HH/ITE/BN Derivator och Mathematica Något om Derivator och Mathematica Bertil Nilsson 2015-08-15 1 2 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN ť Förord På följande sidor presenteras en elementär "streetwise guide" till derivata med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges. ť Begreppet gränsvärde Gränsvärdesbegreppet är grundläggande inom den del av matematiken som brukar kallas analys. Definitionen av övriga begrepp som kontinuitet, derivata och integral vilar tungt på begreppet gränsvärde. Den första definitionen av gränsvärde gjordes omkring 1760 av den franske matematikern d´Alembert och den nuvarande definitionen infördes på 1820-talet av hans landsman Cauchy. Abstrakt materia och det har sedan dess presenterats konkurrerande definitioner, minst lika svårsmälta. Frågeställningen som ligger på bordet är "Hur uppför sig funktionen f x när x ligger nära ett visst tal a alternativt antar mycket stora positiva eller negativa värden?". Här handlar det inte om fall då f a kan beräknas helt odramatiskt, utan gränsvärdesbegreppet 0 är ämnat att ta hand om de bekymmer som kan uppkomma då vi försöker beräkna f a , exempelvis " 0 ", " " och " ". Med oändlighetssymbolen menas "ett tal som är stort bortom alla gränser". Att förtydliga med är aldrig fel. På motsvarande sätt lägger vi innebörd i . Notera att är en symbol för ett stoooort tal och denna kan man inte räkna med på samma sätt som med tal i . I Mathematica hämtas ur palette eller med inf på tangentbordet. Vi ska göra två definitioner men vädja till den intuitiva bilden som åskådliggörs. Först har vi fallet då x antar ett stort positivt tal, följt av ett exempel, sedan fallet då x går mot ett tal a. Definition. Antag att definitionsmängden till f inte är uppåt begränsad, det vill säga att det i varje öppet intervall Ω, finns minst en punkt i D f . Man säger att f x har gränsvärdet A då x går mot oändligheten om det till varje Ε f x A Ε då x Ω och x D f . 0 finns ett Ω så att f x A Ε A A Ε f x A eller f x A då x och säger ''Limes f x Vi skriver då limx då x går mot oändligheten är lika med A '' eller ''Att f x går mot A då x går mot oändligheten''. Ordet limes är grekiska och betyder gräns. Innebörden är att vi kan Ω göra Ε godtyckligt litet bara vi väljer Ω tillräckligt stort. Oftast blir Ω en funktion av Ε. Vi ser i figuren att innebörden är att Ω måste väljas så att för alla x Ω är f x innestängd i korridoren A Exempel : Visa att f x x 1 x 1 då x . Låt Ε 0 vara en godtycklig önskad noggrannhet. Vår uppgift blir nu att söka ett Ω så att för alla x f x 1 Ε x 1 x 1 Ε 1 varav tillräckligt stort x Ε . Så varje tal Ω 1 till att Ω inte behöver väljas skarpt Ε alla Ω 1 x Ε x 0 1 x x Ε, A Ε. f x Ω gäller Ε 1 är tillräckligt. Lägg speciellt märke Ε 1 duger ''onödigt'' bra. Vi ritar väl Ε 1 Ε 1 1 Ε x Ω en liten bild som vanligt. Definition. Antag att det i varje omgivning till punkten a, det vill säga ett intervall a Δ, a Δ , finns minst ett x D f . Man säger att f x har gränsvärdet A då x går mot a om det till varje Ε 0 finns ett Δ 0 så att f x A Ε då x a Δ och x D f . Vi skriver då limx a f x A eller f x A då x a och säger ''Limes f x då x går mot a är lika med A '' eller ''Att f x går mot A då x går mot a ''. Innebörden är att vi kan göra Ε godtyckligt litet bara vi väljer Δ tillräckligt litet. Oftast blir Δ en funktion av Ε. Vi åskådliggör med en figur, där innebörden är att Δ måste väljas så litet att för alla x a Δ, a Δ är f x innestängd i korridoren A Ε, A Ε . f x A Ε A A Ε a Δ a a Δ x På motsvarande sätt kan man fylla på med en bunta definitioner med alla kombinationer mellan f x går mot eller A då x går mot , a, a eller a där de två sista kallas för vänstergränsvärde respektive högergränsvärde med tecknet visande från vilken sida man närmar sig a. Man kallar dem ensidiga gränsvärden. Ett krav för att limx a f x ska existera är att vänster- limx a f x och högergränsvärdet limx a f x existerar och är lika. Vänstergränsvärdet skrivs ibland limx a f x "går upp mot" och högergränsvärdet limx a f x "går ner mot". Gränsvärde som existerar ändligt i kallas för egentligt gränsvärde medan de som går mot kallas oegentligt gränsvärde. Synonymt används existera respektive ej existera. HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 3 Till sist en liten invändning mot definitionerna ovan. Dessa kan bara användas då man redan känner gränsvärdet. I enkla fall kan man gissa och prova några kandidater och se om det går bra, men i det allmänna fallet är detta ingen framkomlig väg. I bland har man dessutom bara behov av att veta att man har ett egentligt gränsvärde utan att faktiskt behöva veta vad det är! Modern teori har metoder för att angripa dessa frågeställningar. När man beräknar ett gränsvärde undviker man att arbeta direkt med definitionerna. I stället har man från dessa härlett ett antal räkneregler och standardgränsvärden som man använder sig av. De presenteras här utan bevis, flera av dem är rätt självklara. Räkneregler Om f x 0 och g x begränsad, så gäller att f x g x Om f x A och g x B då x a, a , a , eller f x Om g x Om f x Om f x gx A B, f x gx 0 då n an så gäller f x AB, A B gx ifall B 0. a och f t A då t a så gäller f g x A. (sammansättning) A och g x A och f x h x g x så gäller h x A. (instängning) g x och f x A, g x B så gäller A B. (gränsövergång i olikhet) Standardgränsvärden 1 0 då x x an 0. om a då n 1 om a an existerar ej då n xΑ ax ln x xΑ 0 då x 0 då x xΑln x 1 om a 1 1 x x 1 om Α 0 då x 1 x x 1 Lägg speciellt märke till gränsvärdet 1 om a 0 0 om Α 0 n då x då x ln 1 x x x 1 x sin x x n 1 då x 1 då x 0 0 1 då x 0 n n an n n då n 0 då n a 1 då n om a 0 1 då n som är definition på den naturliga basen . Till slut återstår bara att höra vad Mathematica har att säga i ärendet. Funktionen heter naturligtvis Limit med optionen Direction för att indikera att ett ensidigt gränsvärde önskas. Naturligtvis är den bestyckad med utökade listor av regler och standardgränsvärden samt ytterligare mycket avancerad teori för att hantera verkligt komplicerade uttryck. Exempel: Bestäm gränsvärdet av 1 1 x x då x . Lösningsförslag: Alldeles för komplicerat för hand!! x 1 Limit 1 ,x x Exempel: Bestäm gränsvärdet av 1 2 x x då x . Lösningsförslag: Luktar ! 