Luku 3
Sekventtikalkyyli
Käytämme tällä kurssilla todistussysteemiä, joka on variantti niin sanotusta sekventtikalkyylistä.
Olkoon S symbolijoukko, ja A predikaattilogiikan looginen aakkosto. Sekventti
on aakkoston AS�→ := A ∪ S ∪ {�→} sana, joka on muotoa
ψ1 . . . ψn �→ ϕ,
missä n ∈ N, ja ψ1 , . . . , ψn sekä ϕ ovat S-kaavoja. Sekventin vasen puoli ψ1 . . . ψn
voi olla myös tyhjä jono (tapaus n = 0), jolloin sitä merkitään �→ ϕ.
Kaavajonoja ψ1 . . . ψn merkitään jatkossa usein symbolilla Γ tai ∆ (joskus indeksöitynä). Jos Γ = ψ1 . . . ψn , niin tällöin merkintä Γ θ tarkoittaa kaavajonoa
ψ1 . . . ψn θ.
Sekventti ψ1 . . . ψn �→ ϕ voidaan tulkita väitteeksi“kaava ϕ on kaavojen ψ1 , . . . , ψn
looginen seuraus”.
Määritelmä 3.1 Sekventti Γ �→ ϕ on korrekti, jos kaikilla tulkinnoilla I pätee:
jos I |= Set(Γ), niin I |= ϕ.
Tässä merkintä Set(Γ) tarkoittaa niiden kaavojen joukkoa, joista sana Γ on muodostettu: Set(Γ) := {ψ1 , . . . , ψn }, kun Γ = ψ1 . . . ψn .
Sekventtikalkyylin idea on siis rakentaa päättelysysteemi, jossa aikaisemmin annetuista loogisista seurauksista Ψ |= ϕ päätellään uusia loogisia seurauksia.
Sekventtisäännöt
Sekventtikalkyyli perustuu muotoa
Γ1 �→ ϕ1 , . . . , Γn �→ ϕn
∆ �→ ψ
22
oleviin (päättely)sääntöihin, missä sekventit Γ1 �→ ϕ1 , . . . , Γn �→ ϕn ovat oletuksia, ja sekventti ∆ �→ ψ on johtopäätös. Oletuksia ei välttämättä tarvita (tapaus
n = 0), jolloin sääntö on muotoa
∆ �→ ψ
.
Määritelmä 3.2 Sekventtisääntö
Γ1 �→ ϕ1 , . . . , Γn �→ ϕn
∆ �→ ψ
on korrekti, jos seuraava ehto on voimassa:
jos sekventit Γ1 �→ ϕ1 , . . . , Γn �→ ϕn ovat korrekteja, niin myös sekventti ∆ �→ ψ on korrekti.
Huomautus. Kaikki säännöt, joita käytämme ovat itse asiassa sääntöskeemoja:
niissä esiintyy parametreina kaavajonoja Γ, ∆, . . . sekä kaavoja ϕ, ψ, . . .. Sijoittamalla parametrien paikalle jotkin konkreettiset kaavajonot ja kaavat, saadaan
yksittäinen sääntö, joka on skeeman tapaus. Sääntöskeeman korrektisuus tarkoittaa tällöin, että jokainen sen tapaus on korrekti.
Strukturaaliset säännöt ja konnektiivisäännöt
Strukturaalisia sääntöjä on kaksi, negaatioon liittyviä sääntöjä kaksi, ja disjunktioon liittyviä sääntöjä niin ikään kaksi. Todistamme korrektisuuden osalle näistä
säännöistä; joitakin tapauksia jätetään harjoitustehtäviksi.
Edeltäjäsääntö (Ant)
Γ �→ ϕ
kun Set(Γ) ⊆ Set(∆)
∆ �→ ϕ
Oletussääntö (Assm)
∆ �→ ϕ
kun ϕ ∈ Set(∆)
Korrektisuus: (Ant) Oletetaan, että Set(Γ) ⊆ Set(∆) ja Set(Γ) |= ϕ. Pitää
osoittaa, että tällöin Set(∆) |= ϕ. Oletetaan sitä varten, että I on tulkinta, jolla
I |= Set(∆). Koska Set(Γ) ⊆ Set(∆), pätee myös I |= Set(Γ). Koska Set(Γ) |= ϕ,
seuraa tästä, että I |= ϕ.
(Assm) Jos ϕ ∈ Set(∆), niin oletuksesta I |= Set(∆) seuraa välittömästi, että
I |= Set(ϕ).
