1. No category

MAA12 Kompleksiluvut, polynomien jaollisuus, polynomiyhtälön ratkaiseminen­1.notebook
August 21, 2015
Lause: Jos a on P(x):n nollakohta, niin P(x) on jaollinen (x ­ a):lla. Kääntäen, jos P(x) on jaollinen (x ­ a):lla, niin a on P(x):n nollakohta.
Todistus:
Olkoon P(a) = 0. Jakojäännöslause Jakolaskun P(x) : (x ­ a) jakojäännös on P(a) = 0.
x ­ a jakaa P(x):n tasan, eli väite pätee.
Käänteisen väittämän todistus on tehtävänä 70.
1
MAA12 Kompleksiluvut, polynomien jaollisuus, polynomiyhtälön ratkaiseminen­1.notebook
August 21, 2015
Seuraus: Olkoot x1 ja x2 polynomin ax2 + bx + c, a ≠ 0, nollakohdat. Tällöin ax2 + bx + c = a (x ­ x1) (x ­ x2).
Seuraus: Jos polynomeilla P ja Q on yhteinen nollakohta (tai useampia), niin rationaalilauseketta P(x) / Q(x) voidaan supistaa.
Todistus: Olkoon a yhteinen nollakohta. Tällöin P ja Q ovat molemmat jaollisia binomilla x ­ a. Siksi rationaalilauseke supistuu tällä binomilla.
Tähän esimerkki?
2
MAA12 Kompleksiluvut, polynomien jaollisuus, polynomiyhtälön ratkaiseminen­1.notebook
August 21, 2015
Seuraus: Olkoot x1 ja x2 polynomin ax2 + bx + c, a ≠ 0, nollakohdat. Tällöin ax2 + bx + c = a (x ­ x1) (x ­ x2).
Jos polynomi F jakaa tasan polynomin P, kutsutaan F:ää P:n tekijäksi.
Esimerkki: Jaetaan tekijöihin polynomi 2x2 ­ 13x ­ 7.
Tee tehtävät (Lukion Calculus 7): 64, 65, 69, 73.
Kotitehtävät: 62, 66, 67, 72.
3
MAA12 Kompleksiluvut, polynomien jaollisuus, polynomiyhtälön ratkaiseminen­1.notebook
August 21, 2015
Algebran peruslause: Jokaisella polynomilla, joka ei ole vakio, on ainakin yksi nollakohta joukossa C.
Moni historian matemaatikoista on etsinyt algebran peruslauseen todistusta. Lauseen todistajaksi on usein mainittu kuuluisa Carl Gauss, mutta hänenkään todistuksensa eivät olleet moitteettomia. Ensimmäisen nykymittapuulla kelvollisen todistuksen algebran peruslauseelle esitti 1806 ranskalainen Jean­Robert Argand.
4
MAA12 Kompleksiluvut, polynomien jaollisuus, polynomiyhtälön ratkaiseminen­1.notebook
August 21, 2015
Seurauksia: (1) Jokaisella polynomilla, joka ei ole vakio, on asteluvun verran kompleksisia nollakohtia, kun moninkertaiset nollakohdat lasketaan erikseen.
(2) Jokaisella n:nnen asteen polynomiyhtälöllä, n ≥ 1, on n kompleksista ratkaisua, kun moninkertaiset ratkaisut lasketaan erikseen.
(3) Polynomin, joka ei ole vakio, voi jakaa ensimmäisen asteen kompleksikertoimisiin tekijöihin:
anxn + an­1xn­1 + ... + a2x2 + a1x + a0
= an (x ­ x1) (x ­ x2) ... (x ­ xn­1) (x ­ xn).
5
MAA12 Kompleksiluvut, polynomien jaollisuus, polynomiyhtälön ratkaiseminen­1.notebook
August 21, 2015
Johdetaan seuraus 3 algebran peruslauseen avulla:
Olkoon Pn(x) n:nnen asteen polynomi, n > 0.
Algebran peruslauseen mukaan sillä on ainakin yksi kompleksinen nollakohta x1.
Tekijälauseen mukaan Pn(x) = (x ­ x1) Pn ­ 1(x), jossa Pn ­ 1(x) on (n­1):nnen asteen polynomi.
Algebran peruslauseen mukaan myös polynomilla Pn ­ 1(x) on nollakohta x2
Saadaan Pn(x) = (x ­ x1)(x ­ x2) Pn ­ 2(x).
Jatketaan samaa prosessia, kunnes se on tehty kaikkiaan n kertaa. Viimeinen polynomi P0(x) on vakio. Näin on saatu tekijöihinjako
Pn(x) = (x ­ x1)(x ­ x2) ... (x ­ xn) P0(x).
Jos kerrotaan sulut auki, päätyy vakio P0(x) termin xn kertoimeksi an. Tämä todistaa seurauksen 3.
6
MAA12 Kompleksiluvut, polynomien jaollisuus, polynomiyhtälön ratkaiseminen­1.notebook
August 21, 2015
Esimerkki: Ratkaistaan yhtälö x3 ­ 5x2 + 9x ­ 5 = 0.
7
MAA12 Kompleksiluvut, polynomien jaollisuus, polynomiyhtälön ratkaiseminen­1.notebook
August 21, 2015
Tee kirjasta tehtävät 66, 75, 83, 85.
8
MAA12 Kompleksiluvut, polynomien jaollisuus, polynomiyhtälön ratkaiseminen­1.notebook
August 21, 2015
Kotitehtävät: 1)
Ratkaise yhtälö
2)
Kirjasta 69.
2x3 ­ x2 ­ 5x ­ 2 = 0.
3) Kirjasta 87.
9