Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
/Malmivuori
MS-A0202 Di↵erentiaali- ja integraalilaskenta 2, kesä 2016
Laskuharjoitus 2, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten palautuskaappiin viimeistään perjantaina 3.6. klo 16.
Tehtävät ovat suurimmaksi osaksi kurssikirjasta Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course, 7. painos. Palautetuista K-tehtävistä annetaan bonuspisteitä kesän 2016 välikokeisiin. Muista että harjoituksissa tärkeintä ei
ole virheetön ratkaisu, vaan se että yrität ja pohdit (sekä pohdit ja yrität).
Harjoituksissa saa vihjeitä ja opastusta tehtäviin. Palauta K-tehtävien
vastauksesi, nimellä ja opintonumerolla varustettuna.
A-tehtävät on tarkoitus laskea ennen harjoitusta. Ne käydään läpi tunnilla ja tehdyistä tehtävistä saa lisäpisteitä.
T=yhdessä tunnilla laskettava tehtävä; A= ennen harjoitusta laskettavat
tehtävät; K= palautettava kotitehtävä
Adams 7. painos luvut 12.1.-12.7.
Ma 23.5. ja Ti 24.5.
T1. 12.1. tehtävä 6:
Mikä on funktion
f (x, y) = p
1
x2
y2
määrittelyalue?
T2. 12.3. tehtävä 6:
Laske funktion
w(x, y, z) = ln(1 + exyz )
kaikki 1. kertaluvun osittaisderivaatat pisteessä (2; 0; -1).
K1. 12.1. tehtävä 7:
Mikä on funktion
f (x, y) = ln(1 + xy)
määrittelyalue?
1
K2. 12.2. tehtävä 10:
Laske raja-arvo
lim
2x2
4x2
f (x, y) =
x3
x
xy
,
y2
kun (x, y) ! (1, 2).
K3. 12.2. tehtävä 14
Miten funktio
y3
, x 6= y
y?
on määriteltävä, jotta näin saatu funktio on jatkuva koko xy -tasossa?
K4. 12.3. tehtävä 36 (muokattu):
Onko funktio
f (x, y) =
(
2xy
,
x2 +y 2
0,
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0).
jatkuva pisteessä (0, 0) ? Osoita, että osittaisderivaatat fx (0, 0) ja fy (0, 0)
ovat olemassa.
Ke 25.5. ja To 26.5.
T3. 12.3. tehtävä 23:
Missä pisteissä pinnan
z(x, y) = x4
4xy 3 + 6y 2
2
tangenttitaso on vaakasuora ts. xy-tason suuntainen?
T4. 12.6. tehtävä 1:
Sopivaa linearisointia käyttäen arvioi funktion f (x, y) = x2 y 3 arvo pisteessä (3.1, 0.9).
K5. 12.3. tehtävä 19:
Laske kuvaajan
z = f (x, y) = ln(x2 + y 2 )
2
tangenttitaso ja normaalisuora pisteessä (1; -2).
K6. 12.5. tehtävä 18
Määrää
@3
f (2x + 3y, xy)
@x@y 3 ?
ketjusääntöä hyväksikäyttäen siten, että tuloksessa esiintyy funktion f
osittaisderivaattoja.
K7. 12.6. tehtävä 7:
Kirjoita funktion z = x2 e3y di↵erentiaali ja arvioi sen avulla funktion
arvoa pisteessä x = 3.05 y = 0.02.
K8. 12.7. tehtävä 14:
Olkoon f (x, y) = ln | ~r |, missä ~r = x~i + y~j. Osoita, että
rf =
3
~r
.
| ~r |2