1. No category

Analys - Derivata
1 Ändringskvot……………………………………………………………………….2
2. Derivatabegreppet……………………………………………………………….6
3. Derivatan av potensfunktionen och summor av funktioner…….20
4. Sambandet mellan en polynomfunktions graf & dess derivata..24
5. Funktionerna ex, dess derivator samt logaritmlagarna…………..40
6. Derivatan av en sammansatt funktion………………………………….53
7. Derivatan av logaritm- och exponentialfunktionerna……………..60
8. Derivatan av produkt och kvot…………………………………………….65
9. Lokala extrempunkter med andraderivatan………………………….70
10. Konkav – konvex………………………………………………………………..76
11. Tema - Polynomfunktioner av högre grad……………………………..81
Facit…………………………………………………………………………..………….83
Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; Illustrationer: s.1 Nils-Göran Mattsson, s.28 s.28
Hillerstrom; IBL Bildbyrå: s.5 Simon Ward, s.16 Figarao Magazine, s.75 Gamma, 76
M.C.Escher, Cordon Art B.V., Holland; Geometriska konstruktioner och diagram av NilsGöran Mattsson
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Derivata - 1
1 Ändringskvot
Modell ▪ Ändringskvot utifrån graf eller tabell
Exempel Antalet bakterier i en odling bestäms varannan timme.
Tabellen nedan visar resultatet.
Tid(h)
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
Antal
100
1400
1900
2800
4100
Bestäm den genomsnittliga ändringshastigheten för antalet bakterier
mellan kl. 2.00 och 8.00.
Lösning Antalet bakterier i odlingen är en funktion av tiden.
Oberoende variabel är tiden x h och beroende variabel y st bakterier. För
att bestämma ändringshastigheten mellan två tidpunkter behöver vi veta
start- och sluttid. Vidare måste vi veta antalet bakterier i början och i
slutet av tidsperioden. I diagrammet kommer punkterna (2.00, 1400)
och (8.00, 4100) att motsvara början och slutet av tidsperioden. Vi har
tidigare sett att ett mått på lutningen hos en linje mellan två punkter är
riktningskoefficienten eller k-värdet för linjen.
Alltså är k =
y2 − y1 ∆y
. Detta innebär att k är kvoten av
=
x 2 − x1 ∆x
förändringen i lodrät led y 2 – y 1 och förändringen i vågrät led x 2 – x 1 .
Den tidigare skrivs ofta ∆y och den senare ∆x. Ändringshastigheten får
enheten 1 st/h eftersom ∆y har enheten 1 st och ∆x enheten 1 h.
Derivata - 2
Ändringskvoten =
4100 − 1400
st/h = 450 st/h
8−2
beskriver hur antalet bakterier
ändrats mellan kl 02.00 och kl
08.00 men säger inget om hur
ändringen skett. Kvoten ger
bara ett mått på den genomsnittliga ändringshastigheten.
=
G1.1
a)
b)
Tabellen visar hur folkmängden ökat i en liten stad. Bestäm
den genomsnittliga befolkningsändringen per år
från 1996 till 1998
under hela perioden.
År
1996
Folkmängd 18500
G1.2
b)
1998
19200
1999
19400
2000
19500
Tabellen visar hur temperaturen ändrats i Fagersta en
sommardag.
Klockan
Temp. ( oC)
a)
1997
18900
8.00
10
11.00 12.00
26
32
14.00 18.00
24
19
20.30
12
Bestäm den genomsnittliga temperaturändringen mellan kl.
8.00 och kl. 12.00.
Bestäm ändringskvoten från kl. 14.00 till kl. 20.30. Svara med
två gällande siffror. Ange ändringskvotens enhet.
G1.3
Bestäm ändringskvoten för funktionen f(x) = x3 i intervallet
2 ≤ x ≤ 4.
G1.4
Djup (km) Temperatur (°C)
Ju längre vi kommer in i vår
0
10
planet desto långsammare ökar
100
1150
temperaturen. Tabellen nedan
400
1500
visar temperaturen som en
700
1900
funktion av djupet. Beräkna
2800
3700
ändringskvoten för intervallet 0
5100
4300
km till 400 km samt för intervallet 2800 km till 5100 km.
