1. No category

Laudatur 3
Geometria
MAA3
Tarmo Hautajärvi
Jukka Ottelin
Leena Wallin-Jaakkola
Opettajan aineisto
Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava
SISÄLLYS
Ratkaisut kirjan tehtäviin..........................................................................................3
Kokeita......................................................................................................................212
1. painos
© 2006 Tekijät ja Kustannusosakeyhtiö Otava
ISBN-10: 951-1-951-1-20302-9
ISBN-13: 978-951-1-20302-5
Kopiointiehdot
Tämä teos on opettajan aineisto. Teos on suojattu tekijänoikeuslailla (404/61). Tekstisivujen
valokopioiminen on kielletty, ellei valokopiointiin ole hankittu lupaa. Tarkista, onko
oppilaitoksellanne voimassaoleva valokopiointilupa.
Lisätietoja luvista ja niiden sisällöstä antaa Kopiosto ry, www.kopiosto.fi/.
Teoksen kaikkien kalvopohjien ja kokeiden valokopiointi opetuskäyttöön on sallittua, mikäli
oppilaitoksellanne on voimassaoleva valokopiointilupa.
Teoksen tai sen osan digitaalinen kopioiminen tai muuntelu on ehdottomasti kielletty.
Sidonta: KEURUSKOPIO
Painopaikka: Otavan Kirjapaino Oy, Keuruu 2008
2
RATKAISUT
Testaa lähtötasosi
1. a) 1 km = 10000 dm, joten 0,000001 km = 0,01 dm
b) 1m2 = 10000 cm2, joten 100 m2 = 1000000 cm2
2. a) 1 cm3 = 0,001 dm3, joten 20 cm3 = 0,020 dm3
b) 1 ml = 1 cm3 = 1000 mm3, joten 20 ml = 20000mm3
c) 1 cm3 = 0,001 l, joten 0,02 cm3 = 0,00002 l
4. a) Yksi sentti kartalla on 40000 senttiä eli 400 metriä luonnossa.
b) Suurennos
c) 4 · 11 cm = 44 cm
5. a ja b ovat kateetteja, c on hypotenuusa.
Pythagoraan lause on tällöin a2 + b2 = c2.
5
⋅ 3 = 5 m.
3
1
52 − 32 = 4 m. Kolmion pinta-alaksi saadaan ⋅ 4 ⋅ 3 = 6 m 2
2
6. Suorakulmaisen kolmion lyhempi kateetti on 3 ja hypotenuusa on
Toinen kateetti on siten
Vastaus: Pinta-ala on 6 m2.
7.
1
a
tan 25° = 2
5, 2
1
5, 2 tan 25° = a
2
a ≈ 4,85 cm
ah 4,85 ⋅ 5, 2
=
≈ 12, 6
A=
2
2
Vastaus: Kolmion ala on 12,6 cm2 ja kanta on 4,85 cm.
9. Ympyräkartion ala lasketaan kaavalla A = πrs, jossa r on säde ja s on sivujana.
Ratkaistaan sivujana annetun säteen ja korkeuden avulla Pythagoraan lauseella.
s = 0,152 + 0,122 ≈ 0,19 m
Kysytty ala A = π rs = π ⋅ 0,15 ⋅ 0,19 = 0, 09 m 2
Vastaus: 9 dm2
3
10. Pyramidin tilavuus lasketaan särmän pituuden s ja korkeuden h avulla. Muutetaan mitat
desimetreiksi ja ratkaistaan h.
1
V = s2h
3
1
0, 75 = ⋅1,52 ⋅ h
3
0, 75
h=
=1
1
⋅1,52
3
Vastaus: Korkeus on 1 dm.
1. PERUSKÄSITTEITÄ
1. Suorat l ja m yhdensuuntaisia, joten samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret.
a) Kulman 47° samankohtaisena kulmana α = 47°.
Vieruskulmien summa on 180°, joten β = 180° – 89° = 91°.
Kulman β samankohtaisena kulmana on γ = 91°.
b) Kulman 62° samankohtaisena α = 62°, vastaavasti β = 43°.
Kolmion kulmien summa on 180°, joten γ = 180° – 62° – 43° = 75°.
Vastaus: a) α = 47°, β = 91°, γ = 91° b) α = 62°, β = 43°, γ = 75°
2. a) Kolmion kulmien summa on 180°, joten α = 180° – 35° – 91° = 54°
b) Kolmion kulmien summa on 180°, kolmion kolmas kulma = 180° – 44° – 70° = 66°.
Vieruskulmien summa on 180°, joten α = 180° − 66° = 114° .
Vastaus: a) α = 54°, b) α = 114°
3. Suorat l ja m yhdensuuntaisia, joten samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret.
Kulman x (°) suuruus
x + 41 = 3x + 13
2 x = 28
:2
x = 14
Vastaus: x = 14°
4. a) Kolmion kulmien summa on 180°, joten kolmion
kolmas kulma = 180° – 47° – 27° = 106°.
Vieruskulmien summa on 180°, joten α = 180° − 106° = 74° .
4
b) Vieruskulmien summa on 180°, joten kolmion kolmas kulma on 180° − 65° = 115° .
Kolmion kulmien summa on 180°, joten α = 180° − 22° − 115° = 43° .
c) Kysytty kulma on kolmion kolmannen kulman ristikulma ja näin ollen yhtä suuri kuin se,
koska ristikulmat ovat yhtä suuret.
Vieruskulmien summa on 180 °, joten kolmion toinen kulma on 180° − 110° = 70° .
Kolmion kulmien summa on 180°, joten
kolmion kolmas kulma = 180° – 47° – 27° = 106°.
ja siis kysytty kulma on α = 180° − 70° − 38° = 72° .
d) Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten kolmion toinen kulma on 64°.
Kolmion kulmien summa on 180°, joten
kolmion kolmas kulma on 180° – 64° – 69° = 47°.
Täysikulma on 180°, joten α = 180° − 47° − 50° = 83° .
Vastaus: a) α = 74° b) α = 43° c) α = 72° d) α = 83°
5. a) Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten kolmion kolmas kulma on 77°.
Kolmion kulmien summa on 180°, joten kulma α (°)
α + α + 77 = 180
2α = 103
:2
α = 51,5
b) Kolmion kulmien summa on 180°, joten kolmion
kolmas kulma = 180° – 120° – 18° = 42°.
Vieruskulmien summa on 180°, joten kysytty kulma on α = 180° − 42° = 138° .
c) Määritetään sen kolmion kolmas kulma, jonka kulmat ovat α (°) ja 108°.
Suorat l ja m yhdensuuntaisia, joten samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. Kulman 41°
samankohtaisena kulmana kolmion kolmas kulma on 41°.
Kolmion kulmien summa on 180°, joten α = 180° − 41° − 108° = 31° .
Vastaus: a) α = 51,5° b) α = 138° c) α = 31°
6. a) Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten kolmion kolmas kulma on 50°.
Kolmion kulmien summa on 180°, joten x
3x + 9 + 2 x + 1 + 50 = 180
5 x = 120
:5
x = 24
5
b) Kolmion kulmien summa on 180°, joten x
x 2 + (3 x + 56) + 120 = 180
− 3 ± 32 − 4 ⋅1 ⋅ ( −4)
2 ⋅1
−3 − 5
x1 =
= −4
2
−3 + 5
x2 =
=1
2
x=
Vastaus: a) x = 24 b) x = –4 tai x = 1
7. a) Koska kulmien samannimiset kyljet ovat yhdensuuntaiset, kulmat ovat
samankohtaisina kulmina yhtä suuret.
α = 20° = δ (samankohtaisuus)
Vieruskulmien summa on 180 °, joten β = 180° – 20° = 160°
Ristikulmat ovat yhtä suuret, joten γ = β = 160°
C
F
b) Kolmion kulmien summa 180°.
A
E
60°
B
Kolmio DEB on suorakulmainen, koska ristikulmat ovat yhtä
suuret.
β = 180° − 90° − 60° = 30°
D
Kolmio AEF on suorakulmainen ja kolmas kulma on 60°, koska ristikulmat ovat yhtä
suuret. α = 180° – 90° – 60° = 30°
Kolmio ABC on suorakulmainen, koska vieruskulmien summa on 180°.
γ = 180° – α – 90° = 60°
Vastaus: a) α = 20°, β = 160°, γ = 160° ja δ = 20° b) α = 30°, β = 30° ja γ = 60°
8. Katkoviiva merkitsee pinnan normaalia.
Normaali on kohtisuorassa pintaa vasten.
Kulma α = 90° − 60° = 30°
Kulma β = 90° − 34° = 56°
Kulma γ = 90° − 34° = 56°
Kulma δ = 90° − 60° = 30°
α = 30°
60°
56° = β
34°
34°
γ = 56°
30° = δ
60°
Vastaus: 30°, 56°, 56° ja 30°
9. Vanhempien äänilevyjen pyörimisnopeus on 78 kierrosta minuutissa.
Yksi kierros = 360°
78 kierrosta 78 ⋅ 360° 468° 46,8°
=
=
=
1 min
60 s
1s
0,1 s
Vastaus: Levy kiertyy kymmenesosasekunnissa 46,8°.
6
10. Ensimmäinen kulma x(°)
Toinen kulma 3x(°)
Kolmas kulma 62°
Kolmion kulmien summa on 180°, joten
x + 3 x + 62 = 180
4 x = 118
:4
x = 29,5
x = 29,5°
3x = 3 · 29,5° = 88,5°.
Vastaus: Kulmat ovat 29,5°, 88,5° ja 62°.
11. Ensimmäinen kulma x(°)
Toinen kulma 1,25x
Kolmas kulma 0,75x.
Kolmion kulmien summa on 180°, joten
x + 1, 25 x + 0, 75 x = 180
3x = 180
:3
x = 60
Ensimmäinen kulma x = 60°
Toinen kulma on 1,25 · 60° = 75° ja kolmas on 0,75 · 60° = 45°.
Vastaus: Kulmat ovat 60°, 75° ja 45°.
12.
15°
= 25, 25°
60
15° 30° ⎛ 31 ⎞ °
b) 31°15´30´´= 31° +
+
= 31
≈ 31, 26°
60 3600 ⎜⎝ 120 ⎟⎠
15° 12° ⎛ 19 ⎞ °
c) 21°15´12´´= 21° +
+
= 21
≈ 21, 25°
60 3600 ⎜⎝ 75 ⎟⎠
a) 25°15´= 25° +
⎛ 31 ⎞ °
Vastaus: a) 25,25° b) ⎜ 31
⎟ ≈ 31, 26°
⎝ 120 ⎠
⎛ 19 ⎞ °
c) ⎜ 21 ⎟ ≈ 21, 25°
⎝ 75 ⎠
13.
a) 15,5° = 15° + 0,5 ⋅ 60 ' = 15°30 '
b) 35,36° = 35° + 0,36 ⋅ 60 ' = 35°21'+ 0, 6 ⋅ 60 '' = 35°21'36 ''
c) 5,125° = 5° + 0,125 ⋅ 60 ' = 5°7,5' = 5°7 '+ 0,5 ⋅ 60 '' = 5°7 '30 ''
Vastaus: a) 15°30´ b) 35°21´36´´ c) 5°7´30´´
7
14. Täysi kulma on 6 000 tykistöpiirua.
6 000
⋅ 90° = 1500 tykistöpiirua
a) Suora kulma:
360°
6 000
2
b) Yksi aste:
⋅1° = 16 tykistöpiirua
360°
3
360°
= 0, 06°
c) Yksi tykistöpiiru:
6 000
Vastaus: a) Suora kulma on 1 500 tykistöpiirua. b) Yksi aste on 16
c) Yksi tykistöpiiru on 0,06°.
15. Kulma α (°)
Komplementtikulma 1,5 α
Komplementtikulmien summa on 90°
α + 1,5α = 90
2,5α = 90
: 2,5
α = 36
Komplementtikulma 1,5 ⋅ 36° = 54°
Vastaus: Komplementtikulman suuruus on 54°.
16. Kulma α (°)
Vieruskulma 0,2 α
Vieruskulmien summa on 180°
α + 0, 2α = 180
1, 2α = 180
:1, 2
α = 150
Kulma 150°
Vieruskulma 0, 2 ⋅150° = 30°
Vastaus: Kulmien suuruudet ovat 150° ja 30°.
17. S/S Ainon kurssi lounaaseen
M/S Marien kurssi pohjoisesta 12 astetta länteen
S/S Aino M/S Mariesta katsottuna suoraan pohjoisessa
Laivojen kurssien välinen kulma on 180° – 45° – 12° = 123°
Vastaus: Laivojen kurssit leikkaavat toisensa 123° kulmassa.
8
2
tykistöpiirua.
3
18. Kolmion, missä kulma α on kolmas kulma
(vieruskulmien summa 180°)
180° − 52° = 128°
Kolmion kulmien summa on 180°, joten
Kulma α = 180° – 20° – (180° – 52°) = 32°
Vastaus: Majakan ikkuna näkyy kauempana olevasta
soutuveneestä 32° kulmassa.
C
γ
β B
19. Kulma α = 35° − 28° = 7°
Suorakulmaisesta kolmiosta ADC
Kulma γ = 180° – 90° – 35° = 55°
α
Kolmion kulmien summa on 180°.
Kulma β = 180° − 7° − 55° = 118°
A
Vastaus: Kulmat ovat 7°, 118° ja 55°.
28°
35°
D
20. Kulmat α ja β ovat vieruskulmia, joten niiden
summa on α + β =180°.
Kulman α kulmanpuolittaja on puolisuora pα ja
kulman β puolisuora pβ .
pα
pβ
α_
2
α
β_
2
β
Puolittajien välinen kulma
α β a + β 180°
( pα , pβ ) = + =
=
= 90°
2 2
2
2
Siis vieruskulmien puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vasten.
21. Kolmion kulmien summa on 180°.
γ = 180° − α − β
Kolmion kulmien summa on 180°, joten kolmion kulman vieruskulma x
B
x = 180° − γ = 180° − (180° − α − β ) = α + β
β
Eli kolmion kahden kulman summa on yhtä suuri
kuin kolmannen kulman vieruskulma.
γ
x
α
C
22. Jos kolmion kulma α on suurempi tai yhtä suuri
kuin kolmion kulman (β) vieruskulma, niin
α ≥ 180° − β
β = 180° − α − γ , kulmien summa
α ≥ 180° − (180° − α − γ )
α ≥α +γ
Epäyhtälö on tosi vain, jos kolmion kulma on korkeintaan 0°, mikä mahdotonta. Joten
kolmion kulma on pienempi kuin molempien muiden kulmien vieruskulmat.
9
A
23. Ristikulmat yhtä suuret, joten α = 20°.
Piirretään kulman β kärjen kautta suorien l ja s
suuntainen suora t.
Koska t l s , niin samankohtaisina kulmina
γ = 60° ja δ = 20°
60°
β
γ
δ
α
20°
Vieruskulmien summa on 180°, joten
β = (180° − γ ) + δ = 180° − 60° + 20° = 140°
Vastaus: α = 20° ja β = 140°
24. Ristikulmat yhtä suuret
x2 = 5x − 6
x2 − 5x + 6 = 0
x=
−(−5) ± (−5) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6
2 ⋅1
5 +1
=3
x1 =
2
5 −1
=2
x2 =
2
Vastaus: x = 2 tai x = 3
2. YHDENMUOTOISUUS
25. a) 100 cm = 10 dm = 1 m
b) 1 km = 1000 m
c) 4,5 mm = 0,45 cm
d) 300dm = 30 m
e) 125 cm = 12,5 dm = 1,25m = 0,00125 km
f) 0,325 km = 325 m = 3 250 dm = 32 500 cm = 325 000 mm
Vastaus: a) 1 m b) 1000 m c) 0,45 cm d) 30 m e)0,00125 km f) 325 000 mm
26. 3,45 m + 26 dm + 105 cm = 345 cm + 260 cm + 105 cm = 710 cm
Vastaus: 710 cm
27. a) 1,897 cm2 = 189,7 mm2
b) 0,002309 mm2 = 0,00002309 cm2 = 0,0000002309 dm2 = 0,000000002309 m2
c) 0,50456 ha = 50,456 a = 5 045,6 m2 = 594 560 dm2 = 50 456 000 cm2
Vastaus: a) 189,7 mm2 b) 0,000000002309 m2 c) 50 456 000 cm2
10
l
t
s
28. 2 a + 0,05 ha + 1 220 dm2 + 120 cm2 = 200 m2 + 500 m2 + 12,2 m2 + 0,012 m2
= 712,212 m2
Vastaus: 712,212 m2
29. a) 0,098109 dm3 = 98,109 cm3 = 98 109 mm3
b) 45,098 cm3 = 0,045098 dm3 = 0,000045098 m3
c) 23 876,98 mm3 = 23,87698 cm3 = 0,02387698 dm3
Vastaus: a) 98 109 mm3 b) 0,000045098 m3 c) 0,02387698 dm3
30. 0,0500098 m3 + 235 mm3 + 2,987 cm3 = 50009,8 cm3 + 0,235 cm3 + 2,987 cm3
= 50 013,022 cm3
Vastaus: 50 013,022 cm3
31. a) 4,0901 dl = 40,901 cl = 409, 01 ml
b) 0,00023801 ml = 0, 000023801 cl = 0,0000023801 dl = 0,00000023801 l
c) 1,23 cl = 0,123 dl = 0,0123 l = 0,000123 hl
Vastaus: a) 409,01 ml b) 0,00000023801 l c) 0,000123 hl
32. 1,00 dl − 9,0 cl + 0,290 l + 2 ml = 1,00 dl – 0,9 dl + 2,90 dl + 0,02 dl = 3,02 dl
Vastaus: 3,02 dl
33. a) 6,078 l = 6,078 dm3 = 6 078 cm3
b) 0,893 cm3 = 0,893 ml = 0,0893 cl
c) 6 890,65 ml = 6 890,65 cm3 = 6,89065 dm3 = 0,00689065 m3
Vastaus: a) 6 078 cm3 b) 0,0893 cl c) 0,00689065 m3
34. a) 1 256 dm2 = 12,56 m2
b) 2 m2 3 dm2 = 2,03 m2
c) 15 dm2 34 cm2 = 0,15m2 + 0,0034 m2 = 0,1534m2
Vastaus: a) 12,56 m2 b) 2,03 m2 c) 0,1534m2
35. a) 12 dm3 40,5 mm3 = 12 dm3 + 0,0000405 dm3 = 12,0000405 dm3
b) 5 m3 30 cm3 = 5 000 dm3 + 0,03 dm3 = 5 000,030 dm3
c) 6 m3 35 mm3 = 6 000 dm3 + 0,000035 dm3 = 6 000,000035 dm3
Vastaus: a) 12,0000405 dm3 b) 5 000,030 dm3 c) 6 000,000035 dm3
36. a) 34 l 20 cl + 5 · (145 ml +3 l + 17 dl) = 34,2 l + 5 · (4,856 l) = 58,48 l
b) 58,48 l = 58 480 ml
c) 58,48 l = 58,48 dm3 < 100 dm3
Vastaus: a) 58,48 l b) 58480 ml c) kyllä
11
Mittakaava
37. Kaikki ympyrät ovat yhdenmuotoisia. Jos ympyrän säde kasvaa 12,5 % eli tulee 1,125ketaiseksi, niin kaikki muutkin pituudet muuttuvat samoin. Piiri kasvaa myös
12,5 %.
Vastaus: Ympyrän piiri kasvaa 12,5 %.
38. Hiiren pituus luonnossa x (m)
Hiiren pituus kuvassa on noin 9 mm.
Kuvassa sivun pituus on 35 mm ja luonnossa 5,0 m. Koska mittakaava on sama, niin
x
5
=
⋅9
9
35
5
x=
⋅9
35
9
x=
7
x ≈ 1,3
Vastaus: Hiiri oli Ventin mielestä 1,3 m pitkä.
39. Mittakaava 1 : 12 000
a) Matka kartalla 9,0 cm
Matka luonnossa x (cm)
9
1
=
x 12 000
x = 9 ⋅12 000
x = 108 000
Matka luonnossa 108 000 cm = 1 080 m.
b) Matka luonnossa 6 km = 600 000 cm
Matka kartalla x (cm)
x
1
=
⋅ 600 000
600 000 12 000
600 000
x=
12 000
x = 50
Vastaus: a) Matka luonnossa on 1080 m. b) 50 senttimetrin päästä.
12
40. Maantiekartan mittakaava 1 : 800 000
Matka kartalla 3,5 cm
Matka luonnossa x (cm)
3,5
1
=
800 000
x
x = 3,5 ⋅ 800 000
x = 2 800 000
Matka luonnossa on 2 800 000 cm = 28 km.
Tähän menee aikaa
28 km
= 0, 7 h = 42 min
40 km/h
Vastaus: Janilta kului aikaa 42 min.
41. Rakennuspiirroksen mittakaava 1 : 50.
Huoneen pituus 9,6 cm
Huoneen pituus luonnossa x (cm)
9, 6 1
=
x
50
x = 9, 6 ⋅ 50
x = 480
Pituus: 480 cm = 4,80 m
Huoneen leveys 7,9 cm
Huoneen leveys luonnossa y (cm)
7,9 1
=
50
y
x = 7,9 ⋅ 50
x = 395
Leveys: 395 cm = 3,95 m.
Pinta-ala on 4,80 m · 3,95 m = 18,96 m2 ≈ 19 m2.
Vastaus: Huoneen pinta-ala on 19 m2.
42. Kartan mittakaava 1 : 400 000
a) Matka kartalla 33 mm = 3,3 cm
Matka maastossa x (cm)
3,3
1
=
400 000
x
x = 400 000 ⋅ 3,3
x = 1 320 000
Maastossa 1 320 000 cm = 13,2 km
13
b) Kartan mittakaava 1 : 20 000
Matka luonnossa 13,2 km
Matka kartalla x (cm)
1
x
=
1 320 000 20 000
20 000 x = 1 320 000
x = 66
Matka kartalla 66 cm
Vastaus: a) Väli maastossa on 13,2 km. b) Väli peruskartalla on 66 cm.
43. Jyväskylän ja Kuopion välinen etäisyys kartalla 4,72 cm
Jyväskylän ja Kuopion välinen etäisyys maastossa 118 km
Mittakaava 1 : x
4, 72 cm 1
=
118 km
x
118 km
x=
4,73 cm
11 800 000
x=
4, 73
x = 2 500 000
Vastaus: Kartan mittakaava on 1:2 500 000.
Pinta-ala
44. Ympyrät ovat yhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava on sama kuin
vastinjanojen suhde. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.
1
a) Kuvan pikkuympyrän säde on kolmasosa ison ympyrän säteestä, eli mittakaava k =
3
Apikkuymp.
1
= k2 =
9
Aisoymp.
5 ⋅ Apikkuymp.
Aisoymp.
=
5 ⋅1 5
=
9
9
b) Hukkaan menee loput, eli 1 −
5 4 400
= =
% ≈ 44 % .
9 9
9
Vastaus: a) Pinta-alojen suhde on
5
.
9
b) Pannun pinta-alasta menee ”hukkaan”
400
% ≈ 44 %.
9
14
45. Kymmenkulmion sivuja kasvatetaan 20 %:lla. Koska kaikkia sivuja kasvatetaan saman
verran, kuviot ovat yhdenmuotoiset.
a) Yhdenmuotoisten kuvioiden kulmat ovat yhtä suuret.
b) Yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava on sama kuin vastinjanojen suhde.
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.
Sivun pituus a
Uuden kuvion sivun pituus 1,20a
2
Auusi
⎛ 1, 20a ⎞
= k2 = ⎜
⎟ = 1, 44
Avanha
⎝ a ⎠
Kasvua 144 % − 100 % = 44 %
Vastaus: a) Kulmat eivät kasva. b) Pinta-ala kasvaa 44 %.
Tilavuus
46. Maastokartan mittakaava 1 : 50 000
Rakennukset merkitty 1 mm2:n suuruisilla suorakulmioilla.
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.
Oikea mittakaava
1mm 2 ⎛ 1 ⎞
=⎜
⎟
A2
⎝ 50 000 ⎠
2
A2 = 1 mm 2 ⋅ 50 0002
A2 = 2500 m 2
Tämä ylittää normaalitalon pinta-alan moninkertaisesti.
Vastaus: Eivät
47. Alue suorakulmion muotoinen ja pinta-alaltaan 75 m2
Kartalla alue 25 cm x 75 cm = 1 875 cm2
a) Mittakaava k = 1 : x
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.
⎛1⎞
k2=⎜ ⎟
⎝x⎠
2
2
0,1875 m 2
⎛1⎞
=
⎜x⎟
75 m 2
⎝ ⎠
2
⎛1⎞
⎜ x ⎟ = 0, 0025
⎝ ⎠
,k=
15
1
>0
x
1
= 0, 05
x
1
x=
0, 05
x = 20
Mittakaava on k = 1 : x = 1 : 20.
b) Hautapaikan pinta-ala kartalla 24 cm2
Hautapaikan todellinen ala a (cm2)
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.
24
k2 =
a
2
24
⎛ 1 ⎞
⎜ 20 ⎟ = a
⎝ ⎠
1
24
=
400 a
a = 24 ⋅ 400
x = 9 600
Hautapaikan todellinen ala 9 600 cm 2 = 0,96 m 2 .
Vastaus: a) Kartan mittakaava on 1:20. b) Hautapaikan todellinen ala on 0,96 m2.
48. Aikuisen kirahvin korkeus s2 = 4,5 m
Aikuisen kirahvin laikun koko x (cm2)
Vastasyntyneen kirahvin korkeus s1 = 1,8 m
Vastasyntyneen kirahvin laikun koko A1 = 120 cm2
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.
A
s
1,8
k2 = 1
k2 = 1 =
A2
s2 4,5
2
120
⎛ 1,8 ⎞
⎜
⎟ =
x
⎝ 4,5 ⎠
0,16 x = 120
: 0,16
x = 750
Vastaus: Laikku on kooltaan 750 cm2.
49. Pallon malli mittakaavassa k = 1 : 20
a) Mallin pituus 30,0 cm
Tilatun pallon pituus x (cm)
1 30
=
20
x
x = 600
16
b) Mallin vatsanympärysmitta 16 cm
Pallon vastaava mitta x (cm)
1 16
=
x
20
x = 320
c) Mallipalloon tarvitaan materiaalia 520 cm2.
Suureen palloon tarvittava materiaalimäärä x (cm2)
Yhdenmuotoisten kappaleiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.
2
520
⎛ 1 ⎞
⎜ 20 ⎟ = x
⎝ ⎠
x = 520 ⋅ 400
x = 208 000
Materiaalia tarvitaan 208 000 cm2 = 20,8 m2
d) Mallipallon heliummäärä 350 cm3
Suuren pallon heliummäärä x (cm3)
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio.
3
350
⎛ 1 ⎞
⎜ 20 ⎟ = x
⎝ ⎠
x = 8 000 ⋅ 350
x = 2 800 000
Suuren pallon heliummäärä 2 800 000 cm3 = 2,8 m3
Vastaus: a) Tilatun pallon pituus on 6,00 m. b) Pallon vastaava mitta on 3,20 m.
c) Suureen palloon tarvitaan materiaalia 20,8 m2. d) Heliumia tarvitaan suureen palloon
2,80 m3.
50. Säilytysastioiden tilavuudet: 1 l, 3 l, 5 l, 10 l ja 20 l
Pienimmän astian korkeus on 12 cm ja pohjan halkaisija 10 cm.
Muiden astioiden vastaavat mitat
korkeus h (cm)
pohjan halkaisija d (cm)
tilavuus V (l)
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on
vastinjanojen suhde.
17
k3 =
1
V
3
1
⎛ 12 ⎞
⎜ h ⎟ =V
⎝ ⎠
3
12 3 1
=
h
V
h = 12 ⋅ 3 V
Vastaavasti d = 10 ⋅ 3 V
3 litran astia
korkeus h = 12 ⋅ 3 3 cm ≈ 17 cm
pohjan halkaisija d = 10 ⋅ 3 3 cm ≈ 14 cm
5 litran astia
korkeus h = 12 ⋅ 3 5 cm ≈ 21 cm
pohjan halkaisija d = 10 ⋅ 3 5 cm ≈ 17 cm
10 litran astia
korkeus h = 12 ⋅ 3 10 cm ≈ 26 cm
pohjan halkaisija d = 10 ⋅ 3 10 cm ≈ 22 cm
20 litran astia
korkeus h = 12 ⋅ 3 20 cm ≈ 33 cm
pohjan halkaisija d = 10 ⋅ 3 20 cm ≈ 27 cm
Vastaus: 3 l: h = 12 ⋅ 3 3 cm ≈ 17 cm; d = 10 ⋅ 3 3 cm ≈ 14 cm ; 5 l:
h = 12 ⋅ 3 5 cm ≈ 21 cm; d = 10 ⋅ 3 5 cm ≈ 17 cm ; 10 l:
h = 12 ⋅ 3 10 cm ≈ 26 cm; d = 10 ⋅ 3 10 cm ≈ 22 cm ; 20 l:
h = 12 ⋅ 3 20 cm ≈ 33 cm; d = 10 ⋅ 3 20 cm ≈ 27 cm
51. Yhden tölkin tilavuus 33 cl
Tölkin korkeus 11, 5 cm
Juomaa 10 000 000 l
Ison tölkin korkeus x (cm)
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on
vastinjanojen suhde.
18
Ison tölkin korkeus
3
0,33
⎛ 11,5 ⎞
⎜ x ⎟ = 10 000 000
⎝
⎠
11,5 3
= 3,3 ⋅10−8
x
11,5
x=
3
3,3 ⋅10−8
3
x = 3 585...
Korkeus 3 585… cm ≈ 35,9 m
Vastaus: Noin 35,9 m korkeaan tölkkiin.
52. Pienemmän pitsan halkaisija 25,0 cm
Suuremman pitsan halkaisija 40,0 cm
Pienemmän pitsan salamimäärä 30,0 g
Suuremman pitsan salamimäärä x (g)
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on
vastinjanojen suhde.
Salamia
3
x
⎛ 40 ⎞
⎜ 25 ⎟ = 30
⎝ ⎠
x=
403 ⋅ 30
253
x = 122,88
x ≈ 123
Vastaus: Salamia tarvitaan 123 grammaa.
53. Vastasyntyneen massa 40 kg
Vastasyntyneen korkeus 0,50 cm
Täysikokoisen korkeus 1,5 m
Täysikasvuisen massa x (kg)
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on
vastinjanojen suhde.
Massa
3
⎛ 1,5 ⎞
x
⎜
⎟ =
0,5
40
⎝
⎠
x = 27 ⋅ 40
x = 1080
Vastaus: Täysikokoisen sarvikuonon massa on 1080 kg.
19
54. Samasta aineesta tehtyjen pallojen massat ovat 54 kg ja 16 kg
Isomman pallon maalaamiseen kului maalia 150 g
Pienemmän pallon maalaamiseen kului x (g)
Kaikki pallot ovat keskenään yhdenmuotoisia.
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio ja pinta-alojen
suhde mittakaavan neliö.
Koska massa on verrannollinen tilavuuteen ja maalin menekki taas on verrannollinen pintaalaan, saadaan verranto
2
⎛ 54 ⎞
⎛ 150 ⎞
⎜
⎟ =⎜
⎟
16
⎝ x ⎠
⎝
⎠
3,3752 =
x3 =
3
1503
x3
1503
3
3,3752
x =3
1503
3,3752
x = 66
2
3
x ≈ 67
Vastaus: Maalia tarvitaan 67 grammaa.
55. Alkuperäisen ympyrän ala A ja piiri p
Ympyrän pinta-ala pienenee 19 %
Uusi ala on 0,81A ja piiri x
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Kaikki ympyrät ovat
keskenään yhdenmuotoisia.
Uusi piiri
2
0,81A ⎛ x ⎞
=⎜ ⎟
A
⎝ p⎠
x
= 0,81
p
x = 0,9 p
,k=
Uusi piiri on 90 % vanhasta.
Piirin pienennys 100 % − 90 % = 10 %
Vastaus: Piiri pienenee 10 %.
20
x
>0
p
56. Kaikki kuutiot ovat keskenään yhden muotoisia.
Särmien pituuksien suhde on mittakaava, pinta-alojen suhde mittakaavan neliö ja
tilavuuksien suhde mittakaavan kuutio.
Kuution tilavuus V
Kuution tilavuus kasvaa 33,1 % eli uusi tilavuus on 1,331V
Mittakaava (uuden suhde vanhaan)
1,331V
3
= k3
V
k = 3 1,331
k = 1,1
1,1
k=
1
Särmän pituus tulee 1,1-keratiseksi eli kasvaa 110 % − 100 % = 10 %
b) Pinta-alojen suhde on k 2 = 1,12 = 1, 21 .
Pinta-ala tulee 1,21-kertaiseksi eli kasvaa 121 % − 100 % = 21 %.
Vastaus: a) Särmän pituus kasvaa 10 %. b) Kuution ala kasvaa 21 %.
57. Kaikki pallot ovat keskenään yhdenmuotoisia.
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio ja pinta-alojen
suhde mittakaavan neliö.
Pallon alkuperäinen tilavuus V
Tilavuus pienenee 20 % eli uusi tilavuus on 0,8V
Pallon alkuperäinen ala A
Mittakaava (uuden suhde vanhaan)
0,8V
k3 =
V
3
k = 0,8
3
Uusi pinta-ala k 2 ⋅ A = ( 3 0,8) 2 ⋅ A = 0,86177... A
Alan pieneneminen 100 % − 86,177… % ≈ 14 %
Vastaus: Ala pienenee noin 14 %.
58. Yläosan korkeus h
Yläosan tilavuus V
1
h
2
Jäljellä olevan hiekan tilavuus x
Tiimalasin yläosassa oleva hiekkakartio on yhden muotoinen yläosan lasikartion kanssa.
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio.
Jäljellä olevan hiekan korkeus
21
1
h
1
k= 2 =
2
h
x
= k3
V
x ⎛1⎞
=
V ⎜⎝ 2 ⎟⎠
1
x= V
8
3
1
7
1
Hiekkaa on valunut tunnissa V − V = V , jäljellä on V .
8
8
8
7
1
Koska V = 7 ⋅ V , niin loppuosa vaatii seitsemäsosan kuluneesta ajasta eli
8
8
1 h 60 min
4
=
= 8 min ≈ 8, 6 min .
7
7
7
Vastaus: Hiekan valumiseen kuluu noin 8,6 min.
59. Nykyisen TV:n mitat: korkeus 3a ja leveys 4a
HDTV:n mitat: korkeus 9b ja leveys 16b
Kuvien korkeudet yhtä suuret
3a = 9b
:3
a = 3b
Nykyisen TV:n mitat
korkeus 3a = 9b
leveys 4a = 4 ⋅ 3b = 12b
3a 9b
Nykyisen TV:n ja HDTV:n leveyksien erotus on
16b – 12b = 4b
Mustaksi jäävä pinta-ala on 4b · 9b = 36b2
Koko kuvaruudun ala on 16b · 9b = 144b2
36b 2
1
= eli tämän
Pinta-alojen suhde on
144b 2 4
verran jää kuvaruudusta mustaksi.
Kuvien leveydet ovat yhtä suuret, kun 4a = 16b,
eli a = 4b.
Siten korkeudet ovat 12b ja 9b, eli erotus on 3b.
Ulkopuolelle jäävä ala; 3b · 16b = 48b2.
Koko ala on 12b · 16b = 192b2.
48b 2
1
Näiden suhde on
= .
2
4
192b
Tämän verran kuva-alasta jäisi ulkopuolelle.
Vastaus: Mustaksi jäisi
16b
4a
3a
9b
16b
4a
1
1
kuvaruudusta ja kuvaruudun ulkopuolelle jäisi kuva-alasta.
4
4
22
60. Arkit ovat yhdenmuotoiset, joten kirjoituskokojen suhde on mittakaava ja pinta-alojen
suhde on mittakaavan neliö.
Arkkien A4 ja A5 alojen suhde on 100 : 50
A4 kirjoituskoko l4
A5 kirjoituskoko l5
A4
l A4 100 2
= k2
k= 4
=
=
A5
l5 A5
50 1
2 ⎛ l4 ⎞
=⎜ ⎟
1 ⎝ l5 ⎠
l4
= 2
l5
l5 =
1
2
2
,
l4
>0
l5
l4
2)
2
= (1 −
) ⋅100 % ≈ 29,3 %
2
2
Vastaus: Tekstin korkeus pienenee noin 29,3 %.
Kirjoituskoko pienenee 1 −
1
61. Öljyä myydään 1 litran ja 3 litran pulloissa
Pullojen muovimäärä suoraan verrannollinen niiden pinta-alaan
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio ja pinta-alojen
suhde mittakaavan neliö.
1 litran pullon tilavuus V1 ja muovimäärä s1
3 litran pullon tilavuus V2 muovimäärä s2
Mittakaava
V1
V1 1
= k3
=
V2
V2 3
1
= k3
3
k=3
3
1
3
Muovimäärä
Pinta-alojen suhde mittakaavan neliö
s1
= k2
s2
s1 ⎛ 3 1 ⎞
=⎜
⎟
s2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠
s1
1
=
s2 3 9
k=
3
1
3
2
s2 = 3 9 s1
s2 ≈ 2, 08
23
s1
s
ja 3 litran pulloon 2 .
1
3
Litraa kohden muovia menee1 litran pulloon
s2
3
s
9 s1 3 9
=
Menekkien suhde 3 = 2 =
s1 3s1
3s1
3
1
⎛ 39⎞
Ero prosentteina ⎜1 −
⎟ ⋅100 % ≈ 30, 7 %
⎜
3 ⎟⎠
⎝
Vastaus: Muovimäärä on
3
9 ≈ 2, 08 -kertainen. Muovia on käytetty
⎛
9⎞
⎜⎜1 −
⎟ ⋅100 % ≈ 30, 7 % vähemmän litraa kohti.
3 ⎟⎠
⎝
3
62. Pinta-ala kartalla x (cm2)
Pinta-ala luonnossa 160 km 2 = 160 ⋅ (103 ⋅102 cm) 2 = 160 ⋅1010 cm 2 = 1, 6 ⋅1012 cm 2
Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.
2
⎛
⎞
1
x
⎜
⎟ =
1, 6 ⋅1012
⎝ 400 000 ⎠
1
x
=
10
16 ⋅10
1, 6 ⋅1012
x=
1, 6 ⋅1011
1, 6 ⋅1010
x = 10
Vastaus: Es ist 10 cm2.
63. Joensuun pinta-ala kartalla 480 cm2
Joensuun pinta-ala luonnossa 120 km 2 = 120 ⋅ (103 ⋅102 cm) 2 = 120 ⋅1010 cm 2
Kartan mittakaava k = 1 : x. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.
Mittakaava
2
480
⎛1⎞
⎜x⎟ =
120 ⋅1010
⎝ ⎠
,
1
>0
x
1
480
=
x
120 ⋅1010
1
2
=
x 105
x = 50 000
k = 1 : x = 1 : 50 000
Vastaus: Mittakaava on 1:50 000.
24
D
3. Kolmiot
C
E
64. a) Kolmiot AFE , ABD, BCD eli 3
A
F
B
b) Kolmiot ABE , ABC , AED, ACD, BCE , BCD, CDE eli 7
D
C
E
A
c) Kolmiot
ABF , ABE , ABD, ADE , AHE , BCG, BCD, BCE ,
BFD, BGE , CDG, CDH , CDE , DEH , DBE , DEF ,
DHG, EHF
eli 18
65. Kolmion FGH pinta-ala
ah
A=
a = g, h = s
2
1
A = gs
2
B
D
E
H
A
F
G
C
B
H
f
g
G
F
s
Vastaus: Pinta-ala on
1
gs.
2
66. Kolmio A`B`C` yhdenmuotoinen kolmion ABC kanssa mittakaavassa 5 : 6
Sivun BC pituus 198 m
Sivun B’C’ pituus x (m)
Mittakaava on vastinsivujen suhde
5
x
=
⋅198
6 198
5 ⋅198
x=
6
x = 165
Vastaus: Vastinsivun B`C` pituus on 165 m.
67.a)
∆ABE ≅ ∆CDE
D
C
⎧ AE = CE
⎪
sks ⎨ AEB = CED, ristikulmina
⎪ BE = DE
⎩
E
A
25
B
b)
∆ABE ≅ ∆CDE
D
C
⎧ AE = CE
⎪
sss ⎨ AB = CD
⎪ BE = DE
⎩
E
A
B
C
c) Tasakylkisen kolmion ABC kantaa vasten piirretty korkeusjana CD puolittaa
kannan AB.
∆ADC ≅ ∆BDC
⎧ A = C , tasakylkisen kolmion kantakulmina
⎪
ksk ⎨ AD = BD
⎪ ADC = BDC = 90°
⎩
d)
∆ABD ≅ ∆CDB
⎧ AD = CB
⎪
ksk ⎨ ADB = CBD
⎪ DAB = BCD
⎩
A
D
D
B
C
A
B
68. Kolmion sivujen pituudet 4 cm, 6 cm ja 9 cm
Yhdenmuotoisen kolmion sivu on 36 cm
Suuremman kolmion piiri on suurin silloin kuin 36 senttimetrin sivu vastaa toisen kolmion
lyhintä sivua.
Kun lyhintä sivua 4 cm vastaa mainittu 36 cm, on vastinsivujen suhde eli mittakaava
36
= 9.
4
Kaikki janat ovat suuremmassa kolmiossa 9-kertaiset pienempään kolmioon nähden, myös
piiri.
Piiri on maksimissaan 9 ⋅ (4 cm + 6 cm + 9 cm) = 171 cm
Vastaus: Suuremman kolmion piiri on korkeintaan 171 cm.
C
69. Janin varjon pituus AD = 2,4 m
Lipputangon varjon pituus AB = 13,7 m
Janin pituus DE = 140 cm
Lipputangon pituus BC = x (cm)
Kolmiot ABC ja ADE ovat yhdenmuotoisia,
koska
⎧ A on yhteinen
kk ⎨
⎩ D = B (= 90°)
E
A
26
D
B
Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama
13, 7
x
=
⋅140
2, 4 140
13, 7 ⋅140
x=
2, 4
1
x = 799
6
x ≈ 800
Lipputangon pituus 800 cm = 8,0 m
Vastaus: Lipputangon pituus on 8,0 metriä.
70. Kolmion kanta 5,0 cm
5 3
Kolmion korkeus
cm
2
Kolmion pinta-ala
1
5 3
25 3
25 3
A = ⋅ 5 cm ⋅
cm =
cm 2 =
⋅100 mm 2 = 625 3 mm 2 ≈ 1 100 mm 2
2
2
4
4
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 1100 mm2.
71. Tasasivuisen kolmion korkeusjana, kulmanpuolittaja mediaani ja keskinormaali ovat
samoja, joten kaikki merkilliset pisteet ovat yksi sama piste.
72. a) Kolmiot ABC ja ADE ovat yhdenmuotoiset, koska
⎧ A on yhteinen
kk ⎨
⎩ D= B
Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama
a
22
=
⋅ 63
63 22 + 48
22 ⋅ 63
a=
70
4
a = 19
5
b) Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset, koska
⎧ C on yhteinen
kk ⎨
⎩ A= D
Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama.
C
48
E
22
A
a
D
3,0
C
E
6,0
b
2,0
9,0
D
a
A
27
B
63
B
Ratkaistaan a.
a+2 6+3
=
2
3
a+2=6
a=4
⋅2
Ratkaistaan b.
