FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2
HILA JA PRISMA
MIKKO LAINE
29. toukokuuta 2015
1. Johdanto
Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn
tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi selvitämme työssä käytetyn
hilan hilavakion ja erotuskyvyn.
1.1. Hila. Hila on optinen komponentti, jonka avulla voidaan havaita valon diffraktio. Läpäisyhila on levy, jossa on yhdensuuntaisia rakoja tasaisin välein – tavallisesti
satoja millimetrillä. Monokromaattisen ja koherentin sähkömagneettisen säteilyn
(valon, aallonpituus λ) saapuessa hilaan, voidaan diffraktion voimakkuutta kuvata
hilayhtälöllä, yhtälö 1:
(1)
d sin θ = mλ,
m = 0, ±1, ±2, ...
missä d on vierekkäisten rakojen välimatka eli hilavakio ja θ kulma, jonka verran
valo poikkeaa alkuperäisestä kulkusuunnastaan. Luvut m ovat kertalukuja.
Hilayhtälön nojalla, yhtälö 1, diffraktio on merkittävä ilmiö vasta rakojen leveyden
ollessa saapuvan valon aallonpituuden luokkaa.
Jos hilaan tuleva valo ei olekaan monokromaattista, diffraktiokuvioon, nollannen
kertaluvun molemmille puolille, syntyvät muita kertalukuja vastaavat spektrit.
Hilan erotuskyky R määritellään seuraavasti:
λ
(2)
R=
∆λ
ja voidaan kirjoittaa myös muodossa
w
(3)
R=m ,
d
missä w on hilan leveys.
1.2. Prisma. Prisma on optinen komponentti, jonka avulla voidaan havaita valon
dispersio. Aineen taitekerroin on aallonpituuden funktio joten polykromaattisen
valon taittuessa kahdesti kulkiessaan prisman läpi, sen eri aallonpituudet hajaantuvat.
Samalla myös valon kulkusuunta muuttuu.
Deviaatiokulma δ kertoo miten paljon monokromaattisen valon kulkusuunta
on muuttunut prisman läpi kulkiessaan alkuperäiseen kulkusuuntaan verrattuna.
Deviaatiokulmalla on minimi tilanteessa, jossa valo kulkee prisman läpi symmetrisesti,
jolloin taittumislain avulla voidaan osoittaa että prisman taitekerroin
1
δmin + ε
(4)
n=
sin
,
sin ε/2
2
missä ε on prisman taittava kulma.
Prisman dispersiokäyrä kuvaa prisman taitekerrointa valon aallonpituuden funktiona. Tämä voidaan muodostaa yhtälön 4 avulla, kun mitataan tietyn aallonpituuden
deviaatiokulman minimi δmin prisman, jonka taittava kulma tiedetään, avulla.
1
2
MIKKO LAINE
2. Menetelmät
2.1. Hilavakion ja hilan erotuskyvyn määritys. Mittaamme hilaspektrometrillä käytettävää kalibrointiviivaa vastaavat kulmalukemat nollakohdan molemmin
puolin ensimmäisessä ja toisessa kertaluvussa, jonka jälkeen laskemme liitteen A
yhtälöä 5 hyödyntäen taipumiskulman θ ja edelleen hilavakion d, kummassakin
kertaluvussa. Hilavakion arvoksi otamme näiden kahden tuloksen keskiarvon ja
hilavakion absoluuttisen virheen ylärajan määritämme liitteen A yhtälön 6 avulla.
Hilan erotuskyvyn määritys suoritetaan tämän jälkeen yhtälöä 3 hyödyntäen.
2.2. Silmän herkkyysrajan määritys. Silmän herkkyysrajan määrityksessä etsimme käytettävän lampun ensimmäisen kertaluvun spektrin pitkäaaltoisimman
silmin havaittavan spektriviivan. Määritettyämme hilavakion, voimme hilayhtälön,
yhtälö 1, avulla ratkaista edellä mainitun spektriviivan aallonpituuden eli silmän
herkkyysrajan.