Derivata - 3
Filosofen Paracelsus mirakulösa medicinska kurer under 1500-talet kan delvis
förklara det stora intresset för kemi efter 1500-talets mitt. Paracelsus såg hela
jorden som ett gigantiskt kemiskt laboratorium. Det förklarade uppkomsten av
vulkaner, heta källor och metaller som växer och förnyas i jordskorpan. Allt förklarades med en eld i jordens inre. Bilden visar relationen mellan den inre elden
och vulkaner. Bilden är från Athanasius Kircher, Mundus subterraneus (1678).
Derivata - 4
G1.5
a)
b)
c)
Diagrammet nedan visar höjden för en ”skydiver” som hoppar
från 5000 fot. Hon faller först med fötterna riktade mot
marken. Efter drygt 14 s faller hon horisontellt ”spread eagle”
för att efter ytterligare 13 s utlösa fallskärmen. Beräkna
hastigheten (enhet: 1 fot/s)
mellan den 10:e och 15:e sekunden
mellan den 20:e och 27:e sekunden (”spread eagle”)
mellan 30:e och 45:e sekunden.
Derivata - 5
2 Derivatabegreppet
Teori ▪ Derivatan i en bestämd punkt
I diagrammet finns grafen till funktionen f(x) = x2. Punkten P med
koordinaterna (1, 1) är markerad. På avståndet ∆x från P är punkten Q
markerad. Punkten Q har alltså koordinaterna (1+∆x, (1+∆x)2). Vi har
dessutom ritat sekanten genom dessa två punkter.
Derivata - 6
(1 + ∆x) 2 − 12
. Detta
1 + ∆x − 1
är också k-värdet för sekanten genom de två punkterna.
Ändringskvoten för dessa två punkter blir då =
Vi utvecklar täljaren enligt kvadreringsregeln och får:
k=
1 + 2 ∆x + ( ∆x )2 − 1 2∆x + (∆x) 2
(1 + ∆x) 2 − 12
=
=
= 2 + ∆x
∆x
1 + ∆x − 1
∆x
Om ∆x = 3 så är k = 5 (svart sekant)
Vi kan nu låta punkten Q röra sig efter kurvan mot punkten P genom
att låta värdet på ∆x bli allt mindre.
Om ∆x = 2 så är k = 4 (röd sekant)
Om ∆x = 1 så är k = 3 (grön sekant)
Om ∆x = 0,5 så är k = 2,5 (blå sekant)
Vi kan fortsätta i samma stil utan att rita sekanterna. Vi ser då att
Om ∆x = 0,05 så är k = 2,05
Om ∆x = 0,005 så är k = 2,005
Om ∆x = 0,0005 så är k = 2,0005
Det syns alltså att k-värdet kan skilja sig från värdet 2 med ett hur litet
tal som helst bara man gör värdet på ∆x tillräckligt litet.
f (1 + ∆x) − f (1)
• På matematiskt språk säger man: Ändringskvoten
∆x
har gränsvärdet 2 när ∆x går mot 0 om och endast om kvoten kan bli
hur nära värdet 2 som helst bara ∆x väljs tillräckligt litet.
f (1 + ∆x) − f (1)
• Med matematiska symboler skriver man: lim
= 2.
∆x → 0
∆x
Bokstäverna ”lim” står för det latinska ”limes” som betyder ”gräns”.
Uttrycket utläses: ”Limes när delta-x går mot 0 för kvoten …”
Detta gränsvärde har fått ett speciellt namn. Man säger att derivatan av
y = x2 har värdet 2 för x = 1.
Derivata - 7
dy
= 2 . (Utläses: ”d-y-d-x är lika med 2”).
dx
Den infördes av matematikern och filosofen Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716). Det finns flera andra sätt att beteckna derivatan.
Ett av dessa som är mycket vanligt är f ′(1) = 2 (Utläses: ”f prim 1 är
lika med 2”).
En symbol för derivatan är
Alla gränsvärden är nu inte derivator. Låt oss se på tre olika kurvor f, g
och h.
• Den vänstra kurvan f(x) är ej definierad för x = –3 (symboliseras med
ofylld ring) men ändå är lim f ( x) = 4 värdet på f( x) kan bli hur nära
x →−3
värdet 4 som helst bara x ligger tillräckligt nära –3 . En kurva med
’hål’ som denna är inte ’sammanhängande’. Den är med matematisk
terminologi diskontinuerlig.