3
b
=
9 3+6
b=3
Vastaus: a) a = 19
⋅9
4
= 19,8 b) a = 4 ja b = 3
5
73. Kaivon syvyys x (m)
Kaivon halkaisija 1,8 m
Ihmisen pituus 1,5 m
Ihmisen etäisyys kaivosta 0,6 m
E
1,5 m
C
D
0,6 m
Kaivon syvyys x saadaan yhdenmuotoisista kolmioista.
Kolmiot ABC ja EDC ovat yhdenmuotoiset, koska
⎧ ACB = ECD ristikulmina
kk ⎨
⎩ B = D = 90°
x
A
Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama
x
1,8
=
⋅1,5
1,5 0, 6
x = 4,5
B
1,8 m
Vastaus: Kaivon syvyys on 4,5 m.
C
74. Sivu AB = 9,0 cm + 12,0 cm = 21 cm
Sivu AC x (cm)
Sivu BC y (cm)
Kolmion ABC piiri 56 cm
Lasketaan y
y + x + 21 = 56
y = 35 − x
y
x
A
9,0 m
12,0 m
D
Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa.
28
B
Lasketaan x.
x 9
=
y 12
9
x
=
35 − x 12
12 x = 315 − 9 x
21x = 315
y = 35 − x
: 21
x = 15
Sivu AC = x = 15 cm
Sivu BC = y =35 − x = 20 cm
Vastaus: Sivujen pituudet ovat 20,0 cm ja 15,0 cm.
75. Kolmion sivujen pituudet ovat 12, 16 ja 24
Yhdysjanan pituus x
Lyhyimmän sivun suuntaisesti piirretty jana puolittaa
pisimmän sivun.
C
D
16
Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset, koska
⎧ A = D samankohtaisina kulmina, AB DE
kk ⎨
⎩ C yhteinen
x
24
E
A
12
B
Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on sama.
Lasketaan sivu x.
x 12
=
⋅12
12 24
x=6
Vastaus: Yhdysjanan pituus on 6.
76. AC = 50 cm = 5 dm
AB = 13 dm
BC = 10 dm
CD = x (dm)
DE = y (dm)
A
50 cm
x
Kolmion CBA kulman A puolittaja on
myös kolmion CEA kulman A puolittaja.
C
y E
D
c = 13,0 dm
a = 10 dm
B
Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Joten kysytty
x AC
.
suhde on =
y AE
Sivun AC pituus tunnetaan. Lasketaan sivun AC pituus.
29
Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa, joten
kolmiossa CBA kulman C puolittaja jakaa sivun BA sivujen CB ja CA suhteessa.
BE CB
CB = 10 dm, CA = 5 dm
=
EA CA
BE 10
=
EA 5
BE 2
=
EA 1
1
1
13
EA = BA = ⋅13 dm =
dm
3
3
3
Lasketaan kysytty suhde.
x AC
13
AC = 5 dm, AE = EA =
dm
=
y AE
3
x
5 15
=
=
y 13 13
3
Vastaus: Suhteessa 15 : 13
A
77. AB = 3 km
ED = 5km
BD = 6 km
Kysytty etäisyys AE (km)
Täydennetään kuviota piirtämällä pisteen A kautta janan
BD suuntainen suora ja jatketaan sivua ED. Merkitään
näiden suorien leikkauspistettä kirjaimella F.
F
3 km
C
D
B
5 km
Koska AF BD , niin samankohtaisina kulmina
6 km
F = D = 90° .
Suorakulmaisesta kolmiosta EFA saadaan
AE 2 = FA2 + FE 2
FA = 6 km , FE = 3 km + 5 km = 8 km
E
AE 2 = 62 + 82
AE 2 = 100
, AE > 0
AE = 10
Vastaus : Etäisyys on 10 km.
78. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC = BC
Väite: Kantakulmat ovat yhtä suuret, eli A = B
Todistus:
Piirretään yhdistysjana kolmion kärjestä C sivun AB
keskipisteeseen D.
Näin syntyvät kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät.
30
C
A
D
B
∆ADC ≅ ∆BDC
⎧ AC = BC
⎪
sss ⎨ AD = DB, jana CD puolittaa kannan
⎪CD on yhteinen
⎩
Yhtenevien kolmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten A =
Näin ollen tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret.
B.
79. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC = BC ja
CD on kantaa AB vasten piirretty korkeus.
C
Väite: Korkeusjana CD puolittaa kannan, eli AD = DB, ja
huippukulman, eli ACD = BCD
Todistus:
Piirretään korkeusjana kolmion kärjestä C kannalle AB.
A
B
D
Näin syntyvät kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät.
∆ADC ≅ ∆BDC
⎧ AC = BC
⎪
ssk k ⎨ A = B, tasakylkisen kolmion kantakulmina
⎪CD on yhteinen
⎩
Koska CD on korkeus, niin kummatkin syntyvistä kolmioista ovat suorakulmaisia. Muut
kulmat ovat teräviä.
Yhtenevien kolmioiden vastin sivut ovat yhtä suuret ja vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten
AD = DB ja ACD = BCD
Näin ollen tasakylkisen kolmion kantaa vasten piirretty korkeus puolittaa kannan ja
huippukulman.
80. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC = BC ja
AD on kylkeä BC vasten piirretty keskijana sekä BE kylkeä AC vasten piirretty keskijana.
Väite: Keskijanat ovat yhtä suuret, eli AD = BE.
C
Todistus:
Piirretään kylkiä vasten keskijanat.
Näin syntyvät kolmiot ADC ja BEC ovat yhtenevät.
∆ADC ≅ ∆BEC
⎧ AC = BC tasakylkisen kolmion kyljet
⎪
sks ⎨ C on yhteinen
⎪CD = CE , keskijana puolittaa kyljet, jotka ovat yhtä suuret
⎩
E
A
Yhtenevien kolmioiden vastin sivut ovat yhtä suuret, eli AD = BE.
Näin ollen tasakylkisen kolmion kylkiä vasten piirretyt keskijanat ovat yhtä suuret.
31
D
B
81. Oletus: Kolmio ABC on tasakylkinen, eli AC = BC ja CD on kantaa AB vasten piirretty
keskijana.
ACD = BCD
Väite: Keskijana CD puolittaa huippukulman, eli
C
Todistus:
Piirretään keskijana kolmion kärjestä C kannalle AB.
Näin syntyvät kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät.
∆ADC ≅ ∆BDC
⎧ AC = BC tasakylkisen kolmion kyljet
⎪
sss ⎨ AD = BD keskijana puolittaa kolmion sivun
⎪CD on yhteinen
⎩
A
B
D
Yhtenevien kolmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret, joten ACD = BCD
Näin ollen tasakylkisen kolmion kantaa vasten piirretty keskijana puolittaa huippukulman.
82. Saari on kolmion muotoinen. Saaren keskipiste on kauimpana rannasta, eli kolmion
sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Tämä on kulman puolittajien leikkauspiste.
Vastaus: Kulmanpuolittajien leikkauspiste
83. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet 3, 4 ja 5
Sivu AD = x, sivu DB = 5 −x
Kolmiot ABC ja ACD ovat yhdenmuotoisia
∆ABC ∼ ∆ACD
C
4
⎧ A yhteinen
kk ⎨
⎩ C = D = 90°
Yhdenmuotoisten kolmioiden vastin sivut ovat
verrannolliset
4 x
=
5 4
5 x = 16
16
5
16 9
=
Sivu DB = 5 −x = 5 −
5 5
x=
Osien suhde: AD : DB =
16 9 16
: =
5 5 9
Vastaus: Suhteessa 16 : 9
32
3
A
D
5
B
84.a) Suorakulmaiset kolmiot FCE ja FAB ovat yhtenevät.
C
∆FCE ≅ ∆FAB
F
E
⎧ EFC = BFA ristikulmina
⎪
ksk ⎨ EF = FB piste F puolittaa janan EB
⎪ E = B = 90°
⎩
B
D
A
b) Koska yhtenevien kolmioiden vastin sivut ovat yhtä suuret, niin CE = AB.
Nelikulmio DABE on suorakulmio, koska E = B = 90° , joten DE = AB.
Näin ollen CE = DE.
Piste E puolittaa sivun DC.
Vastaus: a) Kolmiot ovat yhdenmuotoiset.
4. KULMIEN PIIRTÄMINEN HARPILLA JA VIIVAIMELLA
85. Kulmien puolittajat leikkaavat samassa pisteessä.
88. Olkoon P janan keskinormaalin mielivaltainen piste.
Kolmiot ACP ja BCP ovat yhtenevät, koska
– sivut AC ja BC ovat yhtä pitkät (kyseessä janan
keskipisteeseen piirretty normaali)
– molemmissa kolmioissa on suora kulma
– sivu CP on molemmissa kolmioissa sama.
Säännöt sks perusteella kolmiot ovat yhtenevät, joten sivut AP ja
BP ovat yhtä pitkät eli piste P on yhtä etäällä janan
päätepisteistä.
89. Olkoon P piste, joka on yhtä etäällä janan AB päätepisteistä.
Piirretään pisteestä P janalle AB normaali.
Kolmiot ACP ja BCP ovat yhtenevät, koska
– sivut AP ja BP ovat yhtä pitkät (piste P on yhtä etäällä janan
AB päätepisteistä)
– molemmissa kolmioissa on suora kulma
– sivu CP on molemmissa kolmioissa sama.
Säännöt sks perusteella kolmiot ovat yhtenevät, joten sivut AP ja
BP ovat yhtä pitkät eli piste P on janan keskinormaalilla.
B
P
C
A
B
P
C
A
90. Mittaa jana, jonka pituus on 6,0 cm. Piirrä janan päätepisteistä ympyrän kaaret, joiden
säe on 6,0 cm. Kaarien leikkauspisteeseen muodostuu kolmion kolmas kärkipiste.
91. Piirrä ensin 6 cm:n pituinen jana. Piirrä harpilla janan toinen päätepiste keskipisteenä
5 cm -säteinen ympyränkaari ja janan toinen päätepiste keskipisteenä 3 cm -säteinen
ympyränkaari siten, että ympyränkaaret leikkaavat toisiaan yhdessä pisteessä. Yhdistä saatu
leikkauspiste janan päätepisteisiin.
33
92. Piirrä ensin 6 cm pituinen jana. Mittaa janan päätepisteeseen 30 asteen kulma. Piirrä
puolisuora kulman toiseksi kyljeksi. Piirrä janan toinen päätepiste keskipisteenä 5 cm
-säteinen ympyrä. Ympyrä leikkaa toista kylkeä kahdessa pisteessä. Leikkauspiste on
kolmion kolmas kärkipiste. Huomaa, että saat kaksi eri kolmiota.
93. Piirrä suora l ja sille leikkaaja m. Valitse leikkaajalta sellainen piste P, joka ei ole
suoralla l. Siirrä suorien l ja m välinen kulma pisteeseen P siten, että saat kaksi
yhdensuuntaista suoraa.
94. Annettu suora ja jokin kulma, joka ei sijaitse suoralla. Piirrä suoralle piste P. Siirrä
annettu kulma suoralle siten että kulman kärkipisteenä on piste P. Jatka kulman toinen
kylki suoraksi.
95. Piirrä pisteiden P ja Q kautta kulkeva suora. Piirrä janalle PQ keskinormaali. Kysytty
piste on annetun ja piirretyn keskinormaalin leikkauspiste.
96. Piirrä ensin mallikuvioiksi kolmio, johon on merkitty sivujen keskipisteet. Yhdistä
kolmion sivujen keskipisteet keskenään. Mitä voit sanoa syntyneiden kolmioiden sivuista ja
samalla syntyneistä neljästä kolmiosta? Eli ratkaisuna:
– Yhdistä annetut pisteet, jolloin saat kolmion.
– Piirrä jokaiselle saadun kolmion sivulle yhtenevä kolmio.
5. SUORAKULMAINEN KOLMIO
97. a) Pythagoraan lause
52 + 122 = x 2
,x > 0
2
x = 5 + 12
x
5
2
12
x = 13
b) Pythagoraan lause
x 2 + 82 = 9 2
x 2 = 9 2 − 82
9,0 m
,x > 0
x = 9 2 − 82
x
8,0 m
x = 17 ≈ 4,1
c) Pythagoraan lause
x 2 + 7 2 = 252
7 cm
x
x = 252 − 7 2
25 cm
x = 24
Vastaus: a) 13, b) 4,1 m, c) 24 cm.
34
98.
x
20
x = 20 cos 32° ≈ 17
20
a) cos 32° =
32°
x
x
26
x = 26sin 54° ≈ 21
b) sin 54° =
26
x
54°
32
x
32
x=
≈ 38
tan 40°
c) tan 40° =
x
40°
32
Vastaus: a) 17 b) 21 c) 38
99.
46
25
46
α ≈ 32,9°
a) sin α =
25
α
70
36
70
α ≈ 27, 2°
b) tan α =
α
α
44
c) cos α =
94
α ≈ 62,1°
36
44
94
Vastaus: Kulma α on a) 32,9°, b) 27,2° ja c) 62,1°.
100. Lasketaan toinen kateetti Pythagoraan lauseella.
52 + x2 = 132
x = 132 − 52 = 12
Olkoon pienin kulma α. Tällöin sin α =
Vastaus: sin α =
5
12
5
, cos α =
ja tan α =
.
13
13
12
5
12
5
, cos α = , tan α =
13
13
12
35
101. Kolmion sivujen pituudet ovat 7a, 24a, 25a.
Olkoon pienin kulma α. Tällöin
7a
7
=
sin α =
25a 25
24a 24
=
cos α =
25a 25
7a
7
tan α =
=
24a 24
Vastaus: sin α =
7
24
7
, cos α =
, tan α =
25
25
24
102. Suorakulmaisesta kolmiosta kolmion korkeus
h
sin 37° =
3, 6
h = 3, 6sin 37° ≈ 2,167
Pinta-ala A =
4,3 cm ⋅ 3, 6sin 37° cm
≈ 4, 7 cm 2
2
Vastaus: Kolmion ala on 4,7 cm2
103. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
6
sin α =
6,5
α ≈ 67,38°
Huippukulma β on siten 180° – 2 · 67,38° ≈ 45,2°.
Kanta voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla
x 2 + 62 = 6,52
x 2 = 6,52 − 62
,x > 0
x = 2,5
Piiri p = 2 · 2,5 + 2 · 6,5 = 18
5⋅6
Ala
= 15
2
Vastaus: Piiri on 18, ala on 15, kantakulmat ovat 67,4° ja huippukulma on 45,2°.
36
104. Tapa I: Lasketaan kulma, joka vielä mahdollistaa auringon näkymisen
17
tan α =
16
α = 46, 7° > 38°
Tapa II: Lasketaan kuinka korkea talon seinä voi olla, että aurinko vielä paistaa.
x
tan 38° =
16
x = 16 tan 38° ≈ 12,5 (m)
Vastaus: Mari ei näe aurinkoa.
105. Lasketaan ensin maston korkeus h vaijereiden kiinnityksien kohdalla.
h
cos 39° =
43
h = 43cos 39° ≈ 33, 4 (m)
Koko maston korkeus 2h = 2 ⋅ 43cos 39° ≈ 67 m
Vastaus: 67 m
106. Ratkaistaan etäisyys x.
x
tan 65° =
50
x = 50 tan 65°
x ≈ 110
Vastaus: Etäisyys on 110 m.
107. Muunnetaan annetut mitat metreiksi.
1000 · 0,9144 m = 914,40 m
431 · 0,3048 m ≈ 131,37 m
131,37 m
––––––––
2
914,40 m
Ratkaistaan kuvasta kulma α
131,37 : 2
tan α =
914, 40
α ≈ 4,1°
Näkösektorin kulma 2α = 2 ⋅ 4,1° = 8, 2°
Vastaus: Kulma on 8,2°.
37
108. Tapa I: Kolmiot ABC ja ADE yhdenmuotoiset.
15 15 − x
=
5
x
15 x = 75 − 5 x
20 x = 75
x
: 20
15 cm
x = 3, 75
Tapa II: Ongelma voidaan ratkaista myös kulman tangentin avulla.
Vastaus: Neliön sivun pituus on 3,75 cm.
109. Ala A = 0,15 dm2 = 15 cm2
Olkoon a = 5mm = 0,5 cm
ah
A=
2
0,5h
15 =
⋅2
2
0,5h = 30
: 0,5
x
h = 60
Lasketaan hypotenuusa Pythagoraan lauseen avulla
x 2 = 0,52 + 602
x = 3600, 25 ≈ 60, 0
Vastaus: Kolmion pisin sivu 60,0 cm.
110. Vesi nousee rannalle matkan x metriä.
Suorakulmaisesta kolmiosta
1,5
sin 3° =
x
1,5
x=
≈ 28, 7
sin 3°
Koska mökki on 30 m päässä rannasta, se ei huuhtoudu.
Vastaus: Ei
111.
Ratkaistaan x kuvasta Pythagoraalla
x 2 + 35,52 = 35,5042
x ≈ 0,533
Vastaus: 533 metriä
38
5,0 mm
5 cm
112. Lasketaan kolmiosta Q kulmat.
1
2
tan α = 4
3
α ≈ 36,9°
21
–
4
Q
β = 90° – α ≈ 53,1°
3
Kolmion Q hypotenuusa
⎛ 1⎞
x 2 = 32 + ⎜ 2 ⎟
⎝ 4⎠
3
x=3
4
2
,x > 0
Yhdenmuotoisista kolmioista Q ja T lasketaan kolmion T kateetit
x 15
=
3 33
4
15
15
x = 45 :
4
4
T
x = 12
x
Toinen kateetti
y
15
=
1
3
2
3
4
4
15
135
15
y=
:
4
4
4
x= y
Kolmion T pinta-ala A =
y
9 cm ⋅12 cm
= 54 cm 2
2
Vastaus: Kulmat ovat 36,9° ja 53,1°. Ala on 54 cm2.
113.
a
35
a = 35cos8° ≈ 34, 66 (m)
b
sin 8° =
35
b = 35sin 8° ≈ 4,87 (m)
cos8° =
h
35 m
42°
39
8°
a
b
Puun korkeus
4,87 + h
tan42° =
⋅ 34, 66
34, 66
h = 34, 66 tan 42° − 4,87
h ≈ 26,3 m
Vastaus: Puun pituus on 26,3 m.
114. Kukkapenkin ala 3,0 m2
A=3
x( x + 1)
=3
2
x2 + x = 6
x2 + x − 6 = 0
−1 ± 12 − 4 ⋅1 ⋅ (−6)
2 ⋅1
−1 + 5
=2
x1 =
2
−1 − 5
= −3
x2 =
2
Ei käy
Penkin mitat
x=2m
x+1=3m
Vastaus: Sivut ovat 2 m ja 3 m.
115. Pythagoraan lause
x 2 + ( x + 7) 2 = ( x + 8) 2
x 2 + x 2 + 14 x + 49 = x 2 + 16 x + 64
x 2 − 2 x − 15 = 0
x=
2 ± (−2) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−15)
2 ⋅1
2+8
=5
x1 =
2
2−8
= −3
x2 =
2
Vain positiivinen juuri kelpaa.
40
Kolmion kulmat
5
tan α =
5+7
α ≈ 22, 6°
β = 90° − 22, 6° = 67, 4°
Piiri p = 5 + 12 + 13 = 30
Vastaus: x = 5, p = 30. Kulmat ovat 90°, α = 22,6° ja β = 67,4°.
116. Huippukulma α = 180° – 2·73° = 34°
Suorakulmaisesta kolmiosta ADC
75
cos 73° =
x
75
x=
≈ 257 (mm)
cos 73°
Suorakulmaisesta kolmiosta ABE
y
sin73° =
150
y = 150sin 73° ≈ 143 (mm)
b) Kylki ja kylkeä vastaan piirretty korkeus ylittää pahvin pienemmän mitan, joten ei voida
leikata.
Vastaus: a) Huippukulma 34°, kylki on 257 mm ja korkeus 143 mm. b) Ei voida.
117. Sivun a tarkka arvo ratkaistaan vasemmalta alkaen muistikolmioiden avulla.
12 3
=6 3
Pidempi kateetti
2
Seuraavan kolmion hypotenuusa 6 3 ⋅ 2 = 6 6
Kolmannen kolmion pidempi kateetti
6 6
= 12
6
3
3
2
Neljännen kolmion hypotenuusa a = 12 2 ⋅ 2 = 24
Hypotenuusa y
24
sin 54,18° =
y
y=
= 12 2
60°
a
12
y
45°
60°
24
≈ 29, 60
sin 54,18°
45°
x
41
54,18°
Kateetti x
tan 54,18° =
x=
24
x
24
≈ 17,32
tan 54,18°
Vastaus: a = 24, x ≈ 17,32 ja y ≈ 29,60
118. Vasemmalta alkaen
45° kulmaa vastaava kateetti
3 6
2
=3 3
y
3
1
=4
hypotenuusa y = 3 3 ⋅
2
2
saman kolmion toinen kateetti
45°
60°
4,5
≈ 4, 03
tan 48,16°
hypotenuusa x
4, 03
cos 32,91° =
x
4, 03
x=
≈ 4,80
cos 32,91°
1
Vastaus: y = 4 , x ≈ 4,80
2
119. Kaapin suurin korkeus x (m)
Suorakulmaisesta kolmiosta
x 2 = 0,502 + 2,502
x = 0,502 + 2,502
x = 6,5 ≈ 2,55
(m)
Koska huoneen korkeus on 2,60 m, kaappi mahtuu
kääntymään.
Vastaus: Kyllä.
120. Reitti kulkee ensin maassa, sitten aidan etupuolta ja takapuolta, jonka jälkeen
loppumatka on kasvimaalla.
Levitetään kuljettu alusta tasoksi, jolloin lyhin reitti on
suora viiva.
Lyhin etäisyys x (m) Pythagoraan lauseella
x 2 = 1, 22 + 2,12
x = 5,85 ≈ 2, 42 (m)
42
48,16°
32,91°
x
Matkan kesto
5,85m
x
t= =
≈ 0, 605 h ≈ 36 min
m
v
4
h
Vastaus: Matka kestää 36 minuuttia.
121. Toinen kateetti Pythagoraan lauseella, vain positiivinen arvo kelpaa.
x 2 + a 2 = (1, 05a )2
x 2 = 0,1025a 2
,x > 0
1,05a
x
2
x = 0,1025a = a 0,1025
a
x ≈ 0,32a.
Piiri p = a + 1,05a + 0,32a = 2,37a
kanta ⋅ korkeus a ⋅ 0,32a
=
= 0,16a 2
Ala A =
2
2
Vastaus: p = 2,37a ja A = 0,16a2
122. Pythagoraan lauseella
x 2 = ( x − 1) 2 + 5, 02
x 2 = x 2 − 2 x + 1 + 25
2 x = 26
:2
x = 13
Vastaus: Tikkaiden pituus oli 13 m.
123. Lasketaan ensin toinenkin kateetti Pythagoraalla, vain positiivinen arvo kelpaa.
7,52 = 4,52 + x 2
x 2 = 7,52 − 4,52
,x > 0
x = 7,52 − 4,52
x=6
43
Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa.
1
4
x
= 2
6− x 71
7,5
4,5
2
1
1
7 x = 27 − 4 x
2
2
x
12 x = 27
:12
6
1
x=2
4
Toisen osan pituus 6 − x = 6 − 2
Vastaus: Osien pituudet ovat 2
1
3
=3
4
4
1
3
ja 3 .
4
4
A
124. Kolmiosta BCX Pythagoraan lauseella.
(8 − x) 2 = 62 + x 2
8−x
64 − 16 x + x 2 = 36 + x 2
−16 x = −28
8
: (−16)
8−x
x = 1, 75
B
Vastaus: Janan CX pituus on 1,75 m.
X
x
C
6
125. Kolmion pisin pitää olla suurempi kuin 2, koska 2 + 2 + 2 = 6 < 8.
Kolmion pisin sivu pitää olla lyhyempi kuin 4, koska tällöin muut sivut yhteensä ovat
8 – 4 = 4, eikä muodostu kolmiota. Ainut
mahdollisuus on, että sivut ovat 3, 3 ja 2.
Kolmion korkeus
12 + h 2 = 32
h 2 = 32 − 12
,h > 0
3
3
h
h=2 2
Kolmion ala A =
ah 2 ⋅ 2 2
=
=2 2
2
2
1
1
2
Vastaus: Kolmion ala on 2 2 .
44
126. Olkoon lyhyempi kateetti x ja pidempi y. Tällöin A =
xy y 2
=
2
3
Ratkaistaan x
3xy = 2 y 2
2
x= y
3
Ratkaistaan pienin kulma, kun kateetit ovat y ja
2
y.
3
2
y
2
tan α = 3 =
3
y
α = 33, 69..°
Vastaus: Kysytty kulma on 33,69°.
127. Kyseessä on tasakylkinen kolmio, jossa α < β.
Korkeus Pythagoraan lauseella, vain positiivinen arvo kelpaa.
42 + h 2 = 62
h 2 = 62 − 42
h = 20 = 2 5
6
– –
2 2
6
h
Kysytyt arvot
2 5
=
sin α =
6
β 2 5
cos =
=
2
6
5
3
8
5
3
Vastaus: sin α = cos
β
2
=
5
3
128. a) Etäisyys BH saadaan Pythagoraan lauseella, vain positiivinen arvo kelpaa.
x 2 = 11,82 + 23, 42
x 2 = 686,8
x = 686,8
x ≈ 26, 2
b) Suorakulmaisesta kolmiosta
11,8
tan α =
23, 4
α ≈ 26,8°
Vastaus: The distance BH is 26,2 km and the angle ABH is 26,8°
45
6. TYLPÄN KULMAN SINI JA KOSINi
129. HUOMAA KUVAN MITTAKAAVA
a) Kulman α y-koordinaatti on noin 12 mm, joten sin α = 0,6
x-koordinaatti on noin 16 mm, joten cos α = 0,8
Kulman β y-koordinaatti on noin 17,5 mm, joten sin β = 0,87
x-koordinaatti on noin –9,5 mm, joten cos β = –0,5
b) Kulman α y-koordinaatti on noin 5 mm, joten sin α = 0,25
x-koordinaatti on taas –19 mm, joten cos α = –0,95
Kulman β y-koordinaatti on noin 19,5 mm, joten sin β = 0,98
x-koodinaatti on 4 mm, joten cos β = 0,2.
130. Määritelmän mukaan a) sin α = b b) cos α = a
d) cos(180° – α) = –a
c) sin(180° – α) = b
131. Lasketaan laskimella.
a) sin 24° = 0,4067
b) sin 174° = 0,1045
c) cos 21° = 0,9336
d) cos 154,2° = –0,9003
132. Määritelmän mukaan
a) cos α = –0,4
α = 113,6°
b) sin α = 0,5
α = 30° tai α = 180° – 30° = 150°
c) sin α = 0,2
α = 11,5° tai α =180° – 11,5° = 168,5°
133. a) cos α = –0,432
Laskimella α = 115,6°
b)
sin α = 0,174
Laskimella α = 10,0°
Tylppä kulma α = 180° – 10,0° = 170,0°
Vastaus: a) α = 115,6° b) α = 170,0°
134. a) cos α = 0,538
Laskimella α = 57,5°
b) cos α = –0,881
Laskimella α = 151,8°
c) sin α = 0,874
α = 60,9° tai 180° – 60,9° = 119,1°
d) sin α = 0,211
α = 12,2° tai 180° – 12,2° = 167,8°
Vastaus: a) α = 57,5° b) α = 151,8° c) α = 60,9° tai α = 119,1° d) α = 12,2° tai α = 167,8°
46
135. a)
x = 0,654
cos α = 0,654
α = 49,15…°
sin 49,15…° = 0,756
b)
x = –0,773
cos α = –0,773
α = 140,6…°
sin 140,6…° = 0,634
c) Kulman sini tai kosini on oltava välillä -1…1, joten tehtävä ei ole ratkaistavissa.
d) Kulman sini tai kosini on oltava välillä -1…1, joten tehtävä ei ole ratkaistavissa.
P.S. kohdat a ja c voi ratkaista Pythagoraan lauseella, jolloin hypotenuusa on 1, kokeile!
Vastaus: a) 0,756 b) 0,634 c) ei ratkaisua d) ei ratkaisua
136. a) x = 0,417
cos α = 0,417
α = 65,4°
b) x = –0,417
cos α = –0,417
α = 114,6°
Vastaus: a) 65,4° b) 114,6°
137. a)
x = 0,417
cos α = 0,417
α = 65,35…°
sin 65,35…° = 0,909
b)
x = –0,417
cos α = –0,417
α = 114,6…°
sin 114,6…° = 0,909
Vastaus: a) 0,909 b) 0,909
138.
sin 30° =
cos 30° =
1
2
3
2
sin135° = sin(180° − 135°) = sin 45° =
2
2
cos135° = − cos(180° − 135°) = − cos 45° = −
2
2
47
139. y = 0,486
sin α = 0,486
Vastaus: sin α = 0,486
140. Pythagoraan lauseella saadaan kehäpisteen x-koordinaatti
12 = x 2 + 0, 2632
x = ± 1 − 0, 2632 = ±0,965
Vastaus: sin α = 0,263 ja cos α = ±0,965
141. Yksikköympyrästä
sin (180° – α) = sin α = b
cos (180° – α) = –cos α = –a
142. 30° vieruskulma on 180° – 30° = 150°
sin 150° = sin(180° – 150°) = sin 30° = 0,5
cos 150° = –cos(180°–150°) = –cos 30°= −
Vastaus:
3
2
1
3
ja −
2
2
143. a) cos α = –0,294
Laskimella α = 107,1°
Tarkistus yksikköympyrästä.
b)
sin α = 0,101
Laskimella α = 5,80° ja yksikköympyrästä nähdään että myös 174,20° käy.
Vastaus: a) 107,1° b) 5,8° tai 174,2°
7. SINILAUSE
1
1
ab sin γ = ⋅ 6, 7 m ⋅ 5, 0 m ⋅ sin 57° ≈ 14 m 2
2
2
b) Tunnettujen sivujen välinen kulma on 180° – 46° – 37° = 97°
1
1
A = ab sin γ = ⋅15 m ⋅18 m ⋅ sin 97° ≈ 134 cm 2
2
2
c) Tunnettujen sivujen välinen kulma on 180° – 42° = 138°
1
1
A = ab sin γ = ⋅ 40 m ⋅ 76 m ⋅ sin138° ≈ 1017 m 2
2
2
144. a) A =
Vastaus: a) 14 m2 b) 134 cm2 c) 1020 m2
48
145. Taulukkokirjasta sinin tarkka arvo sin 60° =
3
2
7
1
1
1 12 ⋅ 7 ⋅ 3
A = ab sin γ = ⋅12 ⋅ 7 ⋅ sin 60° = ⋅
= 21 3
2
2
2
2
60°
12
Vastaus: Ala on 21 3 .
C
146.
A=
1
1
ab sin γ = ⋅12, 78 ⋅ 7,16 ⋅ sin 37, 64° ≈ 27,94
2
2
7,16
37,64°
A
Vastaus: Ala on 27,94.
12,78
147. a) Huippukulma γ = 180° – 40° – 80° = 60°
Ratkaistaan kanta c sinilauseella.
a
c
=
b
sin α sin γ
a = 3,0 cm
c
3
=
80°
40°
sin 40° sin 60°
c
c sin 40° = 3sin 60° : sin 40°
3sin 60°
sin 40°
c ≈ 4, 0
c=
Kolmas sivu b
b
3
=
sin 80° sin 40°
b sin 40° = 3sin 80°
: sin 40°
3sin 80°
sin 40°
b ≈ 4, 6
1
1
3sin 80°
cm ⋅ sin 60° ≈ 6, 0 cm 2
Ala A = ab sin γ = ⋅ 3, 0 cm ⋅
2
2
sin 40°
b=
49
B
b) Ratkaistaan kantakulma α
a
b
=
sin α sin β
3,1
6, 2
=
sin α sin117°
6, 2 sin α = 3,1sin117° : 6, 2
6,2 mm
3,1 mm
117°
3,1sin117°
6, 2
α ≈ 26,5°
Kolmas kulma on γ = 180° – 117° – 26,5° = 36,5°.
Ratkaistaan kolmas sivu c.
6, 2
c
=
sin 36,5° sin117°
sin α =
6, 2sin 36,5° = c sin117°
: sin 36,5°
6, 2sin 36,5°
sin117°
c ≈ 4,14
1
1
Ala A = ab sin γ = ⋅ 3,1 mm ⋅ 6, 2 mm ⋅ sin 36,5° ≈ 5, 7 mm 2
2
2
c=
c)
b
a
=
sin β sin α
21
41
=
sin18° sin α
21sin α = 41sin18°
: 21
41sin18°
21
α = 37,1°
Kolmas kulma on siten γ = 180° – 18° – 37,1° = 124,9°.
c
21
=
sin124,9° sin18°
sin α =
c sin18° = 21sin124,9°
: sin18°
21sin124,9°
sin18°
c ≈ 55, 7
1
1
Pinta-ala A = ab sin γ = ⋅ 41 m ⋅ 21 m ⋅ sin124,9° ≈ 353 m 2
2
2
c=
Vastaus: a) Kulma 60°, sivut ovat 4,0 cm ja 4,6 cm, ala 6,0 cm2. b) Kulmat ovat 26,5°,
36,5°. Sivu on 4,1 mm ja ala on 5,7 mm2. c) Sivu on 55,7 m, kulmat ovat 37,1° ja 124,9°
sekä ala 353 m2.
50
148. Kulma γ = 180° – 37° – 73° = 70°
Sivu AC = b
b
c
=
sin β sin γ
b
12, 00
=
sin 73° sin 70°
b sin 70° = 12, 00 ⋅ sin 73° : sin 70°
C
37°
A
73°
12,00
B
12, 00 ⋅ sin 73°
sin 70°
b ≈ 12, 21
b=
Kolmas sivu a
a
12, 00
=
sin 37° sin 70°
a sin 70° = 12, 00 ⋅ sin 37°
: sin 70°
12, 00 ⋅ sin 37°
sin 70°
a ≈ 7, 69
a=
A=
1
1 12, 00 ⋅ sin 73°
bc sin α = ⋅
m ⋅12, 00 m ⋅ sin 37° ≈ 44,10 m 2
2
2
sin 70°
Vastaus: Kulma on 70°, sivut ovat 12,21 m ja 7,69 m. Ala on 44,10 m2.
149. a) Sivu x ratkaistaan muistikolmioilla.
Kulmaa 30° vastaava kateetti a = 12 tan 30° =
Kulman 45° vastainen kateetti b =
12
3
: 2=
Seuraavan kolmion hypotenuusan pituus c =
Kateetti x =
12
3
12
6
12
6
8
8
: 2 = =4
2
2
51
:
3
=
2
24
6 3
=
24
3 2
=
8
2
b) Sivu y saadaan sinilauseella
Kolmas kulma on γ = 180° – 38,38° – 111,11° = 30,51°
Sinilause
y
4
=
sin111,11° sin 30,51°
y sin 30,51° = 4sin111,11°
: sin 30,51°
4sin111,11°
sin 30,51°
y ≈ 7,3501
y=
Vastaus: x = 4, y = 7,3501
150. Lasketaan puuttuvat sivut sinilauseella.
Kolmas kulma on γ = 180° – 49,53° – 69,44° = 61,03°
23,54
x
=
sin 61, 03° sin 69, 44°
x sin 61, 03° = 23,54sin 69, 44°
61,03°
: sin 61, 03°
23,54sin 69, 44°
sin 61, 03°
x ≈ 25,19 m
x=
A
Kolmas sivu
23,54
y
=
sin 49,53° sin 61, 03°
y sin 61, 03° = 23,54sin 49,53°
: sin 61, 03°
23,54sin 49,53°
sin 61, 03°
y ≈ 20, 47 m
y=
Piiri p = 23,54 m + 25,19 m + 20,47 m = 69,20 m
Vastaus: Piiri on 69,20 metriä.
151. Kolmas kulma γ = 180° – 25° – 70° = 85°
Toiseksi pisin sivu sinilauseella.
4
x
=
sin 25° sin 70°
x sin 25° = 4sin 70° : sin 25°
4sin 70°
sin 25°
x ≈ 8,89 m
x=
52
49,53°
69,44°
23,54 m
B
Pisin sivu niin ikään sinilauseella
y
4
=
sin 85° sin 25°
y sin 25° = 4sin 85° : sin 25°
4sin 85°
sin 25°
y ≈ 9, 43 m
y=
Pinta ala A =
1
1
xy sin 25° = ⋅ 8,89 m ⋅ 9, 43 m ⋅ sin 25° ≈ 17, 7 m 2
2
2
Vastaus: Sivut ovat 8,9 m ja 9,4 m. Ala on 17,7 m2.
152. Kolmion kolmas kulma γ = 180° – 25° – 40° = 115°
Lasketaan sivu AB pituus
A
9, 0
x
=
sin 25° sin115°
x sin 25° = 9, 0sin115° : sin 25°
9, 0sin115°
sin 25°
x ≈ 19,30 cm
25°
115°
x=
C
9,0 cm
40°
B
A=
1
1
9, 0sin115°
ac sin β = ⋅ 9, 0 cm ⋅
cm ⋅ sin 40° ≈ 55,8 cm 2
2
2
sin 25°
Vastaus: Ala on 56 cm2.
153. Kulma α saadaan sinilauseella.
9
15
=
sin 24° sin α
9sin α = 15sin 24°
15sin 24°
sin α =
9
α ≈ 42, 68° tai α ≈ 180° − 42, 68° = 137,3°
Kolmas kulma γ = 180° – 24° – 42,7° = 113,3° tai γ = 180° – 24° – 137,3° = 18,7°
Vastaus: Kulmat ovat 42,7° ja 113,3° tai 137,3° ja 18,7°.
53
154. Pituudeltaan 7,28 metrinen sivu voi olla joko kohdassa a tai b.
Lasketaan toinen kulma sinilauseella molemmissa vaihtoehdoissa.
Jos α on terävä
7, 28
14,50
=
sin 30° sin α
30°
7, 28sin α = 14,50sin 30° : 7, 28
14,50 m
14,50sin 30°
sin α =
7, 28
α ≈ 84,8°
7,28 m
30°
14,50 m
Tällöin kolmas kulma on γ = 180° – 30° – 84,8° = 65,2°.
Jos α on tylppä, se on α = 180° – 84,8° = 95,2°
Tällöin kolmas kulma on γ = 180° – 30° – 95,2° = 54,8°
Kolmas sivu on siis joko
7, 28
x
=
sin 30° sin 65, 2°
x sin 30° = 7, 28sin 65, 2°
: sin 30°
7, 28sin 65, 2°
sin 30°
x ≈ 13, 22
x=
tai
7, 28
x
=
sin 30° sin 54,8°
x sin 30° = 7, 28sin 54,8°
: sin 30°
7, 28sin 54,8°
sin 30°
x ≈ 11,90
x=
Vastaus: Sivun pituus on 13,22 m tai 11,90 m.
155. Jos kysytty kulma α on terävä, niin
A = 12
1
⋅ 6, 0 ⋅ 7, 0 ⋅ sin α = 12
2
7,28 m
⎛1
⎞
: ⎜ ⋅ 6, 0 ⋅ 7, 0 ⎟
⎝2
⎠
12
1
⋅ 6, 0 ⋅ 7, 0
2
α ≈ 34,8°
Jos kysytty kulma on tylppä, niin α = 180° – 34,8° = 145,2°
sin α =
Vastaus: Kulma on 34,8° tai 145,2°.
54
156. Kulma β = 180° − 6° = 174°
Kulma γ = 180 ° − 174° − 4° = 2°
Sinilauseella kolmiosta ABC
200
x
=
sin 2° sin 4°
: sin 2°
x sin 2° = 200sin 4°
6°
4°
x
200 m
200sin 4°
sin 2°
x = 399, 75...
Saaren korkeus
h
sin 6° =
x
h = x sin 6°
x=
h ≈ 42
Vastaus: 42 metriä.
157. Kulma γ = 180° − 21° − 34° = 125°
Kolmiosta OAB sivun x pituus
5800
sin 34° =
x
5800
x=
sin 34°
x = 10372, 0...
y
C
B
γ
x
h = 5 800 m
34°
O
Kolmiosta OBC sivun y pituus sinilauseella
x
y
=
sin125° sin 21°
y sin125° = x sin 21° : sin125°
x sin 21°
sin125°
x = 4537, 6...
y=
Lentokoneen nopeus
s y 4537, 6... m 4,5376... km
km
v= = =
=
≈ 540
0,5
t t
0,5 min
h
h
60
Vastaus: Lentokoneen nopeus on 540 km/h.
55
A
1
ab sin γ
2
Kun kannan ja korkeuden välinen kulma on suora, saa kulman sini suurimman arvonsa
( sin 90° = 1 ).
Sivujen 5 cm ja 6 cm muodostaman kolmion suurin ala on
1
1
A = ab sin γ = ⋅ 5 cm ⋅ 6 cm ⋅ sin 90° = 15 cm2.
2
2
158. Kolmion ala A =
Vastaus: 15 cm2
159. Jos pallo on Joelin ja Juuditin pohjoispuolella
kulma β = 180° − 70° = 110°
kulma γ = 180 ° − 110° − 25° = 45°
Sinilauseella kolmiosta ABC
1, 25
x
=
sin 45° sin 25°
x sin 45° = 1, 25sin 25° : sin 45°
x
70°
25°
1,25 km
1, 25sin 25°
sin 45°
x = 0, 747...
x=
Kuumailmapallon korkeus
h
sin 70° =
x
h = x sin 70°
h ≈ 0, 702
Jos pallo on Joelin ja Juuditin välissä.
Kolmas kulma γ = 180° − 25° − 70° = 85°
Sinilauseella
1, 25
x
=
sin 85° sin 25°
x sin 85° = 1, 25sin 25° : sin 85°
x
25°
b
1, 25sin 25°
sin 85°
x = 0,530...
Kuumailmapallon korkeus
h
sin 70° =
x
h = x sin 70°
h ≈ 0, 498
x=
Vastaus: Kuumailmapallon korkeus oli 700 m tai 500 m
56
70°
1,25 – b
160. Kolmion kulmien osat
a + 2a + 6a = 180°
9a = 180°
:9
a = 20°
Kolmion kulmat
a = 20°
2a = 40°
6a = 120°
Sivun x pituus kolmiosta ABD
h
sin 60° =
x
12, 0
x=
sin 60°
24
x=
3
C
40°
y
120°
20°
D
x
60°
B
h = 120 cm
A
Sivun y pituus kolmiosta BCD
x
y
=
sin 40° sin120°
y sin 40° = x sin120° : sin 40°
x sin120°
sin 40°
24 3
⋅
2
3
y=
sin 40°
12
y=
sin 40°
y=
Kolmion BCD pinta-ala
1
1 24
12
144sin 20°
A = xy sin 20° = ⋅
cm ⋅
cm ⋅ sin 20° =
cm 2 ≈ 44, 2 cm 2
2
2 3
sin 40°
3 sin 40°
Vastaus: Kolmion ala on 44,2 cm2.