1 1 2 x x Skriv om med potenslagar 1 y 2 y 2 2 då y 1 1 x2 2 x2 Låt y x 2 så har vi att y då x enligt sammansättningsregeln ovan. x Limit 1 ,x x 2 Exempel: Bestäm gränsvärdet av Lösningsförslag: Vi får x2 1 x 1 x2 1 x 1 då x 1. 0 Av typen " 0 ". Konjugatregeln i täljaren Vi ser att det gäller att "bädda upp" innan det är dax att "gå i gräns". x2 1 x 1 ,x Limit 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 då x 1. 4 Derivator och Mathematica 2 Exempel: Bestäm gränsvärdet av x 3 x 1 då x HH/ITE/BN 1. Lösningsförslag: Vi får 2 x 3 x 1 2 0 Av typen " 0 ". Förläng med täljarens konjugatkvantitet 4 x 3 x 1 x 3 x 1 2 1 x 3 x 1 2 2 1 4 x 3 då x x 3 2 x 3 Konjugatregeln Hyfsa x 3 x 1 2 1. 0 Att meka om med "vanlig" algebra innan det är dax att "gå i gräns" är standard. Se här att " 0 " kan bli "vad som helst!" Beware!! 2 x 3 ,x Limit x 1 1 1 4 x2 Exempel: Bestäm gränsvärdet av x x då x . Lösningsförslag: Vi får x2 x x2 x x Av typen " x2 x x2 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 1 Frestas aldrig att ge " x2 Limit x2 x x x x Konjugatregeln Hyfsa 1 1 x 1 1 x2 x " ", Dividera med nämnarens dominerande term Här x x2 x x x ". Förläng med konjugatkvantiteten x Standardgränsvärde 1 1 0 1 1 2 då x x2 x Potenslag 1 . 1 " värdet 0! Kan bli "vad som helst"! Beware!! x x, x 1 2 Exempel: Bestäm gränsvärdet av x cos x sin x x x2 då x 0. Lösningsförslag: Vi får x cos x sin x x x2 0 Av typen " 0 ". Dividera med nämnarens dominerande term Här x sin x cos x x Standardgränsvärde 1 x Eftersom sin x x aldrig att ge 1 1 1 0 2 då x 0. är "det enda" vi kan i trigonometriska branschen är det bara att sikta på detta och skriva om! Dé måste gå Frestas 0 "0" värdet 1! Kan bli "vad som helst!" Beware!! x Cos x Sin x Limit ,x x 0 x2 2 Exempel: Bestäm vänster- och högergränsvärdet av Heavisides stegfunktion Θ x 1 x 0 x 0 då x 0 Lösningsförslag: Vanlig strömbrytare när man räknar på elektriska kretsar, ej definierad för x vänster- följt av högergränsvärdet. Limit 0, 1 1 x 0 x 0 ,x 0 0, Direction 1, Limit 1 x 0 x 0 ,x 0 0. 0. Vi tar hjälp av Mathematica för 0, Direction 1 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica Exempel: Visa standardgränsvärdet sin t t 1 då t 5 0. Lösningsförslag: En titt i tabellen över standardgränsvärden indikerar att detta är det enda som avhandlar trigonometriska funktioner, och är därmed en slags prototyp som man alltid ska ha som mål för sina omskrivningar i sådana situationer. Notera att t är en vinkel som naturligtvis mäts i radianer. Vi inser att det inte spelar någon roll från vilken sida vi närmar oss 0 i denna gränsövergång 0 av typen " 0 ", ty sin t t sin t t sin t t . Så vi tar hjälp av enhetscirkelns första kvadrant där areamåtten för två rätvinkliga trianglar och en tårtbit är lätta att rangordna. y 1 cos 2 1 cos 2 1 tan t t 2Π t 2Π t sin t t sin t Π 12 Π 12 1 2 1 2 1 tan t 1 sin t cos t sin t 1 Arean för två trianglar 2 bas höjd samt tårtbit där emellan. Men tan t def sin t cos t . Dividera 1 nu de tre leden med 2 sin t t sin t t lim sin t t 0 1 cos t cos t 1 t cos t 1 x Nu är det ok att gå i gräns, t 1 Färdig t lim sin t t 0 0 cos t 1 1 med instängning Höger- och vänstergränsvärdena är alltså lika, och därmed är saken klar. Detta vet naturligtvis Mathematica Sin t ,t Limit 0 t 1 ť Kontinuerliga funktioner En funktion f säges vara kontinuerlig i punkten a om a D f och funktionen har ett gränsvärde då x a. Då är limx a f x f a. Om f är kontinuerlig i alla punkter i D f säges den vara en kontinuerlig funktion. En funktion kallas diskontinuerlig i punkten a om a D f och funktionen saknar gränsvärde då x a. Kontinuerliga funktioner är "trevliga" att ha att göra med. Av räknereglerna för gränsvärden följer nämligen att f x gx f xgx f och g kontinuerliga f x gx kontinuerliga. f gx f x Lite populärt kan man säga att en kontinuerlig funktion, precis som namnet antyder, kan ritas utan att lyfta på pennan, det vill säga dess graf hänger ihop. Det finns gott om teori för kontinuerliga funktioner, speciellt kokar nästan all tillämpad matematik ned till två grundläggande problem, nämligen sökning av rötter eller nollställen till en kontinuerlig funktion Satsen om mellanliggande värden. Om funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , så antar funktionen i detta intervall varje värde mellan f a och f b . och maximering eller minimering av en kontinuerlig funktion Satsen om största och minsta värde. Om funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , så är f uppåt och nedåt begränsad i detta intervall. Vidare har f ett största och ett minsta värde i detta intervall. Dessa satser är trots sin intuitivt nästan enkla innebörd svårare att besvisa än vad som kan förmodas. Vi nöjer oss med att konstatera att vi har makterna med oss! 6 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN ť Begreppet derivata Antag att en funktion f är definierad i en omgivning till punkten a. Om gränsvärdet lim f a h f a h h 0 existerar, säges f vara deriverbar i punkten a och gränsvärdet kallas f:s derivata i punkten a och skriver f ' a och pratar om "f prim". Analogt pratar man om höger- respektive vänsterderivata i punkten a beroende på från vilket håll man närmar sig a. För