Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia – extraa ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa, joka pyörii hiljentyvällä vauhdilla. Mihin suuntaan leppäkertun kulmanopeutta kuvaava vektori osoittaa? 1. +x-suuntaan 2. x-suuntaan 3. +y -suuntaan 4. y -suuntaan 5. +z-suuntaan 6. z-suuntaan z y x Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa, joka pyörii hiljentyvällä vauhdilla. Mihin suuntaan leppäkertun kulmanopeutta kuvaava vektori osoittaa? 1. +x-suuntaan 2. x-suuntaan 3. +y -suuntaan 4. y -suuntaan 5. +z-suuntaan 6. z-suuntaan z y x Konseptitesti 2 z Kysymys Viereisessä kuvassa istuu kaksi leppäkerttua pyörivässä karusellissa. Karuselli pyörii vakionopeudella. Miten sisäkehällä istuvan leppäkertun kulmanopeus suhteutuu ulkokehällä istuvan leppäkertun kulmanopeuteen, jos se istuu pyörimisakselin ja ulkokehällä istuvan leppäkertun puolivälissä? 1. Se on puolikas ulomman leppäkertun kulmanopeudesta 2. Se on yhtä suuri kuin ulomman leppäkertun kulmanopeus 3. Se on kaksinkertainen ulomman leppäkertun kulmanopeuteen nähden 4. Annetun tiedon perusteella ei voi päätellä y x Konseptitesti 2 z Kysymys Viereisessä kuvassa istuu kaksi leppäkerttua pyörivässä karusellissa. Karuselli pyörii vakionopeudella. Miten sisäkehällä istuvan leppäkertun kulmanopeus suhteutuu ulkokehällä istuvan leppäkertun kulmanopeuteen, jos se istuu pyörimisakselin ja ulkokehällä istuvan leppäkertun puolivälissä? 1. Se on puolikas ulomman leppäkertun kulmanopeudesta 2. Se on yhtä suuri kuin ulomman leppäkertun kulmanopeus 3. Se on kaksinkertainen ulomman leppäkertun kulmanopeuteen nähden 4. Annetun tiedon perusteella ei voi päätellä y x Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia – extraa ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Konseptitesti 3 Kysymys Kevyen lentokoneen pilotti haluaa lentää länteen. Koneen ilmanopeus (koneen nopeus suhteessa ympäröivään ilmaan) on 200 km h−1 . Voimakas 120 km h−1 tuuli puhaltaa pohjoisesta. Lentääkseen maahan nähden länteen, pilotti kääntää koneen nokan pohjoisen ja lännen väliin. Mikä on hänen maanopeutensa, eli lentokoneen nopeus suhteessa maahan? 1. 80 km h−1 2. 120 km h−1 3. 160 km h−1 4. 180 km h−1 5. Tällaisella tuulella länteen lentäminen on mahdotonta Konseptitesti 3 Kysymys Kevyen lentokoneen pilotti haluaa lentää länteen. Koneen ilmanopeus (koneen nopeus suhteessa ympäröivään ilmaan) on 200 km h−1 . Voimakas 120 km h−1 tuuli puhaltaa pohjoisesta. Lentääkseen maahan nähden länteen, pilotti kääntää koneen nokan pohjoisen ja lännen väliin. Mikä on hänen maanopeutensa, eli lentokoneen nopeus suhteessa maahan? 1. 80 km h−1 2. 120 km h−1 3. 160 km h−1 4. 