Formelsamling för matstat-delen av TMS063 Händelser (events): ∪ union, ∩ snitt, komplement. ∪ ∩ ∩ | | 1 Disjunkta händelser: ∩ och ∩ 0 Totala sannolikhetslagen: För disjunkta , , … , där ⋃ Ω ∩ ⋯ ∩ | ⋯ | Oberoende händelser A och B: | och ∩ Bayes sats: | ! för % 0 Räknetekniker (kombinatorik) Multiplikationsregeln: Om & alternativ i steg ' 1, … , (: & ⋅ & ⋅ &* ⋅ … ⋅ &+ Antal permutationer bland n objekt: &! & ⋅ & 1 ⋅ & 2 ⋅ … ⋅ 1 Permutationer av liknande objekt: Om & & & ⋯ &+ : &! & ! & ! ⋯ &+ ! Välja r objekt bland n när: • Ordningen spelar roll, utan återläggning &! & (! • Ordningen spelar roll, med återläggning &+ • Ordningen kvittar, utan återläggning & &! . / & ( (! (! • Ordningen kvittar, med återläggning & ( 1! & (1 0 1 ( (! & 1! Diskreta stokastiska variabler Frekvensfunktion: (1) 23 4 0 för alla 3 (2) ∑6 23 1 (3) 23 7 3 Kumulativ fördelningsfunktion: (1) 83 7 9 3 ∑:; <: 23 (2) 0 9 83 9 1 (3) Om 3 9 = så gäller 83 9 8= Väntevärde och varians: > ?7@ A 323 : B C7 ?7 > @ A3 > 23 ?7 @ ?7@ : För en funktion D7: ?D7@ ∑: D323 För konstanter a och b: ?E7 F@ E?7@ F CE7 F E C7 Diskreta fördelningar Diskret likformig fördelning: Om 7 ∈ H3 , 3 , … , 36 I , 3 9 3 9 ⋯ 9 36 : 1 23 , ' 1, … , & & 3 36 ?7@ 2 C7 :J K:L MN K Binomialfördelning OPQQ, R & 23 . / S : 1 S6K: 3 ?7@ &S, C7 &S1 S Geometrisk fördelning TUVR 23 1 S:K S ?7@ 1/S, C7 1 S/S Negativ binomial fördelning XOPQY, R 31 23 0 1 1 S:K+ S+ (1 ?7@ (/S, 7 (1 S/S Hypergeometrisk fördelning ZTUVX, [, Q \ ]\ ] 23 0 1 0 1/0 1 3 &3 & ^K6 ?7@ &S, 7 &S1 S . ^K / Poissonfördelning _VP` a Kb c: 23 ,3 0,1,2, … 3! > ?7@ c B C7 c Poissonapproximation av OPQQ, R Om &S % 5 och &1 S % 5 '&&, S e f'c där c &S. Normalapproximation Av Binomialfördelningen: 7 ∼ '&&, S och &S % 5 och &1 S % 5 7 &S e ]0,1 ~ &S1 S Med kontinuitetskorrektion: Kontinuerliga stokastiska variabler Täthetsfunktion: (1) 23 4 0 för alla 3 i (2) gKi 23h3 1 (3) E 9 7 9 F (4) 7 E 0 7 9 3 7 9 3 0.5 e Φ 0 j gk 23h3 Av Poissonfördelningen: 7~f'c, c % 5 7c ~ e ]0,1 √c Kumulativ fördelningsfunktion: : (1) 83 7 9 3 gKi 23h3 (2) (3) (4) (5) 0 9 83 9 1 Om 3 9 = så gäller 83 9 8= E 9 7 9 F 8F 8E E 9 7 9 F E l 7 l F i 323h3 Ki B C7 ?7 > @ i m 3 > 23h3 ?7 Ki För en funktion D7: i @ ?7@ ?D7@ m D323h3 Ki Kontinuerliga fördelningar Likformig fördelning no, p 1 23 FE E F > ?7@ 2 F E B C7 12 Normalfördelning Xq, rs 1 N N 23 a K:Kv /w , ∞ l 3 l ∞ √2uB ?7@ >, C7 B 7> 7 9 3 Φ 0 1 B Exponentialfördelning z{R` 23 ca Kb: , 340 > ?7@ 1/c B C7 1/c 7 l | | |7 % | 7 l | 1 Gemensamma fördelningar för X och Y Väntevärde och varians: > ?7@ m :M.K6 6K Diskreta variabler – frekvensfunktion: (1) 2 3, = 4 0 (2) ∑: ∑ 2 3, = 1 (3) 2 3, = 7 3, = Kontinuerliga variabler – täthetsfunktion (1) 2 3, = 4 0 (2) gKi gKi 2 3, =h3h= 1 (3) För en region ∈ i i 7, ∈ 2 3, =h3h= Marginalfördelning 2 3 7 3 ∑ 2 3, = (diskreta) 2 3 gKi 2 3, =h= (kontinuerliga) i Betingad fördelning (1) 2|: = :, : (2) 2|: = 4 0 (3) ∑ 2|: 1 (diskret) gKi 2|: =h= 1 (kont.) (4) =|7 3 2|: = (diskret) i ∈ |7 3 g! 2|: =h= (kont.) Kovarians f7, B ?7 > > @ ?7@ > > Korrelation f7, C7C B B B Räkneregler för väntevärde och varians: Oavsett om X och Y är oberoende eller inte: ?7 @ ?7@ ?