MAA5.1 2012 Koe ja ratkaisut välivaiheineen (PDF

MAA5. 1 Koe 29.9.2012
Jussi Tyni
Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruudukko ensimmäisen konseptin yläreunaan!
Perustele vastauksesi välivaiheilla!
1. Olkoon vektorit a  2i  6 j  3k ja b  i  4 j  3k
a) Määritä vektori c  2a  4b ja laske
c.
b) Määritä vektorien a ja b välinen kulma.
2. a) Osoita, että vektorit
a  3i  j  2k
ja b  4i 
4
8
j  k ovat yhdensuuntaiset.
3
3
Ovatko a ja b tällöin samansuuntaiset vai vastakkaissuuntaiset ?
b) Määritä vektorin a  3i  j  2k suuntainen yksikkövektori.
3. Kolmion ABC kärjestä A alkavat sivuvektorit ovat AB  2i  6 j ja AC  i  4 j .
Määritä kolmion sivujen pituudet.
4. a) Onko piste P = ( 0,-1,2) pisteiden A = ( 2,1,0) ja B = ( 3,2,1) kautta kulkevalla suoralla
?
b) Missä pisteessä a) –kohdan suora leikkaa xz-tason?
5. Piste P jakaa kolmion ABC sivun AB suhteessa 1: 3 ja piste Q jakaa sivun AC suhteessa
1: 2. Missä suhteessa janojen CP ja BQ leikkauspiste R jakaa janat CP ja BQ?
6. Suora s1 kulkee pisteiden A = (2,3,-1) ja B = (3,8,-2) kautta. Suora s2 kulkee pisteiden C
= (-1,0,6) ja D = (-2,1,9) kautta. Määritä suorien leikkauspiste.
7. dsf Pienkone ilmestyy lennonjohdon tutkaan ja etenee tutkassa ensin vektorin
suuntaisesti 2000 metriä. Sen jälkeen kone vaihtaa suuntaa ja etenee vektorin
suuntaisesti 4000 metriä. (yksi askel koordinaatistossa vastaa yhtä metriä )
Jos kone ilmestyi tutkaan pisteessä P = (300, 520, 1905), missä se on liikkeidensä
jälkeen?
Kuvaile koneen tilaa.
8. Taso T kulkee pisteen A = (-8,1,1) kautta ja tasolla on suuntavektorit u  2i  j  k ja
v  i  j  3k . Määritä pisteen P = (1,2,3) etäisyys tasosta T.
Ota tämä paperi matkaasi ja merkkaa siihen lyhyesti omat vastauksesi. Voit tarkastaa
oikeat vastaukset netistä kokeen jälkeen osoitteesta:
http://jussityni.wordpress.com/
Ratkaisut:
c  2(2i  6 j  3k )  4(i  4 j  3k )
1. a) a  2i  6 j  3k ja b  i  4 j  3k , joten
 8i  28 j  6k
Sekä c  8  (28)  6  884 
2
2
2
4  221  2 221
b) Vektorien väliseen kulmaan tarvitaan vektorien pistetulo ja vektorien pituudet:
a  22  (6)2  (3)2  7 ja b  (1)2  42  32  26 ja
a  b  2  (1)  6  4  3  3  35
Nyt
cos(a, b) 
a b
ab
 cos(a, b) 
35
cos 1  (a, b)  168, 7
7 26
Vektorien välinen kulma on siis 11,3 astetta!
2. a) Jos vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset, niin on olemassa reaaliluku u, niin että
3
4
8
3
a  ub . Koska a  3i  j  2k   4i  j  k   b , niin vektorit a ja b ovat
4
3
3  4
yhdensuuntaiset. Koska
3
 0 , niin vektorit a ja b ovat samansuuntaiset.
4
b)Yksikkövektorin pituus on 1, kun taas a:n pituus on a  32  (1)2  22  14 , joten
samansuuntaisen yksikkövektorin täytyy olla a 0 
1
(3i  j  2k )
14
3. Ratkaisu: AB  22  62  40  2 10
AC  ( 1)2  42  17
BC  BA  AC  2i  6 j  i  4 j  3i  2 j ja BC  ( 3)2  ( 2)2  13 .
Vastaus: AB  2 10 , AC  17 ja BC  13 .
4. a) Ratkaisu: Jos piste P on pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla, niin on olemassa
reaaliluku t siten, että AP  t AB.
2i  2 j  2k  t (i  j  k )  ti  t j  tk
 t  2

 t  2
t  2

Reaalilukua t ei ole olemassa, joten piste P ei ole pisteiden A ja B kautta kulkevalla
suoralla.
b) Pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla on suuntavektori
v  (3  2)i  (2  1) j  (1  0)k  i  j  k
Nyt suoran ja xz-tason leikkauspisteen X koordinaatit ovat X=(x,0,z). Emme voi tietää
mitkä x ja z –koordinaatit ovat, joten ne on nimettävä muuttujilla. y-koordinaatin on
pakko olla 0, koska ollaan vain x- ja z-akseleilla.
Nyt leikkauspiste on tietenkin samalla suoralla joka kulkee pisteiden AB kautta, joten
täytyy olla:
tv  AX  t (i  j  k )  ( x  2)i  (0  1) j  ( z  0)k
ti  tj  tk  ( x  2)i  (0  1) j  ( z  0)k
t  x  2  1  x  2  x  1

 t  1
t  z  z  1

Joten leikkauspiste X=(1,0,-1)
5. Ratkaisu:
Merkitään AB  a ja AC  b . Tällöin
1
1
CR  sCP  s( b  a )  sa  sb ja
4
4
1
1 