2.3. Dispersiokäyrän muodostus. Dispersiokäyrän muodostukseen tarvitsemme
useita spektriviivoja laajalta näkyvän valon alueelta. Näille spektriviivoille määritämme hilaspektrometrin avulla taipumiskulmat ja edelleen, yhtälöä 1 (hilayhtälö)
hyödyntäen, aallonpituudet. Tämän jälkeen vaihdamme hilan tilalle prisman, jonka
minimideviaatiokulmat mittaamme kaikille käyttämillemme spektriviivoille. Prisman taitekertoimet tutkituilla aallonpituuksilla laskemme yhtälöstä 4 ja piirrämme
tuloksista dispersiokäyrän. Violettia spektriviivaa vastaavalle aallonpituudelle ja
tätä aallonpituutta vastaavalle prisman taitekertoimelle laskemme absoluuttisen
virheen ylärajan kokonaisdifferentiaalimenetelmällä.
3. Tulokset
Mittauspöytäkirjaan, liite B, on kirjattu työssä tehdyt mittaukset.
3.1. Hilavakio ja hilan erotuskyky. Kalibrointilamppuna käytimme natriumlamppua ja kalibrointiviivana natriumin keltaisen dupletin aluetta, jonka aallonpituus λ = 589.3 nm ja aallonpituuden virhe ∆λ = 0.3 nm.
Liitteen A yhtälön 5 nojalla ensimmäisen kertaluvun taipumiskulma θ1 = 10.05◦
ja toisen kertaluvun taipumiskulma θ2 = 20.40◦ . Näin ollen hilayhtälön, yhtälö 1,
mukaan hilavakio
λ
589.3 nm
d1 =
= 3.376... µm
=
sin θ1
sin 10.05◦
ja hilavakio
2·λ
2 · 589.3 nm
d2 =
=
= 3.381... µm.
sin θ2
sin 20.40◦
Kulman mittaustarkkuus ∆θ = 0.05◦ = 3600−1 π rad, jolloin hilavakion d1 absoluuttisen virheen yläraja liitteen A yhtälön 6 nojalla
∆λ λ
|∆d1 | ≤ + 2 cos θ1 ∆θ
sin θ1
sin θ
1
= 0.018... µm
ja hilavakion d2 absoluuttisen virheen yläraja
2
2λ
|∆d2 | ≤ ∆λ + 2 cos θ2 ∆θ
sin θ2
sin θ
2
= 0.009... µm.
Hilavakion arvoksi valitsemme yllä laskettujen arvojen d1 ja d2 keskiarvon, jolloin
saamme d = 3.379... µm ≈ 3.38 µm. Hilavakion virheeksi valitsemme suuremman
yllä lasketuista virheistä, jolloin |∆d| = |∆d1 | ≈ 0.02 µm.
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2
HILA JA PRISMA
3
Taulukko 1. Käytetyt spektriviivat
ja niitä vastaavat arvot.
Viivan väri
θ
[◦ ]
Violetti
Vihreä 1
Vihreä 2
Keltainen
Punainen 1
Punainen 2
7.6
8.0
8.4
10.0
11.4
12.1
λ
δmin
[nm] [◦ ]
447
470
494
587
668
709
40.2
40.0
39.8
39.3
39.0
38.9
n
1.534
1.532
1.530
1.524
1.521
1.520
Huom. Aallonpituudet λ on laskettu
hilayhtälön, yhtälö 1, avulla.
Minimideviaatiokulmat δmin on
laskettu kuten taipumiskulmat θ,
liitteen A yhtälön 5 avulla.
Taitekertoimet n on laskettu yhtälön 4
avulla kun prisman taittava kulma
ε = 60◦ .
Siispä hilavakio d = (3.38 ± 0.02) µm ja yhtälön 3 nojalla hilan erotuskyky
w
R=
d
19.8 · 10−3 m
=
3.38 · 10−6 m
= 5857.988...