• Den mittersta kurvan f( x) är definierad för x = 2 trots den ofyllda
ringen B men har istället en fylld ring i punkten D. Detta innebär att
f(2)= 1. Fortfarande är lim f ( x) = 4 av samma skäl som för den
x→2
vänstra kurvan. Även denna kurva eller funktion är diskontinuerlig.
• Den högra kurvan f(x) är definierad för x = 7 (symboliseras med fylld
ring) men ändå är ty lim f ( x) = 4 Värdet på f( x) kan bli hur nära
x →7
värdet 4 som helst bara x ligger tillräckligt nära 7. Denna kurva är
sammanhängande eller kontinuerlig.
Derivata - 8
Modell ▪ Några gränsvärdesberäkningar
lim( x 3 − x / 2) =23 − 2 / 2 =7 beräkning genom insättning av talet 2 i
x→2
funktionsuttrycket: f ( x=
) x 3 − x / 2.
x2 − 4x + 3
x − 1 . Insättning av talet x = 1 i det
0
rationella uttrycket ger 0 vilket är odefinierat. I detta fall måste man
förenkla det rationella uttrycket genom att dela upp täljaren i faktorer.
Eftersom andragradsuttrycket i täljaren har rötterna x = 1 och x = 3 blir
( x − 1)( x − 3)
= ( x − 3). Insättning av x = 1 i det
det rationella uttrycket
( x − 1)
förenklade uttrycket ger värdet -2.
Lite svårare är fallet lim
x →1
Exempel Beräkna algebraiskt ändringskvoten till f(x) = x2 – 3 för
intervallet 4 ≤ x ≤ (4 + ∆x). Beräkna även f ′(4) .
Lösning Eftersom f(4) = 42 - 3 = 13 och f(4 + ∆x) = 16 + 8∆x + (∆x)2- 3
blir ändringskvoten
f (4 + ∆x) − f (4) (16 + 8∆x + (∆x) 2 − 3) − 13 8∆x + (∆x) 2
=
=
= 8 + ∆x
4 + ∆x − 4
∆x
∆x
Eftersom f ’(4) är gränsvärdet när ∆x går mot noll får vi f ’(4) = 8.
Derivata - 9
G2.1
Beräkna följande gränsvärden
a) lim( x 3 − x 2 + x − 1)
b) lim
x →1
x→2
x2 − 5x + 6
x−2
x − 2x − 3
( x − 1)( x + 1)
2
c) lim
x →−1
d) Avläs följande
gränsvärden
lim f ( x)
x→2−
lim f ( x)
x→2+
där 2- betyder att
gränsvärdet beräknas för punkter på
kurvan f(x) till vänster om x =2 och 2+
betyder gränsvärdet
till höger om x =2.
En kurva med olika
vänster- och högergränsvärden kan
naturligtvis inte
vara kontinuerlig.
G2.2
a)
b)
c)
d)
V2.3
a)
V2.4
Bestäm algebraiskt gränsvärdet av ändringskvoten
f (3 + ∆x) − f (3)
då ∆x → 0 om
∆x
f(x) = x2
f(x) = 4 – x2
f(x) = x2
1
f(x) =
x
f (3 + ∆x) − f ( x)
Beräkna lim
om
∆x → 0
∆x
f(x) = x2 + 4
b)
f(x) = x2 + 4x – 3
Beräkna f ′ (5) om f ( x) =
x 2 − 3x
. Använd ändringskvoter.
x −1
Derivata - 10
Teori ▪ Vad är en tangent?
Vi ser att k-värdet för sekanten genom punkterna P och Q i figuren på
sidan 6 avviker allt mindre från värdet 2 när värdet på ∆x krymper. För
att urskilja hur sekanten ändrar riktning från k = 2,05 till k = 2,005 och
från k = 2,005 till k = 2,0005 och så vidare skulle vi vara tvungna att
zooma in området kring punkten P allt mer. Men hur mycket vi än
förstorar området kring punkten P kommer sekantens riktningskoefficient aldrig att bli exakt k = 2.
Hypotes: Det finns dock en rät linje som precis tangerar kurvan i
punkten (1, 2) och vars k-värde är det ovan beskrivna gränsvärdet 2.