23
Tapauksiinjakosääntö (PC)
Γ ψ �→ ϕ, Γ ¬ψ �→ ϕ
Γ �→ ϕ
Ristiriitasääntö (Ctr)
Γ ¬ϕ �→ ψ, Γ ¬ϕ �→ ¬ψ
Γ �→ ϕ
Korrektisuus: (PC) Idea: Jos I |= Set(Γ) on tulkinta, niin joko I |= ψ tai
I |= ¬ψ; edellisessä tapauksessa I |= ϕ saadaan oletuksesta Set(Γ ψ) |= ϕ ja
jälkimmäisessä oletuksesta Set(Γ ¬ψ) |= ϕ.
(Ctr) Oletetaan, että (1) Set(Γ ¬ϕ) |= ψ ja (2) Set(Γ ¬ϕ) |= ¬ψ. Olkoon I
tulkinta, jolla I |= Set(Γ). Tehdään vastaoletus: I �|= ϕ. Tällöin I |= ¬ϕ, ja siis
I |= Set(Γ ¬ϕ). Nyt oletuksesta (1) seuraa, että I |= ψ, ja oletuksesta (2) seuraa,
että I |= ¬ψ. Tämä on mahdotonta. Siis vastaoletus ei voi olla tosi, joten I |= ϕ.
Vasen disjunktiosääntö (∨A)
Γ ϕ �→ χ, Γ ψ �→ χ
Γ (ϕ ∨ ψ) �→ χ
Oikea disjunktiosääntö (∨S)
(a)
Γ �→ ϕ
Γ �→ (ϕ ∨ ψ)
(b)
Γ �→ ϕ
Γ �→ (ψ ∨ ϕ)
Korrektisuus: (∨A) Oletetaan, että Set(Γ ϕ) |= χ ja Set(Γ ψ) |= χ. Olkoon I
tulkinta, jolla I |= Set(Γ (ϕ ∨ ψ)). Tällöin I |= Set(Γ), ja lisäksi I |= ϕ tai I |= ψ.
Molemmissa tapauksissa I |= χ seuraa suoraan alussa tehdystä oletuksesta.
(∨S) Helppo seuraus siitä, että jos I |= ϕ, niin (a) I |= (ϕ∨ψ) ja (b) I |= (ψ ∨ϕ).
Johdettuja konnektiivisääntöjä
Johdetaan sekventti �→ (ϕ ∨ ¬ϕ) sekventtikalkyylissä:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
ϕ �→ ϕ
ϕ �→ (ϕ ∨ ¬ϕ)
¬ϕ �→ ¬ϕ
¬ϕ �→ (ϕ ∨ ¬ϕ)
�→ (ϕ ∨ ¬ϕ)
(Assm)
(∨S) 1
(Assm)
(∨S) 3
(PC) 2&4
24
Vaiheet (1)-(5) voidaan tarpeen vaatiessa toistaa minkä hyvänsä päättelyn sisällä.
Siksi voimme ottaa käyttöön vastaavan johdetun päättelysäännön ilman, että
pääteltävissä olevien sekventtien joukko muuttuu.
Kielletyn kolmannen sääntö (TND)
�→ (ϕ ∨ ¬ϕ)
Käydään seuraavaksi läpi muitakin johdettuja päättelysääntöjä.
Toinen ristiriitasääntö (Ctr’)
Γ �→ ψ, Γ �→ ¬ψ
Γ �→ ϕ
Johto:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Γ �→ ψ
Γ �→ ¬ψ
Γ¬ϕ �→ ψ
Γ¬ϕ �→ ¬ψ
Γ �→ ϕ
Oletus
Oletus
(Ant) 1
(Ant) 2
(Ctr) 3&4
Ketjusääntö (Ch)
Γ �→ ϕ, Γ ϕ �→ ψ
Γ �→ ψ
Johto:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Γ �→ ϕ
Γ ϕ �→ ψ
Γ ¬ϕ �→ ϕ
Γ ¬ϕ �→ ¬ϕ
Γ ¬ϕ �→ ψ
Γ �→ ψ
Oletus
Oletus
(Ant) 1
(Assm)
(Ctr’) 3&4
(PC) 2&5
Kontrapositiosäännöt (Cp)
(a)
Γ ϕ �→ ψ
Γ ¬ψ �→ ¬ϕ
(b)
Γ ¬ϕ �→ ¬ψ
Γ ψ �→ ϕ
(c)
Γ ¬ϕ �→ ψ
Γ ¬ψ �→ ϕ
(d)
Γ ϕ �→ ¬ψ
Γ ψ �→ ¬ϕ
25
Johto: Johdetaan tässä (c); muut kohdat jätetään harjoitustehtäväksi.
