1. No category

Övning 3 – Fotometri
Lambertstrålare
En källa som sprider ljus diffust kallas Lambertstrålare. Ex. bioduk, snö, papper.
Luminansen är oberoende av betraktningsvinkeln 𝜃. Om vinkeln ändras ändras Iv men inte Lv.
L𝑣 =
𝐼𝑣
𝑆 cos(𝜃)
Ω = 2𝜋(1 − cos(𝑢)) ≈ 𝜋𝑢2
Rymdvinkel: Ω [sr]
𝑆
Ω = 𝑟2
Ljusflöde: Φ𝑣 [lm]
Φ𝑣
Ljusemissionsförmåga: 𝑀𝑣 = 𝐴
källa
Ljusstyrka: 𝐼𝑣 =
Φ𝑣
Ω
Belysning: 𝐸𝑣 = A
[lm/m ]
[cd=lm/sr]
Φ𝑣
Luminans: 𝐿𝑣 = ΩA
u
2
källa
Φ𝑣
belyst
[cd/m2]
[lm/m2]
Projektion
S
S’
i
S
𝑆′
= cos(𝑖) →= 𝑆 ′ = 𝑆𝑐𝑜𝑠(𝑖)
𝑆
Pythagoras sats
c
a
b
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
r
S
7.) En strålkastare ger en ljuskon med 8° toppvinkel. Dess ljusstyrka är då 12000 cd. Man
koncentrerar därefter ljuset så att toppvinkeln blir 3°. Vilken blir då ljusstyrkan?
Givet: 𝑢1 =
8°
2
= 4°, 𝐼𝑣,1 = 12000 cd, 𝑢2 =
3°
2
= 1.5°
Sökt: 𝐼𝑣,2 =?
Bild:
Det totala ljusflödet Φ𝑣 är samma före och efter, eftersom lampans effekt inte ändras.
Ljusflödet ges av definitionen för ljusstyrka:
𝐼𝑣 =
Φ𝑣
→ Φ𝑣 = 𝐼𝑣 Ω
Ω
Φ𝑣 = konst = 𝐼𝑣,1 Ω1 = 𝐼𝑣,2 Ω2
Nu vill vi ha ljusstyrkan efteråt, så vi löser ut den.
𝐼𝑣,2 =
𝐼𝑣,1 Ω1
Ω2
Vi känner till ljusstyrkan innan, och kan räkna ut rymdvinklarna med hjälp av halva konvinkeln.
Ω1 = 2𝜋(1 − cos(𝑢1 )) = 0.0153 sr
Ω2 = 2𝜋(1 − cos(𝑢2 )) = 0.00215 sr
Nu har vi allt för att räkna ut ljusstyrkan efteråt.
𝐼𝑣,2 =
𝐼𝑣,1 Ω1 12 000 ∙ 0.0153
=
= 85 000 cd
Ω2
0.00215
10.) Nya trafikljus består av en massa små lysdioder tätt packade bredvid varandra i en cirkel,
istället för en traditionell glödtrådslampa med glaslins. Sammanlagt finns 170 dioder inom en
radie av 7,5 cm. Varje lysdiod ger 0.1 lm i en kon med toppvinkeln 14°. Beräkna trafikljusets
luminans och ljusstyrka sett rakt framifrån.
Givet: Φ𝑣 = 170 ∙ 0.1 lm = 17 lm, 𝑟källa = 7.5 cm, 𝑢 = 7°
Sökt: 𝐼𝑣 =
Φ𝑣
Ω
Φ𝑣
, 𝐿𝑣 = Ω𝐴
källa
Bild: Vi ser att spridningsvinkeln för alla dioder tillsammans blir 14°
u
r
Vi behöver alltså beräkna rymdvinkeln och källarean.
Vi börjar med källarean:
2
𝐴 = 𝜋𝑟källa
= 𝜋 ∙ 0.0752 = 0.018 m2
Rymdvinkeln fås av:
Ω = 2𝜋(1 − cos(𝑢)) = 0.047 sr
Nu kan vi räkna ut ljusstyrkan:
𝐼𝑣 =
Φ𝑣
17
=
= 360 cd
Ω
0.047
Vi kan även beräkna luminansen:
𝐿𝑣 =
Φ𝑣
17
=
= 20000 cd
Ω𝐴källa 0.047 ∙ 0.018
12.) Polisen i Göteborg ska jämföra prestanda på två ficklampor. På den första modellen står
det 600 lm och på den andra 10000 cd. Beskriv hur han skall göra för att mäta/räkna om siffran
600 lm till något som kan jämföras med 10000 cd!
Givet: Ljusflöde Φ𝑣 = 600 lm
Sökt: Ljusstyrka 𝐼𝑣 =
Φ𝑣
Ω
för att kunna jämföra med 10 000 cd.
Vi behöver alltså en metod för att mäta rymdvinkel. Detta kan man t.ex. göra genom att lysa
med ficklampan mot en vägg.
D
r
Avståndet från ficklampan till väggen mäts och på väggen mäts den belysta punktens diameter
för att kunna beräkna konens toppvinkel.
tan 𝑢 =
𝐷/2
𝐷/2
→ 𝑢 = arctan (
)
𝑟
𝑟
Nu när toppvinkeln är känd återstår bara att beräkna rymdvinkeln.