CR  CB  tBQ  ( b  a )  t ( a  b)  (1  t )a   1  t  b .
3
3 

1
s  1 t

4

  s  1  1 t

3

1
 t  1 s
4
Sijoitetaan t alempaan yhtälöön, jolloin
1 1 
1 1
11
2
8
 s  1  1  s    s  1   s   s    s 
3 4 
3 12
12
3
11
1 8
9
ja t  1    .
4 11 11
8
9
Täten CR  CP , joten CR : RP  8 : 3 ja BR  BQ , joten BR : RQ  9 : 2 .
11
11
Vastaus: CR : RP  8 : 3 ja BR : RQ  9 : 2 .
6. Ratkaisu:
Suorat s1 ja s2 leikkaavat toisensa, jos avaruudessa on piste P, joka on molemmilla
suorilla. Tällöin

OP  OA  s AB
.


OP  OC  tCD
OP  2i  3 j  k  s (i  5 j  k )  (2  s )i  (3  5s ) j  ( 1  s )k
OP  i  6k  t ( i  j  3k )  ( 1  t )i  t j  (6  3t )k
2  s  1  t
 s  t  3


 5s  t  3
3  5s  t
 1  s  6  3t
  s  3t  7


(1)
(2)
(3)
Lasketaan yhtälöt (1) ja (3) yhteen, jolloin -2t = 4 eli t = -2. Sijoitetaan t yhtälöön (1),
jolloin s  2  3  s  1 .
Sijoitetaan s ja t yhtälöön (2). Nyt 5  (1)  (2)  3 tosi
Nyt OP  (2  s)i  (3  5s) j  (1  s)k  (2  1)i  (3  5  ( 1)) j  ( 1  ( 1))k  i  2 j
Leikkauspiste on täten P = (1,-2,0).
7. Mallikuva:
Lasketaan vektorien
a ja b pituudet ja pidennetään niitä sopivasti, jotta saadaan
kuljettua vektorit AP ja PB:
a  32  (6) 2  (2) 2  49  7
2000
2000
2000
2000
a
 3i 
 (6) j 
 (2)k
7
7
7
7
6000 12000
4000

i
j
k
7
7
7
 AP 
b  42  (4) 2  (2) 2  36  6
4000
2000
2000
2000
2000
b
b
 4i 
 (4) j 
 (2)k
6
3
3
3
3
8000 8000
4000

i
j
k
3
3
3
Nyt
6000 12000
4000
8000 8000
4000
AB  AP  PB 
i
j
k
i
j
k
7
7
7
3
3
3
74000 92000
40000

i
j
k  3524i  4381 j  1905k
21
21
21
 PB 
Lentokone siis liikkuu vektori AB:n verran lennonjohdon tutkassa ja on noin
pisteessä:
(3824, -3861, 0). X- ja Y-koordinaattien liikkeellä ei ole niin väliä, mutta
koordinaatti Z osoittaa, että kone on tällä hetkellä maassa. Toivottavasti
laskeutuminen on onnistunut ja lentokenttä on koordinaateissa (3824, -3861).
8. Ratkaisu:
Olkoon piste Q se piste, joka on lähinnä pistettä P tasossa T.
Jos piste P on tasossa T, niin PQ  PA  AQ  PA  su  tv . Nyt
PQ  9i  j  2k  s(2i  j  k )  t (i  j  3k )  (9  2s  t )i  (1  s  t ) j  (2  s  3t )k
Toisaalta jana PQ kohtisuorassa tasoa T vastaan, joten suuntavektorit ovat
kohtisuorassa janaa PQ vastaan. Tällöin u  PQ  0 ja v  PQ  0 .
u  PQ  0 :
2  (9  2s  t )  1 (1  s  t )  1 (3  s  3t )  0
18  4s  2t  1  s  t  3  s  3t  0
6s  4t  14
v  PQ  0 :
1 (9  2s  t )  1 (1  s  t )  3  (3  s  3t )  0
9  2s  t  1  s  t  9  3s  9t  0
4s  11t  1
6s  4t  14

4s  11t  1
Kerrotaan ylempi yhtälö -2:llä ja alempi 3:lla ja lasketaan yhtälöt yhteen. Tällöin
saadaan 25t= -25 eli t = -1. Sijoitetaan t ylempään yhtälöön:
6s  4  14  6s  18  s  3
Tällöin
PQ  (9  2  3  1)i  (1  3  1) j  (3  3  3  (1))k  4i  5 j  3k
PQ 
 4   5
2
2
 32  50  5 2
Vastaus: Pisteen P etäisyys tasosta T on 5 2 .