Luento 2 vektorilaskentaa
10/26/2015 KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 27.10.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö • Eilisen kertausta: • • • • • Mitä mekaniikka on? Mikä on kontinuumi? Mitä on kontinuumimekaniikka? Miksi kontinuumimekaniikkaa pitää opiskella? Kontinuumimekaniikan aihealueet • Suureiden vektoriluonne • Vektorialgebraa 1 10/26/2015 Päivän aihe: vektorilaskennan kertausta Kurssikirjan kappaleet 2.1-2.4 • Miksi vektorilaskentaa tarvitaan? • Suureiden vektoriluonne • Vektoreiden laskutoimituksia • • • • • • • • • • • Yksikkövektori Nollavektori Vektorien summaus Vektorin kertominen skalaarilla Skalaaritulo eli pistetulo Vektoritulo eli ristitulo Kolmitulot Tason määrittäminen vektorien avulla Komponenttiesitys Indeksinotaatio ja summaussääntö Vektorikannan muuntoyhtälö Miksi vektorilaskentaa tarvitaan? • Luonnonlait eivät ole riippuvaisia koordinaatistosta • Kun kirjoitamme luonnonlakien matemaattisen kuvauksen vektorimuodossa, lakeja kuvaavat yhtälötkään eivät ole riippuvaisia koordinaatistosta, eli ne ovat invariantteja • Kun tarkastellaan fysikaalisia ilmiöitä vektori- ja tensorimuodossa, voimme ymmärtää asian syvällisesti sekä esittää analyysin yksinkertaisessa ja tiiviissä muodossa • Toki haasteena voi olla ”lukutaito”, eli vektori- ja tensorimerkinnät yhtälöissä näyttävät vierailta • Kurssilla pyritään aina avaamaan esitetyt yhtälöt niin, että niiden sisältö ymmärretään 2 10/26/2015 Kontinuumimekaniikan suureiden vektoriluonne • Kontinuumimekaniikan suureet voidaan jaotella seuraavasti Skalaarit Ei-skalaarit Massa Voima Lämpötila Momentti Aika Jännitys Tilavuus Kiihtyvyys Pituus Siirtymä • Skalaarit voidaan esittää yhdellä numerolla kun taas ei-skalaarit sisältävät suuruuden lisäksi muutakin informaatiota, kuten suunnan • Ei-skalaarit ovat vektoreita, mikäli ne noudattavat vektorisääntöjä Mikä on vektori? • Fysikaalinen vektori esitetään yleensä janana, jonka toisessa päässä on nuoli: 3 10/26/2015 Yksikkövektori • Vektori, jonka pituus on yksi, on yksikkövektori • Vektorin A suuntainen yksikkövektori määritellään seuraavasti • Vektori A on siis sama kuin vektorin suuruus kertaa yksikkövektori • Yksikkövektori ilmaisee vain suuntaa, sillä ei ole fysikaalisia dimensioita Nollavektori • Vektoria, jonka suuruus on nolla, kutsutaan nollavektoriksi • Kaikki nollavektorit ovat yhtä suuria keskenään, riippumatta niiden suunnista • Nollavektoria merkitään kirjassa lihavoidulla nollalla 0 4 10/26/2015 Vektorien summa Tarkastellaan vektoreita A, B ja C. Vektorilla A+B, joka on vektoreiden A ja B summa, on seuraavat ominaisuudet: 1. A + B = B + A (vaihdantalaki) 2. (A + B) + C = A + (B + C) (liitäntälaki) 3. Nollavektorin olemassaolo: A + 0 = A 4. Vektorille on olemassa vastavektori A + (-A) = 0 Vektorien vähennyslasku A – B = A + (-B) Vektorien summa Vaihdantalaki • Vektorien summalle pätee suunnikassääntö • Vaihdantalain pitää olla voimassa, jotta ei-skalaari suure voidaan käsittää vektoriksi 5 10/26/2015 Esimerkki: Onko rotaatio vektori? Vektorien summa Liitäntälaki 2. (A + B) + C = A + (B + C) (liitäntälaki) B A+B C A B+C A + (B + C) (A + B) + C 6 10/26/2015 Vektorin kertominen skalaarilla Vektorin kertominen skalaarilla • Tarkastellaan vektoreita A ja B, sekä skalaareita α ja β. Vektorilla αA on seuraavat ominaisuudet: (Liitäntälaki) (Osittelulaki 