Ω = 2𝜋(1 − cos(𝑢)) = 2𝜋 (1 − cos (arctan (
𝐷/2
𝑟
Nu kan ljusstyrkan beräknas:
𝐼𝑣 =
Φ𝑣
=
Ω
600
𝐷/2
2𝜋 (1 − cos (arctan ( 𝑟 )))
Exempelvis D = 1 m, r = 4 m ger:
𝐼𝑣 =
600
1/2
2𝜋 (1 − cos (arctan ( 4 )))
= 12 000 cd
)))
13.) Ett papper på en vägg och är belyst av en spotlight. Papperet betraktas av två personer. Den ena
står rakt framför papperet på 5 m avstånd. Den andra står 3 meter längre till höger, även hon 5 meter
från väggen. Papperet är en lambertspridare, vilket betyder att luminansen är oberoende av
betraktningsvinkeln. Hur skiljer sig:
(a) ljusflödet genom pupillerna?
(b) belysningen på näthinnan?
Bild:
r1 = 5 m
S
d= 3 m
r2 = √52 + 32 m (Pythagoras sats)
(a) Vi söker ljusflödet Φ𝑣 = 𝐼𝑣 Ω
Vi behöver hitta ljusstyrkan och rymdvinkeln!
𝐼
Luminansen för en Lambertspridare ges av: 𝐿𝑣 = Scos𝑣(𝜃)
Alltså har vi ljusstyrkan 𝐼𝑣 = 𝐿𝑣 𝑆cos(𝜃)
Vi vet att luminansen är samma för båda och papprets area är samma. Det enda som skiljer sig mellan
åskådarna är betraktningsvinkeln.
3
𝜃1 = 0
𝜃2 = arctan (5) = 31°
Ljusstyrkorna blir:
𝐼𝑣,1 = 𝐿𝑣 𝑆cos(0°)
𝐼𝑣,2 = 𝐿𝑣 𝑆cos(31°)
Nu tar vi en titt på rymdvinkeln:
Ω1 =
Ω2 =
𝑆pupill
𝑟12
𝑆pupill
𝑟22
=
𝑆pupill 𝑆pupill
=
52
25
=
𝑆pupill
𝑆pupill
=
2
2
3 +5
34
Ljusflödeskvoten blir:
𝐿𝑣 𝑆cos(0°)𝑆pupill /25
Φ𝑣,1 𝐼𝑣,1 Ω1
34
=
=
=
= 1.6
Φ𝑣,2 𝐼𝑣,2 Ω2 𝐿𝑣 𝑆cos(31°)𝑆pupill /34 25 cos 31°
Alltså 1.6 ggr större ljusflöde för person 1.
(b) Vi söker belysningen på näthinnan: 𝐸𝑣 = 𝑆
Φ𝑣
belyst
.
Flödet har vi från uppgift (a), men vad är den belysta arean på näthinnan för person 1 och 2?
Vi vet att papprets projicerade area är:
𝑆 ′ = Scos(𝜃), d.v.s. 𝑆1′ = 𝑆cos(0°) och 𝑆2′ = 𝑆cos(31°)
Nu ska alltså detta objekt avbildas på näthinnan. Hur stor blir arean då?
Vi kollar på förstoringen: 𝑚 =
𝑙′
𝑙
Bildavståndet (från pupill till näthinna) antas vara samma för person 1 och 2. Objektavståndet är
avståndet från ögat till pappret (r). Den laterala förstoringen blir alltså:
𝑚1 =
𝑙′
,
𝑟1
𝑚2 =
𝑙′
𝑟2
Nu ska vi komma ihåg att det är en area som växer både på höjden och bredden. Alltså blir
areaförstoringen:
2
𝑙′
𝑙 ′2
𝑀1 = ( ) =
,
𝑟1
25
2
𝑙′
𝑙 ′2
𝑀2 = ( ) =
𝑟2
34
Papprets storlek på näthinnan ges av:
𝑆belyst,1 = 𝑆1′ 𝑀1 =
𝑆cos(0°)𝑙′2
,
25
𝑆belyst,2 = 𝑆2′ 𝑀2 =
𝑆cos(31°)𝑙′2
34
Nu ska vi bara ta flödet genom pupillen och dela på denna area för att få belysningen!
𝐸𝑣,1 =
𝐸𝑣,2 =
Φ𝑣,1
𝑆belyst,1
Φ𝑣,2
𝑆belyst,2
=
𝐿𝑣 𝑆cos(0°)𝑆pupill /25 𝐿𝑣 𝑆pupill
=
𝑆cos(0°)𝑙 ′2 /25
𝑙′ 2
=
𝐿𝑣 𝑆cos(31°)𝑆pupill /34 𝐿𝑣 𝑆pupill
=
𝑆cos(31°)𝑙 ′2 /34
𝑙′ 2
Belysningen på närhinnan blir samma för person 1 och 2. Alltså ser pappret lika ljust ut oberoende av
betraktningsvinkel!