1. No category

Matematik A1
Mike Auerbach
B
c
A
b−x
a
h
H
x
C
Matematik A1
2. udgave, 2015
Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
formål.
Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se www.tug.org og www.miktex.org.
De anvendte skrifttyper er Utopia Regular og Roboto Condensed.
Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/TikZ, se www.ctan.org/pkg/pgf.
Disse og andre noter kan downloades fra www.mathematicus.dk.
Forord
Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx. Indholdet dækker det første halve år efter
grundforløbet i et studieretningsforløb på A-niveau.
Det har ikke været tanken, at noterne absolut skal læses kronologisk; der er dog enkelte af kapitlerne,
der hænger naturligt sammen.
Noterne er opbygget således, at
i. definitioner og sætninger er fremhævet med en grå linje,
ii. blå tekst er (klikbare) henvisninger,
iii. afslutningen på et bevis er markeret med , og
iv. afslutningen på et eksempel er markeret med .
Mike Auerbach
Odense, 2015
3
Indhold
1
2
3
Logaritmer
1.1 Titalslogaritmen . . . . . . . . . . .
1.2 Den naturlige logaritme . . . . . .
1.3 Eksponentielle funktioner . . . . .
7
7
9 4
10
Potensfunktioner
2.1 Grafen for en potensfunktion
2.2 Potensvækst . . . . . . . . . .
2.3 Proportionalitet . . . . . . . .
2.4 Potensregression . . . . . . . .
13
13
15
5
16
17
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Trigonometri
3.1 Trekanter . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Trigonometri i retvinklede trekanter
3.3 Sinus, cosinus og tangens . . . . .
3.4 Inverse trigonometriske funktioner
3.5 Arealet af en trekant . . . . . . . . .
3.6 Sinusrelationerne . . . . . . . . . .
3.7
Cosinusrelationerne . . . . . . . . .
Trigonometriske funktioner
4.1 Radianer . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Cosinus og sinus som funktioner
4.3 Ligninger med cos og sin . . . . .
4.4 Tangens . . . . . . . . . . . . . . .
Polynomier
5.1 Parallelforskydning af grafer
5.2 Andengradspolynomier . . .
5.3 Andengradsligninger . . . .
5.4 Koefficienternes betydning .
5.5 Faktorisering . . . . . . . . .
5.6 Polynomier af højere grad .
19
19
23
25
26 Bibliografi
27
28 Indeks
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
.
.
.
.
35
35
36
37
38
.
.
.
.
.
.
41
42
42
45
48
49
50
53
54
1
Logaritmer
1.1
Titalslogaritmen
Titalslogaritmen (log) er en funktion som bl.a. anvendes, når man skal løse ligninger af typen 10x = k, hvor k er et tal. Funktionen log er defineret
på følgende måde:
Definition 1.1
Tallet log(k) er det tal, som løser ligningen 10x = k.
Ud fra definition 1.1 kan man bl.a. udlede, at
log(10) = 1
da 101 = 10
log(100) = 2
da 102 = 100
log(1000) = 3
da 103 = 1000
(2)
..
.
y = x2
log(10n ) = n
49
p
På samme måde som x virker modsat x 2 , virker log(x) modsat 10x . Hvis
p
man skal løse ligningen x 2 = 49 får man som bekendt løsningen x = 49.
p
Tallet 49 kan bestemmes grafisk ved at se på grafen for y = x 2 . Her finp
der man 49 på andenaksen, og finder dernæst 49 på førsteaksen.
Skal man løse 10x = 60, kan man benytte samme fremgangsmåde. Her
tegner man blot grafen for 10x , finder 60 på andenaksen og finder så
log(60) på førsteaksen. Det kan her aflæses, at log(60) = 1,78 (se figur 1.1).
Det er selvfølgelig besværligt at skulle aflæse, hver gang man skal løse
en ligning, og derfor er det heldigt, at lommeregnere er udstyret med en
log-knap.
Eksempel 1.1
Hvis man skal løse ligningen 10x = 6, gøres følgende:
x
10 = 6
⇔
x = log(6)
⇔
x = 0,7782.
Tallet log(6) regnes ud på lommeregneren.
Nu er det jo ikke specielt interessant kun at kunne løse ligninger, hvori
der indgår 10x — hvad nu, hvis der stod 2x eller 7x ? For at løse disse ligninger bruger man følgende sætning, som bevises i afsnit 1.1 nedenfor.
7
52 = 25
10
p
49 = 7
p
2
(a) Her aflæses 5 og 49.
1
(1)
5
(2)
y = 10x
60
10
1
(1)
log(60) = 1,78
(b) Her aflæses log(60).
p
Figur 1.1: På samme måde som x virker
modsat x 2 , virker log(x) modsat 10x .
1 Logaritmer
8
Sætning 1.2
log(k)
Ligningen a x = k har løsningen x = log(a) .
Eksempel 1.2
Ligningen 4x = 23 løses på følgende måde
4x = 23
⇔
x=
log(23)
log(4)
⇔
x = 2,262.
Regneregler for titalslogaritmen
1 Dette skyldes, at f.eks. log(102 ) er løsning
Da titalslogaritmen virker modsat 10x gælder der, at1
til ligningen 10x = 102 , som har løsningen
log(10x ) = x
x = 2. En lignende udregning kan man lave
for alle positive tal.
og
10log(x) = x.
Det kan udnyttes til at vise tre regneregler:
Sætning 1.3
For titalslogaritmen gælder følgende:
1) log(a · b) = log(a) + log(b).
¡ ¢
2) log ba = log(a) − log(b).
3) log(a r ) = r · log(a).
2 I beviset udnytter man desuden, at
1) 10n · 10m = 10m+n ,
10n
n−m og
2) 10
m = 10
3) (10n )m = 10n·m .
Bevis
For at bevise de tre regneregler udnyttes, at a = 10log(a) og b = 10log(b) .2
1) For log(a · b) gælder, at
´
³
log(a · b) = log 10log(a) · 10log(b)
´
³
= log 10log(a)+log(b) = log(a) + log(b).
2) For log
¡a¢
gælder, at
Ã
!
³
´
³a´
10log(a)
log(a)−log(b)
= log(a) − log(b).
log
= log
=
log
10
b
10log(b)
b
3) For log(a r ) gælder, at
³³
´r ´
³
´
log(a r ) = log 10log(a)
= log 10r ·log(a) = r · log(a).
Hermed er sætningen bevist.
Eksempel 1.3
Nogle af de ting, man kan udlede af sætning 1.3 er bl.a. at
log(10x) = log(10) + log(x) = 1 + log(x)
³x ´
log
= log(x) − log(10) = log(x) − 1
µ10 ¶
1
log
= log(x −1 ) = −1 · log(x) = − log(x)
x
1.2 Den naturlige logaritme
9
Især regel 3 i sætning 1.3 er anvendelig. Den anvendes i første omgang til
at bevise sætning 1.2:
Bevis (For sætning 1.2)
Hvis man skal løse ligningen a x = k anvendes log på begge sider, og man
får
ax = k
⇔
log(a x ) = log(k).
Nu anvender man 3) i sætning 1.3, så ligningen kommer til at hedde
x · log(a) = log(k)
⇔
x=
log(k)
,
log(a)
hvilket beviser sætningen.
1.2
Den naturlige logaritme
Eulers tal
Tallet e, også kaldet Eulers tal, spiller en stor rolle i matematikken. Det er
lige som π et irrationelt tal.3 e har altså et uendeligt antal decimaler. Med
24 decimalers nøjagtighed er
e = 2,718281828459045235360287 . . .
e dukker op mange steder, men her ses kun på, hvordan tallet bruges i
forbindelse med den naturlige logaritme.
Den naturlige logaritme
Ligesom titalslogaritmen (log) er defineret ud fra tallet 10, er den naturlige logaritme defineret ud fra tallet e.
Definition 1.4
Den naturlige logaritme, ln, defineres ved, at ln(k) er det tal, der løser
ligningen e x = k (hvor e er Eulers tal).
Ud fra denne definition kan man bl.a. udlede, at
ln(e x ) = x
og
e ln(x) = x.
Da den naturlige logaritme er defineret på næsten samme måde som titalslogaritmen (blot ud fra et andet tal), gælder der nogle af de samme
regneregler:
Sætning 1.5
For den naturlige logaritme gælder følgende:
1) ln(a · b) = ln(a) + ln(b).
¡ ¢
2) ln ba = ln(a) − ln(b).
3) ln(a r ) = r · ln(a).
3 Et irrationelt tal, er et tal, som ikke kan
skrives som en brøk. Irrationelle tal er kendetegnet ved, at de har uendeligt mange decimaler, og at der intet gentagende
mønster er i decimalerne.
1 Logaritmer
10
Beviset for sætningen forløber på fuldstændigt samme måde som beviset
for sætning 1.3 og overlades som en øvelse til læseren.
Sammenhængen mellem log og ln
4 Det sidste lighedstegn følger af regel 3 i
Det viser sig, at der er en simpel sammenhæng mellem de to logaritmefunktioner log og ln. Hvis man tager udgangspunkt i, at x = e ln(x) kan
man stille følgende udregning op:4
sætning 1.3.
log(x) = log(e ln(x) ) = ln(x) · log(e).
Heraf får man, at der gælder
log(x) = log(e) · ln(x).
Hvis man regner på udtrykket
log(a)
log(b)
får man så
log(a) log(e) · ln(a) ln(a)
=
=
.
log(b) log(e) · ln(b) ln(b)
Hvis man dividerer logaritmer, er det altså ligegyldigt, om man bruger
log eller ln (man skal dog huske ikke at blande dem).
1.3
Eksponentielle funktioner
En eksponentiel funktion f (x) = b · a x skrives ofte på en anden måde.
Idet a = e ln(a) , kan en eksponentiel funktion nemlig skrives som
³
´x
f (x) = b · a x = b · e ln(a) = b · e ln(a)·x .
Dette skrives så som
f (x) = b · e kx
(hvor k = ln(a)).
Eksempel 1.4
Den eksponentielle funktion y = 4,6 · 9,1x kan skrives som
f (x) = 4,6 · e 2,2x ,
fordi ln(9,1) = 2,2.
For en eksponentiel funktion f (x) = b · a x gælder der som bekendt, at
funktionen er voksende, hvis a > 1 og aftagende, hvis 0 < a < 1.
Da k = ln(a) kan man udlede, at der for den eksponentielle funktion
f (x) = b · e kx gælder
1) Funktionen er voksende, hvis k > 0.
2) Funktionen er aftagende, hvis k < 0.
Man skelner derfor nogle gange mellem voksende og aftagende eksponentielle funktioner, ved at dele op i to tilfælde, således at man skriver
1.3 Eksponentielle funktioner
11
1) f (x) = b · e kx , når funktionen er voksende.
2) f (x) = b · e −kx , når funktionen er aftagende.
På denne måde er k altid et positivt tal, og fortegnet regnes ikke som en
del af k.
Der findes flere gode grunde til at skrive en eksponentiel funktion på
denne måde. Én af grundene er, at man — hvis man skal regne med enheder — kan få regnestykket til at gå op. En anden god grund hænger
sammen med en gren af matematikken, der hedder differentialregning;
forklaringen herpå må vente til senere.
Fordoblings- og halveringskonstanter
For en voksende eksponentiel funktion, kan man som bekendt beregne
fordoblingskonstanten T2 vha. formlen
T2 =
ln(2)
.
ln(a)
Hvis den voksende eksponentielle funktion er på formen f (x) = b · e kx
bliver dette i stedet til5
T2 =
ln(2)
k
(når f (x) = b · e kx ).
Hvis en aftagende eksponentiel funktion skrives på formen y = b · e −kx
(bemærk fortegnet), har man, at −k = ln(a), derfor kan man skrive halveringskonstanten, som6
T1 =
ln
¡1¢
2
−k
2
=
ln(2−1 ) −1 · ln(2) ln(2)
=
=
.