att f ska få kallas deriverbar måste dessa vara lika och alltså oberoende av om h är positiv eller negativ. Man kan illustrera gränsövergången som en bukett sekanter, det vill säga en rät linje som går genom två punkter på kurvan, som tvingas ned till att bli en tangent och därmed beröra kurvan i endast en punkt a, f a . y y y f x y f x f' a y lim x 0 y kT tan Θ lim x f a h f a h h 0 f' a Θ x a x a h a a h x Derivatans geometriska betydelse är välkänd. Om f är deriverbar i punkten a så är kT f ' a tan Θ riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y f x i punkten a, f a . Ibland är man också intresserad av normalen i samma punkt, vilket är en linje som är vinkelrät mot tangenten. Om kN är normalens riktningskoefficient kan man visa att kT kN 1. Vi sammanfattar situationen kT f ' a , kT kN 1 så med enpunktsformeln har vi y y f a f a kT x a tangentens ekvation i punkten a, f a . kN x a normalens ekvation i punkten a, f a . Om f är deriverbar överallt i sin definitionsmängd säges f vara en deriverbar funktion. Då är f:s derivata f ' x en funktion av x med samma definitionsmängd som f. Inte sällan skrivs f x och ibland kortare f ' eller D f . Även beteckningen y ' eller mer, varvid y är att uppfatta som en förkortning av f x . När man ska derivera hela uttryck skrivs ofta y x förekom- , vilket ska tolkas som x att en deriveringsoperator verkar på uttrycket inom parentes. Om f är en deriverbar funktion så är den också kontinuerlig. Omvändningen gäller ej! Det typiska exemplet är absolutbeloppet x som är kontinuerlig men inte deriverbar för x 0. Så funktioner vars grafer innehåller "skarpa hörn" är inte deriverbara där. Eftersom derivatan är en ny funktion är det naturligt att definera andraderivatan till f som derivatan av f '. Denna skrivs f '' och vi n säger "f biss". Analogt definieras derivator av högre ordning. Den n-te derivatan till f skrivs f y f x. n , Dn f , f xn , Dn y, y n eller n y xn där Inom fysik är tidsderivator mycket vanliga, till exempel har vi hastighet som är tidsderivatan av läget med avseende på tiden och accelerationen som är andraderivatan av läget med avseende på tiden. Tidsderivator har därför givits ett förkortat skrivsätt med prickar, förstaderivatan x t 2 x utläses "x prick" och andraderivatan x t2 x "x prick prick". Strategin som man alltid ska följa vid derivering för hand är att systematiskt med hjälp av deriveringsregler bryta ned det givna uttrycket till en mängd derivator av elementära funktioner, ofta kallade standardderivator (SD). Vi sammanfattar. Deriveringsregler, k konstant, f och g deriverbara kf ' kf ' f g ' f ' g' f g ' f 'g f g ' f g ' x f 'g f g' g2 f gx ,g 0 y y x u u x i gruvan f x f' x k xΑ 0 ΑxΑ x x Kvotregeln f ' g x g' x g ' x kallas inre derivata Vanlig form Konstantregeln Summaregeln Produktregeln Standardderivator, SD Kedjeregeln 1 ln x 1 x sin x cos x cos x sin x tan x 1 cos2 x 1 tan2 x HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 7 Naturligtvis är Mathematica bestyckad med en mycket villig arbetshäst, D[f,x]. Vill man derivera n 2 gånger skriver man D[f,{x,n}]. I palette finns dessutom den något "opålitliga" . Ta alltid för vana att i rutan sätta parenteser runt det som skall 2 deriveras! Exempelvis x x Sin 2x . Sedan gäller det i stort sett bara att skriva av rätt! Nu är det bara att sätta igång! x2 med hjälp av definition. Exempel: Bestäm derivatan av f x Lösningsförslag: Vi mäter våra krafter mot något vi har facit till. f' x lim f x h f x lim h h 0 h 0 x h 2 x2 h lim h 0 x2 2 xh h2 x2 h lim 2x 2x. Ok med SD ovan, x2 ' h 2x2 1 2x. h 0 Dx2 , x 2x Exempel: Bestäm derivatan av f x x x. Lösningsförslag: Vi har med potenslagar och SD. Vänj dig vid skrivsättet f' x x Dx 3 x x x1 x1 2 x x x1 12 x x3 2 . x 3 32 1 x 2 SD, derivera 3 12 x 2 3 x . 2 x , x x 2 x2 Exempel: Bestäm derivatan av f x 5cos 2x . Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin! Vänj dig vid skrivsättet x x x x x2 5cos 2x x2 x2 5 x2 5 2 x x 2x2 Dx2 2x 5 1 Summaregeln. 5cos 2x x x u u 5 Konstantregeln. cos 2x cos u och träna så här omständigt!!! x Kedjeregeln u x cos u 2 2x sin u 2 1 2x. Konstantregeln. x x gx Endast SD kvar, derivera 2x ty, x1 ' 10sin 2x 1 x1 1 1 x0 1 1 1. Byt tillbaka u 2x. Hyfsa 5 Cos 2 x , x 10 sin 2 x 3x4 x2 Exempel: Bestäm derivatan av f x . Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin! Vänj dig vid skrivsättet u u u u 3x4 x2 x u u u u1 2 x x x x x2 2x 12 2 x2 3 x4 3 x4 x3 3 x4 , x Kedjeregeln u 3x4 x2 x2 x x2 v x v v v gx x2 3x4 Summaregeln. 3x4 v x2 1 12 1 u 2x2 1 2 D och träna så här omständigt!!! x Kedjeregeln v 3x4 3 x 3x4 . Potenslagar och konstantregeln. x4 Endast SD kvar, derivera 1 3 4x4 1 2 hx x2 2x 3x4 12x3 3x4 Byt tillbaka u och v. Hyfsa 8 Derivator och Mathematica Exempel: Bestäm tangenten och normalen till kurvan y ln 2x3 i punkten a HH/ITE/BN 3. Lösningsförslag: Funktionen och dess derivata. Kontrollera för hand att Mathematica deriverar och räknar rätt ! : Log2 x3 f x f' x 3 x Enpunktsformeln y tangent y x f a kT x Solve y 3 a där kT f 3 f' 3 f ' a och a x 3 ger nu tangenten. Sedan normalen på samma sätt med kT kN 3 ,y log 54 1 normal Solvey x f 3 3 , y f' 3 y x 3 log 54 En bild piggar alltid upp Plot Evaluate PlotStyle f x , y . tangent, y . normal , x, 2, 4 , AspectRatio Red, Blue, Orange , AxesLabel "x", "y,yT ,yN " Automatic, y,yT ,yN 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x Att derivera en funktion på parameterform innebär helt naturligt att derivera varje koordinatfunktion var för sig. pu p u xu,yu, x , u y u , Exempel: En partikel rör sig i en cirkulär bana i xy-planet, p t Parameterform. Derivera 1 1 cos 2 t, sin 2 t. Sök dess hastighet som funktion av tiden. Lösningsförslag: Partikeln rör sig moturs på en cirkel med radien lika med 1. Hastigheten får vi genom att derivera läget med avseende på tiden. 