1. No category

Kul-49.3100
Dynamiikka II
Harjoitus 5
HUOM! 16.10.2015
(KOTITEHTÄVÄ) = palauta viimeistään 16.10 klo 12.00 kurssin postilaatikkoon.
1.
(KOTITEHTÄVÄ) Kuvan mukainen vaakasuoralla tasolla
oleva homogeeninen ympyräsylinteri (säde R, massa m,
hitausmomentti IC = mR2 /2) on kiinnitetty kitkattomasti akselistaan C kiinteään seinään lineaarisella jousella (jousivakio
k, jousivoima nolla, kun xC = 0). Systeemi on konservatiivinen. Määritä systeemin Lagrangen funktio ja liikeyhtälö,
kun sylinteri vierii liukumatta. VIHJE: Katso ratkaisuohje
laskareiden lopusta. (2 p.)
Vastaus: liikeyhtälö on (3/2)mẍC + kxC = 0.
2.
(KOTITEHTÄVÄ) Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista
kitkatonta massa-jousi-heiluri systeemiä. Muodosta systeemin
potentiaalienergian lauseke ja Lagrangen funktio, kun yleistettyinä koordinaatteina ovat kuvan x ja θ. Systeemin vaunun
massa on M ja sauva on massaton ja venymätön (pituus l) ja
siihen on kiinnitetty partikkeli (massa m). Systeemin jousien
jousivakio on k ja ne ovat levossa kun x = 0.
g
x
M
k
k
θ
l
m
Vastaus: L =
mgl cos θ
1
M ẋ2
2
+
1
m(ẋ2
2
2 2
2
+ 2ẋlθ̇ cos θ + l θ̇ ) − kx +
3.
(KOTITEHTÄVÄ) Tarkastellaan kuvan kahdesta partikkelista
(massat m1 ja m2 ), köydestä ja pyörästä koostuvaa systeemiä.
Köysi on venymäton (köyden pituus L=vakio), massaton
ja liukumista pyörän ja köyden välillä ei tapahdu. Määritä
systeemin Lagrangen funktio ja liikeyhtälö, kun yleistettynä
koordinaattina on kuvassa esitetty x. Pyörän massa on m,
hitausmomentti massakeskipisteen suhteen IC = mR2 /2 ja
laakerointi oletetaan kitkattomaksi.
Vastaus: liikeyhtälö on ( 12 m + m1 + m2 )ẍ − (m2 − m1 )g = 0
4.
Homogeeninen vauhtipyörä, jonka massa on m, asetetaan
heilumaan kuvan esittämällä tavalla pystytasossa. Kirjoita
vauhtipyörän liikeyhtälö käyttäen Lagrangen menetelmää,
kun yleistettynä koordinaattina on kulma θ. Vauhtipyörän
hitausmomentti pisteen A kautta kulkevan pyörää vastaan
kohtisuoran akselin suhteen on vakio IA . Käytä Lagrangen
funktiota.
5.
Määritä kuvan mukaisen kahden vapausasteen jousi-tankosysteemin liikeyhtälöt Lagrangen menetelmällä, kun heilahtelut ovat pieniä (sin θ ≈ θ ja cos θ ≈ 1). Kummankin
jousen jousivakio on k ja tangon pituus on 2L ja massa m.
Tehtävässä ei tarvitse huomioida painovoimaa.