161. Kolmiosta APC sinilauseella
x
b
=
⋅ sin α
sin α sin θ
b sin α
x=
sin θ
C
x
θ
b
α
57
A
α
c
P
180° – θ
y
B
Kolmiosta ABP sinilauseella
y
c
=
⋅ sin α
sin α sin(180° − θ )
c sin α
y=
sin(180° − θ ) = sin θ
sin(180° − θ )
c sin α
y=
sin θ
Kulman A vastaisen sivun osien suhteet
b sin α c sin α b sin α sin θ
x: y =
=
⋅
= b:c
:
sin θ
sin θ
sin θ c sin α
Täten kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa.
162. Tasasivuisen kolmion kulmat ovat 60°.
A = 50
⎛1
⎞
: ⎜ sin 60° ⎟
⎝2
⎠
1
⋅ a ⋅ a ⋅ sin 60° = 50
2
50
1
⋅ sin 60°
2
a ≈ 10, 7 m
a2 =
Vastaus: Kolmion sivu on 10,7 m.
163. Kulma C = 180° – 17°0’12’’ – 116°20’10’’ = 46°39’38’’ ≈ 46,66°
C
19,8 m
A
B
Pisin sivu x sinilauseella
19,8
x
=
sin17°0 '12 '' sin116°20 '10 ''
x sin17°0 '12 '' = 19,8sin116°20 '10 ''
: sin17°0 '12 ''
19,8116°20 '10 ''
sin17°0 '12 ''
x ≈ 60, 7
1
Kolmion pinta-ala A = ⋅19,8 m ⋅ 60, 7 m ⋅ sin 46°39 '38'' ≈ 437 m 2
2
x=
Vastaus: 60,7 m, 46,66° ja 437 m2
58
164.
302
25°14′13′′
704
Ratkaisuja on kaksi.
302
704
=
sin 25°14´13´´ sin α
302sin α = 704sin 25°14´13´´ : 302
704sin 25°14´13´´
302
α ≈ 83, 671° tai α = 180° − 83, 671° = 96,329°
Jos α = 83,671°, niin kolmas kulma on 180° – 25°14’13’’ – 83,671° ≈ 71,092°
Kolmas sivu
302
x
=
sin 25°14´13´´ sin 71, 092°
sin α =
x sin 25°14´13´´= 302sin 71, 092°
: sin 25°14´13´´
302sin 71, 092°
sin 25°14´13´´
x ≈ 670
x=
Toinen vaihtoehto:
Jos α = 96,329°, niin kolmas kulma on 180o – 25o14’13’’ – 96,329o ≈ 58,434°
Kolmas sivu
302
x
=
sin 25°14´13´´ sin 58, 434°
x sin 25°14´13´´= 302sin 58, 434°
: sin 25°14´13´´
302sin 58, 434°
sin 25°14´13´´
x ≈ 603
x=
Vastaus: Kolmas sivu on 670 ja muut kulmat 83,671° ja 71,092o tai kolmas sivu 603 ja
muut kulmat 96,329° ja 58,434°.
59
165. Lasketaan sivu x sinilauseella
10
x
=
sin100° sin 30°
x sin100° = 10sin 30° : sin100°
10
10sin 30°
sin100°
5
x=
sin100°
x ≈ 5, 08
x=
30°
100°
Kolmas kulma 180° – 30° – 100° = 50°
Kolmion pinta-ala A =
1
5
25sin 50°
⋅
⋅10 ⋅ sin 50° =
≈ 19, 4
2 sin100°
sin100°
Vastaus: Kolmion ala on 19,4.
166. Lounaan ja etelän välinen kulma on 45°.
Kolmion VBA kolmas kulma β = 180° − 45° − 70° = 65°
Kolmion VBA sivu b sinilauseella
b
c
=
sin β sin γ
4, 00
b
=
A
sin 65° sin 45°
c = 4,00 km
b sin 45° = 4, 00sin 65° : sin 45°
4, 00sin 65°
b=
sin 45°
α = 70°
sin 45° =
1
2
b = 4, 00 2 sin 65°
b = 5,126...
β
B
b
H
γ = 45°
h
Vuoren korkeus h kolmiosta AVH
h
tan15° =
⋅b
b
h = b tan15°
V
h = 4, 00 2 sin 65° tan15°
h ≈ 1,37
Vastaus: Vuoren korkeus on 1,37 km.
60
A
15°
b
V
167. Suorakulmaisesta kolmiosta ACH
x
tan17, 4° =
⋅d
d
x = d tan17, 4°
Kolmiosta BCH
x
tan14,5° =
⋅ d2 +9
2
d +9
x = d 2 + 9 tan14,5°
Merkitsemällä nämä yhtä suuriksi saadaan
d tan17, 4° = d 2 + 9 tan14,5°
() 2
d 2 tan 2 17, 4° = (d 2 + 9) tan 2 14,5°
d 2 tan 2 17, 4° − d 2 tan 2 14,5° = 9tan 2 14,5°
d 2 (tan 2 17, 4° − tan 2 14,5°) = 9tan 2 14,5°
d2 =
d=
9 tan 2 14,5°
tan 2 17, 4° − tan 2 14,5°
3 tan14,5°
,d > 0
tan 2 17, 4° − tan 2 14,5°
d ≈ 4,3837
Vuoren korkeus x = d tan 17,4 o ≈ 1,374 ja ottamalla huomioon havaintopisteen korkeus
saadaan 1 574 m.
Vastaus: Vuoren korkeus merenpinnasta on 1 574 m.
168. Kolmas kulma γ = 180° – 20° – 110° = 50°
Sivu a
8
a
=
sin 50° sin 20°
a sin 50° = 8sin 20° : sin 50°
8sin 20°
sin 50°
a ≈ 3, 6
C
γ
a=
Sivu b
8
b
=
sin 50° sin110°
b sin 50° = 8sin110°
b
α = 20°
c = 8,0 cm
A
: sin 50°
8sin110°
sin 50°
b ≈ 9,8
b=
Vastaus: Kulma on 50° ja sivut ovat 3,6 cm 9,8 cm.
61
a
β = 110°
B
8 KOSINILAUSE
169. a) Kosinilauseella
x 2 = 5, 42 + 6, 22 − 2 ⋅ 5, 4 ⋅ 6, 2 ⋅ cos 38°
x = 3,851...
x ≈ 3,9
b) Kosinilauseella
x 2 = 32 + 42 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ cos110°
x = 5, 762...
x ≈ 5,8
c) Kosinilauseella
x 2 + 4, 02 − 2 ⋅ x ⋅ 4, 0 ⋅ cos 45° = 3,52
1
x 2 + 16 − 8 ⋅
⋅ x − 12, 25 = 0
2
8
x2 −
x + 3, 75 = 0
2
2
⎛ 8 ⎞
8
± ⎜
⎟ − 4 ⋅1 ⋅ 3, 75
2
⎝ 2⎠
x=
2 ⋅1
8
± 17
2
x=
2
x1 = 4,889... ≈ 4,9
x2 = 0, 766... ≈ 0, 77
Vastaus: a) 3,9 m b) 5,8 m c) 0,77 km tai 4,89 km
170. a) Kolmas sivu kosinilauseella
c 2 = 3, 62 + 4,12 − 2 ⋅ 3, 6 ⋅ 4,1 ⋅ cos 70°
c = 4, 435...
Toinen kulma sinilauseella
4, 435...
3, 6
=
sin 70° sin α
4, 435...sin α = 3, 6sin 70° : 4, 435...
3, 6sin 70°
4, 435...
α ≈ 49, 7°
sin α =
62
Kolmio on teräväkulmainen, joten kolmas kulma on 180° – 70° – 49,7° = 60,3°
Pinta-ala
1
A = ⋅ 4,1 m ⋅ 3, 6 m ⋅ sin 70° ≈ 6,9 m 2
2
b) Kolmas sivu kosinilauseella, vain positiivinen arvo kelpaa.
312 + x 2 − 2 ⋅ 31 ⋅ x ⋅ cos110° = 622
x 2 + 21, 2 x − 2883 = 0
x=
−21, 2 ± 21, 22 − 4 ⋅1 ⋅ ( −2883)
2 ⋅1
−21, 2 ± 11981, 44
x=
2
−21, 2 + 109, 46
= 44,1
x1 =
2
−21, 2 − 109, 46
= −65,33
x2 =
2
Toinen terävä kulma sinilauseella
62
31
=
sin110° sin α
62sin α = 31sin110° : sin α
31sin110°
62
α ≈ 28, 0°
sin α =
Kolmas kulma on 180° – 110° – 28° = 42°
Pinta-ala A =
1
⋅ 31 cm ⋅ 44 cm ⋅ sin110° ≈ 640 cm 2
2
c) Kolmas sivu kosinilauseella
112 = 182 + x 2 − 2 ⋅18 ⋅ x ⋅ cos 25°
x 2 − 32, 6 x + 203 = 0
32, 6 ± 32, 62 − 4 ⋅1 ⋅ 203
2 ⋅1
32, 6 ± 250, 76
x=
2
32, 6 + 15,84
x1 =
≈ 24, 2
2
32, 6 − 15,84
≈ 8, 4
x2 =
2
x=
63
Ei käy
Lasketaan kulmat ja ala kolmannen sivun ollessa 24,2 mm
11
18
=
sin 25° sin α
11sin α = 18sin 25° :11
18sin 25°
11
α ≈ 43,8°
Kolmas kulma 180° – 25° – 43,8° = 111,2°
sin α =
Pinta-ala A =
1
⋅18 mm ⋅11 mm ⋅ sin111, 2° ≈ 92,3 mm 2
2
Lasketaan kulmat ja ala kolmannen sivun ollessa 8,4 mm
11
8, 4
=
sin 25° sin α
11sin α = 8, 4sin 25° :11
8, 4sin 25°
11
α ≈ 18,8°
Kolmas kulma 180° – 25° – 18,8° = 136,2°
sin α =
Pinta-ala A =
1
⋅18 mm ⋅ 8, 4 mm ⋅ sin 25° ≈ 31,9 mm 2
2
Vastaus: a) Sivu on 4,4 m, kulmat ovat 49,7° ja 60,3°sekä ala 6,9 m2
b) Sivu on 44 cm, kulmat ovat 42° ja 28° sekä ala 640 cm2
c) Sivu on 24,2 mm, jolloin kulmat ovat 43,8° ja 111,2° sekä ala 92,3 mm2 tai sivu on 8,4
mm, jolloin kulmat ovat 18,8° ja 136,2° sekä ala 31,9 mm2.
171. Kosinilause
c 2 = 17 2 + 282 − 2 ⋅17 ⋅ 28 ⋅ cos127°
c 2 = 1073 − 952 cos127°
,c > 0
28 cm
c = 1073 − 952 cos127°
127°
c ≈ 40, 6
17 cm
Vastaus: Annetun kulman vastainen sivu on 40,6 cm.
64
172. Pienin kulma on lyhimmän sivun vastainen kulma.
42 = 122 + 152 − 2 ⋅12 ⋅15 ⋅ cos α
16 − 144 − 225 = −360 cos α
.(−360)
−353
−360
α ≈ 11,3°
cos α =
Vastaus: Pienin kulma on 11,3°.
173. Koska 13 ≈ 3, 6 , niin pienin kulma on tämän sivun vastainen kulma.
Kulma ratkaistaan kosinilauseella.
( 13 )
2
= 52 + 62 − 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ cos α
13 − 25 − 36 = −60 cos α
: (−60)
−48
−60
α ≈ 36,9°
cos α =
Vastaus: Pienin kulma on 36,9°
174. Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma.
312 = 242 + 112 − 2 ⋅ 24 ⋅11 ⋅ cos α
312 − 242 − 112 = −528cos α
⋅(−528)
264
−528
α = 120°
cos α =
Vastaus: Suurin kulma on 120°.
175. Ratkaistaan kolmas sivu kosinilauseella. Kosinin tarkka arvo cos30° =
3,00 m pituinen sivu voidaan piirtää kahdella eri tavalla.
65
3
.
2
32 = 52 + x 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ cos 30°
cos 30° =
3
2
x 2 − 5 3 x + 16 = 0
x=
5 3±
(5 3 )
2
3,00 m
− 4 ⋅1 ⋅16
30°
2 ⋅1
5,00 m
5 3 ± 11
x=
2
5 3 + 11
x1 =
≈ 5,99
2
5 3 − 11
x2 =
≈ 2, 67
2
Vastaus: Kolmas sivu on 5,99 m tai 2,67 m.
176. Lasketaan ensin tunnettujen sivujen välinen kulma.
A = 12
1
⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ sin α = 12
2
24sin α = 12 : 24
sin α = 0,5
α = 30°
8,0 cm
Kolmas sivu kosinilauseella
c 2 = 62 + 82 − 2 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ cos 30°
c 2 = 100 − 96 cos 30°
c
A = 12 cm2
,c > 0
α
6,0 cm
c = 100 − 96 cos 30°
c ≈ 4,1
Vastaus: Kolmas sivu on 4,1 cm.
177. Pienin kulma on lyhimmän sivun vastainen kulma.
Ratkaistaan kysytty kulma kosinilauseella.
7 2 = 112 + 122 − 2 ⋅11 ⋅12 ⋅ cos α
−216 = −264 cos α
: (−264)
7 cm
−216
cos α =
−264
α ≈ 35,10°
11 cm
x
α
6 cm
66
Ratkaistaan mediaani kosinilauseella
x 2 = 62 + 112 − 2 ⋅ 6 ⋅11 ⋅ cos 35,10°
x 2 = 157 − 132 cos 35,10°
,x > 0
x = 157 − 132 cos 35,10°
x ≈ 7, 0
Vastaus: Pienin kulma on 35,1° ja mediaanin pituus on 7,0 cm.
178. Olkoot sivujen pituudet 3a, 7a ja 8a, a > 0. Pienin kulma on lyhimmän sivun vastainen
kulma.
Ratkaistaan kulma kosinilauseella
(3a) 2 = (7 a) 2 + (8a) 2 − 2 ⋅ 7 a ⋅ 8a ⋅ cos α
9a 2 = 49a 2 + 64a 2 − 112a 2 cos α
: a2 , a ≠ 0
9 = 49 + 64 − 112 cos α
−104 = −112 cos α
: (−112)
−104
−112
α ≈ 21,8°
cos α =
Vastaus: Pienin kulma on 21,8°.
179. Kolmas sivu kosinilauseella
c 2 = 102 + 142 − 2 ⋅10 ⋅14 ⋅ cos α
c 2 = 102 + 142 − 2 ⋅10 ⋅14 ⋅
4
5
cos α =
4
5
,c > 0
c = 72
c=6 2
Sivujen 10 ja 14 välinen kulma
4
cos α =
5
α ≈ 36,87°
1
Pinta-ala A = ⋅10 ⋅14 ⋅ sin 36,87° = 42
2
Vastaus: Kolmas sivu on 6 2 ja ala on 42.
67
180. Ratkaistaan etäisyys kosinilauseella.
102 = 7 2 + x 2 − 2 ⋅ 7 ⋅ x ⋅ cos 38°
x 2 − 11, 03 x − 51 = 0
x=
10 km
11, 03 ± 11, 032 − 4 ⋅1 ⋅ ( −51)
2 ⋅1
11, 03 ± 325, 71
x=
2
11, 03 + 18, 05
x1 =
= 14,5
2
11, 03 − 18, 05
x2 =
= −3,51
2
x
38° 7 km
Ei käy
Vastaus: Vene on 14,5 kilometrin päässä toisesta majakasta.
181. Etäisyys c (km) kosinilauseella.
c 2 = 2, 62 + 8, 22 − 2 ⋅ 2, 6 ⋅ 8, 2 ⋅ cos 4,3°
c 2 = 74 − 42, 64 cos 4,3°
,c>0
c
8,2 km
c = 74 − 42, 64 cos 4,3°
c = 5, 6
Vastaus: Koneiden välinen etäisyys on 5,6 km.
182. Olkoon sivu AB = x
Ratkaistaan x kosinilauseella
x 2 = 4562 + 6012 − 2 ⋅ 456 ⋅ 601 ⋅ cos125°
x 2 = 569137 − 548112 cos125°
4,3°
2,6 km
A
B
456 m
, x>0
125°
C
x = 569137 − 548112 cos125°
x ≈ 940
Vastaus: Järvi on 940 metriä pitkä.
183. Kolmiosta BDC korkeus h
h
cos(180° − γ ) =
⋅a
a
h = a cos(180° − γ )
Suorakulmaisesta kolmiosta CBD
x2 + h2 = a 2
68
601 m
Suorakulmaisesta kolmiosta ABD
( x + b) 2 + h 2 = c 2
x 2 + 2bx + b 2 + h 2 = c 2
x 2 + h 2 + 2bx + b 2 = c 2
= a2
a 2 + 2bx + b 2 = c 2
a + 2ba cos(180° − γ ) + b = c
2
a − 2ba cos γ + b = c
2
2
2
2
2
x = a cos(180° − γ )
cos(180° − γ ) = − cos γ
c 2 = a 2 + b 2 − 2ba cos γ
184. Annettu kulma asteiksi 57° 11´ 12´´ = 57° +
11° 12°
⎛ 14 ⎞ ° ⎛ 14 ⎞ °
+
= 57° + ⎜ ⎟ = ⎜ 57 ⎟
60 3600
⎝ 75 ⎠ ⎝ 75 ⎠
Kolmas sivu kosinilauseella
⎛ 14 ⎞ °
c 2 = 3,18962 + 2,57622 − 2 ⋅ 3,1896 ⋅ 2,5762 ⋅ cos ⎜ 57 ⎟
⎝ 75 ⎠
c = 2,8115 m
A sinilauseella
⎛ 14 ⎞ °
sin ⎜ 57 ⎟
sin A
⎝ 75 ⎠
=
3,1896
2,8115
14
3,1896sin 57
75
sin A =
2,8115
A ≈ 72, 45°
,c > 0
Kulma
ⱔA
⋅3,1896
c
b
ⱔB
ⱔC
a
Kolmas kulma B = 180° – 72,45° – 57,19° = 57,36°
1
⎛ 14 ⎞ °
Ala ⋅ 3,1896 m ⋅ 2,5762 m ⋅ sin ⎜ 57 ⎟ = 3, 4530 m 2
2
⎝ 75 ⎠
Vastaus: Kulmat ovat 72,451°, 50,363°, kolmas sivu 2,8115 m ja ala 3,4530 m2.
185. Ratkaistaan kulma C kosinilauseella
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
2002 = 1002 + 1502 − 2 ⋅100 ⋅150 ⋅ cos C
2002 − 1002 − 1502 = −30000 cos C
7500
−30000
C ≈ 104,5°
cos C =
Vastaus: Kulma C on 104,5°.
69
186. Kolmion ala
A = 60
1
⋅10 ⋅ 20 ⋅ sin α = 60
2
sin α = 0, 6
α ≈ 36,87° tai α = 180° − 36,87° = 143,13°
Kolmas sivu, kun α = 36,87°
c 2 = 102 + 202 − 2 ⋅10 ⋅ 20 ⋅ cos 36,87°
c 2 = 500 − 400 cos 36,87°
,c > 0
c = 500 − 400 cos 36,87°
c ≈ 13, 4
Kolmas sivu, kun α = 143,13°
c 2 = 102 + 202 − 2 ⋅10 ⋅ 20 ⋅ cos143,13°
c 2 = 500 − 400 cos143,13°
,c > 0
c = 500 − 400 cos143,13°
c ≈ 28, 6
Vastaus: Kolmion kolmas sivu on 13,4 m tai 28,6 m.
187. Pisimmän sivun vastainen kulma on suurin. Lasketaan kyseinen kulma kosinilauseella.
22 + 42 − 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ cos α = 52
−16 cos α = 52 − 22 − 42
: (−16)
5
16
α ≈ 108, 2°
cos α = −
Vastaus: Suurin kulma on 108,2°.
188. Metsän läpi kuljettava matka x (m)
Kolmion tunnettu kulma on 180° – 105° = 75°
x 2 = 24002 + 13002 − 2 ⋅ 2400 ⋅1300 ⋅ cos 75°
,x > 0
105°
1300 m
x = 2415,57
2400 m
Matka-aika kiertotietä
2, 4 km + 1,3 km 37
t=
=
h = 37 min
6 km/h
60
x
70
Nopeus metsän läpi oltava v =
2, 4156 km
km
≈ 3,9
37
h
h
60
Vastaus: Nopeus metsän läpi oltava 3,9 km.
x
189. Ratkaistaan tuntematon sivu
kosinilauseella.
x 2 = 13502 + 13502 − 2 ⋅1350 ⋅1350 ⋅ cos 4°
1350 m
,x > 0
1350 m
x ≈ 94
4°
Vastaus: Suunnistaja oli 94 metrin päässä rastista.
190. Muunnetaan annettu kulma α, voit tarkistaa laskimen
astenappia käyttämällä.
21° 20°
16 °
+
= 62
α = 62°21´20´´ = 62° +
60 3600
45
Kirkkojen etäisyys kosinilauseella
⎛ 16 ⎞ °
x 2 = 42 + 7 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ cos ⎜ 62 ⎟
⎝ 45 ⎠
⎛ 16 ⎞ °
x 2 = 65 − 56 cos ⎜ 62 ⎟
,x > 0
⎝ 45 ⎠
x
7 km
⎛ 16 ⎞ °
x = 65 − 56 cos ⎜ 62 ⎟
⎝ 45 ⎠
x ≈ 6, 25
4 km
α
Vastaus: Etäisyys on 6,25 km.
⎛ 50 ⎞ °
191. Kulma 72°50´= ⎜ 72 ⎟
⎝ 60 ⎠
x
3,16 km
Ratkaistaan etäisyys kosinilauseella
72°50′
⎛ 50 ⎞ °
x 2 = 5, 27 2 + 3,162 − 2 ⋅ 5, 27 ⋅ 3,16 ⋅ cos ⎜ 72 ⎟
⎝ 60 ⎠
x ≈ 5, 28
Vastaus: Mastojen etäisyys on 5,28 km.
71
,x > 0
5,27 km
192. Kanta x (cm)
x 2 = 122 + 122 − 2 ⋅12 ⋅12 ⋅ cos80°
x 2 = 288 − 288cos80°
,x > 0
x = 288 − 288cos80°
x ≈ 15, 4
Vastaus: The third side is 15,4 cm.
Testaa hyvät taitosi 1
2. Kaksi mahdollisuutta.
Kolmion ala 3,9 cm2 tai 11,7 cm2.
4,0 cm
4,0 cm
A
30°
6,0 cm
B
4,0 cm
4,0 cm
A
30°
B
6,0 cm
3. Lasketaan Pythagoraan lauseen avulla.
1202 +1192 = 1692
28 561 = 28 561
Koska kolmion sivut toteuttavat Pythagoraan lauseen, kolmio on suorakulmainen.
Vastaus: Kolmio on suorakulmainen.
4. Kulmien summa on 180°.
(2 x − 4) + ( x 2 + 102) + 58 = 180
x 2 + 2 x − 24 = 0
x=
−2 ± 22 − 4 ⋅1 ⋅ ( −24 )
2 ⋅1
−2 ± 100
x=
2
−2 + 10
x1 =
=4
2
−2 − 10
x2 =
= −6
2
Ei käy, koska kulma ≥ 0°
Vastaus: Pienin kulma on 4°.
72
5. Kolmas kulma 180° – 35° – 75° = 70°.
Lyhin sivu on 35° kulmaa vastaava sivu ja pisin sivu on 75° kulmaa vastaava sivu.
Ratkaistaan pisin sivu sinilauseella
32, 66
x
=
70°
sin 35° sin 75°
32,66 cm
x sin 35° = 32, 66sin 75° : sin 35°
x
32, 66sin 75°
sin 35°
x = 55, 00
x=
75°
35°
Vastaus: Pisin sivu on 55,00 cm.
6. Kolmion piiri p = 15 m
2,0 + 4,0 + x + y = 15,0
y = 9,0 – x
y
Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun
viereisten sivujen suhteessa.
y
x
=
y = 9, 0 − x
2, 0 4, 0
9− x x
=
2
4
36 − 4 x = 2 x
−6 x = −36
x
2,0 m
4,0 m
: (−6)
x=6
Vastaus: Kulman viereinen sivu on 6,0 m.
7. Lasketaan hypotenuusa a Pythagoraan lauseella
a2 = 1,652 + 6,02
a ≈ 6,22 m
h
Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk), ratkaistaan h
verrannolla
6, 22
h
=
1, 65 6, 22
1, 65h = 6, 222
:1, 65
1,65 m
h ≈ 23, 47
a
6,0 m
Vastaus: Kallio on 23 m korkea.
73
8. Suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma.
Ratkaistaan kulma kosinilauseella
8, 452 = 7 2 + 52 − 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ cos α
8, 452 − 7 2 − 52
−2 ⋅ 5 ⋅ 7
α ≈ 87,87°
cos α =
Vastaus: Kulma on 87,9°.
9. Kolmion kulma
A = 24, 0
1
⋅ 5, 48 ⋅ 8, 76 ⋅ sin α = 24, 0
2
24
1
⋅ 5, 48 ⋅ 8, 76
2
α ≈ 89, 2° tai 180° − 89, 2° ≈ 90,8°
sin α =
Vastaus: Sivujen välinen kulma on 89,2° tai 90,8°.
10. Kolmiot ABD ja ACD ovat yhtenevät, koska
– Kulmat ADB = BDC , koska jana BD on kulman puolittaja
– Jana BD on yhteinen molemmissa kolmioissa
– Kulmat ABD = DBC , koska kulman puolittaja on
kohtisuorassa sivua vastaan
Säännön ksk perusteella kolmiot ABD ja ACD ovat
yhtenevät.
Tämän perusteella kolmioiden ABD ja ACD kaikki sivut
ovat yhtä pitkät eli AD = CD, joten kolmio ACD on
A
tasakylkinen.
74
D
B
C
9. MONIKULMIOT
193. a) Korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella.
202 + h 2 = 302
h 2 = 500
,h > 0
h = 10 5
Pinta-ala A = 20 ⋅10 5 = 200 5
b) Kanta a saadaan suorakulmaisesta kolmiosta tangentin
avulla.
10
a
10
a=
tan 30°
10
= 10 3 ≈ 17,3
a=
1
3
tan 30° =
Pinta-ala A = 10 ⋅10 3 = 100 3 ≈ 173
c) Pidemmän kannan osa x saadaan Pythagoraan lauseella.
x 2 + 32 = 52
x 2 = 16
,x > 0
x=4
Lyhyemmän kannan pituus on 9 − x = 9 − 4 = 5.
5+9
Puolisuunnikkaan ala A =
⋅ 3 = 21
2
Vastaus: a) 450 b) 170 c) 21
194. a) 9-kulmion kulmien summa (9 – 2)·180° = 1 260°
1260°
= 140°
b) Yhden kulman suuruus α =
9
Vastaus: a) 1 260° b) 140°
195. Neljäkkään ja säännöllisen kuusikulmion sivut ovat yhtä pitkät, joten piiri
16, 0 cm
p=
⋅ 6 = 24, 0 cm
4
Vastaus: Piiri on 24,0 cm.
75
196. Kolmiot ABE ja ACD ovat yhdenmuotoiset. Lasketaan sivu CD = x verrannolla
x 8+ 4
=
6
8
8 x = 72
:8
x=9
Sivu ED = y
12 + y 12
=
8+4
8
96 + 8 y = 144
y=6
Piiri on p = 4 + 9 + 6 + 6 = 25
Alojen suhde = (pituuksien suhde)2
Apieni kolmio AB 2 ⎛ 8 ⎞ 2 64 4
=
=⎜
⎟ = 144 = 9
Aiso kolmio
AC 2 ⎝ 8 + 4 ⎠
Vastaus: Piiri on 25, alojen suhde on
4
.
9
197. Lasketaan toisen sivun pituus Pythagoraan lauseella, 120 mm = 1,2 dm
1, 22 + h 2 = 1,32
h 2 = 0, 25
C
D
,h > 0
1,3 dm
h = 0,5
A
120 mm
h
B
Pinta-ala A = ah = 0,50 dm ⋅1, 20 dm = 0, 6 dm 2 = 60 cm 2
Vastaus: Ala on 60 cm2.
198. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja puolittavat toisensa,
joten sivun pituus on
42 + 22 = 20.
Piiri 4 20 dm = 8 5 dm ≈ 18 dm .
Ala on 8 dm · 2 dm = 16 dm2.
Vastaus: Piiri on 18 dm, ala on 16 dm2
199. Kolmiot ABD ja BCD ovat yhdenmuotoiset (kk)
Lasketaan sivu BD Pythagoraan lauseella
BD 2 = 4, 02 + 2, 02
, BD > 0
BD = 20
76
Kolmion BCD hypotenuusan pituus x (cm) Pythagoraan lauseella
32 +
(
20
)
2
= x2
,x > 0
x = 29
x ≈ 5, 4
Vastaus: Sivun CD pituus on 5,4 cm.
200. Ratkaistaan sivu x (cm) Pythagoraan lauseella
x 2 = 32 + 42
,x > 0
x
3
x=5
Piiri on p = 4 · 5 cm = 20 cm.
4
Vastaus: Piiri on 20 cm.
201. Merkitään kulmaa ABE =
Kolmiosta ABE saadaan
a
tan β =
2a
β ≈ 26,57°
BCF = β
Kulma α = 90° – 2β ≈ 37°
2a ⋅ a
Pinta-ala A = (2a ) 2 − 2
= 2a 2
2
Vastaus: α = 37°, ala on 2a2.
202. Kolmiosta BEC saadaan
h
sin 55° =
0,85
h = 0,85sin 55°
h ≈ 0, 696
Pinta-ala A = 1, 72 m ⋅ 0, 696 m ≈ 1, 20 m 2
Vastaus: Suunnikkaan ala on 1,20 m2.
203. Pinta-ala
A = 120 cm 2
x ⋅1, 2 x = 120
x 2 = 100
:1, 2
1,2x
,x > 0
x = 10
Vastaus: Leveys on 10 cm ja leveys siten 12 cm.
77
x
204. Ala on A = 2,25 ha = 22 500 m2.
x 2 = 22 500
,x > 0
x = 150
Sivut ovat 150 m pituiset. Neliön piiri on p = 4 ⋅150 m = 600 m ja lankaa tarvitaan 1 800 m.
Vastaus: Lankaa tarvitaan 1 800 metriä.
205. Aitauksen pituus x (m)
Aitauksen leveys x – 10
Aitauksen ala 160 m2
x( x − 10) = 160
x 2 − 10 x − 160 = 0
x=
10 ± (−10) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−160)
2 ⋅1
10 + 27, 2
= 18, 60
2
10 − 27, 2
x2 =
= −8, 6
2
x1 =
Ei käy, pituus aina > 0
Pituus on 18,60 m ja leveys siten 8,60 m. Piiri p = 2 ·18,6 m + 2 ·8,60 m = 54,4 m.
Vastaus: Piiri on 54,4 m.
206. Aitauksen pituus x (m)
Aitauksen leveys (40 – x):2
40 − x
x⋅
= 128 ⋅2
2
− x 2 + 40 x − 256 = 0
x=
−40 ± 402 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−256)
2 ⋅ (−1)
−40 + 576
=8
−2
−40 − 576
x2 =
= 32
−2
x1 =
Toinen sivu on (40 – 8):2 = 16 tai (40 – 32):2 = 4
Vastaus: Joko 16 cm ja 8 cm tai 4 cm ja 32 cm.
78
207.
A=
a+b
12 cm + 4 cm
⋅h =
⋅14 cm=112 cm 2
2
2
Vastaus: Ala on 112 cm2.
208.
Ratkaistaan tehtävä muistikolmioita käyttäen.
1
Sivu AB = 2
2
Sivu AE = 2 2
Sivu DE Pythagoraan lauseella
(2 2 ) 2 + DE 2 = 7 2
DE 2 = 49 − 8
, DE > 0
DE = 41
Sivu
1
DC =
2
41
2
2 41
DC =
2
⋅2
= 2 41 = 82
Vastaus: Sivun pituus on
82 .
209.
921 ft
72°
460,5 ft
Muutetaan mitat metreiksi
460,5 ft ≈ 140,36 m
Ratkaistaan pikkukolmion
korkeus suorakulmaisesta kolmiosta
140,36 m
tan 36° =
x
140,36 m
x=
tan 36°
x = 193,19 m
36°
79
x
Pinta-ala A = 10 ⋅
140,36 m ⋅193,19 m
≈ 135581 m 2 ≈ 13, 6 ha
2
Vastaus: Ala on 13,6 ha.
210. Kuusikulmio muodostuu 12 kappaleesta suorakulmaisia
kolmioita. Ratkaistaan kolmiosta korkeus x (dm)
1,5
tan30° =
x
1,5
x=
tan 30°
1,5
x=
= 1,5 3
1
3
Pinta-ala A =
1,5 dm
30°
x
12 ⋅1,5 dm ⋅1,5 3 dm
= 13,5 3 dm 2 ≈ 23, 4 dm 2
2
Vastaus: Ala on 13,5 3 dm2.
211. Sivun BC pituus on 52 − 42 = 3
Korkeus DG puolittaa tasakylkisen kolmion CBD kannan,
joten korkeus DG = 2,52 − 2, 02 = 2, 0
Korkeus EF puolittaa kolmion CAE kannan,
joten korkeus EF = 2,52 − 2, 02 = 1,5
Kokonaisala saadaan kahdesta kolmiosta ja
suorakulmiosta
AFBC seuraavasti:
1
1
A = 4 ⋅ 3 + ⋅ 3 ⋅ 2 + ⋅ 4 ⋅1,5 = 18
2
2
Vastaus: Ala on 18.
A
212. Sivun y pituus
10
cos 30° =
y
y=
10
cos 30°
M
cos 30° =
10
30°
120° y
P
3
2
40
20
20 3
=
y=
3
3
y
80
H
z
x
60°
T
Sivun z pituus
40
tan 60° =
z
40
tan 60° = 3
z=
tan 60°
40 40 3
=
y=
3
3
Sivun TH pituus x = y + z =
20 3 40 3
+
= 20 3
3
3
Vastaus: Sivun TH pituus on 20 3.
213. Suorakulmio saadaan taittelemalla kolmio, joten kolmion on
oltava kaksinkertainen suorakulmioon nähden eli alojen suhde on
2 : 1.
Vastaus: Alojen suhde on 2 : 1.
2, 00 − 1,97
= 0, 015 = 1,5% ,
2, 00
eli mitat olivat 1,5 % lyhyempiä kuin piti olla.
Leveyttä on siten 1,50 m · 0,015 ≈ 2,3 cm liian vähän.
Pituutta jäi uupumaan 8,5 m · 0,015 ≈ 13 cm.
214. a) Mitan suhteellinen virhe oli
b) Todellinen pinta-ala A = (1,50 m – 0,0225 m) · (8,5 m – 0,1275 m) ≈ 12,4 m2.
Vastaus: Leveydestä puuttuu noin 2,3 cm ja pituudesta noin 13 cm, todellinen ala on noin
12,4 m2.
215. Kuviosta x = (14+10+9) –18 = 15
Vastaus: 15
216. Saadaan kaksi eri tapausta
Joko puolisuunnikkaan korkeus on
h = 52 − 42 = 3 (cm)
ja ala A =
a+b
4, 0 cm + 3, 0 cm
⋅h =
⋅ 3, 0 cm = 10,5 cm 2
2
2
Tai korkeus h = 52 − 32 = 4 (cm)
ja ala A =
4, 0 cm + 3, 0 cm
⋅ 4, 0 cm = 14 cm 2
2
Vastaus: Ala on 10,5 cm2 tai 14 cm2.
81
217. Yhtä pitkien sivujen pituus x (m)
12 m
x
x
Puolisuunnikkaan ala A =
A = 54
a+b
⋅h
2
x + 12
⋅ x = 54 ⋅2
2
x 2 + 12 x − 108 = 0
x=
−12 ± 122 − 4 ⋅1 ⋅ ( −108 )
2 ⋅1
−12 + 576
x1 =
=6
2
−12 − 576
x2 =
= −18
2
Ei käy, pituus aina > 0
Vastaus: Sivujen pituus on 6 metriä.
218. Satu juoksee yhteensä 800 metriä nopeudella 6,5 m/s ja 500 metriä nopeudella
5,0 m/s.
800 m
500 m
= 123, 08 s , t2 =
= 100 s
Lasketaan osa-ajat t1 =
m
m
6,5
5,0
s
s
Kierrosaika on siis 123,08 s + 100 s ≈ 223 s = 3 min 43 s.
s
1300 m
m
Keskinopeus saadaan kokonaismatkan ja -ajan avulla vk = kok =
≈ 5,8
s
tkok 223, 08 s
Vastaus: Satun juoksu korttelin ympäri kestää 3 min 43 s. Hänen keskinopeutensa on
5,8 m/s.
82
219. Kokonaishinta = ala · neliöhinta.
Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö, jossa x (m) on sivun pituus.
16( x + 20)( x − 15) = 15( x + 5) 2
16( x 2 + 5 x − 300) = 15( x 2 + 10 x + 25)
16 x 2 + 80 x − 4800 = 15 x 2 + 150 x + 375
x 2 − 70 x − 5175 = 0
x=
70 ± (−70) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−5175)
2 ⋅1
70 + 25600
= 115
x1 =
2
70 − 25600
= −45
x2 =
Ei käy, hinta aina ≥ 0
2
Tontin A piiri p = 2(x + 20) + 2(x –15) = 270 m + 200 m = 470 m
Tontin B piiri p = 4(x + 5) = 480 m
Vastaus: Tonttien piirit ovat 470 m ja 480 m.
220. Puolisuunnikkaan korkeus h (cm) kolmiosta AED
h
sin 68° =
⋅4
4
D
h = 4sin 68°
h ≈ 3, 709
Sivun BC (cm) pituus kolmiosta FBC
h
sin 50° =
h = 4sin 68°
BC
4sin 68°
BC =
sin 50°
BC ≈ 4,841
4,0 cm
A
h
68°x
Sivun x pituus kolmiosta AED
x
cos 68° =
⋅4
4
x = 4 cos 68°
x ≈ 1, 498
Sivun z pituus kolmiosta FBC
h
tan 50° =
h = 4sin 68°
z
4sin 68°
z=
tan 50°
z ≈ 3,112
83
C
y
E
z
F
7,0 cm
50°
B
Sivun CD pituus y = 7, 0 − x − z = 7, 0 − 1, 498 − 3,112 ≈ 2, 4
Kulmat
C = 90° + (90° − 50°) = 130°
D = 90° + (90° − 68°) = 112°
Vastaus: Puolisuunnikkaan sivut ovat 7,0 cm, 4,8 cm, 2,4 cm ja 4,0 cm sekö kulmat 68°,
50°, 130° ja 112°.
221. Jos neliön piiri on 16 6, yksi sivu on 16 6 : 2 = 4 6.
Lävistäjä on tällöin 4 6 2 = 4 12 = 8 3
a
Muistikolmiosta tiedämme, että h =
3.
2
Neliön lävistäjä on yhtä pitkä kuin kolmion korkeus.
a
3 =8 3
2
:
3
2
h
a = 16
a
a
Piiri p = 3a = 48.
16 ⋅ 8 3
= 64 3
Ala A =
2
Vastaus: Piiri on 48, ala on 64 3 .
222.
Kolmiot ABE ja DEC ovat yhtenevät, koska
– sivut DE ja EB ovat yhtä pitkät oletuksen perusteella
– sivut AE ja EC ovat yhtä pitkät oletuksen perusteella
– kulmat AEB ja DEC ovat ristikulmina yhtä suuret
Säännön sks perusteella kolmiot ABE ja DEC ovat
yhtenevät, joten myös nelikulmion ABCD sivut AB
ja CD ovat yhtä pitkät.
Vastaavalla tavalla osoitetaan, että kolmiot AED ja
BCE ovat yhtenevät. Koska nelikulmion ABCD
sivut ovat pareittain yhtä pitkät, kyseessä on
A
suunnikas.
223. Sivun AC pituus x (m)
x 2 = 4, 002 + 5, 002 − 2 ⋅ 4, 00 ⋅ 5, 00 cos162,3°
x 2 = 41 − 40 cos162,3°
84
D
C
E
B
Kulma CDA
x 2 = 6, 002 + 7, 002 − 2 ⋅ 6, 00 ⋅ 7, 00 cos α
41 − 40 cos162,3° = 85 − 84 cos α
84 cos α = 44 + 40 cos162,3°
x 2 = 41 − 40 cos162,3°
: 84
D
44 + 40 cos162,3°
84
α ≈ 86, 0°
Vastaus: Kulma on 86,0°.
α
cos α =
6,00 m
7,00 m
C
x
224. Suorakulmion ABCD ala A1 = 6 m ⋅10 m = 60 m 2
5,00 m
162,3°
A
1
Kolmion ADE ala A2 = ⋅10 m ⋅10 m = 25 m 2
4
1
Kolmion AFB ala A3 = ⋅ 6 m ⋅ 6 m = 9 m 2
4
1
Kolmion BGC ala A4 = ⋅10 m ⋅10 m = 25 m 2
4
1
Kolmion CHD ala A5 = ⋅ 6 m ⋅ 6 m = 9 m 2
4
Nelikulmion EFGH ala
A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = 128 m 2
B
4,00 m
H
D
C
6m
10 m
E
A
G
B
F
Vastaus: Nelikulmion ala on 128 m2.
225. Piirretään ensin suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusana on suuremman tunnetun
neliön sivu ja toisena kateettina pienemmän neliön sivu. Tällöin kolmion toinen kateetti on
kysytyn neliön sivun pituus.
226. Yhtä pitkien sivujen pituus x (m)
a+b
⋅h
Puolisuunnikkaan ala A =
2
A = 2 000
x + 60
⋅ x = 2 000 ⋅2
2
x 2 + 60 x − 4 000 = 0
x=
60 m
h=x
−60 ± 602 − 4 ⋅1 ⋅ ( −4 000 )
x1 =
x2 =
2 ⋅1
−60 + 19 600
2
x
= 40
−60 − 19 600
= −100 Ei käy, pituus aina > 0
2
Vastaus: Sivun pituus 40 metriä.
85
227. Korkeus h = 60 cm
Yhdensuuntaisten sivujen erotus b – a = 50
Toisaalta b – a = 2x
Täten 2x = 50 |:2
x = 25
C
b
Kolmiosta BDE saadaan
602 + (b − 25) 2 = b 2
60 cm
3600 + b 2 − 50b + 625 = b 2
−50b = −4 225
a
D
A
: (−50)
x
x
E
B
F
b
b = 84,5
Vastaus: Lävistäjän pituus on 84,5 cm.
5 ⋅180° ⎛
4 ⎞°
= ⎜ 128 ⎟
7
7⎠
⎝
β ⎛ 5 ⎞°
Kolmion ABC huippukulman suuruus α = = ⎜ 25 ⎟
5 ⎝ 7⎠
Seitsenkulmion sivun pituus kolmiosta ABC
⎛ 5 ⎞°
x 2 = 12 + 12 − 2 ⋅1 ⋅1cos ⎜ 25 ⎟
⎝ 7⎠
⎛ 5 ⎞°
,x > 0
x 2 = 2 − 2 cos ⎜ 25 ⎟
⎝ 7⎠
228. Seitsenkulmion kulman suuruus β =
⎛ 5 ⎞°
x = 2 − 2 cos 2 ⎜ 25 ⎟
⎝ 7⎠
Seitsenkulmio jaetaan seitsemään
kolmioon.
