Luento 4: Suhteellinen liike ja
koordinaatistomuunnoksia
Suhteellinen translaatioliike
Pyörimisliikkeestä
Suhteellinen pyörimisliike
Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia
– extraa
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Konseptitesti 1
Kysymys
Viereisessä kuvassa leppäkerttu
istuu karusellissa, joka pyörii
hiljentyvällä vauhdilla. Mihin
suuntaan leppäkertun
kulmanopeutta kuvaava vektori
osoittaa?
1. +x-suuntaan
2.
x-suuntaan
3. +y -suuntaan
4.
y -suuntaan
5. +z-suuntaan
6.
z-suuntaan
z
y
x
Konseptitesti 1
Kysymys
Viereisessä kuvassa leppäkerttu
istuu karusellissa, joka pyörii
hiljentyvällä vauhdilla. Mihin
suuntaan leppäkertun
kulmanopeutta kuvaava vektori
osoittaa?
1. +x-suuntaan
2.
x-suuntaan
3. +y -suuntaan
4.
y -suuntaan
5. +z-suuntaan
6.
z-suuntaan
z
y
x
Konseptitesti 2
z
Kysymys
Viereisessä kuvassa istuu kaksi
leppäkerttua pyörivässä karusellissa.
Karuselli pyörii vakionopeudella. Miten
sisäkehällä istuvan leppäkertun
kulmanopeus suhteutuu ulkokehällä
istuvan leppäkertun kulmanopeuteen, jos
se istuu pyörimisakselin ja ulkokehällä
istuvan leppäkertun puolivälissä?
1. Se on puolikas ulomman leppäkertun kulmanopeudesta
2. Se on yhtä suuri kuin ulomman leppäkertun kulmanopeus
3. Se on kaksinkertainen ulomman leppäkertun kulmanopeuteen
nähden
4. Annetun tiedon perusteella ei voi päätellä
y
x
Konseptitesti 2
z
Kysymys
Viereisessä kuvassa istuu kaksi
leppäkerttua pyörivässä karusellissa.
Karuselli pyörii vakionopeudella. Miten
sisäkehällä istuvan leppäkertun
kulmanopeus suhteutuu ulkokehällä
istuvan leppäkertun kulmanopeuteen, jos
se istuu pyörimisakselin ja ulkokehällä
istuvan leppäkertun puolivälissä?
1. Se on puolikas ulomman leppäkertun kulmanopeudesta
2. Se on yhtä suuri kuin ulomman leppäkertun kulmanopeus
3. Se on kaksinkertainen ulomman leppäkertun kulmanopeuteen
nähden
4. Annetun tiedon perusteella ei voi päätellä
y
x
Luennon sisältö
Suhteellinen translaatioliike
Pyörimisliikkeestä
Suhteellinen pyörimisliike
Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia – extraa
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Konseptitesti 3
Kysymys
Kevyen lentokoneen pilotti haluaa lentää länteen. Koneen ilmanopeus
(koneen nopeus suhteessa ympäröivään ilmaan) on 200 km h−1 .
Voimakas 120 km h−1 tuuli puhaltaa pohjoisesta. Lentääkseen
maahan nähden länteen, pilotti kääntää koneen nokan pohjoisen ja
lännen väliin. Mikä on hänen maanopeutensa, eli lentokoneen
nopeus suhteessa maahan?
1. 80 km h−1
2. 120 km h−1
3. 160 km h−1
4. 180 km h−1
5. Tällaisella tuulella länteen lentäminen on mahdotonta
Konseptitesti 3
Kysymys
Kevyen lentokoneen pilotti haluaa lentää länteen. Koneen ilmanopeus
(koneen nopeus suhteessa ympäröivään ilmaan) on 200 km h−1 .
Voimakas 120 km h−1 tuuli puhaltaa pohjoisesta. Lentääkseen
maahan nähden länteen, pilotti kääntää koneen nokan pohjoisen ja
lännen väliin. Mikä on hänen maanopeutensa, eli lentokoneen
nopeus suhteessa maahan?
