1. No category

'VLTJ,)Ł/Ł
2015-09-21 13:37:37
1/50
luentokalvot_05_combined.pdf (#38)
Luento 5: Voima ja
Liikemäärä
Superpositio
Newtonin lait
Tasapainotehtävät
Kitkatehtävät
Ympyräliike
Liikemäärä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:37
2/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (2/50)
Konseptitesti 1
vx
Kysymys
Viereisessä kuvaajassa on kuvattu
kappaleen nopeutta ajan funktiona. Mikä alla
olevista graafeista kuvaa parhaiten
kappaleeseen kohdistuvaa nettovoimaa ajan
funktiona?
P
P
Fx
1
t
2015-09-21 13:37:37
P
Fx
2
t
t
P
Fx
3
t
3/50
Fx
4
t
luentokalvot_05_combined.pdf (3/50)
Konseptitesti 1
vx
Kysymys
Viereisessä kuvaajassa on kuvattu
kappaleen nopeutta ajan funktiona. Mikä alla
olevista graafeista kuvaa parhaiten
kappaleeseen kohdistuvaa nettovoimaa ajan
funktiona?
P
P
Fx
1
t
2015-09-21 13:37:37
P
Fx
2
t
t
P
Fx
3
t
4/50
Fx
4
t
luentokalvot_05_combined.pdf (4/50)
Johdanto
Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä
Newtonin liikelait (Newton’s laws of motion)
Pohjautuvat kokeellisiin havaintoihin (julk. 1687)
Ovat samalla klassisen mekaniikan perusta
Voimat jaetaan kontaktivoimiin (contact forces) ja pitkän
kantaman voimiin (long range forces)
Voima vektorisuure: sillä on suunta ja suuruus. [F ] = N (newton)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:38
5/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (5/50)
Luennon sisältö
Superpositio
Newtonin lait
Tasapainotehtävät
Kitkatehtävät
Ympyräliike
Liikemäärä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:38
6/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (6/50)
Superpositioperiaate
Kappaleeseen kohdistuvien (eri) voimien yhteisvaikutus sama,
kuin jos siihen kohdistuisi yksi voima, joka on voimien
vektorisumma
Voimatehtävien ratkaisu perustuu tähän periaatteeseen
Superpositioperiaatteen käänteissovellus
Kappaleen tiettyyn pisteeseen kohdistuva voima voidaan aina
jakaa komponentteihin
Erittäin käytännöllinen tehtävien ratkaisemisessa
~1
F
~y
F
~
F
~2
F
2015-09-21 13:37:38
~
F
~x
F
7/50
luentokalvot_05_combined.pdf (7/50)
Nettovoima eli resultantti
Kaikkien kappaleeseen kohdistuvien voimien summa
F net = R =
X
Fi
Voidaan aina laskea yhteen komponenteittain
Rx =
X
F ix ,
Ry =
i
X
F iy ,
i
Voiman itseisarvo saadaan
Fnet = R =
F iz
i
q
Rx2 + Ry2 + Rz2
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:38
Rz =
X
8/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (8/50)
Luennon sisältö
Superpositio
Newtonin lait
Tasapainotehtävät
Kitkatehtävät
Ympyräliike
Liikemäärä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:38
9/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (9/50)
Newtonin 1. laki
~ net = 0), liikkuu
Kappale, johon vaikuttava nettovoima on nolla (F
tasaisella nopeudella ~
v =~
v0
~a =
d~
v
=0
dt
Toisin sanoen sen kiihtyvyys nolla, ja sen liiketila ei muutu.
Tätä kappaleen ominaisuutta pyrkiä jatkamaan liiketilaansa
kutsutaan inertiaksi
Newtonin 1. lakia kutsutaan usein inertian laiksi
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:38
10/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (10/50)
Tasapaino
Kappale tasapainossa (in equilibrium), kun siihen vaikuttavien
voimien resultantti on nolla
~ net = R
~ =
F
X
~ i = 0,
F
i
X
eli komponenttimuodossa
~ i ,k = 0 missä k = x , y , z
F
k
Huomaa, että vakionopeudella liikkuva kappale on tasapainossa
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:38
11/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (11/50)
Inertiaalikoordinaatistoista
Inertiaalikoordinaatisto (inertial frame of reference) tasaisella
nopeudella liikkuva koordinaatisto
Newtonin 1. laki voimassa vain inertiaalikoordinaatistossa
Seuraus koordinaatistojen yhdenvertaisuusperiaatteesta: voiman
suuruus ei saa riippua koordinaatiston valinnasta!