−k
−k
k
Halveringskonstanten kan altså beregnes ud fra formlen
T1 =
2
ln(2)
k
5 Her udnytter man, at k = ln(a).
(når f (x) = b · e −kx ).
6 At 1 = 2−1 følger af potensregnereglen
2
a −n = a1n .
2
Potensfunktioner
Definition 2.1
En potensfunktion er en funktion af typen
f (x) = b · x a ,
x > 0,
hvor a og b er to konstanter, og b > 0.
Bemærk, at en potensfunktion kun er defineret for positive værdier af x.
Dette skyldes, at der findes værdier af a, hvor x a ikke er defineret for alle
tal.1
Idet det også er et krav, at b > 0, så vil en potensfunktions graf kun befinde
sig i første kvadrant, dvs. både første- og andenkoordinaten for punkter
på funktionens graf vil være positive.
For en potensfunktion giver det altså ikke mening at tale om en skæring
med andenaksen, idet funktionen slet ikke er defineret for x = 0. Til gengæld kan man udlede, at en potensfunktion f (x) = b · x a altid vil gå gennem punktet (1, b), idet
f (1) = b · 1a = b.
Et par eksempler på potenssammenhænge kunne være de følgende.
Eksempel 2.1
Arealet A af en cirkel med radius r er
A = π · r 2.
Her er der altså en potenssammenhæng mellem radius r og arealet A. De
to konstanter a og b er hhv. a = 2 og b = π.
Eksempel 2.2
Hastigheden af en tsunamibølge v (i km/h) er en potensfunktion af havdybden d (i meter),[1]
v = 11,2 · d 0,5 .
Her er a = 0,5 og b = 11,2.
2.1
Grafen for en potensfunktion
Tallet a i definition 2.1 kaldes eksponenten. Dette tal bestemmer, hvorledes grafen for en potensfunktion ser ud. På figur 2.1 kan man se, hvordan
grafens udseende ændrer sig med forskellige værdier af a.
13
1 Et eksempel er x −1 , som er det samme
som x1 . Da man ikke må dividere med 0 er
denne funktion ikke defineret for x = 0.
2 Potensfunktioner
14
Generelt gælder der følgende sætning.
(2)
a >1
Sætning 2.2
For en potensfunktion f (x) = b · x a gælder, at
a =1
1) Hvis a > 0 er funktionen voksende.
0<a <1
2) Hvis a < 0 er funktionen aftagende.
a =0
b
a <0
(1)
Hvis man har grafen for en potensfunktion, kan man bestemme de to
konstanter a og b ved at aflæse to punkter på grafen. (Se figur 2.2.)
1
Figur 2.1: Grafen for en potensfunktion kan
se ud på flere måder.
(2)
Q(x 2 , y 2 )
f (x 2 )
f (x 1 )
P (x 1 , y 1 )
x1
x2
(1)
Figur 2.2: To punkter på grafen for en potensfunktion.
Sætning 2.3
Hvis grafen for en potensfunktion f (x) = b · x a går gennem punkterne
P (x 1 , y 1 ) og Q(x 2 , y 2 ), så er
³ ´
y
log y 21
y1
³ ´
og
b= a.
a=
x2
x
1
log x1
Bevis
Hvis P (x 1 , y 1 ) og Q(x 2 , y 2 ) ligger på grafen for f (x) = b · x a , så er
y 2 = b · x 2a
y 1 = b · x 1a
(2.1)
Disse to ligninger kan man dividere med hinanden, hvorved man får
y 2 bx 2a
=
y 1 bx 1a
⇔
y 2 x 2a
=
⇔
y 1 x 1a
µ ¶a
x2
y2
=
.
y1
x1
Da dette er en eksponentiel ligning, bliver man nødt til at tage logaritmen
på begge sider, for at løse ligningen. Man får så
µµ ¶a ¶
µ ¶
y2
x2
log
= log
⇔
y1
x1
µ ¶
µ ¶
y2
x2
log
= a · log
⇔
y1
x1
³ ´
y
log y 21
³ ´ = a.
log xx21
Hermed er formlen for a bevist.
For at bevise formlen for b, ser man på ligning (2.1):
y1
y 1 = b · x 1a
⇔
= b.
x 1a
Så er formlen for b ligeledes bevist.
2.2 Potensvækst
2.2
15
Potensvækst
En potensfunktion vokser på den specielle måde, at hvis den uafhængige
variabel bliver ganget med en fast værdi, så ganges den afhængige variabel også med en fast værdi.2 Der gælder nemlig følgende sætning.
2 Dog ikke den samme faste værdi.
Sætning 2.4
For en potensfunktion f (x) = b · x a gælder, at hvis x ganges med et tal
k, så ganges funktionsværdien f (x) med k a .
Bevis
Hvis x ganges med k, så bliver den nye funktionsværdi f (k · x). Men
f (k · x) = b · (k · x)a = b · k a · x a = k a · b · x a = k a · f (x).
Altså ganges funktionsværdien med k a .
Eksempel 2.3
I tabel 2.1 kan man se, hvordan funktionen f (x) = 4x 3 vokser. I denne
funktions forskrift er eksponenten a = 3. Hvis x ganges med 2 bliver y
derfor ganget med 23 , dvs. 8.
Tabel 2.1: Vækst af f (x) = 4x 3 .
x
1
2
·2
4
·2
8
·2
Eksempel 2.4
En potensfunktion f (x) = b·x 2 har en graf, der går gennem punktet (3, 7).
Her kender man ikke værdien af b, men man kan alligevel finde et andet
punkt, som funktionen går igennem.
Hvis man ganger x med 4,3 får man den nye værdi 3 · 4 = 12. Den nye
funktionsværdi får man da ved at gange den gamle (7) med 42 (idet eksponenten a = 2). Dette giver
7 · 42 = 7 · 16 = 112.
Funktionens graf går altså også igennem (12, 112).
At gange med et tal svarer til at lægge en procentdel til eller trække en
procentdel fra. Tallet k i sætning 2.4 svarer på sin vis til en fremskrivningsfaktor. Fremskrivningsfaktoren k kan i stedet skrives som 1 + r x ,
hvor r x er vækstraten af den uafhængige variabel x. Tallet k a bliver så
en fremskrivningsfaktor for den afhængige variabel y, sådan at
k = 1 + rx
og
ka = 1 + ry.
Dette kan sammenfattes i en sætning.
Sætning 2.5
Hvis x-værdien for en potensfunktion f (x) = b · x a har vækstraten r x ,
så har funktionsværdien vækstraten r y , hvor
1 + r y = (1 + r x )a .
y
4
·23
32
·23
256
·23
2048
3 Der er intet specielt ved tallet 4, det kun-
ne have været hvilket som helst positivt
tal.
2 Potensfunktioner
16
Eksempel 2.5
Funktionen f (x) = 4,2 · x 0,5 er en voksende funktion. Hvis x vokser med
80% svarer det til, at r x = 0,80. Dvs.
1 + r y = (1 + 0,80)0,5 = 1,342.
r y må så være 0,342, hvilket svarer til 34,2%. Hver gang x vokser med 80%
vokser y altså med 34,2%.
Eksempel 2.6
Funktionen f (x) = 5x −2 er en aftagende funktion med a = −2. Hvis x
vokser med 40% er r x = 0,40, dvs.
1 + r y = (1 + 0,40)−2 = 0,510.
Det svarer til, at
r y = 0,510 − 1 = −0,490 = −49%.
Hvis x vokser med 40% falder y altså med 49%.
Eksempel 2.7
Hvis man om en funktion f (x) = 2x 3 ved, at y er vokset med 50%, hvor
mange procent er så x vokset?
Dette finder man ud af ved at sætte r y = 0,50 ind i formlen, så man får
1 + 0,50 = (1 + r x )3 .
Denne ligning løser man:
1 + 0,50 = (1 + r x )3
p
3
1,50 = 1 + r x
p
3
1,50 − 1 = r x
⇔
⇔
⇔
0,145 = r x .
x er altså vokset med 14,5%, hvis y er vokset med 50%.
2.3
Proportionalitet
To variable y og x siges at være ligefrem proportionale, når
y = k · x,
hvor k er en konstant. Hvis man i stedet for k kalder konstanten b, har
man sammenhængen
y = b · x = b · x 1,
der er en potenssammenhæng, med a = 1.
4 I omskrivningen bruges, at 1 = x −n .
xn
På samme måde er omvendt proportionalitet også en potenssammenhæng. To variable x og y er nemlig omvendt proportionale, når x · y = k,
hvilket også kan skrives som4
y=
b
1
= b · = b · x −1 .
x
x
2.4 Potensregression
17
Omvendt proportionalitet er altså en potenssammenhæng, hvor a = −1.
Det giver følgende sætning.
Sætning 2.6
For en potenssammenhæng y = b · x a gælder,
1) Hvis a = 1 er y og x ligefrem proportionale.
2) Hvis a = −1 er y og x omvendt proportionale.
En ligefrem proportionalitet kan altså beskrives ved potensfunktionen
f (x) = b · x.
Grafen for denne funktion er en ret linje gennem (0, 0),5 dvs. der er i princippet også tale om en lineær funktion med hældningskoefficient b, der
skærer andenaksen i 0.
5 Strengt taget skal x > 0, for at man kan
tale om en potensfunktion, men i dette tilfælde er der ikke noget til hinder for at lade
x antage negative værdier.
Ligefrem proportionalitet kan altså både opfattes som en potensfunktion
med eksponent 1 og som en lineær funktion, der skærer andenaksen i 0.
2.4
Potensregression
Hvis man har en række målepunkter, der kan beskrives vha. en potensmodel, kan man (lige som for lineære og eksponentielle modeller) finde frem til forskriften for den potensfunktion, der passer bedst på målepunkterne, vha. regression. I dette tilfælde taler man om potensregression.6
På figur 2.3 ses en række målepunkter. Vha. computerberegninger kan
man finde frem til den potensmodel, der passer bedst på målepunkterne. Hvordan dette gøres afhænger af, hvilket program, man anvender.
Grafen og ligningen for denne model ses indtegnet på figuren.
6 Da både den uafhængige og den afhæn-
gige variabel er positive for en potensfunktion, må ingen af målepunkterne have koordinater, der er negative eller 0.
(2)
y = 0,0033x 3,0614
1
(1)
1
Figur 2.3: En potensfunktions forskrift kan
findes vha. potensregression.
3
Trigonometri
Trigonometri betyder trekantsmåling. Før man kaster sig over trigonometrien, giver det derfor mening at opsummere et par generelle ting om
trekanter.
3.1
Trekanter
I en trekant er der tre vinkler. Der gælder følgende kendte sætning, som
ikke bevises.
Sætning 3.1
Summen af vinklerne i en trekant er 180◦ :
u + v + w = 180◦ .
v
u
w
Fra hvert hjørne i en trekant kan man tegne følgende tre linjer:
Medianen som er en linje fra en vinkelspids til midten af den modstående side.
Vinkelhalveringslinjen som går fra en vinkelspids til den modstående
side, sådan at den halverer vinklen.
Højden der går fra en vinkelspids vinkelret på den modstående side.
Hvis trekanten er stumpvinklet,1 kan højden ligge uden for trekanten.
1 En trekant kaldes stumpvinklet, hvis en af
vinklerne er stump, dvs. større end 90◦ .
Disse tre typer af linjer er illustreret på figur 3.1.
Højden står som sagt vinkelret på den modstående side. Den side, som
højden står vinkelret på, kalder man grundlinjen, og den bruges sammen
m
v
(a) Median m.
(b) Vinkelhalveringslinje, v.
h
(c) Højde, h.
h
(d) Højde, der falder uden for trekanten.