Kolmion ABD huippukulman
puolikas
360°
2γ =
:2
7
⎛ 5 ⎞°
γ = ⎜ 25 ⎟
⎝ 7⎠
C
C
α
β
D
1 dm
γγ
h
x
A
B
86
A
x
B
Kolmion korkeus
x/2
tan γ =
h
⎛ 5 ⎞° x
tan ⎜ 25 ⎟ =
2h
⎝ 7⎠
⎛ 5 ⎞°
x = 2 − 2 cos ⎜ 25 ⎟
⎝ 7⎠
⎛ 5 ⎞°
2 − 2 cos ⎜ 25 ⎟
⎝ 7⎠
h=
⎛ 5 ⎞°
2 tan ⎜ 25 ⎟
⎝ 7⎠
h ≈ 0, 462
Seitsenkulmion ala
A = 7⋅
xh
2
h=
⎛ 5 ⎞°
2 − 2 cos ⎜ 25 ⎟
⎝ 7⎠
⎛ 5 ⎞°
2 tan ⎜ 25 ⎟
⎝ 7⎠
⎛ 5 ⎞°
x = 2 − 2 cos ⎜ 25 ⎟
⎝ 7⎠
⎛ 5 ⎞°
⎛ 5 ⎞°
2 − 2 cos ⎜ 25 ⎟
2 − 2 cos ⎜ 25 ⎟
7
7
⎝
⎠
⎝ 7 ⎠ ≈ 0, 72
= ⋅
4
⎛ 5 ⎞°
⎛ 5 ⎞°
2 tan ⎜ 25 ⎟
tan ⎜ 25 ⎟
7
⎝
⎠
⎝ 7⎠
7
⎛ 5 ⎞°
2 − 2 cos ⎜ 25 ⎟ ⋅
A=
2
⎝ 7⎠
Vastaus: Seitsenkulmion ala on 0,72 dm2.
229. Säännöllisen n-kulmion kulmien summa (n − 2) ⋅180°
Säännöllisen n-kulmion kulma
(n − 2) ⋅180°
n
Vastaus: Säännöllisen n-kulmion kulma on
(n − 2) ⋅180°
.
n
n−2
⋅ 180° .
n
1
α
α
Tasakylkisen kolmion ala on ⋅ 2 ⋅ tan = tan .
2
2
2
n−2
⋅ 90° .
Monikulmion ala on n ⋅ tan
n
230. Monikulmion kulma α =
FG
H
IJ
K
87
n−2
⋅ 180°
π n−2
⋅ π ⋅ 12 = ⋅
Yhden ympyräsektorin ala on n
.
360°
2 n
FG
H
Vastaus: Ala on n ⋅ tan
IJ
K
π n−2
n−2
.
⋅ 90°− ⋅
2 n
n
231. Suorakulmaisesta kolmiosta ABC
( x + a) 2 + x 2 = (4a) 2
x 2 + 2 xa + a 2 + x 2 = 16a 2
2 x 2 + 2ax − 15a 2 = 0
x=
−2a ± (2a) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−15a 2 )
2⋅2
−2a ± 124a 2
4
−2a + 2a 31
x1 =
≈ 2, 28a
4
−2a − 2a 31
x2 =
≈ −3, 28a < 0
4
x=
Ei käy
Pinta-ala
−2a + 2a 31 4)
+ 2a
−2a + 2a 31
( x + a) + a
4
⋅x=
⋅
A=
2
2
4
2
2
6a + 2a 31 −2a + 2a 31 −12a + 12a 31 − 4a 2 31 + 124a 2
=
⋅
=
8
4
32
=
112a 2 + 8a 2 31 8(14a 2 + a 2 31) 14a 2 + a 2 31
=
=
≈ 4,9a 2
32
32
4
Vastaus: Puolisuunnikkaan ala on
14a 2 + a 2 31
≈ 4,9a 2 .
4
232. Lasketaan suorakulmioiden pinta-alojen summa
A = 0,5 ⋅ 3 m 2 + 0,5 ⋅ 2,5 m 2 + 0,5 ⋅ 2 m 2 + 0,5 ⋅ 1,5 m 2
+ 0,5 ⋅ 1 m 2 + 0,5 ⋅ 0,5 m 2 = 5,25 m 2 .
Vastaus: The area is 5,25 m 2 .
88
10. YMPYRÄ
233. a)
COB b)
CDB ja
CAB c)
COA d)
AOC e)
CDA
234.
γ = 120° (ristikulmat ovat yhtä suuret)
α = 180° – γ = 60° (keskuskulman ja tangenttikulman summa on 180°)
1
β = α = 30° (kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta)
2
Vastaus: α = 60° ja β = 30°
235. Kulma OQP = 90° − 27° = 63°, koska kyseessä on tasakylkinen kolmio, myös kulma
OPQ on 63°.
Keskuskulma QOP = 180° − 2 ·63° = 54° ja kulma α = 180° − 90° − 54° = 36°.
Vastaus: Kulma α on 36°.
236. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta,
saadaan yhtälö
4 x − 40°
= x + 13°
2
2 x − 20° = x + 13°
x = 33°
Sijoittamalla x = 33° saadaan kulmien suuruudet
Kehäkulma x + 13° = 46°
Keskuskulma 2 ⋅ 46° = 92°
Vastaus: Kehäkulma 46° ja keskuskulma 92°.
237. a) AB = 180° − 70° = 110° (vieruskulmat)
b) ABO = (180° − 110°) : 2 = 35° (tasakylkinen kolmio)
FOE = 80° kaarta FE vastaava keskuskulma
DOF = 110° ristikulma
DOE = 110° − 80° = 30°
Keskuskulma BOE = 180° − 80° = 100° vieruskulmat
100°
= 50°
Kehäkulma BFE =
2
ODE = 180° − 110° − 50° = 20° kolmion kulmien summa
c)
Vastaus: a) 110° b) 35° c) 20°
89
238. Ympyrän keskipiste O
DOA = 70° kaarta AD vastaava keskuskulma
70°
ACD =
= 35° keskuskulmaa DOA = 70° vastaava kehäkulma
2
70°
ABD =
= 35° keskuskulmaa DOA = 70° vastaava kehäkulma
2
140°
BAC =
= 70° keskuskulmaa BOC = 140° vastaava kehäkulma
2
AEB = 180° − 35° − 70° = 75° kolmion kulmien summa ( BAE = BAC = 70° )
BEC = 180° − 75° = 105° vieruskulmat
Vastaus:
ACD = 35° ja
BEC = 105°
239. a) Kehän pituus = 10,0 mm · π ≈ 31,4 mm
60°
5π
⋅10π =
≈ 5, 24 mm
b)
360°
3
Vastaus: a) 31,4 mm b) 5,24 mm
240. Keskuskulma on 2 ⋅ 40° = 80°
80°
120
40π
4
⋅ 2π ⋅ 30, 0 dm =
dm = π m ≈ 4,19 m
Kaaren pituus on
π dm =
360°
9
3
3
Vastaus:
4
π m ≈ 4,19 m
3
241. Kehän pituus on 0,50π m.
50 000 m
Kierrosten lukumäärä on
≈ 32 000
0,50π m
Vastaus: Pyörä pyörähtää 32 000 kierrosta.
242. Kulmat BAD ja BCD ovat suoria kulmia, koska puoliympyrän sisältämä
kehäkulma on suora kulma.
Pythagoraan lauseella
⎧⎪ BD 2 = 62 + 82
⎨ 2
2
2
⎪⎩ BD = BC + 5
BC 2 + 52 = 62 + 82
BC = 36 + 64 − 25 = 75 = 5 3
Vastaus: 5 3
90
243. Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan toisen asteen yhtälö, joka ratkaistaan
ratkaisukaavalla. Vain positiivinen ratkaisu kelpaa.
10
x
=
x + 11 8
80 = x 2 + 11x
x 2 + 11x − 80 = 0
x=
−11 ± 112 − 4 ⋅1 ⋅ ( −80 )
2 ⋅1
−11 + 441
x=
=5
2
Vastaus: x = 5
244. Keskipisteen ja pisteen P yhdysjana puolittaa tangenttikulman, joten etäisyys saadaan
suorakulmaisesta kolmiosta PAO. Tangentin ja muistikolmion avulla saadaan
40
= tan 30°
x
40
40
x=
=
= 40 3 ≈ 69,3
1
tan 30°
3
Vastaus: Etäisyys on 40 3 mm.
245.
Tasakylkisen kolmion korkeus puolittaa kannan.
Jänteen pituus on 2 52 − 32 = 8
Vastaus: Jänteen pituus on 8 cm.
246.
Ratkaistaan säde Pythagoraan lauseella
r = 102 + 52 = 125 = 5 5 ≈ 11, 2 cm
Vastaus: Säde on 5 5 cm.
r
10
5
247.
Lasketaan keskuskulma suorakulmaisen kolmion avulla.
12, 0
sin α =
13, 0
α = 67,38...°
β = 360° − 2 ⋅ 67,38...° = 225,23…°
Piiri käsittää kaaren ja jänteen.
91
β
α
13
12
Piiri on
225, 23...°
360
⋅ 2 ⋅ π ⋅13, 0 cm + 24,0 cm ≈ 75,1 cm
Vastaus: Piiri on 75,1 cm.
248.
Uloin viiva muodostuu kahdesta kaaresta, joiden
keskuskulmina on α .
Kolmiot OPQ ja OPQ ovat tasasivuisia, sivun pituus
on sama kuin säteen, 15 cm.
α = 360° − 2 ⋅ 60° = 240°
240°
Viivan pituus on 2 ⋅
⋅ 2 ⋅ π ⋅15 cm ≈ 126 cm
360°
Q
O
α
60°
60°
P
α
R
Vastaus: Viivan pituus on 126 cm.
249. Neliön ABCD pinta-ala Aneliö = 102 = 100
Ympyräsektorin keskuskulma on 90 astetta ja niitä on
1
neljä kpl. Aympsekt = 4 ⋅ ⋅ π ⋅ 52 = 25π
4
Kysytty ala on Aneliö − Aympsekt = 100 − 25π ≈ 21
D
10
5
A
Vastaus: Alueen ala on 21.
250. Sektorin ala
288°
⋅ π r 2 = 540
360°
540
r=
288°
π
360°
r = 14, 658... m
Kaaren pituus on
288°
⋅ 2π ⋅14, 658... m ≈ 73, 7 m.
360°
Vastaus: Kaaren pituus on 73,7 m.
251. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
3, 2
sin 63, 4° =
r
3, 2
r=
sin 63, 4°
r = 3,578...
r ≈ 3, 6
r
53,4°
3,2
6,4 cm
92
C
B
Kehä 2 · π · r ≈ 22 cm ja Ala = π ·r2 ≈ 40 cm2
Vastaus: Säde on 3,6 cm, kehä 22 cm ja ala 40 cm2.
252. Kaaren AC pituus on
6π
1
=6
⋅ 2 ⋅ π ⋅ r = 6 ⋅ π , josta r =
π
2
Sivu BC = 132 − 122 = 5
1
Kolmion ala A3 = ⋅12 ⋅ 5 = 30
2
Puoliympyröiden alat ovat A1 =
1
⋅ π ⋅ 62 = 18π ja
2
2
1
169
⎛ 13 ⎞
π
⋅π ⋅ ⎜ ⎟ =
2
8
⎝ 2⎠
Kokonaisala
A2 =
Akok = A1 + A2 + A3 = 18 π +
169
π + 30 ≈ 150
8
Vastaus: Ala on 150.
3
-osa
4
ympyrästä, jonka säde on 6 m ja neljäsosa ympyrästä,
jonka säde on 2 m.
A = A1 + A2
253. Käytettävissä oleva pinta-ala muodostuu
3
1
= π ⋅ 62 m 2 + π ⋅ 22 m 2
4
4
2
= 28 π m
≈ 88 m 2
Vastaus: Koiralla on käytettävissään 88 m2.
254. Ympyrän halkaisija on samalla neliön lävistäjä.
Pythagoraan lauseen perusteella
a2 + a2 = d 2
2a 2 = d 2
a2 =
d2
2
d
a
93
a
d2
2
Aneliö = a 2 =
2
Aympyrä
⎛d⎞
= ⎜ ⎟ ⋅π
⎝2⎠
Aneliö
Aympyrä
d2
2
= 2 2 = ≈ 63, 7 %
π
πd
4
Vastaus: 63,7 %
255. Ympyrän kehä
d π = 36,8
36,8
d=
π
Pythagoraan lauseen perusteella
a2 + a2 = d 2
2a 2 = d 2
a2 =
a=
d2
2
d2
2
36,8
36,8
= π =
π 2
2
2
36,8
≈ 33,1
Neliön piiri 4 ⋅
π 2
a=
d
Vastaus: Neliön piiri on 33,1 cm.
256.
360°
8
α = 45°
α=
Keskuskolmion ala
1
1
1
Akolmio = ⋅ r ⋅ r ⋅ sin 45° = r 2 ⋅
2
2
2
1 2 1
1
= 4r 2 ⋅
8-kulmion ala 8 ⋅ Akolmio = 8 ⋅ r ⋅
2
2
2
Ympyrän ala π ·r2
94
Alojen suhde
1
4r 2 ⋅
2
≈ 0,90 = 90, 0 %
2
πr
8-kulmion sivu a
Kosinilauseella
a 2 = r 2 + r 2 − 2rr cos 45°
a = 2r 2 − 2r 2 ⋅
a = r 2 − 2⋅
1
2
1
2
8-kulmion piiri 8r 2 − 2 ⋅
1
2
Ympyrän kehä 2π r
8r 2 − 2 ⋅
Piirin ja kehän suhde
1
2
2π r
≈ 0,974 = 97, 4 %
Vastaus: 90,0 % ja 97,4 %
257. Keskuskulma α =
360°
= 120°
3
Kehän pituus
2π r = 6π
r =3
Kosinilauseella
a 2 = 32 + 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3cos120°
1
a = 18 − 18 ⋅ (− )
2
a
3
a=3 3
120°
a
Tasasivuisen kolmion ala
a 2 3 (3 3) 2 3 27 3
A=
=
=
4
4
4
Vastaus: A =
a
27 3
4
95
3
258. Ympyröiden keskipisteitä yhdistävät janat muodostavat tasasivuisen kolmion, jonka
sivu on 20
Kysytty ala saadaan kolmion ja kolmen ympyräsektorin
alojen erotuksena.
10
10
202 3
60°
= 100 3
Tasasivuisen kolmion ala Akolmio =
4
10
10
60°
50
60° 60°
⋅ π ⋅102 = π
Sektorin ala Asektori =
10
10
360°
3
Kysytty ala
50
A = Akolmio − 3 Asektori = 100 3 − 3 ⋅ π = 100 3 − 50π ≈ 16,1
3
Vastaus: Ala on 100 3 − 50π ≈ 16,1
259. Ympyrän sisään piirretyn nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on oikokulma,
koska vastakkaisia kulmia vastaavien keskuskulmien summa on täysi kulma. Esimerkiksi
kuvassa kehäkulmaa 150° vastaava keskuskulma on 300° ja vastakkaista kehäkulmaa
α vastaava keskuskulma on 2α = 360° − 300° = 60° ja α = 30° .
Täten α = 180° − 150° = 30° ja β = 180° − 60° = 120°
Vastaus: Muut kulmat ovat 30° ja 120°.
260.
Kulmien suuruudet
α + 2α + 3α = 180D , josta α = 30D , 2α = 60D ja 3α = 90°.
Suorakulmainen kolmio piirretään ympyrään hypotenuusa
halkaisijana. 60 asteen kulma kärkeen A käyttämällä
tasasivuista kolmiota, sivun pituus on säde. Piste C
yhdistetään halkaisijan toiseen päätepisteeseen. Saadaan
suorakulma, sillä puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora. Kolmas kulma on 30 asteen
suuruinen (kolmion kulmien summa).
R
261.
Kulma OQP = 90° − α
Kulma OPQ = 90° − α (tasakylkinen kolmio)
Kulma RPQ = 180° − (90° − α) = 90° + α (vieruskulmat)
Kulma PRQ =180° − (90° + α) − α = 90° − 2α (kolmion
kulmien summa)
Vastaus: Kulma PRQ on 90° − 2α.
96
P
Q
O
262.
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
(r − 5) 2 + 202 = r 2
r 2 − 10r + 25 + 400 − r 2 = 0
−10r = −425
r = 42,5
r
r–5
Vastaus: Säde on 42,5 cm
20
5
264.
a + b = 8,5 eli b = 8,5 − a
Pythagoraan lauseella
a 2 + (8,5 − a )2 = 6,52
2
α
b
2
a + 72, 25 − 17a + a = 42, 25
β
2
2a − 17a + 30 = 0
a=
6,5
a
−(−17) ± (−17) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 30
2⋅2
17 ± 49
4
17 − 7
a1 =
= 2,5
4
17 + 7
a2 =
=6
4
Kun a = 2,5, on b = 8,5 − 2,5 = 6
Kun a = 6, on b = 8,5 − 6 = 2,5
Eli kateetit ovat 2,5 cm ja 6 cm.
a=
Kolmion ala on (6 cm ·2,5 cm) : 2 = 7,5 cm2.
Kulmat
2,5
6,5
α ≈ 22, 6°
β = 90° − 22,6° = 67,4°
sin α =
Ympäri piirretyn ympyrän halkaisija on kolmion hypotenuusa 6,5 cm, joten ympyrän kehän
pituus on 6,5π cm.
Vastaus: Ala on 7,5 cm2, kulmat ovat 67,4° ja 22,6° ja kehän pituus on 6,5π cm.
97
265.
Lasketaan kosinilauseella kulma α.
82 = 7 2 + 62 − 2 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ cos α
α
82 − 7 2 − 6 2
−2 ⋅ 7 ⋅ 6
α ≈ 75,52°
Kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde
a
8
=
≈ 4,13
R=
2sin α 2sin 75,52°
cos α =
7
6
8
A = π R 2 = 53, 6
Vastaus: Ympyrän ala on 53,6.
266. Sektorin keskuskulma α ja säde R
Sektorin alan ja kaaren lausekkeista saadaan yhtälöpari.
α
12
⎧ α
2
⎪⎪ 360° π R = 12π eli 360° = R 2 sijoitetaan alempaan
⎨
⎪ α 2π R = R + 1
⎪⎩ 360°
12
2π R = R + 1
R2
24π
= R +1
⋅R
R
24π = R 2 + R
R 2 + R − 24π = 0
−1 ± 12 − 4 ⋅1 ⋅ (−24π )
2 ⋅1
−1 − 1 + 96π
R1 =
< 0 ei käy
2
−1 + 1 + 96π
R2 =
≈ 8, 20
2
R=
Vastaus: Säde on
−1 + 1 + 96π
≈ 8, 20
2
267. Muodostuvan tasakylkisen kolmion huippukulma on
360° − 225° = 135°
Ratkaistaan säde x kosinilauseen avulla
1
cos 135° = −
2
98
x
135°
4 dm
x
42 = x 2 + x 2 − 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ cos135°
42 = 2 x 2 +
2
x2
2
2
⎛
⎞ 2
42 = ⎜ 2 +
⎟x
2⎠
⎝
x=
42
2+ 2
≈ 2,16 dm
Vastaus: Säde on 2,2 dm.
268.
Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on
kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspisteessä.
Kolmion sivu a on kolmion ympäri piirretyn ympyrän
jänne ja sivun a vastainen kulma α on ympyrän
kehäkulma. Kehäkulmaa α vastaavan keskuskulman
2α puolikas on suorakulmaisen kolmion kulma α ja
1
a
kyseisestä kolmiosta saadaan sin α = 2 , josta
R
a
R=
.
2sin α
269. Lasketaan vaijerin pisin etäisyys lattian tasolla
a = 602 − 202 = 40 2 = 56,568... .
Pinta-ala muodostuu kahdesta puoliympyrästä
(säde a) ja suorakulmiosta. Ala on
1
2 ⋅ A1 + Asuorak. = 2 ⋅ π ⋅ a 2 + 2a ⋅ 40 cm
2
2
2
=π ⋅ 56,568... cm + 2 ⋅ 56,568... ⋅ 40 cm 2
= 14 578,5... cm 2 ≈ 14 600 cm 2 = 1, 46 m 2 .
Vastaus: Kuvion pinta-ala on 1,46 m2
99
R
R
270. Koska ympyrän ja neliön ulkopuolella olevat alat ovat yhtä suuret, ovat neliön ja
ympyrän alat yhtä suuret.
Ympyrän säde R ja neliön sivu a
a2 = π R2
: R2
a2
=π
R2
a2
a > 0, R > 0
= π
R2
a
= π
R
eli a : R = π :1
Vastaus: a : R = π :1
271. Neliön lävistäjä d koostuu neljästä ympyrän säteestä ja kahdesta sellaisen neliön
lävistäjästä, jonka sivuna on ympyrän säde 1. Pikkuneliön lävistäjän pituus on 1 ⋅ 2 = 2 .
Ison neliön lävistäjä d = 4 + 2 2
Toisaalta neliön lävistäjä d = a 2
Saadaan yhtälö
a 2 =4+2 2
2)
a=
4+2 2
2
4 2 + 2⋅2
2
a =2 2 +2
a=
Neliön ala a 2 = (2 2 + 2) 2 = 8 + 8 2 + 4 = 12 + 8 2
Vastaus: 12 + 8 2
a ⋅ h 6 cm ⋅ 3 cm
=
= 9 cm 2
2
2
a ⋅ h 6 cm ⋅ 4 cm
b) ( A =
=
= 12 cm 2 )
2
2
272. a) Pinta-ala A =
Mutta tällaista kolmiota ei ole olemassakaan!
Koska puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora, voidaan suorakulmaisen kolmion
ympäri piirtää aina ympyrä pitäen hypotenuusaa halkaisijana. Tällöin on helppo havaita,
että pisin hypotenuusaa vasten piirretty korkeus voi olla pisimmillään säteen mittainen eli
puolet hypotenuusan pituudesta.
100
n−2
⋅ 180° .
n
1
α
α
Tasakylkisen kolmion ala on ⋅ 2 ⋅ tan = tan .
2
2
2
n−2
Monikulmion ala on n ⋅ tan
⋅ 90° .
n
Yhden ympyräsektorin ala on
n−2
⋅ 180°
π n−2
n
.
⋅ π ⋅ 12 = ⋅
360°
2 n
273. Monikulmion kulma α =
FG
H
1
IJ
K
FG
H
Vastaus: Ala on n ⋅ tan
1
π n−2
n−2
⋅ 90°− ⋅
2 n
n
I
JK
α
1
IJ
K
274.
Pienempää kaarta vastaava keskuskulma on 120°.
120°
1
Sektorin ala on
⋅π ⋅ R2 = π ⋅ R2 .
360°
3
Suoran ja säteiden rajaaman kolmion ala on
1
3 2
⋅ R ⋅ R ⋅ sin 120° =
R .
2
4
Pienemmän segmentin ala on
F
GH
h
R
2a
a
120°
R
1
3 2
1
3
π ⋅ R2 −
R = R2 π −
.
3
4
3
4
Suuremman segmentin ala on π R 2 − R 2
4π 3 3
−
12 = 4π − 3 3 ≈ 0,243.
= 12
8π 3 3 8π + 3 3
1
3
+
π− π+
12 12
3
4
R2
Alojen suhde
R2
F
GH
Vastaus: Suhde on
F 1π − 3I
GH 3 4 JK
F 1 π − 3 I.
GH 3 4 JK
I
JK
A1 4π − 3 3
=
≈ 0, 243
A2 8π + 3 3
275. Neliön sivu on 2r, pikkuympyröiden väliin jäävä ala
on tällöin (2r)2 − πr2 = r2(4 − π)
Neliön lävistäjä on 2r 2 .
Ison ympyrän säde R = r +
2r 2
= r + r 2 = r (1 + 2) ja ala A = πR2
2
r
101
R
Alojen suhde on
r 2 (4 − π )
(
)
π [r 1 + 2 ]
Vastaus: Suhde on
(
4 −π
π 1+ 2
)
2
2
=
r 2 (4 − π )
(
π r2 1+ 2
)
2
=
4 −π
π (1 + 2) 2
≈ 0, 047
≈ 0, 047 .
276. Pythagoraan lauseen perusteella
1,26
2,52 2
r 2 = (2,52 − r ) 2 + (
)
2
r
r 2 = 6,3504 − 5, 04r + r 2 + 1,5876
2,52 − r
r
r = 1,575
r
1, 26
sin α =
1,575
α = 53,13...°
360° − 2α 2 1
π r + ⋅ 2,52 ⋅ (2,52 − r ) ≈ 6, 68
Asegm = Asekt + Akolmio =
360°
2
Vastaus: 6,68 cm2
277. Merkitään OP = 2a ja PA = a, jolloin isomman ympyrän säde on 3a.
Pikkuympyrän on keskipiste Q ja säde r
OQ = 3a − r
Pythagoraan lauseella kolmiosta OPQ
r 2 + (2a ) 2 = (3a − r ) 2
r 2 + 4a 2 = 9a 2 − 6ar + r 2
5a 2 5
= a
6a 6
Kolmiosta OPQ
5
a
tan α = 6
2a
5
tan α =
12
α = 22, 61...°
Sektorin keskuskulma 2α = 2 ⋅ 22, 61...° ≈ 45, 2°
B
r=
Vastaus: 45, 2°
102
3a −
O
α
2a
r
Q r
r
P a A
220°
= 110°
2
Kolmio ABO on tasasivuinen (kylkinä säteet ja huppukulma 60° ), joten
β = 110° − 60° = 50° Kolmio ACO on tasakylkinen (säteet kylkinä), joten
278. Kulmaa ABC vastaava keskuskulma on 220° , joten
α = (180° − 60° − 80° ) :2 = 20°
Kulma BAC = 60° − α = 60° − 20° = 40° ja kulma
Vastaus: Les angles du triangle ABC 40°, 110°, 30°.
11 PALLO
69 cm
≈ 10,98 cm
2π
Lasketaan pinta-ala ja tilavuus
279. Pallon säde on
A = 4π ⋅10,982 = 1515 cm 2 ≈ 1500 cm 2
V=
4 3
π r = 5547 cm3 ≈ 5500 cm3
3
Vastaus: Pinta-ala on 1 500 cm2 ja tilavuus 5 550 cm3.
280.
A = 4π r 2
A
100, 0
=
≈ 2,821
4π
4π
Vastaus: Pallon säde on 2,821 m.
r=
281. 1 000 l = 1 000 dm3
4
1 000 = π r 3
3
1000 3 3 ⋅1000
=
= 6, 20
r=
3 4
4
π
π
3
Vastaus: Pallon säde on 6,2 dm.
282.
Apallo = 4π r 2
1
⋅ 4π r 2 + π r 2 = 3π r 2
2
4π r 2 4
=
Pinta-alojen suhde:
3π r 2 3
4
Vastaus: Pinta-alojen suhde on .
3
Apuolipallo =
103
ABC =
BCA = β − α = 50° − 20° = 30°.
283.
Poikkileikkausympyrän säde r
Pythagoraan lauseella
r 2 + 10, 02 = 30, 02
r
10,0
r 2 = 800, 0
Poikkileikkausympyrän pinta-ala
A = π r 2 = π ⋅ 800, 0 ≈ 2 510
30,0
Vastaus: 2 510 cm2
284. Lasketaan kiven tilavuus ja sen jälkeen massa.
3
4 ⎛4
⎞
π⋅
dm ⎟ = 33,51 dm3
3 ⎜⎝ 2
⎠
kg
m = V ⋅ ρ = 33,51 dm ⋅ 2,8 3 = 93,8 kg
dm
V=
Vastaus: Ehkä.
285. Halkaisija 10−15 m = 10−13 cm
3
V=
⎞
4 ⎛ 1 ⋅10−13
π ⋅ ⎜⎜
cm ⎟ = 5, 235... ⋅10−40 cm3
⎟
3 ⎝ 2
⎠
ρ=
m
1, 6 ⋅10−27 kg
=
≈ 3,1 ⋅1012 kg/cm3
V 5, 235... ⋅10−40 cm3
Vastaus: Kuutiosentin massa olisi 3,1·1012 kg.
286.
4
π (43 − 3,53 ) = 88, 488...
3
g
= 88, 488... cm3 ⋅ 8,960 3 ≈ 800 g
cm
Vkuori = Vulko − Vsisä =
m = ρVkuori
Vastaus: Massa on 0,8 kg.
287.
110 m
= 55 m
2
Segmentin korkeus h = 85 m
Pallon säde r =
Pallosegmentin tilavuus
h⎞
85 m ⎞
⎛
⎛
≈ 605 280 m3 ≈ 610 000 m3
v = π h 2 ⎜ r − ⎟ = π (85 m) 2 ⎜ 55 m −
3⎠
3 ⎟⎠
⎝
⎝
Vastaus: Tilavuus on 610 000 m3.
104
288. Jos Maan säde on 6 360 km, lentoradan säde on 6 660 km.
Radan pituus on 2π · 6 660 km
Nopeus v =
km
s 2π ⋅ 6 660 km
=
≈ 28 000
90
t
h
h
60
Vastaus: Nopeus on noin 28 000 km/h.
B
289. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
6370
, josta α = 0,1243...°
cos α =
6370 + 0,015
R
α
Kaaren pituus eli matka maan pintaa
α
0,1243...
⋅ 2π r =
⋅ 2π ⋅ 6 370 km ≈ 13,8 km
pitkin b =
360°
360
Vastaus: He näkivät 13,8 km:n päähän.
290.
Mitat metreinä
Köyden etäisyys maapallon keskipisteestä alussa R
Köyden etäisyys maapallon keskipisteestä lopussa R1
Köyden pituus alussa 2π R (m)
Köyden pituus pidennyksen jälkeen 2π R + 1
Saadaan yhtälö
2π R1 = 2π R + 1
2π R + 1 2π R 1
1
=
+
= R+
2π
2π
2π
2π
1
metriä ≈ 0,16 m.
Säde kasvaa
2π
R1 =
Vastaus: Naru nousee 0,16 metriä.
291.
Vpuolipallo − Vpallo
Vpuolipallo
1 4
4
12
⋅ ⋅ π ⋅ (2r )3 − ⋅ π ⋅ r 3
π ⋅ r3
3
2
3
3
3
=
=
=
1 4
16
4
3
3
π ⋅r
⋅ ⋅ π ⋅ (2r )
2 3
3
Vastaus: Puolipallon tilavuudesta jää pallon ulkopuolelle 75 %.
105
O
R
C h
292. Suorakulmaisesta kolmiosta ratkaistaan säde Pythagoraan lauseella.
r 2 = 7,52 + (r − 4, 2) 2
8, 4r = 4, 22 + 7,52
r=
73,89
≈ 8,80
8, 4
r – 4,2
Vastaus: Säde on 8,8 cm.
r
7,5
4,2
293.
Pallon säde 100 mm
Pallosegmentin korkeus h
Kun 45°:een ympyräsektori pyörähtää toisen säteensä ympäri, syntyvän ympyräsektorin
keskuskulma on 90°.
Säteiden kehäpisteitä yhdistävä jänne on sellaisen neliön halkaisija,
jonka sivuna on ympyrän säde 100 mm. Neliön lävistäjän pituus on
100
100 2 .
45°
Piirtämällä jännettä vastaan kohtisuora säde, saadaan tasakylkinen
45°
suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusana on säde ja kylkinä
100
100 2
jänteen puolikas
= 50 2 .
2
Pallosegmentin korkeus h = r − 50 2 = 100 − 50 2
2
2
Pallosektorin tilavuus V = π r 2 h = π ⋅1002 ⋅ (100 − 50 2) ≈ 610 000
3
3
Kalotin pinta-ala A = 2π rh = 2π ⋅100 ⋅ (100 − 50 2) ≈ 18 000
Vastaus: Pallosektorin tilavuus on 610 000 mm3 ja kalotin pinta-ala 18 000 mm2.
294. a) Kyseessä on tangenttikulma.
Kulman puolikas saadaan suorakulmaisesta kolmiosta.
0,5
sin α =
, josta α ≈ 11,54° ja 2α ≈ 23,1°
2,5
b) Kaukaisimman pisteen A etäisyys katsojan
silmästä
P
saadaan Pythagoraan lauseella
2
2
2
AP = 2,5 − 0, 5
AP ≈ 2, 45
A
α
α
2,0
Vastaus: Kysytty kulma on 23,1° ja kaukaisin piste on 2,45 metrin päässä.
106
1,5
0,5
O
h
295. Yhdenmuotoisista kolmioista
seuraa, että
26, 25
1738, 2
=
x
384 400 + 1738, 2
1738, 2 x = 26, 25 ⋅ 386 138, 2
x ≈ 5810
Vastaus: Biljardipallo näyttää yhtä suurelta kuin Kuu 5 810 mm:n etäisyydellä silmästä.
296. Lasketaan 50 kilometrin kaarta vastaava
keskuskulma α.
α
360°
B
⋅ 2 ⋅ π ⋅ 6 370 = 50 , josta α ≈ 0,4497°
T
x
α
Kolmiosta OTB lasketaan hypotenuusan x pituus, josta
vähennetään Maan säde.
R
cos α =
x
R
6370 km
x=
=
≈ 6370,196 km
cos α cos 0, 4497°
O
Tornin korkeus on siten 6 370,196 km − 6 370 km = 0,196 km = 196 m
Vastaus: 196 m
297. Kysytty kulma on tangenttikulma, jonka puolikas saadaan suorakulmaisesta kolmiosta.
6370
sin α =
, josta α = 8,646... ja 2α ≈ 17° , joten maapallo näkyy 17°
6370 + 36000
P
kulmassa.
Kulma β = 90° − 8,646…° = 81,354…°
a
cos81,354...° =
6 370
a = 6 370 ⋅ cos81,354...°
αα
36 000
Satelliitista näkyvän pallokalotin korkeus
h = 6 370 − 6 370 ⋅ cos 81,354...°
Kalotin ala
2π rh = 2π ⋅ 6 370 ⋅ (6 370 − 6 370 ⋅ cos81,354...°)
Kalotin ja maapallon alojen suhde
2π ⋅ 6 370 ⋅ (6 370 − 6 370 ⋅ cos81,354...°)
≈ 0, 42 = 42 %
4π 63702
Vastaus: Kulma on 17°, Maasta voi nähdä 42 %.
107
A
6 370
β a
O
298. b) Oletetaan, että annetut etäisyydet ovat keskipisteistä keskipisteisiin.
Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan
r
1 738
=
384 400 149 600 000
r = 676 391, 2...
2r ≈ 1 350 000
Vastaus: Auringon halkaisija on 1 350 000 km.
299. Keskuskulma on 7,5 astetta ja kaari on
800 km. Lasketaan kehän pituus.
7,5°
x = 800
360°
800
x=
= 38 400
7,5°
360°
Aleksandria
7,5°
7,5°
800
Syene
Vastaus: Arvio on 38 400 kilometriä.
300. Segmentin tilavuus
1 ⎞
⎛
V = π h2 ⎜ r − h ⎟
3 ⎠
⎝
40
1 ⎞
⎛
π = π h2 ⎜ 4 − h ⎟
3
3 ⎠
⎝
40
1
= 4h 2 − h3
3
3
r=4
ehto: 0 < h < 8
:π
⋅3
h3 − 12h 2 + 40 = 0
Kokeilemalla havaitaan, että yhtälön eräs juuri on h = 2. Jaetaan polynomi
h3 − 12h 2 + 40 tekijällä h − 2
Jaetaan jakokulmassa
h 2 − 10h − 20
3
h − 2 h − 12h 2 + 40
∓ h 3 ± 2h 2
− 10h 2
±10h 2 ∓ 20h
− 20h + 40
−20h + 40
0
108
Muut juuret saadaan yhtälöstä
h 2 − 10h − 20 = 0
−(−10) ± (−10) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−20)
2 ⋅1
10 ± 180
h=
2
10 − 6 5
= −1, 708... < 0 ei käy
h1 =
2
10 + 6 5
= 11, 708... > 8 ei käy
h2 =
2
h=
Joten h = 2
Vastaus: Segmentin korkeus on 2.
301. Maan säde r ja napa-alueen kalotin korkeus h
Suorakulmaisesta kolmiosta
x
sin 66,5° = , josta x = r sin 66,5°
r
Napa-alueesta muodostuvan kalotin korkeus on h = r − x = r (1 − sin66,5°) ja alueiden ala
yhteensä Anapa = 2 ⋅ 2π rh = 4π r 2 (1 − s in 66,5°) .
Napa-alueiden ala koko maapallon alasta on
Anapa 4π r 2 (1 − sin 66,5°)
=
= 1 − sin 66,5° ≈ 0, 083 = 8,3%
Amaa
4π r 2
y
, josta pohjoiselle pallonpuoliskolle
r
muodostuvan trooppisen alueen vyöhykkeen korkeus on y = r sin 23,5° ja trooppisten
Suorakulmaisesta kolmiosta sin 23,5° =
alueiden ala yhteensä Atrop = 2 ⋅ 2π ry = 4π r 2 sin 23,5° .
Trooppisten alueiden ala koko maapallon alasta on
Atrop 4π r 2 sin 23,5°
=
= sin 23,5° ≈ 0,399 = 39,9%
Amaa
4π r 2
Vastaus: Napa-alueiden ala on 8,3 % ja trooppisten alueiden ala 39,9 % koko maapallon
alasta.
302. Maapallon (isoympyrän) säde
2π R = 40 000
20 000
R=
π
109
Suorakulmaisesta kolmiosta PCB saadaan
r = R cos 49o =
r
= cos 49o , josta
R
20 000 cos 49o
π
Paikkakuntien etäisyys leveyspiiriä pitkin on
38
38
20 000 cos 49o 38 000 cos 49o
⋅ 2π r =
⋅ 2π ⋅
=
≈ 2 770
p=
360
360
9
π
Pikkuympyrän sisältämästä kolmiosta DAB saadaan kosinilauseella
x 2 = r 2 + r 2 − 2rr cos 38o = 2r 2 (1 − cos 38o ) = 2 R 2 cos 2 49o (1 − cos 38o )
Isoympyrän sisältämästä kolmiosta PAB saadaan kosinilauseella
x 2 = R 2 + R 2 − 2 RR cos α
2 R 2 cos 2 49o (1 − cos 38o ) = 2 R 2 (1 − cos α )
cos α = 1 − cos 2 49o (1 − cos 38o )
cos α ≈ 0,9088
α ≈ 24, 666o
Paikkakuntien A ja B etäisyys isoympyrää pitkin
24, 666
24, 666
20 000
P=
⋅ 2π R =
⋅ 2π ⋅
≈ 2 740
360
360
π
Vastaus: Paikkakuntien etäisyys leveyspiiriä pitkin on 2 770 km ja lyhin etäisyys
isoympyrää pitkin 2 740 km.
303. Kehien erotus; 2πrA -2πrB = 50, josta rA − rB =
50
≈ 7,96
2π
Vastaus: Noin 8 kilometriä korkeammalla.
304. Kuvion suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
⎛ 9 ⎞ ° ⎛ 40 ⎞ °
Yksikkömuunnos 60°9 '40 '' = 60° + ⎜ ⎟ + ⎜
⎟ ≈ 60,161°
⎝ 60 ⎠ ⎝ 3 600 ⎠
sin α =
x
r
x
x
6370
x = 6370sin 29,84° ≈ 3 170 km
sin(90° − 60,161°) =
Vastaus: Etäisyys on 3 170 km.
110
α
r
60°9′40″
305. Säde r
Tasasivuisesta kolmiosta saadaan kalotin korkeus h =
1
r.
2
1
Akalotti = 2π rh = 2π ⋅ r ⋅ r = π r 2
2
2
Apallo = 4π r
Akalotti
1
π r2
=
=
2
Apallo
4
4π r
Vastaus:
h
1
4
h⎞
⎛
306. Pallosegmentin tilavuus lasketaan kaavalla V = π h 2 ⎜ r − ⎟
3⎠
⎝
Lasketaan ensin säde r Pythagoraan lauseella.
r 2 = (1, 2 − r ) 2 + 12
2, 4r = 2, 44
1,2 – r
2, 44
1
r=
=1
2, 4
60
Tilavuus on siten
r
1, 2 ⎞
2 ⎛ 1
V = π (1, 2 ) ⋅ ⎜1 −
⎟ = 0,888π ≈ 2,8
⎝ 60 3 ⎠
1
r
Vastaus: Tilavuus on 2,8 dm3.
307. a) Sama suomeksi: Lasketaan siis halkaisijaltaan 10 cm pallon tilavuus.
3
V=
4 ⎛ 10 ⎞
π
≈ 520
3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
b) A = 4π r 2 , r =
A
=
4π
20
≈ 1, 26
4π
Vastaus: a) Tilavuus on 520 cm3. b) Säde on 1,26 cm.
111
12 LIERIÖ
309. a) V = 37 ⋅ 32 ⋅ 45 mm3 ≈ 53000 mm3 = 53 cm3
b
g
A = 2 ⋅ 37 ⋅ 32 + 32 ⋅ 45 + 45 ⋅ 37 mm 2 ≈ 8 600 mm2 = 86 cm2
b g
A = 2 ⋅ π ⋅ b4,2 mg
b) V = π ⋅ 4,2 m
2
⋅ 3,4 m ≈ 190 m3
2
+ 2 ⋅ π ⋅ 4,2 m ⋅ 3,4 m ≈ 200 m2
1
⋅ 1,8 ⋅ 2,4 ⋅ 1,2 cm 3 ≈ 2,6 cm3
2
a = päätykolmion hypotenuusa
c) V =
a2 = 1,82 + 2,42
a = ± 1,8 2 + 2,4 2
1
A = 2 ⋅ ⋅ 1,8 ⋅ 2,4 + 1,8 ⋅ 1,2 + 2,4 ⋅ 1,2 + 1,2 ⋅ 1,8 2 + 2,4 2 ≈ 13 (cm2)
2
d) h = päätykolmion korkeus
h2 + 7,52 = 31,02
h = ± 31,0 2 − 7,5 2
1
⋅ 15,0 ⋅ 31,0 2 − 7,5 2 ⋅ 52,0 m 3 ≈ 11 700 m3
2
1
A = 2 ⋅ ⋅ 15,0 ⋅ 31,0 2 − 7,5 2 + 15,0 ⋅ 52,0 + 2 ⋅ 31,0 ⋅ 52,0 ≈ 4 500 (m2)
2
V =
Vastaus: a) 53 cm3, 86 cm2 b) 190 m3, 200 m2 c) 2,6 cm3, 13 cm2 d) 11 700 m3,
4 500 m2
310. V = π ·(1,25 cm)2 ·5,0 cm ≈ 25 cm3
Vastaus: Tilavuus on 25 cm3.
311.
1
⋅ π ⋅1, 202 ⋅ 3, 00 ≈ 19, 4
2
1
1
A = 2 ⋅ 3, 00 ⋅1, 75 + 2 ⋅ 2, 40 ⋅1, 75 + 2 ⋅ π ⋅1, 202 + ⋅ 2π ⋅1, 20 ⋅ 3, 00 ≈ 34, 7
2
2
Huomaa että kioskin lattian ala ja vastaava ala katonrajasta jää pois.
V = 3, 00 ⋅ 2, 40 ⋅1, 75 +
Vastaus: Tilavuus on 19,4 m3 ja pinta-ala 34,7 m2.
112
312. V = π r 2 h, josta h =
V
π r2
=
200 dm3
π ⋅ ( 2,3 dm )
2
≈ 12, 0 dm = 120 cm
Vastaus: Korkeus on 120 cm.
