1. No category

MB5 YHTEENVETO
Todennäköisyyslaskenta
Klassinen todennäköisyys
Suotuisten tapahtumien lukumäärä
k
Kaikkien mahdollisten tulosten
lukumäärä
n
Todennäköisyys = P (A) =
suotuisat
kaikki
k
n
Todennäköisyys P(A)
• Mahdottoman tapahtuman
todennäköisyys
0
• Varman tapahtuman todennäköisyys
1
0 < P(A) < 1
0% < P(A) < 100%
Todennäköisyyden
yhteenlaskusääntö
TAI  Yhteenslasku
• Jos tapahtumat A ja B eivät mitenkään
vaikuta toisiinsa eli ovat toisistaan
riippumattomia, niin
• P(A tai B) = P(A) + P(B)
ESIMERKKI
• Otetaan korttipakasta kortti.
• P(kortti on joko pataässä tai hertta)
P(pataässä) + P(hertta)
1
52
13
52
0, 269.. (
27%)
Todennäköisyyden
kertosääntö
JA, Molemmat  Kertolasku
• Jos tapahtumat A ja B eivät mitenkään
vaikuta toisiinsa eli ovat toisistaan
riippumattomia, niin
• P(A ja B) = P(A) . P(B)
ESIMERKKI
• Pussissa on 5 sinistä, 3 valkoista ja 7 mustaa
kuulaa.
• Pelaaja ottaa umpimähkään pussista kuulan,
palauttaa sen pussiin ja ottaa toisen kuulan
• P(molemmat kuulat sinisiä) = ?
• P(eka sininen JA toka sininen)
5 5
15 15
0,11
Todennäköisyyden
kertosääntö
• Jos tapahtumat A ja B ovat toisistaan
riippuvia
• P(ensin A ja sitten B) =
• P(A) . P(B, kun A on tapahtunut)
B-tapahtumassa otetaa huomioon
muuttunut tilanne: suotuisat muuttuneet
kaikki muuttuneet jne.
ESIMERKKI
• Pussissa on 5 sinistä, 3 valkoista ja 7
mustaa kuulaa.
• Pelaaja ottaa peräkkäin pussista kaksi
kuulaa palauttamatta kuulaa välillä
pussiin.
• P(molemmat kuulat sinisiä)
Eka Toka
5 4
15 14
20
210
2
0, 095
21
Mikä on todennäköisyys, että pakasta nostetaan
peräkkäin 4 ässää?
4 3 2 1
52 51 50 49
24
6497400
3, 69 10
6
A:n vastatapahtuma ei-A
Tapahtuma A
Vastatapahtuma (=ei-tapahtuma) eiA
Todennäköisyyksien summa = 1 = 100 %
P(A) + P(eiA) = 1 = 100 %
P(A) = 1 – P(eiA)
P(eiA) = 1 – P(A)
Yleensä: Ainakin yksi  Vastatapahtuman avulla
ESIMERKKI
Perheeseen syntyy neljä lasta
P(A)= P(kaikki ovat sunnuntailapsia)
P( su )
1
7
Eka toka kolmas neljäs
P ( A)
1 1 1 1
7 7 7 7
1
7
4
1
2401
4, 2 10
4
ESIMERKKI
Perheeseen syntyy neljä lasta
P(A)= P(kaikki eri viikonpäivinä)
P( A)
7 6 5 4
7 7 7 7
0,35
AINAKIN ...
A= Ainakin yhden kerran = 1,2,3, … kertaa
vastatapahtuma = eiA = ei kertaakaan= 0 kertaa
P(A ainakin 1 kertaa) = 1 - P(A 0 kertaa)
1 – P(ei kertaakaan)
Millä todennäköisyydellä 4 lapsesta ainakin
yksi on syntynyt sunnuntaina?
