ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Johdanto • Gravitaatiovoima yksi luonnon perusvoimista Universaali voima eli pätee kaikkien kappaleiden välillä Newtonin vuonna 1687 julkaisema laki aloitti uuden tieteenhaaran ~g F r ~g F → Taivaanmekaniikka (celestial mechanics) • ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Newtonin gravitaatiolaki Kahden pistemäisen kappaleen (1 ja 2) välinen gravitaatiovoima ~ g = −G F m1 m2 ê r r2 ~ g| = G tai |F m1 m2 r2 m1 ja m2 ovat kappaleiden massat, r niiden välinen etäisyys, G ns. gravitaatiovakio (gravitational constant) ja ê r yksikkövektori, joka osoittaa kappaleesta toiseen. Gravitaatiovoima suuntautuu aina kohti toista kappaletta → attraktiivinen voima ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Gravitaatiovakio Verrannollisuuskerroin, joka yhdistää kappaleiden välisen gravitaatiovoiman G = 6.672 59 × 10−11 N m2 kg2 Voidaan määrittää Cavendishin vaa’alla (Cavendish torsion balance) Gravitaatiovoima aiheuttaa kiertymää lankaan Gravitaatiokenttä Kappaleiden aiheuttamat gravitaatiovoimat lasketaan yhteen vektoreina Gravitaatiovoima on ns. pitkän kantaman voima → Ei edellytä kosketusta (vrt. kontaktivoima!) → Voimakenttä (force field) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Paino Kaikkien kappaleeseen vaikuttavien gravitaatiovoimien summa Esimerkiksi maan pinnalla muiden kappaleiden kuin maapallon vaikutus painoon mitätön → Kappaleen paino maan pinnalla w = Fg = G mME RE2 ME on maan massa ja RE on maan säde ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Paino Aiemmin määriteltiin kappaleen paino maan pinnalla vetovoiman kiihtyvyyden g avulla Vertaamalla saadaan g= GME RE2 Mittaustuloksista laskettu maapallon massa ME = 5.98 × 1024 kg ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Maapallo Maapallon keskimääräinen tiheys ρ= ME 4 3 π RE jolloin saadaan 5500 kg m−3 Arvo kuitenkin keskiarvo Maapallon tiheys pinnan läheisyydessä 3000 kg m−3 Keskipisteessä 13 000 kg m−3 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Gravitaatiopotentiaalienergia Kaukana maan pinnasta Massa m liikkuu r1 → r2 Tehty työ riippuu kappaleen liikkeestä maan säteen suunnassa Z ~r 2 Wgrav = ~r 1 Z r2 = r1 ~ g · d~` = F Z r2 Fr dr r1 mME G 2 dr = GmME r 1 1 − r2 r1 Tehty työ kahden termin erotus Wgrav = mME −∆U = −(U2 − U1 ), missä Ui = −G ri Gravitaatiovoima potentiaalienergiasta Gravitaatiovoima ~ = −∇U = − F ∂U ê r ∂r ∂ mME mME =− −G ê r = −G 2 eˆr ∂r r r Maan pinnan lähellä ∆U = GmME 1 1 − r2 r1 = GmME ≈G r1 − r2 r1 r2 mME (r1 − r2 ) = mg (r1 − r2 ) RE2 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Gravitaatiopotentiaalienergian nollakohta Gravitaatiovoiman tekemä työ voidaan esittää potentiaalierotuksena → Konservatiivinen voima Potentiaalienergia negatiivinen ja lähestyy nollaa kun r → ∞ Yleinen tapa määritellä potentiaalienergian nollakohta ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Pakonopeus (escape velocity) Nopeus, jolla kappale pakenee isomman kappaleen (esim planeetta) vetovoimasta. Edellyttää että (ei huomioida ilmakehän vastusta) kappaleen kokonaisenergia ≥ 0. Rajatapauksena mM 1 = 0 =⇒ ve = K + U = 0 =⇒ mve2 − G 2 R r 2G M R Esimerkiksi maan pinnalla mME mg = G 2 =⇒ ve,maa = RE r 2g ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos M = 11.2 km s−1 RE Syksy 2015 Kiertoradat Kappale lähetetään maan pinnan