313. Muutetaan kaikki yksiköt metreiksi
25, 0 mm
= 12,5 mm = 0,0125 m
Ulkosäde
2
23, 0 mm
= 11,5 mm = 0,0115 m
Sisäsäde
2
Kuparin tilavuus V = ulkolieriön tilavuus − sisälieriön tilavuus
V = π ⋅ (0, 0125 m) 2 ⋅10, 0 m − π ⋅ (0, 0115 m) 2 ⋅10, 0 m
Kuparin massa m = tilavuus ⋅ tiheys
m = ⎡π ⋅ (0, 0125 m) 2 ⋅10, 0 m − π ⋅ (0, 0115 m) 2 ⋅10, 0 m ⎤ ⋅ 8960 kg/m3 ≈ 6, 76 kg
⎣
⎦
Vastaus: 6,76 kg
314. Hius oletetaan ympyrälieriöksi
Yhden hiuksen pituus 100 mm = 10 cm
0, 05
Hiuksen poikkileikkausympyrän säde
mm = 0,025 mm = 0,0025 cm
2
Yhden hiuksen tilavuus
V = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ (0, 0025 cm) 2 ⋅10, 0 cm = 0, 0001963... cm3
Hiusten kokonaistilavuus
Vkok = 150 000 ⋅ 0, 0001963... cm3 = 29, 45... cm3
Hiusten massa m = tilavuus ⋅ tiheys
m = V ⋅ ρ = 29,45... cm 3 ⋅ 1,0 g / cm 3 ≈ 30 g
Vastaus: Hiukset painavat 30 g.
365 ⋅ 5
≈ 65,18 ml , annetun astian tilavuus on
28
V =π r 2 h = π ⋅ 22 ⋅ 5 = 20π ≈ 62,83 ml .
Koska tippojen tilavuus on suurempi kuin astian tilavuus, ei mahdu.
315. Vuoden annos on
Vastaus: Ei.
113
316. Pallon säde r, ympyrälieriön pohjaympyrän säde r, ympyrälieriön korkeus 2r
Vlieriö = π r 2 h = π 2r 3
4 3
πr
3
4 3
πr
2
= 3 3 =
3
π 2r
Vpallo =
Vpallo
Vlieriö
Joten tyhjäksi jää
1
≈ 33,3 %
3
Vastaus: 33,3 %
317. Särmiön korkeus h = 20
10
3
Koska pohja on tasasivuinen kolmio, sen kaikki kulmat ovat 60°.
Pohjaneliön sivun pituus a =
Pohjan ala
1
10
Ap = ab sin γ
a = b = , γ = 60°
2
3
1 10 10
25 3
Ap = ⋅ ⋅ ⋅ sin 60° =
2 3 3
9
Särmiön tilavuus
25 3
500 3
v = Ap ⋅ h =
⋅ 20 =
≈ 96
9
9
Vastaus: Särmiön tilavuus on 96.
318. Sivuseinien pinta-ala on 2 ⋅12 ⋅ 7,5 = 180 (m2).
Päätyjen pinta-ala saadaan kolmion ja suorakulmion alan summana seuraavasti:
⎛1
⎞
2 ⋅ ⎜ ⋅ 9 ⋅1,5 ⎟ + 2 ⋅ 9 ⋅ 7,5 = 148,5 (m2)
2
⎝
⎠
Katto muodostuu kahdesta lappeesta, jotka ovat suorakulmioita. Lappeen toinen sivu on
talon pitkän sivun mittainen ja toinen saadaan päätykolmion puolikkaan hypotenuusana c.
c 2 = 4,52 + 1,52
c = ± 4,52 + 1,52
c>0
c = 4,743... (m)
Katon pinta-ala on 2 ⋅ 4, 743... ⋅12 = 113,841... (m 2 )
Talon ulkoseinien ja katon pinta-ala on yhteensä
180 + 148,5 + 113,841 ≈ 440 (m2)
Vastaus: Ulkopinta-ala on 440 m2.
114
3 cm ⋅ 4 cm
= 6 cm 2
2
Särmiön tilavuus V = AP h = 6 cm 2 ⋅ 4 cm = 24 cm3
Vaipan alan AV laskemiseksi lasketaan ensin pohjakolmion hypotenuusa c Pythagoraan
lauseella.
319. Pohjakolmion ala AP =
c = 32 + 42 = 5 (cm)
Pohjakolmion piiri 3 cm + 4 cm + 5 cm = 12 cm
Vaipan ala AV = 12 cm ⋅ 4 cm = 48 cm2
Kokonaisala
2
2
2
A = 2 ⋅ AP + AV = 2 ⋅ 6 cm + 48 cm = 60 cm
Vastaus: Tilavuus on 24 cm3 ja ala on 60 cm2.
320. Veden pinta laskee saman verran kuin sellaisen särmiön korkeus, jonka pohja on
altaan pohjan suuruinen ja tilavuus pois pumpatun veden suuruinen.
Veden korkeus = h (m)
3
Poistettu vesi: 1 000 000 l = 1 000 000 dm = 1 000 m
50, 0 ⋅ 35, 0 ⋅ h = 1000
1000
h=
≈ 0,57
50, 0 ⋅ 35, 0
3
Vastaus: Vedenpinta alenee 0,57 metriä.
321. Lasketaan ensin särmän x pituus, sitten tilavuus.
A = 6 x 2 = 54
x=
54
=3
6
V = 33 = 27
Vastaus: Tilavuus on 27 m3.
322. Särmän pitäisi olla 1 dm pituinen. Nyt se on 1 dm + 0,015 dm = 1,015 dm, joten
kuution tilavuudeksi tulee
1,0153
Kuutioiden tilavuuksien suhde
≈ 1,046 = 104,6 % eli 4,6 % suurempi
1,0 3
Vastaus: 4,6 % suurempi
323. Vaijeri on särmiön avaruuslävistäjä d
d=
2
2
2
25 + 15 + 4, 0 ≈ 29, 43
Vastaus: 29 m
115
324. Ojan syvyys h
h 2 + 0,52 = 1,52
h = ± 1,52 − 0,52 = 2
x
h>0
α
r
60°9′40″
Ojan poikkileikkauksen ala
3, 0 m + 2, 0 m
A=
⋅ 2 m = 3,535... m 2
2
Yhdessä sekunnissa kulkevan veden tilavuus
Vsek = A ⋅ 0,25 m = 3,535… m2 ⋅ 0,25 m = 0,883… m3
Tunnissa kulkevan veden tilavuus:
Vh = 3600 ⋅ Vsek = 3600 ⋅ 0,883... m3 ≈ 3200 m3
Vastaus: Vettä virtaa 3 200 m3.
325. Mallin korkeus h1
Mallin tilavuus V
V = Ah1
50 cm 3
V
= 0,5 cm
h1 = =
A 100 cm 2
Vastinpituuksien suhde = mittakaava
Korkeus luonnossa h2
0,5
1
=
h2 100
h2 = 50 cm
Vastaus: 50 cm
326. Särmiön leveys ja korkeus on yhtä suuri kuin pallon halkaisija 20 cm. Särmiön pituus
on kahden pallon halkaisijan mittainen eli 40 cm.
Särmiön tilavuus 40 cm ⋅ 20 cm ⋅ 20 cm = 16 000 cm3
4
Kahden pallon tilavuus 2 ⋅ ⋅ π ⋅ (10 cm)3
3
4
3
Tyhjää tilaa: 16 000 cm − 2 ⋅ ⋅ π ⋅ (10 cm)3 = 7 622, 41... cm3 ≈ 7 600 cm3
3
4
2 ⋅ ⋅ π ⋅ (10 cm)3
3
≈ 0,5235 ≈ 52 %
Pallojen tilavuuden suhde särmiön tilavuuteen
16 000 cm3
Vastaus: Laatikkoon jää tyhjää tilaa 7 600 cm3. Pallot ovat 52 %.
116
327. Käytetään Pythagoraan lausetta kaksi kertaa. Lävistäjä vaaka- tai pystytasossa on
22 + 22 = 2 2
Avaruuslävistäjä on
(2 2 )
2
+ 22 = 2 3
Vastaus: Avaruuslävistäjä on 2 3 m ≈ 3,46 m.
328. Särmiön tilavuus V = 2 x ⋅ 5x ⋅ 3x = 30 x 3
V = 30 x3
V = 1 l = 1 000 cm3
30 x3 = 1000
1000
= 3, 218...
30
2 x ≈ 6,4 (cm)
5x ≈ 16 (cm)
3x ≈ 9,7 (cm)
x=
3
Vastaus: V = 30x3 ja särmien pituudet ovat 6,4 cm, 9,7 cm, 16 cm.
329. r = lieriön pohjan säde, jolloin kuution särmä ja lieriön korkeus on 2r
Vlieriö πr 2 ⋅ 2r 2 ⋅ π ⋅ r 3 π
=
=
= ≈ 0,785 = 78,5%
3
Vkuutio
4
8⋅r3
2r
b g
Vastaus: 78,5 %
330. Kuution särmä a
Ympyrälieriön pohjan säde r
Koska tilavuudet ovat yhtä suuret, saadaan yhtälö
a3 = π r 2 a
a3 − π r 2 a = 0
a(a 2 − π r 2 ) = 0
a = 0 tai a 2 − π r 2 = 0
a2 = π r 2
a=r π
Kuution pinta-ala 6a2 = 6π r 2
Ympyrälieriön ala 2π r ⋅ a + 2π r 2 = 2π r ⋅ r π + 2π r 2 = 2π r 2 ( π + 1)
Alojen suhde
Vastaus:
Akuutio
6π r 2
3
=
=
≈ 1, 082
2
Alieriö 2π r ( π + 1)
π +1
Akuutio
3
=
≈ 1, 082
Alieriö
π +1
117
331. a) Pohjaneliön lävistäjä c saadaan Pythagoraan lauseella
c = a 2 + a 2 = 2a 2 = a 2
Varjostetun suorakulmion ala A = a a 2 + a 2 = a 2 2
b) Varjostetun kolmion kaikki sivut ovat sivutahkoneliöiden lävistäjiä, joten kyseessä on
tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on a 2 ja pinta-ala
A=
(a 2 )2 3 a 2 ⋅ 2 3 a 2 3
=
=
4
4
2
c) Varjostetun nelikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät, joten kyseessä on neljäkäs.
Neljäkkään lävistäjinä ovat kuution avaruuslävistäjä BD sekä poikkileikkausneliön lävistäjä
AC.
BD = a 2 + a 2 + a 2 = a 3
AC = a 2
Neljäkkään ala A =
1
1
a2 6
⋅ BD ⋅ AC = ⋅ a 3 ⋅ a 2 =
2
2
2
Vastaus: a) a 2 2 b)
a2 3
a2 6
c)
2
2
332. Kuution avaruuslävistäjä d on pallon halkaisija 2r.
d = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 = a 3
a 3 = 2r
a=
2r
3
Tilavuuksien suhde
3
⎛ 2r ⎞
⎜
⎟
VK ⎝ 3 ⎠
=
=
4 3
VP
πr
3
⎛ 8 ⎞ 3
⎜
⎟r
8⋅3
2
⎝3 3⎠ =
=
≈ 0,368
4 3
4 ⋅π ⋅ 3 3 π 3
πr
3
Vastaus: Tilavuuksien suhde on
2
π 3
≈ 0,368 .
118
333. Juustokuvun säde R saadaan Pythagoraan lauseella suorakulmaisesta kolmiosta, joka
muodostuu oheiseen poikkileikkauskuvioon. Kolmion toisena kateettina on juustolieriön
10, 0
korkeus 10,0 cm ja toisena juuston pohjaympyrän säde
cm = 5,0 cm.
2
R 2 = 10 2 + 52
R = ± 125
R>0
R
R ≈ 11,2 (cm)
10
Vastaus: 11,2 cm
5
334. Pinta-alaltaan 1 mm2:n kokoinen osa kolikkoa painaa
1) Painosta pitää pudottaa 0,8 g ja sitä vastaava pinta-ala:
0,8
= 89,36... (mm2)
0,008952...
Poistettavan ympyrälieriön säde r
π ⋅ r 2 = 89,36...
r 2 = 28,44...
r ≈ 5,3 (mm)
2) Painosta pudotetaan 1,3 g:
1,3
= 145,2... (mm2)
0,008952...
Poistettavan ympyrälieriön säde r
π ⋅ r 2 = 145,2...
r 2 = 46,22...
r ≈ 6,8 (mm)
Vastaus: 5,3 mm ja 6,8 mm
335. Ympyrälieriön pohjan säde r
Ympyrälieriön korkeus h = 2r
Ympyrälieriön vaipan ala A
A = 2π rh
A = 314 cm 2 , h = 2r
2π r ⋅ 2r = 314
314
r2 =
4π
r 2 = 24,987...
r ≈ 5, 00
h = 2r = 10, 0
119
1,8
π ⋅ 82
= 0,008952... (g)
Lieriön tilavuus V = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ 24,987...⋅10,0 ≈ 785 (cm3 )
Vastaus: Lieriön tilavuus on 785 cm3.
336. Kuution särmä s
Kuution avaruuslävistäjä d = s 2 + s 2 + s 2 = 3s 2
d = 3s 2
d = 24
3 ⋅ s = 24
s=
: 3
24
3
3
⎛ 24 ⎞
3
Kuution tilavuus V = s = ⎜
⎟ ≈ 2 660 (cm )
⎝ 3⎠
3
Vastaus: 2660 cm3
337.
Lävistäjät puolittavat toisensa
Lävistäjän pituus
s 2 + s 2 + s 2 = 3s 2 = 3 ⋅ s
Ja lävistäjän puolikas
3⋅s
2
Kysytty kulma on 2α .
Piirretään lävistäjien leikkauspisteestä kolmion korkeusjana. Korkeusjana puolittaa kuution
särmän ja muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on lävistäjän puolikas ja
kulmaa α vastapäätä oleva kateetti on särmän puolikas.
1
s
1a
1
sin α = 2
=
2
1
3
3⋅s
2
α = 35, 264...°
a 3
1α
2α ≈ 70,5°
2
2
Vastaus: Kulma on 70,5 ° .
338. Kun tölkin vaippa keritään auki, saadaan oheinen kuvio, jossa kysytty viiva on
suorakulmaisen kolmion hypotenuusa.
Kateettien pituudet ovat samat kuin tölkin korkeus ja pohjaympyrän kehän pituus.
Pohjaympyrän kehän pituus on p = 2 ⋅ π ⋅ 3,15 cm.
120
Pythagoraan lauseen perusteella saadaan yhtälö
x 2 = 162 + ( 2 ⋅ π ⋅ 3,15 )
2
x = ± 162 + ( 2 ⋅ π ⋅ 3,15 )
2
r>0
x
x = 25, 4504...
x ≈ 25
Vastaus: Viivan lyhin pituus on 25 cm.
3,15 cm
h = 16 cm
2π · 3,15
339. Lieriön pohjaympyrän säde r ja lieriön korkeus h = r + 3
Lieriön ala
Akok = 2π r 2 + 2π r (r + 3) = 2π r 2 + 2π r 2 + 6π r = 2π (2r 2 + 3r ) = 4π r 2 + 6π r
Saadaan toisen asteen yhtälö
4π r 2 + 6π r = 24π
2r 2 + 3r − 12 = 0
r=
−3 ± 32 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −12 )
2⋅2
−3 + 105
r=
4
Koska h = r + 3, saadaan korkeudeksi h =
Vastaus: Korkeus on
−3 + 105 12 9 + 105
+ =
≈ 4,8
4
4
4
9 + 105
≈ 4,8 .
4
340. Särmiön tilavuus
x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 3) = 240
x3 + 4 x 2 + 3x − 240 = 0
Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on x = 5, joten polynomin tekijänä on x − 5.
Jaetaan jakokulmassa
x 2 + 9 x + 48
3
x − 5 x + 4 x 2 + 3 x − 240
∓ x3 ± 5 x 2
9 x 2 + 3x
∓9 x 2 ± 45 x
48 x − 240
∓48 x ± 240
0
121
Muut juuret saadaan yhtälöstä
x 2 + 9 x + 48 = 0
−9 ± 92 − 4 ⋅1 ⋅ 48
2 ⋅1
−9 ± −111
x=
2
ei reaalijuuria
Joten ainoa juuri on 5.
x=
Vastaus: x = 5 dm
341. Pohjaympyrän säde r
Lieriön tilavuus 5,0 l = 5 000 cm3
π r 2 ⋅ 22 = 5000
r=
r=
r=
5000
22π
2500
11π
50
11π
Kysytty halkaisija on 2r =
Vastaus: Halkaisija on
100
11π
100
11π
≈ 17
cm ≈ 17 cm.
342. Olkoon pikkukuution särmä x cm.
Alkuperäisen kuution tilavuus 1, 0 l = 1 000 cm3
Pikkukuutioiden kokonaistilavuus
64 x 3 = 1000
x=
3
1000
= 2,5
64
Vastaus: 2,5 cm
343. Huoneessa oleva putken osa on vino ympyrälieriö,
jonka poikkileikkauksen säde on 5 cm. Jos putken alapäästä poistetaan pala A
ja siirretään se putken yläpäähän, saadaan suora
ympyrälieriö,
300 cm
≈ 319 cm
jonka korkeus on
sin70°
3,0 m
122
A
10 cm
Tilavuus on π ⋅ (5, 0 cm) 2 ⋅
300 cm
≈ 25074 cm3 ≈ 25 dm3
sin 70°
Vastaus: 25 dm3
344. Ulkopuolisen maalikerroksen tilavuus
V1 = 50π ⋅ 5, 012 − 50π ⋅ 52 = 50π ⋅ 0,1001
Sisäpuolisen maalikerroksen tilavuus
V2 = 50π ⋅ 4,952 − 50π ⋅ 4,942 = 50π ⋅ 0, 0989
Tilavuuksien suhde
V1 50π ⋅ 0,1001
=
≈ 1,012
V2 50π ⋅ 0,0989
Vastaus: 1,2 % enemmän
345. Tarkastellaan yhden puun päädyn alaa ja sen ympärillä olevan neliön alaa.
Ympyrän ala Aympyrä = π r 2 ja neliön Aneliö = ( 2r ) = 4r 2
2
Puut ovat suoran ympyrälieriön muotoisia ja yhden puun
r
tilavuus on π r 2 ⋅1 = π r 2 .
Puu voidaan ajatella olevan suorakulmaisen särmiön sisällä.
Särmiön pohjana neliö 4r2 ja pituutena 1m, jolloin särmiön
tilavuus on 4r2 ⋅ 1 = 4r2.
Puita on pinossa n kappaletta, jolloin puiden ja särmiöiden tilavuuksien suhde on
n ⋅π r 2 π
= .
n ⋅ 4r 2 4
Tilavuuksien suhde on sama
π
4
riippumatta puiden määrästä.
Pinon kokonaistilavuus on 1 m3, joten puiden tilavuus on
Vastaus: Puiden tilavuus on
π
4
m3 ≈ 0, 785 m3 .
123
π
4
m3 ≈ 0, 785 m3 .
346. Pallon säde 1 dm
Lieriön pohjaympyrän säde r ja lieriön korkeus h
Pallon ja ympyrälieriön vaipan ala ja tilavuudet ovat yhtä suuret.
Alieriö = Apallo
2π rh = 4π ⋅12
rh = 2
Vlieriö = Vpallo
4
3
4
r 2h =
3
Saadaan yhtälöpari
2
⎧
⎪⎪rh = 2 eli h = r sijoitetaan alempaan
⎨
⎪r 2 h = 4
⎪⎩
3
2 4
r2 ⋅ =
r 3
2
r=
3
π r 2 h = π ⋅13
Lasketaan h
2
2
h = = 2: = 3
3
r
2
2
8
⎛2⎞
Kysytty kokonaisala on Akok = 2π r + 2π rh = 2π ⎜ ⎟ + 2π ⋅ ⋅ 3 = 4 π ≈ 15, 4
3
3
9
⎝ ⎠
8
Vastaus: Lieriön koko pinta-ala on 4 π dm 2 ≈ 15, 4 dm 2 .
9
347. Jos pallon säde on r, on sylinterin muotoisen rasian pohjaympyrän säteen oltava r ja
korkeuden h = 2r.
Pallon tilavuus
4 3
π r = 14,13
3
3 ⋅14,13
r=3
4π
2
Kysytty ala on
2
⎛ 3 ⋅14,13 ⎞
⎛ 3 ⋅14,13 ⎞ ⎛ 3 ⋅14,13 ⎞
Asylinteri = π r 2 + 2π rh = π ⋅ ⎜⎜ 3
⎟⎟ + 2π ⋅ ⎜⎜ 3
⎟⋅ 2⋅⎜ 3
⎟ ≈ 35,3
4π ⎠
4π ⎟⎠ ⎜⎝
4π ⎟⎠
⎝
⎝
Vastaus: Peltiä tarvitaan 35,3 dm3.
124
348. Tukin säde
d
2
Mädän sisusosan säde
d1
2
d − d1 2
1
) ⋅ h = π h(d − d1 ) 2
2
4
Myyjän luovuttaman terveen puumäärän tilavuus
d
d
1
V2 = π ⋅ ( ) 2 ⋅ h − π ⋅ ( 1 ) 2 ⋅ h = π h(d 2 − d12 )
2
2
4
1
π h(d − d1 ) 2
V1
(d − d1 ) 2
d − d1
4
Tilavuuksien suhde
=
=
=
<1
V2 1 π h(d 2 − d 2 ) (d − d1 )(d + d1 ) d + d1
1
4
Myyjälle maksettu tilavuus V1 = π ⋅ (
Koska tilavuuksien suhde on pienempi kuin yksi, myyjä saa korvauksen todellista
pienemmästä tilavuudesta eli myyjä häviää kaupassa.
Häviö prosentteina
d − d1
d + d1 d − d1
d + d1 − d + d1
200d1
(1 −
) ⋅100 % = (
−
) ⋅100 % =
⋅100 % =
%
d + d1
d + d1 d + d1
d + d1
d + d1
Vastaus: Myyjä häviää
200d1
%.
d + d1
349. Venttiilin poikkipinta-ala on π ·(4 cm)2 = 16π cm2. Sekunnissa ulos virtaavan ilman
tilavuus V = 16π cm2 · 140 cm ≈ 7037 cm3 = 7,037 dm3.
Kymmenessä minuutissa virtaavan ilman tilavuus on siten
7,037 dm3/s · 600 s ≈ 4200 dm3 = 4,2 m3.
Vastaus: 4,2 m3
350. Lieriön pohjaympyrän säde x
Pallon säde r = 43,5 cm
Lieriön korkeus 60 cm
Pythagoraan lauseella: x = 43,52 − 302 = 31,5
r
30
x
Tilavuuksien suhde
Vlieriö π ⋅ 31,52 ⋅ 60
59 535
=
=
≈ 54, 2 %
4
Vpallo
π ⋅ 43,53 109 750,5
3
Vastaus: Tilavuuksien suhde on 54,2 %.
125
351. Astian korkeus h, pohjan halkaisija d ja pohjan säde r
Korkeuden ja pohjan halkaisijan suhde
h 3
=
d 2
h = 1,5d
h = 3r
Tilavuus 1 l = 1 000 cm3
V = 1000
π r 2 h = 1000
π r 2 ⋅ 3r = 1000
3π r 3 = 1000
1000
3π
Astiaan tarvittavan pellin määrä
r=
3
2
⎛ 1 000 ⎞
A = π r + 2π rh = π r + 2π r ⋅ 3r = 7π ⋅ ⎜⎜ 3
⎟⎟ ≈ 493
⎝ 3π ⎠
2
2
Vastaus: 493 cm2
352. Suorakaiteen pyörähtäessä sivun a ympäri, muodostuu suora ympyrälieriö, jonka
korkeus on a ja pohjaympyrän säde b ja kokonaispinta-ala 2πb2 + 2πba.
Sivun b ympäri pyörähtäessään muodostuu suora ympyrälieriö, jonka korkeus on b ja
pohjaympyrän säde a ja kokonaispinta-ala 2πa2 +2πba.
Ensimmäisen pinta-ala on n-kertainen jälkimmäisen alaan verrattuna.
n(2π a 2 + 2π ab) = 2π b 2 + 2π ba
n2π a 2 + n2π ab = 2π b 2 + 2π ba
na + nab = b + ba
2
2
: (2π )
: b2
a2
ab b 2 ba
+ n⋅ 2 = 2 + 2
2
b
b
b
b
2
a
a a
n ⋅ 2 + n ⋅ − −1 = 0
b
b
b
2
a
a
n ⋅ 2 + (n − 1) ⋅ − 1 = 0
b
b
a
Sijoitetaan x =
b
n⋅
126
n ⋅ x 2 + (n − 1) ⋅ x − 1 = 0
x=
−(n − 1) ± (n − 1) 2 − 4n(−1)
2n
x=
− n + 1 ± n 2 + 2n + 1
2n
−n + 1 ± (n + 1) 2
(n + 1) > 0
2n
a
−n + 1 − (n + 1) −2n
x1 =
=
= −1
ei käy > 0
b
2n
2n
−n + 1 + (n + 1) 2 1
x2 =
=
=
2n
2n n
x=
Joten
a 1
=
b n
Vastaus: a : b = 1 : n
353. Lieriön pohja on tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on x
x 3
Tasasivuisen pohjakolmion korkeus BD =
2
Kolmiosta BDE saadaan
BD
cos 30° =
DE
3 BD
=
DE
2
DE 3
BD =
2
E
C
Saadaan yhtälö
DE 3 x 3
=
2
2
DE = x
Leikkauskuvion pinta-ala
1
⋅ AC ⋅ DE = 8
2
1 2
x =8
2
x=4
Tasasivuisen pohjakolmion ala A =
B
30°
D
x
A
x 2 3 16 3
=
=4 3
4
4
Lieriön korkeus h = BE
127
BE
DE
1
BE = DE
2
BE = 2
sin 30° =
Lieriön tilavuus
V = Ah = 4 3 ⋅ 2 = 8 3 ≈ 13,9
Vastaus: Tilavuus on 8 3 dm3 ≈ 13,9 dm3 .
354. Pallon ja ympyrälieriön pohjan säde r, lieriön korkeus h
Tilavuudet ovat yhtä suuret
Vsylinteri = π r 2 h
4
Vpallo = π r 3
3
4
2
π r h = π r3
3
4
r 2h = r3
3
4 3
r
4
h= 32 = r
r
3
Vastaus: Korkeus on
4
r.
3
13 KARTIO
355. a) Kartion korkeus x
x 2 = 182 − 6,02
x = 288 ≈ 17,0 (cm)
1
1
2
Kartion tilavuus V = π r 2 h = π ⋅ ( 6, 0 cm ) ⋅ 288 cm ≈ 640 cm3
3
3
Kartion kokonaisala
A = Apohja + Avaippa = π r 2 + π rs = π ⋅ ( 6, 0 cm ) + π ⋅ 6, 0 cm ⋅18,0 cm ≈ 450 cm 2
2
128
b) Kartion sivujana x
2
2
x = 180 + 40
2
x = 34 000 ≈ 184 (cm)
2
1
1
⎛ 80,0
⎞
3
3
cm ⎟ ⋅ 180 cm = 301592,89...cm ≈ 302 dm
Kartion tilavuus V = π r 2 h = ⋅ π ⋅ ⎜
3
3
⎝ 2
⎠
Kartion kokonaisala
A = Apohja + Avaippa
= π r 2 + π rs = π ⋅ ( 40, 0 cm ) + π ⋅ 40, 0 cm ⋅ 34 000 cm= 28 197,79... cm 2 ≈ 2, 8 m 2
2
c) Kartion korkeus x
x
sin 56° =
22,0
x = 22, 0 ⋅ sin 56° = 18, 238... ≈ 18, 2 (mm)
Kartion pohjan säde r
r
cos 56° =
22, 0
r = 22, 0 ⋅ cos 56° = 12,302... (mm)
1
1
2
Kartion tilavuus V = π r 2 h = ⋅ π ⋅ (12,302... mm ) ⋅ 18, 238...mm = 2 890,52... mm3 ≈ 2,89 cm3
3
3
Kartion kokonaisala
A = Apohja + Avaippa
= π r 2 + π rs = π ⋅ (12,302... mm ) + π ⋅12, 302... mm ⋅ 22, 0 mm = 1 325,69... mm 2 ≈ 13, 3 cm 2
2
Vastaus: a) 17,0 cm, 640 cm3, 450 cm2
c) 18,2 mm, 2,89 cm3, 13,3 cm2
b) 184 cm, 302 dm3, 2,8 m2
356. Pienemmän kodan sivujana x (cm)
2
⎛ 3, 0 ⎞
2
x2 = ⎜
⎟ + 4, 0
2
⎝
⎠
x = 18, 25
Pienemmän kodan vaipan ala A1 = π rs = π ⋅ 1, 5 m ⋅ 18,25 m = 20,131... m 2
Suuremman kodan sivujana y (cm)
2
⎛ 4,5 ⎞
2
y2 = ⎜
⎟ + 4, 0
⎝ 2 ⎠
y=
21, 0625
Suuremman kodan vaipan ala A2 = π rs = π ⋅ 2, 25 m ⋅ 21,0625 m = 32,44... m 2
129
32, 44... m 2
= 1, 6114... = 161,14...%
20,131... m 2
161,14…% − 100 % ≈ 61 %
Alojen suhde
Vastaus: 61 % enemmän
357. Muutetaan annetun kulman yksikkö
⎛ 40 ⎞ °
23°40´ = 23° + ⎜ ⎟ ≈ 23,67°
⎝ 60 ⎠
r
tan 23, 67° =
6, 4
r = 6, 4 tan 23, 67°
6, 4
cos 23, 67° =
s
6, 4
s=
cos 23, 67°
23°40’
6,4
r
6, 4
≈ 62
A = π rs = π ⋅ 6, 4 tan 23, 67° ⋅
cos 23, 67°
Vastaus: Katon pinta-ala on 62 m2.
358. Keskuskulman suuruus saadaan laskemalla kulmaa vastaavan kaaren b pituuden suhde
ympyrän kehän p pituuteen.
Kaaren pituus on sama kuin kartion pohjaympyrän kehän pituus ja koko ympyrän kehän
pituus on sen ympyrän kehän pituus, jonka säteenä on kartion sivujana s.
s2 = 60,02 + 20,02
s = 4 000
40, 0
cm = 40,0π cm
2
Koko ympyrän kehän pituus p = 2π s = 2π 4 000 cm
Kaaren pituus b = 2π r = 2π ⋅
Keskuskulma α =
40, 0π cm
2π ⋅ 4 000 cm
⋅ 360° = 113,84...° ≈ 114°
Vastaus: Keskuskulman suuruus on 114 ° .
359. a) Kartion poikkileikkauskuvio on tasakylkinen kolmio, jonka puolikas on
suorakulmainen kolmio. Kolmion korkeus on kartion korkeus 7,0 dm ja kanta on kartion
pohjaympyrän säde
27 dm
= 13,5 dm
2
130
Kaltevuuskulma α
7
tan α =
13,5
α ≈ 27°
b) Poikkileikkauskuvio on tasakylkinen kolmio, jonka kantakulmat ovat 45° . Kolmion
puolikas on myös tasakylkinen kolmio, jonka kylkinä ovat kartion korkeusjana ja
pohjaympyrän säde r. Tasakylkisen kolmion kyljet ovat yhtä pitkät, joten h = r.
Saadaan yhtälö
V = 15
1 2
π r h = 15
3
1 3
π h = 15
3
3 ⋅15
≈ 2, 43
h=3
π
Vastaus: a) 27° b) 2,43 m
360. Lasketaan pohjan piiristä säde
p 18,8
r=
=
≈ 2,99 cm
2π
2π
Korkeus Pythagoraan lauseella
h = 9, 02 − 2,992 ≈ 8, 49 cm
Tilavuus on siten
1
V = π ⋅ 2,992 ⋅ 8, 49 ≈ 80
3
Vastaus: Tilavuus on 80 cm3.
361. Kartion vaipan ala on yhtä suuri kuin puoliympyrän ala A.
1
A = π ⋅ (1, 0 dm)2 ≈ 1, 6 dm 2
2
Kartion pohjaympyrän kehän pituus on yhtä suuri kuin puoliympyrän kaaren pituus.
Pohjaympyrän säde r
1
2π r = ⋅ 2 ⋅ π ⋅1, 0 : ( 2π )
2
1
(dm)
r=
2
Kartion korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella.
h 2 = 12 − 0,52
h = ± 0,75 = 0,866... (dm)
131
Kartion tilavuus
1
V = ⋅ π ⋅ 0,52 ⋅ 0,866... ≈ 0,23 (dm 3 )
3
Vastaus: Vaipan ala on1,6 dm2 ja tilavuus 0,23 dm3.
7,2
362. Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan verranto:
h
4,0
=
h + 8,0 7,2
7,2h = 4,0h + 32,0
3,2h = 32,0 : 3,2
8,0
4,0
h = 10,0 (cm)
Katkaistun ympyräkartion tilavuus saadaan kahden
kartion tilavuuksien erotuksena
1
1
V = π ⋅ 3,62 ⋅ 18 − π ⋅ 2,02 ⋅ 10 ≈ 200 (cm3)
3
3
h
Vastaus: 2,0 dl
363.
Tuutti ja tuutista leikattu alaosa ovat yhdenmuotoiset ja alaosan tilavuus V1 tulee olla puolet
koko tuutin tilavuudesta V2, joten
V1 ⎛ h1 ⎞
=⎜ ⎟
V2 ⎝ h2 ⎠
1 ⎛h⎞
=⎜ ⎟
2 ⎝ 15 ⎠
1 h3
=
2 153
h=
3
3
15
h
3
3
15
≈ 12
2
Vastaus: 12 cm kohdalta kärjestä lukien.
364.
Kartion pohjaympyrän säde R ja korkeus h
Yhdenmuotoisissa kolmioissa yhdenmuotoisuussuhde on 1:3,
jolloin pikkukartion säde (myös lieriön pohjaympyrän säde) on
1
R ja pikkukartion korkeus
3
1
on h .
3
132
r
h
R
1
2
Ympyrälieriön korkeus on h − h = h .
3
3
2
⎛1 ⎞ 2
V
Tilavuuksien suhde lieriö =
Vkartio
π ⎜ R⎟ h
⎝3 ⎠ 3
1
π R2 h
3
Vastaus: Tilavuuksien suhde on
2
2
27
=
=
1
9
3
2
9
365.
Vaipan ala A1 = π rs ja pohjan ala A2 = π r 2
A1 = 3 A2
α
π rs = 3π r 2
s = 3r
r
sin α =
3r
1
sin α =
3
α ≈ 19,5°
s = 3r
r
Vastaus: 19,5°
366. Kokonaisala
A = 120
π r 2 + π rs = 120, 0
π (r 2 + 9, 2r ) = 120
r 2 + 9, 2r −
120
π
s = 9, 2
:π
=0
⎛ 120 ⎞
−9, 2 ± 9, 22 − 4 ⋅1 ⋅ ⎜ −
⎟
⎝ π ⎠
r=
2 ⋅1
480
−9, 2 − 84, 64 +
π < 0 ei käy
r1 =
2
480
−9, 2 + 84, 64 +
π
r2 =
2
133
−9, 2 + 84, 64 +
Halkaisija 2r = 2 ⋅
2
480
π ≈ 6, 2
Vastaus: Halkaisija on 6,2 metriä
367.
a) x 2 = 134 2 + 57,52
x = ± 21262,55 ≈ 146 (m)
1
2
⋅ (115 m ) ⋅134 m ≈ 591 000 m3
3
1
2
A = Apohja + Avaippa = (115 m ) + 4 ⋅ ⋅115 m ⋅ 212 262,55 m ≈ 46800 m 2
2
V=
b) tan x =
14,0
2,8
x ≈ 79°
1
2
V = ⋅ ( 5, 6 m ) ⋅14, 0 m ≈ 150 m3
3
Sivutahkokolmion korkeus on sellaisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, jonka
5, 6 m
= 2,8 m ja pyramidin korkeusjana 14,0 m.
kateetteina ovat pohjaneliön puolikas
2
1
2
A = Apohja + Avaippa = ( 5, 6 m ) + 4 ⋅ ⋅ 5, 6 m ⋅ 14,02 + 2,82 m ≈ 190 m 2
2
c) Pyramidin korkeusjana saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, jonka hypotenuusa on
c
sivujana 2,4 cm ja kateetteina korkeusjana x ja pohjaneliön lävistäjän puolikas .
2
c =pohjaneliön lävistäjä
c 2 = 1,52 + 1,52
c = ± 4,5
2
x = 2,4
2
F
−G
H
4,5
2
I
JK
2
x = ± 4,635 ≈ 2,2 (cm)
1
2
V = ⋅ (1,5 cm ) ⋅ 4, 635 cm ≈ 1, 6 cm3
3
Sivutahkokolmion korkeus on sellaisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, jonka
1,5 cm
= 0, 75 cm ja pyramidin korkeusjana 4, 635
kateetteina ovat pohjaneliön puolikas
2
cm.
134
2
1
2
A = Apohja + Avaippa = (1,5 cm ) + 4 ⋅ ⋅1,5 cm ⋅ 0,752 + 4, 635 cm ≈ 9,1 cm 2
2
Vastaus: a) 146 m, 591 000 m3 ja 46 800 m2
c) 2,2 cm, 1,6 cm3 ja 9,1 cm2
b) 79°, 150 m3 ja 190 m2
368.
⎛ 195 ⎞
x 2 = 622 + ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
x ≈ 116 m
2
62
97,5
α ≈ 32°
tan α =
Vastaus: 116 m ja 32°
369. Sivutahkokolmion korkeus x
x 2 + 2, 7 2 = 5, 22
x = 19, 75
Pyramidin vaipan ala
1
A = 4 ⋅ ⋅ 5, 4 ⋅ 19, 75 ≈ 48
2
Vastaus: Katon pinta-ala on 48 m2.
370. Pohjaneliön sivu a
Pohjaneliön lävistäjän puolikas b on sellaisen suorakulmaisen kolmion kateetti, jonka
hypotenuusana on sivusärmä 4,0 m ja toisena kateettina on pyramidin korkeus 2,0 m.
b 2 = 4,02 − 2,02
b = ± 12
Pohjaneliön sivu on sellaisen suorakulmaisen kolmion kateetti, jonka hypotenuusana on
pohjaneliön lävistäjä b.
b2bg = a + a
e2 12 j = 2a
2
2
2
2
2
4 ⋅ 12 = 2a 2
a = ± 24
a ≈ 4,9 (m)
2
1
V=
24 ⋅ 2,0 = 16 (m3)
3
Vastaus: 4,9 m ja 16 m3
135
371. Pohjan ala on 100 m2, jolloin vaipan ala on 360 m2 − 100 m2 = 260 m2. Yhden
260 2
sivutahkokolmion ala on
m = 65m2.
4
Sivutahkokolmion korkeus x
1
⋅ x ⋅10 = 65
2
x = 13
Pyramidin korkeus h
Pohjaneliön sivun puolikas 5,0 m
Pythagoraan lauseella
h 2 + 5, 02 = 132
h = 169 − 25 = 12
Pyramidin tilavuus
1
V = ⋅100 ⋅12 = 400
3
Vastaus: Tilavuus on 400 m3.
372. Pohjaneliön sivun pituus 2a
Sivutahkokolmion korkeus x
Pythagoraan lauseella
x 2 = a 2 + 212
x = a 2 + 121
Vaipan ala
A = 2 495
1
4 ⋅ ⋅ 2a ⋅ a 2 + 212 = 2 495
2
4a a 2 + 441 = 2 495
16a 2 (a 2 + 441) = 2 495
16a 2 (a 2 + 441) = 2 4952
16a 4 + 7 056a 2 − 6 225 025 = 0
Sijoitetaan a2 = t
16t 2 + 7 056t − 6 225 025 = 0
−7 056 ± 7 0562 − 4 ⋅16 ⋅ (−6 225 025)
2 ⋅16
t1 = −882, 077...
t=
2
t2 = 441, 077...
Sijoitetaan a = t
a2 = −882,077.. ei ratkaisua
a2 = 441, 077…
a = 441, 077...
136
Pyramidin tilavuus
1
1
V = ⋅ (2a) 2 ⋅ 21 = ⋅ (2 441, 077...) 2 ⋅ 21 ≈ 12 000
3
3
Vastaus: Tilavuus on 12 000 m3.
373. a) Pallon halkaisija 2r on sama kuin kuution särmä a, eli r =
1
a
2
b) Puolipallon säde r, kuution särmä s
Pythagoraan lauseella
2
2
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞
r 2 = ⎜ s ⎟ + ⎜ s ⎟ + s2
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
3
r 2 = s2
2
s=
r2
2
=r
3
3
2
c) Pythagoraan lauseella
2
⎛1 ⎞
s2 = ⎜ a ⎟ + a2
⎝2 ⎠
5
s2 = a2
4
5
5
s=a
=a
4
2
374. a) Pythagoraan lauseella R2 = h2 + r2
Tästä saadaan h = R 2 − r 2
r
h
R
b) Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan verranto
H
R
=
h R−r
hR
H=
R−r
H
h
r
R
137
c) Piirtämällä pyramidin pohjaneliön lävistäjä ja kuution ylemmän pohjatahkon lävistäjä ja
leikkaamalla näitä lävistäjiä pitkin pyramidin huipun kautta saadaan yhdenmuotoiset
kolmiot, joiden korkeutena ovat pyramidin korkeus ja
erotus h − s.
Saadaan verranto
h
a 2
=
h
h−s s 2
hs = ah − as
s
(h + a) s = ah
a
ah
s=
a+h
a
d) Piirtämällä kartion pohjaympyrän lävistäjä ja kuution ylemmän pohjatahkon lävistäjä ja
leikkaamalla näitä lävistäjiä pitkin kartion huipun kautta saadaan yhdenmuotoiset kolmiot,
joiden korkeutena ovat kartion korkeus ja erotus h − s.
Saadaan verranto
h
2r
=
h−s s 2
h−s
hs 2 = 2rh − 2rs
h
(h 2 + 2r ) s = 2rh
s=
s
s
s
2rh
h 2 + 2r
2r
Vastaus: a) h = R 2 − r 2 b) H =
ah
hR
2rh
c) s =
d) s =
a+h
R−r
h 2 + 2r
375.
a) Pohjaneliön lävistäjän puolikas b =
a 2
2
Varjostetun kolmion korkeus
a 2 2
1
h = s −b = s −(
) = s2 − a2
2
2
Varjostetun kolmion ala
1
a 2
1
1
A = ⋅ 2b ⋅ h =
⋅ s 2 − a 2 = a 2s 2 − a 2
2
2
2
2
2
2
h
s
2
s
s
138
b
a
a
Varjostettu ala on neliön puolikas, koska huippukulma on 2 ⋅ 45° = 90° ja kolmio on
1
tasasivuinen. Joten ala on s 2 .
2
b)
1s
2
1s
2
a
12-tahokkaassa on kuusi neliötä ja kahdeksan kolmiota. Olkoon neliön sivu a ja kuution
särmä s.