1) (Osittelulaki 2) 7 10/26/2015 Vektorin kertominen skalaarilla Osittelulaki 2 α(A + B) A+B αB B A αA Määritelmiä • Sidottu eli lokalisoitu vektori • Vektorit ovat yhtä suuret mikäli niiden suuruus ja suunta ovat yhtä suuret. Tästä seuraa, että vektori ei muutu kun sitä siirretään itsensä suuntaisesti. Tästä seuraa, että vektorin paikka avaruudessa voidaan valita mielivaltaisesti. • Tietyissä sovelluksissa vektorin sijainti on määrätty. Tällaisia ovat esimerkiksi kappaleeseen vaikuttava momentti tai voima. Tässä tapauksessa vektori on sidottu eli lokalisoitu • Lineaarisesti riippumattomat vektorit • Vektorit A ja B ovat lineaarisesti riippuvia, mikäli ne ovat toistensa skalaarimonikertoja, eli c1A + c2B = 0, ja skalaarit c1 ja c2 eivät ole nollia • Vastaavasti vektorit 𝐀𝟏 , 𝐀𝟐 , … , 𝐀𝒏 ovat lineaarisesti riippuvia, mikäli on olemassa joukko lukuja 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 siten, että 𝑐1 𝐀1 + 𝑐2 𝐀2+…+ 𝑐𝑛 𝐀𝑛 = 0, ilman että kaikki luvut 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 ovat nollia. • Jos yllä olevan yhtälön ainoa ratkaisu on se, että kaikki luvut 𝑐𝑖 ovat nollia, niin vektoreiden 𝐀𝟏 , 𝐀𝟐 , … , 𝐀𝒏 sanotaan olevan lineaarisesti riippumattomia 8 10/26/2015 Vektorien skalaaritulo eli pistetulo • Tarkastellaan kuvan mukaista voimavektoria F, joka vaikuttaa pistemassaan ja liikkuu siirtymävektorin d mukaisesti • Voimavektorin tekemä työ määritellään voimavektorin projektiona siirtymävektorin suuntaan, kerrottuna siirtymävektorin suuruudella Vektorien skalaaritulo eli pistetulo • Pistetulon tulos on skalaari, siksi sitä kutsutaan skalaarituloksi • Skalaaritulon määritelmästä seuraa: 1. Koska 𝐀 ∙ 𝐁 = 𝐁 ∙ 𝐀 , vaihdantalaki on voimassa 2. Jos vektorit A ja B ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, niin 𝐀 ∙ 𝐁 = 𝐴𝐵cos π 2 = 0. Toisaalta jos 𝐀 ∙ 𝐁 = 0, niin tiedetään, että joko A tai B on nolla, tai A on kohtisuorassa vektoria B vastaan, eli A ja B ovat keskenään ortogonaaliset 3. Jos kaksi vektoria ovat samansuuntaiset, 𝐀 ∙ 𝐁 = 𝐴𝐵cos 0 = 𝐴𝐵. Tästä seuraa, että vektorin skalaaritulo itsensä kanssa on yhtä suuri kuin sen suuruuden neliö 9 10/26/2015 Vektorien skalaaritulo eli pistetulo 4. Vektorin A otrogonaalinen projektio mihin tahansa suuntaan ê on (𝐀 ∙ 𝐞)𝐞. 5. Skalaaritulo noudattaa osittelulakia Vektoritulo eli ristitulo • Tarkastellaan pisteessä P vaikuttavan voiman 𝐅 aiheuttamaa momenttia pisteen O ympäri 10 10/26/2015 Vektoritulo eli ristitulo Momentti määritellään seuraavasti missä 𝑙 on kohtisuora etäisyys pisteen O ja voiman 𝐅 välillä (vipuvarsi). Merkitään vektorilla 𝐫 vektoria OP, ja 𝜃 on kulma vektorien 𝐫 ja 𝐅 välillä. Tällöin Vektoritulo eli ristitulo Seuraavaksi määritellään momentin suunta. Piirretään vektorit 𝐫 ja 𝐅 samaan origoon O ja huomataan, että voiman 𝐅 aiheuttama rotaatio pyrkii tuomaan vektorin 𝐫 samansuuntaiseksi kuin 𝐅. Määritellään rotaatioakseli kohtisuoraksi vektorien 𝐅 ja r muodostaman tason suhteen. Rotaatioakselin positiivinen suunta sovitaan oikean käden säännön mukaan (eli kun momentti kiertää oikean käden sormien suuntaisesti niin peukalo näyttää positiivisen suunnan) Määritellään momentin suunta yksikkövektorilla 𝒆𝑀 11 10/26/2015 Vektoritulo eli ristitulo Momentiksi saadaan Momentti saadaan siis vektorien r ja F ristitulona. Koska ristitulon tulos on vektori, sitä kutsutaan vektorituloksi. Vektoritulo eli