Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2015
Insinöörivalinnan matematiikan koe, 26.5.2015 klo 14-17
Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhjältä sivulta. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen
puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se,
sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä
ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut.
Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
Sarja A-FI
A3 Ratkaise yhtälöt:
1
(a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π.
2
(b) ln(x + 3) − 1 = 2 ln x.
Anna a-kohdassa ratkaisu tarkassa muodossa ja b-kohdassa tarkassa muodossa ja likiarvo kolmella desimaalilla. Tässä ln x = loge x on luonnollinen
logaritmi.
A4 Joen kalakannasta 69 % kuolee talvella, mutta joka keväänä jokeen nousee
7100 uutta kalaa talvesta selvinneiden kalojen lisäksi.
A1 (a) Derivoi
f (x) =
Z
√
x2 + 3.
(b) Laske
(x + 5)(x2 + 7) dx.
(c) Ratkaise
|15 − 7x| ≤ 3.
A2 Ohjelma tuottaa kuuden merkin mittaisia merkkijonoja, jotka muodostuvat ykkösistä ja nollista. Ohjelma tuottaa merkit satunnaisesti toisista
riippumatta. Merkki on ykkönen todennäköisyydellä p = 68 %.
(a) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on täsmälleen neljä ykköstä?
(a) Kesällä vuonna 0 oli joessa 2100 kalaa. Kuinka monta kalaa joessa on
kesällä vuosina 1, 2 ja 3?
(b) Kalojen määrä vuonna 0 on tuntematon. Tarkastele kalapopulaatiota
kesällä vuonna n. Mitä se lähestyy, kun n → ∞?
A5 Kahden kolminumeroisen luvun summa on 999. Kirjoittamalla kahdella
eri tavalla luvut peräkkäin saadaan kaksi kuusinumeroista lukua, joiden
suhde on 6. Määrää kolminumeroiset luvut.
A6 Pallon keskipiste on origossa. Pallon pinnalla, pisteessä P = (3, 0, 4), on
suoran, ohuen, viisi yksikön mittaisen tikun alapää. Tikku sojottaa ulos
pallon pinnalta pallon säteen suuntaisesti. Pisteessä Q = (18, −6, 17) sijaitsee pistemäinen valonlähde.
(a) Määritä tikun yläpään koordinaatit.
(b) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on vähintään neljä ykköstä
peräkkäin?
(b) Mikä on pallon pinnalle piirtyvän varjon kaarenpituus?
c 2015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2015
Ingenjörantagningens prov i matematik, 26.5.2015 kl 14-17
Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma koncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Markera om svaret fortsätter på flera
koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid
behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om
icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje
fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i
bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna
svaret.
Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling.
Serie A-SV
A3 Lös ekvationerna:
1
(a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π.
2
(b) ln(x + 3) − 1 = 2 ln x.
Ge lösningarna i a-delen i exakt form och i b-delen i exakt form och
närmevärdet med tre decimaler. Här är ln x = loge x den naturliga logaritmen.
A4 I en å dör 69 % av fiskbeståndet på vintern, men varje vår stiger 7100 nya
fiskar till ån som ett tillskott till de fiskar, som klarat vintern.
A1 (a) Derivera
f (x) =
Z
(b) Beräkna
(c) Lös
√
x2 + 3.
(x + 5)(x2 + 7) dx.
|15 − 7x| ≤ 3.
A2 Ett program producerar sex tecken långa sekvenser, som består av ettor
och nollor. Programmet producerar tecken oberoende av varandra. Ett
tecken är en etta med sannolikhet p = 68 %.
(a) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens exakt fyra ettor?
(a) På sommaren år 0 fanns det 2100 fiskar i ån. Hur många fiskar fanns
det i ån på sommaren åren 1, 2 ja 3?
(b) Antal fiskar år 0 är obekant. Betrakta fiskpopulationen på sommaren
år n. Vad närmar den, då n → ∞?