2
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞
a2 = ⎜ s ⎟ + ⎜ s ⎟
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
s
a=
2
2
2
⎛ s ⎞
2
Kuuden neliön kokonaisala on A = 6 ⎜
⎟ = 3s
⎝ 2⎠
Kolmion korkeus h
⎛1 ⎞
h2 = a2 − ⎜ a ⎟
⎝2 ⎠
h=
1a
2
h
2
a
a 3
2
s
⋅ 3
1
1 s
1 s
s
3 s2 3
⋅ 2
= ⋅
⋅
⋅
=
Kolmion ala ah = ⋅
2
2 2
2
2 2 2 2
8
12-tahokkaan kokonaisala
s2
s2 3
A = 6⋅ + 8⋅
= 3s 2 + s 2 3 = s 2 (3 + 3)
2
8
Vastaus: a)
1
1
a 2 s 2 − a 2 ja s 2 b) A = s 2 (3 + 3)
2
2
139
376.
Syntyvän ympyräkartion korkeus on lyhin sivu 3,0 cm, sivujana on pisin sivu 5,0 cm ja
pohjaympyrän säde on sivu 4,0 cm.
A = πrs + πr 2
= π ⋅ 4,0 ⋅ 5,0 + π ⋅ 4,0 2
5,0
3,0
≈ 110 (cm 2 )
4,0
Vastaus: 110 cm2
377.
Yksikkömuunnos 20 cm = 2,0 dm
Ympyräkartion korkeus H saadaan Pythagoraan lauseella
H 2 + 4, 02 = 8, 02
H
8,0
2,0
H = 48
h
Lieriön korkeus h
Yhdenmuotoisista kolmioista ∆ABC ja ∆DBE saadaan
verranto:
AB H
=
AB = 4, 0, DB = 4, 0 − 2, 0 = 2, 0, H = 48
DB h
2,0
4,0
4, 0
48
=
h
2, 0
h=
48
≈ 3,5
2
Vastaus: Lieriö voi olla korkeintaan 3,5 dm korkea.
378. Tilavuus saadaan kahden samankorkuisen kartion tilavuuksien erotuksena.
Kartioiden pohjaympyröiden säteet
40, 0 cm
= 20, 0 cm = 0,20 m ja 20,0 cm – 1,0 cm = 19,0 cm = 0,19 m
2
Tilavuus
1
1
V = π ⋅ 0,202 ⋅ 12,0 − ⋅ π ⋅ 0,19 2 ⋅ 12,0 ≈ 0,049 (m3)
3
3
0,049 m3 = 49 dm3
m = ρ ⋅ V = 0, 60 kg / dm3 ⋅ 49 dm3 ≈ 29 kg
Vastaus: 49 dm3 ja 29 kg.
140
379. Säännöllinen 8-kulmio voidaan jakaa kuuteentoista yhtenevään suorakulmaiseen
360°
kolmioon, jossa monikulmion keskipisteessä oleva kulma α =
= 22,5°
16
Suorakulmaisen kolmion toisena kateettina on pyramidin pohjan keskipisteen etäisyys a
1,6 m
sivutahkokolmion kannasta ja toisena kateettina 8-kulmion sivun puolikas
= 0,8 m.
2
0,8
tan 22,5° =
a
0,8
a=
= 1,931...
tan 22,5°
Pyramidin sivutahkokolmiokorkeus c on sellaisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa,
jonka kateetteina ovat pyramidin korkeus 12,0 m ja etäisyys a = 1,931… m
c
12,0
a
c2 = 12,02 + 1,931...2
c = 147, 73... = 12,15...
1
A = 8 ⋅ ⋅1, 60 ⋅12,15... ≈ 77,8 (m2)
2
Vastaus: 77,8 m2
380. Tilavuus saadaan lieriön tilavuuden V1 ja pyramidin tilavuuden V2 summana.
Lieriön pohja on kolmio, jonka kanta on katoksen leveys 3,0 m ja korkeus on katoksen
korkeus 2,4 m. Lieriön korkeus on katoksen harjan pituus 2,7 m.
1
V1 = ⋅ 3,0 ⋅ 2,4 ⋅ 2,7 = 9,72
2,7
2
Pyramidin pohja on suorakulmio, jonka sivuina
ovat katoksen leveys 3,0 m ja katoksen ja harjan
pituuksien erotus 4,2 m − 2,7 m = 1,5 m.
h
Pyramidin korkeus on katoksen korkeus 2,4 m.
1
3,0
V2 = ⋅ 1,5 ⋅ 3,0 ⋅ 2,4 = 3,6
1,5
3
4,2
V = V1 + V2 ≈ 13 (m3)
Vastaus: 13 m3
141
381.
Vlieriö = π ⋅ r 2 ⋅ hlieriö
1
V kartio = ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ hkartio
3
1
3
π ⋅ r 2 ⋅ hlieriö = ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ hkartio : (π ⋅ r 2 )
1
hkartio ⋅ 3
3
= hkartio : hlieriö
hl
hlieriö =
3hlieriö
hk
r
hkartio
= 3 = 300 %
hlieriö
Kartion korkeus on 300 % − 100 % = 200 % suurempi.
Vastaus: 200 % suurempi
382. Kartion pohjaympyrän säde r
Kuution särmä on kartion pohjaympyrän halkaisija 2r
b g
Kuution tilavuus 2r
3
= 8r 3
2r
1
2
Kartion tilavuus ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ 2r = ⋅ π ⋅ r 3
3
3
2
⋅π ⋅ r 3
π
3
=
≈ 0,2617 ≈ 26 %
Tilavuuksien suhde
3
12
8r
r
2r
2r
Vastaus: 26 %
383. Puoliympyrän säde on yhtä suuri kuin kartion sivujana s.
s
h
s
r
Puoliympyrän kaaren pituus on yhtä suuri kuin kartion pohjaympyrän kehän pituus.
1
⋅ 2πs = 2πr : 2π
2
1
s=r
2
s = 2r
b g
142
Kartion korkeus saadaan Pythagoraan lauseella.
h2 = s2 – r2
h2 = (2r)2 – r2
h2 = 3 r2
h = ±r 3
Kartion tilavuus
1
V = π ⋅ r2 ⋅ h
V = 10 l = 10 dm3 , h = r 3
3
1
π ⋅ r 2 ⋅ r 3 = 10
3
1
π ⋅ 3 ⋅ r 3 = 10
3
π ⋅ 3 ⋅ r 3 = 30
30
r3 =
π 3
r=3
30
= 1,766... (dm)
π 3
Puoliympyrän säde s = 2r ≈ 3,5 (dm)
Vastaus: 3,5 dm
384. Tetraedrin särmä a
Kuution särmä s
s 3 = 27
s=3
Kuution pinta-ala 6 ⋅ 32 = 54
Tetraedrin pinta-ala a 2 3
Pinta-alojen suhde
Akuutio
54
= 2
Atetraedri a 3
8 3
54
= 2
9
a 3
a 2 3 ⋅ 8 3 = 486
a=
486
24
a=
81
4
a=
9
2
143
9
( )3 2
a3 2
729 2 243 2
= 2
=
=
≈ 7, 6
Tetraedrin tilavuus V =
12
12
96
32
Vastaus: Tilavuus on
243 2
cm3 ≈ 7, 6 cm3 .
32
385. Korkeus h
Pohjaympyrän säde r
Sivujana r + 3
Pythagoraan lauseella
(r + 3) 2 = h 2 + r 2
h = 6r + 9
Kartion ala
π rs + π r 2 = 27π
:π,s = r + 3
r (r + 3) + r 2 − 27 = 0
2r 2 + 3r − 27 = 0
−3 ± 32 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−27)
2⋅2
−3 − 15
r1 =
< 0 ei käy
4
−3 + 15
r2 =
=3
4
h = 6⋅3+ 9 = 3 3
r=
Vastaus: h = 3 3
386. Kartion pohjan säde r
Kartion korkeus h = r − 2
Kartion tilavuus
1 2
π r h = 25π
:π,h = r − 2
3
1 2
r (r − 2) = 25
3
r 3 − 2r 2 − 75 = 0
Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on r = 5, haetaan muut juuret jakamalla tekijällä
r − 5.
144
r 2 + 3r + 15
r − 2r 2 − 75
r −5
3
∓ r 3 ± 5r 2
3r 2
∓3r 2 ± 15r
15r − 75
∓15r ± 75
0
Muut juuret
r 2 + 3r + 15 = 0
−3 ± 32 − 4 ⋅1 ⋅15
2 ⋅1
−3 ± −51
r=
2
ei muita reaalijuuria
r=
Vastaus: Säde on 5.
387. a)
a
C
a
G
F
B
D
a
1 2
–a
2
A
Ison kuution särmä a
Pikkukuution särmä s
Oktaedrin särmä AB on sellaisen neliön lävistäjä, jonka sivuna on
ja DE = AB =
1
a 2
2
145
1
1
a , joten AB = a 2
2
2
b)
C
1
–a − 1
–s
2
2
1
–a
2
F
G
1
–s
2
s 2
D
E
1
–a 2
2
Poikkileikkaus kohdasta DEC
Yhdenmuotoisista kolmioista DEC ja FGC (kk) saadaan verranto
1
1
a
a 2
2
= 2
1
1
s 2
a− s
2
2
1
1
as 2 = a 2 2 − as 2
2
2
1
1 2
(a 2 + a 2 ) s = a 2
2
2
1 2
a 2
s= 2
3
a 2
2
a
s=
3
Vastaus: s =
a
3
388. Pythagoraan lauseella pohjakolmiosta
2
⎛a⎞
h2 + ⎜ ⎟ = a 2
⎝2⎠
1
h2 = a 2 − a 2
4
3
h=±
a a>0
2
3
h=
a
2
Pohjakolmion ala A2 =
a⋅
3
a
2 = 3 a2
2
4
146
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö
2
⎛a⎞
2
A1 ⎜ 2 ⎟ ⎛ a ⎞
1
=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =
A2
a
a
2
4
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
A1 =
1
1 3 2
3 2
A = ⋅
a =
a
4 2 4 4
16
Vastaus:
3 2
a
16
389.
r = 32 + 162 = 265 ≈ 16,3 (cm)
Sektorin kaaren b pituus on kartion pohjaympyrän kehän pituus b = 2 R ⋅ 3 = 6π
Sektorin keskuskulmalle α saadaan verranto
α
6π
=
360° 2π ⋅ 265
α ≈ 66°
Vastaus: Sektorin säde on 16,3 cm ja keskuskulma 66°.
390. Kartion pohjan säde R
Kartion korkeus H = 2R
Pallon säde r
1
2
Kartion tilavuus Vkartio = π R 2 H = π R 3
3
3
C
Kartionsivujana BC = R 2 + 4 R 2 = R 5
DC = H − r = 2R − r
Yhdenmuotoisista kolmioista ABC ja EDC (kk)
saadaan verranto
AB BC
=
DE DC
R
R 5
=
r 2R − r
rR 5 = 2 R 2 − Rr
( R 5 + R)r = 2 R 2
r=
r=
2R2
R ( 5 + 1)
2R
5 +1
147
H
E
r
D
R
A
B
3
4 ⎛ 2R ⎞
32
1 ⎞
3⎛
Pallon tilavuus Vpallo = π ⎜
⎟ = πR ⎜
⎟
3 ⎝ 5 +1⎠
3
5
+1⎠
⎝
Tilavuuksien suhde
3
3
Vpallo
Vkartio
32
⎛ 1 ⎞
π R3 ⎜
⎟
3
⎝ 5 + 1 ⎠ = 16 ⋅ ⎛⎜
=
⎜
2
⎝
π R3
3
3
3
⎞
⎛ 5 −1 ⎞
1
2
⎟ = 16 ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ = ( 5 − 1)( 5 − 1) = 2 5 − 4 ≈ 0, 47
⎟
5
1
4
−
5 +1⎠
⎝
⎠
5 −1)
1
Vastaus: Suhde on 2 5 − 4 ≈ 0, 47
391. Pallon säde R
Kartion pohjaympyrän säde r
Pythagoraan lauseella
R
15 2
r = R 2 − ( )2 =
R
4
16
R
2
Kartion tilavuus Vkartio
1 ⎛ 15 2 ⎞ 5
25
R ⎟⎟ R = π R 3
= π ⎜⎜
3 ⎝ 16 ⎠ 4
64
Tilavuuksien suhde
25 3
πR
Vkartio 64
75
=
=
≈ 0, 293 = 29,3%
4
Vpallo
256
3
πR
3
Vastaus: 29,3 %
392.
r2
h
r1
148
R
–
4
R
r
Käytetään katkaistun ympyräkartion tilavuuden kaavaa (taulukkokirjasta)
πh 2
(r1 + r1r2 + r2 2 )
V=
V = 100 dm3 , r1 = 3 dm, h = 4, 78 dm
3
π ⋅ 4, 78 2
100 =
(3 + 3r2 + r2 2 )
⋅3
3
300 = 43, 02π + 14,34r2 + 4, 78π r2 2
4, 78π r2 2 + 14,34π r2 − 300 + 43, 02π = 0
−14,34π ± (14,34π ) 2 − 4 ⋅ 4, 78π ⋅ (−300 + 43, 02π )
2 ⋅ 4, 78π
r2 ≈ 2,14 (vain positiivinen juuri käy)
r2 =
Vastaus: Säde on 2,14 dm.
393. Sektorin keskuskulma β
Kartion pohjaympyrän säde r
Kartion korkeus h
Kartion sivujana = sektorin säde = neliön sivu = 1
1
2
3
cos α = 4
1
1
2
α = 60°
Keskuskulma β = 180° − 2 ⋅ 60° = 60°
Kartion pohjaympyrän kehän pituus = sektorin kaaren pituus
60°
1
2π r =
2π ⋅1
360°
2
1
r=
4
Pythagoraan lauseella
1
1
35
h = (1 ) 2 − ( ) 2 =
2
4
4
π 35
192
α
β
1
1–
2
1
1
35 π 35
=
≈ 0, 0968
Kartion tilavuus V = π ⋅ ( ) 2 ⋅
3
4
4
192
Vastaus: Tilavuus on
1–1
2
1–1
2
dm3 ≈ 0, 0968 dm3
149
r = –1
4
3–
4
α
h
394. Kartion pohjaympyrän säde r
Pythagoraan lauseella
r 2 = 5,52 − 3,32 = 19,36
Kartion tilavuus
1
1
Vkartio = π ⋅19,36 ⋅ 8,8 = π ⋅170,368
3
3
4
π ⋅ 5,53
Vpallo
125
3
Tilavuuksien suhde
=
=
1
Vkartio
π ⋅170,368 32
3
Vastaus:
Vpallo
Vkartio
5,5
8,8
5,5
8,8 − 5,5
r
125
32
=
395.
E
45°
F
C
D
a
B
A
G
Kuution särmä a
Kartion pohjaympyrän säde R
Koska sivujanan ja akselin välinen kulma on 45° , on halkileikkauskuvion puolikas
tasasivuinen suorakulmainen kolmio GBE, jonka hypotenuusa on kartion sivujana ja
kateetteina kartion pohjaympyrän säde R ja kartion
korkeus GE = R.
Kuution tahkon lävistäjän puolikas FD = R − a
Saadaan yhtälö
E
2( R − a) = a 2
45°
(2 + 2)a = 2 R
a=
C
2R
R−a
D
R
a
2+ 2
Tilavuuksien suhde
A
3
Vkuutio
Vkartio
F
⎛ 2R ⎞
⎜
⎟
24
2+ 2 ⎠
=⎝
=
≈ 0,19
3
1
π ⋅ R 2 ⋅ R (2 + 2) π
3
Vastaus: Suhde on 0,19.
150
a 45°
G
R
B
396. Pallon säde R
Kalotin korkeus h = BD
Kulma AOB on 60°:een kehäkulmaa E vastaavan
120°
keskuskulman puolikas
= 60°
2
Suorakulmaisesta kolmiosta ABO saadaan
OB
cos 60° =
R
1
OB = R
2
1
1
Kalotin korkeus h = R − R = R
2
2
Sisään jäävän kalotin alan suhde pallon alaan
E
60°
O
R
A
60° 60°
B
C
D
Akalotti
2π Rh
=
=
Apallo 4π ⋅ R 2
1
2π R ⋅ R
2 =1
4π R 2
4
Pallon sisään jäävän kartion osan pohjaympyrän säde AB
AB
sin 60° =
R
R 3
AB =
2
1
3
Pallon sisään jäävän kartion osan korkeus BE = R + R = R
2
2
2
2
⎛3 ⎞ ⎛R 3⎞
Pallon sisään jäävän kartion osan sivujana AE = ⎜ R ⎟ + ⎜⎜
⎟ =R 3
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠
Pallon sisään jäävän kartion osan vaipan ala A1 = π rs = π ⋅
60°
= 30°
2
Kartion korkeus 2R
Kartion pohjaympyrän säde CD
CD
tan 30° =
DE
CD
1
=
3 2R
2R
CD =
3
Kartion sivujana CE
Kulma CED =
2
4R
⎛ 2R ⎞
2
CE = ⎜
⎟ + (2 R ) =
3
⎝ 3⎠
151
R 3
3
⋅ R 3 = π R2
2
2
2
Kartion kokonaispinta-ala A2 = π ⋅ CD ⋅ EC + π ⋅ CD 2 = π ⋅
2R 4R
⎛ 2R ⎞
2
⋅
+π ⋅⎜
⎟ = 4π R
3 3
3
⎝
⎠
Pallon sisään jäävän kartion osan vaipan alan suhde kartion kokonaisalaan
3
π R2
A1 2
3
=
=
A2 4π R 2 8
Vastaus: Kartion kokopinnasta jää pallon sisään
3
1
ja pallon pinnasta jää kartion sisään .
8
4
397. Lieriön pohjaympyrän säde ma
Kartion pohjaympyrän säde na
Kartion korkeus h
Lieriön korkeus x
Yhdenmuotoisista kolmioista (kk) saadaan verranto
h
na
=
x na − ma
nx
h=
n−m
1
nx
Kartion tilavuus Vkartio = π ⋅ (na ) 2 ⋅
3
n−m
Lieriön tilavuus Vlieriö = π ⋅ (ma ) 2 ⋅ x
Tilavuuksien suhde
Vlieriö
π ⋅ (ma) 2 ⋅ x
3m 2 (n − m)
=
=
Vkartio 1 π ⋅ (na ) 2 ⋅ nx
n3
3
n−m
Tilavuuksien suhde, kun m = 2 ja n = 3
h
x
ma
na − ma
na
Vlieriö 3 ⋅ ( 2) 2 ( 3 − 2) 2
=
= (3 − 6)
Vkartio
3
( 3)3
Vastaus: Suhde on
2
3m 2 (n − m)
ja (3 − 6) .
3
3
n
398. Puolipallon säde r
Kartion pohjaympyrän säde R
Kartion korkeus h
Kartion sivujana s
Yhdenmuotoisista kolmioista (kk) saadaan verranto
h r
=
s R
rs
h=
R
152
s
h
r
R
4 3
πr
2
Puolipallon tilavuus Vpuolipallo = 3
= π r3
2
3
1
1
rs 1
Kartion tilavuus Vkartio = π R 2 h = π R 2 = π Rrs
R 3
3
3
2 3
πr
Vpuolipallo
2r 2
= 3
=
Tilavuuksien suhde
1
Vkartio
π Rrs Rs
3
Puolipallon käyräpinta Apuolipallo = 2π r 2
Kartion käyräpinta Akartio = π Rs
Alojen suhde
Apuolipallo
Akartio
=
2π r 2 2r 2
=
Rs
π Rs
399. Pienemmän pallon säde r
Isomman pallon säde R
Suorakulmaisesta kolmiosta
r
sin 30° =
R
R = 2r
Ison lieriön korkeus 2R = 4r
Pienemmän lieriön korkeus h
Tasakylkisestä suorakulmaisesta kolmiosta
30°
R
r
r
h
2R
r
h = r2 + r2 = r 2
Lieriöt ovat yhdenmuotoiset, joten niiden pintaalojen suhde on mittakaavan neliö.
h
r 2
2
=
=
Mittakaava on korkeuksien suhde
2R
4r
4
2
⎛ 2⎞
1
Pinta-alojen suhde ⎜⎜
⎟⎟ =
8
⎝ 4 ⎠
Vastaus: Suhde on
1
.
8
400. Pyramidin sivutahkokolmiot CBA, ABD ja BCD ovat suorakulmaisia kolmioita.
Kolmio ACD on tasakylkinen.
A
Pohjasärmä a saadaan Pythagoraan lauseella
2
2
a + a =1
65°
1
a=
2
a
a
153
C
B
1 dm
D
Kolmio ACD on tasakylkinen, joten
180° − 65°
ADC =
= 57,5°
2
Sinilauseella
1
AC
=
sin 65° sin 57,5°
sin 57,5°
AC =
sin 65°
Suorakulmaisesta kolmiosta CBA
2
BA =
AC − a =
2
2
2
⎛ 1⎞
⎛ sin 57,5° ⎞ 1
AC − ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
⎟ − ≈ 0, 605
⎝ sin 65° ⎠ 2
⎝ 2⎠
2
Vastaus: 0,605 dm
401. Kahdesta alemmasta kartiosta saadaan yhdenmuotoisten kolmioiden avulla verranto
h + 2,5 r
h + 2,5
=
eli r =
2,5
1
2,5
Kahdesta ylemmästä kartiosta saadaan yhdenmuotoisten kolmioiden avulla verranto
h + 2,5 r
=
h + 5,5 4
h + 2,5
saadaan yhtälö
2,5
h + 2,5
h + 2,5
2,5
=
4
h + 5,5
h + 2,5 h + 2,5
=
10
h + 5,5
Sijoittamalla r =
10h + 25 = ( h + 2,5 ) ⋅ ( h + 5,5 )
10h + 2,5 = h 2 + h ⋅ 5,5 + 2,5h + 13, 75
− h 2 + 2h + 11,25 = 0
h=
−2 ± 22 − 4 ⋅ ( −1) ⋅11, 25
2 ⋅ ( −1)
−2 ± 7
−2
h1 = 4,5
h2 = −2,5 ei käy
h=
RS
T
r=
4,5 + 2,5
= 2,8
2,5
154
Väritetyn katkaistun kartion tilavuus saadaan kahden kartion tilavuuksien erotuksena
1
1
V = π ⋅ 2,82 ⋅ 7 − π ⋅ 12 ⋅ 2,5 ≈ 55
3
3
Vastaus: r = 2,8 ja h = 4,5 sekä V = 55.
TESTAA HYVÄT TAITOSI 2
1. Kanavan poikkileikkauksen pinta-alan laskemiseksi lasketaan korkeus h.
h = 2,52 − 1,52 m = 2 m.
a +b
5,5 m + 2,5 m
Ala A =
⋅h =
⋅ 2,0 m = 8,0 m 2 .
2
2
Virtaavan veden määrä on
m3
m
8,0 m 2 ⋅ 0,1 = 0,8
.
s
s
(5,5 m – 2,5 m) : 2 = 1,5 m
5,5 m
2,5 m
2,5 m
Vastaus: Vettä virtaa sekunnissa 0,8 m 3 .
2. Tuntiviisari liikkuu 360° 12 tunnin aikana eli 30° tunnissa.
12
⋅ 30° = 6°
12 minuutin aikana viisari liikkuu
60
Vastaus: 6°
3.
Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta, joten α = 4,4 .
Kaaren pituus
4,4
α
b=
⋅π d =
⋅ π ⋅ 1,3 km = 0,0499... km ≈ 50 m.
360
360
Vastaus: Rantaniityn pituus on noin 50 m.
2,2°
251 g
≈ 13, 01 cm3
4. Kullan tilavuus V =
g
19,3
cm3
Kuution särmän pituus
s 3 = 13, 01
s = 3 13, 01 ≈ 2, 4 cm
Vastaus: 2,4 cm
155
αr
b
5. Pohjan säde r1:
2π r1 = 420
r1 =
420
2π
2
⎛ 420 ⎞
V1 = π r h = π ⎜
⎟ ⋅ 297
⎝ 2π ⎠
Pohjan säde r2:
2π r2 = 297
2
1 1
r2 =
297
2π
2
⎛ 297 ⎞
V2 = π ⎜
⎟ ⋅ 420
⎝ 2π ⎠
2
⎛ 420 ⎞
⎟ ⋅ 297 420
V
2π ⎠
Kysytty suhde 1 = ⎝
=
2
297
V2
⎛ 297 ⎞
π⎜
⎟ ⋅ 420
⎝ 2π ⎠
π⎜
Vastaus: Suhde on
420
.
297
6. Apallo = 4πr 2 = 4π ⋅ 24,0 2
Kuution särmä s = 2 ⋅ 24,0 = 48,0
Akuutio = 6s 2 = 6 ⋅ 48,0 2
Akuutio
6 ⋅ 48,0 2
≈ 1,910 eli 91,0 % suurempi
=
Apallo
4π ⋅ 24,0 2
Vastaus: 91 %
7. V = 0, 25 m ⋅11, 0 m ⋅ 35, 6 m = 97,9 m3
Vastaus: 97,9 m3
8. Aika saadaan jakamalla putken tilavuus öljyn tilavuusvirralla.
2
π ⋅ ( 0, 61 m ) ⋅ 524 400 m
π r 2h
=
= 197 747, 2...s ≈ 55 h
t=
m3
m3
3,1
3,1
s
s
Vastaus: 55 tuntia
156
9. Särmiä pitkin matka on 3a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on
a2 + a2 + a2 = a 3
a 3
3
=
≈ 0,577 , eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on
3a
3
100 % − 57,7 % = 42,3 % lyhyempi.
Matkojen suhde on
Vastaus: 42,3 %
10. Tilavuus on 1000 cm3. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan korkeus
1
V = Ah = 1000 cm3
3
V
1000
=
≈ 20,8 cm
h=
1
1 2
⋅12
A
3
3
Vastaus: 20,8 cm
KERTAUSHARJOITUKSET
Yhdenmuotoisuus
402. a) Kolmion kolmannen kulman suuruus on 180° – 45° – 63° = 72°.
Kulman 72° vieruskulman on 180° – 72° = 108°.
Koska l1 l2 , niin myös kulma α on 108°.
b) Muodostetaan yhtälöpari
⎧2α + x = 180°
⎨
⎩3x + α = 180°
Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan α = 72°.
Vastaus: a) α = 108° b) α = 72°
403. Kolmion suurin kulma on 67°.
Komplementtikulma: 90° – 67° = 23°
Suplementtikulma: 180° – 67° = 113°
Vastaus: Komplementtikulma on 23° ja suplementtikulma on 113°.
404. Nelikulmion kulmien summa on 360°.
x + 2 x + 12° + 140° − x + 3x + 15° = 360°
5 x = 193°
x = 38, 6°
Suurin kulma on 3x + 15° = 3 · 38,6° + 15° = 130,8°.
Vastaus: Suurin kulma on 130,8°.
157
405. Kulman 54° vieruskulma on 180° – 54° = 126°.
Koska nelikulmion summa on 360°, niin
x = 360° – 92° – 80° – 126° = 62°
Kulman x vieruskulma on 180° – 62° = 118°.
Koska nelikulmion summa on 360°, niin
y = 360° – 118° – 54° – 70° = 118°
Vastaus: x = 62°, y = 118°
406. Koska kolmion suurin kulma on yhtä suuri kuin kaksi muuta kulmaa yhteensä, niin
suurimman kulman suuruus on 180° : 2 = 90°.
Vastaus: Suurimman kulman suuruus on 90°.
407. a) Lasketaan sivujen pituuksien suhde
x
40
=
110 65
65 x = 4 400
: 65
x ≈ 68
b) Lasketaan sivujen pituuksien suhde
38
35
=
38 + x 50
1330 + 35 x = 1900
35 x = 570
: 35
x ≈ 16
Vastaus: a) x = 68 b) x = 16
408. Mittakaavalla on 1 . 200 000 matkan pituus kartalla on 25 cm.
Mittakaavalla 1 : 75 000 matkan pituus kartalla on x.
Muodostetaan kääntäen verrannollisuus
200 x
=
75 25
75 x = 5000
: 75
x ≈ 67
Vastaus: Matka kartalla on 67 cm.
409. Arkki A4: leveys 297 mm
korkeus 210 mm
A5-arkki muodostetaan taittamalla A4 arkki pidemmän sivun keskeltä kaksin kerroin.
Taitetusta sivusta muodostuu arkin A5 korkeus.
158
Arkki A5: leveys 210 mm
korkeus: 297 mm : 2 = 148, 5 mm ≈ 149 mm
A3 arkin leveys muodostuu kertomalla A4 arkin korkeus kahdella. A4 arkin leveys muuttuu
A3 arkin korkeudeksi.
Arkki A3: leveys: 210 mm · 2 = 420 mm
korkeus: 297 mm
Vastaus: Arkki A5: 149 mm x 210 mm, A3: 297 mm x 420 mm
410. Maalimenekki on suoraan verrannollinen maalattavaan pinta-alaan.
A2 ⎛ 1 ⎞
=⎜ ⎟
A1 ⎝ 16 ⎠
2
A2 = 162 A1
Eli maalia kuluu 256 · 0,15 cl = 38,4 cl.
Vastaus: 38 cl
411. a)
3
V2
⎛ 1 ⎞
=⎜ ⎟
2500 ⎝ 32 ⎠
323 V2 = 2500
V2 =
2500
≈ 76 cm3
3
32
b)
3
0, 2
⎛3⎞
⎜ ⎟ =
V2
⎝4⎠
27V2 = 64 ⋅ 0, 2
V2 =
64 ⋅ 0, 2
= 0, 474 dm3
27
Vastaus: a) 76 cm3 b) 0,5 dm3
412. a)
A
k2 = 1
A2
k=
1, 25 cm 2
1
=
5 ⋅108 cm 2 20 000
159
b)
k3 =
k=
V1
V2
3
2,3 dm3
1
≈
3
300 000 dm
50
Vastaus: a)
1
1
b)
20 000
50
413. Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen
3
0,160 kg
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ =
m2
⎝ 20 ⎠
m2 = 203 ⋅ 0,16 kg
m2 = 1280 kg
Vastaus: 1280 kg
414. Pikkuympyröiden ala yhteensä
2
1
⎛r⎞
A1 = 2π ⎜ ⎟ = π r 2
2
2
⎝ ⎠
Ison ympyrän ala
A2 = π r 2
1 2
πr
A1 2
1
Suhde
=
=
π r2
A2
2
Vastaus: 50 %
415. Lasketaan suhde
V
1,13 = 2
V1
V2 = 1,13 V1 = 1,331V1
Vastaus: 33,1 %
416.
k3 =
V2
= 1, 20
V1
k = 3 1, 20
(
A2
= 3 1, 20
A1
Vastaus: 12,9 %
k2 =
)
2
≈ 1,129
160
Kulmien piirtäminen harpilla ja viivaimella
421. Piirrä kolmion sivun päätepisteistä lähtien ympyrät, jotka leikkaavat pareittain
kahdessa pisteessä. Yhdistä pisteet, jolloin saat sivujen keskinormaalit. Keskinormaalit
leikkaavat samassa pisteessä.
422. Piirrä suora. Mittaa suoralta 4,0 cm:n pituinen jana. Piirrä suoralle normaali, joka
kulkee janan toisen päätepisteen kautta. Mittaa normaalilta 2,0 cm:n pituinen jana, jonka
toinen päätepiste on suoralla. Piirrä suorakulmaisen kolmion hypotenuusa.
423. a) Piirrä suora. Piirrä suoralle normaali. Mittaa annetun janan pituus harpilla. Alkaen
suoran ja normaalin leikkauspisteestä piirrä annettu janan pituus säteenä ympyrän kaari,
joka leikkaa sekä suoraa, että sen normaalia. Yhdistä ympyrän kaaren ja suoran sekä
ympyrän kaaren ja normaalin leikkauspisteet, jolloin saat tasakylkisen kolmion, jonka
kyljen pituus on annetun janan mittainen.
b) Piirrä suora. Piirrä suoralle normaali. Puolita saatu suora kulma. Mittaa annetun janan
pituus harpilla. Alkaen suoran ja suoran kulman puolittajan leikkauspisteestä piirrä annettu
janan pituus säteenä ympyrän kaari, joka leikkaa sekä suoraa, että kulman puolittajaa.
Yhdistä ympyrän kaaren ja suoran sekä ympyrän kaaren ja kulman puolittajan
leikkauspisteet, jolloin saat tasakylkisen kolmion, jonka kyljen pituus on annetun janan
mittainen.
424. Piirrä suora. Piirrä harpilla suoralla oleva piste keskipisteenä sama säteisen ympyrän
kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän
kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä. Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin
saat suoran normaalin.
425. a) Piirrä suora. Merkitse suoralle piste. Piirrä harpilla suoralla oleva piste
keskipisteenä sama säteisen ympyrän kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista
leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä.
Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin saat suoran normaalin.
b) Piirrä suora ja sen ulkopuolelle piste. Piirrä harpilla suoran ulkopuolella oleva piste
keskipisteenä sama säteisen ympyrän kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista
leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä.
Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin saat suoran normaalin.
426. Piirrä kolmion sivun päätepisteistä lähtien ympyrät, jotka leikkaavat pareittain
kahdessa pisteessä. Yhdistä pisteet, jolloin saat sivujen keskinormaalit. Keskinormaali
leikkaa sivua sen keskipisteessä. Yhdistä kulmien kärjet vastaisten sivujen keskipisteisiin.
Mediaanit leikkaavat samassa pisteessä. Piirrä suora, joka kulkee mediaanien
leikkauspisteen kautta ja joka leikkaa annettua suoraa.
Siirrä annetulle suoralle muodostunut kulma mediaanien leikkauspisteeseen Piirrä suorien
leikkauspiste keskipisteenä ympyrän kaari, joka leikkaa molempia suoria ja piirrä sama
kaari mediaanien leikkauspisteeseen.. Mittaa suorien välisen kaaren pituus ja siirrä tämä
pituus mediaanien keskipisteenä piirretylle säteelle alkaen leikkauspisteen kautta kulkevan
suoran ja mediaanien leikkauspiste keskipisteenä piirretyn säteen leikkauspiste. Piirrä suora
mitatun kaaren loppupisteen ja mediaanien leikkauspisteen kautta, jolloin saat kysytyn
suoran.
161
Suorakulmainen kolmio
427. Piirrä suora. Mittaa suoralta 3,5 cm:n pituinen jana. Piirrä suoralle normaali, joka
kulkee janan toisen päätepisteen kautta. Piirrä janan toinen päätepiste keskipisteenä
ympyrän kaari, jonka pituus on 8,0 cm ja joka leikkaa normaalia. Ympyrän kaaren ja
normaalin leikkauspiste on kolmion kolmas kärkipiste. Piirrä suorakulmaisen kolmion
hypotenuusa.
428. Pythagoraan lauseella 32 + x 2 = 52
x 2 = 16
x=4
3 cm ⋅ 4 cm
Kolmion ala A =
= 6 cm 2
2
5,0 cm
x
Vastaus: Kolmion ala on 6 cm2
3,0 cm
429.
C
18 cm
A
x
α
130°
D
B
130°
Huippukulman puolikas α =
= 65°
2
x
⋅ 18
Kolmiosta ∆ADC saadaan sin 65° =
18
x = 18 sin 65° = 16,313...
Kolmion kanta AB = 2 x = 2 ⋅ 16,315... cm ≈ 33 cm
Vastaus: Kanta on 33 cm.
430. Kulmien summa x + 2 x + 3x = 180°
x = 30°
Kulmat ovat 30 ° , 60 ° ja 90 ° , joten kolmio on suorakulmainen ja voidaan käyttää
trigonometrisia funktioita.
4,0
Sivu a (cm) tan 30° =
a
4,0
4,0
a=
=
= 4,0 3 ≈ 6,9
1
tan 30°
3
4,0
Sivu b (cm) sin 30° =
b
4,0
4,0
b=
=
= 8,0
1
sin 30°
2
Vastaus: Muut sivut ovat 6,9 cm ja 8,0 cm.
162
431. Kolmion sivun pituus x (dm)
x + x + x = 9,0
x = 3,0
Muistikolmion avulla
h
3
=
3,0
2
h=
3,0 3
2
Kolmion pinta-ala
3,0 3
3,0 dm ⋅
dm
9,0 3
2
A=
=
dm2 ≈ 3,9 dm2
2
4
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 3,9 dm2.
432. a) Jyrkkyys 6 %
Vaakasuora etäisyys a
Pystysuora korkeusero on 0,06a
0,06a
= 0,06
Tällöin tan α =
a
α ≈ 3,4°
b) Jyrkkyys 13 %
0,13a
tan α =
= 0,13
a
α ≈ 7,4°
Vastaus: a) 3,4° b) 7,4°
433. Pythagoraan lauseella 252 = x 2 + ( x + 7) 2
625 = x 2 + x 2 + 14 x + 49
2 x 2 + 14 x − 576 = 0
−14 ± 142 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−576)
2⋅2
−14 − 4804
x1 =
= −20,8 (ei käy)
4
−14 + 2 1201 −7 + 1201
x2 =
=
≈ 13,83
4
2
−7 + 1201
7 + 1201
cm ja
cm
Kateettien pituudet ovat
2
2
−7 + 1201
7 + 1201
cm +
cm = (25 + 1201) cm ≈ 59,7 cm
Kolmion piiri p = 25 cm +
2
2
x=
163
Pinta-ala A =
7 + 1201
1 −7 + 1201
1201 − 49
⋅
cm ⋅
cm =
cm 2 = 144 cm 2
2
2
2
8
Vastaus: Kolmion piiri on 59,7 cm ja pinta-ala 144 cm2.
x
⋅ 600
600
x = 600 tan 40° ≈ 500
434. Suorakulmaisesta kolmiosta tan 40° =
Vastaus: Kraatterin syvyys on 500 m.
435. Piirretään kolmio käyttäen kulmaviivainta. Mitataan viivaimella kolmion korkeus h =
1,1 cm
3, 0 cm ⋅1,1 cm
≈ 1, 7 cm 2
Kolmion pinta-ala A =
2
436. Tasasivuisen kolmion sivun pituus x (dm)
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x 2 =
FG x IJ
H 2K
2
+ 2,52
3 2
x = 2,52
4
x2 =
x=
:
3
4
4 ⋅ 2,52
3
5
,x > 0
3
5
dm ⋅ 2,5 dm
12,5 3
3
Kolmion pinta-ala on A =
=
dm 2 ≈ 3, 6 dm 2
2
6
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 3,6 dm2.
437. Pythagoraan lauseella x 2 + 32 = (10 − x ) 2
x 2 + 9 = 100 − 20 x + x 2
20 x = 91 :20
x=
Toinen osa 10 − x = 10 −
91
= 4,55
20
91 109
=
= 5,45
20 20
Vastaus: Osat 4,55 niveltä ja 5,45 niveltä.
164
438. Muistikolmioista
x
2
=
1,0
3
2
x=
≈ 115
,
3
Vastaus: Mittarin metrin tulee olla 1,15 m pitkä.
Tylpän kulman sini ja kosini
439. a) cos α = 0,3, jolloin α ≈ 73°
b) cos α = −0,3, jolloin α ≈ 107°
c) sin α = 0,3, jolloin α ≈ 17° tai 180° − 17° = 163°
Vastaus: a) 73° b) 107° c) 17° tai 163°
440. a) x-koordinaatti ilmaisee kulman kosinin, joten cos α = 0,561.
y-koordinaatti ilmaisee kulman sinin, joten sin α = 0,828
b) cos α = −0,075
sin α = 0,997
441. a) cos α = 0,767, joten α = 39,9°
b) cos α = –0,142, joten α = 98,2°
c) sin α = 0,812, joten α = 54,3° tai α = 180° − 54,3° = 125,7°
d) sin α = 0,635, joten α = 39,4° tai α = 180° − 39,4° = 140,6°
442. a) cos α = –0,538, joten α = 122,5°
b) sin α = 0,635, joten α = 29,3° tai α = 180° − 29,3° = 150,7°
Tylppä kulma on 150,7°.
443. a) Kehäpisteen x-koordinaatti ilmaisee kulman kosinin, joten
cos α = 0,369
Kehäpisteen y-koordinaatti
0,3692 + y 2 = 12
y = ± 1 − 0,3692
y≥0
y ≈ 0,929
Kulman sini sin α = 0,929
b) Kulman kosini
cos α = −0, 217
Kehäpisteen y-koordinaatti
2
−0, 217 + y 2 = 12
y = 1 − (−0, 217) 2
y ≈ 0,976
Kulman sini sin α = 0,976
165
y≥0
c) Kulman kosini
cos α = 0,193
Kehäpisteen y-koordinaatti
0,1932 + y 2 = 12
y = 1 − 0,1932
y≥0
y ≈ 0,981
Kulman sini sin α = 0,981
d) Kosini on välillä −1 ≤ cos α ≤ 1 , joten kulmaa ei ole.
Sinilause
444. a) Olkoon tuntemattomat kulmat α ja β.
Kulma α sinilauseella
8, 22
6, 25
=
sin 80° sin α
8, 22sin α = 6, 25sin 80°
6, 25sin 80°
sin α =
Kulma on terävä
8, 22
α ≈ 48, 49°
Kulma β
β = 180° − 80° − 48,5° = 51,5°
Sivu x
x
8, 22
=
sin 51,5° sin 80°
x sin 80° = 8, 22sin 51,5°
8, 22sin 51,5°
≈ 6,53 cm
x=
sin 80°
α
8,22 cm
β
6,25 cm
x
80°
b) Kolmas kulma on 180° − 80° − 22° = 78°. Olkoon 80° kulman vastainen sivu x ja
viereinen sivu y.
Sivu x (cm)
x
6, 25
=
sin 80° sin 78°
x sin 78° = 6, 25sin 80°
x
6, 25sin 80°
y
x=
≈ 6, 29
sin 78°
80°
22°
6,25 cm
166
Sivu y (cm)
y
6, 25
=
sin22° sin 78°
y sin 78° = 6, 25sin 22°
y=
6, 25sin 22°
≈ 2,39
sin 78°
Vastaus: a) Kulmat ovat 48,5°, 51,5° ja sivu 6,53 cm. b) Kulma on 78° sekä sivut 2,39 cm
ja 6,29 cm.
445. a) Kulma α sinilauseella
24
15
=
sin110° sin α
24sin α = 15sin110°
15sin110°
sin α =
24
α ≈ 36, 0°
Kulma β
β = 180° − 110° − 36° = 34°
Kulma α on terävä
α
24 m
x
Sivu x (m)
x
24
=
sin 34° sin110°
x sin110° = 24sin 34°
24sin 34°
x=
≈ 14, 28
sin110°
110°
β
15 m
b) Kulma α sinilauseella
7, 0
9, 0
=
sin 26° sin α
7, 0sin α = 9, 0sin 26°
9, 0sin 26°
sin α =
Kulma α on terävä
7, 0
α ≈ 34,3°
Kulma β
β = 180° − 26° − 34,3° = 119, 7°
7,0 dm
26°
9,0 dm
167
α
x
β
Sivu x (dm)
x
7, 0
=
sin119, 7 sin 26°
x sin 26° = 7, 0sin119, 7°
7, 0sin119, 7°
x=
sin 26°
x ≈ 13,9
Vastaus: a) Kulmat ovat 36,0°ja 34,0° sekä sivu 14,3 m b) Kulma ovat 34,3° ja 119,7° sekä
sivu 13,9 dm.
446. Terävä kulma α
7,1
2, 4
=
sin 35° sin α
7,1sin α = 2, 4sin 35°
2, 4sin 35°
7,1
α ≈ 11,18°
sin α =
Kulma α on terävä.