180 km h−1 5. Tällaisella tuulella länteen lentäminen on mahdotonta Suhteellinen liike Nopeusmittauksista suhteellinen nopeus (relative speed) = nopeus suhteessa johonkin koordinaatistoon (frame of reference) Tarkastellaan suoraviivaista liikettä Kaksi havaitsijaa A ja B, jotka liikkuvat toistensa suhteen nopeudella ~ v AB Havaitsijoiden koordinaatistojen origot pisteissä O ja O 0 Paikkavektori pisteeseen P havaitsijasta A on ~r = OP ja 0 havaitsijasta B on ~r = O 0 P, jolloin ~r = ~r 0 + ~r AB , missä ~r AB on vektori, joka osoittaa A:sta B:hen Oletetaan, että havaitsija B ei ole kiihtyvässä liikkeessä A:han nähden Galilein koordinaatistomuunnos Derivoidaan ajan suhteen 0 d~r d~r d~r AB 0 = + =) ~v = ~v + ~v AB , dt dt dt Derivoimalla uudestaan ajan suhteen saadaan d~ v 0 = ~a = ~a dt Jos valitaan A ja B samaan pisteeseen ajanhetkellä t = 0, saadaan muunnoskaavat ~r 0 = ~r ~v AB t ~v 0 = ~v ~v AB ~a0 = ~a tB = tA = Galilein koordinaatistomuunnos Konseptitesti 4 Kysymys Mikä seuraavista koordinaatistoista on inertiaalinen (tai lähes inertiaalinen) koordinaatisto? 1. Jyrkkää mäkeä laskeva autoon sidottu koordinaatisto 2. Laukaisualustalta juuri lähteneeseen rakettiin sidottu koordinaatisto 3. Mäkeä ylittävään vuoristoradan vaunuun sidottu koordinaatisto 4. Rajanopeuden saavuttanut laskuvarjohyppääjä 5. Ei yksikään edellisistä Konseptitesti 4 Kysymys Mikä seuraavista koordinaatistoista on inertiaalinen (tai lähes inertiaalinen) koordinaatisto? 1. Jyrkkää mäkeä laskeva autoon sidottu koordinaatisto 2. Laukaisualustalta juuri lähteneeseen rakettiin sidottu koordinaatisto 3. Mäkeä ylittävään vuoristoradan vaunuun sidottu koordinaatisto 4. Rajanopeuden saavuttanut laskuvarjohyppääjä 5. Ei yksikään edellisistä Inertiaalikoordinaatisto Galilein muunnoksen keskeisin ominaisuus on että molemmat havaitsijat mittaavat saman kiihtyvyyden Seuraus: kiihtyvyys invariantti koordinaatistomuunnoksessa, kunhan molemmat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja Merkitys: kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat yhdenvertaisia Inertiaalikoordinaatisto (inertial frame of reference) = tasaisella nopeudella liikkuva koordinaatisto Koordinaatisto, joka liikkuu tasaisella nopeudella johonkin inertiaalikoordinaatistoon nähden myös inertiaalikoordinaatisto Ei-inertiaalinen koordinaatisto kiihtyvässä liikkeessä Myös normaalikiihtyyys kiihtyvää liikettä Normaalikiihtyvyys muuttaa koordinaatiston liikesuuntaa ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia – extraa ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Kulmasuureet Ympyräradalla kulkevaa kappaletta kuvataan kulmasuureilla Hiukkasen paikka ympyräradalla paikkavektorin ja x-akselin välinen kulma ✓ Kulmanopeus ! ja ratanopeus v y d✓ ds d (R ✓) != ja v = = = R! dt dt dt Kulmakiihtyvyys ↵ • R d! d 2✓ ↵= = 2 dt dt ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos ✓ x