A5 Summan av två tresiffriga tal är 999. Genom att skriva talen på två olika
sätt efter varandra får man två sexsiffriga tal, vars kvot är 6. Bestäm de
tresiffriga talen.
A6 Ett klot har sin mittpunkt i origo. På klotets yta, i punkten P = (3, 0, 4),
finns nedre ändan av en rak, tunn, fem enheter lång sticka. Stickan pekar
ut från klotets yta parallellt med klotets radie. I punkten Q = (18, −6, 17)
finns en punktformad ljuskälla.
(a) Bestäm koordinaterna för den övre ändan av stickan.
(b) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens minst fyra konsekutiva
ettor?
(b) Bestäm båglängden hos skuggan av stickan på klotets yta.
c 2015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2015
Insinöörivalinnan matematiikan koe, 26.5.2015 klo 14-17
Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhjältä sivulta. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen
puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se,
sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä
ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut.
Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
Sarja B-FI
B3 Ratkaise yhtälöt:
1
(a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π.
2
(b) ln(x + 5) − 1 = 2 ln x.
Anna a-kohdassa ratkaisu tarkassa muodossa ja b-kohdassa tarkassa muodossa ja likiarvo kolmella desimaalilla. Tässä ln x = loge x on luonnollinen
logaritmi.
B4 Joen kalakannasta 71 % kuolee talvella, mutta joka keväänä jokeen nousee
6100 uutta kalaa talvesta selvinneiden kalojen lisäksi.
B1 (a) Derivoi
f (x) =
Z
√
x2 + 4.
(b) Laske
(x + 4)(x2 + 7) dx.
(c) Ratkaise
|16 − 5x| ≤ 3.
B2 Ohjelma tuottaa kuuden merkin mittaisia merkkijonoja, jotka muodostuvat ykkösistä ja nollista. Ohjelma tuottaa merkit satunnaisesti toisista
riippumatta. Merkki on ykkönen todennäköisyydellä p = 76 %.
(a) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on täsmälleen neljä ykköstä?
(a) Kesällä vuonna 0 oli joessa 2200 kalaa. Kuinka monta kalaa joessa on
kesällä vuosina 1, 2 ja 3?
(b) Kalojen määrä vuonna 0 on tuntematon. Tarkastele kalapopulaatiota
kesällä vuonna n. Mitä se lähestyy, kun n → ∞?
B5 Kahden kolminumeroisen luvun summa on 999. Kirjoittamalla kahdella
eri tavalla luvut peräkkäin saadaan kaksi kuusinumeroista lukua, joiden
suhde on 6. Määrää kolminumeroiset luvut.
B6 Pallon keskipiste on origossa. Pallon pinnalla, pisteessä P = (3, 0, 4), on
suoran, ohuen, viisi yksikön mittaisen tikun alapää. Tikku sojottaa ulos
pallon pinnalta pallon säteen suuntaisesti. Pisteessä Q = (18, −6, 17) sijaitsee pistemäinen valonlähde.
(a) Määritä tikun yläpään koordinaatit.
(b) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on vähintään neljä ykköstä
peräkkäin?
(b) Mikä on pallon pinnalle piirtyvän varjon kaarenpituus?
c 2015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2015
Ingenjörantagningens prov i matematik, 26.5.2015 kl 14-17
Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma koncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Markera om svaret fortsätter på flera
koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid
behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om
icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje
fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i
bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna
svaret.
Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling.
Serie B-SV
B3 Lös ekvationerna:
1
(a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π.
2
(b) ln(x + 5) − 1 = 2 ln x.
Ge lösningarna i a-delen i exakt form och i b-delen i exakt form och
närmevärdet med tre decimaler. Här är ln x = loge x den naturliga logaritmen.
B4 I en å dör 71 % av fiskbeståndet på vintern, men varje vår stiger 6100 nya
fiskar till ån som ett tillskott till de fiskar, som klarat vintern.