19
Figur 3.1: Hvert hjørne i en trekant har
tilknyttet en median, en vinkelhalveringslinje og en højde. Bemærk, at en højde kan
ligge uden for trekanten.
3 Trigonometri
20
med højden, når man beregner en trekants areal. Der gælder nemlig følgende.
Sætning 3.2
Arealet T af en trekant er det halve af højden ganget med grundlinjen:
T = 12 · h · g .
h
g
Notation
Når man skal tale om siderne og vinklerne i en trekant, er det vigtigt, at
man har en notation, som entydigt forklarer, hvad man taler om. Man følger derfor den konvention, der er illustreret på figur 3.2: Vinkelspidserne
benævnes med store bogstaver, og siderne benævnes ved de punkter, de
går mellem.
C
AC
A
BC
AB
B
Figur 3.2: Sider og vinkler i 4ABC .
C
b
A
a
B
c
Figur 3.3: 4ABC , hvor siderne benævnes
a, b og c.
B
C
A
Nogle gange benævner man også siderne ud fra den vinkel, de ligger
overfor. Siden over for vinkel A benævnes så med a, osv. Dette ses på
figur 3.3.
Notationen, hvor man bruger små bogstaver som navne til siderne, duer
i princippet kun, hvis man har én trekant at kigge på. Hvis man har en
mere kompliceret figur med flere punkter end tre, kan der nemlig være
flere sider, der kan siges at ligge over for en bestemt vinkel — notationen
med små bogstaver bliver da ikke længere entydig. I den situation vil det
være fornuftigst at kalde siderne AB , BC osv.
Hvis man har en figur med mere end tre punkter, kan der også nogle gange opstå en situation, hvor det ikke er entydigt at benævne en vinkel med
ét bogstav, f.eks. ∠ A. I disse situationer benævner man i stedet en vinkel
vha. 3 bogstaver. ∠C AD er f.eks. den vinkel, man får tegnet op, når man
tegner fra punkt C til punkt A til punkt D (se figur 3.4).
Ensvinklede trekanter
∠C AD
D
Figur 3.4: ∠ A kan være 3 forskellige vinkler på denne figur; derfor kalder man den
markerede vinkel ∠C AD.
To trekanter, hvor vinklerne er parvis lige store, kaldes ensvinklede. Dette
kan også defineres på følgende måde.
Definition 3.3
Hvis der for to trekanter ABC og A 0 B 0C 0 gælder, at
∠ A 0 = ∠ A, ∠B 0 = ∠B og ∠C 0 = ∠C ,
så kaldes de to trekanter ensvinklede.
Hvis to trekanter er ensvinklede, vil den ene være en forstørret eller formindsket kopi af den anden. Der gælder følgende sætning.
3.1 Trekanter
21
Sætning 3.4
Hvis 4ABC og 4A 0 B 0C 0 er ensvinklede med
∠ A 0 = ∠ A, ∠B 0 = ∠B og ∠C 0 = ∠C ,
så er forholdet mellem de ensliggende2 sider ens, dvs.
a0 b0 c 0
= = .
a
b
c
B0
B
c
c0
a0
a
A
b
A0
C
C0
b0
2 To sider er ensliggende, når de ligger mel-
lem to ens vinkler
Eksempel 3.1
Hvis 4ABC og 4DE F er ensvinklede, sådan at
∠ A = ∠D, ∠B = ∠E , og∠C = ∠F,
og man tillige ved, at a = 2, b = 3, e = 9 og f = 12, så kan man beregne
længden af de resterende sider.
Først tegner man en skitse (den behøver ikke være målfast), for at få et
overblik:
E
B
f = 12
c =?
A
b=3
d =?
a =2
C
D
e =9
F
Herefter ser man på forholdet mellem de ensliggende sider. I dette tilfælde er
d e
f
= = .
a b c
Indsætter man de kendte værdier, får man
d 9 12
= =
.
2 3
c
Dvs.
d 9
=
2 3
⇔
d=
9
·2 = 6 ,
3
og
9 12
c
3
3
=
⇔
=
⇔ c = · 12 = 4 .
3
c
12 9
9
Nu kender man altså alle sidelængderne i de to trekanter.
3 Trigonometri
22
Figur 3.5: I en ligebenet trekant er to af siderne lige lange, i en ligesidet er alle sider
lige lange, og i en retvinklet trekant er den
ene vinkel ret.
(a) En ligebenet trekant
(b) En ligesidet trekant.
(c) En retvinklet trekant.
Specielle trekanter
Der findes tre typer af trekanter, som det er vigtigt at kende navnene på.
Det er ligebenede trekanter, ligesidede trekanter og retvinklede trekanter.
Disse er illustreret på figur 3.5.
hypotenuse
katete
katete
Figur 3.6: Siderne i en retvinklet trekant.
I en retvinklet trekant har siderne også specielle navne. Den side, der ligger over for den rette vinkel kaldes hypotenusen, mens de to andre sider
kaldes kateter (se figur 3.6).
For retvinklede trekanter gælder der følgende sætning.
Sætning 3.5 (Pythagoras’ sætning)
I en retvinklet trekant ABC , hvor ∠C er
den rette vinkel, gælder der, at
2
2
c
a
2
a +b = c .
3 Kvadratet på . . . betyder »opløftet i 2. potens«. Kvadratet på a betyder f.eks. a 2 .
B
A
b
C
Hvis man i stedet for at referere til en konkret trekant ABC bruger de
navne, siderne i en retvinklet trekant har, kan Pythagoras’ sætning også
udtrykkes på følgende måde:3
Sætning 3.6 (Pythagoras’ sætning)
I en retvinklet trekant er summen af kvadraterne på kateterne lig kvadratet på hypotenusen.
Eksempel 3.2
Hvis man om en retvinklet trekant ved, at den ene katete har længden 5,
og hypotenusen har længden 13, kan man beregne længden af den sidste
katete vha. Pythagoras’ sætning.
Længden af den sidste katete, kan man kalde x. Sætter man de oplyste
værdier ind i Pythagoras’ sætning, får man ligningen
52 + x 2 = 132 .
Dvs.
x 2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144.
Længden af den sidste katete er så
x=
p
144 = 12.
3.2 Trigonometri i retvinklede trekanter
23
(2)
cos(A)
1
c
A
3.2
Figur 3.7: En retvinklet trekant, hvor vinklen A er lagt i (0, 0) i et koordinatsystem.
Ud fra den markerede cirkelbue, som vinklen A afskærer, definerer man længderne
sin(A) og cos(A).
B
sin(A)
1
a
b
C
(1)
Trigonometri i retvinklede trekanter
Hvis man skal kunne beregne manglende sider og vinkler i en trekant, er
det nødvendigt at finde sammenhænge mellem sider og vinkler i trekanter. I første omgang ses på, hvilken sammenhæng der er mellem sider og
vinkler i en retvinklet trekant.
Man kan måle en vinkels størrelse ved at se på, hvor stor en cirkelbue,
den spænder over. Sammenhængen mellem sider og vinkler må derfor
kunne beskrives som en sammenhænge mellem sider og cirkelbuer.
På figur 3.7 er en retvinklet trekant tegnet ind i et koordinatsystem. Samtidig er der tegnet en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0),4 hvor ∠ A
også ligger placeret.
4 En sådan cirkel hedder en enhedscirkel.
Man definerer nu to længder, der hører til vinkel A. Disse to længder kalder man »sinus til A« og »cosinus til A« (skrevet sin(A) og cos(A)). De er
defineret som den lodrette, hhv. vandrette afstand, man ser på figur 3.7.
Ud over sinus og cosinus findes også »tangens til A«, der er defineret på
følgende måde:
sin(A)
tan(A) =
.
cos(A)
tan(A) er hældningskoefficienten til linjen AB på figuren.
På figuren er der også afmærket en lille trekant inden i cirklen. Denne
udfyldte trekant er ensvinklet med 4ABC . Hypotenusen i den lille trekant er 1, idet den er radius i cirklen. Idet hypotenusen i trekant ABC
er c, kan man altså beregne sidelængderne i den lille trekant ved at dele
sidelængderne i trekant ABC med c.5
Da den lodrette katete i den lille trekant er sin(A), og den lodrette katete
i 4ABC er a, må der derfor gælde, at
sin(A) =
a
.
c
I den lille trekant er den vandrette katete cos(A), og i 4ABC er den vand-
5 De to trekanter er ensvinklede, og hy-
potenuserne er hhv. 1 og c. Dvs. 4ABC
er c gange så stor, som den lille trekant;
omvendt er den lille trekant altså c gange
mindre end 4ABC .
3 Trigonometri
24
rette katete lig b. Derfor må
cos(A) =
b
.
c
Ud fra dette kan man også finde en formel for tan(A), idet
tan(A) =
sin(A) a . b a c a
=
= · = .
cos(A) c c
c b b
Alt dette kan opsummeres i følgende sætning.
Sætning 3.7
I en retvinklet trekant ABC , hvor C er den rette vinkel er
a
c
b
cos(A) =
c
a
tan(A) = .
b
sin(A) =
Nu er det jo ikke alle trekanter, der hedder ABC . Sætning 3.7 skrives derfor også nogle gange op på følgende måde.
Sætning 3.8
I en retvinklet trekant, hvor v er én af de spidse vinkler, er
modstående katete
hypotenusen
hosliggende katete
cos(v) =
hypotenusen
modstående katete
tan(v) =
.
hosliggende katete
sin(v) =
se
nu
v
Modstående katete til v
p
Hy
e
ot
Hosliggende katete til v
Figur 3.8: Sidernes navne i forhold til den
spidse vinkel v.
Betegnelserne »modstående« og »hosliggende« katete henviser til, om
kateten ligger over for (modstående) eller op til (hosliggende) vinklen.
Se også figur 3.8.
Vha. formlerne i sætning 3.8 er det muligt at beregne alle sider og vinkler
i en retvinklet trekant, hvis blot man kender mindst én side og enten en
af de spidse vinkler eller en side mere. Størrelsen af f.eks. sin(32◦ ) eller
cos(51◦ ) kan nemlig beregnes vha. en lommeregner.
Eksempel 3.3
I en retvinklet trekant DE F er ∠D = 30◦ og |E F | = 7. En skitse af trekanten
ser således ud:
3.3 Sinus, cosinus og tangens
25
E
7
D
30◦
F
Siden E F er den modstående katete til ∠D, og DE er hypotenusen, så
ifølge sætning 3.8 er
7
sin(30◦ ) =
.
|DE |
Denne ligning løses, og man får6
|DE | =
6 Resultatet regnes ud på en lommeregner.
7
= 14.
sin(30◦ )
Den sidste side kan nu bestemmes vha. Pythagoras’ sætning, og den sidste vinkel bestemmes ud fra, at vinkelsummen i en trekant er 180◦ .
Eksempel 3.4
Hvis man skal bestemme længden af kateten DF i trekanten fra eksempel 3.3, kan dette gøres ved at benytte tangens.
Siden DF er den hosliggende katete til ∠D, og E F er den modstående,
får man ifølge sætning 3.8, at
tan(30◦ ) =
7
.
|DF |
Løser man denne ligning, får man
|DF | =
3.3
7
= 12,1.
tan(30◦ )
Sinus, cosinus og tangens
I foregående afsnit blev sinus og cosinus defineret vha. en retvinklet trekant. Det viser sig, at det slet ikke er nødvendigt, at bruge en retvinklet
trekant til dette, man skal blot kende vinklen, man vil finde sinus og cosinus til.
På figur 3.9 er der tegnet en enhedscirkel og vinklen v, hvis ene ben ligger
langs førsteaksen, og det andet ben skærer cirklen i punktet P . Punktet P
kalder man vinklens retningspunkt.