ristitulo • Vektoritulo kirjoitetaan yleensä muotoon 12 10/26/2015 Vektoritulo eli ristitulo • Vektoritulon suuruus on sama kuin vektorien A ja B rajaaman suunnikkaan ala. • Yksikkövektori määrittää tasomaisen alueen normaalin. • Pinta-ala voidaan siten määrittää vektorina! Esimerkki Nopeus pyörivän kappaleen pisteessä 13 10/26/2015 Vektoritulo eli ristitulo Vektoritulon määritelmästä seuraa: 1. Tulot 𝐀 × 𝐁 ja 𝐁 × 𝐀 eivät ole yhtä suuret. Itse asiassa on voimassa Vektoritulo ei siis noudata vaihdantalakia. Vektorien järjestystä vektoritulossa ei saa muuttaa. Vektoritulo eli ristitulo Vektoritulon määritelmästä seuraa: 2. Jos kaksi vektoria A ja B ovat yhdensuuntaiset, silloin niiden välinen kulma on θ = π tai θ = 0 eli sin θ = 0, ja Vastaavasti tiedetään, että jos 𝐀 × 𝐁 = 0 niin joko A tai B on nolla tai vektorit ovat samansuuntaiset. Tästä seuraa, että vektorin ristitulo itsensä kanssa on nolla 𝐀 × 𝐀 = 0 3. Osittelulaki on voimassa, mutta vektoreiden järjestys pitää säilyttää 14 10/26/2015 Kolmitulot • Tarkastellaan kolmen vektorin tuloja • Tulo on sama kuin vektorin A kertominen skalaarilla (B∙C) • Tulo on skalaari ja nimeltään skalaarikolmitulo • Tulo on vektori ja nimeltään vektorikolmitulo • Seuraavaksi tarkastellaan skalaari- ja vektorikolmitulojen ominaisuuksia Kolmitulot Skalaarikolmitulo • Skalaarikolmitulo antaa tuloksena vektoreiden A, B ja C määräämän suuntaissärmiön tilavuuden 15 10/26/2015 Kolmitulot Skalaarikolmitulo HUOM! Skalaarikolmitulo on mielekäs ainoastaan jos vektoritulo suoritetaan ensin Skalaarikolmitulolla on seuraavat ominaisuudet: 1. Pisteen ja ristin paikat voi vaihtaa muuttamatta lopputulosta 2. Vektorien syklinen permutaatio ei muuta tulosta Kolmitulot Skalaarikolmitulo Skalaarikolmitulolla on seuraavat ominaisuudet: 3. Jos vektorien syklistä järjestystä muutetaan, merkki muuttuu: 4. Vektorit ovat samassa tasossa, jos Lisäksi skalaarikolmitulo on nolla mikäli vektoreista kaksi on samoja. 16 10/26/2015 Kolmitulot Vektorikolmitulo • Vektorikolmitulo on vektorinormaali tasolle, jonka muodostavat vektorit A ja (𝐁 × 𝐂) • Toisaalta, vektori (𝐁 × 𝐂) on kohtisuora vektoreiden B ja C määrittämää tasoa vastaan • Siten 𝐀 × (𝐁 × 𝐂) on vektoreiden B ja C muodostaman tason suuntainen ja kohtisuora vektoria A vastaan Kolmitulot Vektorikolmitulo • Siten 𝐀 × (𝐁 × 𝐂) voidaan ilmaista vektorien B ja C lineaarikombinaationa 𝐀 × 𝐁 × 𝐂 = 𝑚1 𝐁 + 𝑛1 𝐂 • Vastaavasti on voimassa • Huomaa, että sulkumerkkejä ei voi poistaa tai siirtää (laskentajärjestystä muuttaa) muuttamatta lopputulosta 17 10/26/2015 Kolmitulot Vektorikolmitulo • Voidaan osoittaa, että 𝑚1 = 𝐀 ∙ 𝐂, 𝑛1 = −𝐀 ∙ 𝐁 • Mistä seuraa Esimerkki 18 10/26/2015 Taso vektorina • Vektorin 𝐂 = 𝐀 × 𝐁 suuruus on vektoreiden A ja B määrittämän suunnikkaan pinta-ala • Vektori C määrittää myös tason suunnan Taso vektorina • Tyypillisesti tason suunta ilmoitetaan yksikkövektorilla, joka on tason normaalin suuntainen • Kun yksikkövektori on 𝐧 niin pinta-ala on 𝐒 = 𝑆𝐧 19 10/26/2015 Taso vektorina Esimerkki Taso vektorina Esimerkki 20 10/26/2015 Vektorin komponentit • • • Tähän asti ollaan tarkasteltu vektorin geometrista kuvausta. Nyt tarkastellaan analyyttistä kuvausta. Analyyttinen kuvaustapa on hyödyllinen kun kuvataan fysiikan lakeja analyyttisessä muodossa. Vektorin analyyttinen kuvaustapa perustuu sen komponenttiesitykseen. Vektorin komponentit • Kolmiulotteisessa avaruudessa on olemassa kolmen lineaarisesti riippumattoman vektorin joukko, jota merkitään • Tätä joukkoa kutsutaan termillä kanta. • Kanta on ortonormaali, jos sen vektorit ovat ortogonaalisia (eli kohtisuorassa toisiaan vastaan) ja yksikkövektoreita. Merkitään ortonormaalia kantaa 21 10/26/2015 Vektorin komponentit • Ortonormaalille kannalle on voimassa Vektorin komponentit • Muita kantavektoreille käytettyjä notaatioita: 22 10/26/2015 Vektorin komponentit • Muistetaan lineaarisen riippuvuuden määritelmä: • vektorit 𝐀 𝟏 , 𝐀 𝟐 , … , 𝐀 𝒏 ovat lineaarisesti riippuvia, mikäli on olemassa joukko lukuja 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 siten, että 𝑐1 𝐀1 + 𝑐2 𝐀 2 +…+ 𝑐𝑛 𝐀 𝑛 = 0, ilman että kaikki luvut 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 ovat nollia • Koska kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, voidaan mikä tahansa vektori esittää kolmiulotteisessa avaruudessa kantavektorien lineaarisena kombinaationa Vektorin komponentit • Vektorit 𝐴1 𝐞1 , 𝐴2 𝐞2 ja 𝐴3 𝐞3 ovat vektorin A komponentit • 𝐴1 , 𝐴2 ja 𝐴3 ovat vektorin A skalaarikomponentit kannassa 𝐞1 , 𝐞2 , 𝐞3 • Kun kanta on ortonormaali, 𝐴1 , 𝐴2 ja 𝐴3 ovat vektorin A fysikaaliset komponentit, eli niillä on samat fysikaaliset dimensiot kuin vektorilla • Vektorit ovat yhtä suuret kun niiden komponentit ovat yhtä suuret, eli A = B kun 𝐴1 = 𝐵1 , 𝐴2 = 𝐵2 ja 𝐴3 = 𝐵3 23 10/26/2015 Vektorin komponentit Vektorialgebraa • Skalaarilla kertominen • Vektorien summa Vektorin komponentit Vektorialgebraa • Skalaaritulo eli pistetulo • Vektoritulo eli ristitulo 24 10/26/2015 Esimerkki Esimerkki 25 10/26/2015 Esimerkki - ratkaisu Esimerkki - ratkaisu Muistetaan vektorin pistetulon sääntö: Vektorin A otrogonaalinen projektio mihin tahansa suuntaan ê on (𝐀 ∙ 𝐞)𝐞. 26 10/26/2015 Esimerkki - ratkaisu Esimerkki - ratkaisu v t v v n 2ˆi 3ˆj 0.24(3ˆi 4kˆ ) 1.28ˆi 3ˆj 0.96kˆ Kirjassa virhe 27 10/26/2015 Esimerkki - ratkaisu Indeksinotaatio ja summaussääntö • Käyttämällä indeksinotaatiota voidaan kirjoittaa pitkiä yhtälöitä ytimekkääseen muotoon • Vektori A komponenttimuodossa: • Voidaan lyhentää muotoon: • Ymmärretään, että toistuva indeksi tarkoittaa summausta yli kaikkien indeksin arvojen. Tällöin summa voidaan esittää lyhyesti (summaussääntö): 28 10/26/2015 Indeksinotaatio ja summaussääntö Indeksin ominaisuuksia • Summausindeksiä kutsutaan myös dummy-indeksiksi, koska se voidaan korvata millä tahansa symbolilla, jota ei ole jo käytetty samassa lausekkeessa • Sääntö: indeksi ei voi esiintyä kuin kaksi kertaa samassa termissä. Ei voi esim. kirjoittaa Indeksinotaatio ja summaussääntö Indeksin ominaisuuksia • Summausindeksin lisäksi on olemassa vapaa indeksi • Vapaa indeksi esiintyy yhtälön kaikissa termeissä, paitsi niissä jotka sisältävät vain reaalilukuja • Esimerkki: Yhtälössä i on vapaa indeksi ja j on summausindeksi 29 10/26/2015 Indeksinotaatio ja summaussääntö Indeksin ominaisuuksia - Esimerkki • Kun i ja j saavat arvot 1…3, yhtälö kolme yhtälöä on sama kuin i on vapaa indeksi ja j on summausindeksi Indeksinotaatio ja summaussääntö Indeksin ominaisuuksia - Esimerkki • Toinen esimerkki k on vapaa indeksi ja i ja j ovat summausindeksejä. Kun k, i ja j saavat arvot 1…3, yhtälö on sama kuin kolme yhtälöä G1 H1 (2 3( A1 B1 A2 B2 A3 B3 )) ( P1Q1 P2Q2 P3Q3 ) F1 G2 H 2 (2 3( A1 B1 A2 B2 A3 B3 )) ( P1Q1 