1. 80 km h−1
2. 120 km h−1
3. 160 km h−1
4. 180 km h−1
5. Tällaisella tuulella länteen lentäminen on mahdotonta
Suhteellinen liike
Nopeusmittauksista suhteellinen nopeus (relative speed) =
nopeus suhteessa johonkin koordinaatistoon (frame of reference)
Tarkastellaan suoraviivaista liikettä
Kaksi havaitsijaa A ja B, jotka liikkuvat toistensa suhteen
nopeudella ~
v AB
Havaitsijoiden koordinaatistojen origot pisteissä O ja O 0
Paikkavektori pisteeseen P havaitsijasta A on ~r = OP ja
0
havaitsijasta B on ~r = O 0 P, jolloin
~r = ~r 0 + ~r AB ,
missä ~r AB on vektori, joka osoittaa A:sta B:hen
Oletetaan, että havaitsija B ei ole kiihtyvässä liikkeessä A:han
nähden
Galilein koordinaatistomuunnos
Derivoidaan ajan suhteen
0
d~r
d~r
d~r AB
0
=
+
=) ~v = ~v + ~v AB ,
dt
dt
dt
Derivoimalla uudestaan ajan suhteen saadaan
d~
v
0
= ~a = ~a
dt
Jos valitaan A ja B samaan pisteeseen ajanhetkellä t = 0,
saadaan muunnoskaavat
~r 0 = ~r
~v AB t
~v 0 = ~v
~v AB
~a0 = ~a
tB = tA
= Galilein koordinaatistomuunnos
Konseptitesti 4
Kysymys
Mikä seuraavista koordinaatistoista on inertiaalinen (tai lähes
inertiaalinen) koordinaatisto?
1. Jyrkkää mäkeä laskeva autoon sidottu koordinaatisto
2. Laukaisualustalta juuri lähteneeseen rakettiin sidottu
koordinaatisto
3. Mäkeä ylittävään vuoristoradan vaunuun sidottu koordinaatisto
4. Rajanopeuden saavuttanut laskuvarjohyppääjä
5. Ei yksikään edellisistä
Konseptitesti 4
Kysymys
Mikä seuraavista koordinaatistoista on inertiaalinen (tai lähes
inertiaalinen) koordinaatisto?
1. Jyrkkää mäkeä laskeva autoon sidottu koordinaatisto
2. Laukaisualustalta juuri lähteneeseen rakettiin sidottu
koordinaatisto
3. Mäkeä ylittävään vuoristoradan vaunuun sidottu koordinaatisto
4. Rajanopeuden saavuttanut laskuvarjohyppääjä
5. Ei yksikään edellisistä
Inertiaalikoordinaatisto
Galilein muunnoksen keskeisin ominaisuus on että molemmat
havaitsijat mittaavat saman kiihtyvyyden
Seuraus: kiihtyvyys invariantti koordinaatistomuunnoksessa,
kunhan molemmat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja
Merkitys: kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat yhdenvertaisia
Inertiaalikoordinaatisto (inertial frame of reference) = tasaisella
nopeudella liikkuva koordinaatisto
Koordinaatisto, joka liikkuu tasaisella nopeudella johonkin
inertiaalikoordinaatistoon nähden myös inertiaalikoordinaatisto
Ei-inertiaalinen koordinaatisto kiihtyvässä liikkeessä
Myös normaalikiihtyyys kiihtyvää liikettä
Normaalikiihtyvyys muuttaa koordinaatiston liikesuuntaa
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Luennon sisältö
Suhteellinen translaatioliike
Pyörimisliikkeestä
Suhteellinen pyörimisliike
Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia – extraa
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Kulmasuureet
Ympyräradalla kulkevaa kappaletta kuvataan kulmasuureilla
Hiukkasen paikka ympyräradalla paikkavektorin ja x-akselin
välinen kulma ✓
Kulmanopeus ! ja ratanopeus v
y
d✓
ds
d (R ✓)
!=
ja v =
=
= R!
dt
dt
dt
Kulmakiihtyvyys ↵
•
R
d!
d 2✓
↵=
= 2
dt
dt
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
✓
x
Syksy 2015
Kiihtyvyyden komponentit
Kiihtyvyyden tangentiaalikomponentti
dv
d!
aT =
=R
= R↵
dt
dt
Normaalikomponentti
v2
(! R )2
aN =
=
= R !2
R
R
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Pyörimisliikkeen vektorisuureista tarkemmin
z
Tarkastellaan z-akselin ympäri
(vakio)etäisyydellä R, kulmanopeudella
! tapahtuvaa ympyräliikettä
Säde R voidaan esittää myös
paikkavektorin ~r pituuden r ja kulman
avulla
R = r sin
R
•
r
•
Tällöin ratanopeus v = ! r sin
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Nopeus- ja kiihtyvyysvektorit
v = ! r sin
~ ⇥ ~r
vektorimuodossa: ~
v =!
