Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2015 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 26.5.2015 klo 14-17 Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhjältä sivulta. Merkitse, jos tehtävä jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylkäämäsi ratkaisu tai hylkäämäsi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sillä saman tehtävän useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, että kukin tehtävä arvostellaan kokonaisuutena, eivätkä alakohdat välttämättä ole pisteytyksessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän ratkaisun tulisi sisältää myös annetun vastauksen perustelut. Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma. Sarja A-FI A3 Ratkaise yhtälöt: 1 (a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π. 2 (b) ln(x + 3) − 1 = 2 ln x. Anna a-kohdassa ratkaisu tarkassa muodossa ja b-kohdassa tarkassa muodossa ja likiarvo kolmella desimaalilla. Tässä ln x = loge x on luonnollinen logaritmi. A4 Joen kalakannasta 69 % kuolee talvella, mutta joka keväänä jokeen nousee 7100 uutta kalaa talvesta selvinneiden kalojen lisäksi. A1 (a) Derivoi f (x) = Z √ x2 + 3. (b) Laske (x + 5)(x2 + 7) dx. (c) Ratkaise |15 − 7x| ≤ 3. A2 Ohjelma tuottaa kuuden merkin mittaisia merkkijonoja, jotka muodostuvat ykkösistä ja nollista. Ohjelma tuottaa merkit satunnaisesti toisista riippumatta. Merkki on ykkönen todennäköisyydellä p = 68 %. (a) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on täsmälleen neljä ykköstä? (a) Kesällä vuonna 0 oli joessa 2100 kalaa. Kuinka monta kalaa joessa on kesällä vuosina 1, 2 ja 3? (b) Kalojen määrä vuonna 0 on tuntematon. Tarkastele kalapopulaatiota kesällä vuonna n. Mitä se lähestyy, kun n → ∞? A5 Kahden kolminumeroisen luvun summa on 999. Kirjoittamalla kahdella eri tavalla luvut peräkkäin saadaan kaksi kuusinumeroista lukua, joiden suhde on 6. Määrää kolminumeroiset luvut. A6 Pallon keskipiste on origossa. Pallon pinnalla, pisteessä P = (3, 0, 4), on suoran, ohuen, viisi yksikön mittaisen tikun alapää. Tikku sojottaa ulos pallon pinnalta pallon säteen suuntaisesti. Pisteessä Q = (18, −6, 17) sijaitsee pistemäinen valonlähde. (a) Määritä tikun yläpään koordinaatit. (b) Millä todennäköisyydellä merkkijonossa on vähintään neljä ykköstä peräkkäin? (b) Mikä on pallon pinnalle piirtyvän varjon kaarenpituus? c 2015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2015 Ingenjörantagningens prov i matematik, 26.5.2015 kl 14-17 Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma koncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Markera om svaret fortsätter på flera koncept. Ge klart utarbetade lösningar inklusive mellanstadier, renskriv lösningen