1 1 Parameterform. p t cos t, sin t p' t 1.0 pt 2 p t p t 2 1 1 t cos 2 t, t sin 2 t 1 1 1 p' t sin 2 t, cos 2 t 2 y Derivera Glöm inte kedjeregeln 0.5 Hastigheten Hastigheten är en så kallad vektor. En sådan har både riktning och storlek. När det gäller hastighet så kallas dess storlek för fart. Så i bilen har vi strängt taget en fartmätare och inte en hastighetsmätare eftersom vi inte får någon information åt vilket håll vi kör Återkommer till detta senare i kursen Här nöjer vi oss med att rita ut läget med en blå vektorpil och hastigheten med en röd. Som väntat pekar hastighetspilen i färdriktningen längs banan t2 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.0 x 1. HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 9 ť Partiell derivata Vi har tidigare stiftat bekanskap med funktioner som har flera oberoende variabler och en beroende variabel. På samma sätt som vid analys i en variabel är man även i dessa fall intresserad av hur funktionen beter sig i närheten av en punkt, det vill säga derivata. så definierar vi analogt med det endimensionella fallet de partiella derivatorna Antag att vi har en funktion z f x, y : 2 med avseende på x respektive y i punkten x, y f fx x f x h,y lim f x f h h 0 fy y f x,y h lim f om gränsvärdena existerar. Utvidgning till n oberoende variabler är odramatisk f y h h 0 f xi xi f x1 , lim ,xi h, ,xn f x1 , ,xn . Inget h h 0 märkvärdigt, räknetekniskt gör man som vanligt, det vill säga deriverar med avseende på den variabel som önskas och låter de andra oberoende variablerna vara konstanter vilka som helst. För att markera att det handlar om partiell derivata skriver vi i stället för och vid '-beteckning måste vi ange i ett subindex vilken variabel vi avser att behandla. Eftersom vi vilar på samma gränsvärdesfundament som i envariabelfallet kommer hela arsenalen av exempelvis deriveringsregler och standardderivator att ärvas över. De partiella derivatorna i en given punkt x0 , y0 kan tolkas geometriskt, se den informationstäta figuren och låt färgpennan hänga med . Skär ytan z f x, y med ett plan x x0 parallellt med yz–koordinatplanet och ett plan y y0 parallellt med xz–koordinatplanet. Skärningspunkten mellan dessa tre geometriska objekt blir i rymdpunkten x0 , y0 , f x0 , y0 markerad med en . Skärningen mellan ytan och planet x x0 blir en funktion z f x0 , y och den partiella derivatan f y x0 , y0 är nu riktnings– koefficienten för tangenten till kurvan z f x0 , y i punkten x0 , y0 . På motsvarande sätt inses att den partiella derivatan fx x0 , y0 är riktnings– koefficienten för tangenten till kurvan z f x, y0 i punkten x0 , y0 . Dessa tangenter ligger naturligtvis i respektive skärningsplan. x3 Exempel: Låt funktionen f x, y f Lösningsförslag: Vi får direkt 3x2 x 4xy2 5y 4y2 xsin 2 y 7 vara given. Bestäm de partiella derivatornna f sin 2 y och y 5 8xy f x och f y . 2xcos 2 y . I Mathematica är det samma gamla funktion D som gör jobbet. x3 f 5y 4 x y2 x Sin 2 y pd D f, x , D f, y 3 x2 4 y2 sin 2 y , 8 x y 7; 2 x cos 2 y Π 5 Π Π Exempelvis i punkten 1, 4 har vi då fx 1, 4 och f y 1, 4 Π pd . x 1, y 4 Π2 ,5 4 2 Π 4 Eftersom derivatan av en funktion är en ny funktion kan vi fortsätta derivera. Utvidgning av de partiella derivatorna av andra ordningen går till som i det endimensionella fallet och är fyra till antalet då vi har två oberoende variabler f x, y . 2 f x2 2 x f y2 y f x f y 2 f x fx fxx'' y x y fy '' f yy x y 2 y f x f x f y y fx '' fxy x fy '' f yx Lägg märke till att för varje derivata så fyller man på subindexlistan "i slutet". Exempel: Bestäm de partiella derivatorna av andra ordningen till f x, y i föregående exempel. Lösningsförslag: Eftersom vi redan bestämt de partiella derivatorna av första ordningen, f y 5 8xy 2xcos 2 y får vi direkt 2f x2 6x, 2f y x 8y 2cos 2 y , 2f x y 8y 2cos 2 y och f 3x2 x 2f y2 4y2 sin 2 y och 8x 4xsin 2 y . 10 Derivator och Mathematica 2 Vi ser att 2 f y x f x y HH/ITE/BN . Detta är ingen tillfällighet utan en regel. Det spelar alltså inte någon roll i vilken ordning vi deriverar, först x sedan y eller tvärtom. I D är det bara att lägga till ett argument. D f, x, x , D f, x, y 6 x, 8 y 2 cos 2 y Alla derivator av andra ordning (samlade i en matris som kallas Hessianen). Outer D f, 1, 2 &, x, y , x, y 6x 8y 2 cos 2 y 8y 8x 2 cos 2 y 4 x sin 2 y Det bör nu inte förvåna någon att tredje, fjärde och högre ordningens partiella derivator definieras på liknande sätt, exempelvis x '' f yx 3 och f yxx y 3 f yyx 4 . I Mathematica är det bara att fortsätta hänga på argument, så om vi fortsätter med exemplet ovan f yyxy 3 4 och f yyxy . har vi f yxx D f, y, x, x , D f, y, y, x, y 0, 8 cos 2 y 4 '' 3 4 Så här ser exempelvis resan fram till f yyxy ut. Det börjar med f själv, följt av f y , f yy , f yyx och slutligen f yyxy . FoldList D, f, y, y, x, y x3 4 y2 x sin 2 y x 5y 7, 8 x y 2 x cos 2 y 5, 8 x 4 x sin 2 y , 8 Exempel: Antag att vi är ute och orienterar med höjdkartan h x, y punkten x, y 3, 4 och vill veta hur det lutar i olika riktningar. sin x 4 sin 2 y , 8 cos 2 y cos y , x 0, 2Π , y 0, 2Π och befinner oss i Lösningsförslag: Vi börjar med att rita en bild över terrängen med vår position markerad med en . Vi får de partiella derivatorna hx cos x , h y sin y , som i vår position har värdena hx cos 3 0 och h y sin 4 0. Så det är nerförsbacke i positiv x-riktning (österut) och uppförsbacke i positiv y-riktning (norrut). Eftersom vi har en "snäll" funktion innebär det även att vi har uppförsbacke västerut och nerförsbacke söderut. Verkar stämma bra med det visuella intrycket man får av bilden. D Sin x Cos y , . x 3., y 4. cos