > tan x. Kirjoitetaan tan x = cos
x ja noudatetaan sitten em. ohjelmaa. Huomaa, ettei cos x:llä saa noin vain kertoa,
koska sen merkkiä ei tunneta.
sin x
2 sin x > tan x ⇐⇒ 2 sin x >
cos x
sin x
⇐⇒ 2 sin x −
> 0
cos x
2 sin x cos x − sin x
⇐⇒
> 0
cos x
sin x · (cos x − 21 )
⇐⇒
> 0.
cos x
Tutkitaan kolmen tekijän sin x, cos x ja cos x −
..
+
–
..
sin x
................................
........
......
......
.....
....
.....
.
.
.
...
.
...
...
..
...
.
...
....
...
...
..
...
.
...
...
...
..
.
...
.
.
.
...
...
...
...
.....
.....
......
......
.......
.....................................
–
..
..
cos x −
...........................
.........
.......
......
...
.....
... ........
.....
...
.
...
.
...
..
.
...
.
.
...
..
...
.
.
...
.
.
...
.
....
.
.
....
.....
...
...
...
...
..
...
.
...
.
...
.
.
...
...
...
...
...
...
...
.....
... ........
.....
.........
.......
.
.
...........
.
.......................
π/3
+
–
–
merkit:
cos x
..........
............ ..................
......
.....
.....
.....
.....
...
.
...
...
...
..
.
...
...
....
...
....
...
..
...
...
...
..
.
.
...
.
.
.
...
...
....
.....
....
......
.....
........
.....
..................................
+
1
2
–
..
+
+
+
–
1
2
..
5π/3
Yhdistetään:
π/2
–
.
...
...
....................................... ....
...........
...........
.
.
.
.
.
.
.
......
......
... ..........
......
.....
.....
...
.....
.......................... ....
.....
...
...........
..
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
. ........
....
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.....
..
...
....
..
.
.
.
.
.
.
...
.
...
.
..
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
....... ..............
.
.
..
.
....
.
.
.
...
...
....
... ......
...
....
.
.
...
...
.
...
.
...
....
.
.
...
....
.
...
...
..
...
.....
....
....
..
..
...
...
...
...
.
.
...
...
..
..
..
...
...
...
.
.
.
... ...
.
.
....
...
...
.
.
.
.
.
. ..
......
...
...
..............................
...
...
...
...
...
..
..
...
...
..
...
...
.....
...
... .........
...
.....
.
.
...
.
.
.
.
......
..
...
.......
.........
.....
....
................................ ....
.....
...
.....
.....
... .........
......
.. ......
.......
.......
.........
................................................ .....
...
...
...
+
π
...
–
π/3
–
–
– +
+
+ +
+ +
– ––
+
–
+
+
–
–
3π/2
+
+
0
...
–
Vastaus:

2nπ < x < π3 + 2nπ
tai


π
tai
2 + 2nπ < x < π + 2nπ

 3π
5π
2 + 2nπ < x < 3 + 2nπ.
5π/3
Arkusfunktiot
Arkussini
Sinifunktio sin x : R → R
....
2
y = sin x
y
...................................
......................................
......
........
......
.......
.....
......
.....
......
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.....
.
.....
.
.
.....
...
...
.
.....
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
..
.....
.
π
.
π
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
......
....
.......
......
........
2
..............2....................
.................................
.....
1
−
π
−1
−2
18
.....
x
ei ole bijektiivinen, joten sillä ei ole käänteisfunktiota. Jos siitä kuitenkin
”otetaan osa” sin x : [− π2 , π2 ] → [−1, 1], niin tämä funktio on bijektiivinen,
joten sillä on käänteisfunktio, ns. arkussini
arcsin x : [−1, 1] → [− π2 , π2 ].
.
......
y
y = arcsin x
π
2
....
y
.
..
...
..
..
.
.
...
..
..
...
.
.
...
...
...
...
.
.
..
...
...
...
...
.
.
..
...
...
...
...
.
...
...
...
..
.
.
.
..
...
..
..
...
...
π
y = sin x
.......
..................
..........
........
.......
......
.
.
.
.
.
.....
.....
.....
π
.....
.....
.
.
.
2
.
....
.....
.....
.....
π
.....
.
.
.
.
...
2
.....
......
......
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
......
..........
........................
1
−
x
−1
.....
x.
.
.......
1
−1
−2
Koska kyseessä on käänteisfunktio, niin, kun x ∈ [− π2 , π2 ] ja y ∈ [−1, 1],

