1. No category

Physica 9
RATKAISUT
1. painos
1(6)
19. Magneettikenttä
RATKAISUT: 19. Magneettikenttä
19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ = BA, jossa A on
magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala
ja B on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee
pinnan. Magneettivuo kuvaa magneettikenttää vastaan
kohtisuoran pinnan läpi kulkevien kenttäviivojen lukumäärää.
Magneettivuo on skalaarisuure ja sen yksikkö on 1 Wb, weber.
b) Magneettikentän voimakkuutta kuvataan magneettivuon tiheydellä, B. Magneettivuon
tiheys on vektorisuure. Kenttäviivaesityksessä magneettivuon tiheys liittyy
kenttäviivojen tiheyteen: mitä tiheämmässä viivat ovat, sitä suurempi
magneettivuon tiheys on. Magneettivuon tiheyden yksikkö on 1 T,
tesla.
c) Inklinaatio on kulma, jonka Maan magneettikentän suunta muodostaa
vaakatason kanssa. Se on Helsingissä tällä hetkellä noin 73°.
d) Deklinaatio on kulma, jonka kompassineula poikkeaa maantieteellisestä
pohjoissuunnasta. Se on tällä hetkellä Helsingissä noin 6° itään.
e) Ferromagneettiset aineet magnetoituvat voimakkaasti ja voivat muodostaa pysyviä
magneetteja. Ne vahvistavat ulkoista magneettikenttää voimakkaasti.
Ferromagneettisen aineen magnetoituminen voidaan selittää niin sanottujen
alkeisalueiden avulla. Kun ferromagneettinen aine magnetoidaan, eri alkeisalueiden
magneettikenttien suunnat kääntyvät ulkoisen kentän suuntaan.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
Kun alkeisalueiden magnetoitumissuunnat osoittavat tasaisesti
kaikkiin suuntiin, ferromagneettinen aine ei ole ulospäin
magneettinen.
Ferromagneettisia aineita ovat esimerkiksi rauta, nikkeli ja koboltti.
f) Sähkövirran yksikön määritelmä: Yhden ampeerin suuruinen sähkövirta on
sellainen ajallisesti muuttumaton sähkövirta, joka kulkiessaan kahdessa
yhdensuuntaisessa, äärettömän pitkässä ja ohuessa johtimessa, saa aikaan
johtimien välille 2 · 10–7 N suuruisen voiman johtimen metrin pituutta kohti.
Johtimien poikkileikkaus on ympyrä, ja johtimet ovat 1 metrin etäisyydellä
toisistaan tyhjiössä.
19.2 Johtimen pituus on l = 0, 231 m , sähkövirta I = 25,2 A ja
magneettivuon tiheys B = 3,46 T .
Magneettikenttä kohdistaa suoraan virtajohtimeen voiman
Fm = IlB , koska B ⊥ l .
Fm = IlB
= 25,2 A ⋅ 0,231 m ⋅ 3,46 T = 20,1414 N ≈ 20,1 N
Voiman suunta oikean käden säännön mukaan on alaspäin.
Vastaus: Johtimeen vaikuttaa 20,1 N:n voima alaspäin.
19.3 a) Suoraan virtajohtimeen kohdistuva magneettinen voima on Fm = IlB
suurin, kun ulkoisen magneettikentän magneettivuon tiheys ja johdin ovat
kohtisuorassa toisiaan vastaan.
b) Magneettinen voima Fm = IlB = 0 on pienin kun ulkoisen
magneettikentän magneettivuon tiheys ja johdin ovat yhdensuuntaiset.
c) Virtajohtimen pituus on l = 0,35 m , sähkövirta I = 2,5 A ja
virtajohtimeen vaikuttava voima Fm = 3,8 ⋅10−3 N
Ratkaistaan voiman yhtälöstä Fm = IlB magneettivuon tiheys
B=
Fm
3,8 ⋅10−3 N
=
= 0,0043429 T ≈ 4,3 mT.