x , sin y 0.989992, 0.756802 & x, y HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 11 ť Implicita funktioner Med en implicit funktion menas samband på formen f x, y 0, där det är svårt, onödigt eller rent av omöjligt att skriva om på explicit form y f x . Att derivera en implicit funktion är inte värre än att derivera en explicit. Man deriverar helt enkelt båda sidor med avseende på den variabel som önskas. Det är alltså som vanligt med "ekvationer", ska något göras ska det göras på båda sidor! Om vi tänker efter så är ju derivatan av en explicit funktion ett specialfall av den implicita, till exempel bestäm derivatan av y x2 x y x y x2 x 2x. I Mathematica används Dt[ekv,x] och Dt[ekv,{x,n}] för implcit derivering, (eng. total derivative). Vi tar några exempel. Tänk på att vara petnoga!! Exempel: Bestäm derivatan av y arccos x . Lösningsförslag: Detta är det första av tre urexempel på implicit derivering. Vänj dig vid skrivsättet och träna så här x omständigt!!! y arccos x x x x 1 Definition Derivera implicit med avseende på x Kedjeregeln. y cos y y Endast SD kvar x y sin y y cos y cos y x x x Trig. ettan x 1 x sin y 1 Plugga sedan in cos y 1 x cos2 y . Här gäller y x och lös ut x 2 eftersom y Varccos 0, Π sin y 0. . D ArcCos x , x 1 x2 1 Exempel: Bestäm derivatan av y arcsin x . Lösningsförslag: Detta är det andra... y arcsin x x x 1 x x x y cos y y x sin y sin y sin y Derivera implicit med avseende på x Kedjeregeln. y Endast SD kvar x y Trig. ettan x 1 x Definition cos y 1 Plugga sedan in sin y sin2 y . Här gäller x och lös ut 1 x2 y x eftersom y Varcsin . D ArcSin x , x 1 x2 1 Exempel: Bestäm derivatan av y arctan x . Lösningsförslag: Detta är det tredje... arctan x y x x 1 D ArcTan x , x 1 x2 1 x x 1 x y x tan y Definition tan y Derivera implicit med avseende på x Kedjeregeln. y tan y tan2 y Endast SD kvar x y y 1 x x 1 x2 Plugga in tan y x och lös ut y x . Π Π , 2 2 cos y 0. 12 Derivator och Mathematica y Exempel: Bestäm x i punkten 2, 1 då 4x y3 HH/ITE/BN 6x2 . 16 Lösningsförslag: Vi söker alltså tangentens riktningskoefficient i punkten 2, 1 . Typisk implicit derivering. Vi använder oss av strategin på båda sidor om likhetstecknet! Vänj dig vid skrivsättet x 4x y3 16 4 x x y3 4 4 x y3 x 4 1 y3 4 y3 Dt4 x y3 ekv y 4 y3 12 x y2 16 x x y3 x x x x x y x 3y3 3xy2 y 6 16 6 x2 , x 6x2 6 x Summaregeln och konstantregeln. x2 y3 y3 1 y x 4 1 x y x 24 och träna så här omständigt!!! x x y x Produktregeln. 16 x 6 16 6 2x2 0 x x2 6 x Kedjeregeln. x2 Endast SD kvar 1 Hyfsa 12x y x Sätt in x 5 6 Lös ut 2, y y x 1. . 12 x x dydx y Solve ekv, Dt y, x 3x y3 3 x y2 x Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att x och y byts ut i dydx . Rule a , b y 5 x 6 Rule a, b . x 2, y y x . Enklare för hand 1 Samma resultat får man med den vanliga deriveringsfunktionen D[ekv,x]om man talar om vad som är funktioner av x, här y x . Dt[ekv,x]däremot deriverar allt som kommer i dess väg som om det vore en funktion av x, det vill säga den lever upp till sitt namn (eng. total derivative). Vilken man använder är en smaksak och vad man tänkt göra med uttrycket efter derivering och naturligtvis hur den implicita funktionen är representerad i Mathematica. Utan tröttande kommentarer kör vi snabbt igenom exemplet igen med D istället. Jämför noga alla steg med Dt ovan! ekv 4yx D4 x y x 3 dydx 3 12 x y x y x 6 x2 , x 16 2 12 x Solve ekv, y ' x 3x yx y x 3xy x dydx . x 2 3 2, y x 1 5 y 2 6 Om vi jämför de två funktionerna D och Dt ser vi att de har sina för- och nackdelar. D deriverar bara det som är funktioner, typ y x , och betraktar allt annat som konstanter. Dt däremot deriverar allt, och ger dessutom lite snyggare utskrifter på formen y x . Priset man får betala vid Dt är att man måste ange vilka variabler som är konstanter och ett (mycket) komplicerat ReplaceAll (/.) i vissa situationer när man ska sätta in numeriska värden. Kolla noga i exemplet ovan igen. Även i kommande exempel kommer vi att använda båda metoderna så det blir gott om tillfällen att väga dem mot varann. Generellt kan man kanske säga att när man löser problem med Mathematica så är nog D den mest bekymmersfria varianten, dessutom är det ju ingen nackdel att hålla lite ordning på vad som varierar! Å andra sidan kommer det man gör för hand med naturlig användning av kedjeregeln mest likna det som Dt levererar. HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 5sinxy2 Exempel: Givet kurvan x y y x. Sök x 13 . Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin på båda sidor om likhetstecknet! Var noggrann! x x x x x x 5sinxy2 x y x y x x y x x y x x y x x y x y 1 1 y x x Summaregeln. x y y y y 5 y y1 2 y1 2 x 1 12 1 y y 2 x y 5y2 cosxy2 x x sinxy2 x y 5 x y 5 x y u x sin u u u 5 x Produktregeln och konstantregeln. x sin u x 5 cos u 1 y2 Kedjeregeln, vid xy2 x sin u x x y2 x x y2 x x 2y2 x x x y 1 y x y2 y2 x y x x x 1 Kedjeregeln. x Endast SD kvar Byt tillbaka u. Hyfsa Lös ut 10x y cosxy2 Dtx y 5 Sinx y2 x, x y x x 2 y 5 cosx y2 y2 2x y y 1 x y Solve ekv, Dt y, x 2 y x y 5 cos x y2 y2 y x 20 cos x y2 y3 2 1 1 Samma resultat får man naturligtvis med den vanliga deriveringsfunktionen D. ekv Dx xy x 2 y x 2 5 Sinx y x 5 cosx y x 2 y x 2 x, x 2xy x y x yx 1 yx Solve ekv, y ' x 2 y x 5 cos x y x 2 y x x 20 cos x y x yx 2 2 yx yx 32 mellan tryck och volym. Bestäm p då p 2, V 1 1 Exempel: För en viss typ av gas gäller sambandet pV 2 3 och V 18 6. Lösningsförslag: Först en liten bild över situationen. 18 Plot , V, 2, 4 , PlotStyle V2 p 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 V y och u gx Potenslagar och produktregeln. y 2 ekv x x 5sinxy2 Orange, AxesLabel "V", "p" y x xy2 . 