MAA6.3 Loppukoe 29.11.2012 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää – Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: 10 9 8 7 6 5 4 2 kpl 5 kpl 6kpl 6 kpl 4 kpl 4 kpl 1 kpl Määritä arvosanojen keskiarvo, keskihajonta ja moodi. Vastauksesta tulee selvitä laskukaavan avulla, miten keskiarvo ja –hajonta on teoriassa laskettu. Muuten näiden laskemiseen voi käyttää laskinta. Perustele moodin valintasi! 6p 2. Konvehtirasian konvehdit ovat kaikki käärepapereissa. Konvehdeista 7 on punaisessa, 4 vihreässä ja 3 keltaisessa paperissa. Punaiseen käärityistä konvehdeista 2 on tummaa suklaata, samoin vihreään ja keltaiseen käärityistä 2 on tummaa suklaata. Loput ovat maitosuklaata. Mikä on todennäköisyys, että kun otetaan konvehtirasiasta sokkona kaksi konvehtia… a) …saadaan kaksi vihreään käärepaperiin käärittyä maitosuklaakonvehtia? b) …saadaan punaiseen käärittyjä konvehteja tai maitosuklaakonvehteja? 6p 3. Eurojackpot pelissä päävoiton suuruus on arviolta 10-90 M€. Pelissä arvotaan viisi päänumeroa numeroista 1-50 ja kaksi tähtinumeroa kahdeksasta numerosta 1-8. Laske kuinka monta erilaista riviä Eurojackpot-pelissä on olemassa. Laske todennäköisyys saada päävoitto Eurojackpot -pelissä yhdellä rivillä. Vertaa tulosta suomalaiseen lottoon, jossa arvotaan 7 numeroa 39:sta numerosta. 6p 4. Oletetaan, että jatkolennolle menevät matkalaukut asetetaan kuljetushihnalle satunnaiseen järjestykseen ja Helsinkiin meneviä laukkuja on 12 %. Millä todennäköisyydellä kymmenestä peräkkäin hihnalla olevasta laukusta on Helsinkiin meneviä kaksi tai kolme? 6p Jatkuu 5. Arpajaisissa on arvan hinta 5 €. Arpoja myydään 2000 kpl. Päävoittona on 300 € jonka voi voittaa vain 1 arpa, toisena voittoluokkana on 200€, ja näitä arpoja on mukana arvonnassa 5 kpl. Kolmantena voittoluokkana on 100 € ja näitä arpoja on mukana arvonnassa 10 kpl. Määritä arpajaisvoiton jakauma ja odotusarvo! 6p 6. Älykkyysosamäärä on jakautunut normaalijakauman mukaisesti niin, että keskiarvona on 100 pistettä ja keskihajontana on 15. Kuinka suurella osalla 18 vuotiaista on älykkyysosamäärä… a) …yli 130 pistettä? b) …alle 70 pistettä? c) …välillä 90-120 pistettä? 6p 7. Ympyrän sisältä valitaan umpimähkään piste. Millä todennäköisyydellä piste on lähempänä ympyrän… a)…keskipistettä kuin kehää? b)…kehää kuin keskipistettä? 6p 8. Numerot 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ja 9 kirjoitetaan kukin omalle kortilleen ja kortit sekoitetaan. Sen jälkeen pakasta vedetään kolme korttia ja ne asetetaan nostojärjestyksessä pöydälle vasemmalta oikealle. Jos 0 sattuu ensimmäiseksi luvuksi, esim. 056, niin se tulkitaan luvuksi 56. Laske todennäköisyys sille, että muodostunut kolminumeroinen luku on… a) …pienempi kuin 500 ? b) …jaollinen luvulla 5? 6p Bonus: +2 pistettä maksimipisteiden päälle, tee jos ehdit: Olkoon P( A)  4 1 5 ja P( B)  , sekä P( A tai B)  . 9 3 9 Määritä P( A ja B) ja P( B | A) Ratkaisut: 1. Keskiarvo 7,25. Hajonta 1,0077 =>1,0 ja Moodi, eli tyyppiluku 7 tai 8, koska ne esiintyy otoksessa useimmiten. 