x = arcsin y ⇐⇒ y = sin x,



arcsin(sin(x)) = x,



sin(arcsin(y)) = y.
Siis, kun on annettu b ∈ [−1, 1], niin arcsin b:n löytämiseksi on löydettävä sellainen α ∈ [− π2 , π2 ], että b = sin α; silloin α = arcsin b. Tätä voi
ajatella yksikköympyrän avulla:
...
...
π/2
...... ..................................
.......
......
......
.
......
......
.....
.
.....
.....
....
...
.
...
...
..
............
.
.
..
.
.
.
.
.
...
.
.....
.
.
.
.
.
.
...
.....
.
.
.
.
.
...
...
.
..
.
.......
...
.........
.
.
...
.
.
.
.
.
....
....... ..
..
...
...
..
.
..
....
..
...
..
...
...
...
...
.
..
.
....
.....
.....
..
.....
......
......
.
.
.
.
.
.
.......
......
....... ....................................
π/2
....... ..................................
.......
.......
......
.....
.....
.
.....
.....
...
...
.
...
...
...........
.
.
.
...
.....
.
.
..
.
.
.
.
.
...
.
.....
.
.
.
.
.
.
...
..
.......
...
..
.........
.
.
.
.
...
...
.
.
...... ..
.
.
.
...
...
..
....
...
.
.
..
...
...
...
..
..
...
.
.
....
...
..
....
.....
.....
..
......
.......
......
.
.
.
.
.
.
....... .... .....................
........
.
......
sin α
α
1
b
arcsin(b)
...
−1
−π/2
...
−π/2
tai vaihtoehtoisesti sinin kuvaajasta ”menemällä päinvastaiseen suuntaan”:
y
y ... 1
...
........
....................
...........
.........
........
.
.
.
.
.
.
......
.....
......
......
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
...
.....
.....
.
.
.
π
.....
π
.....
.
.
.
.
2
2
....
.....
......
......
......
.
.
.
.
.
.
....
........
.........
...........
...........................
1
sin α
x
−
..........
..................
..........
.........
.......
.
.
.
.
.
.....
......
......
......
.....
.
.
.
.
....
π
.....
.....
2 ..
.....
.
.....
.
.
.
.
.....
π
.....
.
.
.
.
....
2
.
.
.
.
.....
......
......
......
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
...........
..........................
b
α
−
arcsin(b)
−1
−1
19
x
Esimerkki 2.45 b)
...
Kysytään, mitä on arcsin(sin( 4π
5 )).
4π
π π
Jos olisi 5 ∈ [− 2 , 2 ], niin oli4π
si arcsin(sin( 4π
5 )) = 5 (käänteisfunktiot), mutta näinhän ei nyt ole. Kuitenkin arcsin(sin( 4π
5 )) on olemassa, ja
sen löytämiseksi on löydettävä sellainen α ∈ [− π2 , π2 ], että sin α = sin( 4π
5 ).
Yksikköympyrän avulla nähdään,
että α = π5 kelpaa. Siis
(
4π ) π
arcsin sin
= .
5
5
Vaihtoehtoisesti voi katsoa kuvaajaa
y
π/2
....................................................................
........
..............
.......
.........
......
......
.
.
.
.
.
......
..
.....
......
....
....
.
.
.
........
.
.......
.
...... ......
... ..........
.
.
.
......
....
...
.
..
.
.
.
.
......
...
...
.
.
.
..
.
.
.
.
......
...
.
......
......
...
...
......
.....
.
...
.
.
.
....
......
....
...
.
.
......
.
.
...
...
...... ............
...
...
....... .
...
.
...
..
...
..
.
.
...
..
...
.
...
...
...
...
...
..
...
...
.
....
.
....
...
....
....
.....
.....
......
.....
......
......
.
.
.
.
.......
.
.....
.........
..........
...............
..............................................................
sin(4π/5)
4π/5
π/5
arcsin(4π/5)
...
−π/2
....
y = sin x
........................................
........
............
.......
........
......
.......
......
......
.
.
.
.
.
.....
....
.
.....
.
.
.
π
.....
π
...
.
.
.
.
.....
