Lærervejledning
Formål
Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at
eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker.
Hvilke overgangsproblemer løses med aktiviteten?
På gymnasiet oplever eleverne faglige udfordringer i den matematiske modellering, dvs. hvordan
kan vi ud fra virkeligheden lave en matematisk model, som efterfølgende kan bruges til at
forudsige elementer i virkeligheden. Dette kræver, at eleverne kan skifte mellem de forskellige
repræsentationsformer:




sprogliggørelse - formulere problemet med ord
tabel - systematisk og overskuelig præsentation
graf - visuel afbildning
formeludtryk - en matematisk model
Yderligere oplever eleverne på gymnasiet, at der i højere grad end i grundskolen lægges vægt på


præcision i sprogbrug
Det at skrive matematiske forklaringer
Færdigheds- og vidensmål
Opgaven tager udgangspunkt i modelleringskompetencen, lineære sammenhænge og
undersøgende arbejde.
Fra FFM kan forløbet bl.a. ramme:
Modellering (3):
Eleven kan vurdere matematiske modeller.
Eleven har viden om kriterier til vurdering af matematiske modeller.
Funktioner (1):
Eleven kan anvende lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer.
Eleven har viden om repræsentationer for lineære funktioner.
1
Kommunikation (3):
Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt om matematik på forskellige niveauer af faglig
præcision.
Eleven har viden om afsender og modtagerforhold i faglig kommunikation.
Forslag til læringsmål for forløbet:
Eleverne skal lære at anvende lineære sammenhænge med repræsentationsskift.
Eleverne kan vurdere hinandens modelleringsprocesser i forbindelse med arbejdet med praktiske
problemstillinger/undersøgelser.
En analyse af arbejdsprocessen
Nedenfor side ses en analyse af de forventninger vi har til hvordan elever vil gribe opgaven an.
MindMap’et kan også findes på nedenstående link
MindMap: (bubbl.us kan kopieres over i egen konto og arbejdes videre med)
2
Herunder følger en uddybning af hvilke teknikker eleverne skal anvende ved de forskellige trin.
nr. aktivitet
teknikker
1
Gæt
Kvalificeret gæt byggende på forholdsberegninger
2
Sæt elastikker sammen
-
3
Måle en elastik
aflæse lineal
4
Trial and error, fysisk
eksperiment
-
5
Indsamle datasæt
generere datasæt ved flere målinger
6
Begrænset datasæt
generere datasæt ved få målinger
7
Opstille ligning
kendskab til lineær sammenhæng og konstanternes betydning.
8
Division
dividere den ønskede afstand med en af de observationer
eleverne har foretaget
9
Gange op
prøve at finde et tal man kan gange en af de fysiske målinger med
for at opnå den ønskede afstand
10
Lave tabel
Systematisere datasæt i tabel
11
Løse ligning
løse 1. grads ligning af typen c=ax+b
12
Analog graf
Kunne afsætte punkter i koordinatsystem
13
Digital graf
Anvende IT-værktøj til grafftegning
14
Træk ned i regneark
Anvende IT-værktøj til at “lave” flere målepunkter
15
Tilføje ret linje med lineal
På øjemål indtegne den bedste rette linje
16
Tilføje tendenslinje
Bestemmelse af tendenslinje vha digitalt værktøj
17
Bruge 2 punkter,
hældningstal
udregne forskel hældningstal ud fra to punkter
18
Beregning af tilvækster
udregne forskelle og evt. udregne gennemsnit
19
Grafisk løsning
bestemme x på en graf når y er kendt (eller omvendt)
20
Aflæse forskrift
Bestemme a og b i lineær sammenhæng ved at se på grafen
3
Hvordan gennemføres undervisningen?
Eleverne inddeles i grupper med tre elever i hver. Her kan man overveje om eleverne skal
inddeles, således at gruppernes medlemmer er på samme faglige niveau.
Eleverne præsenteres for det overordnede problem og elevdokumentet udleveres. Herefter
arbejder eleverne på skift i grupperne (ca 15-20 min ad gangen), og der afholdes fælles
“konference”, hvor grupperne (evt. kun nogle af dem) for resten af klassen kort fremlægger de
undersøgelser, resultater og beregninger som de er kommet frem til for hinanden.
Når eleverne har præsenteret deres arbejde, hjælpes de med at kategorisere de forskellige
metoder og bidrag. Følgende spørgsmål kan stilles:


