1. No category

MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 11, 2015
Kertausta: Integraalifunktio
Määritelmä: Olkoon f määritelty välillä ]a, b[. Funktion f integraalifunktio F on se funktio, jolla F'(x) = f(x) jokaisessa välin ]a, b[ pisteessä.
integrointi
f
F
derivointi
1
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 11, 2015
Esimerkki: ∫
(x2 ­ 3x + 5) dx
∫ sin 3x dx
4
∫ 5u + 1 du
2
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 11, 2015
Määrätty integraali
y = f(x)
a
x1 x2 x3 x4 Δx
Δx
Δx
Δx
b
Määritelmä: Jatkuvan funktion f määrätty integraali välillä [a, b] on Määritelmän idea: Funktion f kuvaajaan välillä [a, b] liitetään suorakulmioita, joiden korkeudet ovat f(xk) ja leveydet Δx. Jos f(x) > 0 koko välillä, niin määrätty integraali on näiden suorakulmioiden pinta­alojen summa, kun suorakulmioiden määrän annetaan kasvaa rajatta. 3
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 11, 2015
Analyysin peruslause: Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja olkoon F funktion f jokin integraalifunktio. Tällöin
b
f(x) dx = F(b) ­ F(a).
a
∫
Esimerkki: π/3
cos x dx =
0
∫
4
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 11, 2015
Määrätyn integraalin tyypillisiä sovelluskohteita: • käyrien rajaamien pinta­alojen laskeminen,
• tilavuuksien laskeminen,
• fysiikan ja todennäköisyyslaskennan sovellukset.
5
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 11, 2015
2) Laske käyrien y = sin x ja y = cos x välille [0, 2π] rajaaman moniosaisen alueen pinta­ala.
6
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 11, 2015
Tehtäviä: 1) Laske käyrien y = x3 ja y = x rajaaman alueen pinta­ala.
3) Käyrän y = 2x ­ x2 välille [0, 2] rajoittuva osa pyörähtää a) x­akselin, b) y­akselin ympäri. Laske syntyvän kappaleen tilavuus.
7
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 11, 2015
Tehtävä: Integroi
3
(4x + ­ 2) dx = x 2 ∫
5
∫
x √x + 1 dx =
2
8
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 11, 2015
Kotitehtävät:
1. Laske ∫(x5 ­ 3x2 + 8 ) dx.
2. Laske käyrän y = 5x ­ x2 ja x­akselin rajaaman alueen pinta­ala.
3. Laske ∫ex/3 dx
9