@ ?7@ ?7@?@ f7, C7 C7 C 2f7, C7 C7 C 2f7, För oberoende variabler gäller f7, 0 Parameterskattning Momentmetoden Parametrar , , … , + skattas genom att lösa ekvationssystemet med ( ekvationer ?7 @ 6 1 A 7 , & 1,2, … , ( Maximum Likelihood-metoden Likelihoodfunktion 6 23 ; 23 ; ⋅ … ⋅ 236 ; h ln 0 h Väntevärdesriktig (unbiased) Stickprovs-medelvärde och varians 7 6 1 A 7 & 6 1 A7 7 &1 Konfidensintervall – ett stickprov För q, rs känd: 7 > ∼ ]0,1 ~ B/√& B > 3̅ ¡/ √& Ensidigt intervall: byt ¡/ mot ¡ . P-värde: Den ”exakta” signifikansnivån. 21 Φ| |om¥ : > § > ¢ 1 Φ om¥ : > % > Φ om¥ : > l > För q, rs okänd: 7 > ¨ ∼ |6K /√& > 3̅ |¡/,6K √& Ensidigt intervall: byt ut |¡/,6K mot |¡,6K . För rs : & 1 7 ∼ ©6K B & 1 & 1 9 B 9 © ¡ ©¡ K ,6K ,6K . Ensidigt intervall: byt ª/2 mot ª i ©6K Hypotestest av Xq, rs Test av , rs känd: ¥ : > > ,~ 7 > ∼ ]0,1 B/√& Alternativ: Förkasta om: ¥ : > § > l ¡/ eller % ¡/ ¥ : > l > l ¡ ¥ : > % > % ¡ Test av , rs okänd: 7 > ¥ : > > ,¨ ∼ |6K /√& Alternativ: Förkasta om: ¥ : > § > | l |¡,6K eller| % |¡,6K ¥ : > l > | l |¡.6K ¥ : > % > | % |¡,6K Test av rs : ¥ : B B ,7 & 1 ∼ ©6K B Alternativ: Förkasta om: ¥ : B § B 3 l ©K¡/,6K eller 3 % ©¡/,6K ¥ : B l B 3 l ©K¡,6K ¥ : B % B 3 % ©¡,6K Proportioner: ¥ : S S ,~ 7 &S e ]0,1 &S 1 S Alternativ: Förkasta om: ¥ : S § S l ¡/ eller % ¡/ ¥ : S l S l ¡ ¥ : S % S % ¡ Hypotestest– två oberoende stickprov För q¬ qs , rs¬ och rss kända: ¥ : > > h , ~ 7 7 h B B & & Alternativ: Förkasta om: ¥ : > > § h l ¡/ eller % ¡/ ¥ : > > l h l ¡ ¥ : > > % h % ¡ För q¬ qs , rs¬ och rss okända men lika: ¥ : > > h , ¨ 7 7 h 1 1 ®& & & 1 & 1 & & 2 Alternativ: Förkasta om: ¥ : > > § h | l |¡,6 M6 | % | N̄ L N K ,6L M6N K ¥ : > > l h | l |¡,6L M6N K ¥ : > > % h | % |¡,6L M6N K Goodness-of-fit: 7 A ° ∼ ©KK där &S . Förkasta om 7 % ©¡,KK . eller Formelblad för flervariabeldelen av TMS063 Trigonometri cos3 = cos3 cos= sin3 sin= sin3 = sin3 cos= cos3 sin= 1 cos3 cos= cos3 = cos3 = 2 1 sin3 sin= cos3 = cos3 = 2 1 sin3 cos= sin3 = sin3 = 2 tan3 = tan3 tan= 1 tan3 tan= Integralkatalog m 3 k h3 3 kM , E 1 m cos 3 h3 sin 3 E § 1 m m sin3h3 cos 3 m 1 h3 tan 3 cos 3 m a : h3 a : 1 1 3 m h3 arctan ,E § 0 3 E E E m m 1 √E 3 1 √3 E h3 arcsin 3 √E h3 ln ¶3 1 m h3 ln|3| 3 , 3 E%0 E¶ , E § 0 Användbart från tidigare kurser Partiell integration: m 23¸3 h3 23¹3 m 2 3¹3 h3 Variabelsubstitution: j »j m 2¸3¸′3 h3 m 2º hº k »k 1 h3 cot 3 sin 3 m E : h3 m E: , 0 l E § 1 ln E 2′3 h3 ln|23| 23 1 E 3 m E 3 h3 3 E 3 arcsin 2 2 √E m 3 E h3 E%0 1 33 E E ln ¶3 3 E¶ 2