Hvad er ens og hvad er forskelligt ved de præsenterede metoder?
Er der en af metoderne, der er mere hensigtsmæssig i forhold til andre?
Efter første runde forventes at eleverne har identificeret at de kan variere antallet af elastikker og
måle højden.
Efter anden runde vil vi forventer at nogle elever har lavet sammenhængende målinger mellem
antal elastikker og højden.
Forløbet afsluttes fælles med, at eleverne tester det antal elastikker de er kommet frem til på den
angivne højde, og efterfølgende reflektere over spørgsmålet: Hvad kunne være gjort bedre?
Kravene til elevernes skriftlige produkt præsenteres ikke i starten af forløbet, da det vil kunne
bruges som disposition eller idebank for i hvilken retning vi som lærere ønsker, at eleverne skal
bevæge sig.
Nedenfor ses et forslag til de skriftlige krav en aflevering kan indeholde





præsentation af problemet
præsentation af hvilke undersøgelser der er foretaget
præsentation af data
analyse af data herunder grafer og beregninger
en konklusion, hvor der præsenteres hvad I er nået frem til.
Hvis ikke man ønsker en skriftlig aflevering kan forløbet afsluttes mundtligt, evt. som træning forud
for den mundtlige prøve, hvor de samme krav, som er beskrevet til den skriftlige opgave
præsenteres mundtligt.
4
Hvordan kan grupperne hjælpes videre undervejs i processen
(eksempler)?
Hvilke spørgsmål kan stilles hvis eleverne “strander” ved nogle teknikker og skal hjælpes videre?
Eleverne måler en enkelt elastik (nogle vil derefter kunne lave en ligning, men de når ikke i
gennem repræsentationsskift): Har I undersøgt om antallet I gætter på virker i virkeligheden
f.eks. på 2 m? (kan lede eleverne videre til at sætte flere elastikker sammen og prøve sig frem).
Begrænset datasæt (ved meget få datasæt vil usikkerheden bliver meget stor): Har I prøvet
om antallet virker i virkeligheden f.eks. på 2 m? Hvor sikre er I på, at I har en tilstrækkelig mængde
data?
Trial and error (eleverne prøver sig frem med fysiske eksperimenter og får usystematisk
data. Her efter ganger de op eller dividerer ud. Ingen repræsentationsskift.): På hvilken måde
kan I systematisere jeres undersøgelser? (spørgsmålet skal gerne lede eleverne på vej hen imod
at lave en tabel)
Bruge to punkter - stgningsstal (eleverne udvælger to punkter fra deres tabel, finder
hældningen og aflæser/ganger op/dividerer ud. De kan ende med to punkter der ikke passer
med datapunkterne): Hvilke overvejelser gjorde I, da I valgte netop de to punkter? Hvordan ser
det ud når I tegner det? Har I prøvet om antallet virker i virkeligheden f.eks. på 2 m?(spørgsmålet
skal give overvejelse over om de punkter man har valgt ud passer med resten af datapunkterne)
Trække ned i regneark (Eleverne skriver de første punkter ind i regneark, og trækker ned så
regnearket giver et bud på talrækkefølgen. Stor usikkerhed og ingen repræsentationsskift):
Har I prøvet om antallet virker i virkeligheden f.eks. på 2 m? Hvordan ser det ud når i tegner det?
Beregning af tilvækster (eleverne laver tabel og beregner stigningen ud fra gennemsnit af
deres datapunkter, og ganger op/dividerer ud): Hvordan passer jeres beregnede stigning med
virkeligheden? Hvis I tegner en graf ud fra jeres beregnede stigning, passer den så med “den
bedste rette linie” ud fra jeres datapunkter?
5