ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

Luento 15: Ääniaallot, osa 2
Aaltojen interferenssi
Doppler
Laskettuja esimerkkejä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Luennon sisältö
Aaltojen interferenssi
Doppler
Laskettuja esimerkkejä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Aaltojen interferenssi
Samassa pisteessä vaikuttaa ≥ 2 aaltoa
Ei tarvitse seisovaa aaltoa
Lasketaan summaamalla aaltojen amplitudien y (x , t ) lausekkeet
Esimerkiksi jos kaksi lähdettä lähettää samalla taajuudella ja
samassa vaiheessa
→ Interferenssi tarkastelupisteessä P
Konstruktiivinen (vahvistava), kun aaltojen matkaero lähteistä
P:hen 0, λ, 2λ, . . .
Destruktiivinen (sammuttava), kun matkaero λ/2, 3λ/2, 5λ/2, . . .
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Interferenssi tarkemmin
= Kahden tai useamman aallon superpositio jossain tietyssä
paikassa
Aaltojen amplitudit summataan
Ilmiöt erottuvat parhaiten yhdistämälla sinimuotoisia aaltoja
A sin(ω1 t − k1 r1 + δ1 ) + A sin(ω2 t − k2 r2 + δ2 ) (sama amplitudi
yksinkertaisuuden vuoksi)
Tarkastellaan kahta lähdettä S1 ja S2
b
S1
S2
a
c
Interferenssi ja matkaero
c
b
r1 = 4λ
r2 = 2λ
S1
S2
a
Vahvistava interferenssi kun
(ω2 − ω1 )t − (k2 r2 + k1 r1 ) + (δ2 − δ1 ) = mπ, m = 0, ±1, ±2, . . .
Sammuttava interferenssi kun
1
(ω2 − ω1 )t − (k2 r2 + k1 r1 ) + (δ2 − δ1 ) = m + π
2
Interferenssiehdot
Jos lähteet identtisiä: amplitudit samoja, aallonpituudet samoja
λ = 2π/k , taajuudet ω samoja ja alkuvaiheet samoja δ
(Alkuvaihe vakio = koherentti lähde - näistä lisää kevään
kurssilla)
Interferenssiehdoiksi saadaan:
r2 − r1 = mλ
r2 − r1 = (2m + 1)
(Konstruktiivinen i.)
λ
2
(Destruktiivinen i.)
Huomaa rajoitukset, jolla edellinen pätee!
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Harjoitus
Kaksi kaiutinta lähettää samanvaiheista sinimuotoista ääniaaltoa.
Millä taajuuksilla pisteessä P syntyy konstruktiivinen ja
destruktiivinen interferenssi? Äänen nopeus olkoon 350 m s−1 .
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Huojunta
Tarkastellaan edelleen aaltojen interferenssiä
Aaltojen amplitudit ovat samat
Taajuudet hieman erilaiset
x = 0 ja t = 0 aallot samassa vaiheessa =⇒ konstruktiivinen
interferenssi
Ajan kuluessa aaltojen välille syntyy vaihe-ero
Lopulta vaihe-ero on π =⇒ destruktiivinen interferenssi
Normaalin värähtelyn lisäksi syntyy toinen, matalammalla
taajuudella tapahtuva amplitudin huojunta (beat)
Huojuntaa voidaan käyttää vaikkapa soittimien tarkkaan
viritykseen
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Huojunnan matemaattista tarkastelua
Lasketaan yhteen kaksi aaltofunktiota tietyssä pisteessä
Aalloilla vaihe-ero δ =⇒ y1 = sin(ω1 t ) ja y2 = sin(ω2 t + δ)
Aaltofunktioiden summa
y (t ) = ya (t ) + yb (t ) = A [sin ω1 t + sin(ω2 t + δ)]
Pienellä ähertämisellä
y (t ) = 2A sin
(ω1 + ω2 )t − δ /2 cos (ω1 − ω2 )t − δ /2
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Huojunnan matemaattista tarkastelua
Amplituditekijä 2A sin
(ω1 + ω2 )t − δ /2 värähtelee pienellä
taajuudella (fa − fb )/2
Kosinitekijä värähtelee taajuudella (fa + fb )/2
Huojunnan aiheuttamien aaltojen taajuuden keskiarvo
Korva reagoi intensiteettiin – aaltomuodon neliöön, joten se
kuulee huojuntaintensiteetin taajuudella fa + fb ja missä minimit
ja maksimit toistuvat taajuudella |fa − fb |
Huojunta psykofyysinen reaktio, suuremmilla taajuuserotuksilla
korva “erottaa” taajuudet toisistaan
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Luennon sisältö
Aaltojen interferenssi
Doppler
Laskettuja esimerkkejä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Dopplerilmiö