Ei-inertiaalinen koordinaatisto kiihtyvässä liikkeessä
Myös normaalikiihtyyys kiihtyvää liikettä
Normaalikiihtyvyys muuttaa koordinaatiston liikesuuntaa
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:39
12/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (12/50)
Massa
Mikäli kappaleeseen vaikuttavien voimien resultantti 6= 0,
kappale kiihtyvässä liikkeessä
=) Kappaleen vauhti tai nopeuden suunta muuttuu
~ net = R
~ ja kiihtyvyys ~a
Kokeellisesti havaittu, että nettovoima F
samansuuntaisia vektoreita
Tämän seurauksena tietylle kappaleelle nettovoiman ja
kiihtyvyyden suhde vakio
Vakiota kutsutaan massaksi
m=
Fnet
a
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:39
13/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (13/50)
Newtonin 2. laki
Kappaleeseen vaikuttavien voimien resultantti on
(inertiaalikoordinaatistossa)
~ net = R
~ =
F
X
~ i = m~a,
F
i
X
eli komponenttimuodossa
~ i ,k = mak missä k = x , y , z
F
k
! Huomaa, että m~a ei ole voima – se on seuraus voimasta
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:39
14/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (14/50)
Massa vs. paino
Massa kuvaa kappaleen inertiaominaisuutta
Paino on voima, joka kappaleeseen kohdistuu
gravitaatiokentässä
~ ja massan m välillä pätee
Maan pinnan lähellä painon w
~ = m~g
w
Kokeissa on todettu, että inertiaali- ja gravitaatiomassat ovat
ainakin 12 numeron tarkkuudella samat
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:39
15/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (15/50)
Newtonin 3. laki
Kun kaksi kappaletta vuorovaikuttaa, ne kohdistavat toisiinsa
yhtäsuuret, mutta vastakkaissuuntaiset voimat (voima ja
~ AB = F
~ BA
vastavoima) F
Huomaa, että kappaleiden ei tarvitse olla kosketuksissa
Newtonin 3. laki pätee myös pitkän kantaman voimille
Huomaa, että voima ja vastavoima kohdistuvat eri kappaleisiin
~
F
•
•
•
~
F
~
F
•
~
F
2015-09-21 13:37:39
16/50
luentokalvot_05_combined.pdf (16/50)
Jännitys
Jos samaan kappaleeseen kohdistuu kaksi samansuuruista,
mutta vastakkaissuuntaista voimaa, kappale jännityksessä
Kappale vetojännityksessä (tension), kun kyseessä vetovoimat
Työntövoimien tapauksessa kappale puristusjännityksessä
(compression)
~2 =
F
~1
F
•
•
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:39
17/50
~1
F
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (17/50)
Vapaakappalekuvio
Free body diagram
Kuvio, jossa vain tarkasteltava kappale (tai sen osa) ja kaikki
siihen kohdistuvat voimat
Kappaleen ympäristöä ei piirretä vapaakappalekuvioon
~
F
•
•
•
~1
w
Kappale
2015-09-21 13:37:40
~
N
VKK1
18/50
•
~2
w
~
F
VKK2
luentokalvot_05_combined.pdf (18/50)
Konseptitesti 2
Kysymys
Viereisessä kuvassa on vaijerilla kahdesta
pisteestä kytketty massa. Mitkä kuvan
voimista pitää ottaa mukaan massan
vapaakappalekuvioon?