2. a) MS = Maitosuklaa P(vihreä MS ja vihreä MS)= 2 1 2 1     0,011 14 13 182 91 b) P(punainen ja punainen tai MS ja MS) 7 6 6 5 2 1 42 30 2 70 35             0,38 14 13 14 13 14 13 182 182 182 182 91 3.  50   8  Ratkaisu: Rivejä on       59325280 kpl. Klassinen todennäköisyyden nojalla  5   2 kysytty todennäköisyys on 1 1 1 P(" päävoitto")    .  50   8  2118760  28 59 325 280       5   2 P(" päävoitto tavallisessa lotossa")  Koska 4. 1 1  .  39  15 380 937   7 15 380 937  0,259...  26 % , niin Eurojackpot päävoiton todennäköisyys on vain 59 325 280 noin 26 % suomalaisen loton päävoiton todennäköisyydestä 10 10 4. P( 2 tai 3) =    0,12 2  0,888     0,12 3  0,887  0,2330  0,0847  0,3177 2 3 Vastaus: Todennäköisyys on noin 32 % 5. Voitoista pitää vähentää arvan ostamiseen kulunut 5€, joten voitot ovat 295, 195 ja 95, sekä tappio -5, kun se ajatellaan voiton kautta, eli negatiivisena. Jakauma: Voitto 295 € 195 € 95 € -5 € P(Voitto) 1 2000 5 2000 10 2000 1984 2000 Nyt 1 5 10 1984 7700  195   95   (5)    3,85 2000 2000 2000 2000 2000 Eli jokainen arpa tuottaa arpajaisten järjestäjälle voittoa 3.85€ ja arvan ostajan tappion odotusarvo on 3,85€/arpa. E (voitto)  295  6. a) Normeerataan raja 130: 130  100 z  z  2   (2)  0,9772 , eli P(ÄO > 130)=1-0,9772=0,0228=>2,3% 15 b) Normeerataan raja 70: 70  100 z  z  2 15 Koska negatiivisia z:n arvoja ei voi lukea normaalijakauman tiheysfunktioiden taulukosta, tämä on peilattava keskiarvon oikealle puolelle: => z=2. Tätä vastaava todennäköisyys katsottiin jo äsken:  (2)  0,9772 Tämän päälle menevät todennäköisyydet ovat myös peilikuvana sama kuin z=-2:n alle jäävät todennäköisyydet, joten P(ÄO < 70)=2,3% c) Normeerataan raja 120: 120  100 z  z  1,33   (1,33)  0,9082 15 Eli 90,82 jää alle 120 pisteen. Normeerataan raja 90: 90  100 z  z  0, 67   (0, 67)  0, 7486 15 Tämän rajan päälle menevät todennäköisyydet, eli 1-0,7486=0,2514 ovat samoin alle rajan 90 alle jääviä todennäköisyyksiä, joten: 120 alle jää 0,9082 ja vielä 90 alle jää 0,2514, joten välille jää: P(90<ÄO<120)=0,9082-0,2514=0,6568 7. a) Pisteen suotuisa valitsemisalue on ympyrä, jonka säde on 0,5r => Suotuisa ala A1    (0,5r )2  0, 25r 2 . Koko ympyrän ala, mistä piste voidaan valita, on 0, 25r 2 0, 25 1    0, 25 r 2 1 4 b) Pisteen suotuisa valitsemisalue on se osa ympyrästä , josta on vähennetty keskelle jäävä 0,5r-säteinen ympyrä pois. => Suotuisa ala As    r 2    (0,5r )2  r 2  0, 25r 2  0,75r 2 . Koko ympyrän ala, mistä piste voidaan Ak    r 2  r 2 . Joten P( piste lähempänä keskipistettä)  valita, on Ak    r 2  r 2 . Joten P( piste lähempänä kehää)  0, 75r 2 0, 75 3    0, 75 r 2 1 4 8. a) Ensimmäisen luvun täytyy olla 0 tai 1 tai 2 tai 3 tai 4 (toinen ja kolmas voivat olla mitä vain). => P(0 tai 1 tai 2 tai 3 tai 4)= 1 1 1 1 1 5      =0,5 10 10 10 10 10 10 b) Jotta luku olisi jaollinen vitosella, viimeisen luvun pitää olla 5 tai 0 (eka ja toka voivat olla mitä vain). => P(viimeinen on 5 tai viimeinen on 0)= 9 8 1 9 8 1 2 1         0, 2 10 9 8 10 9 8 10 5 Bonus: P( A tai B )  P ( A)  P ( B )  P ( A ja B ) 5 4 1 5 7    P( A ja B)    P( A ja B ) 9 9 3 9 9 2  P( A ja B )  9 ja P( A ja B)  P( A)  P( B | A) 2 4 9 2   P( B | A)    P( B | A) 9 9 4 4 1  P( B | A)  2 