I det foregående afsnit blev sin(v) defineret som den lodrette afstand fra
P til førsteaksen, og cos(v) blev defineret som den vandrette afstand fra
P til andenaksen. Men dette er jo netop punktet P ’s koordinater, dvs. de
to tal (cos(v) og sin(v)) er hhv. første- og andenkoordinaten til retningspunktet for vinklen v.
Det smarte ved denne definition er, at man kan tale om cosinus og sinus
til en vinkel, der er større end 90◦ . Det er nødvendigt, hvis man skal kunne bruge sinus og cosinus i forbindelse med stumpvinklede trekanter.
(2)
1
sin(v)
P (cos(v), sin(v))
v
(1)
cos(v) 1
Figur 3.9: Sinus og cosinus til en vinkel aflæses vha. enhedscirklen.
3 Trigonometri
26
Tabel 3.1: Værdien af cos(v) og sin(v) for
forskellige vinkler.
v
cos(v)
sin(v)
20◦
45◦
60◦
90◦
100◦
0,940
0,707
0,5
1
−0,174
0,342
0,707
0,866
0
0,985
I tabel 3.1 kan man se nogle værdier af cosinus og sinus. Af tabellen kan
man f.eks. se, at cos(60◦ ) = 0,5 og sin(60◦ ) = 0,866. Det betyder, at hvis
vinklen v på figur 3.9 er 60◦ , så har punktet P koordinaterne (0,5; 0,866).
Af figur 3.9 kan man også se, at hvis vinklen v ligger mellem 90◦ og 180◦
er cos(v) negativ. Dette ses også i tabellen.
Funktionen tangens er defineret fuldstændigt som i foregående afsnit:
tan(v) =
sin(v)
.
cos(v)
Dvs. tan(v) er hældningskoefficienten for den linje, der går gennem (0, 0)
og retningspunktet P .
Da sin(v) og cos(v) er koordinater til et punkt på enhedscirklen, som jo
har radius 1, følger det i øvrigt, at både sin(v) og cos(v) må ligge mellem
−1 og 1, altså at
−1 ≤ cos(v) ≤ 1
3.4
og
− 1 ≤ sin(v) ≤ 1.
Inverse trigonometriske funktioner
I afsnit 3.2 blev det gennemgået, hvordan man kan beregne siderne i en
retvinklet trekant ud fra sinus, cosinus og tangens. I dette afsnit ses til
gengæld på, hvordan man finder en vinkel, hvis man kender dens sinus,
cosinus eller tangens.
7 De tre funktioner kaldes undertiden og-
så arccos, arcsin og arctan. »arc« står for
arcus, som betyder »bue« på latin. arcsin
er altså den bue (vinkel), hvis sinus har en
bestemt værdi.
I computerprogrammer kaldes de tre
funktioner i øvrigt ofte asin, acos og atan.
Til dette bruger man de »inverse trigonometriske funktioner« sin−1 ,
cos−1 og tan−1 .7 De tre funktioner bruges til at løse ligninger, hvor man
kender sinus, cosinus eller tangens til den ubekendte.
Eksempel 3.5
For at løse ligningen cos(v) = 0,8 bruges cos−1 :
cos(v) = 0,8
⇔
v = cos−1 (0,8).
cos−1 (0,8) regnes ud på en lommeregner, og man får
v = cos−1 (0,8) = 36,9◦ .
Eksempel 3.6
Ligningen sin(B ) = 0,5 løses således:
sin(B ) = 0,5
B = sin−1 (0,5) = 30◦ .
⇔
Eksempel 3.7
I en retvinklet trekant ABC er |AC | = 5 og |BC | = 3. En skitse af trekanten
ser således ud:
B
3
A
5
C
3.5 Arealet af en trekant
27
Siden AC er den hosliggende katete til ∠ A, og siden BC er den modstående katete. Ifølge sætning 3.8 er
tan(A) =
3
= 0,6.
5
Løsningen til ligningen tan(A) = 0,6 finder man ved at benytte tan−1 , så
tan(A) = 0,6
A = tan−1 (0,6) = 30,96◦
⇔
Den sidste vinkel kan så bestemmes ud fra, at vinkelsummen i en trekant
er 180◦ , og den sidste side kan bestemmes vha. Pythagoras’ sætning.
3.5
Arealet af en trekant
I de foregående afsnit er det blevet gennemgået, hvordan man kan regne
sider og vinkler ud i retvinklede trekanter. Der er dog masser af trekanter,
der ikke er retvinklede, og for disse gælder der nogle andre sammenhænge.
Det viser sig, at man kan udlede formler, der gælder for vilkårlige trekanter8 ved at dele en trekant op i to retvinklede, og derefter bruge de
formler, der gælder for retvinklede trekanter. F.eks. gælder der følgende
sætning.
8 At trekanten er »vilkårlig« betyder, at der
ikke er nogen specielle krav for hverken sidernes eller vinklernes størrelse; den kan
altså se ud på en hvilken som helst måde
Sætning 3.9
Arealet T af en trekant ABC er
B
T = 12 · a · b · sin(C )
T = 12 · a · c · sin(B )
c
T = 12 · b · c · sin(A)
Bevis
I 4ABC tegnes højden h B fra B (se figur 3.10). Iflg. sætning 3.2 er arealet
af 4ABC givet ved
T = 21 · h B · b.
(3.1)
Men da 4BC H er retvinklet gælder der også (sætning 3.8), at
sin(C ) =
hB
a
⇔
h B = a · sin(C ).
Dette udtryk for h B kan sættes ind i ligningen (3.1), og man får så
T = 12 · a · sin(C ) · b = 12 · a · b · sin(C ).
Dette er kun et bevis for den ene af formlerne i sætning 3.9. Men hvis
man ser nærmere på formlerne i sætningen, opdager man, at der i alle
tre formler optræder to sider og den mellemliggende vinkel.
a
hB
A
b
H
C
Figur 3.10: Trekant ABC med højden h B
indtegnet.
3 Trigonometri
28
Det er derfor ikke nødvendigt, at give et selvstændigt bevis for alle tre
formler, idet det faktisk drejer sig om den samme formel skrevet på tre
forskellige måder. Hvis man blot husker, at der i formlen indgår to af siderne og den mellemliggende vinkel, kan man hurtigt skrive arealformlen op for en hvilken som helst trekant.
Eksempel 3.8
I 4ABC er ∠B = 47◦ , a = 9 og c = 5. En skitse af trekanten ser sådan ud:
B
47◦
a =9
c =5
C
A
Arealet af denne trekant er
T = 12 · a · c · sin(B ) = 21 · 9 · 5 · sin(47◦ ) = 16,5.
Eksempel 3.9
I 4DE F er d = 4 og ∠E = 75◦ . Hvis man yderligere får at vide, at arealet af
trekanten er 13, så kan man beregne siden f og derved få tegnet en skitse
af trekanten.
Først bemærker man, at de sider, der støder op til ∠E er siderne d og f .
Derfor kan man vha. sætning 3.9 opstille formlen
T = 12 · d · f · sin(E ).
Sætter man de kendte størrelser ind i formlen, får man ligningen
13 = 12 · 4 · f · sin(75◦ ).
Denne ligning har løsningen
f =
2 · 13
= 6,7.
4 · sin(75◦ )
Siden f har altså længden 6,7.
3.6
Sinusrelationerne
Vha. sætning 3.9 kan man udlede følgende sætning.
Sætning 3.10 (Sinusrelationerne)
I en trekant ABC gælder der
sin(A) sin(B ) sin(C )
=
=
,
a
b
c
og
a
b
c
=
=
.
sin(A) sin(B ) sin(C )
3.6 Sinusrelationerne
29
Bevis
De tre formler i sætning 3.9 er tre formler for arealet af den samme trekant. Der må derfor gælde, at
1
2
· b · c · sin(A) = 12 · a · c · sin(B ) = 21 · a · b · sin(C ).
I denne dobbeltligning kan man dividere med 12 · a ·b ·c på alle »sider«, og
man får så
1
2
· b · c · sin(A)
1
2
·a ·b ·c
=
1
2
· a · c · sin(B )
1
2
·a ·b ·c
=
1
2
· a · b · sin(C )
1
2
·a ·b ·c
.
Nu forkorter man så meget som muligt, og tilbage står der
sin(A) sin(B ) sin(C )
=
=
,
a
b
c
hvorved sætningen er bevist.
Sinusrelationerne siger, at forholdet mellem sinus til en vinkel og den side, der ligger over for vinklen er konstant i en given trekant. Hvis man
kender en vinkel og en side over for hinanden i en trekant, og man kender en vinkel eller en side mere, er det derfor muligt at beregne resten af
siderne og vinklerne i trekanten.
Eksempel 3.10
I 4ABC er ∠C = 47◦ , a = 5 og c = 8. En skitse af trekanten kan ses på
figur 3.11.
B
c =8
a =5
47◦
A
C
Figur 3.11: En trekant med to kendte sider,
og én kendt vinkel.
Iflg. sinusrelationerne (sætning 3.10) er
sin(A) sin(C )
=
,
a
c
dvs.
sin(A) sin(47◦ )
=
5
8
⇔
sin(A) =
sin(47◦ )
· 5 = 0,4571.
8
Derfor er
∠ A = sin−1 (0,4571) = 27,2◦ .
Vinkel B kan nu bestemmes ud fra, at vinkelsummen er 180◦ , og den sidste side kan så også bestemmes vha. sinusrelationerne (se evt. næste eksempel).
B
Eksempel 3.11
I 4ABC er ∠ A = 62◦ , ∠B = 34◦ og b = 7. En skitse kan ses på figur 3.12.
34◦
Ifølge sinusrelationerne er
a
b
=
,
sin(A) sin(B )
dvs.
a
7
=
sin(62◦ ) sin(34◦ )
⇔
a=
7
· sin(62◦ ) = 11,1.
sin(34◦ )
◦
Den sidste vinkel kan beregnes ud fra, at vinkelsummen er 180 , og den
sidste side, kan bestemmes på samme måde som siden a.
A
62◦
b=7
C
Figur 3.12: En trekant med to kendte vinkler
og én kendt side.
3 Trigonometri
30
Sinusfælden
Det viser sig, at man skal være en smule påpasselig, når man bestemmer
vinkler vha. sinusrelationerne. Funktionen sin−1 , som man bruger til at
isolere vinkler med, giver nemlig altid et resultat mellem 0 og 90◦ ; men i
en trekant kan en vinkel være op til 180◦ — og det viser sig, at for en given
sinus-værdi, findes der to vinkler, der kan give denne værdi.
Ser man på figur 3.13, kan man se, at vinklen v og vinklen 180◦ − v har
retningspunkter (P og P 0 på figuren), der har samme andenkoordinat.
Dvs.
sin(180◦ − v) = sin(v).
(2)
1
P0
Ud fra dette kan man argumentere for, at når man har ligningen sin(v) =
y, så kan der være to løsninger. De to løsninger er
P
180◦ − v
v
v = sin−1 (y)
(1)
og
v = 180◦ − sin−1 (y).
1
Figur 3.13: To vinkler med samme sinus.
Eksempel 3.12
I trekant ABC er ∠ A = 56◦ , a = 7 og b = 8. Vha. sinusrelationerne kan
man beregne ∠B , idet
sin(B ) sin(A)
=
.
b
a
Dette giver ligningen
sin(B ) sin(56◦ )
=
8
7
9 Der findes to løsninger til en ligning som
sin(B ) =
⇔
sin(56◦ )
· 8 = 0,9475.
7
Denne ligning har to løsninger, den ene er9
sin(B ) = 0,9475, netop fordi sin(71,3◦ ) =
sin(108,7◦ ), så begge disse vinkler løser
∠B = sin−1 (0,9475) = 71,3◦ ,
ligningen.
og den anden er
∠B = 180◦ − sin−1 (0,9475) = 108,7◦ .