Denna linje kallas tangent till kurvan i punkten (1, 2). Se figur nedan.
Bilden på nästa sida visar en tänkt ”tangentmaskin”.
Den svarta markeringen på den krökta kurvan sitter fast medan den
gröna markeringen är rörlig. Den gröna kan röra sig längs kurvan medan
k-värdet för sekanten mellan den svarta och den gröna markeringen
beräknas i varje ögonblick. När den gröna markeringen glider mot den
svarta minskar hela tiden k-värdet. Precis innan den gröna täcker den
Derivata - 11
svarta är k = 2,00 och precis efter det att den gröna passerat den svarta är
k = 2,00. Vi kan tolka detta som att tangentens k-värde, och alltså
derivatan i denna punkt, är 2,00.
_Analys-12 Tangentmaskin
G2.5
Kurvan på nästa sida har tre tangenter inritade. Bestäm
derivatan i tangeringspunkterna eller, vilket är detsamma,
tangentens k-värde.
Derivata - 12
G2.6
Bestäm grafiskt derivatan till funktionen f(x) nedan genom att
låta en linjal fungera som tangent i punkterna.
a) x = 2 b) x = 5.
Derivata - 13
V2.7
Graferna till funktionerna
f(x) och g(x) tangerar varandra för x = 3. Använd din
kunskap om derivator för
att förklara vad detta innebär.
V2.8
Graferna till funktionerna f(x) och g(x) är vinkelräta mot
varandra för x = 2. Använd din kunskap om derivator för att
förklara vad detta måste innebära.
Derivata - 14
Teori ▪ Derivatan i en godtycklig punkt
Den beräkning som vi utfört med funktionen y = x2 i punkten x =1 kan
utföras med de flesta av de funktioner som vi kommer att studera
framöver.
Vi behöver inte ens i förväg bestämma var punkten P ska ligga. Vi söker
nu derivatan för en fast men godtycklig punkt med koordinaterna (x, x2).
Låt oss alltså på nytt beräkna derivatan till y = x2 men nu för punkten P:
(x, x2).
Den närbelägna punkten Q har då koordinaterna (x+∆x, (x+∆x)2) och
( x + ∆x )2 − x 2
k-värdet är alltså
.
x + ∆x − x
Förenkling enligt kvadreringsregeln ger
x 2 + 2 ∆x + ( ∆x )2 − x 2 2 x∆x + (∆x) 2
( x + ∆x) 2 − x 2
k=
=
=
=
∆x
x + ∆x − x
∆x
=2x + ∆x → 2x när ∆x → 0.
Vi kan alltså konstatera att derivatan till y = x2 är 2x för x-koordinaten x.
dy
Det uttrycks symboliskt som f ′(x) = 2x eller
= 2x
dx
Detta stämmer med vårt tidigare resultat för x = 1 eftersom f ´(1) = 2⋅1.
−1
1
Visa att f ′( 2) =
om f(x) = [Ledning: Teckna först ändringskvoten
4
x
för intervallet 2 ≤ x ≤ (2 + ∆x).]
Derivata - 15
Modell ▪ Vad betyder f(x) och f ′(x) i praktiken?
Exempel
Tidvattnet gör att vattendjupet i en hamn i till exempel Fundy Bay i
Canada varierar med tiden. Antag att T(t) m är vattendjupet t timmar
efter kl. 12.00. Förklara med ord vad följande betyder:
T(3) = 10 och T ′(6) = -3.
Lösning
T(3) = 10 betyder att vattendjupet 3 h efter kl.12.00 är 10 m.
T ′(6) = −3 betyder att vattendjupet förändras i takten –3 m/h kl.18.00
(6 h efter kl.12.00). Minustecknet betyder att djupet minskar. Vi kan
inte av detta dra slutsatsen att vattendjupet kommer att vara 3 meter
mindre klockan 19.00. Att T ′(6) = −3 betyder att förändringen har den
hastigheten ett kort tidsintervall omkring klockan18.00. Vattendjupet
förändras inte linjärt. En rimlig uppskattning kan vara att vattendjupet
300 cm
= 5 cm / min.
kring den tidpunkten minskar
60 min
Derivata - 16
G2.9
a)
Kylvattnets temperatur i en bilmotor är f(x) °C x min efter det
att motorn gått igång. Förklara med ord vad följande uttryck
betyder:
b)
f(6) = 87
f ′(6) = 0
G2.10 Tre funktioner f(x) har följande egenskaper:
f(-1) f´(-1) f´(1)
1. 2
2. 4
3. -2
1
-1
2
0
0
1
Skissa graferna till de tre funktionerna f(x).