≈ 5860
kun m = 1 ja hilan leveys w = 1.98 cm. Tällöin hila pystyy erottamaan natriumin
keltaisen dupletin alueella aallonpituuseron
λ
R
589.3 nm
=
5860
= 0.100... nm
∆λ =
≈ 0.1 nm.
3.2. Silmän herkkyysraja. Silmän herkkyysrajan määrityksessä käytimme neonlamppua. Liitteen A yhtälön 5 nojalla ensimmäisen kertaluvun taipumiskulma
θ = 12.1◦ , jolloin hilayhtälön, yhtälö 1, avulla silmän herkkyysraja
λs = d sin θ
= 3.38 µm · sin 12.1◦
= 708.510... nm
≈ 709 nm.
3.3. Prisman dispersiokäyrä. Prisman dispersiokäyrämittauksissa käytimme heliumlamppua ja sen kuutta spektriviivaa. Nämä viivat, niiden taipumiskulmat ja
aallonpituudet sekä prisman minimideviaatiokulmat ja niitä vastaavat taitekertoimet
on kirjattu taulukkoon 1.
4
MIKKO LAINE
n
1.53
1.525
1.52
500
600
700
λ [nm]
Kuva 1. Prisman dispersiokäyrä.
Violettia spektriviivaa vastaavalle aallonpituudelle λ virheen absoluuttinen yläraja
|∆λ| ≤ | sin θ∆d| + |d cos θ∆θ|
= | sin 7.6◦ · 0.018... µm| + |(3.38 · 3600−1 π) µm · cos 7.6◦ |
= 5.350... nm
≈ 5 nm,
jolloin violetin spektriviivan aallonpituus λ = (447 ± 5) nm. Violettia spektriviivaa
vastaavan taitekertoimen arvon virheen absoluuttinen yläraja
∆δmin
δmin + ε |∆n| ≤ cos
2 sin ε/2
2
◦
◦
π
40.2 + 60 =
cos(
)
3600
2
= 0.559... · 10−3
≈ 0.6 · 10−3 ,
sillä ∆δmin = ∆θ = 3600−1 π rad ja 2 sin ε/2 = 1 kun ε = 60◦ .
Prisman dispersiokäyrä on piirretty kuvaan 1 taulukon 1 arvojen perusteella.
4. Keskustelu
Arvot hilavakiolle ja hilan erotuskyvylle vaikuttavat todenmukaisilta. Silmän
herkkyysrajalle saatu arvo 709 nm kuulostaa hieman alhaiselta ja johtunee koejärjestelystä jossa silmän ei annettu sopeutua pimeään kuin reilun kymmenen minuutin
ajan. Huoneeseen pääsi myös hajavaloa, joka vaikeutti spektriviivojen havainnointia.
Prisman taitekertoimille saimme varsin pienet virherajat (|∆n| ≈ 0.6 · 10−3 ) ja
dispersiokäyrän muoto on odotusten mukainen, vaikka datapisteitä ei olekaan kovin
runsaasti.
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2
HILA JA PRISMA
5
5. Yhteenveto
Työssä käytetyn hilan hilavakio d = (3.38±0.02) µm ja hilan erotyskyky R = 5860.
Silmän herkkyysrajalle saimme tuloksen λs = 709 nm.
Mittauksissa käytetyn lasiprisman dispersiokäyrä on esitetty kuvassa 1.
Liite A. Ennakkotehtävät
Tehtävä 1. Työohjeen kuvan 8 perusteella
2θ = θoik − θvas + 360◦ , jolloin
1
θ = (θoik − θvas + 360◦ ).
(5)
2
Tehtävä 2. Hilayhtälön, yhtälö 1, nojalla
mλ
, josta
d=
sin θ
m
mλ
dd =
dλ −
cos θdθ, jolloin
sin θ
sin 2 θ
m
mλ
(6)
|∆d| ≤ ∆λ + 2 cos θ∆θ .
sin θ
sin θ