~ pyörimistasoa vastaan kohtisuora vektori
Kulmanopeusvektori !
Suunta oikean käden säännöllä
~
Tasaisessa ympyräliikkeessä vakio !
Kiihtyvyydellä vain normaalikomponentti
d~
v
d~r
~a =
~ ⇥
~ ⇥ ~v
=!
=!
dt
dt
Eli
~a = !
~ ⇥ ~v = !
~ ⇥ (~
! ⇥ ~r )
! Pätevät tässä muodossa vain kun r ja
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
vakioita
Syksy 2015
Luennon sisältö
Suhteellinen translaatioliike
Pyörimisliikkeestä
Suhteellinen pyörimisliike
Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia – extraa
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Pyörivät koordinaatistot
Kaksi toistensa suhteen pyörivää koordinaatistoa
Koordinaatistojen origot O ja O 0 samassa pisteessä
O 0 pyörii kulmanopeudella ! inertiaalikoordinaatiston O suhteen
~ (t )
Mielivaltainen vektori A
Koordinaatistossa O
~ = Ax î + Ay ĵ + Az k̂
A
Koordinaatistossa O 0
0
0 0
0 0
0 0
~
A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂
Origot samat
0
0 0
0 0
0 0
~
~
A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ = A
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Aikaderivaatat
Inertiaalikoordinaatistossa O
~
dAy
dA
dAx
dAz
=
î +
ĵ +
k̂
dtO
dt
dt
dt
Pyörivässä koordinaatistossa O 0
0
~
dA
dtO 0
dA0x 0 dA0y 0 dA0z 0
=
î +
ĵ +
k̂
dt
dt
dt
Vain yksikkövektorit î, ĵ ja k̂ vakioita inertiaalikoordinaatistossa,
joten
0
~
dA
dtO
=
dA0x 0
dt
î +
dA0y
dt
0
ĵ +
dA0z
dt
0
k̂ +
A0x
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
0
0
d î
0 d ĵ
0 d k̂
+ Ay
+ Az
dt
dt
dt
0
Syksy 2015
Pyörivän koordinaatiston yksikkövektorit
Koordinaatisto O 0 (ja sen yksikkövektorit) pyörii
vakiokulmanopeudella !
0
d î
~ ⇥ î ,
=)
=!
dt
=)
A0x
0
0
0
0
d ĵ
~ ⇥ ĵ ,
=!
dt
d k̂
~ ⇥ k̂
=!
dt
0
d î
0 d ĵ
0 d k̂
+Ay
+Az
= A0x (~
! ⇥î )+A0y (~
! ⇥ĵ )+A0z (~
! ⇥k̂ ) =
dt
dt
dt
~ ⇥
!
A0x î
~ ⇥
+!
Yleinen aikaderivoimisääntö
A0y ĵ
~ ⇥
+!
A0z k̂
0
~
~
~ ⇥A=!
~ ⇥A
=!
~
~
dA
dA
~
~ ⇥A
=
+!
dtO
dtO 0
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Paikka- ja nopeusvektorit
Sovelletaan derivoimissääntöä paikkavektoreihin
d~r
d~r
~ ⇥ ~r
=
+!
dtO
dtO 0
Merkitsemällä
saadaan
d~r
d~r
0
~v =
ja ~
v =
dtO
dtO 0
~v = ~v 0 + ! ⇥ ~r
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Kiihtyvyysvektori
Kiihtyvyysvektoria muunnettaessa huomattava, että molemmat
derivoinnit suoritettava samassa koordinaatistossa
d 2~r
d d~r
~a = 2 =
dtO dtO
dtO
d 2~r
d d~r
~a = 2 =
dtO 0 dtO 0
dtO 0
0
Tästä saadaan tulokseksi
~a = ~a0 + 2!
~v 0 + !