G2.11 Lös följande
a)
b)
c)
d)
uppgifter med
hjälp av grafen
här bredvid till
funktionen f(x).
Bestäm f ′(2)
Bestäm f ′(3)
Lös ekvationen
f ′(x) = 0
Lös olikheten
f ′(x) > 0
Derivata - 17
G2.12 Figuren här
bredvid visar
grafen till en
fjärdegradsfunktion. I
vilken (vilka) av
punkterna A – G
gäller det att
a)
b)
c)
f ′(x) = 0
f ′(x) < 0
f ′(x) > 0
Teori ▪ Hur beräknas närmevärden till derivatan
utifrån f(x)?
Eftersom gränsvärdet för ändringskvoten
derivatan så måste
värden på ∆x .
f ( x + ∆x ) − f ( x )
är
∆x
f ( a + ∆x ) − f ( a )
≈ f ′ (a) för tillräckligt små
∆x
Exempel
Antalet bakterier f(x) i en buljong är 500 st vid tidpunkten 0 h. Efter x h
är antalet f(x)=500⋅1,78x . Beräkna ett närmevärde till f ′(4) .
Lösning
Vi utnyttjar att för små värden på ∆x är ändringskvoten =
500 ⋅ 1,78 4+ ∆x − 500 ⋅ 1,78 4
=
≈ f′ (4)
∆x
Vi väljer till exempel ∆x = 0,001 och får f ′(4)
500 ⋅ 1,78 4, 001 − 500 ⋅ 1,78 4
=
= 2895. Alltså är f ′(4) = 2895 ≈ 2900
0,001
Derivata - 18
G2.13 En elev vill bestämma lutningen för kurvan y = 3 x då x = 2 .
Eftersom han inte kan derivera y = 3 x kan han inte lösa
uppgiften genom att beräkna derivatans värde då x = 2 .
Han bestämmer då ett närmevärde till derivatan genom att
3 ⋅ 2,1 − 3 ⋅ 1,9
beräkna ändringskvoten
. Teckna en ny
2,1 − 1,9
ändringskvot som bör ge ett bättre närmevärde till derivatan.
Endast svar med tecknad ändringskvot erfordras. (NpC vt96)
7 x 2 − 5x
. Uppskatta värdet på f ′(3) genom
3
f ( 3,01) − f ( 3,00)
. Svara med
att beräkna ändringskvoten
0,01
en decimals noggrannhet.
G2.14 Antag att f ( x ) =
G2.15 Ett karottunderlägg av täljsten har vid tidpunkten t = 0
temperaturen T(0) = = 65,0 °C. Vid tidpunkten t min har
täljstenens temperatur sjunkit till T(t) °C.
Enligt Newtons avsvalningslag är T(t) = 24,0 + 41,0⋅0,979t.
Du vill veta hur snabbt temperaturen sjunker 15 min efter
tidpunkten 0. Vad bör du beräkna?
V2.16 Det antal människor som smittades av influensa under de
a)
b)
första fjorton dagarna en vårmånad ges av formeln
P = 13t2 – t3, där 0 ≤ t ≤ 14.
Beräkna och tolka P´(5).
Beräkna P´(t) = 0 och ge en tolkning av resultatet.
Fundera på detta!
(Sant eller falskt?)
Om en funktion är sammanhängande (kontinuerlig) i punkten
A så är den deriverbar i punkten A.
Derivata - 19
3 Derivatan av potensfunktionen och
summor av funktioner
Teori ▪ Derivatan av xn är nxn-1
Definition En potensfunktion är en funktion av formen f(x) = x a, x > 0,
a är ett reellt tal.
Några exempel på potensfunktioner: f(x) = x3, f(x) = x2, f(x) = x1/2 (annat
1
skrivsätt f(x) = x ), f(x) = x –1 (annat skrivsätt f(x) = ), f(x) = x3/2 och
x
f(x) = xπ.