Kolmas kulma
γ = 180° − 35° − 11,18° = 133,82°
Pinta-ala
1
A = ⋅ 7,1 m ⋅ 2, 4 m ⋅ sin133,82° ≈ 6,15 m 2
2
35°
2,4 m
γ
α
7,1 m
Vastaus: Ala on 6,15 m2.
447. Kolmas kulma on 180° − 25° − 85° = 70°.
Suurin sivu x on suurimman kulman vastainen sivu.
4
x
=
sin 70° sin 85°
x sin 70° = 4sin 85°
4sin 85°
x=
≈ 4, 24
sin 70°
1
4sin 85°
⋅ sin 25° ≈ 3,58
Pinta-ala A = ⋅ 4 ⋅
2
sin 70°
Vastaus: Suurin sivu on 4,24 ja ala on 3,58.
168
85°
4
70°
25°
x
448. Lasketaan kulmat: 3x + 4x + 5x = 180°, josta x = 15°.
Kulmat ovat siis 45°, 60°, 75°.
Lasketaan sinilauseella toinen sivu x (cm)
12
x
=
sin 75° sin 60°
x sin 75° = 12sin 60°
12sin 60°
x=
≈ 10, 76
sin 75°
1 12sin 60°
cm ⋅12 cm ⋅ sin 45° ≈ 45, 6 cm 2
Pinta-ala A = ⋅
2 sin 75°
75°
x
60°
45°
12 cm
Vastaus: Ala on 45,6 cm2.
449.
Ala A =
1
1
ab sin γ = ⋅ 2a ⋅ 3a ⋅ sin 45° = 3a 2 ⋅
2
2
Vastaus: Ala on
2)
1
2
=
3 2a 2
2
3 2a 2
.
2
45°
450. Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat 60°.
Tasasivuisen kolmion sivu a (m)
1
A = 60 m 2 A = ab sin γ
2
1
⋅ a ⋅ a ⋅ sin 60° = 60
2
3 2
a = 60
4
a2 =
a=
Vastaus: Sivun pituus on
3a
240
3
sin 60° =
:
60
3
4
240
3
3
4
,a ≥ 0
≈ 11, 771
m ≈ 11, 771 m .
169
3
2
2a
451. Kolmion kanta x sinilauseella
x
12, 64
=
sin107,56° sin 46, 76°
x sin 46, 76° = 12, 64sin107,56°
12, 64sin107,56°
≈ 16,542
x=
sin 46, 76°
1
Kolmion ala A = ⋅12, 64 ⋅16,542 ⋅ sin 25, 68° = 45,31
2
C
12,64
A
107,56°
46,76°
25,68°
Vastaus: Ala on 45,31.
452. Kolmas kulma on 180° − 30° − 45° = 105°. Kolmio ei siis ole suorakulmainen.
Lasketaan ensin toinen sivu x sinilauseella
4
x
=
105°
sin 45° sin105°
4
x sin 45° = 4sin105°
4sin105°
45°
30°
x=
≈ 5, 46
sin 45°
x
1
4sin105°
⋅ sin 30° ≈ 5, 46
Pinta-ala A = ⋅ 4 ⋅
2
sin 45°
Vastaus: Kolmio ei ole suorakulmainen, ala on 5,46.
453. Neljännestunnissa kuljettu matka s = vt = 12
Kolmion ABD kulmat D ja B
D = 180° − 38° = 142°
B = 180° − 142° − 25° = 13°
Sivun AB pituus y (km) kolmiosta ABD
3
y
=
sin13° sin142°
3sin142°
y=
= 8, 210...
sin13°
Kysytty lyhin etäisyys x (km)
x
sin 25° =
⋅y
y
x = y sin 25°
x=
y=
3sin142°
sin13°
3sin142°
⋅ sin 25° ≈ 3,5
sin13°
170
km 1
⋅ h = 3 km
h 4
x
C
38°
D
s 25°
A
B
y
B
Pisteestä A kuljettava matka AC (km)
AC
cos 25° =
⋅y
y
AC = y cos 25°
AC =
Matkaan kuluu t =
y=
3sin142°
sin13°
3sin142°
⋅ cos 25° ≈ 7, 441...
sin13°
AC 7, 441...km
=
= 0, 620...h ≈ 37 min
km
v
12
h
Vastaus: Saari näkyy 37 minuutin kuluttua 90o kulmassa, laskettaessa aika pisteestä A.
Etäisyys on silloin 3,5 km.
454. Heijastuksen tapahtuessa järvestä tulokulma on yhtä suuri kuin heijastuskulma.
Kolmion ACP kulmat
A = 62° + 65° = 127°
C = 180° − 2 ⋅ 65° = 50°
P = 180° − 127° − 50° = 3°
P
Kolmion ABC sivu x (m)
10
sin 65° =
x
10
x=
= 11, 033...
sin 65°
Sinilauseella kolmion ACP sivu y (m)
h
y
x
y
=
sin127° sin 3°
A 62°
10
x sin127°
65°
y=
x=
35°
sin 3°
sin 65°
x
10 m
65°
65°
10sin127°
≈ 168,37...
y=
B
C
D
sin 65° sin 3°
Pilven korkeus järven pinnasta h (m)
h
sin 65° =
y
h = y sin 65°
y=
10sin127°
sin 65° sin 3°
10sin127°
⋅ sin 65°
sin 65° sin 3°
10sin127°
h=
≈ 152, 6
sin 3°
h=
Vastaus: Pilven korkeus järven pinnasta on noin 150 metriä.
171
Kosinilause
455. a) Sivu c (m)
c 2 = 9, 02 + 8, 02 − 2 ⋅ 8, 0 ⋅ 9, 0 ⋅ cos 24°
c 2 = 145 − 144 cos 24°
,c ≥ 0
8,0 m
c = 145 − 144 cos 24° ≈ 3, 67
c
Kulma α
8, 0
3, 67
=
sin α sin 24°
3, 67 sin α = 8, 0sin 24°
8, 0sin 24°
3, 67
α ≈ 62,5°
sin α =
24°
9,0 m
Kyseessä on terävä kulma
Kulma β = 180° − 24° − 62,5° = 93,5°
Pinta-ala A =
1
⋅ 8, 0 m ⋅ 9, 0 m ⋅ sin 24° ≈ 14, 6 m 2
2
b) Sivu c (cm)
c 2 = 7, 02 + 3, 02 − 2 ⋅ 7, 0 ⋅ 3, 0 ⋅ cos80°
,c ≥ 0
c = 58 − 42 cos80° ≈ 7,12
Kulma α
7, 0
7,12
=
sin α sin 80°
7,12sin α = 7, 0sin 80°
7, 0sin 80°
sin α =
7,12
α ≈ 75,5°
7,0 cm
80°
3,0 cm
c
Kyseessä on terävä kulma
Kulma β = 180° − 80° − 75,5° = 24,5°
Pinta-ala A =
1
⋅ 3, 0 cm ⋅ 7, 0 cm ⋅ sin 80° ≈ 10,3 cm 2
2
Vastaus: a) Sivu on 3,67 m, kulmat 62,5° ja 93,5° sekä ala 14,6 m2 b) 7,1 cm, 75,5°, 24,5°,
10,3 cm2.
456. a) Sivu c (m)
c 2 = 122 + 62 − 2 ⋅12 ⋅ 6 ⋅ cos120°
c
c = 180 − 144 cos120° = 252 ≈ 15,9
12 m
172
120°
6m
Kulma α
6
252
=
sin α sin120°
6sin120° = sin α 252
sin α =
6sin120°
252
α ≈ 19,1°
Kulma β = 180° − 120° − 19,1° = 40,9°
Kyseessä on terävä kulma
b) Kulma α
7, 0
15
=
sin10° sin α
7, 0sin α = 15sin10°
15sin10°
sin α =
7, 0
10°
c
15 cm
7,0 cm
α ≈ 21,8° Ei käy. Kyseessä on tylppä kulma
α ≈ 180° − 21,8° = 158, 2°
Kulma β = 180° − 158, 2° − 10° = 11,8°
Sivu c (cm)
c 2 = 152 + 7, 02 − 2 ⋅15 ⋅ 7, 0 ⋅ cos11,8°
c = 274 − 210 cos11,8° ≈ 8,3
Vastaus: a) Sivu on 15,9 cm, kulmat 19,1° ja 40,9°. b) Sivu on 8,3 cm, kulmat 11,8° ja
158,2°.
457. Lasketaan ensin tunnettujen sivujen välinen kulma α sinilauseen avulla.
8,5
6,3
=
sin α sin 35°
c
8,5sin 35° = 6,3sin α
8,5sin 35°
Kyseessä on terävä kulma
6,3
α ≈ 50, 70°
Kolmas kulma β = 180° − 50, 70° − 35° = 94,3°
sin α =
Pinta-ala A =
1
⋅ 8,5 m ⋅ 6,3 m ⋅ sin 94,3° ≈ 26, 7 m 2
2
Vastaus: Ala on 26,7 m2.
173
35°
8,5 m
6,3 m
458.
Sivu c (cm)
c 2 = 4, 02 + 7, 02 − 2 ⋅ 4, 0 ⋅ 7, 0 ⋅ cos 48°
β
,c ≥ 0
c
4,0 cm
c = 65 − 56 cos 48° ≈ 5, 247
α
48°
Kulma α
7,0 cm
5, 247
4, 0
=
sin 48° sin α
5, 247 sin α = 4, 0sin 48°
4, 0sin 48°
Kyseessä on terävä kulma.
5, 247
α ≈ 34,5°
Toinen kulma β = 180° − 48° − 34,5° = 97,5°
sin α =
Vastaus: Kolmas sivu on 5,2 cm, kulmat ovat 34,5° ja 97,5°.
459.
Kolmion kolmas sivu kosinilauseella
82 = 42 + x 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ cos 30°
cos 30° =
3
2
82 − 4 2 = x 2 − 4 3 ⋅ x
x 2 − 4 3 ⋅ x − 48 = 0
x=
4 3±
(4 3)
2
− 4 ⋅1 ⋅ ( −48 )
2 ⋅1
4 3 + 240
≈ 11, 21
2
4 3 − 240
x2 =
≈ −4, 28
2
x1 =
Ei käy
Tylppä kulma α
x
11, 21
8
=
sin α sin 30°
8sin α = 11, 21sin 30°
β
30°
4
11, 21sin 30°
8
α ≈ 44,5° Ei käy
sin α =
α ≈ 180° − 44,5° ≈ 135,5°
Terävä kulma β = 180° − 135,5° − 30° = 14,5°
Vastaus: Kolmas sivu on 11,2, kulmat ovat 135,5° ja 14,5°.
174
α
8
460. Ratkaistaan yksi kulma α kosinilauseella ja toinen kulma sinilauseella
7 2 = 32 + 52 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ cos α
7 2 − 32 − 52 = −30 cos α
7
15
30
α = 120°
cos α = −
Kulma β
γ
β
3
5
α
7
5
=
sin120° sin β
7 sin β = 5sin120°
5sin120°
Terävä kulma
7
β ≈ 38, 2°
Kolmas kulma γ = 180° − 120° − 38, 2° = 21,8°
sin β =
Pinta-ala A =
1
⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ sin120° ≈ 6,50
2
Vastaus: Kulmat ovat 120°, 38,2° ja 21,8°. Ala on 6,50.
461. Sivu c (m)
c 2 = 222 + 152 − 2 ⋅ 22 ⋅15 ⋅ cos 33°
,c ≥ 0
a = 22 m
33°
c = 709 − 660 cos 33° ≈ 12, 47
b = 15 m
β
Kulma β
c
12, 47
15
=
sin 33° sin β
12, 47 sin β = 15sin 33°
15sin 33°
12, 47
β ≈ 40,9°
sin β =
Kyseessä on terävä kulma.
Kolmas kulma β = 180° − 33° − 40,9° = 106°
Vastaus: Kolmas sivu on 12,47 m, kulmat ovat 40,9° ja 106°.
175
α
462. Sivu x
x2
α1
α2
b = 302
x1
β1
β2
25°
a = 704
3022 = 7042 + x 2 − 2 ⋅ 704 ⋅ x ⋅ cos 25°
x 2 − 1408cos 25° x + 404 412 = 0
x=
1408cos 25° ±
(1408cos 25° )
2
− 4 ⋅1 ⋅ ( 404 412 )
2 ⋅1
x1 ≈ 689,847
x2 ≈ 586,847
Kulma α sinilauseella
704
302
=
sin α sin 25°
704sin 25°
sin α =
302
α1 ≈ 80,1°
α 2 ≈ 180° − 80,1° = 99,9°
Kolmas kulma
β1 = 180° − 25° − 80,1° = 74,9°
β 2 = 180° − 25° − 99,9° = 55,1°
Vastaus: Kolmion sivu on joko 689 m sekä kulmat 80,1° ja 74,9° tai kolmion sivu on joko
587 m sekä kulmat 99,9° ja 55,1°.
Monikulmiot
463. Koska säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta
tasasivuisesta
kolmiosta, niin 5x = 10 ja kuusikulmion sivu on x = 2,0 .
Kuusikulmion piiri p = 6 x = 6 ⋅ 2,0 m = 12,0 m .
Vastaus: Kuusikulmion piiri on 12,0 m.
176
464. Suorakulmaisen kolmion korkeus h (dm)
h 2 + 2,52 = 5,02
h 2 = 18, 75
,h ≥ 0
h = 18,75 = 4,330...
Kuusikulmion ala A = 6 ⋅
5,0 dm ⋅ 18,75 dm
≈ 65 dm 2 .
2
Vastaus: Kuusikulmion ala on 65 dm2.
465. Suunnikkaan ala on 12h = 72 , josta h = 6 . Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
6
sin α =
, josta suunnikkaan pienempi
10
kulma α ≈ 37° .
Suurempi kulma on β = 180°−α = 143° .
Suorakulmaisesta kolmiosta ∆AED saadaan
102 = 62 + x 2 , josta x = 8 . Tällöin
y = 12 − x = 4 . Kolmiosta ∆BDE saadaan
z 2 = 4 2 + 62 , mistä z = 52 ≈ 7,2 .
Vastaus: Suunnikkaan kulmat ovat 37o ja 143o. Lyhyempi lävistäjä on 7,2 cm.
466. Suorakulmaisesta kolmiosta ∆ABC saadaan 4 2 + h 2 = 62 , josta
h = 20 = 4,472... . Suorakulmion ala on
A = kh = 4,0 cm ⋅ 4,472... cm ≈ 18 cm 2 .
Suorakulmaisesta kolmiosta ∆ADE saadaan sin α =
josta α = 41,810... ° ja 2α = 2 ⋅ 41,810... ° ≈ 84° .
2
,
3
Vastaus: Suorakulmion ala on 18 cm2 ja lävistäjien välinen kulma 84°.
467. Suorakulmion ala As = 6 ⋅ 8 = 48 .
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x 2 = 62 + 82 ,
josta x = 10 .
Neliön ala An = 102 = 100 .
An 100
=
= 2,083...
As
48
Neliön ala on 2,083... − 1 = 1,083... ≈ 108% suurempi
kuin suorakulmion ala.
Alojen suhde on
Vastaus: Neliön ala on 108 % suurempi kuin
suorakulmion ala.
177
468. Levyjen pinta-ala A = 5 ⋅ 0,225 m ⋅ 0,31 m = 0,348... m2 .
Levyjen hinta on h = 0,348... ⋅ 30 euroa ≈ 10,46 euroa .
Vastaus: Levyjen hinta on 10,46 euroa.
469. Pythagoraan lauseella x 2 + 2 2 = 4 2 , josta x = 12 = 2 3 ≈ 3,5 .
2
Suorakulmaisesta kolmiosta ∆ABD saadaan sin α = , josta α = 30° ,
4
jolloin β = 75°−30° = 45° .
y
Kolmiossa ∆BCD kantakulmat ovat yhtä suuret, joten cos45° = ,
4
1
josta y = 4 cos 45° = 4 ⋅
= 2 2 ≈ 2,8 .
2
Nelikulmion ala on A =
2⋅2 3 2 2 ⋅2 2
+
= 2 3 + 4 ≈ 7,5 .
2
2
Vastaus: Sivut ovat 2, 2 2 , 2 2 ≈ 2,8 ja 2 3 ≈ 3,5 . Ala on 2 3 + 4 ≈ 7,5 .
470. Yhden setelin ala on A = 0,12 m ⋅ 0,062 m = 0,00744 m 2 .
Peittyvä pinta-ala on Akok =
2,3 ⋅ 109
⋅ 0,00744 m 2 ≈ 3 420 000 m 2 = 3,42 km 2 .
5
Vastaus: Setelit peittäisivät 3,42 km2.
800 kg
kg
= 0,101... 2 .
75 m ⋅ 105 m
m
Suurimman lipun massa oli 80 ⋅ 152 ⋅ 0,101... kg ≈ 1 200 kg .
471. Olympialippu painoi
Vastaus: Suurin lippu painoi 1 200 kg.
472. Koska suunnikkaan sivujen pituudet ovat 2 ja 6, niin pituudeltaan 6 oleva lävistäjä on
lyhyempi lävistäjistä.
Kolmiosta ABD lasketaan kosinilauseella kulma γ
D
22 = 62 + 62 − 2 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ cos γ
68
cos γ =
72
γ = 19,188...°
E
2
Lasketaan kolmiosta ABE kosinilauseella lävistäjän puolikkaan pituus x
x 2 = 32 + 62 − 2 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ cos19,188...°
x = 45 − 36 cos19,188...° = 3,316...
178
,x ≥ 0
2
3
x
A
C
x
3
γ
6
B
Lävistäjän pituus 2 x = 2 ⋅ 3,316... ≈ 6, 6
1
Suunnikkaan ala A = 2 Akolmio = 2 ⋅ ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ sin19,188... ≈ 11,8
2
Vastaus: Lävistäjän pituus on 6,6 ja suunnikkaan ala 11,8.
473.
Säännöllisen viisikulmion lävistäjät ovat yhtä pitkät.
(5 − 2) ⋅180°
= 108°
Viisikulmion kulman suuruus γ =
5
Lävistäjän pituus x
x 2 = 32 + 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ cos108°
,x ≥ 0
C
3
D
B
γ
x
3
6
x = 18 − 18cos108° ≈ 4,85
A
E
Vastaus: Lävistäjän pituus on 4,85.
474. Lasketaan nelikulmion ala molemmissa tapauksissa.
Kolmiosta CED suunnikkaan korkeus h
h
3
=
6
2
h=3 3
Sivu CE
x 1
=
6 2
A
4
F
x=3
Nelikulmion BEDF ala
6
A = (4 + x) h = (4 + 3)3 3 = 21 3
6
(2)
Kolmiosta BHC suunnikkaan
korkeus h
60°
60° (1)
B
h
3
x
C
=
4
2
h=2 3
Sivu CH
x 1
=
4 2
x=2
Nelikulmion BEDF ala A = (4 + x)h = (4 + 2)2 3 = 12 3
Vastaus: Pienimmän nelikulmion ala on 12 3 .
179
I
A
D
6
h
E
D
B
60° 4
30° (2)
6
C
(1)
h
H
x
YMPYRÄ
475. Ensimmäisen radan säde r metriä. Toisen radan säde r + 1,23 metriä. Koska suorat s
ovat molemmilla radoilla yhtä pitkät, niin ratojen pituuksien välinen ero on
2 s + 2π (r + 1,23) − (2 s + 2π r ) = 2 s + 2π r + 2π ⋅ 1,23 − 2 s − 2π r = 2π ⋅ 1,23 ≈ 7,73 .
Vastaus: Lähtöpaikkojen välinen etäisyys tulee olla 7,73 metriä.
476.
Kulmaa α vastaava keskuskulma 2α,
ja sen vieruskulma 180° − 2α .
P
Kysytty kulma
β = 180° − 90° − (180° − 2α ) = 2α − 90°
α 180° − 2α
β
A
2α
B
Vastaus: 2α − 90°
477. Tutkitaan kolmiota ∆ABD .
Sivu AB = DF + FC = 14 + 7 = 21 .
Hypotenuusa BD = BE + DE = AB + DE = 21 + 14 = 35 .
Pythagoraan lauseella x 2 + 212 = 352 , josta x2 = 784 ja x = 28.
Tällöin BC = x = 28.
Vastaus: BC = 28
478. a) Käytetään pituusyksikkönä neliön sivua s.
Pystysakaran ala ilman kaarevia osia on 8 neliön ala eli 8s2.
Vaakasakaran ala ilman kaarevia osia on 2 neliön ala eli 2s2.
Kaarevan osan ala saadaan vähentämällä neliön alasta neljäsosaympyrän
1
alan s 2 − πs 2 .
4
FG
H
IJ
K
FG
H
IJ
K
5
5
1 2
πs = 5s 2 − πs 2 = s 2 5 − π ≈ 11
, s2
4
4
4
Kirjaimen kokonaisala 8s2 + 2s2 + 1,1s2 = 11,1s2
Kaarevien yhteisala on 5 ⋅ s 2 −
b) Ala on A = Aisopy − A pienipy + A pienipy = Aisopy =
1
⋅ π ⋅ (6,0 cm) 2 ≈ 57 cm 2 .
2
6,0 cm
Vastaus: a) Ala on 11,1. b) Ala on 57 cm2.
180
479. Säde R
Suorakulmaisesta kolmiosta
1
R
sin 67,5° = 2
11,5
R = 2 ⋅11,5 ⋅ sin 67,5°
R ≈ 21, 2
11,5
67,5°
cm
1– R
2
Vastaus: Suurimman ympyrän säde on 21,2 cm.
480. Oven ala Aovi = 2,10 m ⋅ 3,10 m +
1
⋅ π ⋅ (1,05 m) 2 = 8,241... m 2 .
2
1
Lasin ala Alasi = 6 ⋅ (0,40 m) 2 + ⋅ π ⋅ (1,05 m) 2 = 2,691... m 2 .
2
A
2,691... m 2
Alojen suhde lasi =
≈ 0,33 = 33% .
Aovi 8,241... m 2
Vastaus: Ovesta on 33 % lasia.
6,0
Suuren ympyrän säde on R = 5 ⋅ r = 5 ⋅
A=πR
F
= π G5⋅
H
6,0
π
I
cmJ
K
2
= π ⋅ 25 ⋅
π
6,0
π
6,0
π
cm 2 = 150 cm 2 .
482. Leikkausalue koostuu kahdesta segmentistä.
Segmentin ala on Asegmentti = Asektori − Akolmio .
1
r
1
2
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan cos α =
= ,
2
r
josta α = 60° ja sektorin keskuskulma 2α = 120° .
x2 =
FG 1 rIJ
H2 K
2
.
. Ison ympyrän ala on
Vastaus: Ison ympyrän ala on 150 cm2.
Pythagoraan lauseella x 2 +
3,10 m
40 cm
40 cm
2,10 m
481. Pienen ympyrän ala on π r 2 = 6,0 , josta r =
2
1,05 m
= r 2 , josta
3
3 2
r ja x =
r . Tällöin segmentin ala on
2
4
181
Asegmentti
120° 2
=
πr −
360°
A = 2 Asegmentti =
2⋅
3 1
r⋅ r
2
2 = π − 3 r 2 ja kysytyn alueen ala on
2
3 4
F 2π − 3 I r
GH 3 2 JK
F
GH
2
Vastaus: Leikkausalueen ala on
I
JK
≈ 1,23r 2 .
F 2π − 3 I r
GH 3 2 JK
2
≈ 1,23r 2 .
1⋅ 1 1
= . Pythagoraan lauseella 12 + 12 = x 2 ,
2
2
josta kolmion hypotenuusan pituus on x = 2 . Kuun sirpin ala saadaan
vähentämällä puoliympyrän alasta segmentin ala. Puoliympyrän ala
483. Kolmion ala Ak =
A py =
1
π
2
F 2I
GH 2 JK
2
=
π
4
.
90°
1 π 1
π ⋅ 12 − = − .
360°
2 4 2
π
π 1
1
= −
−
= .
4
4 2
2
Segmentin ala on Asegmentti = Asektori − Akolmio =
Kuun sirpin ala on Asirppi = A py − Asegmentti
Vastaus: Kuun sirpin ala on
FG
H
IJ
K
1
1
ja kolmion ala on .
2
2
484.
Jana AD = BC =2 ⋅ 6 =12
Jana OQ = QR = RP = 3, joten AB = DC = 6 + 3 ⋅ 3 + 6 = 21.
Piiri 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 21 = 66.
D
C
O
A
Vastaus: 66
Neliö ympyrässä
Neliön sivu a
Neliön ala a2
182
R
P
B
485.
Ympyrän halkaisija 2r on yhtä suuri kuin neliön lävistäjä a 2 eli r =
Q
a 2
.
2
Alojen suhde
Aneliö
=
Aympyrä
a2
⎛a 2⎞
π ⋅ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2 ⎠
2
=
2
π
≈ 0, 64
Ympyrä neliössä
Neliön sivu on ympyrän halkaisija 2r
Aympyrä
π r2 π
Alojen suhde
=
= ≈ 0, 79 > 0, 64
(2r ) 2 4
Aneliö
Vastaus: Ympyrä neliössä täyttää suuremman osan.
486. Koska ympyrä kulkee pikkuneliöiden keskipisteiden kautta, sen säde on pikkuneliön
1
2
lävistäjän puolikas
.
2
2
1
⎛ 2⎞
π
Ympyrän ala A = π ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ =
2
2
⎝
⎠
1
Vastaus: Ala on
π
2
.
487. Sivu AB = 8 + 6 +8 = 22
1
Kolmion ala Akolmio = ⋅ 22 ⋅16 2 = 176
2
Koska kolmion kulmien summa on 180° ja sektorit ovat
saman säteisiä, sektoreista muodostuu puoliympyrä.
1
Kysytty ala Akolmio − Asektorit = 176 − π ⋅ 82 = 176 − 32π
2
Vastaus: Ala on 176 − 32π .
B
8
6
F
G
8
A
45°
PALLO
488. Puolipallon säde r =
d
= 7,0 m . Puolipallon pinta-ala on
2
1
1
⋅ 4π r 2 = ⋅ 4π ⋅ (7,0 m) 2 = 98π m 2 ≈ 308 m 2 . Koska grammasta kultaa voidaan
2
2
takoa neliömetrin suuruinen levy, niin kultaa tarvitaan 308 g.
A=
Vastaus: Kultaa tarvitaan 308 g.
183
C
489. Veden määrä V = Ah =
b
g
2
2
2
⋅ 4π r 2 ⋅ h = ⋅ 4π 6 370 km ⋅ 0,00018 km ≈ 61 000 km3 .
3
3
Vastaus: 61 000 km3
490.
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x 2 + 6 3702 = 6 370,12 ,
josta x 2 = 1 274,01 ja x ≈ 35,7 .
Vastaus: Saaren etäisyys on 35,7 km.
491.
Pythagoraan lauseella x 2 = 5 000 2 + 6 370 2 , josta x = 8 097,956...
Etäisyys maan pinnasta on h = x − R = 8 097,956... km − 6 370 km ≈ 1 700 km.
Vastaus: Etäisyys maan pinnasta on 1 700 km.
492. Hillan massa m =
1 096 €
€
168 000
kg
≈ 0, 00652 kg = 6, 52 g . Koska 1 dm3 hilloja
painaa 1 kg = 1000 g, niin hillan tilavuus on 0,00652 dm3 = 6,52 cm3 .
Hillan säde on
6,52 ⋅ 3
4 3
6,52 ⋅ 3
π r = 6,52 , josta r 3 =
ja r = 3
≈ 1,2 .
4π
3
4π
Vastaus: Hillan massa on 6,5 g, tilavuus 6,5 cm3 ja säde 1,2 cm.
493. Pallon säde R
Kuopan reunaympyrän säde 0,8R
Kuopan syvyys 2,0
Pythagoraan lauseella
R 2 = (0,8 R) 2 + ( R − 2, 0) 2
R
R − 2,0
−0, 64 R + 4 R − 4 = 0
2
R=
R1 =
−4 ± 42 − 4 ⋅ (−0, 64) ⋅ (−4)
2 ⋅ (−0, 64)
−4 − 5, 76
=5
−1, 28
−4 + 5, 76
= 1, 25 < 3 ei käy
−1, 28
Pallon pinta-ala A = 4π ⋅ 52 ≈ 310
R2 =
Vastaus: Ala on 310 cm2.
184
0,8R
2,0
494. Pallon halkaisija d
Tasasivuisen kolmion sivu on 4d
Tasasivuisen kolmion korkeus
4d 3
⋅2
33 − d =
2
66 − 2d = 4d 3
66
d=
≈ 7, 4
4 3+2
A
4d
4d
33 − d
Vastaus: Pallon halkaisija on
66
cm ≈ 7, 4 cm .
4 3+2
H
4d
LIERIÖ
495. Yksikkömuunnos 200 l = 0,200 m3
r = pohjaympyrän säde
π ⋅ r 2 ⋅ 1,20 = 0,200
0,200
= 0,230...
π ⋅ 1,20
Pohjaympyrän halkaisija on 2r ≈ 0,46 (m).
r=±
Vastaus: 0,46 m
496. Yksikkömuunnos 25 cm = 2,5 dm
A = 2 ⋅ AP + AV = 2 ⋅ π ⋅ 1,0 2 + 2 ⋅ π ⋅ 1,0 ⋅ 2,5 = 21,99 ≈ 22 (dm2)
V = AP h = π ⋅ 1,02 ⋅ 2,5 = 7,85 ≈ 7,9 (dm3)
Vastaus: 7,9 dm3, 2 200 cm2
497. Yksikkömuunnokset 0,001 mm = 0,000001 m ja 2 km2 = 2 000 000 m2
V = A ⋅ h = 2 000 000 m 2 ⋅ 0, 000001 m = 2, 0 m3 = 2 000 l
Vastaus: 2 000 l
498. a) kehän pituus p = 2 ⋅ π ⋅ 6,0 ≈ 37,699 ≈ 37,7
b) Levyn ala- ja yläpuoli saadaan kahden ympyrän alojen erotuksena. Lisäksi lasketaan
levyn ulko- ja sisäreunan ala,
jotka ovat lieriöiden vaippoja. Lieriön korkeus on levyn paksuus 1 mm = 0,1 cm
A = 2 ⋅ (π ⋅ 6,02 − π ⋅ 0,752 ) + 2 ⋅ π ⋅ 6,0 ⋅ 0,1 + 2 ⋅ π ⋅ 0,75 ⋅ 0,1 ≈ 230
185
c) tilavuus V = π ⋅ 6, 02 ⋅ 0,10 − π ⋅ 0, 752 ⋅ 0,10 = 11,133...
15,0 g
≈ 1,3 g / cm 3
tiheys ρ =
11,133...cm 3
Vastaus: a) 37,7 cm b) 230 cm2 c) 1,3 g/cm3
499. V =
V = π r 2h
h=
h=
m
ρ
=
3 948 ⋅106
= 5, 640 ⋅109 (dm3)
0, 700
: (π r 2 )
V
V = 5, 640 ⋅109 dm3 = 5, 640 ⋅106 m3 , r =
π ⋅ r2
20, 0 m
= 10, 0 m
2
5, 640 ⋅106 m3
≈ 18000 m = 18 km
π ⋅ (10, 0 m) 2
Vastaus: 18 km
500. Kiven tilavuus on yhtä suuri kuin lieriön, jolla on sama pohja kuin vesiastialla ja
korkeutena 2,0 cm.
V = A p ⋅ h = π ⋅ 5,0 2 ⋅ 2,0 ≈ 160 (cm3)
Vastaus: 160 cm3
501. 2,4 kg:n nestemäärän tilavuus on 1 dm3
2, 0
2,0 kg:n nestemäärän tilavuus on
dm3 = 0,8333… dm3 = 833,3… cm3
2, 4
Lasketaan lieriön korkeus h
V = Ah
V = 833,3 cm3 , A = 90 cm 2
833,3... = 90h
h=
:90
833,3...
≈ 9,3
90
Vastaus: 9,3 cm
502. Kokonaisala on seinien ala vähennettynä ovien ja
ikkunoiden alalla.
A = 2 ⋅ 4,5 ⋅ 2,8 + 2 ⋅ 3,8 ⋅ 2,8 − 5,0 = 41,48
Maalataan kahteen kertaan
2A = 82,96
82,96
≈ 10 litraa
Maalia
8,0
186
Maalikerroksen paksuus
maalin tilavuus
10 000 cm3
=
≈ 0, 024 cm = 0,24 mm
maalattu pinta-ala 414 800 cm 2
Vastaus: 10 l ja 0,24 mm
503. Kuution särmä a
4
Maapallon tilavuus ⋅ π ⋅ (6380 km)3
3
4
3
3
a = ⋅ π ⋅ 6380
3
4
a = 3 ⋅ π ⋅ 63803 ≈ 10300 km
3
Vastaus: 10 300 km
504. Kuution tilavuus s3
1
a) suklaapallon säde s
2
4
1
⋅ π ⋅ ( s )3
Vsuklaa 3
π
2
=
= ≈ 52, 4 %
suklaan osuus
3
Vkuutio
s
6
b) Palloja on rasiassa 8 kpl ja jokaisella sivulla on 2 palloa rinnakkain jolloin niiden säde on
1
s.
4
4
1
8 ⋅ ⋅ π ⋅ ( s )3
Vsuklaa
π
3
4
=
= ≈ 52, 4 %
suklaan osuus
6
Vkuutio
s3
c) Palloja on rasiassa 27 kpl ja jokaisella sivulla on 3 palloa rinnakkain jolloin niiden säde
1
on s .
6
4
1
27 ⋅ ⋅ π ⋅ ( s )3
Vsuklaa
π
3
6
=
= ≈ 52, 4 %
6
Vkuutio
s3
Vastaus: a)
π
6
≈ 52, 4 % b)
π
6
≈ 52, 4 % c)
π
6
187
≈ 52, 4 %
505. Lieriön tilavuus V = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ 5, 02 ⋅ 32 = 800π
Lasketaan lieriöiden pohjien säteet.
V = π r 2h
:(π h)
V
πh
= r2
V
π ⋅h
r=
r2 =
800π
= 50
π ⋅16
r3 =
800π
= 100 = 10
π ⋅8
r4 =
800π
= 200
π ⋅4
r5 =
800π
= 400 = 20
π ⋅2
Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhteet
r2
50 5 2
=
=
= 2
r1
5
5
r3
=
r2
50
10
50
=
10 50 50 2
=
= 2
50
50
r4
200 10 2
=
=
= 2
r3
10
10
r5
=
r4
200 )
20
200
=
20 200 200 2
=
= 2
200
200
Vastaus: Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhde on vakio
2.
506. Koska korkeuden ja pohjan halkaisijan suhde on 1:2, ovat korkeus ja pohjan säde yhtä
suuret.
V = Ah = π ⋅ h 2 ⋅ h = π ⋅ h 3
π ⋅ h 3 = 6,28
h=3
6,28
π
A pohja = π ⋅ h
2
F
= π ⋅G
H
3
6,28
π
I
JK
2
= 4,985...
188
Avaippa
F
= 2 ⋅π ⋅ h ⋅ h = 2 ⋅π ⋅ G
H
3
6,28
π
I
JK
2
= 9,970...
Akok = 4,985...+9,970... ≈ 15,0 (m2)
Vastaus: 15,0 m3
507. x = särmiön pituus
A = 2 ⋅ 0,8 x ⋅ x + 2 ⋅ 0,8 x ⋅ 0,9 x + 2 ⋅ 0,9 x ⋅ x = 4,84 x 2
4,84 x 2 = 484
x 2 = 100
x = 10
V = 0,8 x ⋅ x ⋅ 0,9 x = 8,0 ⋅ 10 ⋅ 9 = 720 (cm3)
Vastaus: 720 cm3
508.
m =V ⋅ρ
4
⋅ π ⋅ 0,53 ⋅ 2,2 ⋅ 103 kg = 1 151,9... kg
3
= 0,65 ⋅ 115
, ⋅ 115
, ⋅ 2,2 ⋅ 103 = 1 891,1... kg
m pallo =
m jalusta
Jalustan sisällä olevan pallosegmentin massa
0,33
2
msegm = π ⋅ 1,00 − 0,67 ⋅ 0,5 −
⋅ 2,2 ⋅ 103 =293,5... kg
3
mkok = 18911
, ...+1151,9...−293,5... ≈ 2 700 kg
b
g FGH
IJ
K
Vastaus: 2 700 kg
509.
a) 2πrulko = 2π ⋅ 6,25 = 39,26... ≈ 39
b) 2πrsisä = 2π ⋅ 2,15 = 13,50... ≈ 14
Kerroksen paperimäärän keskiarvo =
39,26...+13,50...
= 26,38...
2
62,5 − 21,5
= 273,3...
0,15
Paperia yhteensä 273,3... ⋅ 26,38 cm ≈ 7 200 cm = 72 m
Kerroksia yhteensä
Vastaus: a) 39 cm b) 14 cm c) 72 m
189
510. Hämähäkin lyhin reitti on joko katon tai lattian kautta suoraviivaisesti, kumpaakin
kautta tulee matkaksi
1 m + 30 m + 11 m = 42 m
Tehtävästä saa haastavamman, jos kärpänen on esimerkiksi vastakkaisen seinän nurkassa,
jolloin särmiö joudutaan levittämään tasoon ja käyttämään Pythagoraan lausetta.
Vastaus: 42 m
511.
4,5
9
α = 60°
Ympyräsektorin keskuskulma β = 360° − 2α = 240°
Ympyräsektorin ala
240°
1
81 3
A=
π ⋅ 92 + ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ sin120° = 54π +
360°
2
4
Veden tilavuus
⎛
81 3 ⎞
3
3
V = ⎜⎜ 54π +
⎟⎟ ⋅110 cm ≈ 22 500 cm = 22,5l
4
⎝
⎠
cos α =
4,5
13,5
α
9
β
Vastaus: 22,5 l
512. astian tilavuus 9 ⋅11 ⋅ 38, 5 = 3811,5
veden korkeus h
veden tilavuus 9 ⋅11 ⋅ h = 99h
jäätyneen veden tilavuus 1,1 ⋅ 99h = 108,9h
Saadaan yhtälö
108,9h = 3 811,5
h = 35
Vastaus: Vettä voi laittaa 35 cm verran.
513. pohjan säde r
korkeus r + 5
Tilavuus
π r 2 (r + 5) = 28π
:π
r 3 + 5r 2 − 28 = 0
Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on r = 2 eli polynomin yksi tekijä on r − 2. Muut
juuret saadaan tekijöihin jakamalla.
190
r 2 + 7 r + 14
r + 5r 2 − 28
r−2
3
∓ r 3 ± 2r 2
7r 2
∓7r 2 ± 14r
14r − 28
∓14r ± 28
0
Muut juuret
r 2 + 7 r + 14 = 0
r=
−7 ± 7 2 − 4 ⋅1 ⋅14 −7 ± −7
=
2 ⋅1
2
ei reaalijuuria
Vastaus: Pohjan säde on 2.
KARTIO
514. Kartion korkeus h
h 2 + 1252 = 1802
h = 1802 − 1252
h = 129,5...
1
1
V = π r 2 h = π ⋅ (125 cm) 2 ⋅129,5... cm ≈ 2120 000 cm3 = 2,12 m3
3
3
A = Apohja + Avaippa = π ⋅ (125 cm) 2 + π ⋅ 125 cm ⋅ 180 cm ≈ 120 000 cm 2 = 12, 0 m 2
Vastaus: 2,12 m3, 12,0 m2
515. Kartion sivujana s
s2 = 262 + 122
s = ± 820
s = 28,63...
Avaippa = π rs = π ⋅12 ⋅ 28, 63... ≈ 1100 (cm2)
tan α =
α ≈ 65°
26
12
Vastaus: 1 100 cm2, 65 °
191
516.
1
V = π r 2h
3
1
25, 0 = π r 2 ⋅15, 0
3
75, 0 = π r 2 ⋅15, 0
r2 =
r=
V = 25, 0 dm3 , h = 15, 0 dm
⋅3
: (15, 0π )
75, 0
15, 0π
75, 0
15, 0π
r = 1, 2615...
Pohjan halkaisija
2r ≈ 2,5 dm
Vastaus: 2,5 dm
517. a) Kyseessä on neliöpohjainen pyramidi, jonka sivutahot ovat tasasivuisia kolmioita.
Tasasivuisen kolmion korkeusjana a
a2 + 52 =102
a = ± 75
a = 8,66...
10
10
1
A = 10 ⋅ 10 + 4 ⋅ ⋅ 10 ⋅ 8,66... ≈ 270
2
10
Pyramidin korkeus h
h2 + 52 = a2
h=±
e 75j
2
− 25
h = 50 = 7,07...
1
1
V = ⋅ A ⋅ h = ⋅ 100 ⋅ 7,07... ≈ 240
3
3
b) Kyseessä on ympyräkartio, jonka sivujana on 2,4 m.
72°
Avaippa =
π ⋅ 2,4 2 = 3,6191...
360°
2,4 m
Kartion pohjaympyrän kehän pituus
72°
72°
2πr =
⋅ 2 ⋅ π ⋅ 2,4
360°
r = 0,48
Apohja = π ⋅ r 2 = π ⋅ 0,48 2 = 0,7238...
Akok = 3,6191…+ 0,7238… ≈ 4,3 (m2)
Kartion korkeus h
h2 + 0,482 = 2,42
h = ± 5,5296 = 2,351...
192
V=
1
⋅ π ⋅ 0,482 ⋅ 2,351... ≈ 0,57 (m3)
3
Vastaus: a) Pinta-ala 270, tilavuus 240 b) Pinta-ala 4,3 m2, tilavuus 0,57 m3
518. Kartion pohjan säde 11,4 cm
Kartion sivujana s
Kartion korkeus h
Vaipan ala
π rs = 652,8
r = 11, 4
652,8
11, 4π
Pythagoraan lauseella
s=
s
h
2
⎛ 652,8 ⎞
2
h= ⎜
⎟ − 11, 4 ≈ 14, 22
11,
4
π
⎝
⎠
Tilavuus
1
1
V = π r 2 h = π ⋅11, 42 ⋅14, 22 ≈ 1 900
3
3
1
Massa m = V ρ = π ⋅11, 42 ⋅14, 22 ⋅ 5,8 ≈ 11 000
3
Vastaus: Tilavuus on 1 900 cm3 ja massa 11 000 g.
519. Pyramidin korkeus h
h2 + 40,02 = 120,02
h = ± 12800
h = 113,13...
1
V = ⋅ 80,02 ⋅ 113,13... ≈ 241000 (cm3) = 241 (dm3)
3
1
A = Apohja + Avaippa = 802 + 4 ⋅ ⋅ 80,0 ⋅ 120,0 = 25600 (cm2)
2
Vastaus: 241 dm3, 25 600 cm2
520. Sivutahkokolmion korkeus a
a2 + 11,52 =232
a = ± 396,75
a = 19,91...
Pyramidin korkeus h
h2 + 11,52 = a2
h = ± 396,75 − 11,52
h = 264,5 = 16,263...