~
⇥
! ⇥ ~r )
| {z } |~ ⇥ (~
{z
}
Coriolis
keskipako
Esimerkki siitä, miksi Galilein muunnos menee rikki
ei-inertiaalisessa koordinaatistossa – kiihtyvyys ei enää
invariantti
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Maapallon pyörimisen aiheuttama kiihtyvyys
Maapallo pyörii kulmanopeudella 7.3 ⇥ 10−5 rad s−1 , jonka
suunta maapallon keskustasta pohjoisnavalle päin
Jos maapallo ei pyörisi, vapaasti putoavalle kappaleelle
mitattaisiin kiihtyvyys g0
Pyörimisen takia maan mukana pyörivä havaitsija näkee
kappaleella kiihtyvyyden
~a0 = ~g 0
~ ⇥ ~v
2!
0
~ ⇥ (~
!
! ⇥ ~r )
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Keskipakokiihtyvyys maan pinnalla
Maan pyöriminen muuttaa maan pinnalla olevien kappaleiden
kokemaa maan vetovoiman kiihtyvyyttä
Jos kappale paikallaan, Coriolis-termi häviää
Efektiivinen vetovoiman kiihtyvyys
~g = ~g 0
~ ⇥ (~
!
! ⇥ ~r )
Vetovoiman kiihtyvyys riippuu korkeusasteesta
Korjaustermin suuruus
|~
! ⇥ (~
! ⇥ ~r )| = ! 2 r cos2 =
3.34 ⇥ 10 2 cos m/s2
Korjaustermin suuruus pieni
verrattuna g0 :n arvoon
9.81 m s−2
(latitude):
~
!
~g 0
N
•
~r
~ ⇥ (~
!
! ⇥ ~r )
Korjaustermin vaikutus painovoiman suuntaan mitätön
Coriolis-kiihtyvyys
Vaikuttaa kaikkiin maapallon suhteen putoaviin kappaleisiin
Esim. vapaasti putoava kappale kaartuu pohjoisella
pallonpuoliskolla itään Coriolis-kiihtyvyyden vaikutuksesta
Vastaavasti pohjoisella pallonpuoliskolla maanpinnan
suuntaisesti liikkuva kappale kääntyy oikealle
Eteläisellä pallonpuoliskolla vasemmalle
Fiktiivinen kiihtyvyys! – seuraus maapallon pyörimisestä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Coriolis-kiihtyvyys yleisessä tapauksessa
Yleisessä tapauksessa Coriolis-kiihtyvyydellä myös pystysuora
komponentti
Esim. matalapaineen keskuksen ympärillä pyörivät ilmamassat
kiertävät pohjoisella pallonpuoliskolla vastapäivään koska
matalapainetta kohti tulevat ilmavirtaukset poikkeavat
keskilinjasta oikealle
Eteläisellä pallonpuoliskolla päinvastoin
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Luennon sisältö
Suhteellinen translaatioliike
Pyörimisliikkeestä
Suhteellinen pyörimisliike
Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia – extraa
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Karteesinen koordinaatisto
z
(x , y , z )
dz
dy
r
dx
x
y
Tilavuuselementti dV = dx dy dz
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Karteesinen koordinaatisto
Karteesisen koordinaatiston paikkavektori
~r = x î + y ĵ + z k̂
Nopeusvektori
d~r
dx
dy
dz
~v =
=
î +
ĵ +
k̂
dt
dt
dt
dt
Kiihtyvyys
Yleinen vektori
dvy
d~
v
dvx
dvz
~a =
=
î +
ĵ +
k̂
dt
dt
dt
dt
~ = Ax î + Ay ĵ + Az k̂
A
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Napakoordinaatisto
Sylinterikoordinaatiston erikoistapaus
2D:ssä
Koordinaatit
⇢ Etäisyys origosta
' Paikkavektorin ja positiivisen x-akselin
kulma
Muuntoyhtälöt
x (⇢, ') = ⇢ cos ';
y (⇢, ') = ⇢ sin ';
p
x2 + y2
y
'(x , y ) = arctan
x
⇢(x , y ) =
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
y
⇢
'
~r
•
x
Huomaa, että ⇢ 0
ja ' 2 [0, 2⇡]
Syksy 2015
Yksikkövektorit
Koordinaattisysteemien
koordinaatteja vastaa yksikkövektorit
Yksikkövektori osoittaa kasvavien
arvojen suuntaan
Tyypillisesti yksikkövektorien suunta
riippuu tarkastelupisteestä
Napakoordinaatiston paikkavektori
~r (⇢, ') = ⇢ê ⇢
Yleinen vektorisuure napakoordinaatistossa
~ = A⇢ ê ⇢ + A' ê '
A
y
~
A
ê '
⇢
'
•
~r
ê ⇢
x
Napakoordinaatiston yksikkövektorit
Napakoordinaatiston yksikkövektorit kytketty karteesisen
koordinaatiston yksikkövektoreihin

ê ⇢
=
ê '

cos ' sin '
sin ' cos '

î
ĵ
(Rotaatiomatriisi)
Napakoordinaatiston yksikkövektorit riippuvat ':stä!
