1. No category

MS-C1420 Fourier-analyysi (Aalto-yliopisto)
Turunen / Mustonen
Harjoituskierros 7/12 (28.-30.9.2015)
Jos signaali s : R → C on 1-jaksollinen eli s(t+1) = s(t) kaikilla t ∈ R, merkitään
silloin s : R/Z → C. Tällaisen 1-jaksollisen signaalin Fourier-muunnos on funktio
sb : Z → C, missä Fourier-kertoimet lasketaan kaavalla
Z
Z 1
sb(ν) :=
e−i2πt·ν s(t) dt =
e−i2πt·ν s(t) dt.
(1)
0
R/Z
Seuraavia tehtäviä nro 1–4 lasketaan paikalla harjoituksessa
(1p aktiivisesta osallistumisesta: keskity erityisesti itsellesi uusiin asioihin).
1. Laske signaalin s : R/Z → C Fourier-kerroinmuunnos sb : Z → C, kun
s(t) = cos(2πt)2 .
[Vihje: Eulerin kaava cos(α) = (eiα + e−iα )/2.]
2. Laske Fourier-kertoimet, kun s : R/Z → C, s(t) = t (missä |t| < 1/2).
3. Olkoon 0 < r < 1. Poisson-näyteydin ϕr : R/Z → R määritellään kaavalla
X
ϕr (t) :=
r|ν| ei2πt·ν .
ν∈Z
1
Z
Näytä laskemalla, että
ϕr (t) dt = 1 ja että ϕr (t) =
0
1 − r2
.
1 + r2 − 2r cos(2πt)
Laske myös Poisson-ytimen suurin ja pienin arvo.
4. Olkoon s : R/Z → C sileä. Perustele välivaiheet seuraavassa laskussa:
Z
s(t)
=
r→1−
s(u) ϕr (t − u) du
0
Z
=
=
=
1
lim
1
lim
s(u)
r→1−
0
lim
X
r→1−
X
X
r|ν| ei2π(t−u)·ν du
ν∈Z
sb(ν) r|ν| ei2πt·ν
ν∈Z
sb(ν) ei2πt·ν .
ν∈Z
1
—————————————————————————————————
Kotitehtävä 7. (2p) Tarkastetaan harjoituksessa nro 9/12:
Laske Fourier-kertoimet, kun s : R/Z → C, s(t) = |t| (missä |t| ≤ 1/2).
STACK-tehtävät 4. (2p) Tee verkossa (su 4.10.2015 klo 23:00 mennessä).
2