Il 2,5 A ⋅ 0,35 m
Vastaus:
a) Kohtisuoraan magneettivuon tiheyttä vastaan.
b) Yhdensuuntaisesti magneettivuontiheyden kanssa.
c) Magneettivuontiheys on 4,3 mT.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
2(6)
19. Magneettikenttä
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
3(6)
19. Magneettikenttä
19.4 a) Paikoillaan olevan varatun hiukkasen ja sauvamagneetin välillä ei ole vuorovaikutusta.
Voima on nolla, joten vaihtoehto C on oikein.
b) Magneettivuon tiheys on suurin pisteessä B ja pienin pisteessä C.
c) Käämien välinen vetovoima on suurin tilanteessa B, sitten tilanteessa C, ja käämit
hylkivät toisiaan tilanteissa D ja A (voimat ovat yhtä suuret).
19.5 Käämin poikkipinta-ala on A = 0, 083 m ⋅ 0,115 m , käämin kierrosluku N = 28 ,
käämin sähkövirta I = 3, 65 A ja ulkoisen magneettikentän magneettivuon tiheys on
B = 55 ⋅10−3 T
Magneettikenttä aiheuttaa käämiin momentin
M = NIBA sin α .
a) Käämin taso on yhdensuuntainen magneettivuon tiheyden
kassa.
Käämin normaalin ja magneettivuon tiheyden välinen
kulma on tällöin α = 90° , joten
M = 28 ⋅ 3, 65 A ⋅ 55 ⋅10−3 T ⋅ (0, 083 m ⋅ 0,115 m) ⋅ sin 90°
= 0, 05365 Nm ≈ 0, 054 Nm.
b) Käämin normaalin ja magneettivuon tiheyden välinen
kulma on α = 0°.
Tällöin sin α = 0 ja M = 0 Nm .
c) Käämin normaalin ja magneettivuon tiheyden välinen
kulma on α = 90° − 12° = 78°.
Siten momentti on
M = 28 ⋅ 3, 65 A ⋅ 55 ⋅10−3 T ⋅ (0, 083 m ⋅ 0,115 m) ⋅ sin 78°
= 0, 05248 Nm ≈ 0, 052 Nm.
Vastaus:
a) Käämiin vaikuttava momentti on 0,054 Nm.
b) Käämiin vaikuttava momentti on 0 Nm.
c) Käämiin vaikuttava momentti on 0,052 Nm.
19.6 Johtimien välimatka on r = 0, 0217 m , johtimien pituus l = 1, 25 m , johtimien
välinen voima F = 0,377 ⋅10−3 N ja tyhjiön permeabiliteetti μ0 = 4π ⋅10−7
Sähköjohtimiin kohdistuvien voimien suuruus saadaan Ampèren laista
F=
μ0 I1 I 2
2π
⋅
r
l
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
N
A2
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
Koska sähkövirrat ovat yhtä suuret I1 = I2 = I, niin F =
4(6)
19. Magneettikenttä
μ0 I 2
⋅ l.
2π r
Ratkaistaan sähkövirta
2π rF
μ0 l
I=
2π ⋅ 0, 0217 m ⋅ 0,377 ⋅10−3 m
= 5, 7205 A ≈ 5, 72 A
N
4π ⋅10−7 2 ⋅1, 25 m
A
=
Vastaus: Johtimissa on 5,72 A:n sähkövirta.
19.7 Magneettivuon tiheys on Bj = B0 = 45 ⋅10−6 T , etäisyys virtajohtimesta
r = 0, 25 m ja permeabiliteetti μ0 = 4π ⋅10−7
N
.
A2
Suoran virtajohtimen magneettikentän magneettivuon tiheys etäisyydellä r on
Bj =
μ0 I
⋅ .
2π r
Ratkaistaan sähkövirta
I=
2π rBj
μ0
Sijoitetaan lukuarvot
I=
2π ⋅ 0, 25 m ⋅ 45 ⋅10−6 T
= 56, 25 A ≈ 56 A.
N
4π ⋅10−7 2
A
Vastaus: Sähkövirran pitäisi olla 56 A.
19.8 Sähkövirta on I = 120 A , johtimen pituus l = 75 m , Maan magneettivuon tiheys
B0 = 45 ⋅10−6 T ja inklinaatio i = 73° .
Virtajohdin ja magneettivuon tiheys ovat kohtisuorassa, joten
kolmisormisäännön mukaan myös johtimeen vaikuttava
voima on näitä vastaan kohtisuorassa.