B1 (a) Derivera
f (x) =
Z
(b) Beräkna
(c) Lös
√
x2 + 4.
(x + 4)(x2 + 7) dx.
|16 − 5x| ≤ 3.
B2 Ett program producerar sex tecken långa sekvenser, som består av ettor
och nollor. Programmet producerar tecken oberoende av varandra. Ett
tecken är en etta med sannolikhet p = 76 %.
(a) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens exakt fyra ettor?
(a) På sommaren år 0 fanns det 2200 fiskar i ån. Hur många fiskar fanns
det i ån på sommaren åren 1, 2 ja 3?
(b) Antal fiskar år 0 är obekant. Betrakta fiskpopulationen på sommaren
år n. Vad närmar den, då n → ∞?
B5 Summan av två tresiffriga tal är 999. Genom att skriva talen på två olika
sätt efter varandra får man två sexsiffriga tal, vars kvot är 6. Bestäm de
tresiffriga talen.
B6 Ett klot har sin mittpunkt i origo. På klotets yta, i punkten P = (3, 0, 4),
finns nedre ändan av en rak, tunn, fem enheter lång sticka. Stickan pekar
ut från klotets yta parallellt med klotets radie. I punkten Q = (18, −6, 17)
finns en punktformad ljuskälla.
(a) Bestäm koordinaterna för den övre ändan av stickan.
(b) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens minst fyra konsekutiva
ettor?
(b) Bestäm båglängden hos skuggan av stickan på klotets yta.
c 2015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2015
Insinöörivalinnan matematiikan koe, 26.5.2015 klo 14-17
Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhjältä sivulta. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen
puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se,
sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä
ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut.
Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
Sarja C-FI
C3 Ratkaise yhtälöt:
1
(a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π.
2
(b) ln(x + 4) − 1 = 2 ln x.
Anna a-kohdassa ratkaisu tarkassa muodossa ja b-kohdassa tarkassa muodossa ja likiarvo kolmella desimaalilla. Tässä ln x = loge x on luonnollinen
logaritmi.
C4 Joen kalakannasta 73 % kuolee talvella, mutta joka keväänä jokeen nousee
5200 uutta kalaa talvesta selvinneiden kalojen lisäksi.
C1 (a) Derivoi
f (x) =
Z
√
x2 + 5.
(b) Laske
(x + 2)(x2 + 9) dx.
(c) Ratkaise
|17 − 9x| ≤ 3.
C2 Ohjelma tuottaa kuuden merkin mittaisia merkkijonoja, jotka muodostuvat ykkösistä ja nollista. Ohjelma tuottaa merkit satunnaisesti toisista
riippumatta. Merkki on ykkönen todennäköisyydellä p = 79 %.
(a) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on täsmälleen neljä ykköstä?
(a) Kesällä vuonna 0 oli joessa 2300 kalaa. Kuinka monta kalaa joessa on
kesällä vuosina 1, 2 ja 3?
(b) Kalojen määrä vuonna 0 on tuntematon. Tarkastele kalapopulaatiota
kesällä vuonna n. Mitä se lähestyy, kun n → ∞?
C5 Kahden kolminumeroisen luvun summa on 999. Kirjoittamalla kahdella
eri tavalla luvut peräkkäin saadaan kaksi kuusinumeroista lukua, joiden
suhde on 6. Määrää kolminumeroiset luvut.
C6 Pallon keskipiste on origossa. Pallon pinnalla, pisteessä P = (3, 0, 4), on
suoran, ohuen, viisi yksikön mittaisen tikun alapää. Tikku sojottaa ulos
pallon pinnalta pallon säteen suuntaisesti. Pisteessä Q = (18, −6, 17) sijaitsee pistemäinen valonlähde.
(a) Määritä tikun yläpään koordinaatit.
(b) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on vähintään neljä ykköstä
peräkkäin?