193
11,4
1
⋅ 232 ⋅ 16,263... ≈ 2 900 (cm3)
3
1
A = 232 + 4 ⋅ ⋅ 23 ⋅ 19,91... ≈ 1400 (cm2)
2
V=
Vastaus: 2 900 cm3, 1 400 cm2
521. Hiekkaa tunnissa 60 ⋅ 1,0 cm3 = 60 cm3
Kartion korkeus h
1
⋅ π ⋅ h 2 ⋅ h = 60,0
3
180
h=3
≈ 3,9 (cm)
π
Vastaus: 60 cm3 ja 3,9 cm
522. Yhdenmuotoisista kolmioista
h1 h1 + 26,7
=
1,6
2,6
2,6 h1 = 1,6h1 + 42,72
h1 = 42,72
Alaosan katkaistun kartion tilavuus
1
1
V1 = ⋅ 2, 62 ⋅ (42, 72 + 26, 7) − ⋅1, 62 ⋅ 42, 72 = 119,972
3
3
Yläosan kartion tilavuus
1
V2 = ⋅ 1,62 ⋅ 2,9 = 3,489...
3
Vkok = 119,972 + 3,489... = 123,461...
m = V ⋅ ρ = 123,461...⋅2,7 ⋅ 103 kg ≈ 330000 kg = 330 t
Vastaus: 330 t
523. Kuution särmä 8,0 m
Sisällä olevan kuution särmä 3,4 m
Seinän paksuus 0,2 m
Katkaistut pyramidit
Koska katkaistut pyramidit ovat kuution sisällä symmetrisesti vastakkain, on katkaistun
pyramidin korkeus
1
1
1
1
⋅ ison kuution särmä – ⋅ pienen kuution särmä = ⋅ 8,0 m − ⋅ 3,4 m = 2,3 m.
2
2
2
2
194
Kokonaisen pyramidin korkeus:
h
h − 2,3
=
8, 0
3, 4
3,4 h = 8,0 h – 18,4
h=4
1
1
Vkatkpyr = ⋅ 8, 02 ⋅ 4 − ⋅ 3, 42 ⋅ ( 4, 0 − 2,3) = 78, 78... (m3)
3
3
Katkaistun pyramidin sivutahkot ovat puolisuunnikkaita, joiden kannat ovat 8,0 m ja
3,4 m.
Koska puolisuunnikkaat ovat kuution pohjalävistäjän suuntaisesti, puolisuunnikkaan
korkeus saadaan kuutioiden pohjalävistäjien avulla:
Ison kuution pohjan lävistäjä on 8,0 ⋅ 2 m (neliön lävistäjä on s 2 , jossa s on neliön sivu)
Pienen kuution pohjan lävistäjä 3,4 ⋅ 2 m
Kun ison kuution pohjalävistäjästä vähennetään pikkukuution pohjanlävistäjä, saadaan
kahden puolisuunnikkaan korkeus ja yhden puolisuunnikkaan korkeus on
8, 0 2 − 3, 4 2
= 3, 252...
2
Puolisuunnikkaan muotoisia ja 20 cm paksuisia sivutahkoja on 8 kpl.
8, 0 + 3, 4
Vkok = Valin pyramidi + 8 ⋅
⋅ 3, 252... ⋅ 0, 20 ≈ 110 (m3)
2
m = V ⋅ ρ = 110 ⋅ 2,0 ⋅ 103 kg ≈ 220000 kg = 220 t
Vastaus: 220 t
524. Oktaedrit koostuvat kahdesta neliöpohjaisesta pyramidista.
Pyramidien pohjaneliöiden lävistäjät ovat 5 ⋅ 2 , 10 ⋅ 2 ja 20 ⋅ 2
Pyramidien korkeudet:
h1
2
F5 2I
+G
H 2 JK
h1 = ± 25 −
2
= 52
25
2
h1 = 3,535...
h2
2
F 10 2 I
+G
H 2 JK
2
= 102
h2 = ± 100 − 50
h2 = 7,071...
195
h3
2
F 20 2 I
+G
H 2 JK
2
= 202
h3 = ± 400 − 200
h3 = 14,142...
1
1
1
Vkok = 10 ⋅ ⋅ 52 ⋅ 3,535...+2 ⋅ ⋅ 102 ⋅ 7,071...+2 ⋅ ⋅ 202 ⋅ 14,142... ≈ 4500 (cm3)
3
3
3
Vastaus: 4 500 cm3
525. Kartion pohjan ja pallon säde r
Pinta-alojen summa
π r 2 + π rs + 4π r 2 = 135π
:π,s = 7
1
2
1
5r 2 + 7 r − 135 = 0
2
1
1
−7 ± (7 ) 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−135)
2
2
r=
2⋅5
1
−7 ± 2 756, 25
2
r=
10
1
1
−7 − 52
2
2 < 0 ei käy
r1 =
10
1
1
−7 + 52
2
2 = 41
r2 =
10
2
Kartion korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella
1
1
h = (7 ) 2 − (4 ) 2 = 6
2
2
2
Tilavuuksien suhde
Vastaus:
1 ⎛ 1⎞
π ⋅⎜ 4 ⎟ ⋅6
3 ⎝ 2⎠
Vkartio
1
=
=
3
Vpallo
3
4 ⎛ 1⎞
π ⋅⎜ 4 ⎟
3 ⎝ 2⎠
Vkartio 1
=
Vpallo 3
196
526. Pohjasärmä s
Pinta-ala
1
4 ⋅ ⋅10 ⋅ s + s 2 = 384
2
2
s + 20 s − 384 = 0
−20 ± 202 − 4 ⋅1 ⋅ (−384)
2 ⋅1
−20 − 1 936
s1 =
< 0 ei käy
2
−20 + 1 936
= 12
s1 =
2
Pyramidin korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella suorakulmaisesta kolmiosta, jonka
12
=6.
hypotenuusa on apoteema 10,0 ja toisena kateettina pohjaneliön sivun puolikas
2
s=
h = 102 − 62 = 8
1
Tilavuus V = ⋅122 ⋅ 8 = 384
3
Pyramidin massa m = V ⋅ ρ = 384 ⋅ 5, 55 ≈ 2 130
Vastaus: Massa on 2 130 g
527. Kartion pohjan säde R
Pallon säde r
Pinta-ala
π R 2 + π Rs = 54π
:π ,s = 7
1
2
1
R 2 + 7 R − 54 = 0
2
1
1
−7 ± (7 ) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−54)
2
2
R=
2 ⋅1
1
−7 ± 272, 25
2
R=
2
1
1
−7 − 16
2
2 < 0 ei käy
R1 =
2
1
1
−7 + 16
2
2 = 41
R2 =
2
2
197
Kartion korkeus H saadaan Pythagoraan lauseella
1
1
H = (7 ) 2 − (4 ) 2 = 6
2
2
1
1
1
a) Tilavuus V = π ⋅ (4 ) 2 ⋅ 6 = 40 π ≈ 127
3
2
2
b) Kartionsivujana BC = 7
1
2
DC = H − r = 6 − r
Yhdenmuotoisista kolmioista ABC ja EDC (kk) saadaan verranto
AB BC
=
DE DC
1
1
4
7
2= 2
6−r
r
1
1
27 − 4 r = 7 r
2
2
12r = 27
9
r=
4
3
4 ⎛9⎞
243
π ≈ 47, 7
Pallon tilavuus Vpallo = π ⎜ ⎟ =
3 ⎝4⎠
16
c) Pallon säde r
Tilavuus
4
1
π ⋅ r 3 = 40 π
3
2
243
r3 =
8
3
243
r=
2
2
⎛ 3 243 ⎞
Pallon pinta-ala A = 4π ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ = 3 59 049 π ≈ 122
2
⎝
⎠
243
1
Vastaus: a) 40 π = 127 cm3 b)
π cm3 ≈ 47, 7 cm3 c)
16
2
198
3
59 049 π cm 2 ≈ 122 cm 2
528. Kartio ja sen yläosa ovat yhdenmuotoisia.
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio.
Saadaan verranto
3
1
⎛ x⎞
⎜ ⎟ =
2
⎝ 12 ⎠
x 31
=
12
2
x
1
2
Täytettävä korkeus pohjasta lukien
1
12 − 12 3 ≈ 2, 48
2
12
x = 12 3
Vastaus: 12 − 12 3
12 − x
8
1
cm ≈ 2, 48 cm
2
529. Pohjan säde r
Sivujana s
Pohjaympyrän kehä 2π r = s + 1 , josta r =
s +1
2π
Vaipan ala
π rs = 12π
:π,r =
s −1
⋅ s = 12
2π
s 2 − s − 24π = 0
s −1
π
⋅ 2π
−(−1) ± (−1) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−24π )
2 ⋅1
1 + 1 + 96π
s=
2
s=
Vastaus:
1 + 1 + 96π
2
530. Pohjan säde r
Korkeus r + 5
Tilavuus
1 2
π r (r + 5) = 2π
3
1 2
r (r + 5) = 2
3
r 3 + 5r 2 − 6 = 0
:π
⋅3
199
s>0
Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on r = 1 eli polynomin yksi tekijä on r − 1. Muut
juuret saadaan tekijöihin jakamalla.
r 2 + 6r + 6
3
r − 1 r + 5r 2 − 6
∓r3 ± r 2
6r 2
∓6r 2 ± 6r
6r − 6
∓6r ± 6
0
Muut juuret
r 2 + 6r + 6 = 0
−6 ± 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6
2 ⋅1
−6 − 12
r1 =
< 0 ei käy
2
−6 + 12
r2 =
< 0 ei käy
2
r=
Vastaus: Pohjan säde on 1.
Harjoituskoe 1
1. a) Kosinilauseella kolmiosta RST saadaan
r 2 = t 2 + s 2 − 2ts cos α
cos α =
T
r
h
t
t 2 + s2 − r 2
2ts
b) Kolmion pinta-ala
kanta ⋅ korkeus
A=
2
1
A = sh
2
c) sin(180 − α ) =
kanta = s, korkeus = h
h
t
T
h
h
d) sin α = sin(180 − α ) =
t
r
t
180° −
R
Vastaus: a)
S
s
R
t 2 + s2 − r 2
h
h
1
b) s h c)
d)
2ts
t
t
2
200
s
S
2. Säiliö ja siinä oleva vesi muodostavat yhdenmuotoiset kappaleet.
Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio.
Mittakaava on vastin janojen suhde.
Veden tilavuus Vv
Säiliön tilavuus Vs
Lasketaan, kuinka mones osa säiliöstä on täyttynyt
vedellä, loput on jäänyt tyhjäksi.
1
h
Vv
1
3
=k
k= 2 =
Vs
h
2
h
h
3
Vv ⎛ 1 ⎞
1
=
=
Vs ⎜⎝ 2 ⎟⎠
8
Tilavuudesta jää loput tyhjäksi eli
1 7
1 − = = 87,5 %
8 8
Vastaus: Tyhjäksi jää 87,5 % tilavuudesta.
3. a) Mittakaava on 1: 2, joten piirroksen jokainen
sivusärmä on puolet alkuperäisestä.
Kavaljeeriperspektiivissä pysty- ja vaakasuorat viivat
piirretään oikeassa mitassa. Eteen ja taaksepäin olevat
viivat piirretään 45°:een kulmassa vaakatasoon nähden
ja puolet lyhyempinä.
12,0 cm
b) Kuutioon mahtuu nestettä
25 cm3 = 25 ml = 2,5 cl
12,0 cm
12,0 cm
Vastaus: b) 2,5 cl
4. Jos kolmion piirtää harppia ja viivoitinta käyttäen, huomaa heti, että syntyy kaksi
kolmiota. Laskemallakin sen toki saa.
C
Tässä kolmion pinta-ala kannatta laske
käyttäen kaavaa
1
A = sivu ⋅ sivu ⋅ sin(sivujen välinen kulma)
2
4,0 cm
1
A = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin 30°
D
2
4,0 cm
A
201
30°
6,0 cm
B
Sivu AC saadaan kosinilauseella
Merkitään
AB = c, BC = a, AC = b
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
42 = b 2 + 6 2 − 2 ⋅ b ⋅ 6 ⋅
α = 30 , cos 30 =
3
, a = 4, 0 cm, c = 6, 0 cm
2
3
2
b 2 − 6 3b + 20 = 0
b=
−(−6 3) ± (−6 3) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 20
2 ⋅1
6 3 ± 28
2
6 3+2 7
=3 3+ 7
b1 =
2
6 3 −2 7
=3 3− 7
b2 =
2
b=
Pinta-ala
1
1
A = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin 30
AB = 6, 0 cm, AC = (3 3 + 7 ) cm tai AC = (3 3 − 7 ) cm, sin30° =
2
2
1
1
A = ⋅ 6, 0 cm ⋅ (3 3 + 7 ) cm ⋅ ≈ 11,8 cm 2
2
2
tai
1
1
A = ⋅ 6, 0 cm ⋅ (3 3 − 7 ) cm ⋅ ≈ 3,8 cm 2
2
2
Vastaus: Pinta-ala on 11,8 cm 2 tai 3,8 cm 2 .
5. Alue A1 on ympyrän segmentti.
Segmentin pinta-ala
α
⋅ π r 2 − Akeskuskolmio
360°
Piste D on puoliympyrän kaaren AB keskipiste, joten α = 90°
Keskuskolmio AOD on suorakulmainen kolmio, jonka kateetteina ovat ympyrän säteet.
Ympyrän O säde r = 2
A1 =
A1 =
α
360°
⋅ π r 2 − Akeskuskolmio =
90°
1
π ⋅ 22 − ⋅ 2 ⋅ 2 = π − 2
360°
2
Alue A2 muodostuu sektorista BAC, josta vähennetään kolmio AOD ja sektori BOD.
Sektorin BOD keskuskulma on 90°, joten sen pinta-ala on neljäsosa koko ympyrän
(säde = 2) alasta.
202
Sektorin BAC säde R = 4. Keskuskulma BAC = β = 45°, sillä kulma β on tasakylkisen,
suorakulmaisen kolmion AOD kantakulma.
β
45
1
1
A2 =
⋅ π R 2 − A∆AOD − Asektori BOD =
π ⋅ 42 − ⋅ 2 ⋅ 2 − π ⋅ 22 = π − 2
2
4
360
360
Vastaus: Tummennettujen alueiden pinta-alat ovat A1 = A2 = π − 2 .
6. Suurin etäisyys h (km)
Maapallon ympärysmitta 40 000 km
Maapallon keskipisteen ja tunnelin yläosan etäisyys x (km)
Maapallon säde r (km)
Kysytty etäisyys saadaan tiedosta h = r − x
Maapallon säde r
Ympyrän piiri 2π r on maapallon
ympärysmitta 40 000 km
2π r = 40 000
40 000
r=
2π
Jana x lasketaan suorakulmaisesta
kolmiosta OAS.
x
α
= cos
r
2
α
x = r cos
2
Tarvitaan siis kulman
α
200 km
B
Reposaari
R
r
b=
200 =
α
360
α
⋅ 2π r
α
⋅ 40 000
360
200
α=
⋅ 360
40 000
α = 1,8
α
2
s
O
⋅ 2π pituus
360
Kaaren b pituus on Reposaaren ja Söderhamin välimatka 200 km.
Ympyrän kaaren RS = b =
Söderham
S
x
suuruus.
2
h
A
= 0,9
203
Etäisyys h
h=r−x
h = r (1 − cos
x = r cos
α
2
)
α
2
40 000 α
r=
, = 0,9
2π
2
40 000
(1 − cos 0,9 ) ≈ 0, 790
2π
Suurin etäisyys on 0,790 km = 790 m
h=
Vastaus: Yläreunan suurin etäisyys on 790 m.
7. Kuution särmä a
Kartion korkeus 2a
Kartion pohjaympyrän säde r
Jana DE on kuution pohjatahkon
lävistäjä
C
D
F
E
2a
a
DE 2 = a 2 + a 2
DE 2 = 2a 2
A
, DE > 0
B
r
DE = a 2
Tilavuuksien suhde
Vkuutio
a3
a3
=
=
1 2
1 2
Vkartio
πr ⋅h
π r 2a
3
3
Suhteen laskemiseksi pitää säde r sanoa särmän a avulla.
Kolmiot ABC ja FEC ovat yhden muotoiset
∆ABC ∼ ∆FEC
⎧⎪ C on yhteinen
kk ⎨
⎪⎩ F = A = 90
Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinjanojen suhde on sama.
AB CA
1
a 2
, CA = 2a, CF = 2a − a = a
=
AB = r , FE = DE =
2
2
FE CF
2a
r
=
a
a 2
2
r=a 2
204
D
E
a
a
Tilavuuksien suhde
Vkuutio
a3
a3
3
75
% ≈ 23,9 %
=
=
=
⋅100 % =
1 2
1
π
Vkartio
πr ⋅h
π (a 2) 2 2a 4π
3
3
Vastaus: Kuution tilavuus on
75
π
% ≈ 23,9 % kartion tilavuudesta.
8. Kysytty etäisyys EC = x (m) saadaan suorakulmaisesta kolmiosta EFC.
Kateetti EF = DB = y (m)
Kateetti FC = BC − BF = z (m)
C
Pythagoraan lause x 2 = y 2 + z 2
x
Kolmiosta ABD kosinilauseella
y 2 = 2, 42 + 5,32 − 2 ⋅ 2, 4 ⋅ 5,3 ⋅ cos 45 = 33,85 −
25, 44
E
2
F
y
3,2 m
Kolmiosta ABC
y
D
BC
tan 60 =
5,3
z
2,4 m
48° 60°
BC = 5,3 ⋅ tan 60
5,3 m
A
BC = 5,3 ⋅ 3
Kateetti FC
z = BC − BF
BF = DE = 3, 2 m
z = 5,3 3 − 3, 2
Sipin ja Tipin etäisyys
x2 = y 2 + z 2
x 2 = 33,85 −
x 2 = 33,85 −
y 2 = 33,85 −
25, 44
2
25, 44
2
(
+ 5,3 3 − 3, 2
)
2
+ 84, 27 − 33,92 3 + 10, 24
x 2 = 51, 62004...
, x>0
x ≈ 7, 2
Vastaus: Lintujen etäisyys on 7,2 m.
205
25, 44
2
, z = 5,3 3 − 3, 2
B
Harjoituskoe 2
1. Pinta-ala A = 253 ha = 2 530 000 m2 ja tien pituus a = 25,8 km = 25 800 m, joten
moottoritien alle jäävä alue on suorakulmion muotoinen.
A = 2 530 000
ah = 2 530 000
25 800h = 2 530 000
: 25 800
h ≈ 98
Vastaus: Moottoritien leveys on 98 m.
2. Kolmion piiri 35 cm
Kulman puolittajan vastainen sivu 3 cm + 4 cm = 7 cm
Sivun y pituus y = 35 – 7 – x = 28 – x
Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun
viereisten sivujen suhteessa.
Sivu x (cm)
x
3
=
28 − x 4
4 x = 84 − 3 x
x = 12
Kolmion kolmas sivu y = 28 cm – 12 cm = 16 cm
Vastaus: Kolmion sivut ovat 7 cm, 12 cm ja 16 cm.
3. Lasketaan ensin ulos tulevan jäälieriön tilavuus.
Kasvanut tilavuus 1,08 ⋅ 1,5 l = 1,62 l
Ulos tulevan osan tilavuus 1,62 l − 1,6 l = 0,02 l = 20 cm3
Lieriön korkeus h
2
2
⎛d ⎞
⎛ 2, 0 cm ⎞
2
Lieriön pohjan ala A = π ⎜ ⎟ = π ⎜
⎟ = π cm
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠
Tulpan korkeus h (cm)
A = π cm 2 ,V = 20 cm3
V = Ah
20 = π h
h=
20
π
:π
≈ 6, 4
Vastaus: Tulppa työntyy 6,4 cm.
4. Lieriön korkeus 45 cm. Pohjan säde
2π r = 60 : 2π
r=
30
π
206
3 cm
4 cm
x
y
2
40 500 3
⎛ 30
⎞
Lieriön tilavuus V1 = π r 2 h = π ⎜
cm ⎟ ⋅ 45 cm =
cm ≈ 12 891 cm3
π
⎝π
⎠
Toisen lieriön korkeus 60 cm. Pohjan säde
2π r = 45 : 2π
r=
45
2π
2
30 375 3
⎛ 45
⎞
Lieriön tilavuus V2 = π r 2 h = π ⎜
cm ⎟ ⋅ 60 cm =
cm ≈ 9 669 cm3
π
π
2
⎝
⎠
40 500
V
4
= .
Tilavuuksien suhde 1 = π
V 2 30 375 3
π
Vastaus: Tilavuuksien suhde 4 : 3..
5. Suorakulmion piiri on 18.
18 − 2 x
= 9− x
Pystysuora sivu y =
2
Sivu x
x 2 + (9 − x) 2 = (3 5) 2
y
x 2 + 81 − 18 x + x 2 = 45
x
2 x 2 − 18 x + 36 = 0
18 ± (−18) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 36
2⋅2
18 + 36
x1 =
=6
4
18 − 36
=3
x2 =
4
x=
Sivu y
y1 = 9 − 6 = 3
y2 = 9 − 3 = 6
Suorakulmion ala A = 6 ⋅ 3 = 18
Vastaus: Suorakulmion ala on 18.
6. Kulman A puolikas α = 55° : 2 = 27,5°
Sivu x (cm)
Kosinilauseella
x 2 = 2, 7 2 + 6, 002 − 2 ⋅ 2, 7 ⋅ 6, 00 ⋅ cos 27,5°
x = 3,8145...
D
C
x
A
207
y
δ
5° 2,7 cm
27,
α = 27,5°
β
6,0 cm
B
Sinilauseella
3,8145...
2, 7
=
kyseessä on terävä kulma
sin 27,5° sin β
2,7sin27,5°
sinβ =
3,8145...
β = 19, 076...°
Kolmion ABD kolmas kulma δ = 180° − 19, 076...° − 55° = 105,923...°
Sivu y
2, 7
y
=
sin 27,5° sin105,923...°
2, 7 sin 27,5°
y=
sin105,923...°
y = 1, 296...
Kolmion ala A =
1
⋅ 6, 00 ⋅ (3,81455... + 1, 296...) sin19, 0766...° ≈ 5, 01
2
Vastaus: 5,01 cm2
7. Onton osan tilavuus on puolet koko pallon tilavuudesta, joten
1
Vx = V p
2
4 3 1 4 3
4
: π
π x = ⋅ πr
3
2 3
3
1
x3 = r 3
2
1
x= 3 r
2
Lisäksi seinämän paksuus on 2,0 cm, joten x = r – 2. Täten
1
r−2 = 3 r
2
3
1
2)
r− 3 r =2
2
3
2 −1
3
2
3
r=2
r=
:
C
2 −1
3
2
3
2 2
2 −1
r ≈ 9, 7
3
2R
F
R−x
Vastaus: Pallon säde on 9,7 cm.
D
x
208
B
R
A
R
E
8.
Kolmiot ABC ja ABD ovat yhdenmuotoiset (kk).
x
R
=
R 3R
1
x= R
3
1
R− R
FD R − x
3 =1
Sivuamissuhde
=
=
1
DE R + x R + R 2
3
Vastaus: Taso jakaa halkaisijan suhteessa 1:2.
HARJOITUSKOE 3
1.
a) α =180° – (180° – 102° – 25°) = 127°
b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan verranto
40
60
=
x 17 + x
40 ⋅17 + 40 x = 60 x
x = 34
α
67°
102°
25°
20
40
Vastaus: a) 127° b) 34
17
2.
Ala A1 muodostuu neliöstä, josta on leikattu 2
2
1
–säteinen neljännesympyrä.
2
2
1 25π
⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞
A1 = ⎜ 2 ⎟ − π ⋅ ⎜ 2 ⎟ = 6 −
4 16
⎝ 2⎠ 4 ⎝ 2⎠
⎛ 1 25π
Avarj = 5,02 – 8A1 25 − 8 ⋅ ⎜ 6 −
⎝ 4 16
Vastaus:
⎞ 25π
− 25 ≈ 14
⎟=
2
⎠
25π
− 25 ≈ 14
2
3. a) Alojen suhde on mittakaavan neliö
2
120 ⎛ 6 ⎞
=⎜
A ⎝ 6 ⋅12 ⎟⎠
A=
x
120 ⋅ 722
≈ 1, 7 (m2)
36
209
b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan
kuutio.
3
m ⎛ 6 ⎞
=⎜
⎟
85 ⎝ 6 ⋅12 ⎠
m=
85 ⋅ 63
≈ 0, 049 kg = 49 g
723
Vastaus: a) 1,7 m2 b) 49 g
4.
sin 8,3° =
x=
1, 0
x
1, 0
≈ 6,9 (m)
sin 8,3°
Vastaus: 6,9 m
5. Tilavuus
3 ( x + 2 )( x + 5 ) = 162
3x 2 + 21x − 132 = 0
−21 ± 212 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−132)
2⋅3
−21 − 2 025
x1 =
< 0 ei käy
6
−21 + 2 025
=4
x2 =
6
x=
Pinta-ala 2 ⋅ ( 3 ⋅ 6 + 6 ⋅ 9 + 3 ⋅ 9 ) = 198
Vastaus: x = 4 ja ala on 198.
6. Oletetaan, että silmät ovat 1,6 m korkeudella.
6370
cos α =
6370, 0016
α = 0, 04060...°
b=
0, 04060...°
⋅ 2π ⋅ 6370 ≈ 5 km
360°
Vastaus: noin 5 km
210
7. Sivutahkokolmion korkeus a
a2 + 102 = 252
a2 = 525
Pyramidin korkeus h
h2 + 102 = a2
h = ± 425
h = 20,615...
1
V = ⋅ 202 ⋅ 20, 615... ≈ 2 700 (m3)
3
20, 615...
tan α =
10
α ≈ 64°
Vastaus: 2 700 m3, 64°
8. Halkileikkauskuvioon muodostuu pienempi tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on
20. Yhdenmuotoisuussuhde on 1:2, joten alkuperäisen ympyräkartion pohjan säde on 20.
Kartion poikkileikkauskuvio on tasasivuinen kolmio, jonka sivu on 40.
40 3
Kartion korkeus
2
1
40 3 8 000π 3
Kartion tilavuus V = π ⋅ 202 ⋅
=
≈ 14500
10
3
2
3
Vastaus:
8 000π 3
cm3 ≈ 14500 cm3
3
20
211
MAA3 Koe1
1. Määritä x, kun kulmat on mitattu asteina.
a)
b)
x
x−2
7
x2
5
4
6
2. Määritä tylppä kulma, kun a) cos α = −0,575 b) sin α = 0, 245 .
3. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 1 m:n pitempi kuin pitempi kateetti. Laske
hypotenuusan pituus, kun lyhyempi kateetti on 7,00 m.
4. Ympyrän sisään on piirretty säännöllinen 10-kulmio. Kuinka paljon ympyrän alasta jää
10-kulmion ulkopuolelle.
5. Kolmion yksi sivu on 12 ja sen viereinen kulma 60o. Laske kolmion muiden sivujen
tarkat arvot, kun kolmion pinta-ala on 15.
6. Katkaistun kartion muotoisen mukin pohjan sisähalkaisija on 6,0 cm ja suuaukon
sisähalkaisija 9,0 cm. Laske mukin vaippaan käytetyn saven tilavuus, kun mukin korkeus
on 15 cm ja mukin paksuus on 3 mm.
7. Puolipallon pohjaympyrän säde on sama kuin ympyräkartion pohjan säde. Kuinka monta
prosenttia kartion pinta-ala on puolipallon pinta-alasta, kun puolipallolla ja suoralla
ympyräkartiolla on sama tilavuus.
8. Jaa jana kolmeen yhtä pitkään osaan käyttäen harppia ja viivainta.
212
Koe1 ratkaisut
1. Määritä x, kun kulmat on mitattu asteina.
a)
b)
x
x−2
7
x2
5
4
6
Ratkaisu
a) Yhdenmuotoisista kolmioista
4
5
=
4+ x 7
20 + 5 x = 28
8
x=
5
b) Vieruskulmien summa on 180°.
x 2 + x − 2 = 180
x−2> 0
x + x − 182 = 0
2
−1 ± 12 − 4 ⋅1 ⋅ (−182)
2 ⋅1
−1 + 729
= 13
x1 =
2
−1 − 729
= −14 Ei käy, x > 2
x2 =
2
x=
Vastaus: a)
8
5
b) 13
2. Määritä tylppä kulma, kun a) cos α = −0,575 b) sin α = 0, 245 .
Ratkaisu:
a) cos α = −0,575
α ≈ 125,1°
b) sin α = 0, 245
α = 14,18...° tai α = 180° − 14,18...° ≈ 165,8°
Vastaus: a) 125,1o b) 165,8o
213
3. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 1 m:n pitempi kuin pitempi kateetti. Laske
hypotenuusan pituus, kun lyhyempi kateetti on 7,00 m.
Ratkaisu:
7, 002 + x 2 = ( x + 1) 2
x+1
49 + x 2 = x 2 + 2 x + 1
2 x = 48
7,0 m
:2
x
x = 24
Hypotenuusa x + 1 = 24,0 m + 1 m = 25,0 m
Vastaus: Hypotenuusan pituus on 25,0 m.
4. Ympyrään sisään on piirretty säännöllinen 10-kulmio. Kuinka paljon ympyrän alasta jää
10-kulmion ulkopuolelle.
Ratkaisu:
Jaetaan ympyrä kymmeneen ympyräsektoriin ja samalla 10-kulmio kymmeneen kolmioon.
Lasketaan, kuinka monta prosenttia yhden sektorin alasta jää kolmion ulkopuolelle.
360°
= 36°
Sektorin keskuskulma α =
10
α
α
36°
π r2
⋅π r2 =
⋅π r2 =
Sektorin ala As =
360°
360°
10
r
r sin 36°
1
Kolmion ala Ak = ab sin γ =
2
2
π r2
A
2π
π
=
=
Alojen suhde s = 2 10
Ak r sin 36° 10sin 36° 5sin 36°
2
2
Ympyrästä jää kolmion ulkopuolelle
π
5sin 36°
− 1 = 0, 0689... ≈ 6,9 %
Vastaus: Ympyrän alasta jää 6,9 % 10-kulmion ulkopuolelle.
214
r
5. Kolmion yksi sivu on 12 ja sen viereinen kulma 60o. Laske kolmion muiden sivujen
tarkat arvot, kun kolmion pinta-ala on 15.
Ratkaisu:
Kolmion toinen sivu b
A = 15
1
⋅12b sin 60° = 15
2
3 3b = 15
A=
1
ab sin γ , a = 12, γ = 60°
2
sin 60° =
3
2
b
: (3 3)
x
60°
a
5 3
3
Kolmion kolmas sivu x
b=
2
⎛5 3⎞
5 3
x 2 = 122 + ⎜⎜
cos 60°
⎟⎟ − 2 ⋅12 ⋅
3
3
⎝
⎠
x=
, x > 0, cos 60° =
1
2
457
− 20 3
3
Vastaus: Muiden sivujen pituudet ovat
5 3
ja
3
457
− 20 3 .
3
6. Katkaistun kartion muotoisen mukin pohjan sisähalkaisija on 6,0 cm ja suuaukon
sisähalkaisija 9,0 cm. Laske mukin vaippaan käytetyn saven tilavuus, kun mukin korkeus
on 15,0 cm ja mukin paksuus on 3,0 mm.
Ratkaisu:
Mukin pohjan sisäsäde on r = 3,0 cm
Suuaukon sisäsäde R = 4,5 cm
Yhdenmuotoisista kolmioista ABD ja ECD (kk)
4,5
3
=
h + 15 h
4,5h = 3h + 45
h = 30
Mukin sisätilavuus
1
1
Vsisä = Visokartio − Vpienikartio = π R 2 (h + 15) − π r 2 h
3
3
1
1
2
= π (4,5 cm) (30 cm + 15 cm) − π (3, 0 cm) 2 ⋅ 30 cm
3
3
3
= 213, 75π cm
215
D
h
E r
C
15,0 cm
A
R
B
Mukin pohjan ulkosäde on r = 3,0 cm + 3,0 mm = 3,3 cm
Suuaukon ulkosäde R = 4,5 cm + 3,0 mm = 4,8 cm
Yhdenmuotoisista kolmioista ABD ja ECD (kk)
4,8
3,3
=
h + 15
h
4,8h = 3,3h + 49,5
h = 33
Mukin ulkotilavuus
1
1
Vulko = Visokartio − Vpienikartio = π R 2 (h + 15) − π r 2 h
3
3
1
1
2
= π (4,8 cm) (10 cm + 33 cm) − π (3,3 cm) 2 ⋅ 33 cm
3
3
3
= 210, 45π cm
Mukin vaippaan tarvittavan saven määrä
V = Vulko − Vsisä = 213, 75π cm3 − 210, 45π cm3 = 3,3π cm3 ≈ 10, 4 cm3
Vastaus: Mukin vaippaan tarvitaan 10,4 cm3 savea.
7. Puolipallon pohjaympyrän säde on sama kuin ympyräkartion pohjan säde. Kuinka monta
prosenttia kartion pinta-ala on puolipallon pinta-alasta, kun puolipallolla ja suoralla
ympyräkartiolla on sama tilavuus..
Ratkaisu:
Puolipallon tilavuus
1 4
2
Vpp = ⋅ π r 3 = π r 3
2 3
3
1
Kartion tilavuus Vk = π r 2 h
3
Tilavuudet samat, joten
s
h
r
r
Vk = Vpp
⎛1
⎞
: ⎜ π r2 ⎟
⎝3
⎠
1 2
2
π r h = π r3
3
3
h = 2r
Puolipallon pinta-ala App =
1
⋅ 4π r 2 + π r 2 = 3π r 2
2
Kartion sivujana s
r 2 + h2 = s 2
r 2 + (2r ) 2 = s 2
h = 2r
,s > 0
s = 5r
216
Kartion pinta-ala
Ak = π r 2 + π rs
s = 5r
Ak = π r 2 + π r 5r = (1 + 5)π r 2
Alojen suhde
Ak (1 + 5)π r 2 1 + 5
=
=
= 1, 0786... ≈ 107,9 %
App
3π r 2
3
Vastaus: Kartion pinta-ala on 107,9 % puolipallon alasta.
8. Jaa jana kolmeen yhtä pitkään osaan käyttäen harppia ja viivainta.
Ratkaisu:
Piirrä annetun janan päätepisteeseen ympyrä. Piirrä ympyrälle halkaisija, joka ei ole
annetun janan suuntainen. Kyseinen halkaisija on kolmion yksi sivu. Yhdistä halkaisijan
päätepisteet annetun janan toiseen päätepisteeseen, jolloin saat kolmion. Määritä kolmion
toisen sivun keskipiste ja yhdistä siihen sivun vastainen kulma. Saatu mediaani jakaa
annetun janan suhteessa 2:1 alkaen kolmion kärjestä. Määritä pidemmän osan keskipiste, ja
olet jakanut annetun janan kolmeen yhtä pitkään osaan.
217
MAA3 Koe 2
1. Meripeninkulma tarkoittaa yhden kaariminuutin pituista matkaa maapallon pinnalla.
Laske määritelmän avulla, kuinka monta metriä yksi meripeninkulma on, kun maapallon
ympärysmitta on 40 000 km.
2. Määritä varjostetun alueen piiri ja pinta-ala, kun ympyrän säde on 3,0 cm.
3. Ympyräsektorin muotoisesta kartongista tehdään ympyräkartion vaippa. Sektorin
keskuskulma on 148° ja sektorin säde on 30,0 cm. Määritä ympyräkartion pohjaympyrän
halkaisijan pituus.
4. Tasakylkisen kolmion kannan pituus on 2,6 m ja kyljelle piirretty korkeus 2 400 mm.
Laske kolmion pinta-ala.
5. Etelään viettävällä rinteellä on 4,5 m korkea puu, jonka varjon pituus on 3,4 m, kun
aurinko paistaa etelästä 46° korkeuskulmasta. Määritä rinteen kaltevuus asteen
tarkkuudella.
6. a) Piirrä säännöllinen 7-kulmio.
b) Pisteet A, B ja C ovat säännöllisen 7-kulmion vierekkäisiä kärkiä. Piste M on sivun BC
keskipiste. Laske janan AM pituus, kun 7-kulmion sivun pituus on 2,0 cm.
7. Katkaistun suoran pyramidin pohja on tasasivuinen kolmio. Suuremman pohjakolmion
sivu on 3. Pienemmän pohjakolmion keskipisteestä A on piirretty jana suuremman kolmion
sivun keskipisteeseen B. Jana AB on 60° kulmassa suuremman pohjakolmion tasoon
nähden. Määritä katkaistun pyramidin korkeus.
8. ( 9 pisteen tehtävä)
Suorakulmaisen kolmion ABC suoran kulman C puolittaja leikkaa hypotenuusan pisteessä
1
1
1
D. Pisteestä D piirretään normaali DE kateetille AC. Osoita, että
.
=
+
DE BC AC
218
MAA3 Koe2
Ratkaisut
1. Meripeninkulma tarkoittaa yhden kaariminuutin pituista matkaa maapallon pinnalla.
Laske määritelmän avulla, kuinka monta metriä yksi meripeninkulma on, kun maapallon
ympärysmitta on 40 000 km.
Ratkaisu:
Minuutti on asteen kuudeskymmenesosa.
Kaariminuuttia vastaavan kaaren pituus maapallon kehällä on
1 1
⋅
⋅ 40 000 000 m ≈ 1852 m .
60 360
Vastaus: 1 852 m
2. Määritä varjostetun alueen piiri ja pinta-ala, kun ympyrän säde on 3,0 cm.
Ratkaisu:
Jänteen pituus saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, joka muodostuu, kun keskuskolmio
120°
puolitetaan. Suorakulmaisen kolmion kulma on
= 60° ja hypotenuusana ympyrän
2
säde 3,0. Jänteen puolikas a.
a
sin 60° =
3, 0
a = 3, 0sin 60° =
3, 0 3
2
Kaaren pituus
120°
b=
⋅ 2 ⋅ π ⋅ 3, 0 = 2π
360°
120°
3, 0 3
+ 2π = 3, 0 3 + 2π ≈ 11,5
2
Segmentin ala = sektorin ala − keskuskolmion ala
120°
1
3
A=
⋅ π ⋅ 3, 02 − ⋅ 3, 0 ⋅ 3, 0 ⋅ sin120° = 3π − 4,5 ⋅
≈ 5,5
360°
2
2
Segmentin piiri 2 ⋅
Vastaus: Piirin pituus on 11,5 cm ja ala 5,5 cm2.
219
3. Ympyräsektorin muotoisesta kartongista tehdään ympyräkartion vaippa. Sektorin
keskuskulma on 148° ja sektorin säde on 30,0 cm. Määritä ympyräkartion pohjaympyrän
halkaisijan pituus.
Ratkaisu:
Ympyräkartion pohjaympyrän halkaisija d
Sektorin kaaren pituus on kartion pohjaympyrän kehän π d pituinen
148°
⋅ 2 ⋅ π ⋅ 30
:π
πd =
360°
148°
d=
⋅ 2 ⋅ 30 ≈ 24, 7
360°
30 cm
148°
Vastaus: 24,7 cm
4. Tasakylkisen kolmion kannan pituus on 2,6 m ja kyljelle piirretty korkeus 2 400 mm.
Laske kolmion pinta-ala.
Ratkaisu:
2 400 mm = 2,4 m
C
Pythagoraan lauseella
a 2 + 2, 42 = 2, 62
a = ± 2, 62 − 2, 42
a>0
a =1
Kolmiot ADB ja CEB ovat yhdenmuotoiset, koska molemmat ovat
suorakulmaisia ja niillä on lisäksi yhteinen kulma B. Saadaan
verranto.
h
1,3
=
a =1
¨
2, 4 a
h = 3,12
1
Kolmion ala on A = ⋅ 2, 6 ⋅ 3,12 ≈ 4, 06
2
Vastaus: Ala on 4,06 m2.
220
h
D
2,4
1,3
A
2,6
B
5. Etelään viettävällä rinteellä on 4,5 m korkea puu, jonka varjon pituus on 3,4 m, kun
aurinko paistaa etelästä 46° korkeuskulmasta. Määritä rinteen kaltevuus asteen
tarkkuudella.
Ratkaisu:
Suorakulmaisesta kolmiosta ABC
β = 180° − 90° − 46° = 44°
Sinilauseella kolmiosta DBC
3, 4
4,5
=
sin 44° sin α
4,5sin 44°
sin α =
3,5
α ≈ 63,3°
Kolmiosta ADB
δ = 180° − 46° − γ
γ = 180° − α (vieruskulmat)
=180° − 46° − (180° − α )
= 180° − 46° − 180° + α
= −46° + α
≈ −46° + 63,3°
≈ 17°
C
β
4,5 m
D
α
3,5 m
γ
A
δ
46°
B
Vastaus: Kaltevuus on17°.
6. a) Piirrä säännöllinen 7-kulmio.
b) Pisteet A, B ja C ovat säännöllisen 7-kulmion vierekkäisiä kärkiä. Piste M on sivun BC
keskipiste. Laske janan AM pituus, kun 7-kulmion sivun pituus on 2,0 cm.
Ratkaisu:
360°
≈ 51, 4° .
7
Saadaan kehäpisteet A ja B, jotka ovat säännöllisen 7-kulmion
vierekkäiset kärjet. Muut kärjet saadaan mittaamalla harpilla
A:n ja B:n etäisyys ja merkitsemällä harpin avulla muut kärjet
ympyrän kehälle.
B
a) Piirretään ympyrä ja siihen keskuskulma
b) Säännöllisen 7-kulmion kulma
(7 − 2) ⋅180°
≈ 128, 6°
7
Kosinilauseella
AM 2 = AB 2 + BM 2 − 2 ⋅ AB ⋅ BM ⋅ cos128, 6°
AM = 22 + 12 − 2 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ cos128, 6° ≈ 2, 7
Vastaus: 2,7 cm
221
46°
1,0 C
1,0 M
128,6°
2,0
A
7. Katkaistun suoran pyramidin pohja on tasasivuinen kolmio. Suuremman pohjakolmion
sivu on 3. Pienemmän pohjakolmion keskipisteestä A on piirretty jana suuremman kolmion
sivun keskipisteeseen B. Jana AB on 60° kulmassa suuremman pohjakolmion tasoon
nähden. Määritä katkaistun pyramidin korkeus.
Ratkaisu:
Korkeus h on kateettina suorakulmaisessa kolmiossa, jonka
hypotenuusa on jana AB ja toisena kateettina pohjakolmion
keskipiste, joka on kolmion sisään piirretyn ympyrän säde r.
Tasasivuisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on
a 3 3 3
3
r=
=
=
.
6
6
2
h
tan 60° =
r
3
3
h = r tan 60° =
⋅ 3=
2
2
Vastaus: Korkeus on
h
3
60°
r
3
3
3
.
2
8. (9 pisteen tehtävä)
Suorakulmaisen kolmion ABC suoran kulman C puolittaja leikkaa hypotenuusan pisteessä
1
1
1
D. Pisteestä D piirretään normaali DE kateetille AC. Osoita, että
.
=
+
DE BC AC
Ratkaisu:
Kolmio DEC on tasakylkinen suorakulmainen
kolmio, koska sen kulmat ovat 90°, 45° ja 45°.
Joten DE=EC ja AE=AC −CE = AC−DE.
E
Kolmiot AED ja ACD ovat yhdenmuotoiset, koska
niissä on suorakulma ja yhteinen kulma A.
Saadaan verranto
A
DE AE
=
BC AC
DE AC − DE
=
⋅ BC ⋅ AC
BC
AC
AC ⋅ DE = BC ⋅ AC − BC ⋅ DE
: ( AC ⋅ DE ⋅ BC )
1
1
1
=
−
BC DE AC
1
1
1
=
+
DE BC AC
222
C
D
B