...
.
.
.....
.
2
.
2
...
.....
.
.
.
.
.....
...
.
.
.
.....
.
π
4π
....
.....
.
.
.
.....
.....
...
.
5
.
.
5
.....
.
.....
....
......
.
......
.
.
.
......
......
...
.
.
.
.
.
.......
.......
....
.
.
.
.....
........
.
.
.
.....
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................................
1
−
π
x
.....
−1
ja laskea arcsin(sin 4π
5 )=
π
2
π
− ( 4π
5 − 2) = π −
4π
5
= π5 .
Arkuskosini
Kosinin käänteisfunktio arkuskosini käsitellään aivan samoin, paitsi että
kosini katsotaan funktioksi cos x : [0, π] → [−1, 1], sillä koska näin saadaan
bijektiivinen funktio, niin voidaan määritellä käänteisfunktio
arccos x : [−1, 1] → [0, π].
Siis, kun x ∈ [0, π] ja y ∈ [−1, 1], niin
⇐⇒
x = arccos y
y = cos x.
Monisteessa on arkuskosinin kuvaaja. Muut vastaavat kuviot kuin edellä
arkussinin yhteydessä ovat arkuskosinille seuraavanlaisia:
π
...
...
...........................................
........
..........
.......
......
......
......
.....
.
.
.
.
......
....
.... .....
.
.
.
.... .......
.
...
.
.
.
.
.
...
....
.
...
.
...
.
.
.
...
...
.....
...
.....
...
...
....
..
.
.
.
.
...
...
.
.
.
....
...
......
.
.
.
.
...
...
.... ....
.
..
.
...
.
..
...
...
..
.
...
...
..
....
...
..
..
..
...
.
..
...
.....
..
..
.....
......
.
. .
......
......
..
.
.
.
.
.
....... ....... .......
...........................................
........
..........
.......
......
......
......
.....
.
.
.
.
......
....
.... .....
.
.
.
.... .......
.
...
.
.
.
.
.
...
....
.
...
.
...
.
.
.
...
...
.....
...
.....
...
...
....
..
.
.
.
.
...
...
.
.
.
....
...
...
.
.
.
.
.
...
...
.... ....
.
..
.
...
.
... ..
...
..
.
...
...
..
....
...
..
..
..
...
.
..
...
.....
..
..
.....
......
.
. .
......
......
..
.
.
.
.
.
....... ....... .......
α
0
π
...
arccos(b)
−1
cos α
20
b
1
0
...
..
1
y
..
........................
...........
........
.......
.......
......
......
......
.....
..... π
.....
..... 2
.....
.....
.....
.....
.....
......
......
......
.......
.......
.........
...........
......................
α
π
1
−1
arccos(b)
...
x
cos(α)
y
........................
...........
........
.......
.......
......
......
......
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
......
......
.......
.......
.........
...........
......................
b
−1
π
...
x
Esimerkki 2.46
√
Kysytään, paljonko on cos(arcsin(1/ 5 )). Monisteessa tämä päätellään
√
suorakulmaisesta kolmiosta. Toinen tapa: Merkitään α = arcsin(1/ 5 ).
√
√
Silloin α ∈ [− π2 , π2 ] ja sin α = 1/ 5 . Yleisesti cos α = ± 1 − sin2 α, mutta
koska nyt α ∈ [− π2 , π2 ], niin cos α ≥ 0. Siis
√
( 1 )2
√
2
cos α =
1 − sin2 α =
1− √
= √ ,
5
5
toisin sanoen
(
1 )
2
cos arcsin √
= √ .
5
5
Hyperbelifunktiot
Neperin luku
Neperin luku e = 2,718... voidaan määritellä eri tavoin, ja sivulla 62 tulee
eräs:
(
1 )x
e = lim 1 +
.
x→∞
x
Tässä kurssissa se otetaan tunnettuna. Luku e on tärkeimpiä vakioita matematiikassa. Eksponenttifunktioiden ax joukossa ex on tärkein, jopa niin,
että termillä eksponenttifunktio usein tarkoitetaankin juuri funktiota ex .
Luonnollinen logaritmi
Eksponenttifunktion ex : R → (0, ∞) käänteisfunktiota sanotaan luonnolliseksi logaritmiksi ln x; siis
...
y .......
.. y = ex
ln x = loge x : (0, ∞) → R.
...
...
Käänteisfunktio-ominaisuuksista seuraa taas