Oheisessa kuvassa katsotaan magneettikenttää idästä päin
sähkövirran suunnassa.
Voiman suuruus on Fm = IlB0 = 120 A ⋅ 75 m ⋅ 45 ⋅10−6 T = 0, 405 N ≈ 0, 41 N.
Magneettisen voiman suunta on etelään 17˚ vaakatasosta alaspäin.
Vastaus: Johtimeen kohdistuu 0,41 N:n etelään voima 17˚ vaakatasosta alaspäin.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
5(6)
19. Magneettikenttä
19.9 Kaapeli on vaakasuunnassa lounas-koillinen suunnassa. Sähkövirta on I = 55 A ja
kompassin etäisyys kaapelista r = 1, 4 m . Magneettivuon tiheyden vaakasuora
komponentti on B0H = 14 ⋅10−6 T ja permeabiliteetti μ0 = 4π ⋅10−7
N
.
A2
Suoran virtajohtimen magneettivuontiheys kompassin kohdalla on
Vs
−7
μ0 I 4π ⋅10 Am ⋅ 55 A
Bj =
=
= 7,8571 ⋅10−6 T.
2π r
2π ⋅1, 4 m
Ylhäältä päin katsottuna, magneettivuontiheysvektorit ovat vaakasuunnassa.
Lasketaan kokonaiskentän komponentit
Bx = Bjx = Bj cos 45° =
Bj
2
=
By = B0H − Bj sin 45° = B0H −
= 14 ⋅10−6 T −
7,8571 ⋅10−6 T
2
= 5,5558 ⋅ 10−6 T
Bj
2
7,8571 ⋅10 T
−6
2
= 8, 4442 ⋅10−6 T.
Kokonaiskentän suunta saadaan tan ϕ =
Bx 5,5558 ⋅10−6 T
=
= 0, 6579 ,
By 8, 4442 ⋅10−6 T
josta suuntakulma on ϕ = 33,3426° ≈ 33° pohjoisesta itään päin.
Vastaus: Kompassi osoittaa 33° pohjoisesta itään päin.
19.10 Käämi on itä-länsi suunnassa, käämin pituus l = 985 mm ja kierrosluku N = 83 .
Kun käämissä ei ole sähkövirtaa, kompassi osoittaa pohjoiseen, se on Maan
magneettikentän vaakasuoran komponentin BH suuntainen.
Kun käämiin kytketään sähkövirta, käämiin syntyy sen akselin suuntainen
magneettikenttä BS , jolloin kompassineula kääntyy summakentän B = BH + BS
suuntaiseksi.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
Physica 9
RATKAISUT
1. painos
Magneettivuon tiheys pitkän käämin keskellä on BS =
6(6)
19. Magneettikenttä
μ0 NI
l
.
Kuviosta kulman tangentti voidaan kirjoittaa muodossa
tan Θ =
tan Θ =
BS
ja edelleen
BH
μ0 NI
BH l
.
Kun pystyakseliksi merkitään tan Θ ja vaaka-akseliksi sähkövirta I, niin edellinen
yhtälö vastaa suoran yhtälöä, jossa suoran fysikaalinen kulmakerroin on k =
Tällöin suoran yhtälö on tan Θ =
μ0 N
BH l
⋅ I = k ⋅ I.
Lasketaan koordinaatit ja piirretään suora
käämin virta
I/mA
57,5
93,8
135
196
270
501
neulan kiertymä
tanΘ
0,36
0,58
0,84
1,19
1,73
2,75
Kuvaajasta suoran fysikaalinen kulmakerroin on
k=
2, 0
1
= 5, 7143 .
0,35 A
A
Ratkaistaan Maan magneettikentän horisontaalikomponentti
BH =
μ0 N
kl
=
4π ⋅10−7 Vs ⋅ 83
= 1,8531 ⋅10−5 T ≈ 19 μT.
1
5, 7143 ⋅ 0,985 m
A
Vastaus: Maan magneettikentän horisontaalikomponentti on 19 μT.
© Tekijät ja WSOY Oppimateriaalit Oy, 2007
© Piirrokset: Pekka Könönen ja tekijät
μ0 N
BH l
.