Trekant ABC kan altså se ud på to forskellige måder:
B
a =7
B
a =7
A
56◦
b=8
C
A
56◦
b=8
C
Hvis man bliver bedt om at bestemme de resterende sider og vinkler i
4ABC bliver man altså nødt til at regne på to forskellige trekanter. Der
findes derfor ikke én men to løsninger, og den ene er ikke mere rigtig end
den anden.
3.7 Cosinusrelationerne
31
Selvom ligningen sin(v) = y altid har to løsninger, er det ikke sikkert at
begge løsninger giver mening. Dette ses i næste eksempel.
Eksempel 3.13
Her ses på trekanten ABC , hvor ∠ A = 45◦ , a = 15 og b = 12. Sinusrelationerne giver
sin(B ) sin(A)
=
,
b
a
hvorfra man får ligningen
sin(B ) sin(45◦ )
=
12
15
⇔
sin(B ) =
sin(45◦ )
· 12 = 0,5657.
15
Denne ligning har to løsninger,
∠B = sin−1 (0,5657) = 34,4◦
og
∠B = 180◦ − sin−1 (0,5657) = 145,6◦ .
Den sidste løsning (∠B = 145,6◦ ) er godt nok en løsning til ligningen
sin(B ) = 0,5657, men det er ikke en løsning, der giver mening. Vinkelsummen i en trekant er nemlig 180◦ , og der er i forvejen en vinkel på 45◦ .
Så kan der ikke også være en vinkel på 145,6◦ i trekanten, og denne løsning kasseres derfor.
Altså er der kun én mulig størrelse for vinkel B , nemlig 34,4◦ .
3.7
Cosinusrelationerne
Sinusrelationerne kan bruges i de tilfælde, hvor man kender en vinkel
og en side, der ligger over for hinanden. Gør man ikke det, kan man kun
beregne yderligere sider og vinkler ved at benytte cosinusrelationerne.
Sætning 3.11 (Cosinusrelationerne)
I en trekant ABC gælder der, at
a 2 = b 2 + c 2 − 2 · b · c · cos(A)
b 2 = a 2 + c 2 − 2 · a · c · cos(B )
c 2 = a 2 + b 2 − 2 · a · b · cos(C )
b2 + c 2 − a2
2·b ·c
a2 + c 2 − b2
cos(B ) =
2·a ·c
a2 + b2 − c 2
cos(C ) =
.
2·a ·b
cos(A) =
Formlerne på højre side i sætning 3.11 er blot en omskrivning af formlerne på venstre side.
Hvis man ser nærmere på formlerne på venstre side, bemærker man, at
alle tre formler gør det muligt at beregne en side, hvis man kender vinklen overfor og de to andre sider. Indholdet i alle tre formler er altså på sin
vis det samme, så det er kun nødvendigt at bevise den ene af dem.
3 Trigonometri
32
B
c
A
a
h
H
b−x
Bevis
I en trekant ABC tegnes højden h fra B . Fodpunktet for højden kaldes H
(se figur 3.14).
x
C
Figur 3.14: Trekant ABC med højden h.
Bruger man Pythagoras’ sætning på de retvinklede trekanter AB H og
BC H , får man
c 2 = h 2 + (b − x)2
og
a2 = h2 + x 2.
I begge disse ligninger kan man isolere h 2 , så man får
c 2 − (b − x)2 = h 2
og
a2 − x 2 = h2.
Nu har man to udtryk, der begge er lig h 2 . Disse to udtryk må derfor også
være lig hinanden, dvs.
c 2 − (b − x)2 = a 2 − x 2
⇔
c 2 = a 2 − x 2 + (b − x)2
2
2
2
2
2
2
2
2
c = a −x +b +x −2·b ·x
⇔
⇔
c = a + b − 2 · b · x.
(3.2)
For at komme videre, udnytter man, at 4BC H er retvinklet, og derfor
giver sætning 3.8, at
cos(C ) =
x
a
⇔
x = a · cos(C ).
Dette resultat kan indsættes i ligningen (3.2), og man får
c 2 = a 2 + b 2 − 2 · b · a · cos(C ).
Hermed er sætningen bevist.
Cosinusrelationerne kan bruges til at beregne en side, hvis man kender
de to andre sider i en trekant, samt vinklen overfor. Dette svarer til formlerne på venstre side i sætning 3.11.
B
a =7
A
39◦
b = 10
C
Figur 3.15: Trekant, hvor man kender to sider og en mellemliggende vinkel.
Alternativt kan man bruge cosinusrelationerne til at beregne en vinkel,
hvis man kender alle tre sider i en trekant — dette svarer til formlerne på
højre side i sætningen.
Eksempel 3.14
I trekant ABC er ∠C = 39◦ , a = 7 og b = 10. En skitse af trekanten kan ses
på figur 3.15.
Siden c kan beregnes vha. en cosinusrelation. Iflg. sætning 3.11 er
c 2 = a 2 + b 2 − 2 · a · b · cos(C ) = 72 + 102 − 2 · 7 · 10 · cos(39◦ ) = 40,20,
hvilket betyder, at
c=
p
40,20 = 6,3.
Da man nu kender alle sider, kan én af de sidste to vinkler også bestemmes vha. en cosinusrelation (se næste eksempel). Alternativt kan man
bestemme en af de sidste to vinkler vha. sinusrelationerne.
3.7 Cosinusrelationerne
33
Eksempel 3.15
I dette eksempel ses på en trekant ABC , hvor a = 3, b = 6 og c = 4 (se
figur 3.16). Iflg. cosinusrelationerne kan ∠ A beregnes ud fra formlen
2
cos(A) =
2
2
2
2
B
2
b +c −a
6 +4 −3
=
= 0,8958.
2bc
2·6·4
c =4
A
a =3
b=6
C
Heraf får man
∠ A = cos−1 (0,9858) = 26,4◦ .
De resterende vinkler kan beregnes på samme måde.
Figur 3.16: Trekant, hvor man kender alle sider.
4
Trigonometriske funktioner
De tre trigonometriske funktioner sin, cos og tan, som kan bruges til
at beregne sider og vinkler i geometriske figurer, kan også opfattes som
egentlige matematiske funktioner.
Når man regner på geometriske figurer, måles vinkler i grader, dvs.i udtrykket sin(x) er x en vinkel i grader. Det viser sig, at hvis man i stedet
bruger en anden form for vinkelmål, så bliver nogle af de matematiske
formler, der involverer trigonometriske funktioner, simplere.
4.1
Radianer
En cirkel svarer som bekendt til en vinkel på 360◦ . Men der er jo intet selvfølgeligt ved, at det lige skal være 360◦ , der definerer en hel omdrejning.
Man kunne lige så godt have valgt ethvert andet tal1 .
1 Faktisk er tallet 360 et levn fra det baby-
loniske 60-talssystem.[3]
Et vinkelmål, man ofte bruger i matematikken, bygger på, at man måler
vinkler som længden af en cirkelbue. Tanken er den følgende: Man kan
måle en vinkels størrelse som længden af den bue, den spænder over.
Denne buelængde er en del af en cirkel, så dens længde afhænger selvfølgelig af, hvilken radius, der er, i den cirkel, man tegner. Men hvis man
så dividerer med radius, får man et forhold, der er uafhængigt af radius.
Dette vinkelmål kaldes radianer.
Definition 4.1
En vinkels størrelse i radianer v måles som forholdet mellem den bue, vinklen spænder over, og
radius i cirklen,
b
v= .
r
b
r
Da en cirkels omkreds er 2πr , kommer en hel omdrejning til at svare til
2π, og en ret vinkel (90◦ ) til at svare til π2 . Figur 4.1 viser sammenhængen
mellem grader og radianer som vinkelmål.
Da 2π i radianer svarer til en hel cirkel, og 360◦ også svarer til en hel cirkel,
får man
π
360◦ = 2π ⇔ 1◦ =
,
180
π
dvs. man kan omregne fra grader til radianer ved at gange med 180
◦ . Omvendt kan man regne om fra radianer til grader ved at gange med 180
π .
Eksempel 4.1
Hvad er vinklen 36◦ i radianer?
35
3π
4
5π
6
π
2π
3
◦
◦ 90
120
◦
135
150◦
180◦
− 5π
6
π
2
−150◦
−135◦ ◦
−120
− 3π
4
− 2π
3
π
3
60◦
π
4
45◦
30◦
π
6
0◦
0
−30◦
◦
−45
− π6
−60◦
◦
−90
− π4
π
−3
− π2
Figur 4.1: Sammenhængen mellem grader
og radianer.
4 Trigonometriske funktioner
36
For at svare på dette spørgsmål beregnes
36◦ ·
(2)
36◦ svarer altså til π5 .
1
−3π −2π − π
π
2π
(1)
3π
−1
1
π
2π
(1)
3π
−1
Figur 4.2: Graferne for funktionerne cos(x)
(øverst) og sin(x) (nederst).
Tabel 4.1: Funktionsværdier for cos og sin.
x
cos(x)
sin(x)
−π
− π2
0
−1
0
1
p
0
−1
0
p
π
4
π
3
π
2
π
3π
2
2π
2
2
1
2
0
−1
0
1
4.2
Cosinus og sinus som funktioner
Når cosinus og sinus behandles som matematiske funktioner, cos(x) og
sin(x), måles den uafhængige variabel x i radianer. Graferne for disse to
funktioner kan ses på figur 4.2.
(2)
−3π −2π − π
π
36π π
=
= .
◦
180
180 5
2
p2
3
2
1
0
−1
0
Man kunne fristes til at tro, at fordi en cirkel svarer til 2π radianer, så har
cos(x) og sin(x) kun funktionsværdier, når x ligger i intervallet mellem
0 og 2π, men dette er ikke rigtigt. Værdier af x, der ligger over 2π, svarer
blot til, at man går mere end én omgang rundt i cirklen; mens de negative
værdier svarer til, at man går modsat rundt. Funktionsværdierne vil så
gentage sig selv for hver hel omgang, man går rundt i cirklen — dette er
beskrevet nærmere nedenfor.
På graferne er førsteaksen inddelt i enheder af π. Dette skyldes, at det er
ud for disse værdier, graferne skærer førsteaksen og antager deres maksima og minima. Nogle af funktionsværdierne for cos(x) og sin(x) kan ses
i tabel 4.1.
Periodicitet
Ved at se på graferne for de to funktioner, kan man udlede, at de er periodiske.
At en funktion er periodisk betyder, at funktionen så at sige »gentager sig
selv«. Man kan se på graferne for cos(x) og sin(x), at hver gang man går
2π frem eller tilbage på førsteaksen, finder man de samme funktionsværdier.
Dette skyldes, at cosinus og sinus er defineret ud fra enhedscirklen, og 2π
svarer til en hel omgang rundt i cirklen. Derfor vil cos(x) og sin(x) have
samme værdi, når x stiger eller falder med et helt tal gange 2π, dvs.
cos(x + k · 2π) = cos(x)
sin(x + k · 2π) = sin(x)
hvor k er et helt tal
Fordi de to funktioner er periodiske, kan de bruges til at beskrive en lang
række fænomener i naturen, der udviser et gentagende mønster, som
f.eks. bølger og svingninger.
Eksempel 4.2
En fjeder, der svinger op og ned, kan beskrives ved hjælp af funktionen
f (t ) = a cos(ω0 t + α) ,
hvor f angiver udsvinget fra ligevægtspositionen, og t angiver tiden.[2]
Konstanterne a, ω0 og α afhænger af den konkrete situation.
4.3 Ligninger med cos og sin
4.3
37
Ligninger med cos og sin
Fordi sinus og cosinus er periodiske, så vil ligninger med disse funktioner
typisk have mere end én løsning — og ofte uendeligt mange løsninger.