P2Q2 P3Q3 ) F2 G3 H 3 (2 3( A1 B1 A2 B2 A3 B3 )) ( P1Q1 P2Q2 P3Q3 ) F3 30 10/26/2015 Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli • Ortonormaalien kantavektoreiden pistetulo ja ristitulo voidaan kätevästi ilmaista käyttämällä Kroneckerin deltaa 𝛿𝑖𝑗 ja permutaatiosymbolia 𝑒𝑖𝑗𝑘 • Pistetulo määritellään seuraavasti Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli • Huomataan, että Kroneckerin deltan avulla ilmaistuna yhtälö on sama kuin yhtälöt 31 10/26/2015 Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli • Määritelmän mukaan Kroneckerin delta muuttaa indeksejä termissä, jossa se esiintyy Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli • Ristitulo määritellään missä 32 10/26/2015 Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli • Määritelmän mukaan permutaatiosymbolilla on seuraavat ominaisuudet Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli • Huomataan, että permutaatiosymbolin avulla ilmaistuna yhtälö on sama kuin 33 10/26/2015 Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli • Ortonormaalissa kannassa olevan vektorin skalaaritulo ja vektoritulo voidaan esittää indeksinotaatiolla Kroneckerin deltan ja permutaatiosymbolin avulla Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli • Huomaa, että vektorin komponentit ortonormaalissa koordinaatistossa ovat • Siten vektori A voidaan kirjoittaa • Kroneckerin deltalla ja permutaatiosymbolilla on seuraava yhteys 34 10/26/2015 Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli Esimerkki 2.4.2 Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli Esimerkki 2.4.2 35 10/26/2015 Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli Esimerkki 2.4.2 Kroneckerin delta ja permutaatiosymboli Esimerkki 2.4.3 36 10/26/2015 Koordinaatistomerkintöjä Kun kantavektorit ovat yksikkövektoreita ja toisiaan vastaan kohtisuorassa (ortonormaaleja), kyseessä on suorakulmainen karteesinen kanta, tai lyhyesti karteesinen kanta, jota merkitään tällä kurssilla Karteesisia koordinaatteja merkitään (x , y , z) tai (x1 , x2 , x3) Koordinaatistomerkintöjä Paikkavektori r origosta pisteeseen (x , y , z) tai (x1 , x2 , x3) on Summaussäännön avulla kirjoitettuna paikkavektori r on HUOM! Paikkavektorille käytetään myös symbolia x r=x 37 10/26/2015 Vektorikannan muuntoyhtälö • Tarkastellaan kahta ortonormaalia kantaa vs. Vektorikannan muuntoyhtälö • Sama vektori A voidaan esittää molemmissa koordinaatistoissa • Siten missä 38 10/26/2015 Vektorikannan muuntoyhtälö • Yhtälö antaa yhteyden komponenttien Kertoimet ja välillä ovat suuntakosineja Vektorikannan muuntoyhtälö Esimerkki 2.4.4 39 10/26/2015 Vektorikannan muuntoyhtälö Esimerkki Mitä tällä luennolla opimme? • • • • • • • • Kertasimme vektorilaskentaa ja tutustuimme samalla kurssikirjan käyttämään notaatioon Miksi vektorilaskentaa tarvitaan? Suureiden vektoriluonne Vektoreiden laskutoimituksia • • • • • • • Yksikkövektori Nollavektori Vektorien summaus Vektorin kertominen skalaarilla Skalaaritulo eli pistetulo Vektoritulo eli ristitulo Kolmitulot Tason määrittäminen vektorien avulla Komponenttiesitys Indeksinotaatio ja summaussääntö Vektorikannan muuntoyhtälö 40 10/26/2015 Huomisen aihe • Matriisilaskentaa • Matriisin määrittely • Matriisien laskutoimituksia • Vektorianalyysi • Gradientin määritelmä • Divergenssi ja roottori • Tensorit • Tensorin esittely 41
© Copyright 2024