(1)
(2)
(3)
(4)
Γ ¬ϕ �→ ψ
Γ ¬ψ ¬ϕ �→ ψ
Γ ¬ψ ¬ϕ �→ ¬ψ
Γ ¬ψ �→ ¬ϕ
Oletus
(Ant) 1
(Assm)
(Ctr) 2&3
Disjunktio ja negaatio
Γ �→ (ϕ ∨ ψ), Γ �→ ¬ϕ
Γ �→ ψ
Johto:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Γ �→ (ϕ ∨ ψ)
Γ �→ ¬ϕ
Γ ϕ �→ ¬ϕ
Γ ϕ �→ ϕ
Γ ϕ �→ ψ
Γ ψ �→ ψ
Γ (ϕ ∨ ψ) �→ ψ
Γ �→ ψ
Oletus
Oletus
(Ant) 2
(Assm)
(Ctr’) 4&3
(Assm)
(∨A) 5&6
(Ch) 1&7
Modus ponens (MP)
Γ �→ (ϕ → ψ), Γ �→ ϕ
Γ �→ ψ
Johto: Harjoitustehtävä. Huomaa, että (ϕ → ψ) on lyhennysmerkintä kaavalle
(¬ϕ ∨ ψ).
Kvanttori- ja identiteettisäännöt
Sekä eksistenssikvanttoriin että identiteettisymboliin liittyy kaksi sääntöä.
Eksistenssikvanttorin esittely oikealla (∃S)
Γ �→ ϕ[t/x]
Γ �→ ∃xϕ
Korrektisuus: Oletetaan, että Set(Γ) |= ϕ[t/x]. Olkoon I tulkinta, jolla pätee
I |= Set(Γ). Oletuksen perusteella I |= ϕ[t/x], joten Apulauseen 2.8(b) nojalla
I[I(t)/x] |= ϕ. Siispä I |= ∃xϕ.
26
Eksistenssikvanttorin esittely vasemalla (∃A)
Γ ϕ[y/x] �→ ψ
Γ ∃xϕ �→ ψ
kun y ei esiinny vapaana sekventissä Γ ∃xϕ �→ ψ
Korrektisuus: Oletetaan, että Set(Γ ϕ[y/x]) |= ψ. Olkoon I = (A, β) tulkinta,
jolla pätee I |= Set(Γ ∃xϕ). Tällöin I |= Set(Γ) ja on olemassa a ∈ A s.e.
I[a/x] |= ϕ.
Tarkastellaan sitten tulkintaa I ∗ = I[a/y]: Jos y = x, on selvästi I ∗ [a/x] =
I[a/x], jolloin I ∗ [a/x] |= ϕ. Jos taas y �= x, muuttujaa y koskevan oletuksen
perusteella se ei esiinny vapaana kaavassa ϕ, joten Apulauseen 2.2(b) nojalla
tässäkin tapauksessa I ∗ [a/x] |= ϕ. Koska I ∗ (y) = a, pätee siis I ∗ [I ∗ (y)/x] |= ϕ,
josta Apulauseen 2.8(b) nojalla saadaan I ∗ |= ϕ[y/x].
Koska y ei esiinny vapaana jonon Γ kaavoissa, oletuksesta I |= Set(Γ) seuraa
Apulauseen 2.2(b) nojalla, että I ∗ |= Set(Γ). Siis alussa tehdyn oletuksen nojalla
pätee I ∗ |= ψ. Koska y ei esiinny vapaana kaavassa ψ, seuraa väite I |= ψ nyt
Apulauseesta 2.2(b).
Identiteetin refleksiivisyys (Ref )
�→ t ≈ t
Korrektisuus: Selvästi I |= t ≈ t kaikilla tulkinnoilla I.
Identiteetin korvaussääntö (Sub)
Γ �→ ϕ[t/x]
Γ t ≈ t� �→ ϕ[t� /x]
Korrektisuus: Idea: Jos I |= ϕ[t/x] ja I |= t ≈ t� , niin I[I(t)/x] |= ϕ ja
I(t) = I(t� ), joten I[I(t� )/x] |= ϕ, mistä edelleen seuraa, että I |= ϕ[t� /x].