Hvis man f.eks. skal løse ligningen sin(x) = a, hvor a er et eller andet tal,
er en af løsningerne
x = sin−1 (a) .
Men sin−1 giver kun den af løsningerne, der ligger mellem − π2 og π2 .2 På
figur 4.3 kan man se angivet på enhedscirklen, at der også er en anden
løsning, som er givet ved
2 Hvilket svarer til −90◦ og 90◦ .
(2)
1
x = π − sin−1 (a) .
π − sin−1 (a)
a
sin−1 (a)
Idet man kan lægge et helt antal gange 2π til x og få de samme funktionsværdier, betyder det, at ligningen sin(x) = a har løsningerne
x = sin−1 (a) + k · 2π
x = π − sin−1 (a) + k · 2π ,
∨
(1)
1
k ∈Z.
»k ∈ Z« betyder, at k er et helt tal.
Samme type argument kan man lave for ligningen cos(x) = a, sådan at
man får følgende sætning.3
Figur 4.3: Ligningen sin(x) = a har to løsninger mellem 0 og 2π.
3 Bemærk i øvrigt, at −1 ≤ a ≤ 1, idet funk-
Sætning 4.2
Når −1 ≤ a ≤ 1, gælder
tionsværdierne for både cos og sin ligger i
dette interval.
1) Ligningen cos(x) = a har løsningerne
x = cos−1 (a) + k · 2π
∨
x = − cos−1 (a) + k · 2π ,
k ∈Z.
(2)
1
2) Ligningen sin(x) = a har løsningerne
x = sin−1 (a) + k · 2π
∨
x = π − sin−1 (a) + k · 2π ,
k ∈Z.
−3π −2π − π
π
2π
(1)
3π
−1
Eksempel 4.3
Løsningerne til ligningen
Figur 4.4: Løsningerne til sin(x) = 0,7 kan
findes ved at tegne grafen for sin(x) og linjen med ligningen y = 0,7 og aflæse skæringspunkternes førstekoordinater.
sin(x) = 0,7
kan bestemmes grafisk ved at tegne grafen for sin(x) og linjen med ligningen y = 0,7 og aflæse førstekoordinaterne til skæringspunkterne (se
figur 4.4).
Denne ligning har ifølge sætning 4.2 løsningerne
x = sin−1 (0,7) + k · 2π
x = π − sin−1 (0,7) + k · 2π ,
∨
k ∈Z,
dvs.4
x = 0,7754 + k · 2π
∨
x = 2,3662 + k · 2π ,
k ∈Z.
4 Her regner man ud, hvad sin−1 (0,7) og
π − sin−1 (0,7) rent faktisk giver.
4 Trigonometriske funktioner
38
Eksempel 4.4
Ligningen
3 cos(x) − 1 = 0,8
løser man ved først at isolere cos(x):
3 cos(x) − 1 = 0,8
3 cos(x) = 1,8
⇔
⇔
cos(x) = 0,6 .
Herefter bruger man sætning 4.2, og får
x = cos−1 (0,6) + k · 2π
∨
x = − cos−1 (0,6) + k · 2π ,
∨
x = −0,9273 + k · 2π ,
k ∈Z,
som kan reduceres til
x = 0,9273 + k · 2π
k ∈Z.
Eksempel 4.5
Løsningerne til ligningen
sin(2x − 1) = 0,3
finder man også ved at bruge sætning 4.2. Nu står der 2x −1 i parentesen,
så man får
2x − 1 = sin−1 (0,3) + k · 2π
2x − 1 = π − sin−1 (0,3) + k · 2π ,
∨
k ∈Z.
I disse to ligninger isolerer man x:
x=
sin−1 (0,3) + k · 2π + 1
2
x=
∨
π − sin−1 (0,3) + k · 2π + 1
,
2
k ∈Z.
Reducerer man, fås
1,3047 + k · 2π
2
∨
x=
x = 0,6524 + k · π
∨
x = 1,9185 + k · π ,
x=
3.8369 + k · 2π
,
2
k ∈Z,
dvs.
4.4
k ∈Z.
Tangens
I det ovenstående er tangens ikke blevet omtalt. Grafen for tan(x) kan ses
på figur 4.5. Som man kan ane på figuren, går funktionsværdien mod ∞
5π
hhv. −∞ når x nærmer sig ± π2 , ± 3π
2 , ± 2 osv.
(2)
Dette skyldes at tan(x) er defineret som
tan(x) =
1
−3π −2π − π
π
Figur 4.5: Grafen for tan(x).
2π
(1)
3π
sin(x)
,
cos(x)
og det er netop i disse værdier af x, at cos(x) = 0.
Som man måske også kan se på figuren er tan(x) periodisk med perioden π. Ved at se på enhedscirklen og argumentere, som der blev gjort i
foregående afsnit, kan man komme frem til følgende sætning, som ikke
bevises her.
4.4 Tangens
39
Sætning 4.3
Ligningen tan(x) = a har løsningerne
x = tan−1 (a) + k · π ,
k ∈Z.
Eksempel 4.6
Ligningen
tan(x) = 0,5
kan man løse ved at bruge sætning 4.3:
x = tan−1 (0,5) + k · π ,
dvs.
x=
π
+k ·π ,
4
k ∈Z,
k ∈Z.
Eksempel 4.7
Ligningen
4 tan(x) + 7 = 10
løser man også ved at bruge sætning 4.3. Blot skal man her først isolere
tan(x):
4 tan(x) + 7 = 10
⇔
4 tan(x) = 3
⇔
tan(x) =
Herefter kan man bruge sætningen, hvorved man får
µ ¶
−1 3
+k ·π , k ∈ Z ,
x = tan
4
dvs.
x = 0,6435 + k · π ,
k ∈Z.
3
4
5
Polynomier
Funktionen
f (x) = 3x 2 + x − 4
tilhører gruppen af polynomier, som er en type af funktioner, der anvendes i mange grene af matematikken. Det viser sig nemlig, at polynomier
har mange pæne egenskaber.
Den generelle definition på et polynomium er den følgende.
Definition 5.1
Et polynomium er en funktion af typen,
f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 ,
hvor koefficienterne a 0 , . . . ,a n er reelle tal, a n 6= 0.
Tallet n, som skal være et helt, positivt tal, kaldes polynomiets grad.
Nogle eksempler på polynomier kunne være:
Førstegradspolynomium:
f (x) = 3x + 1
Andengradspolynomium:
g (x) = 4x 2 − 3x + 5
Tredjegradspolynomium:
h(x) = x 3 + 7x − 13
Fjerdegradspolynomium:
m(x) = 8x 4 + 7x 2
Syttendegradspolynomium: p(x) = x 17 + 4x 9
Når man skriver forskriften for et polynomium op, sorterer man normalt
leddene, sådan at eksponenterne står i rækkefølge med den højeste først.
Dette er ikke strengt nødvendigt, men det gør, at man let kan finde graden af polynomiet, idet graden er den højeste eksponent.1
Eksempel 5.1
Polynomiet f (x) = x + 4 − 3x 2 kan skrives som,
f (x) = −3x 2 + x + 4,
hvorved det er nemmere at se, at det drejer sig om et andengradspolynomium.
Førstegradspolynomier er virkeligheden lineære funktioner, så de vil ikke blive gennemgået i dette kapitel. Meget af dette kapitel vil i stedet gå
med at gennemgå egenskaberne for andengradspolynomier — med et
afsluttende afsnit om polynomier af højere grad.
41
1 Et helt specielt tilfælde er i øvrigt polyno-
mier af grad 0, som blot er konstante funktioner; dvs. f.eks. f (x) = 9 eller g (x) = −14.
5 Polynomier
42
5.1
(2)
Parallelforskydning af grafer
I dette afsnit gennemgås en helt generel metode til at parallelforskyde
grafen for en funktion. Den metode, der beskrives her, gælder altså for
alle funktioner — ikke kun for polynomier.
f (x)
y
På figur 5.1 kan man se, hvordan en graf kan parallelforskydes langs
første- eller langs andenaksen.
+x 0
x
x + x0
(1)
Hvis grafen for funktionen f (x) forskydes langs førsteaksen med størrelsen x 0 , får man grafen for en ny funktion g (x), hvorom der gælder, at
g (x + x 0 ) = f (x).
(a) Langs førsteaksen.
Dette kan omskrives til
(2)
g (x) = f (x − x 0 ),
hvilket kan bruges til at finde forskriften for g , når man kender forskriften
for f .
f (x)
y + y0
Parallelforskyder man grafen for f langs andenaksen med størrelsen y 0 ,
får man grafen for den nye funktion g , der opfylder
+y 0
y
(1)
x
(b) Langs andenaksen.
Figur 5.1: En graf kan parallelforskydes både langs første- og andenaksen.
g (x) = f (x) + y 0 .
Hvis man parallelforskyder en graf i både første- og andenaksens retning
taler man om at forskyde med (x 0 , y 0 ). Samler man de to resultater ovenfor, finder man frem til følgende sætning.
Sætning 5.2
Hvis grafen for funktionen f (x) parallelforskydes med (x 0 , y 0 ), får man
grafen for funktionen
g (x) = f (x − x 0 ) + y 0 .
(2)
g (x) =
f (x) =
1
p
p
Eksempel 5.2
p
På figur 5.2 ses grafen for f (x) = x forskudt med (1, 3). Herved får man
ifølge sætning 5.2 grafen for
p
g (x) = f (x − 1) + 3 = x − 1 + 3.
x −1+3
x
(1)
1
Figur 5.2: Grafen for f (x) =
med (1, 3).
p
x forskudt
5.2 Andengradspolynomier
Et andengradspolynomium er et polynomium af grad 2. Ifølge definition 5.1 er det altså en funktion af typen
f (x) = ax 2 + bx + c,
(5.1)
2 I definitionen kaldes de tre koefficienter
hvor a, b og c er tre tal, og a 6= 0.2
for a 2 , a 1 og a 0 , men da et andengradspolynomium kun har 3 koefficienter, er det
nemmere blot at kalde dem a, b og c.
Det simpleste andengradspolynomium, man kan forestille sig, er et andengradspolynomium, hvor koefficienterne b og c begge er 0, dvs.
p(x) = ax 2 .
5.2 Andengradspolynomier
43
(2)
Grafen for p(x) = ax 2 kan ses på figur 5.3. Denne type graf kaldes en parabel. Som man kan se på figuren afhænger grafens udseende af værdien
af koefficienten a: Hvis a > 0 vender parablens grene opad; er a < 0, vender de nedad.
a >0
Dette skyldes, at x 2 altid er et positivt tal. Fortegnet for funktionsværdien
afhænger derfor kun af fortegnet for a.
a <0
Af figuren kan man også se, at parablen er symmetrisk omkring andenaksen, dette skyldes, at (−x)2 = x 2 , dvs. polynomiet p(x) har de samme
funktionsværdier i x og −x.
En sidste ting, man kan se på figuren, er, at uanset hvilken værdi, a har,
så »vender« parablen i punktet (0, 0). Dette punkt kalder man parablens
toppunkt.
(1)
(0, 0)
Figur 5.3: Grafen for p(x) = ax 2 i de to tilfælde, hvor a > 0 og a < 0.
(2)
Hvis man i stedet ønsker at se på en parabel, der har toppunkt i (x 0 ,y 0 ),
kan man parallelforskyde grafen for p(x). Dette kan ses på figur 5.4. Den
nye parabel vil da være symmetrisk omkring linjen x = x 0 , der kaldes parablens symmetriakse.
y0
(x 0 , y 0 )
Vha. sætning 5.2 kan man nu udlede følgende.
Sætning 5.3
Parablen med toppunkt i (x 0 , y 0 ) er graf for funktionen
(0, 0)
f (x) = a(x − x 0 )2 + y 0 .