vid behov. Förkastade lösningar och förkastade delar av en lösning skall överstrykas. Om icke-överstrukna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vikt i bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna svaret. Hjälpmedel: Skrivredskap och funktionsräknare. Bilaga: Formelsamling. Serie A-SV A3 Lös ekvationerna: 1 (a) sin(1 + x) = − √ , 0 ≤ x < 2π. 2 (b) ln(x + 3) − 1 = 2 ln x. Ge lösningarna i a-delen i exakt form och i b-delen i exakt form och närmevärdet med tre decimaler. Här är ln x = loge x den naturliga logaritmen. A4 I en å dör 69 % av fiskbeståndet på vintern, men varje vår stiger 7100 nya fiskar till ån som ett tillskott till de fiskar, som klarat vintern. A1 (a) Derivera f (x) = Z (b) Beräkna (c) Lös √ x2 + 3. (x + 5)(x2 + 7) dx. |15 − 7x| ≤ 3. A2 Ett program producerar sex tecken långa sekvenser, som består av ettor och nollor. Programmet producerar tecken oberoende av varandra. Ett tecken är en etta med sannolikhet p = 68 %. (a) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens exakt fyra ettor? (a) På sommaren år 0 fanns det 2100 fiskar i ån. Hur många fiskar fanns det i ån på sommaren åren 1, 2 ja 3? (b) Antal fiskar år 0 är obekant. Betrakta fiskpopulationen på sommaren år n. Vad närmar den, då n → ∞? A5 Summan av två tresiffriga tal är 999. Genom att skriva talen på två olika sätt efter varandra får man två sexsiffriga tal, vars kvot är 6. Bestäm de tresiffriga talen. A6 Ett klot har sin mittpunkt i origo. På klotets yta, i punkten P = (3, 0, 4), finns nedre ändan av en rak, tunn, fem enheter lång sticka. Stickan pekar ut från klotets yta parallellt med klotets radie. I punkten Q = (18, −6, 17) finns en punktformad ljuskälla. (a) Bestäm koordinaterna för den övre ändan av stickan. (b) Med vilken sannolikhet har en sådan sekvens minst fyra konsekutiva ettor? (b) Bestäm båglängden hos skuggan av stickan på klotets yta. c 2015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus Tehtävä 1 A (a) f (x) = √ x2 + a = (x2 + a)1/2 . 2x x f 0 (x) = √ =√ . 2 2 2 x +a x +a R B √ a)(x2 C D √ f (x) = x2 + 6 x f 0 (x) = f (x) Z f (x) = x2 + 3 x f 0 (x) = f (x) f (x) = x2 + 4 x f 0 (x) = f (x) √ f (x) = x2 + 5 x f 0 (x) = f (x) Z Z Z 2 √ 2 2 (x + 7)(x2 + 3) dx = (b) (x + + b)dx Z a b 1 = x3 + ax2 + bx + ab dx = x4 + x3 + x + abx + C 4 3 2 x4 4 (c) |15 − 7x| ≤ 3 |16 − 5x| ≤ 3 |17 − 9x| ≤ 3 |13 − 7x| ≤ 3 12 7 13 5 14 9 10 7 |a − bx| ≤ c (1) ⇔ −c ≤ a − bx ≤ c (2) ⇔ −c − a ≤ −bx ≤ c − a a+c a−c ≤x≤ b b (3) ⇔ b>0 (4) Tässä (2) ⇔ −c ≤ a − bx ∧ a − bx ≤ c ⇔ bx − a ≤ c ∧ a − bx ≤ c. (c) |a − bx| ≤ c ⇔ 2 (5) 2 (a − bx) ≤ c (6) b2 x2 − 2abx + a2 − c2 ≤ 0 √ √ 2ab − 4b2 c2 2ab + 4b2 c2 ≤x≤ 2b2 2b2 a+c a−c ≤x≤ b b (7) (c>0) ⇔ ⇔ (∗) ⇔ * b > 0, joten merkkikaavio +| − |+. (8) (9) (x + 5)(x + 7) dx = + 5x3 3 + ≤x≤ 7x4 2 18 7 + 35x (x + 4)(x + 7) dx = x4 4 + 4x3 3 + ≤x≤ 7x4 2 19 5 + 28x (x + 2)(x + 9) dx = x4 4 + 2x3 3 + ≤x≤ 9x4 2 20 9 + 18x x4 4 + 7x3 3 + ≤x≤ 3x4 2 16 7 + 21x Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus Tehtävä 2 (a) Jonossa on kaksi nollaa ja neljä ykköstä, eli 6 4 P = p (1 − p)2 4 A B C D p = 68 P = 0, 3284 · · · ≈ 33% p = 76 P = 0, 2882 · · · ≈ 29% p = 79 P = 0, 2576 · · · ≈ 26% p = 82 P = 0, 2197 · · · ≈ 22% P = 0, 3506 · · · ≈ 35% P = 0, 4937 · · · ≈ 49% P = 0, 5530 · · · ≈ 55% P = 0, 6148 · · · ≈ 61% (b) Suotuisat, keskenään poissulkevat tapaukset ovat muotoa 1111xx, 01111x, x01111, jossa x on mielivaltainen merkki. Eli 4 4 P = p + 2p (1 − p) = (3 − 2p)p 4 Perustapaukset: 1111xx 111100 111101, 111110 111111 x01111 001111 101111 01111x 011110 011111 P 3 p4 (1 − p)2 4 p5 (1 − p) p6 3 Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus Tehtävä 3 A (a) sin y = −1 √ , 2 y∈R (10) B C D x = { 74 π−1, 54 π−1} x = { 74 π−1, 54 π−1} x = { 74 π−1, 45 π−1} x = { 74 π−1, 54 π−1} = = = = {4, 497 . . . ; 2, 927 . . . } {4, 497 . . . ; 2, 927 . . . } {4, 497 . . . ; 2, 927 . . . } {4, 497 . . . ; 2, 927 . . . } y = − 14 π + 2n1 π ∨ y = π − (− 41 π) + 2n2 π, ∀ni ∈ Z (11) x = y − 1 ∈ [0, 2π] x= 7 4π −1 (n1 = 1) ∨ x= 5 4π (12) −1 (n2 = 0) (13) (b) ln(x + a) − 1 = 2 ln x ⇒ ln(x + a) = ln(e) + ln x ⇔ ln(x + a) = ln ex2 ∗ 2 ⇒ x + a = ex ⇔ ex2 − x − a = 0 √ 1 ± 1 + 4ae x= 2e ∗ ⇔ (14) 2 (15) (16) (17) (18) (19) Kun x, x + a > 0 ⇔ x > 0, myös *-kohdissa on ekvivalenssi. Ratkaisu on siis √ 1 + 1 + 4ea x= (20) 2e x= √ 1 + 1 + 4 · 3e = 2e √ 1 + 1 + 12 e = 2e = 1, 25046 4 x= √ 1 + 1 + 4 · 5e = 2e √ 1 + 1 + 20 e = 2e = 1, 41087 x= √ 1 + 1 + 4 · 4e = 2e √ 1 + 1 + 16 e = 2e = 1, 55260 x= √ 1 + 1 + 4 · 6e = 2e √ 1 + 1 + 24 e = 2e = 1, 68097 Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus Tehtävä 4 (a) Ongelmaa voidaan mallintaa 1. kertaluvun lineaarisella differenssiyhtälöllä xn+1 = d + r xn , A B C D 69 r = 1 − 100 d = 7100 71 r = 1 − 100 d = 6100 73 r = 1 − 100 d = 5200 76 r = 1 − 100 d = 4300 x0 x1 x2 x3 x0 x1 x2 x3 x0 x1 x2 x3 x0 x1 x2 x3 jossa r on talvehtivien kalojen osuus. Merkitään aloitusvuoden 0 kalojen määrää x0 . Saadaan x1 = d + rx0 x2 = d + rx1 = d + dr + r2 x0 x3 = d + rx2 = d + dr + dr2 + r3 x0 (b) Selvästi limn→∞ rn = 0, koska |r| < 1, joten tarkastelemalla xn lauseketta: xn x∞ d + dr + dr2 + · · · + drn−1 + x0 rn 1 − rn = d + r n x0 1−r := lim xn n→∞ 1 − rn + r n x0 = lim d n→∞ 1−r d = 1−r = ⇒ x∞ = d + r x∞ ⇔ x∞ = = 2200, 0 = 6738, 0 = 8054, 0 = 8435, 7 = 2300, 0 = 5821, 0 = 6771, 7 = 7028, 4 = 2400, 0 = 4876, 0 = 5470, 2 = 5612, 9 x∞ ≈ 10289, 8 x∞ ≈ 8591, 5 x∞ ≈ 7123, 3 x∞ ≈ 5657, 9 x∞ ≈ 10289, 8 x∞ ≈ 8591, 5 x∞ ≈ 7123, 3 x∞ ≈ 5657, 9 (21) (22) (23) (24) (25) (b) Oletetaan, että on olemassa tasapainotila x∞ = limx→∞ xn . Tällöin xn = d + r xn−1 = 2100, 0 = 7751, 0 = 9502, 8 = 10045, 9 d . 