Vi härleder nu derivatan för funktionerna f(x) = a, f(x) = x, f(x) = x2
och f(x) = x3.
• Om f(x) = a (funktionsvärdet är konstant = a oberoende av värdet på
a−a
x) så är ändringskvoten
vilket kan förenklas till 0. Alltså är
∆x
f ′(x) = 0.
( x + ∆x ) − x
• Om f(x) = x så är ändringskvoten
vilket kan förenklas
∆x
till 1. Alltså är f ′(x) = 1. Vi inför här ett tredje beteckningssätt för
derivatan och skriver Df(x) i stället för f ′(x) . D(x) = 1 (Utläses:
Derivatan av x är ett.)
• f(x) = x2. Vi har redan visat att Dx2 = 2x. (Se sidan Analys – 15)
( x + ∆x )3 − x 3
vilket kan förenklas till
∆x
x 3 + 3 x 2 ∆x + 3 x ( ∆x )2 + ( ∆x )3 − x 3 3 x 2 ∆x + 3 x ( ∆x )2 + ( ∆x )3
=
= 3 x 2 + 3 x ∆x + ∆x 2 .
∆x
∆x
• f(x) = x3. Ändringskvoten är
Denna kvot har gränsvärdet 3x2 när ∆x går mot noll. Detta betyder
att Dx3 = 3 x2
Derivata - 20
•
Visa nu att potensfunktionen f(x) = x4 har derivatan Dx4 = 4x3.
Hypotes: Dxn = nxn-1
Detta stämmer med de föregående bevisen där n var 1, 2 och 3. Om du
vill ha en utmaning kanske du kan hitta ett bevis för hypotesen om n är
ett godtyckligt naturligt tal. Beviset för godtyckliga värden på n får vänta
till kapitlet om exponentialfunktioner.
•
Vi vill derivera produkten av en konstant a och en funktion, vars
derivata vi redan vet. Vi kallar funktionen f(x) och produkten u(x).
Vi får då u(x) =a⋅f(x). Derivatan av f(x) kan vi ange med hjälp av de
regler vi hittills ställt upp. Vi skriver ändringskvoten för u(x):
u ( x + ∆x) − u ( x) a ⋅ f ( x + ∆x) − a ⋅ f ( x) a[ f ( x + ∆x) − f ( x)]
=
=
→
∆x
∆x
∆x
→ a ⋅ f ´( x)
när ∆x → 0. Gränsvärdet för ändringskvoten är alltså = a⋅ f ′(x) .
Det betyder att D[a⋅f(x)] = a⋅Df(x)
Detta innebär t ex att D(7⋅x5) = 7⋅5x4 = 35x4
• Vi vill derivera summan av två funktioner, vilkas derivator vi redan
vet. Vi kallar de två funktionerna f(x) och g(x) och summan u(x). Vi
får då u(x) = f(x) + g(x). Derivatan av f(x) och g(x) kan vi ange med
hjälp av de regler vi hittills ställt upp. Vi skriver ändringskvoten för
u(x):
u ( x + ∆x) − u ( x)
f ( x + ∆x) + g ( x + ∆x) − f ( x) − g ( x)
=
∆x
∆x
f ( x + ∆x) − f ( x) + g ( x + ∆x) − g ( x)
=
∆x
f ( x + ∆x) − f ( x) g ( x + ∆x) − g ( x)
=
+
→ f ′( x) + g ′( x)
∆x
∆x
när ∆x → 0. Gränsvärdet för ändringskvoten är alltså: f ′(x) + g ′(x) .
Det betyder att D[f(x) + g(x)] = Df(x) + Dg( x).