Bevis
Parablen med toppunkt i (x 0 , y 0 ) fås ved at parallelforskyde grafen for parablen med toppunkt i (0, 0) med (x 0 , y 0 ).
Parablen med toppunkt i (0, 0) er graf for funktionen p(x) = ax 2 . Ifølge
sætning 5.2 er parablen med toppunkt i (x 0 , y 0 ) derfor graf for
f (x) = p(x − x 0 ) + y 0 = a(x − x 0 )2 + y 0 .
Funktionsudtrykket i sætning 5.3 ligner ikke umiddelbart andengradspolynomiet i (5.1). Det viser sig dog, at man kan skrive om mellem den ene
og den anden form.
Eksempel 5.3
Funktionen f (x) = 3 · (x − 2)2 − 7 er graf for en parabel med toppunkt i
(2, −7).
Funktionens forskrift kan omskrives ved at gange parentesen ud og reducere:
f (x) = 3(x − 2)2 − 7
= 3(x 2 + (−2)2 − 2 · 2 · x) − 7
= 3(x 2 + 4 − 4x) − 7
= 3x 2 + 12 − 12x − 7
= 3x 2 − 12x + 5.
x0
(1)
Figur 5.4: Grafen for p(x) = ax 2 parallelforskudt til f (x) = a(x − x 0 )2 + y 0 .
5 Polynomier
44
Forskriften f (x) = 3(x − 2)2 − 7 kan altså skrives som
f (x) = 3x 2 − 12x + 5,
hvilket svarer fuldstændigt til (5.1), hvor koefficienterne er
a = 3,
b = −12 og c = 5.
Omskrivningen i eksempel 5.3 kan også foretages helt generelt ved at regne på andengradspolynomiet f (x) = a(x − x 0 )2 + y 0 . Så får man
f (x) = a(x − x 0 )2 + y 0
= a(x 2 + x 02 − 2x 0 x) + y 0
= ax 2 + ax 02 − 2ax 0 x + y 0
= ax 2 + (−2ax 0 )x + (ax 02 + y 0 ).
Hvis dette skal svare til forskriften
f (x) = ax 2 + bx + c,
skal koefficienterne være de samme. Dette medfører at
b = −2ax 0
og c = ax 02 + y 0 .
(5.2)
Ligningerne (5.2) kan bruges til at beregne koefficienterne b og c, når
man kender toppunktet (x 0 , y 0 ). Typisk vil et andengradspolynomium
være skrevet på formen (5.1), og man har derfor i stedet brug for at kunne
beregne toppunktet, når man kender de tre koefficienter a, b og c.
3 Diskriminanten bruges til andet end blot
at beregne toppunktet, det giver derfor
mening at definere denne størrelse. Den
dukker op igen i afsnit 5.3 nedenfor.
For at skrive en simpel formel op for toppunktet, introducerer man
diskriminanten,3
d = b 2 − 4ac.
Man har så følgende sætning.
Sætning 5.4
Andengradspolynomiet f (x) = ax 2 +bx +c har toppunkt i (x 0 , y 0 ), hvor
x0 = −
b
2a
og
y0 = −
d
.
4a
d = b 2 − 4ac er diskriminanten.
Bevis
For at bevise sætningen kan man se på ligningen (5.2). Her fremgår det,
at
b
= x0 .
b = −2ax 0
⇔
−
2a
Formlen for x 0 er hermed vist.
Idet c = ax 02 + y 0 får man
y 0 = c − ax 02 .
5.3 Andengradsligninger
45
b
Da det lige er vist, at x 0 = − 2a
giver dette, at
µ
¶
b 2
b2
b2
y0 = c − a −
=c −a· 2 =c −
2a
4a
4a
2
2
2
4ac − b
b − 4ac
d
4ac b
−
=
=−
=− .
=
4a
4a
4a
4a
4a
Hermed er formlen for y 0 også bevist.
(2)
1
(1)
1
Eksempel 5.4
Grafen for andengradspolynomiet
(2, −3)
f (x) = x 2 − 4x + 1
kan ses på figur 5.5. For at bestemme toppunktet til denne parabel aflæser man først polynomiets koefficienter. De er
a = 1,
Figur 5.5: Grafen for f (x) = x 2 − 4x + 1 har
toppunkt i (2, −3).
b = −4 og c = 1.
Herefter kan man beregne førstekoordinaten til toppunktet:
x0 = −
b
−4
=−
= 2.
2a
2·1
For at beregne andenkoordinaten, beregner man først diskriminanten
d = b 2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 1 · 1 = 12.
Andenkoordinaten til toppunktet er så
y0 = −
d
12
=−
= −3.
4a
4·1
Parablen har altså toppunkt i (2, −3), hvilket også kan ses på figuren.
5.3
(2)
Andengradsligninger
En parabel kan være placeret således, at den skærer førsteaksen. De xværdier, hvori parablen skærer førsteaksen kalder man polynomiets rødder.
(1)
Andengradspolynomier kan have 2, 1 eller ingen rødder, afhængig af,
hvordan parablen er placeret. Dette kan ses på figur 5.6, hvor den ene
parabel skærer førsteaksen (2 rødder), den anden parabel rører førsteaksen i ét punkt (1 rod) og den sidste parabel slet ikke rører førsteaksen.
Rødderne findes som sagt, der hvor parablen skærer førsteaksen. På
førsteaksen er y = 0, dvs. rødderne findes, der hvor f (x) = 0. Man kan
altså finde rødderne ved at løse andengradsligningen
ax 2 + bx + c = 0.
I denne ligning er det ikke umiddelbart nemt at se, hvordan man kan
isolere x; det viser sig dog, at man kan udlede en løsningsformel for ligningen.
Figur 5.6: Parabler kan have 2, 1 eller ingen
rødder.
5 Polynomier
46
Sætning 5.5
For at løse andengradsligningen
ax 2 + bx + c = 0
beregner man først diskriminanten d = b 2 − 4ac.
Der gælder da
1) Hvis d < 0 har ligningen ingen løsninger.
2) Hvis d ≥ 0 har ligningen løsningerne x =
p
−b± d
2a .
Bevis
Hvis man kombinerer sætning 5.3 og sætning 5.4 finder man, at andengradspolynomiet
f (x) = ax 2 + bx + c
4 Udtrykket fås ved at sætte de to formler
b
d
x 0 = − 2a
og y 0 = − 4a
ind i forskriften
2
f (x) = a(x − x 0 ) + y 0 .
kan skrives som4
¶¶ µ
¶
µ
¶
µ
µ
d
b 2 d
b 2
+ −
=a· x+
−
.
f (x) = a x − −
2a
4a
2a
4a
Det betyder, at ligningen ax 2 + bx + c = 0 kan skrives som
µ
¶
b 2 d
a· x+
−
=0
2a
4a
5 Hvis d < 0 kan ligningen slet ikke løses.
Diskriminantens fortegn afgør altså, om
ligningen har løsninger.
6 At der er mulighed for to forskellige fortegn, skyldes, at (−h)2 = h 2 , hvilket bety-
Hvis d ≥ 0 kan denne ligning omskrives5 til
¶
d
b 2
=
⇔
a· x+
2a
4a
µ
¶
b 2
d
x+
= 2
⇔
2a
4a
à p !2
µ
¶
b 2
d
x+
=
.
2a
2a
µ
Denne ligning er opfyldt, hvis6
p
b
d
x+
=±
.
2a
2a
der, at ligningen x 2 = h 2 har både h og −h
som løsning.
Her kan man isolere x og få
p
d
b
=±
x+
2a
2a
p
b
d
x =−
±
2a 2a
p
−b ± d
x=
.
2a
Hermed er formlen bevist.
⇔
⇔
5.3 Andengradsligninger
47
Hvis man ser på formlen i sætning 5.5, vil man opdage, at i det tilfælde,
hvor d = 0, er der i virkeligheden kun én løsning, idet7
p
b
−b ± 0
=− .
2a
2a
7 Hvis diskriminanten er 0, er ligningens
b
løsning altså x = − 2a
.
I dette tilfælde taler man om, at polynomiet har en dobbeltrod. Dette svarer til at parablen lige præcis rører førsteaksen i ét punkt (se figur 5.6).
Her følger et par eksempler på, hvordan man bruger formlen.
Eksempel 5.5
For at finde rødderne i andengradspolynomiet
f (x) = 2x 2 + 2x − 12,
finder man først polynomiets koefficienter, som er
a = 2,
b = 2 og c = −12.
Herefter beregner man diskriminanten
d = b 2 − 4ac = 22 − 4 · 2 · (−12) = 100.
(2)
Da d er positiv er der to rødder. Disse kan beregnes som
p
p
−b ± d −2 ± 100 −2 ± 10
x=
=
=
.
2a
2·2
4
4
(1)
1 2
−3
De to rødder er så
x=
−2 − 10
−2 + 10
= −3 og x =
= 2,
4
4
hvilket man også kan se på figur 5.7.
Figur 5.7: Polynomiet f (x) = 2x 2 + 2x − 12
har rødderne −3 og 2.
Eksempel 5.6
Her løses ligningen
−x 2 + 8x − 16 = 0
Koefficienterne er
(2)
a = −1,
b = 8 og c = −16,
og diskriminanten er
d = b 2 − 4ac = 82 − 4 · (−1) · (−16) = 0.
4
Ligningen har derfor løsningen
x =−
b
8
=−
= 4.
2a
2 · (−1)
(1)
1
Figur 5.8: Polynomiet f (x) = 3x 2 +2x+1 har
ingen rødder.
5 Polynomier
48
Eksempel 5.7
For at finde rødderne i andengradspolynomiet
f (x) = 3x 2 + 2x + 5,
beregner man diskriminanten
d = b 2 − 4ac = 22 − 4 · 3 · 5 = 4 − 60 = −56.
Da diskriminanten er negativ, har polynomiet ingen rødder, hvilket er
illustreret på figur 5.8.
5.4
Koefficienternes betydning
Der er en sammenhæng mellem grafen for et andengradspolynomium
f (x) = ax 2 + bx + c og koefficienterne a, b, c og diskriminanten d . I dette
afsnit ses nærmere på de sammenhænge, der gælder.
8 Argumentet gjaldt for polynomiet p(x) =
ax 2 , men da f (x) = ax 2 + bx + c er en
parallelforskydning af p(x), må der gælde
samme sammenhæng her.
I afsnit 5.2 ovenfor, blev der argumenteret for, at fortegnet for a afgør, om
parablen vender grenene opad eller nedad.8
b
Førstekoordinaten til toppunktet er x 0 = − 2a
. Hvis a og b har samme fortegn bliver x 0 derfor negativ. I dette tilfælde ligger toppunktet til venstre
for andenaksen. Omvendt må toppunktet ligge til højre for andenaksen,
hvis a og b har forskellige fortegn.
0
I den situation, hvor b = 0, får man x 0 = − 2a
= 0; her ligger toppunktet
altså placeret på andenaksen.
Hvis man indsætter x = 0 i forskriften for andengradspolynomiet, får
man
f (0) = a · 02 + b · 0 + c,
dvs. parablen går gennem punktet (0, c). c er altså skæringen med andenaksen.
Sammenhængen mellem diskriminanten d og parablens placering i koordinatsystemet blev gennemgået i foregående afsnit. Her blev der bl.a.
argumenteret for, at når d < 0 skærer parablen ikke førsteaksen.
Samlet set har man følgende sætning.
Sætning 5.6
Lad et andengradspolynomium være givet ved
f (x) = ax 2 + bx + c,
og lad d være diskriminanten.
Polynomiets graf er da en parabel, hvorom der gælder følgende:
1) Hvis a > 0 vender parablen grenene opad. Er a < 0 vender grenene nedad.