1. Jännitys T1
2. Jännitys T2
T3
T2
T1
m
3. Jännitys T3
4. Kaikki kuvan voimat
mg
5. Gravitaatio
2015-09-21 13:37:40
19/50
luentokalvot_05_combined.pdf (19/50)
Konseptitesti 2
Kysymys
Viereisessä kuvassa on vaijerilla kahdesta
pisteestä kytketty massa. Mitkä kuvan
voimista pitää ottaa mukaan massan
vapaakappalekuvioon?
1. Jännitys T1
2. Jännitys T2
T3
T2
T1
m
3. Jännitys T3
4. Kaikki kuvan voimat
mg
5. Gravitaatio
2015-09-21 13:37:40
20/50
luentokalvot_05_combined.pdf (20/50)
Esimerkki
Piirrä parin kanssa vapaakappalekuviot allaolevasta kuvasta.
VKK1 : jossa massaan 1 vaikuttavat voimat ja VKK2 : massaan 2
vaikuttavat voimat.
m1
✓
m2
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:40
21/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (21/50)
Luennon sisältö
Superpositio
Newtonin lait
Tasapainotehtävät
Kitkatehtävät
Ympyräliike
Liikemäärä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:40
22/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (22/50)
Hiukkasen tasapaino
Tasapainotilassa hiukkanen on levossa tai liikkuu
vakionopeudella inertiaalikoordinaatistossa, jolloin hiukkaseen
vaikuttava nettovoima on
~ net =
F
X
~ i = 0,
F
i
X
~i = 0
F
i
Tasapainoehdot voidaan kirjoittaa komponenteittain
X
~ k ,i = 0,
F
missä
k = x, y, z
i
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:40
23/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (23/50)
Tasapainotehtävien ratkaisu
1. Piirrä yksinkertaistettu kuva tilanteesta (kappaleet, kulmat, . . . )
2. Piirrä vapaakappalekuvio tilanteesta
tärkeä
3. Mieti kappaleeseen kohdistuvat vuorovaikutukset
(kontaktivoimat, köydet, painovoima), älä piirrä kappaleen
itsensä aiheuttamia voimia
4. Valitse probleemaan sopiva koordinaatisto
5. Jaa voimat komponentteihin (muista etumerkit!)
6. Kirjoita tasapainoyhtälöt
7. Jos tarvitaan, jatka kohdasta 2 muille kappaleille
8. Ratkaise yhtälöt ja tarkista ratkaisu
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:40
24/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (24/50)
Esimerkki jatkuu
Äsken piirtämiesi vapaakappalekuvioiden pohjalta, määritä parisi
kanssa systeemin tasapainoehdot.
m1
✓
m2
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:41
25/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (25/50)
Luennon sisältö
Superpositio
Newtonin lait
Tasapainotehtävät
Kitkatehtävät
Ympyräliike
Liikemäärä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:41
26/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (26/50)
Konseptitesti 3
Kysymys
A
Viereisessä kuvassa kappaletta B vedetään
B
vaakasuunnassa voimalla F , jolloin
Pöytä
molemmat kappaleet liikkuvat
vaakasuunnassa toisiinsa kiinnittyneinä.
Kappaleen B ja pöydän välissä on kitkaa. Jos kappaleet liikkuvat
vakionopeudella,
F
1. B kohdistaa A:han vaakasuuntaisen voiman vasemmalle
2. B kohdistaa A:han vaakasuuntaisen voiman oikealle
3. B ei kohdista vaakasuoraa voimaa A:han
4. Ei riittävästi informaatiota päätöksen tekemiseen
2015-09-21 13:37:41
27/50
luentokalvot_05_combined.pdf (27/50)
Konseptitesti 3
Kysymys
A
Viereisessä kuvassa kappaletta B vedetään
B
vaakasuunnassa voimalla F , jolloin
Pöytä
molemmat kappaleet liikkuvat
vaakasuunnassa toisiinsa kiinnittyneinä.