Derivata - 21
G3.1
a)
b)
c)
G3.2
Derivera funktionerna
y = x5
y = 7x
y = 3x2
a)
b)
c)
Bestäm
D(4x3 – 3x)
D(x –13)
D(0,04x + 0,02x2)
d)
D(
G3.3
a)
b)
c)
d)
x3
− 3x )
3
d)
e)
f)
y = -7x
y = 19
y = x4 + x2
e)
D(
x5
+ 3x 4 )
3
f)
D(
5x 5 x 3
− )
6
3
e)
f)
g)
f(x) = (3x – 1)2
f(x) = (x – 3)(x + 3)
f(x) = (3x – 2)(x + 4)
h)
f(x) =
Bestäm f ′(x) om
2x 6 4x5
−
3
5
5x 2 − 3 x
f(x) =
6
f(x) =
f(x) = x(x – 3)
f(x) =
5x 5 + 4 x − 2
6
2x 6 4x5
+
5
3
G3.4
I två punkter på kurvan till funktionen f(x) = x3 – 4x – 3 har
tangenten riktningskoefficienten −1. Vilka är punkterna?
G3.5
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = x3 – 2x i den
punkt som har x−koordinaten
x=1
c)
x = −1
x=2
a)
b)
G3.6
Beräkna derivatans nollställen till funktionen
f(x) =
x3
3
2
– 5x – 6x – 1
2
V3.7
Beräkna värdet på konstanten a så att derivatan till funktionen
f(x) = ax3 + x2 har ett nollställe för x = 2.
V3.8
Antag att y = xz3 – x2z. Bestäm
dy
dy
och
.
dz
dx
Derivata - 22
V3.9
Bevisa D 1 = −12 att med hjälp av ändringskvotens gränsvärde
x
x
då ∆x går mot noll.
V3.10 Det magnetiska flödet Φ inuti en lång spole är proportionellt
mot strömstyrkan i och spolens antal trådvarv N. Vidare är
flödet omvänt proportionellt mot spolens längd l. Beräkna
dΦ
dΦ
di
och
dl
.
V3.11 Bevisa att D x = −
1
2 x
med hjälp av ändringskvotens
gränsvärde då ∆x går mot noll.
V3.12 Bestäm f ′(1) med reglerna i uppgift V3.9 och V3.11 om
a)
b)
c)
d)
x
5
3 x
f(x) =
7
3
f(x) =
5x
f(x) = 3 x + 5 x
f(x) =
e)
f)
g)
Derivata - 23
3 + 2x
x
f(x) = 3 x
2 2
f(x) = (x +
)
x
f(x) =
4 Sambandet mellan en
polynomfunktions graf och dess
derivata
Teori ▪ Växande och avtagande, lokalt maximum och
lokalt minimum, största och minsta värde.
•
•
•
Vi studerar grafen till funktionen f ovan. Om vi rör oss efter kurvan
från punkten A till D så upptäcker vi att det minsta funktionsvärdet
(y-värdet) finns redan vid starten på vår färd. Funktionens minsta
värde är −2.
När vi rör oss i intervallet –2 ≤ x ≤ −1 är funktionen växande.
Det betyder att en ökning av ett x-värde medför en ökning av
funktionsvärdet. Grafen till funktionen f stiger i intervallet.
När vi rör oss från x = −1 till x = 1 så är funktionen avtagande.
Det betyder att en ökning av ett x-värde medför en minskning av
funktionsvärdet. Grafen till funktionen f sjunker i intervallet.
Derivata - 24
•
•
•
Punkten B = (−1, 2) ligger alltså högre än punkter i dess nära
omgivning på grafen. Denna punkt är ett lokalt maximum. Från
x = 1 till x = 3 rör vi oss åter uppåt. Funktionen är växande i
intervallet 1 ≤ x ≤ 3.
Punkten C = (1, −2) ligger alltså lägre än punkter i dess nära
omgivning på grafen. Denna punkt är ett lokalt minimum.
Funktionens når sitt minsta värde även här.
Punkten D = (3, 18) är kurvans slutpunkt. Funktionens största
värde är alltså 18.
G4.1
I vilka intervall är nedanstående funktion växande respektive
avtagande?
Derivata - 25
G4.2
I vilket intervall är nedanstående funktion växande?
G4.3
Ange alla lokala maxima och minima till funktionen med
nedanstående graf. Vilket gradtal har den polynomfunktion
som gett denna graf? Ange även funktionens minsta och största
värde. Försök att avläsa resultaten med en decimals
noggrannhet.
Derivata - 26
G4.4
a)
b)
G4.5
a)
b)
c)
Figuren här
bredvid visar
grafen till
funktionen f.
Lös ekvationen
f ′(x) = 0
Lös olikheten
f ′(x) > 0
Figuren bredvid
visar grafen till
funktionen f.