Aaltoliikkeen lähde ja havaitsija liikkuvat toistensa suhteen
→ Muutos havaitussa aaltoliikkeen aallonpituudessa ja taajuudessa
Tilanne: äänilähde ja havaitsija suoraviivaisessa liikkeessä
samalla akselilla
Havaitsijan L nopeus vL (> 0 havaitsijasta lähteeseen päin)
Lähteen S nopeus vS (> 0 havaitsijasta poispäin)
L
vL
S
vS
+
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Havaitsija liikkuu
Vain havaitsija liikkuu
Havaitsijan mielestä aalto lähestyy nopeudella v + vL
→ Äänen taajuus
v + vL
v + vL
=
fS
fL =
λ
v
Liiketilat
Lähdettä kohti liikkuva havaitsija vL > 0 =⇒ fL > fS
Lähteestä poispäin liikkuva: vL < 0 =⇒ fL < fS
L
vL
S
+
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Äänilähde liikkuu poispäin
Äänilähde liikkuu poispäin havaitsijasta
Lähde emittoi siirtymämaksimin (esim) kun t = 0 paikassa x = 0
Seuraava siirtymämaksimi emittoituu ajan hetkellä t = T = 1/fS ,
mutta kohdassa x = vS T
Edellinen siirtymämaksimi on tällä välin edennyt matkan vT
Lähteen takana äänen aallonpituus
v + vS
λ = vT + vS T =
fS
L
S
vS
+
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Molemmat liikkuvat
Havaitsija liikkuu kohti lähdettä
Tällöin havaitsijan kuulee taajuuden
fL =
v + vL
λ
=
v + vL
fS
v + vS
Pätee kaikkiin tapauksiin lähteen ja havaitsijan liikesuunnasta
riippumatta
Nopeuksien merkit pitää mennä oikein!
L
vL
S
vS
+
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Luennon sisältö
Aaltojen interferenssi
Doppler
Laskettuja esimerkkejä
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Esimerkki 1
Kaiuttimen lähettämä ääniaalto, jonka taajuus on 200 Hz, heijastuu
lähes täydellisesti seinästä luoden seisovan aallon. Missä
pisteessä ei ääntä kuulla lainkaan?
Ratkaisu
Ihmiskorva aistii painevaihtelut, eli ääntä ei kuulla kun paineella
solmukohta = siirtymän kupukohta. Seinässä on siirtymän
solmukohta, joten kupukohdat ovat (2m − 1)λ/4 päässä seinästä.
Ensimmäinen kupukohta:
λ=
d=
v
= 1.72 m =⇒ ei ääntä, kun
f
λ
4
= 0.43 m
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Esimerkki 2
Poliisiauton sireenin taajuus on 300 Hz ja äänen nopeus 340 m s−1 .
Mikä on tarkkailijan kuuleman äänen taajuus kun
1. Tarkkailija paikallaan ja poliisiauto liikkuu nopeudella 30 m s−1
poispäin tarkkailijasta?
2. Poliisiauto paikallaan ja tarkkailija liikkuu nopeudella 30 m s−1
poispäin poliisiautosta?
3. Tarkkailija liikkuu kohti poliisiautoa nopeudella 15 m s−1 ja
samalla poliisiauto liikkuu nopeudella 45 m s−1 poispäin
tarkkailijasta?
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Ratkaisut
1. vL = 0 ja vS = 30 m s−1 .
fL =
v + vL
340
fS =
· 300 Hz = 276 Hz
v + vS
340 + 30
2. vL = −30 m s−1 ja vS = 0.
fL =
340 − 30
v + vL
fS =
· 300 Hz = 274 Hz
v + vS
340
3. vL = 15 m s−1 ja vS = 45 m s−1 .
fL =
v + vL
340 + 15
fS =
· 300 Hz = 277 Hz
v + vS
340 + 45
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Esimerkki 3: tupla-Doppler
Poliisiauton sireenin taajuus on 300 Hz ja äänen nopeus 340 m s−1 .
Poliisiauto liikkuu nopeudella 30 m s−1 kohti talon seinää. Sireenin
aiheuttamat ääniaallot heijastuvat talon seinästä takaisin. Mikä on
poliisiauton ajajan kuulema heijastuneen äänen taajuus?
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015
Ratkaisu
Ensimmäinen Doppler-siirtymä: seinä kuuntelijana.
Merkkisäännöt =⇒ vW = 0 ja vS = −30 m s−1
fW =
340
v + vW
fS =
· 300 Hz = 329 Hz
v + vS
340 − 30
Toinen Doppler-siirtymä: poliisi kuuntelee
Merkkisäännöt =⇒ vW = 0 ja vL = 30 m s−1
fW =
v + vL
340 + 30
fW =
· 329 Hz = 358 Hz
v + vW
340
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Sami Kujala
Mikro- ja nanotekniikan laitos
Syksy 2015