[Planering Kap 1.1 Ma D] 2011‐03‐16 En stor del av Ma D – kursen handlar om trigonometri, trigonometriska satser och
trigonometriska funktioner. Till en början inför vi trigonometri för att kunna göra beräkningar
i rätvinkliga trianglar.
En rätvinklig triangel har en vinkel som är 90°, se figur nedan. Till följd av detta kommer
de båda andravinklarna att vara mindre än 90°. De trigonometriska definitioner och satser som
vi börjar med gäller alltså för vinklar som är mindre än eller lika med 90°.
Den längsta sidan i en rätvinklig triangel kallas hypotenusa. De sidor som bildar den räta
vinkeln kallas kateter.
I en rätvinklig triangel med sidorna a,b och c ( c är hypotenusan) gäller Pythagoras sats, som
används för att beräkna en av sidorna när de två andra sidorna är kända.
Pythagoras sats: a2 + b2 = c2 Beroende på vilka sidor man känner kan 2 fall uppstå:
a 2 + b2
1.
a, b kända c beräknas: c =
2.
b, c kända, a beräknas a = c 2 − b 2
Lär dig använda Pythagoras sats. Det är förmodligen en av de mest använda
geometriska satser vi känner. Väldigt viktig!!
I den rätvinkliga triangeln ( lika väl som i andra trianglar) är sidornas längder beroende av
vinklarnas storlek. I figuren ovan, om man ändrar vinkeln v, så förändras förhållandet mellan
Per Edblom Sandstensvägen 1 187 34 Täby e‐mail: [email protected] tel: 08‐7681217, 0707‐30 30 92 Sida 1 [Planering Kap 1.1 Ma D] 2011‐03‐16 sidorna. Det är detta som utnyttjas i trigonometrin. Vi börjar med att införa funktionen tan v (
läses tangens v)
Läs sid 8 – 9 noga. Tangens används när man känner en vinkel och en katet och vill beräkna
den andra kateten. Eller annorlunda uttryckt: förhållandet mellan kateterna kallas för tan v.
tan v =
motstående katet b
=
närliggande katet a
I figuren är b motstående katet
och a är närliggande katet.
c
b
v
a
Man kan bestämma värdet för tan v med hjälp av miniräknaren., eller genom att beräkna b/a.
När du i början använder räknaren för trigonometriska funktioner så är det viktigt att
kontrollera att den är inställd för att räkna med vinklar uttryckt i grader (°). Kontroller genom
att du får tan 45° = 1 ( På texas-räknare är TAN en egen tangent intill upphöjt till tangenten
på tredje raden) På Casioräknare är TAN en egen tangent längst till höger på tredje raden.
Om man räknaren inte ger dig tan 45°= 1, måste du ställa om räknaren från radian till degree i
Texas genom att trycka på Mode-tangenten och gå ner en rad med piltangenten. I Casio går du
in i Setup.gå ner till Angle och välj deg.
Räkna: 1103,04, 05, 1107, 08, 09
Om man ska bestämma vilken vinkel som ger kateterna 17, resp 38 i en rätvinklig triangel.
Man har alltså sambandet tan v = 17/38. man skulle kunna tolka det som en fråga, vilken
vinkel är det som ger tan v = 17/38 ?
På samma sätt som man kan bestämma tan –värden med räknaren kan man beräkna
vinkelstorlekar. Till det an vänds funktionen tan-1. Den finns som andra funktion till Tan på
räknaren. tan-1 kallas inversa funktionen till tan ( skrivs ibland inv tan)
Lär dig följande ekvationslösning:
tan v = 17/38 ger v = tan-1(17/38) dvs när man vet tangensvcärdet och vill veta vinkeln
använder man inv tan. Minnes regel inv tan = inte vet vinkeln.
Per Edblom Sandstensvägen 1 187 34 Täby e‐mail: [email protected] tel: 08‐7681217, 0707‐30 30 92 Sida 2 [Planering Kap 1.1 Ma D] 2011‐03‐16 v = inv tan(17/38) ger v = 24,1° ( slå 2nd tan, 17/38 ,= ) På Casio måste man själv lägga in
parenteser. Slå Shift tan ( 17/38) =
Läs 1113 NOGA! Detta gås igenom på lektion men är viktiga regler, som används ofta.
Ibland räknar man med exakta värden på sin och cos. det gör man speciellt när man har en en
45,45,90 triangel eller 30,60,90 triangel. Dessa trianglar förekommer ofta i olika typer av
problem och du bör lära dig dessa.
Räkna: 1115, 18,19
I godtyckliga trianglar ( ej rätvinkliga) finns ibland vinklar som är större än 90°. Man måste
därför inför definitioner för vad man menar med sin, cos resp tan för vinklar > 90°.
Läs sidorna 13 – 16 NOGA !! Lär dig de inramade definitionerna. sid 13 och 16 !
Räkna: 1122, 23, 24, 25, 27
Triangelsatserna
I trigonometri finns 3 viktiga satser som du måste behärska:
Areasatsen, cosinussatsen och sinussatsen. Ägna mycket tid åt detta. Läs sidorna 18 - 19
mycket nog aoch ge dig inte förrän du förstår.
Räkna: 1203, 04,05, 07, 11, 12, 13, 14
Sinussatsen
Läs sid 34-35. Lär dig sinussatsens lydelse. Observera att kvoterna kan skrivas på två sätt.
Man utnyttjar det så att man alltid börjar med den variabel som skall beräknas. Se rutan på sid
34 !
Räkna: 1216, 17, 18,19, 20
På grund av att ekv sin v = a har två lösningar v och 180 –v kan man i problem med trianglar
som löses med hjälp av sinussatsen ibland få 2 lösningar.
Se sid 23, där man reder ut detta.
Läs sid 24– 25 väldigt noga. det är viktigt att du vet att det ibland blir 2 lösningar och att du
förbereder dig på det.
Räkna: 1225, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 38
Per Edblom Sandstensvägen 1 187 34 Täby e‐mail: [email protected] tel: 08‐7681217, 0707‐30 30 92 Sida 3 [Planering Kap 1.1 Ma D] 2011‐03‐16 Cosinussatsen
Cosinussatsen, som påminner väldigt mycket om Pythagoras sats och är enklare att använda
än sinussatsen. Här kan det aldrig bli tal om 2 fall, eftersom cos v = a bara har en lösning 0 <
v < 180°
Se härledningen sid 28 - 29. Det viktiga här är inte att kunna härleda formeln ( även om det är
bra att du förstår hur man gör det) Det viktiga är att kunna använda cosinussatsen på ett rätt
sätt. Se ex 1241 sid 30 Följ beräkningarna noga där och se till att du förstår.
Räkna: 1242, 43, 44, 47, 48, 50, 52, 54
Räkna så många blandade uppgifter sid 34– 336, som du hinner med. Uppgifterna här
påminner väldigt mycket om de som kommer på et prov på detta kapitel 8
Per Edblom Sandstensvägen 1 187 34 Täby e‐mail: [email protected] tel: 08‐7681217, 0707‐30 30 92 Sida 4