1. No category

MTTTA4 Tilastollinen päättely 1 2015
Harjoitus 6 viikko 8, to klo 14.15 – 15.45 ls. Pinni B0020
6.1 Valitaan n:n alkion otos jakaumasta, jonka tiheysfunktio on
𝑥
1
𝑓(𝑥; 𝜃) = 2 𝑥𝑒 −𝜃 , 𝑥 > 0,
𝜃 > 0.
𝜃
Määritä θ:n SUE. Totea, että se on harhaton ja määritä Cramerin ja Raon alaraja. Saavuttaako estimaattorin varianssi Cramerin ja Raon alarajan?
6.2 Olkoon X ∼ Bin(n, π).
a) Määritä π:n estimaattorien T1 = X/n ja T2 = (X + 1)/(n + 2) keskineliövirhe (MSE).
b) Kummalla estimaattorilla on pienempi MSE, kun n = 100 ja π = 0.4?
1
𝑥
6.3 Tehdään otos X1, …, Xn, n ≥ 3 eksponenttijakaumasta Exp(θ), jonka tiheysfunktio on 𝑓(𝑥; 𝜃) = 𝜃 𝑒 −𝜃 .
𝑋 +𝑋
Tarkastellaan estimaattoreita 𝜃̂1 = 𝑋1 ,
𝜃̂2 = 1 2 ,
𝜃̂3 = 𝑋̅,
𝜃̂4 = min{𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 }.
2
(Minimin jakauma, ks. alaluku 9.5.1)
a) Määritä jokaisen estimaattorin odotusarvo ja varianssi.
b) Onko mikään estimaattoreista tehokas?
c) Mikä estimaattori on SUE?
6.4 Olkoon X1, …, Xn otos gammajakaumasta Γ(α, β). Määritä α:n ja β:n estimaattorit momenttimenetelmällä.
6.5 Olkoon X1, …, Xn otos tasajakaumasta Tas(0, θ). Olkoon θ:n estimaattori T = X(n) (havaintojen maksimi). Laske estimaattorin harha. Näytä, että estimaattori on tarkentuva (Maksimin jakauma, ks. alaluku 9.5.1).
6.6 Olkoon X1, …, Xn otos sellaisesta jakaumasta, että 𝐸(𝑋𝑖 ) = 𝜇 ja 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖 ) = 𝜎 2 , 𝑖 = 1, … , 𝑛. Määritä
otossuureen 𝑇 = exp(𝑋̅) likimääräinen jakauma, kun n on suuri (Delta-menetelmä, Lause 11.1).
6.7 Olkoon X1, …, Xn otos normaalijakaumasta N(μ, σ2).
a) Olkoon σ2 = 1. Näytä, että otoskeskiarvo 𝑋̅ on μ:n tyhjentävä tunnusluku. (Tekijälause)
b) Olkoon μ = 0. Näytä, että ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖2 on σ2:n tyhjentävä tunnusluku. (Tekijälause)
c) Määritä σ2:n harhaton estimaattori kun μ = 0. Onko se tyhjentävä?
6.8 Tarkastellaan edellisen tehtävän a) -kohdan tilannetta. Tekijälauseen mukaan pystyt lausumaan tiheysfunktion muodossa
𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ; 𝜇) = 𝑔(𝑥̅ , 𝜇)ℎ(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ).
a) Oletetaan, että yksittäisiä otosarvoja ei tunneta, mutta 𝑥̅ = 5. Laske SUE 𝜇̂ .
b) Meillä on kaksi otosta: 3, 6, 4, 3, 9 ja 5, 9, 1, 6, 4. Määritä kummastakin otoksesta 𝑔(𝑥̅ , 𝜇) ja
funktion ℎ(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) arvo sekä SUE 𝜇̂ .