(b) Mikä on pallon pinnalle piirtyvän varjon kaarenpituus?
c 2015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2015
Ingenjörantagningens prov i matematik, 26.5.2015 kl 14-17
Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma koncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Markera om svaret fortsätter på flera
koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid
behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om
icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje
fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i
bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna
svaret.
Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling.
Serie C-SV
C3 Lös ekvationerna:
1
(a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π.
2
(b) ln(x + 4) − 1 = 2 ln x.
Ge lösningarna i a-delen i exakt form och i b-delen i exakt form och
närmevärdet med tre decimaler. Här är ln x = loge x den naturliga logaritmen.
C4 I en å dör 73 % av fiskbeståndet på vintern, men varje vår stiger 5200 nya
fiskar till ån som ett tillskott till de fiskar, som klarat vintern.
C1 (a) Derivera
f (x) =
Z
(b) Beräkna
(c) Lös
√
x2 + 5.
(x + 2)(x2 + 9) dx.
|17 − 9x| ≤ 3.
C2 Ett program producerar sex tecken långa sekvenser, som består av ettor
och nollor. Programmet producerar tecken oberoende av varandra. Ett
tecken är en etta med sannolikhet p = 79 %.
(a) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens exakt fyra ettor?
(a) På sommaren år 0 fanns det 2300 fiskar i ån. Hur många fiskar fanns
det i ån på sommaren åren 1, 2 ja 3?
(b) Antal fiskar år 0 är obekant. Betrakta fiskpopulationen på sommaren
år n. Vad närmar den, då n → ∞?
C5 Summan av två tresiffriga tal är 999. Genom att skriva talen på två olika
sätt efter varandra får man två sexsiffriga tal, vars kvot är 6. Bestäm de
tresiffriga talen.
C6 Ett klot har sin mittpunkt i origo. På klotets yta, i punkten P = (3, 0, 4),
finns nedre ändan av en rak, tunn, fem enheter lång sticka. Stickan pekar
ut från klotets yta parallellt med klotets radie. I punkten Q = (18, −6, 17)
finns en punktformad ljuskälla.
(a) Bestäm koordinaterna för den övre ändan av stickan.
(b) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens minst fyra konsekutiva
ettor?
(b) Bestäm båglängden hos skuggan av stickan på klotets yta.
c 2015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice
Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2015
Insinöörivalinnan matematiikan koe, 26.5.2015 klo 14-17
Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhjältä sivulta. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen
puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se,
sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä
ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut.
Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
Sarja D-FI
D3 Ratkaise yhtälöt:
1
(a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π.
2
(b) ln(x + 6) − 1 = 2 ln x.
Anna a-kohdassa ratkaisu tarkassa muodossa ja b-kohdassa tarkassa muodossa ja likiarvo kolmella desimaalilla. Tässä ln x = loge x on luonnollinen
logaritmi.
D4 Joen kalakannasta 76 % kuolee talvella, mutta joka keväänä jokeen nousee
4300 uutta kalaa talvesta selvinneiden kalojen lisäksi.
D1 (a) Derivoi
f (x) =
Z
√
x2 + 6.
(b) Laske
(x + 7)(x2 + 3) dx.
(c) Ratkaise
|13 − 7x| ≤ 3.
D2 Ohjelma tuottaa kuuden merkin mittaisia merkkijonoja, jotka muodostuvat ykkösistä ja nollista. Ohjelma tuottaa merkit satunnaisesti toisista
riippumatta. Merkki on ykkönen todennäköisyydellä p = 82 %.
(a) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on täsmälleen neljä ykköstä?
(a) Kesällä vuonna 0 oli joessa 2400 kalaa. Kuinka monta kalaa joessa on
kesällä vuosina 1, 2 ja 3?
(b) Kalojen määrä vuonna 0 on tuntematon. Tarkastele kalapopulaatiota
kesällä vuonna n. Mitä se lähestyy, kun n → ∞?
