1. No category

MAA10 Integraalilaskenta­5.notebook
April 08, 2015
MAA10 Integraalilaskenta
• arvostelu: kurssikoe 80 %, tuntitestit 20 %. • Tällä kurssilla tuntitestit eivät kuitenkaan voi alentaa kokeen antamaa arvosanaa.
• Kurssikokeesta saatava joka tapauksessa vähintään 5­.
• Poissa saa olla korkeintaan kuusi tuntia. • Tehtyjen kotitehtävien perusteella saa hyvityspisteitä kokeeseen.
• Jos merkitsee kotitehtävän tehdyksi, pitää olla valmis esittämään ratkaisu muille. Ratkaisun ei tarvitse olla täydellinen. Hyvä yritys riittää.
1
MAA10 Integraalilaskenta­5.notebook
April 08, 2015
kotitehtävistä tehty
vaikutus
0­­60 %
ei pisteitä
61­­70 %
+1 kokeen pisteisiin
71­­80 %
+2 kokeen pisteisiin
81­­90 %
+3 kokeen pisteisiin
91­­100 %
+4 kokeen pisteisiin
Väärinkäytökset kotitehtävien merkitsemisessä johtavat kyseisen ja kahden edellisen kerran merkintöjen poistamiseen.
2
MAA10 Integraalilaskenta­5.notebook
April 08, 2015
Pohdittavaa: Minkä funktion derivaatta on (a) 2x,
(b) 2x3 + x?
3
MAA10 Integraalilaskenta­5.notebook
April 08, 2015
Määritelmä: Olkoon f määritelty jollakin välillä I. Funktio F on funktion f integraalifunktio, jos jokaisessa välin I pisteessä pätee F'(x) = f(x).
Siis: f:n integraalifunktio on sellainen funktio, jonka derivaatta on f.
Esimerkki: Onko F(x) = 5x2 + 3x ­ 7 funktion f(x) = 10x ­ 3 integraalifunktio?
4
MAA10 Integraalilaskenta­5.notebook
April 08, 2015
Lause: Jos F on funktion f jokin integraalifunktio, niin myös jokainen muotoa F(x) + C, jossa C on vakio, oleva funktio on f:n integraalifunktio. Lisäksi, muunlaisia f:n integraalifunktioita ei ole.
Todistus: Ensinnäkin: D( F(x) + C ) = Toisaalta: Olkoon G jokin f:n integraalifunktio (eli G'(x) = f(x)). Tällöin
D( G(x) ­ F(x) ) = Ainoa funktio, jonka derivaatta on 0, on 5
MAA10 Integraalilaskenta­5.notebook
April 08, 2015
Merkintä: Jos F on f:n integraalifunktio, niin merkitään
∫f(x) dx = F(x) + C.
Esimerkki: Määritä ∫(x5 ­ 3x2) dx.
Tee tunnilla tehtävät 1, 5.
Tee tunnilla tehtävät 7, 9, 12. 6
MAA10 Integraalilaskenta­5.notebook
April 08, 2015
7
MAA10 Integraalilaskenta­5.notebook
April 08, 2015
Lause: (a) Jokainen integraalifunktio on jatkuva.
(b) Jokaisella jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio.
Todistus: (a) Jokainen integraalifunktio on määritelmän mukaan derivoituva. Toisaalta jokainen derivoituva funktio on jatkuva. Siispä jokainen integraalifunktio on jatkuva.
(b) Lause todistetaan myöhemmin.
Lauseen b­osan käänteinen väittämä ei päde. On olemassa myös sellaisia epäjatkuvia funktioita, joilla on integraalifunktio.
Kotitehtävät: 2, 4, 8, 11.
8