Lasketaan niiden derivaatat ajan suhteen:
d ê ⇢
d cos '
d sin '
d î
d ĵ
=
î +
ĵ +
cos ' +
sin '
dt
dt
dt
dt
dt
d cos ' d '
d sin ' d '
d'
=
î +
ĵ =
ê '
d ' dt
d ' dt
dt
d ê '
d'
=
ê ⇢
dt
dt
Nopeus ja kiihtyvyys napakoordinaatistossa
d ê ⇢
d~r
d
d⇢
~
Nopeusvektori v =
= (⇢ê ⇢ ) =
ê ⇢ + ⇢
dt
dt
dt
dt
y
ê 0'
Nopeus
ê 0⇢
•
~r 0
ê '
d'
'
•
~r
ê ⇢
x
d ê ⇢
d~r
d
d⇢
~v =
= (⇢ê ⇢ ) =
ê ⇢ + ⇢
dt
dt
dt
dt
d⇢
d'
=
ê ⇢ + ⇢
ê '
dt
dt
Kiihtyvyys saadaan nopeuden
aikaderivaatasta
d~
v
d hd⇢
d' i
~a =
=
ê ⇢ + ⇢
ê ' = . . .
dt
dt dt
dt
⇣ d 2⇢
h d ' i2 ⌘
⇣ d⇢ d'
d 2' ⌘
=
⇢
ê ⇢ + 2
+ ⇢ 2 ê '
2
dt
dt
dt dt
dt
Sylinterikoordinaatisto
z
⇢
dz
(x , y , z ) = (⇢, , z )
d⇢
r
d
y
x
⇢d
Tilavuuselementti dV = ⇢ d ⇢ d dz
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Sylinterikoordinaatisto
Napakoordinaatiston yleistys kolmeen ulottuvuuteen
Täydennetty karteesisella z-komponentilla
z
Muuntoyhtälöt
x (⇢, ', z ) = ⇢ cos '
y (⇢, ', z ) = ⇢ sin '
z (⇢, ', z ) = z
⇢
p
•
x2 + y2
y
'(x , y , z ) = arctan
x
z (x , y , z ) = z
⇢(x , y , z ) =
z
'
x
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Yksikkövektorit sylinterikoordinaatistossa
Paikkavektori ~r = ⇢ê ⇢ + z k̂
d⇢
d'
dz
Nopeus ~
v=
ê ⇢ + ⇢
ê ' +
k̂
dt
dt
dt
Kiihtyvyys ~a =
⇣ d⇢ d'
⇣ d 2⇢
dt 2
z
h d ' i2 ⌘
⇢
ê ⇢
k̂
dt
d 2' ⌘
d 2z
2
+ ⇢ 2 ê ' +
k̂
dt dt
dt
dt
•
~r
Yleinen vektori
~ = A⇢ ê ⇢ + A' ê ' + Az k̂
A
ê '
ê ⇢
y
x
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Pallokoordinaatisto
z
(x , y , z ) = (r , ✓, )
dr
r sin ✓
r
r d✓
d✓
✓
yd
x
r sin ✓ d
Tilavuuselementti dV = r 2 sin ✓ dr d ✓ d
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Pallokoordinaatisto
Koordinaatteina etäisyys origosta r ja kulmat ✓, '
z
Muuntoyhtälöt
ê r
x (r , ', ✓) = r sin ✓ cos '
y (r , ', ✓) = r sin ✓ sin '
z (r , ', ✓) = r cos ✓
⇢(x , y , z ) =
p
✓
x 2 + y 2 + z2
✓(x , y , z ) = arctan
p
y
'(x , y , z ) = arctan
x
x2 + y2
z
'
x
r
ê '
•
ê ✓
y