D5 Kahden kolminumeroisen luvun summa on 999. Kirjoittamalla kahdella
eri tavalla luvut peräkkäin saadaan kaksi kuusinumeroista lukua, joiden
suhde on 6. Määrää kolminumeroiset luvut.
D6 Pallon keskipiste on origossa. Pallon pinnalla, pisteessä P = (3, 0, 4), on
suoran, ohuen, viisi yksikön mittaisen tikun alapää. Tikku sojottaa ulos
pallon pinnalta pallon säteen suuntaisesti. Pisteessä Q = (18, −6, 17) sijaitsee pistemäinen valonlähde.
(a) Määritä tikun yläpään koordinaatit.
(b) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on vähintään neljä ykköstä
peräkkäin?
(b) Mikä on pallon pinnalle piirtyvän varjon kaarenpituus?
c 2015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2015
Ingenjörantagningens prov i matematik, 26.5.2015 kl 14-17
Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma koncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Markera om svaret fortsätter på flera
koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid
behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om
icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje
fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i
bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna
svaret.
Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling.
Serie D-SV
D3 Lös ekvationerna:
1
(a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π.
2
(b) ln(x + 6) − 1 = 2 ln x.
Ge lösningarna i a-delen i exakt form och i b-delen i exakt form och
närmevärdet med tre decimaler. Här är ln x = loge x den naturliga logaritmen.
D4 I en å dör 76 % av fiskbeståndet på vintern, men varje vår stiger 4300 nya
fiskar till ån som ett tillskott till de fiskar, som klarat vintern.
D1 (a) Derivera
f (x) =
Z
(b) Beräkna
(c) Lös
√
x2 + 6.
(x + 7)(x2 + 3) dx.
|13 − 7x| ≤ 3.
D2 Ett program producerar sex tecken långa sekvenser, som består av ettor
och nollor. Programmet producerar tecken oberoende av varandra. Ett
tecken är en etta med sannolikhet p = 82 %.
(a) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens exakt fyra ettor?
(a) På sommaren år 0 fanns det 2400 fiskar i ån. Hur många fiskar fanns
det i ån på sommaren åren 1, 2 ja 3?
(b) Antal fiskar år 0 är obekant. Betrakta fiskpopulationen på sommaren
år n. Vad närmar den, då n → ∞?
D5 Summan av två tresiffriga tal är 999. Genom att skriva talen på två olika
sätt efter varandra får man två sexsiffriga tal, vars kvot är 6. Bestäm de
tresiffriga talen.
D6 Ett klot har sin mittpunkt i origo. På klotets yta, i punkten P = (3, 0, 4),
finns nedre ändan av en rak, tunn, fem enheter lång sticka. Stickan pekar
ut från klotets yta parallellt med klotets radie. I punkten Q = (18, −6, 17)
finns en punktformad ljuskälla.
(a) Bestäm koordinaterna för den övre ändan av stickan.
(b) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens minst fyra konsekutiva
ettor?
(b) Bestäm båglängden hos skuggan av stickan på klotets yta.
c 2015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice
Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus
Tehtävä 1
A
(a) f (x) =
√
x2 + a = (x2 + a)1/2 .
2x
x
f 0 (x) = √
=√
.