14 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Sedan implicit derivering av uttrycket med avseende på tiden t vid godtycklig tidpunkt t. Typisk tillämpning, inget t i uttrycket så långt ögat når, men här inser vi att t ligger dolt i både V t och p t . Så Dtp V2 ekv 18, t p V2 V 2 pV 0 t t Lös ut derivatan av trycket med avseende på tiden, det vill säga p dpdt p t . Solve ekv, Dt p, t V 2p p t V t Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att p och V byts ut i dpdt . Rule a , b Rule a, b . Dt V, t p t och 6 . p V t . Enklare för hand 2, V 3 p 8 t Å en gång till med D. ekv V t Lös ut p Dp t V t 2 p t 2 18, t 2pt V t V t 0 och sätt in numeriska värden. t dpdt Solve ekv, p ' t 2pt V t p t V t dpdt . V ' t p t 6, p t 2, V t 3 8 Om man vill så kan man naturligtvis sätta in numeriska data först och sedan lösa ut p ' t . Vi provar i senaste varianten med D. Gör själv detta i fallet med Dt! numekv 9p t ekv . V ' t 72 6, p t 2, V t 3 0 Solve numekv, p ' t p t 8 Exempel: En surströmmingsburk sväller med 2 mm3 dygn under det att den behåller sin cylindriska form. Vid en tidpunkt var radien r 50, höjden h 40 och r t 1 . Sök 2 h t vid denna tidpunkt. Lösningsförslag: Implicit derivering av cylinderns volym med avseende på tiden t vid godtycklig tidpunkt t. Detta är en typisk tillämpning på hastighetsproblem att derivera ett rent geometriskt uttryck med avseende på tiden. Lös sedan ut ekv Π r2 h, t DtV V h Π r2 r 2Πhr t t dhdt h t t Solve ekv, Dt h, t V t 2Πhr Π r2 r t Simplify h . t HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 15 Slutligen är det dax för numeriska data. Lite teknisk ReplaceAll(/.) för att undvika att r och h byts ut i r t och h . t Enklare för hand att sätta in värden direkt efter implicit derivering ovan 1 dhdt . Rule a , b Rulea, b . Dt V, t 2, Dt r, t . r 50, h 40 2 h 2 2000 Π t 2500 Π Kör på med D också. ekv DV t V t Πr t 2h t dhdt Πr t 2 h t , t 2Πh t r t r t Solve ekv, h ' t V t Simplify 2Πh t r t r t h t 2 Πr t 1 dhdt . V ' t ,r t 2, r ' t 50, h t 40 2 2 2000 Π h t 2500 Π Exempel: Målarens mardröm. En målare befinner sig på en L m lång stege då dess kontaktpunkt med marken plötsligt släpper och glider ut med konstant fart längs marken. För vår vän på stegen väntar en obehaglig nedfärd. Sök hastigheten för stegens kontaktpunkt mot huset. Lösningsförslag: Lägg in stegen i ett koordinatsystem. Geometrin bestäms av Pytagoras sats. Vi söker hastigheter, vilket är derivata med avseende på tiden, så derivera implicit map t. Dtx2 der x y2 y 2y 2x L2 , t L 2L t t t Stegens längd L ändras inte under den vådliga resan, detta måste vi ange eftersom Dt deriverar allt som om det vore funktioner av t. ekv der . Dt L, t x y 2y 2x 0 t t y Lös ut den sökta hastigheten dydt y t y längs väggen. Solve ekv, Dt y, t x x t t 0 y Stämmer ju bra att resan går i negativ riktning då x ökar. Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att x och y byts ut i y t . Av samma skäl måste x t bytas innan x. Som numeriskt exempel väljer vi en stege med längden 5 m och söker y då x x t och 3 m och x 2 m/s. Mata in med rätt tecken så kommer svaret ut med rätt tecken i förhållande till de koordinatriktingar vi valt. Så blir det alltid! Smidigt i matematiken! dydt . Rule a , b Rulea, b . Dt x, t 2 . x 3, y 52 32 16 Derivator och Mathematica y 3 t 2 HH/ITE/BN Vi provar naturligtvis även med D. Notera speciellt behandlingen av L jämfört med ovan! der 2 Dx t 2x t x t dydt y t 2yt y t 2 L2 , t 0 Solve der, y ' t xt x t y t yt dydt . x ' t 2, x t 52 3, y t 32 3 y t 2 Exempel: Lille Kalle under lampans sken. Sök hur längden av Kalles skugga ändras då han promenerar mot lampan med konstant fart. Lösningsförslag: Figuren ovan åskådliggör modellen med intressanta geometriska storheter. Det räcker med likformiga trianglar för att koppla det som ändras med tiden, nämligen skuggans längd s och Kalles läge a i förhållande till lampan. Vi söker hastigheter, vilket är derivata med avseende på tiden, så derivera implicit map t. a der s s Dt , t H a s t t a L s H s t t H2 H L L s t L2 Varken Kalle eller lyktstolpen växer under studien antar vi... ekv der . Dt L, t a s s t t t H 0, Dt H, t 0 L Lös ut skuggans ändringshastighet dsdt Solve ekv, Dt s, t s L t H a t L Här duger en "vanlig" ReplaceAll (/.). Exempelvis H 10 m, L 2 m och a lampan, ger slutligen s. ALLA indata med rätt tecken ger utdata med rätt tecken! dsdt . H s 1 t 2 10, L 2, Dt a, t 2 m/s, negativ eftersom han rör sig mot 2 Visst, skuggans längd minskar som sig bör! Slutligen en repris med D. Notera speciellt behandlingen av H och L jämfört med ovan! a t der s t s t , t D H a t s t H s t L L HH/ITE/BN Derivator och Mathematica dsdt 17 Solve der, s ' t La t s t H L dsdt . H 10, L 2, a ' t 2 1 s t 2 Exempel: I en ladugård finns en traktordriven höbalslyft enligt figur. Sök höbalens fart upp mot taket då traktorn kör iväg med konstant fart. Lösningsförslag: Med beteckningar enligt figur har vi dels Pytagoras sats och ett samband för repets längd L. Sådant samband brukar kallas kopplingsvillkor, eftersom det kopplar samman variabler till varann, här l och y som inte är oberoende av varann. Låt S vara den okända del av linans längd som är upplindad i taljans skivor. x2 ekv h2 x2 h2 l2 , L l2 , L 2 h 2 h y l y l S S Lös ut y och l. yÅl Solve ekv, y, l 1 h2 y x2 2h L h2 S ,l 1 x2 , y 2 h2 x2 2h L S ,l h2 x2 2 Här duger bara den sista lösningen eftersom l 0. Den andra lösningen är modellens spegelbild under markplanet! Även denna gruvvariant ryms i formuleringen. Derivera nu med avseende på tiden och anta att taket, repet och taljan håller under resan! DtyÅl 2 , t . Dt h, t y h 1 2h 2 h2 2 t t 2 S l 0 h 2h t l x t h2 t t t 2x t , x2 x2 L 2 , h2 0, Dt S, t h t x x y x 2x t t 0, Dt L, t h2 2 x t x2 x t x2 Detta är balens hastighet, i