1. No category

MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 18, 2015
Numeerisen integroinnin Simpsonin sääntö: Integroitavaa funktiota yksinkertaistetaan korvaamalla sen kuvaaja paraabelin kaarella.
y = exp(­x2)
1
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 18, 2015
Johdetaan Simpsonin säännön kaava. Tapaus 1: Integrointiväli on [­h, h].
y = f(x)
(0, y1)
(­h, y0)
(h, y2)
y = ax2 + bx + c
2
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 18, 2015
3
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 18, 2015
Tapaus 2: Integrointiväli on [a, b]:
4
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 18, 2015
Tapaus 3: Useamman osavälin muoto
y = f(x)
x 0 x1 (= a)
x 2 x 3 x4 (= b)
5
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 18, 2015
Simpsonin sääntö:
Kahden osavälin muoto:
Yleinen muoto:
h = osavälin pituus,
n = osavälien määrä (parillinen)
x0, ..., xn = osavälien rajakohdat
6
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 18, 2015
Esimerkki: Lasketaan Simpsonin säännöllä käyttäen kuutta osaväliä.
7
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 18, 2015
Tehtäviä
1. Osoita, että Simpsonin sääntö antaa tarkan arvon jokaiselle kolmannen asteen polynomifunktion integraalille. 2π
2. a)
Laske tarkka arvo integraalille ∫sin x dx . 0
b)
Laske a­kohdan integraali puolisuunnikassäännöllä käyttäen neljää osaväliä. Mitä huomaat?
π
3.
Laske ∫ sin x
x
dx
jollain sopivalla numeerisella
0
integrointimenetelmällä neljää osaväliä käyttäen. Millaisia ongelmia havaitset?
8
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 18, 2015
Simpsonin säännön virhekaava:
ikiarvo Simpsonin Kun lasketaan integraalin säännöllä, tehdään absoluuttinen virhe jossa n on osavälien määrä, f (4) on funktion f neljäs derivaatta ja a < t < b.
Huom! Yleensä lukua t ei tunneta tarkkaan. 9
MAA12 Numeerinen integrointi­2.notebook
September 18, 2015
Esimerkki: Integraalia arvioidaan Simpsonin säännöllä. Kuinka montaa osaväliä on käytettävä, jotta tuloksen poikkeama todellisesta on korkeintaan 0,0001?
|En| ≤ 0,0001
f(x) = cos x
f '(x) =
f ''(x) = f '''(x) = f (4)(x) = Koska 0 < t < π/2, niin _______ < cos x < _______.
10