2
2
2 x +a
x +a
R
(b) (x +
a)(x2
Z
=
a
b
1
x + ax + bx + ab dx = x4 + x3 + x + abx
4
3
2
2
(c) |a − bx| ≤ c
−c ≤ a − bx ≤ c
−(a + c)/b ≤ x ≤ (c − a)/b
D
√
f (x) = x2 + 6
x
f 0 (x) = f (x)
Z
f (x) = x2 + 3
x
f 0 (x) = f (x)
f (x) = x2 + 4
x
f 0 (x) = f (x)
Z
Z
Z
2
√
C
√
f (x) = x2 + 5
x
f 0 (x) = f (x)
+ b)dx
3
B
√
(x + 5)(x + 7) dx =
x4
4
+
5x3
3
+
7x4
2
+ 35x
2
(x + 4)(x + 7) dx =
x4
4
+
4x3
3
+
7x4
2
+ 28x
2
(x + 2)(x + 9) dx =
x4
4
+
2x3
3
+
9x4
2
+ 18x
x4
4
(x + 7)(x2 + 3) dx =
+
7x3
3
+
3x4
2
|15 − 7x| ≤ 3
|16 − 5x| ≤ 3
|17 − 9x| ≤ 3
|13 − 7x| ≤ 3
12
7
13
5
14
9
10
7
≤x≤
18
7
≤x≤
19
5
≤x≤
20
9
≤x≤
16
7
+ 21x
Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus
Tehtävä 2
(a) Jonossa on kaksi nollaa ja neljä ykköstä, eli
6 4
P =
p (1 − p)2
4
A
B
C
D
p = 68
P = 0, 3284 · · · ≈
33%
p = 76
P = 0, 2882 · · · ≈
29%
p = 79
P = 0, 2576 · · · ≈
26%
p = 82
P = 0, 2197 · · · ≈
22%
P = 0, 3506 · · · ≈
35%
P = 0, 4937 · · · ≈
49%
P = 0, 5530 · · · ≈
55%
P = 0, 6148 · · · ≈
61%
(b) Suotuisat, keskenään poissulkevat tapaukset ovat muotoa
1111xx, 01111x, ja x01111, jossa x on mielivaltainen numero. Eli
4
4
4
4
P = p + (1 − p)p + (1 − p)p = (3 − 2p)p
3
Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus
Tehtävä 3
A
(a)
sin y =
y = − 14 π + 2πN
∨
−1
√
,
2
y∈R
(1)
y = π − (− 41 π) + 2πN
x = y − 1 ∈ [0, 2π]
x=
7
4π
−1
∨
x=
B
C
D
x = { 74 π−1, 54 π−1}
x = { 74 π−1, 54 π−1}
x = { 74 π−1, 45 π−1}
x = { 74 π−1, 54 π−1}
=
=
=
=
{4, 497 . . . ; 2, 927 . . . } {4, 497 . . . ; 2, 927 . . . } {4, 497 . . . ; 2, 927 . . . } {4, 497 . . . ; 2, 927 . . . }
(2)
(3)
5
4π
−1
(4)
(b)
ln(x + a) − 1 = 2 ln x
⇔
⇔
⇒
⇔
⇔
ln(x + a) = ln(e) + ln x
ln(x + a) = ln ex
x + a = ex
2
2
2
ex − x − a = 0
√
1 ± 1 + 4ae
x=
2e
Koska x, x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ 0, ratkaisu on
√
1 + 1 + 4ea
x=
2e
(5)
2
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
x= √
1 + 1 + 4 · 3e
=
2e
√
1 + 1 + 12 e
=
2e
= 1, 25046
4
x= √
1 + 1 + 4 · 5e
=
2e
√
1 + 1 + 20 e
=
2e
= 1, 41087
x= √
1 + 1 + 4 · 4e
=
2e
√
1 + 1 + 16 e
=
2e
= 1, 55260
x= √
1 + 1 + 4 · 6e
=
2e
√
1 + 1 + 24 e
=
2e
= 1, 68097
Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus
Tehtävä 4
(a) Ongelmaa voidaan mallintaa 1. kertaluvun lineaarisella differenssiyhtälöllä
xn+1 = d + r xn ,
A
B
C
D
69
r = 1 − 100
d = 7100
71
r = 1 − 100
d = 6100
73
r = 1 − 100
d = 5200
76
r = 1 − 100
d = 4300
x0
x1
x2
x3
x0
x1
x2
x3
x0
x1
x2
x3
x0
x1
x2
x3
jossa r on talvehtivien kalojen osuus. Merkitään aloitusvuoden 0
kalojen määrää x0 . Saadaan
x1 = d + rx0
x2 = d + rx1 = d + dr + r2 x0
x3 = d + rx2 = d + dr + dr2 + r3 x0
(b) Selvästi limn→∞ rn = 0, koska |r| < 1, joten tarkastelemalla xn
lauseketta:
d
1 − rn
+ r n x0 =
x∞ := lim xn = lim d
n→∞
n→∞
1−r
1−r
= 2100, 0
= 7751, 0
= 9502, 8
= 10045, 9
x∞ ≈ 10289, 8
Vaihtoehtoisesti: Oletetaan, että on olemassa tasapainotila x∞ =
limx→∞ xn . Tällöin
x∞ = d + r x∞
⇔
x∞ =
d
.