koordinatriktningen, som funktion av traktorns läge x och hastighet x. Var noga med tecken på t.ex. x om du vill exemplifiera med numeriska data. Gör det! Men först en koll på vad D har att säga, men håll själv först koll på vad som varierar med t!! ekv h2 yÅl x t xt 2 2 h2 l t l t 2, L 2 h 2 ,L yt 2 h lt y t l t S S Solve ekv, y t , l t 1 h2 y t xt 2 2h L h2 S ,l t 2 2 1 , y t 2 DyÅl 2 , t xt x t xt x t y t ,l t 2 xt h2 xt 2 h2 xt 2 h2 xt 2 2h L S ,l t h2 xt 2 18 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Om man har att derivera ett omfattande uttryck som bara innehåller produkter och kvoter eller när den oberoende variabeln ingår i exponenter kan det vara lämpligt att tillgripa logaritmisk derivering. Egentligen inget nytt. Slå först sönder uttrycket med hjälp av logaritmlagarna och derivera sedan implicit. Vi sammanfattar f f1 f2 fm g1 g2 gn ln f Logaritmlagar ln f2 ln f1 ln fi f 1 f xxx . 2x Exempel: Låt y f1 f1 1 f f y Sök x ln fi fi 1 f1 f ln fm fi 1 ln g1 ln g2 ln gn Derivera implicit ... osv ... 1 fm fm 1 fm fm 1 g1 1 g1 ... med kedjeregeln g1 1 gn gn 1 gn gn g1 Lös ut f Färdig . Lösningsförslag: Vi använder oss av logaritmisk derivering (vad annars?) Var noggrann! xxx 2x y ln y ln y x y y 1 y ln x ln y x y ln y y x x 1 x x ln x x x xxx 2x ln x y ln y x ln 1 ln x ln 2 xln x ln x x ln x x ln xxx ln y x 1 x x a ln 2x ln y ln x Logaritmera båda sidor Utnyttja att ln b xln x xln 2 ln ab xln 2 ln 2 1 ln b , lna ln a ln b , bln a . Derivera implicit map x Kedjeregeln och summaregeln. xln x x ln x ln a b xln 2 x x y x x Produktregeln och konstantregeln. ln x ln 2 xxx 1 2x x ln x x x 1 Endast SD kvar y ln 2 Lös ut x och sätt in y xxx . 2x x xx D , x Simplify 2x 2 x xx log x x log 2 x x 1 ť Optimering Mycken sysselsättning i tillämpad matematik går ut på att optimera saker och ting, "Så lätt som möjligt...!", "Så billigt som möjligt...!", "Så snabbt som möjligt...!", "Så högt som möjligt...!". Detta innebär att vi vill söka maximum eller minimum till en given funktion i ett givet intervall. Sådana punkter brukar kallas extrempunkter och klassas som lokala eller globala beroende på deras innebördes rangordning. Motsvarande funktionsvärde brukar kallas extremvärden. Men det finns även begreppen terasspunkt och inflextionspunkt. En bild förtydligar. y y f x f ' x5 f' x x1 0 f' x 0 f' x f ' x4 a 0, f '' x5 x2 x3 0, f '' x4 x4 0 0 0 x5 x6 b x I intervallet a, b har vi 6 extrempunkter, x1 , x3 och x5 är lokala maximum medan x2 , x4 och x6 är lokala minimum. Funktionen har globalt minimum i x2 och globalt maximum i b. Om vi däremot mekar om till halvöppet intervall a, b så saknar funktionen ett globalt maximum. Om vi å andra sidan inskränker intervallet till a, x6 så har funktionen globalt maximum i x1 . Vid sunda modelleringar brukar man ha globala min/max inne i det intervall som man studerar. Vi sammanfattar HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 19 Lite diagnostisering med hjälp av derivator. Om f ' x 0 så är f strängt växande i x. Brukar anges med . Exempelvis är f växande i intervallet x2 , x3 i figuren ovan. Om f ' x 0 så är f strängt avtagande i x. Brukar anges med . Exempelvis är f avtagande i intervallet x1 , x2 i figuren ovan. Om f ' x0 0 och f ' har teckenväxlingen 0 i x0 så har f ett lokalt minimum i x0 . Om f ' x0 0 och f ' har teckenväxlingen 0 i x0 så har f ett lokalt maximum i x0 . f '' x0 0 vid lokalt maximum. Om f har extremvärde i punkten x0 så är f ' x0 0 och f '' x0 0 vid lokalt minimum. Om f ' x0 0 och f ' har teckenväxlingen 0 eller 0 i x0 så har f en terasspunkt i x0 . Om f '' växlar tecken i x0 så har f en inflexionspunkt i x0 . Detta innebär att f '' x0 0. Att optimera någonting, det vill säga att söka maximum eller minimum av en funktion, vilar tungt på derivering och ekvationslösning eftersom vi ställs inför problemet att lösa f ' x 0. Mathematica har förutom de ovan nämnda funktionerna för att derivera en samling funktioner som är ämnade för direkt optimering; Maximize, NMaximize, FindMaximum, Minimize, NMinimize och FindMinimum. Se vidare i Help. 1 2 Exempel: Sök minsta avståndet från punkten 1, 0 till linjen y x. Lösningsförslag: Drag en rät linje från 1, 0 till en godtycklig punkt x, y på linjen. Vi ska bestämma x så att linjestyckets längd L blir så kort som möjligt, och har situationen 1 x, x, 0, 1 , AspectRatio 2 AxesLabel "x", "y" , Epilog Automatic, Plot Red, Line Text "L", 0.8, 0.15 , Background 1, 0 , 0.6, 0.3 , White , Text " x,y ?", 0.6, 0.3 , Background White y 0.5 0.4 x,y ? 0.3 0.2 L 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Vi låter Mathematica göra hela jobbet att lösa ut L ur Pythagoras sats och samtidigt eliminera y ur det så kallade kopplingsvillkoret 1 2 mellan x och y, det vill säga funktionssambandet y x, så att vi får L x . Typisk modellering att formulera samband på ekvations- form och låta Mathematica göra grovjobbet. Frestas inte att göra det för hand, eftersom det är ett utmärkt sätt att introducera fel! LÅy SolveL2 1 2 x 0 y 2 1 ,y x, L, y 2 1 L 5 x2 x 8x 4,y 1 5 x2 , L 2 2 x 8x 4,y 2 2 Här duger bara sista lösningen eftersom vi har kravet L 0. En liten plot ska man göra så ofta man hinner. Ger en direkt indikation på om vi har modellerat sunt och att titta tillbaka på när man väl har bestämt en extrempunkt! PlotL . LÅy 2 , x, 1, 3 , PlotStyle Red, AxesLabel "x", "L x " Lx 2.5 2.0 1.5 1.0 1 1 2 3 x Ett tydligt minimum som sig bör, eftersom vi inser att L optimalt x, ur L x 0. både då x och x Bestäm nu extrempunkt, det vill säga 20 Derivator och Mathematica dLdx HH/ITE/BN DL . LÅy 2 , x 10 x 8 4 5 x2 x Solve dLdx 8x 4 0 4 x 5 Stämmer bra med figuren ovan. Slutligen kortaste avståndet med y-värdet på köpet. LÅy 2 .x 1 L 2 ,y 