1. No category

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
2A
H Seppälä & V Husgafvel
Syksy 2015
Harjoitus 2A
Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet
Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt
Symmetrinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Todennäköisyyden aksioomat
Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
Tuntitehtävät
2A1 Heitetään kahta symmetristä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1,2,3,4,5,6.
Tarkastellaan silmälukujen summaa
z = x + y,
missä x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Määritellään lisäksi tapahtumat
A = {Summa on 1},
B = {Summa on 11},
C = {1. nopanheitolla saadaan 2},
D = {1. nopanheitolla saadaan 5}.
(a) Määrää silmälukujen summan z = x + y otosavaruus.
(b) Määrää tapahtuman A todennäköisyys.
(c) Määrää tapahtuman B todennäköisyys.
(d) Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma C on sattunut.
(e) Määrää tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys, kun tapahtuma D on sattunut.
2A2 Eräässä yliopistossa on 10 000 opiskelijaa. Alla oleva taulukko esittää opiskelijoiden
sukupuoli- ja ikäjakauman. Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:
(a) Satunnaisesti valittu opiskelija on nainen.
(b) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies, jos hän on 25-34 -vuotias.
(c) Satunnaisesti valittu opiskelija on mies tai hän on 25-34 -vuotias.
Ikä 14-17 18-24 25-34 ≥ 35
Mies
50
2 500 1 000 400
Nainen 150 3 500 1 500 900
1/2
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
H Seppälä & V Husgafvel
Syksy 2015
Harjoitus 2A
Kotitehtävät
2A3 Alla oleva taulukko kuvaa USA:n 101. kongressin (valittiin vuonna 1988) kokoonpanoa.
Kongressiedustajat on luokiteltu taulukossa puoluekannan mukaan kahteen luokkaan ja
edustajanaoloajan mukaan kolmeen luokkaan. Taulukossa on annettu ainoastaan ne todennäköisyydet (ns. reunatodennäköisyydet), jotka saadaan, kun puoluekantaa ja edustajanaoloaikaa tarkastellaan erillisinä. Täytä taulukon puuttuvat solut, kun oletetaan,
että puoluekanta ja edustajanaoloaika eivät riipu toisistaan.
Edustajanaoloaika
< 2 vuotta
2-9 vuotta
≥ 10 vuotta
Tn yhteensä
Puoluekanta
Tn yhteensä
Demokraatti Republikaani
0.090
0.478
0.432
0.614
0.386
2A4 (a) Valheenpaljastuskoneen luotettavuudesta on käytettävissä seuraavat tiedot: Henkilö, joka valehtelee, tulee oikein luokitelluksi valehtelijaksi todennäköisyydellä 0.9.
Toisaalta henkilö, joka ei valehtele, tulee virheellisesti luokitelluksi valehtelijaksi
todennäköisyydellä 0.05. Oletetaan, että valheenpaljastuskonetta käytetään ihmisjoukkoon, jossa 1 % valehtelee. Mikä on todennäköisyys, että valehtelijaksi luokiteltu henkilö onkin rehellinen?
(b) Tiedonsiirtojärjestelmä siirtää bittejä 0 ja 1. Siirrettävistä biteistä on nollia 60 % ja
ykkösiä 40 %. Järjestelmässä esiintyy kuitenkin satunnaisia häiriöitä, jotka muuttavat siirron aikana osan nollista ykkösiksi ja osan ykkösistä nolliksi. Nolla tulee
perille oikeassa muodossa todennäköisyydellä 0.95 ja ykkönen todennäköisyydellä
0.9. Laske todennäköisyys tapahtumalle "On lähetetty 0, kun on vastaanotettu 0".
2/2