1−r 5 Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus Tehtävä 5 Merkitään lukuja a ja b, jossa oletetaan a ≥ b. Tällöin ( (1000 a + b) = 6 (1000 b + a) a + b = 999 (26) josta b = 999 − a, 1000a + (999 − a) = 6(1000(999 − a) + a) 999a + 999 = 6(1000 · 999 − 999a) a + 1 = 6(1000 − a) 7a = 5999 a = 857 (27) (28) (29) (30) ⇒ b = 142. (31) 6 Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- vastaus Tehtävä 6 Viitaten oheisiin kuviin, merkitään a = |OA|, b = |OB| = |OP |, c = |OC|, u = CQ/|CQ|, v = OC/|OC| = OP /|OP |. Edelleen olkoon α = ∠BOC ja β = ∠AOB. Kummassakin tapauksessa varjon pituus on kaaren P B pituus α b ja saamme kulmille γ = ∠AOC ja komplementille γ 0 = π2 − γ u · v = 1 · cos(γ 0 ) = sin(γ). cos β = c cos γ, b α = γ − β. (32) Jos a<b ⇔ cos β < 1. (33) tilanne on (i) ja a = c cos γ = b cos β. Jos a ≥ b, olemme tilanteessa (ii), α saaVaihtoehto Käyttäen aikaisempia merkintöjä ja laskuja: Piste B sijaitsee paldaan lausekeesta cos α = b/c. lon pinnalla, joten OB = OC − k CQ jollekin k. |OP |2 = |OB|2 = |OC − k CQ|2 Konkreettisesti: OP = (3; 0; 4), OQ = (18; −6; 17), b = r = 5, c = 5 + r = 10, OC = cb OP = 2OP = (6; 0; 8), CQ = OQ − OC = (12; −6; 9), |CQ|2 = 261, |CQ| ≈ 16, 155, CQ · OC = 288, sin γ = u · v = CQ · OC ≈ 0, 89134, |CQ| |OC| 2 2 b = |OC| − 2k OC · CQ + k |CQ| 2 75 − 288k + 261k = 0 k = 0, 42117 γ ≈ 1, 100. ∨ k = 0, 68227. (34) 2 (35) (36) (37) Lähempi piste, pienempi k, on varjon pää. Nyt (33) antaa cos β = (c/b) cos γ ≈ 0, 90668 < 1 cos α = eli tapaus (i); β ≈ 0, 43545, α = γ − β ≈ 0, 66485 ja varjon pituus αb ≈ 3, 3243. = Vastaus 2 a) P = (6; 0; 8), b) varjon pituus 3, 3243. = eli α = 0.66484 josta kuten yllä. 7 OB · OP |OB| |OP | OC · OP − k CQ · OP b2 144 − 72k = 0, 787017 25 (38) (39) (40) Dia-insinöörivalinnan matematiikankoe 2015- arvosteluperusteet Arvostelu (b) Kaksi logartimilauseketta yhtäsuuria muotoa (16) 1p, ratkaisuyrite (19) sieventämättäkin 2p. Oikea ratkaisu (20), jossa toinen juuri perustellusti hylätty, 3p. Ohessa julkaistavat arvosteluperiaatteet viittaavat malliratkaisuun ja kattavat tyypillisimmät tapaukset. 