Momentti ja pyöriminen Tomi Momentti • Kun kappaletta pyöritetään voiman F avulla siten, että sen kohtisuora etäisyys akselista on r, niin väännön voimakkuutta kuvaileva suure on momentti. M  r  F  r * F r A F Momentti • Voiman vaikutussuoran etäisyyttä kiertoakselista kutsutaan voiman varreksi → mitä pidempi voiman varsi, sitä suurempi momentti samalla voimalla • positiivinen kiertosuunta vastapäivään, negatiivinen myötäpäivään • yksikkö: 1 Nm Staattinen tasapaino • Etenemisen tasapainoehto: F x  0 ja  Fy  0 • Pyörimisen tasapainoehto eli momenttiehto: M  0 • Jotta kappale ei liikkuisi eikä pyörisi, sekä etenemisen että pyörimisen tasapainoehtojen tulee olla voimassa. • Kappaleeseen vaikuttavia momentteja tulee aina tarkastella saman pyörimisakselin suhteen. Liikeyhtälö – kun tilanne ei ole staattinen • pyörimisliikkeessä M i  J • etenemisliikkeessä F i  ma Esimerkki • Tasapaksuinen lankku, joka on 2,3 metriä pitkä on ankkuroitu toisesta päästään järven pohjaan köydellä, siten että lankun pää on 1,5 m syvyydessä. Puun tiheys on 670 kg/m3. Laske vedenpinnan yläpuolella olevan osan pituus. Ratkaisu • Lankkuun vaikuttavat voimat ovat painovoima, noste ja köyden jännitysvoima. α • Tasapainoehdot: N-T-G=0 𝑁∗ 𝑙−𝑥 𝑐𝑜𝑠α 2 −𝐺∗ 𝑙 𝑐𝑜𝑠α=0 2 𝑙−𝑥 2 2 𝐴 𝑙 − 𝑥 ρ𝑣𝑒𝑠𝑖 𝑔 ∗ ∗ 𝑐𝑜𝑠=0 (𝑙 − 𝑥) ρ𝑣𝑒𝑠𝑖 = 𝑙2 ρ𝑝𝑢𝑢 X=0,4173… m X≈0,42 m Hitausmomentti • Kappaleen ”kykyä vastustaa pyörimistilansa muutoksia” kutsutaan hitausmomentiksi • Mitä suurempi hitausmomentti on, sitä suurempi momentti tarvitaan, jotta kappaleen kulmanopeuden muuttamiseen. • Vastaa etenemisliikkeessä massan hitautta • Riippuu paitsi kappaleen massasta, myös massan jakautumisesta kappaleessa 2 i i J  m r Hitausmomentteja Umpinainen sylinteri Ontto sylinteri Umpinainen pallo (sentrifugi!) r A 1 J A  mr 2 2 r2 r1 r 1 J A  m r12  r22 2   A JA  2 mr 2 5 Steinerin sääntö • Lauseke hitausmomentille silloin, kun kappaleen pyörimisakseli ei kulje kappaleen painopisteen kautta. – esim. keppi pyörii toisen päänsä ympäri ω lopullinen hitausmomentti J A  J 0  mR 2 kappaleen painopisteen hitausmomentti pyörimisakselin suhteen, R=painopisteen ja akselin etäisyys, m=kappaleen massa kappaleen hitausmomentti painopisteensä suhteen Pyörimisliikkeen työ, teho ja energia Työ: W  F s  F  r  Fr   M  W M  Teho: P =   M t t 1 Energia: Er  J  2 2 Pyörimismäärä • Pyörimismäärä kuvaa pyörimisen kokonaismäärää – Huomaa yhteys liikemäärään – 𝐿 = 𝐽𝜔 • Ulkoinen momentti (vastaa voimaa liikemäärässä) muuttaa pyörimismäärää – ∆𝐿 = 𝑀∆𝑡 Hidastava tai kiihdyttävä työ • Momentti saa aikaan pyörimisnopeuden muutoksen. Kappale saa tai menettää pyörimisenergiaa. Tehdään siis työtä. • W = M∆φ • Toisaalta ∆E(rot) = W •  M∆φ = ∆E(rot) = ½Jω2 • Momentti M = Jα tai M = Fr Kappale kierii alas ramppia ”vierii liukumatta” – miksi taikasanat? Joudutaan laajentamaan mekaanisen energian säilymislakia: Emekaaninen  E p  Ek  Er  vakio E(p) = mgh E(v) = 0 E(r) = 0 E(p) = 0 E(v) = ½ m v^2 E(r) = ½ J ω^2 Esimerkki • Pallo (J=2/5mr^2) vierii alas ramppia, jonka jyrkkyys on 32 astetta, ja pituus 5,0m. Samanlainen pallo liukuu saman rampin. Molempien paino on 5kg. Kuinka suuri nopeus kummallakin pallolla on rampin lopussa?