Huomaa, että erikoistapauksina eksistenssikvanttorin säännöistä saadaan seuraavat säännöt:
(a)
Γ �→ ϕ
Γ �→ ∃xϕ
(b)
Γ ϕ �→ ψ
Γ ∃xϕ �→ ψ
x ei vapaana sekventissä Γ �→ ψ
Vastaavasti identiteetin korvaussäännöllä on erikoistapaus
Γ �→ ϕ
Γ x ≈ t �→ ϕ[t/x]
Lisäksi identiteetin luonnolliset ominaisuudet voidaan johtaa seuraavasti:
27
Identiteetin symmetrisyys (Sym)
Γ �→ t ≈ t�
Γ �→ t� ≈ t
Johto:
(1)
(2)
(3)
(4)
Γ �→ t ≈ t�
Γ �→ t ≈ t
Γ t ≈ t� �→ t� ≈ t
Γ �→ t� ≈ t
Oletus
(Ref) ja (Ant)
(Sub) 2, missä t ≈ t = (x ≈ t)[t/x]
(Ch) 1&3
Identiteetin transitiivisuus (Tran)
Γ �→ t ≈ t� , Γ �→ t� ≈ t��
Γ �→ t ≈ t��
Johto:
(1)
(2)
(3)
(4)
Γ �→ t ≈ t�
Γ �→ t� ≈ t��
Γ t� ≈ t�� → t ≈ t��
Γ �→ t ≈ t��
Oletus
Oletus
(Sub) 1, missä t ≈ t� = (t ≈ x)[t� /x]
(Ch) 2&3
Identiteetin kongruenssiominaisuudet (Cong)
(a)
Γ �→ Rt1 . . . , tn , Γ �→ t1 ≈ t�1 , . . . , Γ �→ tn ≈ t�n
Γ �→ Rt�1 . . . t�n
Γ �→ t1 ≈ t�1 , . . . , Γ �→ tn ≈ t�n
(b)
Γ �→ f t1 . . . tn ≈ f t�1 . . . t�n
Johto: (a) Käydään läpi tapaus, jossa n = 2. Kohta (b) jätetään harjoitustehtäväksi.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Γ �→ Rt1 t2
Γ �→ t1 ≈ t�1
Γ �→ t2 ≈ t�2
Γ t1 ≈ t�1 �→ Rt�1 t2
Γ �→ Rt�1 t2
Γ t2 ≈ t�2 �→ Rt�1 t�2
Γ �→ Rt�1 t�2
Oletus
Oletus
Oletus
(Sub) 1, missä Rt1 t2 = Rxt2 [t1 /x]
(Ch) 2&4
(Sub) 5, missä Rt�1 t2 = Rt�1 x[t2 /x]
(Ch) 3&6
28
Yhteenveto sekventtisäännöistä ja korrektisuuslause
Strukturaaliset säännöt:
Γ �→ ϕ
kun Set(Γ) ⊆ Set(∆)
∆ �→ ϕ
(Ant)
(Assm)
kun ϕ ∈ Set(∆)
∆ �→ ϕ
Negaation säännöt:
(PC)
Γ ψ �→ ϕ, Γ ¬ψ �→ ϕ
Γ �→ ϕ
(Ctr)
Γ ¬ϕ �→ ψ, Γ ¬ϕ �→ ¬ψ
Γ �→ ϕ
Disjunktion säännöt:
Γ ϕ �→ χ, Γ ψ �→ χ
Γ (ϕ ∨ ψ) �→ χ
(∨A)
(∨S) (a)
Γ �→ ϕ
Γ �→ (ϕ ∨ ψ)
(b)
Γ �→ ϕ
Γ �→ (ψ ∨ ϕ)
Eksistenssikvanttorin säännöt:
(∃A)
Γ ϕ[y/x] �→ ψ
Γ ∃xϕ �→ ψ
y ei vapaana Γ ∃xϕ �→ ψ:ssä
(∃S)
Γ �→ ϕ[t/x]
Γ �→ ∃xϕ
Identiteettisäännöt:
(Ref)
�→ t ≈ t
(Sub)
Γ �→ ϕ[t/x]
Γ t ≈ t� �→ ϕ[t� /x]
Määritelmä 3.3 Kaava ϕ voidaan johtaa (eli päätellä) kaavajoukosta Φ sekventtikalkyylissä, jos on olemassa sekventti Γ �→ ϕ, joka voidaan johtaa sekventtisäännöillä, ja jolla pätee Set(Γ) ⊆ Φ. Tällöin merkitään Φ � ϕ.
Osoitetaan seuraavaksi, että sekventtikalkyyli on korrekti: Jos kaava ϕ voidaan
päätellä kaavajoukosta Φ, niin ϕ on joukon Φ looginen seuraus.
Lause 3.1 (Korrektisuuslause) Kaikilla kaavajoukoilla Φ ja kaavoilla ϕ on
voimassa:
jos Φ � ϕ, niin Φ |= ϕ.
Todistus. Väite seuraa sekventtisääntöjen korrektisuudesta.
�
29