P(ainakin yksi on syntynyt sunnuntaina)
= 1 – P(kaikki syntyneet ei-Su)
P(ei su )
suotuisat päivät
kaikki päivät
6
7
eka toka kolmas neljäs
6 6 6 6
1
7 7 7 7
0, 46
ESIMERKKI
• Tullissa tarkastetaan sattumanvaraisesti 5%
matkailijoista. Kuinka suuri on
todennäköisyys, että 10 hengen seurueesta
ainakin 1 joutuu tarkastukseen?
tarkastus p = 0,05
ei-tarkastus = 1 – 0,05 = 0,95
P(ainakin 1) = 1 – P(ei yhtään joudu tarkastukseen)
P(ainakin 1) = 1 – 0,9510 = 0,40126 ≈ 40 %
Todennäköisyys
Erilaisia vaihtoehtoja
• Peräkkäiset tapahtumat
”ensin A, sitten B” -viittaavat
kertolaskuun
• Rinnakkaiset tapahtumat
”A tai B” viittaavat yhteenlaskuun
Jonon järjestyksiä
• n alkiota voidaan järjestää jonoon
• n! = 1 .2 . 3 … n eri tavalla
• Kuinka monella eri tavalla viisi erilaista
pelinappulaa voidaan asettaa
pelilaudalle peräkkäin?
• 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120 eri tavalla
Valintoja: alijoukkoja isommasta joukosta
• Kuinka monta erilaista k:n alkion ryhmää
voidaan valita n :stä alkiosta?
n
"n yli k" =
k
Laskimessä yleensä nCr
ESIMERKKI
• Kuinka monella eri tavalla voidaan
10:stä henkilöstä valita 4 henkilöä?
10
4
210
Todennäköisyys saada lotossa
7 oikein yhdellä rivillä
1
39
7
1
15 380 937
6,5 10
Yksi mahdollisuus noin 15 miljoonasta
8
Todennäköisyys saada
Viking-lotossa 6 oikein
48 numeron joukosta 6 oikein:
1
48
6
1
12 271 512
8,15 10
Yksi mahdollisuus noin 12 miljoonasta
8
Lotossa kaikki 7 väärin
Lotossa numeroita 39, niistä ”oikeita” 7
Joten ”vääriä” numeroita 39 – 7 = 32 kpl
Vääriä 7:n rivejä yhteensä
Kaikki rivit
39
7
32
7
Kaikki vääriä: rastitettu 7 numeroa 32:n joukosta
väärät rivit
P (kaikki 7 väärin) =
kaikki rivit
32
7
39
7
0, 219
Lotossa yhdellä rivillä ainakin yksi
Numero oikein
P(ainakin 1 oikein ) = 1 – P(ei yhtään oikein)
1 – P(kaikki väärin)
1 – P(kaikki väärin) = 1 - 0,219 = 0,781
V: 0,78
KORTTIPELIN TODENNÄKÖISYYKSIÄ
(Pakassa 52 korttia. 5 KORTIN KÄSI)
1) Kuinka monta eri kättä?
52
5
2 598 960 eri "kättä
2) ”Herttareeti” = herttavärisuora = 10, jätkä, rouva kuningas,ässä
(Kuningasvärisuora)
P(herttareeti)
suotuisat tapaukset
kaikki tapaukset
1
52
5
1
2 598 960
KORTTITODENNÄKÖISYYKSIÄ
4) P (ässäneloset) = ?
4 ässää ja yksi muu kortti
Muita kortteja 52 – 4 ässää = 48 kpl
Ässäneloset sisältäviä käsiä on siis 48 kpl
P(Ässäneloset)
suotuisat
kaikki
48
52
5
1
1,8 10
54 145
5
Miten monella eri tavalla voi
veikata?
• Joka rivillä kolme
vaihtoehtoa: 1, x, 2
313 =
1 594 323 mahdollisuutta
3·
3·
3·
3·
3·
3·
3·
3·
3·
3·
3·
3·
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Mikä on todennäköisyys veikata
13 oikein?
