1. No category

1
Några övningsproblem
1. En rad med 10 buskar planteras på sidan av en väg. Raden inkluderar
exakt 3 forsythia, ett udda antal magnolia och resten rhododendron.
På hur många sätt kan man plantera buskarna?
Lösning:
Låt k vara antalet magnolia, dvs. k = 3, 5, 7. Sedan finns det
10
olika sätt att plantera med k magnolia. Således blir resultatet:
3 k 7−k
=
10
10
10
+
+
334
352
37
5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 6 · 7 · 8 · 9 · 10 8 · 9 · 10
+
+
6·6
6·2
6
= 10 · (5 · 7 · 4 · 3 + 7 · 4 · 9 + 4 · 3)
= 10 · (420 + 252 + 12) = 6840.
2. Hur många ord som inte innehåller två bokstäver S följande på varandra
kan bildas genom omkastning av bokstäverna i ordet SVANSLÖS?
Lösning: Vi diskuterar två metoder:
(a) Alfabet: A,L,N,V,S,Ö med multipliciteter 1, 1, 1, 1, 3, 1.
Antalet alla ord 8!
= 6720.
3!
Ett försök at räkna ord med två på varandra följande S:
Alfabet A,D, L,N,V,S,Ö med multipliciteter 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.
Antalet ord 7! = 5040.
Ord med tre S följande på varandra räknas två gånger: Alfabet
A,L,N,V,T,Ö, alla med multiplicitet 1.
Antalet ord 6! = 720.
Svar: 6720 − 5040 + 720 = 2400.
(b) Det finns 5! ord som kan bildas genom omkastning av bokstäver
från ordet VANLÖ, t.ex. VANLÖ själv. Utgående från ett sådant
ord bildar man alla sökta ord genom att stryka
3 bokstäver S i
6
ordet SVSASNSLSÖS.
Eftersom det finns 3 olika sätt att göra
6
det, blir svaret 5! 3 = 2400.
1
3. Ange den genererande funktionen till talföljden (an )n∈N där an är antalet möjligheter att växla n kronor i 1, 5 och 10 kronorsmynt och 20,
100, 500 och 1000-kronorssedlar, om varje mynt och varje sedel måste
förekomma åtminstone en gång.
Svar:
X 1636
(1 − X)(1 − X 5 )(1 − X 10 )(1 − X 20 )(1 − X 100 )(1 − X 500 )(1 − X 1000 )
4. Beräkna den genererande funktionen till talföljden an , där an = an (r)
är antalet möjligheter att sätta n (identiska) nyckelpigor i r identiska
askar. Vilken genererande funktion tillhör följden bn := an (n)?
Lösning: Eftersom både nyckelpigorna och askarna är identiska, är
an (r) antalet växande följder n1 ≤ n2 ≤ ... ≤ nr med n1 + ... + nr = n.
Eller antalet möjligheter att skriva
n = c1 + 2c2 + ... + rcr , c1 , ..., cr ∈ N.
Nämligen: Givna n1 , ..., nr sätt ci = nr−i+1 − nr−i ; och givna c1 , ..., cr
sätt ni = c1 + .... + ci .
Således
∞
X
n=0
an (r)X n =
r
∞
Y
X
!
X iν
ν=0
i=1
=
r
Y
i=1
1
.
1 − Xi
I synnerhet är an (n) antalet n-tipplar (c1 , ..., cn ) ∈ Nn med
n = c1 + 2c2 + ... + ncn , c1 , ..., cn ∈ N
och det är också antalet oändliga följder (cν )ν∈N med
n=
∞
X
νcν .
ν=1
Eftersom alla termer är icke-negativa, kan vi ju alltid tolka summan,
antingen som ett naturligt tal eller som ∞, och likheten innebär cν = 0
för ν > n. Således
!
∞
∞
∞
∞
X
Y
X
Y
1
n
iν
.
an (n)X =
X
=
1 − Xi
n=0
ν=0
i=1
i=1
2
5. Ta c0 = 0, c1 = 1, medan för n ≥ 2 låt cn vara antalet sätt att beräkna
en summa med n termer genom successiva binära additioner (additioner
av två tal), t.ex. för n = 3 (a + b) + c = a + (b + c) eller för n = 4:
(a + b) + (c + d) = ((a + b) + c) + d = ....
Ange en rekursionsformel för cn och skriv den kortfattat med hjälp av
den tillhörande genererande funktionen! (Talen cn kallas för Catalantal.)
Lösning: I den sista additionen adderas två summor σ = σi + σn−i ,
den ena bestående av i termer 1 ≤ i ≤ n−1, den andra av n−i termer,
således
cn = c1 cn−1 + .... + cn−1 c1 , n ≥ 2,
medan
c1 = 1.
P∞
I synnerhet gäller för f (X) = n=1 cn X n att
f (X) = X + f (X)2 .
6. Låt bn , n ≥ 1, vara antalet sätt att dela upp en mängd med n element
i disjunkta delar, ytterligare b0 = 1. Hitta en rekursionsformel för bn
och visa f 0 (X) = eX f (X) för den tillhörande exponentiella genererande
funktionen. Har du en gissning för en formel för f (X)? (Talen bn kallas
för Belltal.)
Lösning: Låt |A| = n, ta ett element b ∈ A och sätt A0 := A \ {b}.
Uppdelningar av A får vi genom att välja en k-delmängd B = {b} ∪
B0 , B0 ⊂ A, och sedan dela upp A \ B. Detta leder till
n X
n−1
bn =
bn−k , n ≥ 1,
k
−
1
k=1
eftersom det finns n−1
sätt att välja B0 ⊂ A0 . Vi har
k−1
∞
X
bn
X n−1
(n
−
1)!
n=1
!
∞
n
X
X
1
=
bn−k X n−1
(k
−
1)!(n
−
k)!
n=1
k=1
0
f (X) =
3
∞
∞
X
X k−1 X b` `
=
·
X .
(k − 1)! `=1 `!
k=1
Man kan nu fundera över om eX kunde tolkas som ett slags inre derivata,
dvs. ansätta f (X) = g(eX ). Men uttrycket g(eX ) har ingen mening
pga. e0 = 1. Däremot går det bra med eX − 1 i stället för eX . Ansatsen
f (X) = g(eX − 1) leder nu till
f 0 (X) = g 0 (eX − 1)eX = f (X)eX = g(eX − 1)eX ,
dvs.
g 0 (eX − 1) = g(eX − 1)
resp. g 0 (X) = g(X). Således g(X) = λeX med ett komplext tal λ resp.
X −1
f (X) = λee
.
Till sist leder f (0) = 1 till λ = 1, sådant att
X −1
f (X) = ee
4
.