x = ln y ⇐⇒ y = ex



eln y = y;



ln(ex ) = x,
..
..
...
..
.
.
.........
...
....................
...
.................
..............
....
...
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
........
........
......
.............
.....
..
.............................................
....
...
.
.
..
..
.
.
...
..
..
...
...
..
..
y = ln x
1
x
1
kun x, y ∈ R, y > 0.
Funktiot ex ja ln x ovat tärkeitä mm. siksi, että ne toteuttavat yksinker∫
taiset Dex = ex ja D ln x = x1 . Silloin esimerkiksi dx
x = ln x + C. Näistä
x
johtuen e ja ln x putkahtavat sovelluksissa esiin tuon tuostakin.
21
Hyperbelifunktiot eli hyperboliset funktiot
Määritellään hyperbelisini ja hyperbelikosini
sinh x = 12 (ex − e−x ) : R → R,
cosh x = 12 (ex + e−x ) : R → R.
Nämä kaavat ovat kaavakokoelmassakin. Samassa kaavassa (10) esiintyvät
areafunktiot arsinh x ja arcosh x ovat niiden käänteisfunktiot; ne eivät kuulu
tähän kurssiin. Myös määritellään hyperbelitangentti ja -kotangentti:
sinh x
: R → R,
cosh x
cosh x
coth x =
: R \ {0} → R.
sinh x
tanh x =
Ajattelemalla hyperbelisiniä ja -kosinia kahden eksponenttifunktion erotuksena ja summana, siis sinh x = ex /2 − e−x /2 ja cosh x = ex /2 + e−x /2,
niiden kuvaajat on helppo hahmotella:
..
...
....
.......
.....
.....
....
......
....
........
.....
.
.
.
.
....
.
.....
.......
......
.........
.....
....
.........
.....
.
.
.
....
....
....
.......
......
.......
.......
.......
......
............
.
.
.......
.
........
......
.........
.........
............
.... .......
....... .......
.... ..........
..... .................................................
.
.....
.
......
..... ...
....... ............ ......
............. ....
.. ... .
x
−x
............ .................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............................
..........................
....
........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.....
.
.
.
.
.....
....
....
....
....
.
.
.
.
....
...
...
...
.
.
.
...
...
..
..
.
...
...
..
..
...
..
...
...
....
y
y = cosh x
y = e /2
y=e
/2
x
y = sinh x
Monisteessa on listattuna muutama hyperbolisten funktioiden identiteetti. Ne ovat seuraavassa taulukossa melkein kaikki ja lisäksi on kaksi
muuta, ja rinnalla on eräät trigonometristen funktioiden identiteetit:
cosh2 x − sinh2 x = 1
cos2 x + sin2 x = 1
sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
sin 2x = 2 sin x cos x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
cos 2x = cos2 x − sin2 x
cosh x = √
1
cos x = ± √1+tan
2x
tanh(x +
tan(x + y) =
1
1−tanh2 x
tanh x+tanh y
y) = 1+tanh
x tanh y
22
tan x+tan y
1−tan x tan y
Huomataan, että hyperbolisilla ja trigonometrisilla funktioilla on vastaavanlaiset identiteetit; vain merkkieroja tulee joihinkin kohtiin.
Nämä hyperbolisten funktioiden identiteetit on helppo todistaa suoraan
laskemalla lausekkeista sinh x = 12 (ex − e−x ) ja cosh x = 12 (ex + e−x ), kuten
monisteen sivulla 54 tehdään; tosin viimeiset kaksi johdetaan mukavammin
ylemmistä identiteeteistä.
Huomautus
Voidaan kysyä, että jos hyperbelifunktioiden identiteettejä voidaan todistaa noinkin helposti laskemalla suoraan lausekkeista (ks. s. 54), niin eikö
trigonometrisilla funktioilla onnistuisi saman tapainen, kun ne kerran näyttävät jotenkin analogisilta. Todellakin, sellainen keino on olemassa, joskin
sitä varten pitäisi tuntea kompleksifunktioiden teoriaa ja varsinkin Eulerin
kaava eix = cos x + i sin x, missä nyt esiintyy kompleksinen eksponentti1
funktio. Kaavasta seuraa sin x = 2i
(eix − e−ix ) ja cos x = 21 (eix + e−ix ), ja
näillä lausekkeilla voi laskea. Nämä asiat eivät kuulu tähän kurssiin.
Esimerkki
Johdetaan funktion sinh x : R → R käänteisfunktion arsinh x lauseke. Kuvaajasta nähdään, että sinh x on bijektio, joten sillä on käänteisfunktio. Kun
x, y ∈ R, niin
y = sinh x
− e−x )
⇐⇒
y =
⇐⇒
ex − 2y − e−x = 0
⇐⇒
(ex )2 − 2yex − 1 = 0
√
ex = y ± y 2 + 1 ,
⇐⇒
1 x
2 (e
missä käytettiin toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Koska ex > 0, niin
√
miinusmerkki voidaan jättää pois (nimittäin y − y 2 + 1 < 0 sillä y 2 + 1 >
y 2 ). Näin ollen
√
y = sinh x ⇐⇒ ex = y + y 2 + 1
√
⇐⇒ x = ln(y + y 2 + 1 ).
√
Siispä käänteisfunktion lausekkeeksi tulee arsinh y = ln(y + y 2 + 1 ), ja
jos halutaan merkitä argumentiksi x, niin
√
arsinh x = ln(x + x2 + 1 ).
Samaan tapaan johdetaan funktion cosh x käänteisfunktiolle lauseke
√
arcosh x = ln(x + x2 − 1 ).
Bijektiivisyyttä varten cosh x katsotaan funktioksi [0, ∞) → [1, ∞). Laskussa miinusmerkin hylkäämisen perustelu on hiukan vaikeampi kuin edellä.
23