Kappaleen B ja pöydän välissä on kitkaa. Jos kappaleet liikkuvat
vakionopeudella,
F
1. B kohdistaa A:han vaakasuuntaisen voiman vasemmalle
2. B kohdistaa A:han vaakasuuntaisen voiman oikealle
3. B ei kohdista vaakasuoraa voimaa A:han
4. Ei riittävästi informaatiota päätöksen tekemiseen
2015-09-21 13:37:41
28/50
luentokalvot_05_combined.pdf (28/50)
Tukivoimat
Kun kappale lepää esim tasolla, kohdistuu siihen tukivoima
(voima, joka pitää sen paikoillaan)
Tukivoima voidaan esittää kontaktitasoa vastaan kohtisuoran
~ sekä tason suuntaisen kitkavoiman (friction) ~f
normaalivoiman N
summana
~ + ~f = w
~
Tasapaino =) N
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:41
29/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (29/50)
Liikekitka
Kun kappale on kontaktissa toisen kanssa tai liikkuu
väliaineessa, kohdistuu siihen liikettä vastustavia kitkavoimia
Esim. kun kappale on kontaktissa toisen kanssa ja liikkuu sen
suhteen, vaikuttaa kappaleeseen ns. liikekitka (kinetic friction)
fk = µk N ,
missä µk on liikekitkakerroin (coefficient of kinetic friction)
Pyörivälle kappaleelle voidaan määritellä vierintäkitka (rolling
friction) ja vierintäkitkakerroin µr vastaavasti
fr = µr N ,
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:41
30/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (30/50)
Lepokitka
Kun kappale on levossa alustaansa nähden, puhutaan
lepokitkasta
Lepokitka esitetään lähtökitkakertoimen (coefficient of static
friction) µs avulla
fs  µs N
Lepokitka saavuttaa
maksiminsa juuri ennen kuin
kappale lähtee liikkeelle
F, f
µs N
Jos kappaleeseen ei vaikuta
µk N
muita tason suuntaisia voimia,
lepokitka on nolla
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:42
F = F0 t
31/50
f
t
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (31/50)
Esimerkki jatkuu
Ratkaise äsken johtamistasi tasapainoehdoista minimikitkakerroin,
jotta massat pysyvät paikoillaan silloinkin kun m2 6= m1 sin ✓.
x
y
~
T
~
N
~
T
x
m1
✓
m2
✓
~1
w
VKK1
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:42
32/50
~2
w
VKK2
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (32/50)
Hiukkasen dynamiikka
Jos kappale ei ole tasapainossa, käytetään Newtonin 2. lakia
~ net = m~a
F
On kuitenkin muistettava, että m~a ei ole voima, eikä sitä piirretä
vapaakappalekuvioon
Muutoin tehtävien ratkaisuperiaate sama kuin
tasapainotehtävissä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:42
33/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (33/50)
Esimerkki
YF Ch. 5-2
5.7
!"#$%&''#()*+
YF Ex. 5-8. Henkilö, jonka massa on 50,0 kg, seisoo
vaa’an päällä hississä. Jos hissin kiihtyvyys on 2,0 m s-2
ylöspäin, niin mitä vaaka näyttää?
Tehtävä
a y 2,0 m s , m 50 kg
Fsp on vaa’an henkilöön
Henkilö, jonka massakohdistama
on 50.0
kg, seisoo
voima,
henkilön
liikeyhtälö
on
vaa’an päällä hississä.
Jos
hissin
y:
Fy Fsp w ma y
kiihtyvyys on 2.0 m s−2 ylöspäin,
Fsp m a y gniin
590mitä
N
vaaka näyttää?
Fps Fsp 590 N
VKK
y
ay
Fsp
w
eli vaaka näyttää n. 60 kg
Ratkaisu
~ sp on vaa’an henkilöön
ay = 2.0 m s 2 , m = 50.0 kg Olkoon F
S-104.1010 Fysiikka I (AUT, BIO, EST, TLT)
M. Sopanen 2007
kohdistama voima, jolloin henkilö liikeyhtälö on
y:
X
Fy = Fsp
w = may =) Fsp = m(ay + g ) = 590 N
|Fps | = Fsp = 590 N
eli vaaka näyttää noin 60 kg. Mitä tapahtuu, kun hissin vauhti
tasaantuu?