5.5 Faktorisering
49
2) Hvis a og b har samme fortegn, ligger toppunktet til venstre for
andenaksen. Har de modsat fortegn, ligger toppunktet til højre
for andenaksen; og er b = 0 ligger toppunktet på andenaksen.
3) Parablen skærer andenaksen i punktet (0,c).
4) Hvis d > 0 har parablen to skæringer med førsteaksen. Er d <
0 skærer parablen ikke førsteaksen; og er d = 0 rører parablen
førsteaksen i ét punkt.
5.5
Faktorisering
Hvis et andengradspolynomium f (x) = ax 2 + bx + c har to rødder r 1 og
r 2 , er disse givet ved
p
p
−b + d
−b − d
r1 =
∧
r2 =
.
2a
2a
Det viser sig, at i dette tilfælde kan polynomiet også skrives som
f (x) = a(x − r 1 )(x − r 2 ).
Man siger, at polynomiet er faktoriseret.9
Eksempel 5.8
Hvis man vil faktorisere andengradspolynomiet f (x) = 3x 2 − 3x − 6 skal
man først finde rødderne. For at gøre dette skal man først udregne diskriminanten,
d = b 2 − 4ac = (−3)2 − 4 · 3 · (−6) = 81.
9 At man kan foretage denne omskrivning,
kan man overbevise sig selv om ved at reducere
Ã
p !
p !Ã
−b − d
−b + d
x−
a x−
2a
2a
og se, at det giver ax 2 + bx + c.
De to rødder er derfor
p
p
−b + d −(−3) + 81
r1 =
=
=2
2a
2·3
og
p
p
−b − d −(−3) − 81
r2 =
=
= −1
2a
2·3
Polynomiet kan nu faktoriseres:
f (x) = a(x − r 1 )(x − r 2 )
= 3(x − 2)(x − (−1))
= 3(x − 2)(x + 1).
Det smarte ved at faktorisere et polynomium er, at man uden videre kan
aflæse rødderne.10 Faktisk gælder der, at et polynomium, der ikke har
rødder, ikke kan faktoriseres.
De to andengradspolynomier f (x) = ax 2 + bx + c og p(x) = x 2 + ba x + ac ,
må have de samme rødder.11 Faktoriseringen af p(x) må være
p(x) = (x − r 1 )(x − r 2 ),
da koefficienten til andengradsleddet er 1.
10 Hvis et andengradspolynomium har én
rod r , vil faktoriseringen være f (x) = a(x −
r )2 , og r kaldes da for en dobbeltrod.
11 Det følger af, at når ax 2 + bx + c = 0, må
der også gælde x 2 + ba x + ac = 0.
5 Polynomier
50
Ganger man parenteserne sammen får man
p(x) = x 2 − r 1 x − r 2 x + r 1 r 2 = x 2 − (r 1 + r 2 )x + r 1 r 2 .
Dette polynomium skal være det samme som det oprindelige, dvs. koefficienterne skal være de samme. Derfor er
−
b
= r1 + r2
a
c
= r1r2.
a
∧
Da polynomiet f (x) = ax 2 +bx+c har de samme rødder, må dette udsagn
også gælde for dette polynomium.
Dette kan bruges til at gætte rødderne i et andengradspolynomium.
Eksempel 5.9
Hvis man skal komme med et bud på rødderne i polynomiet f (x) = 4x 2 −
12x + 8 starter man med at beregne
−
b
−12
=−
= 3,
a
4
og
c 8
= = 2.
a 4
Ud fra de foregående argumenter kan man se, at summen af rødderne
(r 1 + r 2 ) skal give 3, mens produktet (r 1 r 2 ) skal give 2. Dette gælder kun
for tallene 1 og 2, derfor må det være rødderne.
Alle disse resultater kan opsummeres i følgende sætning.
Sætning 5.7
Hvis et andengradspolynomium f (x) = ax 2 +bx +c har mindst én rod,
kan det faktoriseres, dvs. skrives på formen
f (x) = a(x − r 1 )(x − r 2 ),
hvor r 1 og r 2 er de to rødder (hvis der kun er én rod, er r 1 = r 2 ).
For de to rødder gælder der desuden, at
b
r1 + r2 = − ,
a
og
r1r2 =
5.6
12 Et ekstremum er en samlet betegnelse
for et maksimum eller et minimum.
c
.
a
Polynomier af højere grad
Polynomier af grad større end 2 er ikke helt så simple at beskrive. På figur 5.9 kan man se grafer for polynomier af grad 3 til 6. Som man kan se
på figuren »vender« graferne flere gange, jo højere grad, polynomiet har.
De punkter, hvor grafen vender, kalder man polynomiets ekstrema.12
5.6 Polynomier af højere grad
51
(2)
Figur 5.9: Her ses graferne for fire polynomier af grad højere end 2. Som man kan se
på figuren, »bugter« grafen mere og mere,
jo højere grad, polynomiet har.
(2)
(1)
(a) Et tredjegradspolynomium.
(1)
(b) Et fjerdegradspolynomium.
(2)
(2)
(1)
(c) Et femtegradspolynomium.
(1)
(d) Et sjettegradspolynomium.
Da graferne kan have mange ekstrema, er det også muligt for grafen
at skære førsteaksen mange gange. Det er derfor ikke muligt at udlede
simple løsningsformler for rødderne.13
Ovenfor blev det gennemgået, hvordan man kan faktorisere andengradspolynomier. Polynomier af højere grad kan også faktoriseres, hvis
man kender rødderne. Helt generelt gælder der, at hvis r er en rod i polynomiet p(x) kan p(x) omskrives til
p(x) = (x − r ) · q(x),
hvor q(x) også er et polynomium. Graden af q er 1 mindre end graden af
p. Dvs. hvis p er et fjerdegradspolynomium, er q et tredjegradspolynomium osv.
Heraf kan man udlede, at et polynomium af grad n højst kan have n rødder. Der gælder derfor følgende sætning.
Sætning 5.8
1) Et polynomium af grad n har højst n rødder.
2) En n’te-gradsligning har højst n løsninger.
Da der ikke findes nogen generel løsningsformel til at bestemme rødderne i et n’te-gradspolynomium, må man anvende andre teknikker. CAS-
13 Der findes formler til at beregne rødder-
ne i et tredjegrads- og et fjerdegradspolynomium, men disse er meget vanskelige
at arbejde med. For polynomier af grad 5
eller højere er det derimod bevist, at man
ikke kan udlede en generel løsningsformel.[4]
5 Polynomier
52
værktøjer har som regel en indbygget »faktor«-funktion, der kan bruges
til at faktorisere polynomier.
Eksempel 5.10
Polynomiet f (x) = 2x 3 − 16x 2 + 2x + 84 omskrives vha. et CAS-værktøj til
f (x) = 2 · (x + 2) · (x − 3) · (x − 7),
hvorved man med det samme kan se, at dette tredjegradspolynomium
har rødderne −2, 3 og 7.
Eksempel 5.11
Fjerdegradspolynomiet f (x) = x 4 − x 3 − 19x 2 − x − 20, kan vha. et CASværktøj faktoriseres til
f (x) = (x − 5) · (x + 4) · (x 2 + 1).
Polynomiet har altså de to rødder −4 og 5.
At polynomiet ikke kan faktoriseres yderligere skyldes, at andengradspolynomiet x 2 + 1 ikke har nogen rødder. Det er også derfor, der kun er 2
rødder, selv om f (x) er et fjerdegradspolynomium.
I eksemplet ovenfor sås et fjerdegradspolynomium, der kun havde 2 rødder. Faktisk er det muligt at konstruere et fjerdegradspolynomium, der
slet ikke har rødder. Dette er til gengæld ikke muligt at gøre for et femtegradspolynomium. Grunden hertil kan man måske ane på figur 5.9. Generelt gælder der, at et polynomium af ulige grad altid vil have mindst én
rod.
Man kan i øvrigt bruge faktorisering til at konstruere et polynomium med
specifikke rødder, hvilket er vist i dette afsluttende eksempel.
Eksempel 5.12
Et tredjegradspolynomium med rødderne −1, 4 og 7 er f.eks.
f (x) = (x − (−1)) · (x − 4) · (x − 7),
hvor man kan gange parenteserne ud og få
f (x) = x 3 − 10x 2 + 17x + 28.
Bibliografi
[1]
Ole B. Andersen m.fl. Den dynamiske jord. Sumatrajordskælvet flyttede videnskaben. Danmarks
Rumcenter og GEUS. URL: http://www.geus.dk/viden_om/ddj/ddj.pdf.
[2]
Vernon D. Barger og Martin G. Olsson. Classical Mechanics: A Modern Perspective. 2. udg.
McGraw-Hill, Inc., 1995.
[3]
Petr Beckmann. A History of Pi. Barnes & Noble, Inc., 1971.
[4]
Victor J. Katz. A History of Mathematics. An Introduction. 2. udg. Addison-Wesley Educational
Publishers, Inc., 1998.
53
Indeks
A
Aftagende funktion, 14
Andengradsligning, 45, 46
Andengradspolynomium, 42
Faktorisering, 49, 50
Koefficienter, 42, 44, 48
Rødder, 45, 46
Areal af en trekant, 20, 27
H
Halveringskonstant, 11
Hosliggende katete, 24, 27
Hypotenuse, 22
Højde, 19
I
Invers
Cosinus, 26
Sinus, 26
Tangens, 26
B
Buelængde, 35
K
Katete, 22
Hosliggende, 24, 27
Modstående, 24, 27
Koefficient, 41
C
cos−1 , 26
Cosinus, 23, 25, 35, 36
Cosinusrelationerne, 31
D
Diskriminant, 44, 46
Dobbeltrod, 47, 49
L
Ligebenet trekant, 22
Ligefrem proportionalitet, 16
Ligesidet trekant, 22
Logaritme
Med grundtal 10, 7
Med grundtal e, 9
Regneregler, 8, 9
E
e, 9
Eksponentiel
Funktion, 10
Ligning, 8, 14
Ekstremum, 50
Enhedscirkel, 23, 25, 37, 38
Ensvinklede trekanter, 20
Eulers tal, 9
M
Median, 19
Modstående katete, 24, 27
N
Naturlig logaritme, 9
F
Faktorisering, 49–51
Fordoblingskonstant, 11
Funktion
Eksponentiel, 10
Periodisk, 36, 38
Potens-, 13
Trigonometrisk, 35, 36
Førstegradspolynomium, 41
O
Omvendt proportionalitet, 17
P
Parabel, 43
Toppunkt, 43, 44
Parallelforskydning af en graf, 42, 43
Periodicitet, 36
Periodisk
Funktion, 36, 38
G
Grundlinje, 19
54
Indeks
Polynomium, 41
Grad, 41
Potensfunktion, 13
Graf, 13
Potensregression, 17
Potensvækst, 15
Proportionalitet
Ligefrem, 16
Omvendt, 17
Pythagoras’ sætning, 22
R
Radian, 35, 36
Regression
Potens-, 17
Retningspunkt, 25
Retvinklet trekant, 22–24
Rod, 45, 51
S
sin−1 , 26, 37
Sinus, 23, 25, 35, 36
Sinusfælden, 30
Sinusrelationerne, 28, 32
Stumpvinklet trekant, 19, 25
55
Symmetriakse, 43
T
tan−1 , 26
Tangens, 23, 26, 35, 38
Titalslogaritmen, 7
Toppunkt, 43, 44
Trekant
Areal, 20, 27
Ensvinklede, 20
Ligebenet, 22
Ligesidet, 22
Notation, 20
Retvinklet, 22–24
Stumpvinklet, 25
Vilkårlig, 27
Trigonometri, 19
V
Vilkårlig trekant, 27
Vinkelhalveringslinje, 19
Vinkelsum, 19
Voksende funktion, 14
Vækst
Potens-, 15