Syksy 2015 Kiihtyvyyden komponentit Kiihtyvyyden tangentiaalikomponentti dv d! aT = =R = R↵ dt dt Normaalikomponentti v2 (! R )2 aN = = = R !2 R R ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Pyörimisliikkeen vektorisuureista tarkemmin z Tarkastellaan z-akselin ympäri (vakio)etäisyydellä R, kulmanopeudella ! tapahtuvaa ympyräliikettä Säde R voidaan esittää myös paikkavektorin ~r pituuden r ja kulman avulla R = r sin R • r • Tällöin ratanopeus v = ! r sin ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Nopeus- ja kiihtyvyysvektorit v = ! r sin ~ ⇥ ~r vektorimuodossa: ~ v =! ~ pyörimistasoa vastaan kohtisuora vektori Kulmanopeusvektori ! Suunta oikean käden säännöllä ~ Tasaisessa ympyräliikkeessä vakio ! Kiihtyvyydellä vain normaalikomponentti d~ v d~r ~a = ~ ⇥ ~ ⇥ ~v =! =! dt dt Eli ~a = ! ~ ⇥ ~v = ! ~ ⇥ (~ ! ⇥ ~r ) ! Pätevät tässä muodossa vain kun r ja ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos vakioita Syksy 2015 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia – extraa ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Pyörivät koordinaatistot Kaksi toistensa suhteen pyörivää koordinaatistoa Koordinaatistojen origot O ja O 0 samassa pisteessä O 0 pyörii kulmanopeudella ! inertiaalikoordinaatiston O suhteen ~ (t ) Mielivaltainen vektori A Koordinaatistossa O ~ = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ A Koordinaatistossa O 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ Origot samat 0 0 0 0 0 0 0 ~ ~ A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ = A ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Aikaderivaatat Inertiaalikoordinaatistossa O ~ dAy dA dAx dAz = î + ĵ + k̂ dtO dt dt dt Pyörivässä koordinaatistossa O 0 0 ~ dA dtO 0 dA0x 0 dA0y 0 dA0z 0 = î + ĵ + k̂ dt dt dt Vain yksikkövektorit î, ĵ ja k̂ vakioita inertiaalikoordinaatistossa, joten 0 ~ dA dtO = dA0x 0 dt î + dA0y dt 0 ĵ + dA0z dt 0 k̂ + A0x ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos 0 0 d î 0 d ĵ 0 d k̂ + Ay + Az dt dt dt 0 Syksy 2015 Pyörivän koordinaatiston yksikkövektorit Koordinaatisto O 0 (ja sen yksikkövektorit) pyörii vakiokulmanopeudella ! 0 d î ~ ⇥ î , =) =! dt =) A0x 0 0 0 0 d ĵ ~ ⇥ ĵ , =! dt d k̂ ~ ⇥ k̂ =! dt 0 d î 0 d ĵ 0 d k̂ +Ay +Az = A0x (~ ! ⇥î )+A0y (~ ! ⇥ĵ )+A0z (~ ! ⇥k̂ ) = dt dt dt ~ ⇥ ! A0x î ~ ⇥ +! Yleinen aikaderivoimisääntö A0y ĵ ~ ⇥ +! A0z k̂ 0 ~ ~ ~ ⇥A=! ~ ⇥A =! ~ ~ dA dA ~ ~ ⇥A = +! dtO dtO 0 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Paikka- ja nopeusvektorit Sovelletaan derivoimissääntöä paikkavektoreihin d~r d~r ~ ⇥ ~r = +! dtO dtO 0 Merkitsemällä saadaan d~r d~r 0 ~v = ja ~ v = dtO dtO 0 ~v = ~v 0 + ! ⇥ ~r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Kiihtyvyysvektori Kiihtyvyysvektoria muunnettaessa huomattava, että molemmat derivoinnit