5 5 En snabb och direkt (ingenjörs ;-)version levereras i Mathematica av de lättanvända FindMinimum och FindMaximum. Dessa kommer speciellt till användning då vi efter deriveringen hamnar i en icke-linjär ekvation som är för svår för Solve så FindRoot måste tillgripas. Sådana funktioner har ofta flera extrempunkter och man måste liksom vid FindRoot hjälpa till med ett startvärde i närheten av den extrempunkt man söker. Detta hämtas naturligtvis från grafen L x och är enkelt i detta speciella fall. Notera att vi får både extrempunkten, på regelform naturligtvis, och extremvärdet. FindMinimumL . LÅy 2 , x, 0 0.447214, x 0.8 Exempel: Ett exempel på då Solve går bet på att lösa f ' x f x 0. : x Cos x Denna funktion har oändligt med extrempunkter och nollställen. Viktigt att rita grafen! Plot f x , x, 0, 25 , PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "f x " f x 20 10 5 10 15 20 25 x 10 20 Vi får olika extrempunkter beroende på var vi låter FindMinimum och FindMaximum börja "nosa". Vi måste alltså veta vilken vi söker, vilket i sin tur beror på frågeställningen! Exempelvis FindMaximum f x , x, 5 6.361, x 6.4373 FindMinimum f x , x, 5 3.28837, x 3.42562 FindMaximum f x , x, 20 18.876, x 18.9024 FindRoot f x , x, 20 x 20.4204 HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 21 Exempel: Man vill av tunn plåt tillverka en cylindrisk konservburk med given volym V . Bestäm radie och höjd i den burk som kräver minst materialåtgång, det vill säga har minst total area. Lösningsförslag: Antag att konservburken har höjden h och radien r. Dessa kan nu inte variera fritt oberoende av varandra, de binds samman av att volymen på burken är given V Πr2h. Sådana här kopplingar brukar kallas för just kopplingsvillkor. Totala arean av burken byggs upp av två lock, 2Al 2 Πr2 , samt mantelarean Am omkrets höjd 2Πr h. Gör nu inte för mycket för hand, varje sådan insats är en potentiell risk för att introducera fel. Låt Mathematica göra jobbet! Skriv bara ned alla grundsamband. ekv Π r2 h, Atot V Π h r2 , Atot V 2 Al 2 Al Π r2 , Am Am , Al Π r2 , A m A m , Al 2 Π r h 2 Π h r Utnyttja att V är given för att lösa ut Atot som funktion av r. Ta för vana att lösa ut lika många variabler som vi har ekvationer. Även de variabler som inte primärt används vid optimeringen är oftast intressanta att veta värdena på till slut. Så alla som funktioner av r! Amm Solve ekv, Atot , h, Al , Am 2 Π r3 Atot V V ,h r Πr PlotAtot V2 3 2 r x V1 3 , x, 0.1, 1 , PlotStyle . Amm . r PlotRange 2V Π r2 , Am , Al Red, "r V1 3 ", "Atot V2 3 " 5, 10 , AxesLabel Atot V 2 3 10 9 8 7 6 0.0 0.2 0.4 0.6 Ser sunt ut, eftersom Atot Atot r 0.8 1.0 både då r r V1 3 0 och r Bestäm nu det r som minimerar Atot genom att söka nollställe till derivatan, 0. dAdr D Atot 2 Π r3 6 Π r r . Amm, r V r2 Solve dAdr 1 r 0, r 3 3 3 r 1 V , r 23 3 V , r 2Π r V 3 3 2Π 2Π N 0.270963 3 0.469322 V , r 0.541926 3 V , r 0.270963 0.469322 3 V Här är det bara den mittersta lösningen som är reell, de andra två komplexa har inte med saken att göra. Slutligen alla variabler vid detta välsignade tillstånd. Amm . r 2 N Atot Atot 3 3 2Π V 23 22 3 3 ,h 3 5.53581 V 2 3 , h 3 V , Al Π 1.08385 3 V , Al Π V2 3 22 3 , Am 2 3 2 Π V 2 3 0.922635 V 2 3 , Am 3.69054 V 2 3 22 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Alla symboliska resultat måste underkastas dimensionsanalys!! Här har vi arean Atot höjden h 3 3 22 3 3 3 2 Π V 2 3 Al Am 1 V 2 3 m3 23 m2 , Ok! 3 V Π 1 V 1 m3 13 m , Ok! Med symboliska svar kan man lätt få en kvalitativ bild av hur modellen påverkas av olika storheter. Vi ser att burken får en "kvadratisk" profil, eftersom 2r . Amm . r 2 h 1 Om volymen varit specificerad till ett numeriskt värde, säg V FindMinimum Atot 5.53581, r . Amm . V 1, kunde vi exempelvis direkt använt oss av FindMinimum. 1, r, 2 0.541926 ť Några viktiga satser Vi sammanfattar några viktiga satser, utan bevis, som väsentligen motiverar det som angetts ovan. Det kan nämnas att bevisen av vissa av dem är svårare än vad som kan förmodas, med tanke på deras enkla innebörd. Vi börjar med Bolzano-Weierstrass sats (Bernard Bolzano (1781-1848) och Karl Weierstrass (1815-1897)) Satsen om mellanliggande värden. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , så antar f i detta intervall varje värde mellan f a och f b . Sedan har vi Satsen om största och minsta värde. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , så är f uppåt och nedåt begränsad i detta intervall. Vidare har f ett största och ett minsta värde i detta intervall. Satsen om lokalt maximum och minimum. Antag att funktionen f har ett lokalt maximum eller minimum i en punkt Ξ, som är inre punkt i ett intervall där f är definierad. Om då f ' Ξ existerar, så är f ' Ξ 0. Uppkallad efter den franske matematikern Michel Rolle (1652-1719) har vi den viktiga Rolles sats. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , deriverbar i a, b och f a en punkt Ξ a, b sådan att f ' Ξ 0. f b 0. Då finns det minst Uppkallad efter en av 1700-talets främste matematiker, (italienskfödde) fransmannen Joseph Louis Lagrange (1652-1719) har vi den viktiga generaliseringen av Rolles sats Lagrange medelvärdessats. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b och deriverbar i a, b . Då finns det minst en punkt Ξ a, b sådan att f b f a f' Ξ b a. Lagrange medelvärdessats har en rad viktiga konsekvenser. Här redovisas några. Antag att funktionen f är deriverbar i intervallet I, som kan vara begränsat, obegränsat, öppet, slutet eller halvöppet. Då gäller Om f ' x 0 för alla x I, så är f x en strängt växande funktion i I. Om f ' x 0 för alla x I, så är f x en strängt avtagande funktion i I. Om f ' x 0 för alla x I, så är f x konstant i I.
© Copyright 2024