2015-09-21 13:37:42
34/50
luentokalvot_05_combined.pdf (34/50)
Väliaineen vastus
Kappaleeseen kohdistuu sen liikettä vastustava kitkavoima sen
kulkiessa väliaineen läpi
Eräs tällainen kitkavoima on ilmanvastus, joka on pienillä
nopeuksilla suoraan verrannollinen nopeuteen
~f =
k~
v
Suuremmilla nopeuksilla ilmanvastus on verrannollinen
nopeuden neliöön
~f = Dv 2~e T
Vastustava kitkavoima johtuu pohjimmiltaan siitä, että kappale
joutuu liikkuessaan siirtämään oman tilavuutensa verran
väliainetta, joka vastustaa sitä "tahmeudellaan"
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:42
35/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (35/50)
Konseptitesti 4
Kysymys
Kivi heitetään ilmaan. Ilma kohdistaa kiveen kitkavoiman
ilmanvastuksen muodossa. Aika, joka kivellä menee lakipisteensä
saavuttamiseen on
1. Suurempi kuin
2. Yhtäsuuri kuin
3. Pienempi kuin
aika, joka siltä menee laskeutumiseen lakipisteestä
lähtökorkeudelle.
Syksy 2015
2015-09-21 13:37:42
36/50
luentokalvot_05_combined.pdf (36/50)
Konseptitesti 4
Kysymys
Kivi heitetään ilmaan. Ilma kohdistaa kiveen kitkavoiman
ilmanvastuksen muodossa. Aika, joka kivellä menee lakipisteensä
saavuttamiseen on
1. Suurempi kuin
2. Yhtäsuuri kuin
3. Pienempi kuin
aika, joka siltä menee laskeutumiseen lakipisteestä
lähtökorkeudelle.
Syksy 2015
2015-09-21 13:37:43
37/50
luentokalvot_05_combined.pdf (37/50)
Simulaatio: ilmanvastus
2015-09-21 13:37:43
38/50
v
luentokalvot_05_combined.pdf (38/50)
Yleinen liike väliaineessa
Kun kappale putoaa väliaineessa, sen liikeyhtälö
pystysuunnassa on
X
Fy = mg + ( kv ) = ma
Lopullista nopeutta, jonka kappale saavuttaa, kutsutaan lopputai tasapainonopeudeksi (terminal velocity) vt
Loppunopeus saadaan merkitsemällä a = 0
mg = kvt =) vt =
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:43
39/50
mg
k
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (39/50)
Luennon sisältö
Superpositio
Newtonin lait
Tasapainotehtävät
Kitkatehtävät
Ympyräliike
Liikemäärä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:43
40/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (40/50)
Dynamiikka ympyräliikkeessä
Tasaisessa ympyräliikkeessä normaalikiihtyvyys
v2
arad =
,
R
missä R on ympyrän säde, on vakio
Newtonin toisen lain mukaan myös hiukkaseen vaikuttava
nettovoima on itseisarvoltaan vakio
v2
Fnet = marad = m
R
Voiman suunta ei ole vakio, vaan osoittaa kohti ympyrän
keskipistettä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:43
41/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (41/50)
Esimerkki
Tehtävä
Pieni kappale, jonka massa on 1.0 kg ja joka on sidottu 0.6 m pituisen
köyden päähän, pyörii 60 kierrosta minuutissa pystytasossa.
Laske köysivoiman suuruus, kun
1. kapple on ympyräradan korkeimmassa kohdassa
2. kappale on radan alimmassa kohdassa
3. köysi on vaakasuorassa
Mikä pitää olla kappaleen vauhti radan ylimmässä kohdassa, jotta
köysi pysyisi vielä suorana?
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:43
42/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (42/50)
Ratkaisu
60 1/min
! = 2⇡ ·
= 6.28 s
60 s min 1
a)
X
b)
Fy =
X
Fy =
c)
d)
mg T1 = may =
X
X
1
,
v2
aN =
= !2R
R
m! 2 R =) T1 = m! 2 R mg = 14 N
mg + T2 = m! 2 R =) T2 = m! 2 R + mg = 33 N
Fx =
Fy =
T3 =
mg =
m! R =) T3 = m! 2 R = 24 N
p
m! 2
=) v = Rg = 2.4 m s
R
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:44
43/50
1
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (43/50)
Esimerkki
YF Ch. 5-4
YF Ch. 5-4
5.17
!"#$%&''# ()*
5.17
!"#$%&''# ()*
YF Ex. 5-21. Laske kiertoheilurin kiertoaika, kun
heilurin kulma ja langan pituus tunnetaan.