yläpuolella vaakasuoraan eri alkunopeuksilla v0 Ei huomioida ilmakehän vastusta Tarkastellaan kappaleen liikerataa Jos kokonaisenergia E = K + U < 0, kappale ei voi päästä äärettömyyteen, jossa U = 0 Tällöin se jää suljetulle radalle (closed orbit) Muuten se on avoimella radalla (open orbit) Suljettu rata Suljettu rata aina muodoltaan ellipsi Toisessa polttopisteessä maan keskipiste Erikoistapauksena rata on ympyrä Liian pienillä alkunopeuksilla kappale ei voi kiertää täyttä kierrosta, vaan törmää maan pintaan ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Avoin rata Jos kokonaisenergia E ≥ 0, rata avoin Kappale etääntyy koko ajan maasta eikä palaa Jos E > 0, rata muodoltaan hyperbeli Jos E = 0, paraabelirata ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Ympyrärata ~ g ⊥ ~v , niin aT = 0 ja v on vakio Koska F Liike tällöin tasaista ympyräliikettä Liikeyhtälöstä saadaan ratanopeus maN = Fg v2 mME =⇒ m = G 2 =⇒ v = r r r G ME r Ei riipu satelliitin massasta ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Kiertoaika ja kokonaisenergia Lasketaan satelliitin kiertoaika T Satelliitin kiertonopeus ympyräradalla v = 2π r /T 2π r T = = 2π r v r r 2π r 3/2 =√ GME GME Ympyräradalla satelliitin kokonaisenergia 1 E =K +U = m 2 GME r −G mME mME = −G r 2r |E | = |K | = |U | /2 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 N-II:n analogia Otetaan liikemäärämomentin aikaderivaatta d ~L d~r d~ p d~ p d~ p = × ~p + ~r × = ~v × m~v + ~r × = ~r × dt dt dt dt dt ~ net = d ~p /dt Jos hiukkaseen vaikuttaa nettovoima F d~ p d ~L ~ net = τ ~ = ~r × = ~r × F dt dt ! Liikemäärämomentti ja vääntömomentti laskettava saman pisteen suhteen ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Liikemäärämomentin säilyminen Kun nettovääntömomentti on nolla, niin d ~L/dt = 0 eli ~L on vakio = Liikemäärän säilymislaki Ehto toteutuu ainakin kun P ~ ext = 0 F ~ Toisaalta liikemäärämomentti säilyy kun ~r k F ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Keskeisvoima = Voima, jonka suunta aina jotain kiinteää pistettä kohti Keskeisvoiman piirissä liikkuvan hiukkasen liikemäärämomentti vakio Esim. gravitaatiovoima tai sähköstaattinen voima Liikemäärämomentin säilymistä voidaan käyttää hyväksi avaruuslennoilla ns. gravitaatiolingon avulla, toisaalta sirontatehtäviä voidaan hyvin ratkaista sen avulla ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Liike tasossa kulmasuureilla esitettynä Yksittäisen hiukkasen liikemäärämomentti origon O suhteen ~L = ~r × ~p = ~r × m~v Kulmasuureilla esitettynä ~L = m~r × ~v = m~r × (~ ω × ~r ) = mr 2 ω Jos rata tasossa muttei ympyrärata, hiukkasella sekä radiaalista että tangentiaalista nopeutta origon O suhteen Liikemäärämomenttiin vaikuttaa vain nopeuden tangentiaalikomponentti vθ = ρd θ/dt =⇒ L = mρ2 ! ρ ja d θ/dt ei tarvitse olla vakioita dθ dt Liike keskeisvoiman piirissä Tapaus ympyrärata Keskeisvoiman vaikuttaessa ympyräradalla liikkuvaan ~ g ⊥ ~v , niin aT = 0 ja v on vakio kappaleeseen, täytyy olla F Liike tällöin tasaista ympyräliikettä Liikeyhtälöstä saadaan ratanopeus maN = Fg v2 mME =⇒ m = G 2 =⇒ v = r r r G ME r Ei riipu kappaleen (esim satelliitti) massasta ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Kiertoaika ympyräradalla Lasketaan satelliitin kiertoaika T Satelliitin kiertonopeus ympyräradalla v = 2π r /T 2π r T = = 2π r v r r 2π r 3/2 =√ GME GME