4) 2p+4p. 1) 2p+2p+2p. (a) Mikäli tulosten x1 , x2 , x3 joukossa on yksi pieni virhe: 1p. Laskunaikainen tai lopputuloksen pyöristys kokonaisluvuksi hyväksytään. Kussakin kohdassa yksinkertainen laskuvirhe kohdasta max 1p, periaatevirhe kohdasta max 0p. (b) Vastauksessa keskeistä on perustelut: relaatio kasvumalliin ja tuloksen riippumattomuus alkuarvosta x0 . Pelkkä vastaus on arvoton. (a) Sisäfunktion derivaatan puuttuminen tai väärä eksponentti on periaatevirhe, vakiokertoimen ( 12 ) puuttuminen ei ole periaatevirhe. Ensimmäisessä vaihtoehdossa yleisen xn lauseketta vastaavan geometrisen sarjan (21) ja summan (22) muodostamisesta hyvitetään kummastakin 1p. Huomiosta rn → 0 1p. (b) Polynomin kahden tai usemman termin väärä integrointi on periaatevirhe. Integrointivakiota C ei vaadita. Raja-arvon etsiminen iteroimalla kalakantaa tietyllä kiinnitetyllä x0 ja toteamalla sen näyttävän konvergoivan ei anna pisteitä. (c) Loogisten konjuktioiden (tai/ja/∧/∨) epäjohdonmukainen käyttö antaa osiosta korkeintaan 1p jos vastauksessa on annettu vastaus oikein (huomaa x ≤ 1∨x ≥ −1 ⇔ x ∈ R). Pelkkä vastaus ilman perusteluja tai laskuja on 0p. 5) Kahden muuttujan yhtälön (26) muodostaminen 3p: ylempi yksin 2p, alempi yksin 0p. Mikäli muuttujana käytetään yksittästä merkkiä ai ∈ {0, 1, . . . , 9}, a = 100a1 + 10a2 + a3 , vastaava yhtälöryhmä antaa 2p. Jos tehtävä jaetaan tapauksiin itseisarvon argumentin merkin mukaan, tulee nämä alueet olla eksplisiittisesti kytketty epäyhtälön ratkaisuun, muutoin 0p. Sieventämätön muoto a ≤ x ≤ b ∧ b < x ≤ c on hyväksyttävä. Pelkkä vastaus 0p, jos explisiittisesti tarkastettu 1p. Ratkaisun haarukointi tai numerinen kokeilu 3p. Likiarvoyhtälöön a ≈ 6b∧ a+b = 999 perustuvat ratkaisut korkeintaan 3p. Yleisesti ratkaisussa, jossa ratkaisun yksikäsitteisyyttä (funktio a 7→ b on monotoninen) ei perusteella, annetaan korkeintaan 3p. Ratkaistaessa tehtävää neliöönkorottamalla, muodosta (9) ilman perustelua kuten merkkikaavio 1p. Muodosta (7) ei hyvitystä. 2) 2p+4p. Yhtälöpari x + y = 999 ∧ x = 6y on väärä ja mikäli esiintyy voidaan numerisesta ratkaisun löytämisestä antaa korkeintaan 2p. (a) Periaatevirhe – kuten binomikertoimen puuttuminen (tai muuten oleellisesti väärä kerroin), perustapauksen todennäköisyys väärä, lueteltuja riipputtomia perustapauksia puuttuu enemmän kuin yksi – osiosta 0p. Symbolisessa notaatio (a1 a2 a3 b1 b2 b3 ) = 6(b1 b2 b3 a1 a2 a3 ) ei sellaisenaan anna pisteitä. Pieni laskuvirhe osiosta 1. 6) 2p+4p (b) Kaikkien riippumattomien tapausten identifointi 1p, vertaa vastauksen taulukko. Jos riipputtomia perustapauksia puuttuu yksi osiosta max 3p, jos kaksi osiosta max 2p, enemmän 0p. a) Osakohdassa edellytetään välivaiheiden tai perustelujen olemassaoloa. b) QP suuntaisen suoran lausekkeen muodostaminen +1p. Pallon ja suoran leikkauspiste B +1p tai vaihtoehtotavassa yhtälöstä (34). Kolmion OCB identifoiminen ja ehdon määräminen α:lle (32) tai (38) +1p. Kaarenpituus perusteluineen +1p. 3) 3p+3p. (a) Muoto (11) on 2p, vain toinen haara tai ilman monikertoja 1p. 8