1. No category

763101P Fysiikan matematiikkaa
kesä 2015
Jakso 9
Näytä laskut viimeistään torstaina 4.6. tai palauta ne viimeistään perjantaina 5.6.
Vektorit ja differentiaalilaskenta
1. Origosta alkunopeudella v 0  v 0 x ˆi  v 0 y ˆj  v 0 z kˆ heitetyn kappale
radiusvektori r (t ) on muotoa
1
r(t )   gt 2kˆ  v 0t ,
2
missä g  10 m/s2 on maan vetovoiman kiihtyvyys. Olkoot
alkunopeuden komponentit v 0 x  5 m/s, v 0 y  5 m/s ja v 0 z  20 m/s.
a) Totea, että SI-yksiköissä kappaleen lentorata (radiusvektori) on
r(t )  5t ˆi  5t ˆj  5(4t  t 2 ) kˆ .
b) Laske kappaleen nopeus, vauhti ja kiihtyvyys ajan hetkellä t  3 s.
c) Millä ajan hetkellä kappale on lakikorkeudessa?
Vihje: Lakikorkeudessa z-suuntainen nopeus on nolla.
2. Tarkastellaan tehtävän 1 lentorataa.
a) Määritä lentoradan tangenttivektori T . Mikä on tangenttivektorin yksikkö?
b) Mihin suuntaan kappale lentää lakikorkeudessaan? Esitä tulos tangenttivektorin avulla.
c) Mihin suuntaan kappale lentää sillä hetkellä, kun se osuu maahan. Oletetaan, että maan
pinta on xy-taso (ks. kuva yllä).
3. Kuinka pitkän matkan tehtävän 1 kappale lentää ilmassa, ts. kuinka pitkä on radiusvektorin
kärjen piirtämä käyrä origosta maahanosumispisteeseen?
4
Aputulos:  18  16 x  4 x 2 dx  10, 248
0
4. Tarkastellaan origokeskistä R-säteistä ympyrää, jonka kehän
pisteet ( x, y) saadaan yhtälöistä
x( )  R cos  ja y( )  R sin  .
Laske käyrän r( )  x( )ˆi  y( )ˆj kaaren pituus välillä 0    2 .
5. Laske tehtävän 4 ympyrän yksikkötangentti, kaarevuus, kaarevuussäde ja päänormaali ensin
yleisessä pisteessä  ja sitten erikoistapauksena pisteessä, jossa    .
6. Laske käyrän y  x 2 kaarevuussäde ja päänormaali pisteessä x  0 .
Ohje: Käyrän piirtää vektori r( x)  xˆi  x 2 ˆj .
Vastaukset
1.
a) osoita
b) nopeus 5 ˆi  5 ˆj  10 kˆ (m/s)
vauhti 5 6
(m/s)
kiihtyvyys 10 kˆ
(m/s2)
c) lakikorkeudessa, kun t  2 s
2.
a)
b)
c)
ˆi  ˆj  (4  2t )kˆ
2  (4  2t ) 2
, laaduton
1 ˆ ˆ
(i  j)
2
1 ˆ ˆ
(i  j  4kˆ )
3 2
3.
 5 10, 248  51 (m)
4.
2 R
5.
yksikkötangentti ( sin  )ˆi  (cos  )ˆj
kaarevuus 1/ R
kaarevuussäde R
päänormaali ( cos  )ˆi  ( sin  )ˆj
6.
  1/ 2 ja N  ˆj
= jˆ , kun   
= 1/ R , kun   
= R , kun   
= î
, kun   