Tehtävä
YF Ex. 5-21. Laske kiertoheilurin
kiertoaika,
VKK
y tunnetaan.
heilurin kulma ja langan pituus
L
T
VKK
Laske kiertoheilurin kiertoaika, kun R
y
heilurin kulma ja langan pituusm
tunnetaan.
L
kun
T
x
R rad
Fx T sin
ma x ma
Fy T cos
mg 0
m
w
mg
T
x :cos Fx T sin
ma x ma
rad 2007
S-104.1010 Fysiikka I (AUT, BIO, EST, TLT)
M. Sopanen
x:
y:
Ratkaisu
y:
X
Fx = T sin
Fy T cos
mg 0
mg X
= max = Tmarad
Fy = T cos
cos
S-104.1010 Fysiikka I (AUT, BIO, EST, TLT)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:44
44/50
x
w
mg = 0
M. Sopanen 2007
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (44/50)
Ratkaisu
X
Fx = T sin
= max = marad
X
Fy = T cos
p
mg
v2
=) T =
=m
=) v = Rg tan
cos
R
2⇡ R
2⇡ R
=) P =
=p
v
Rg tan
= 2⇡
s
R
g tan
mg = 0
2⇡ R
=
P
= 2⇡
s
= 2⇡
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:44
45/50
s
L sin
g tan
L cos
g
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (45/50)
Luennon sisältö
Superpositio
Newtonin lait
Tasapainotehtävät
Kitkatehtävät
Ympyräliike
Liikemäärä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:44
46/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (46/50)
Johdanto
Esimerkiksi kahden kappaleen törmäyksissä on vaikea määrittää
minkäsuuruiset ja -suuntaiset voimat vaikuttavat kappaleisiin
Tällaisia ongelmia on usein helpointa käsitellä impulssin
(impulse) ja liikemäärän (momentum) avulla
Ratkaistaan käyttäen liikemäärän säilymisen periaatetta
Vaikuttavia voimia ei tällöin tarvitse edes tuntea
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:44
47/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (47/50)
Newtonin toinen laki
Newtonin toinen laki (N-II) m-massaiselle kappaleelle
Kiihtyvyys on ~a = dv /dt ! N-II voidaan lausua muodossa
X
d~
v
d (m ~
v)
~
~
F = F net = m~a = m
=
dt
dt
~ net = m~a ei ole Newtonin toinen laki yleisimmässä
Yhtälö F
muodossaan
Siinä on jo oletettu, että kappaleen massa säilyy vakiona
Määritellään seuraavaksi liikemäärä, jonka avulla N-II voidaan
yleistää
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:45
48/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (48/50)
Liikemäärä
Määritellään kappaleen liikemääräksi
~p = m~v
Liikemäärä
Liikemäärä on vektori, jolla sama suunta kuin nopeusvektorilla.
Liikemäärä voidaan lausua komponenteittain
px = mvx ,
py = mvy ja pz = mvz
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
2015-09-21 13:37:45
49/50
Syksy 2015
luentokalvot_05_combined.pdf (49/50)
Newtonin 2. lain yleinen muoto
Liikemäärän avulla lausuttuna Newtonin toinen
laki saadaan muotoon
d~
p
~
F net =
dt
= Kappaleeseen vaikuttava nettovoima on yhtä
suuri kuin kappaleen liikemäärän muutos ajan
suhteen
Voimassa vain inertiaalikoordinaatistoissa.
~ net = m~a, koska voidaan
Yleisempi kuin F
käyttää myös silloin kun massa muuttuu liikkeen
aikana (raketti)
2015-09-21 13:37:45
50/50
luentokalvot_05_combined.pdf (50/50)