1−r
5
= 2200, 0
= 6738, 0
= 8054, 0
= 8435, 7
x∞ ≈ 8591, 5
= 2300, 0
= 5821, 0
= 6771, 7
= 7028, 4
x∞ ≈ 7123, 3
= 2400, 0
= 4876, 0
= 5470, 2
= 5612, 9
x∞ ≈ 5657, 9
Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus
Tehtävä 5
Merkitään lukuja a ja b. Tällöin
(
a + b = 999
1000 a + b = 6(1000 b + a)
josta b = 999 − a,
1000a + (999 − a) = 6(1000(999 − a) + a)
999a + 999 = 6(1000 · 999 − 999a)
a + 1 = 6(1000 − a)
7a = 5999
a = 857
(12)
(13)
(14)
(15)
⇒ b = 142.
(16)
Huomaa, että koska molemmat ehdot ovat symmetrisiä lukujen järjestyksellä ei
ole väliä.
6
Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus
Tehtävä 6
Viitaten oheisiin kuviin, merkitään a = |OA|, b = |OB| = |OP |, c = |OC|,
CQ
OC
OP
u = |CQ|
, v = |OC|
= |OP
| . Edelleen olkoon α = ∠BOC ja β = ∠AOB.
Kummassakin tapauksessa varjon pituus on kaaren P B pituus α b ja saamme
kulmille γ = ∠AOC ja komplementille γ 0 = π2 − γ
u · v = 1 · cos(γ 0 ) = sin(γ).
c
cos γ,
α = γ − β.
(17)
b
Jos a < b, tilanne on (i) ja a = c cos γ = b cos β Jos a ≥ b, olemme tilanteessa
(ii): α saadaan lausekeesta cos α = b/c.
cos β =
a<b
⇔
cos β < 1.
(18) Vaihtoehto Käyttäen aikaisempia merkintöjä: Piste B sijaitsee pallon pinnalla: OB = OC − k CQ jollekin k.
|OC − k CQ|2 = |OP |2
Konkreettisesti: OP = (3; 0; 4), OQ = (18; −6; 17), b = r = 5, c = 5 + r =
10, OC = cb OP = (6; 0; 8), CQ = OQ − OC = (12; −6; 9), |CQ| ≈ 16, 155,
sin γ = u · v =
CQ · OC
≈ 0, 89134,
|CQ| |OC|
|OC|2 − 2k OC · CQ + |CQ|2 − |OP |2 = 0
75 − 288k + 261k 2 = 0;
γ ≈ 1, 100.
k = 0, 42117
∨ k = 0, 68227.
Lähempi piste, pienempi k, on varjon pää.
Nyt (18) antaa
cos β = (c/b) cos γ ≈ 0, 90668 < 1
cos α =
eli tapaus (i); β ≈ 0, 43545, α = γ − β ≈ 0, 66485 ja varjon pituus αb ≈ 3, 3243.
OB · OP
OC · OP − k CQ · OP
144 − 72k
=
=
= 0, 787017
2
|OB| |OP |
r
25
eli α = 0.66484
Vastaus
a) P = (6; 0; 8), b) varjon pituus 3, 3243.
7