Ympyräradalla satelliitin kokonaisenergia 1 E =K +U = m 2 GME r −G mME mME = −G r 2r |E | = |K | = |U | /2 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Keplerin lait Nikolaus Kopernikus esitti vuonna 1543, että maa on planeetta, joka muiden planeettojen tavoin kiertää aurinkoa. Johannes Kepler vuosina 1601–1619 osoitti, että planeettojen radat voidaan laskea niiden näennäisestä liikkeestä. Hän havaitsi kolme empiiristä lakia: 1. Jokainen planeetta kiertää aurinkoa elliptisellä radalla, jonka toisessa polttopisteessä on aurinko 2. Auringon ja planeetan välinen jana peittää saman pinta-alan samassa ajassa 3. Planeettojen kiertoajat ovat verrannolliset ellipsin pääakselin pituuden potenssiin 3/2. ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Elliptinen rata Elliptisen radan polttopisteet ne pisteet, joiden yhteenlaskettu etäisyys |SP | + |S 0 P | vakio mihin tahansa ellipsin pisteeseen P Pääakselin pituus 2a y 2a P • • • Ellipsin eksentrisyys e = |SO |/a Radan aurinkoa lähin piste periheli x S0 S Aurinko pisteessä S Apheli 2ea Periheli Kauimmainen piste apheli ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Keplerin toinen laki Newton johti Keplerin lait liikeyhtälöstä ja gravitaatiolaista Jana SP peittää alan dA aikayksikköä kohden dA 1 rd θ = r dt 2 dt (Sektorinopeus) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Keplerin toinen laki Jaetaan nopeusvektori säteittäiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin v⊥ = v sin φ = ds⊥ dθ = r dt dt jolloin dA 1 1 = rv sin φ = |~r × ~v | = dt 2 2 1 L |~r × m~v | = 2m 2m ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Liikemäärämomentti säilyy Gravitaatiovoima keskeisvoima → Liikemäärämomentin muutos d ~L ~ =0 ~ = ~r × F =τ dt ~ koska ~r k F Tällöin siis: liikemäärämomentti säilyy joten sektorinopeus vakio ~L vakiovektori joka liiketasoon nähden kohtisuorassa → Planeettojen liikkeen oltava samassa tasossa ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Keplerin kolmas laki Kiertoaika elliptisellä radalla 3 2π a2 T = √ GM M auringon massa T ei riipu radan eksentrisyydestä Elliptisellä radalla planeetan kokonaisenergia ei riipu radan eksentrisyydestä, ainostaan pääakselin pituudesta E = −G mM 2a ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Eksentrisyyden vaikutus Sen sijaan liikemäärämomentti riippuu e:stä L=m q GMa(1 − e2 ) Samaa kokonaisenergiaa vastaa joukko erilaisia L:n arvoja → Erilaiset radat Todellisuudessa planeetat kiertävät systeemin massakeskipistettä = Lähellä auringon keskipistettä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Esimerkki 1000 kg painoinen satelliitti halutaan lähettää ympyräradalle 300 km maan pinnan yläpuolelle. a) Määritä satelliitin tarvitsema nopeus, kiertoaika ja radiaalinen kiihtyvyys, b) Paljonko työtä pitää tehdä satelliitin saattamiseksi kiertoradalle? c) Kuinka paljon lisätyötä pitää tehdä, että satelliitti karkaisi maan vetovoimakentästä? Maan säde RE = 6380 km ja massa ME = 5.97 × 1024 kg. ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Esimerkki: Pallosymmetrisen kappaleen gravitaatio Väite Pallosymmetrisen kappaleen gravitaatiokenttä sen ulkopuolella samanlainen, kuin pistemäisen kappaleen kenttä Tarkastellaan onton pallonkuoren aiheuttama Todistus gravitaatiokenttä Kentän voimakkuus saadaan joko integroimalla pallonkuoren osien aiheuttama kenttä tai laskemalla pallonkuoren gravitaatiopotentiaali, jonka gradientti haluttu kenttä on Gravitaatiopotentiaali = gravitaatiopotentiaalienergia per massayksikkö ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Onton siivun gravitaatiopotentiaali R-säteinen pallonkuori jaettu siivuihin joiden keskipiste janalla CP Siivun säde R sin φ, pituus 2π R sin φ ja paksuus R d φ =⇒ dA = 2π R 2 sin φ d φ Kuoren massa m / pinta-alayksikkö m m σ= = A 4π R 2 Siivun massa m m dm = σ dA = dA = sin φ d φ A 2 Siivun gravitaatiopotentiaali dV dm pisteessä P dV = −γ s •P s r R sin φ R dφ φ R •C dφ Gravitaatiopotentiaali pallonkuoren ulkopuolella Kosinilauseesta s2 = R 2 + r 2 − 2rR cos φ =⇒ 2s ds = s ds 2rR sin φ d φ =⇒ sin φ d φ = r rR Siivun gravitaatiopotentiaaliksi saadaan dV = −γ •P dm m sin φ d φ γm = −γ =− ds s 2s 2rR s r Pallonkuoren ulkopuolella R sin φ rZ+R Z V = − dV = γm 2rR ds = −γ m =⇒ r r −R ~ = −∇V = −γ G m ê r r2 R dφ φ R •C dφ Gravitaatiopotentiaali pallonkuoren sisäpuolella Sisäpuolella analyysi muuten sama, mutta integrointirajat R−r →r +R R Z+r Z V = − dV = γm m ds = −γ 2rR R R −r Vakio! Ei riipu sijainnista. Gravitaatiovoima sisäpuolella siten ~ = −∇V ≡ 0 G ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali pallon ulkopuolella Umpinainen homogeeninen pallo koostuu sisäkkäisistä pallonkuorista Gravitaatiopotentiaali pisteessä P V = −γ M r missä M on koko pallon massa Kentän voimakkuus ~ = −∇V = −γ G m ê r r2 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali pallon sisäpuolella Gravitaatiokenttään vaikuttaa ainoastaan tarkastelupisteen etäisyyden sisäpuolella olevien pallonkuorien massa ~ = −γ G 4 3 min r3 3 πr ~ = −γ mr ê r ê missä m = m = m 3 =⇒ G r in 4 2 3 r R R3 3 πR tästä edelleen gravitaatiopotentiaali Z V =− G dr = −γ mr 2 +C 2R 3 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali pallon sisäpuolella Integroimisvakio C saadaan potentiaalin jatkuvuudesta pallon pinnalla V (R ) = −γ m m m 3γ m =⇒ γ + C = −γ =⇒ C = − R 2R R 2R Joten V (r ) = γ mr 2 γm 2 3γ m 2 = r − 3R − 2R 3 2R 2R 3 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali epähomogeeninen pallo Mikäli pallon tiheys riippuu ainoastaan etäisyydestä pallon keskipisteestä, ρ = ρ(r ), pallon ulkopuolella tilanne sama kuin homogeenisen pallon tapauksessa Sisäpuolella gravitaatiokenttä lasketaan jakamalla pallon massa tarkastelupisteen etäisyyttä kauempana ja lähempänä oleviin alueisiin Vain sisäpuolinen alue vaikuttaa gravitaatiokenttään Gravitaatiokentän muoto riippuu tiheysfunktion muodosta ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Esimerkki keskeisvoimasta Partikkelin sironta Hiukkanen siroaa repulsiivisesta keskeisvoimasta Törmäysparametri b, sirontakulma φ ~v 0 y b ~v 0 φ b x ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Ratkaisu Repulsiivinen keskeisvoima: F = k r2 k sin θ r2 Liikemäärämomentti säilyy (alussa = lopussa) Y-suunnassa Fy = may = F sin(π − θ) = mr 2 dθ v0 b = mv0 b =⇒ r 2 = dt d θ/dt dvy k k dθ =⇒ Fy = 2 sin θ = sin θ = may = m r v0 b dt dt ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Ratkaisu Integroidaan. . . k k sin θ d θ = m dvy =⇒ v0 b mv0 b π−φ Z Z sin θ d θ = 0 v0 sin φ dvy =⇒ 0 mv02 b 1 + cos φ φ k 1 + cos φ] =⇒ = = cot v0 sin φ = mv0 b k sin φ 2 ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2015 Simuloidaan 90 20 60 120 15 10 150 30 5 180 0 210 330 240 300 270
© Copyright 2024