suoritettava samassa koordinaatistossa d 2~r d d~r ~a = 2 = dtO dtO dtO d 2~r d d~r ~a = 2 = dtO 0 dtO 0 dtO 0 0 Tästä saadaan tulokseksi ~a = ~a0 + 2! ~v 0 + ! ~ ⇥ ! ⇥ ~r ) | {z } |~ ⇥ (~ {z } Coriolis keskipako Esimerkki siitä, miksi Galilein muunnos menee rikki ei-inertiaalisessa koordinaatistossa – kiihtyvyys ei enää invariantti ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Maapallon pyörimisen aiheuttama kiihtyvyys Maapallo pyörii kulmanopeudella 7.3 ⇥ 10−5 rad s−1 , jonka suunta maapallon keskustasta pohjoisnavalle päin Jos maapallo ei pyörisi, vapaasti putoavalle kappaleelle mitattaisiin kiihtyvyys g0 Pyörimisen takia maan mukana pyörivä havaitsija näkee kappaleella kiihtyvyyden ~a0 = ~g 0 ~ ⇥ ~v 2! 0 ~ ⇥ (~ ! ! ⇥ ~r ) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Keskipakokiihtyvyys maan pinnalla Maan pyöriminen muuttaa maan pinnalla olevien kappaleiden kokemaa maan vetovoiman kiihtyvyyttä Jos kappale paikallaan, Coriolis-termi häviää Efektiivinen vetovoiman kiihtyvyys ~g = ~g 0 ~ ⇥ (~ ! ! ⇥ ~r ) Vetovoiman kiihtyvyys riippuu korkeusasteesta Korjaustermin suuruus |~ ! ⇥ (~ ! ⇥ ~r )| = ! 2 r cos2 = 3.34 ⇥ 10 2 cos m/s2 Korjaustermin suuruus pieni verrattuna g0 :n arvoon 9.81 m s−2 (latitude): ~ ! ~g 0 N • ~r ~ ⇥ (~ ! ! ⇥ ~r ) Korjaustermin vaikutus painovoiman suuntaan mitätön Coriolis-kiihtyvyys Vaikuttaa kaikkiin maapallon suhteen putoaviin kappaleisiin Esim. vapaasti putoava kappale kaartuu pohjoisella pallonpuoliskolla itään Coriolis-kiihtyvyyden vaikutuksesta Vastaavasti pohjoisella pallonpuoliskolla maanpinnan suuntaisesti liikkuva kappale kääntyy oikealle Eteläisellä pallonpuoliskolla vasemmalle Fiktiivinen kiihtyvyys! – seuraus maapallon pyörimisestä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Coriolis-kiihtyvyys yleisessä tapauksessa Yleisessä tapauksessa Coriolis-kiihtyvyydellä myös pystysuora komponentti Esim. matalapaineen keskuksen ympärillä pyörivät ilmamassat kiertävät pohjoisella pallonpuoliskolla vastapäivään koska matalapainetta kohti tulevat ilmavirtaukset poikkeavat keskilinjasta oikealle Eteläisellä pallonpuoliskolla päinvastoin ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia – extraa ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Karteesinen koordinaatisto z (x , y , z ) dz dy r dx x y Tilavuuselementti dV = dx dy dz ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Karteesinen koordinaatisto Karteesisen koordinaatiston paikkavektori ~r = x î + y ĵ + z k̂ Nopeusvektori d~r dx dy dz ~v = = î + ĵ + k̂ dt dt dt dt Kiihtyvyys Yleinen vektori dvy d~ v dvx dvz ~a = = î + ĵ + k̂ dt dt dt dt ~ = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ A ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Napakoordinaatisto Sylinterikoordinaatiston erikoistapaus 2D:ssä