• Suotuisia veikkausrivejä 1
• Kaikkia rivejä 313
1
13
3
Tai erikseen 13 ottelua, kukin 1/3
1 1 1
3 3 3
1
3
1
3
13
6,3 10
7
Tehtäviä:
• Kuinka monella eri tavalla 16 oppilasta
voi tehdä jonon?
• Kuinka monella eri tavalla voidaan 16
oppilaan joukosta valita 4 oppilasta?
Harjoitus 5
• Millä todennäköisyydellä 16 oppilaan
joukossa ainakin kaksi on syntynyt
samassa kuussa?
• Varma tapaus, koska kuukausia on
enemmän kuin oppilaita
• Todennäköisyys = 1 = 100%
Tehtävä
• Kuinka monta kättelyä tarvitaan 16
oppilaan joukossa, jos kaikki
kättelevät toisiaan?
Siis kuinka monta erilaista kättelyparia
voidaan muodostaa 16 oppilaasta
16
2
120
Tehtävä
Ampuja osuu yleensä kymppiin joka
viidennellä laukauksella. Hän ampuu kolme
kertaa. Miten suuri mahdollisuus hänellä on
saada
a) kolme kymppiä ?
1
P (kymppiin)
5
111 1
P(eka10 ja toka10 ja kolmas10)
5 5 5 125
Tehtävä
Ampuja osuu yleensä kymppiin joka
viidennellä laukauksella. Hän ampuu kolme
kertaa. Miten suuri mahdollisuus hänellä on
saada
b) ei yhtään kymppiä ?
p = P(kymppi) = 1/5=0,20
P(ei-kymppi) = 0,80
0,8•0,8•0,8 = 0,512 = 51,2 %
Tehtävä
• Laskettelija kaatuu rinteessä 20% todennäköi syydellä. Hän laskee kolme laskua peräkkäin. Millä
todennäköisyydellä hän kaatuu ainakin yhden
kerran.
”Ainakin kerran” Lasketaan vastatapahtuman avulla.
P(kaatuu) = 0,20
p(ei-kaadu) = 0,80
P(kaatuu ainakin kerran) = 1 – P(ei kaadu kertaakaan)
1- 0,8 0,8 0,8 0, 49
HARJOITUS
• Seuran hallitus valitaan 9 ehdokkaan joukosta.
Hallituksen jäsenet tulevat olemaan
puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, sihteeri ja
rahastonhoitaja. Kuinka monta erilaista
vaihtoehtoa on vaalissa, kun
• a) valitaan hallituksen jäsenet ja heille tehtävät
9 8 7 6 3024
Tehtävä
• Seuran hallitus valitaan yhdeksän ehdokkaan joukosta.
Hallituksen jäsenet tulevat olemaan puheenjohtaja,
varapuheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja. Kuinka
monta erilaista vaihtoehtoa on vaalissa, kun
• b) valitaan neljä henkilöä hallitukseen ja annetaan
heidän päättää myöhemmin keskinäisestä työnjaosta.
Valitaan siis 4 henkilö 9 joukosta:
9
4
126
HARJOITUS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Elossa olevia 100 000 syntynyttä
kohti
Laske tilaston mukaan seuraavien
ikä naiset miehet
tapahtumien todennäköisyydet:
0
100 000 100 000
a) Vastasyntynyt tyttö elää vähintään
70-vuotiaaksi. 81533
10 99 265 99 062
= 82%
20 99 035 98 482
100000
30 98 606 97 187
40 97 816 94 893
b) 30-vuotias mies elää 29872
= 31%
50 96 179 90 648
vähintään 80-vuotiaaksi. 97187
60 92 100 80 817
70 81 533 60 058
c) 50-vuotias nainen elää 80vuotiaaksi, mutta ei 85-vuotiaaksi.
75 71 127 45 718
80 55 670 29 872
55670 - 35404
= 21%
85 35 404 15 395
96179