Koordinaatit ⇢ Etäisyys origosta ' Paikkavektorin ja positiivisen x-akselin kulma Muuntoyhtälöt x (⇢, ') = ⇢ cos '; y (⇢, ') = ⇢ sin '; p x2 + y2 y '(x , y ) = arctan x ⇢(x , y ) = ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos y ⇢ ' ~r • x Huomaa, että ⇢ 0 ja ' 2 [0, 2⇡] Syksy 2015 Yksikkövektorit Koordinaattisysteemien koordinaatteja vastaa yksikkövektorit Yksikkövektori osoittaa kasvavien arvojen suuntaan Tyypillisesti yksikkövektorien suunta riippuu tarkastelupisteestä Napakoordinaatiston paikkavektori ~r (⇢, ') = ⇢ê ⇢ Yleinen vektorisuure napakoordinaatistossa ~ = A⇢ ê ⇢ + A' ê ' A y ~ A ê ' ⇢ ' • ~r ê ⇢ x Napakoordinaatiston yksikkövektorit Napakoordinaatiston yksikkövektorit kytketty karteesisen koordinaatiston yksikkövektoreihin ê ⇢ = ê ' cos ' sin ' sin ' cos ' î ĵ (Rotaatiomatriisi) Napakoordinaatiston yksikkövektorit riippuvat ':stä! Lasketaan niiden derivaatat ajan suhteen: d ê ⇢ d cos ' d sin ' d î d ĵ = î + ĵ + cos ' + sin ' dt dt dt dt dt d cos ' d ' d sin ' d ' d' = î + ĵ = ê ' d ' dt d ' dt dt d ê ' d' = ê ⇢ dt dt Nopeus ja kiihtyvyys napakoordinaatistossa d ê ⇢ d~r d d⇢ ~ Nopeusvektori v = = (⇢ê ⇢ ) = ê ⇢ + ⇢ dt dt dt dt y ê 0' Nopeus ê 0⇢ • ~r 0 ê ' d' ' • ~r ê ⇢ x d ê ⇢ d~r d d⇢ ~v = = (⇢ê ⇢ ) = ê ⇢ + ⇢ dt dt dt dt d⇢ d' = ê ⇢ + ⇢ ê ' dt dt Kiihtyvyys saadaan nopeuden aikaderivaatasta d~ v d hd⇢ d' i ~a = = ê ⇢ + ⇢ ê ' = . . . dt dt dt dt ⇣ d 2⇢ h d ' i2 ⌘ ⇣ d⇢ d' d 2' ⌘ = ⇢ ê ⇢ + 2 + ⇢ 2 ê ' 2 dt dt dt dt dt Sylinterikoordinaatisto z ⇢ dz (x , y , z ) = (⇢, , z ) d⇢ r d y x ⇢d Tilavuuselementti dV = ⇢ d ⇢ d dz ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Sylinterikoordinaatisto Napakoordinaatiston yleistys kolmeen ulottuvuuteen Täydennetty karteesisella z-komponentilla z Muuntoyhtälöt x (⇢, ', z ) = ⇢ cos ' y (⇢, ', z ) = ⇢ sin ' z (⇢, ', z ) = z ⇢ p • x2 + y2 y '(x , y , z ) = arctan x z (x , y , z ) = z ⇢(x , y , z ) = z ' x ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Yksikkövektorit sylinterikoordinaatistossa Paikkavektori ~r = ⇢ê ⇢ + z k̂ d⇢ d' dz Nopeus ~ v= ê ⇢ + ⇢ ê ' + k̂ dt dt dt Kiihtyvyys ~a = ⇣ d⇢ d' ⇣ d 2⇢ dt 2 z h d ' i2 ⌘ ⇢ ê ⇢ k̂ dt d 2' ⌘ d 2z 2 + ⇢ 2 ê ' + k̂ dt dt dt dt • ~r Yleinen vektori ~ = A⇢ ê ⇢ + A' ê ' + Az k̂ A ê ' ê ⇢ y x ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Pallokoordinaatisto z (x , y , z ) = (r , ✓, ) dr r sin ✓ r r d✓ d✓ ✓ yd x r sin ✓ d Tilavuuselementti dV = r 2 sin ✓ dr d ✓ d ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Pallokoordinaatisto Koordinaatteina etäisyys origosta r ja kulmat ✓, ' z Muuntoyhtälöt ê r x (r , ', ✓) = r sin ✓ cos ' y (r , ', ✓) = r sin ✓ sin ' z (r , ', ✓) = r cos ✓ ⇢(x , y , z ) = p ✓ x 2 + y 2 + z2 ✓(x , y , z ) = arctan p y '(x , y , z ) = arctan x x2 + y2 z ' x r ê ' • ê ✓ y
© Copyright 2024