Bestäm f ′ (0)
Lös ekvationen
f ′(x) = 0
Lös olikheten
f ′(x) ≤ 0
Derivata - 27
Teori ▪ Sambandet mellan en kurvas lutning och dess
derivata.
Tänk dig att du åker skidor i en backig terräng. Dina skidor har i varje
ögonblick samma lutning som tangenten i punkten har. Detta innebär
att du hela tiden känner om det är medlut eller motlut och om lutningen är flack eller brant. Vad motsvarar detta matematiskt?
I motlut är den funktion som beskriver terrängen växande. Tangenten
har då ett positivt k-värde. Detta innebär också att derivatan har ett
positivt värde. I medlut är den funktion som beskriver terrängen
avtagande. Tangenten har då ett negativt k-värde. Detta innebär också
att derivatan har ett negativt värde.
Slutsats: Om en funktions derivata är större än eller lika med noll i ett
intervall så är funktionen växande i detta intervall. Med matematiska
symboler: Om f ′( x) ≥ 0 i intervallet a < x < b, så är f växande i detta
intervall.
Derivata - 28
Slutsats: Om en funktions derivata är mindre än noll i ett intervall så är
funktionen avtagande i detta intervall. Med matematiska symboler: Om
f ′( x) ≤ 0 i intervallet a < x < b, så är f avtagande i intervallet.
Vilket värde har derivatan i lokala maximi- eller minimipunkter?
Slutsats: När en funktion har ett lokalt maximum för ett visst x-värde
så övergår kurvan från växande till avtagande. Tangenten till kurvan är
vågrät precis i maximipunkten (om det finns en tangent i denna punkt).
Derivatan växlar alltså tecken från positivt till negativt och måste vara
lika med 0 i den lokala maximipunkten.
Slutsats: När en funktion har ett lokalt minimum för ett visst x-värde
så övergår kurvan från avtagande till växande. Tangenten till kurvan är
vågrät precis i minimipunkten. Derivatan växlar alltså tecken från
negativt till positivt och måste vara lika med 0 i den lokala
minimipunkten.
Vissa kurvor kan ha terrasspunkter. Dessa kurvor är antingen växande
eller avtagande i ett intervall men i en punkt i intervallets inre är
derivatan lika med noll. I figuren nedan är kurvans terrasspunkt (3, 1)
Derivata - 29
Derivatamaskin
I tre godtyckliga punkter, P 1 , P 2 och P 3 på den blå funktionsgrafen till f
dras tangenterna T 1 , T 2 och T 3 . Den vågräta sidan i de tre trianglarna
till punkterna, P 1 , P 2 och P 3, har längden ∆x = 1. Alltså: Den lodräta
sidans längd är lika med absolutbeloppet av tangentens k-värde. Detta är
absolutbeloppet av derivatans värde. Om derivatan är positiv är den
lodräta sidan blå och om derivatan är negativ är sidan röd. De tre
sidorna (derivatorna) ritas dessutom på den nedre gröna x-axeln, uppåt
för positiva derivator och nedåt för negativa derivator. Gör vi detta för
den blå kurvans alla punkter får vi derivatan utritad som en graf.
Vi använde begreppet absolutbelopp ovan. Absolutbeloppet av ett reellt
tal a betecknas |a| och definieras på följande sätt:
|a| = a om a ≥ 0
|a| = ─ a om a ≤ 0
Derivata - 30
Vi kan utifrån detta se att |5| = 5 och |─ 5| = 5. Fundera på följande
övningar:
•
5 8  ?
•
Rita linjen y = x  3 .
•
Är det sant att a  b  a  b ?
G4.6
a)
b)
Graferna nedan är derivator f ′(x) .
För vilka värden på x har motsvarande funktioner f(x) maximi-,
respektive minimipunkter?
För vilka intervall är motsvarande funktioner växande
respektive avtagande?
A
C
B
E
Derivata - 31
Modell ▪ Funktionsstudier med förstaderivatan
I funktionsläran är följande fyra frågor ofta aktuella:
• Hur ser grafen till funktionen f(x) ut?
• I vilka intervall är funktionen f(x) växande respektive avtagande?
• Vilka är funktionens lokala maximi- och minimipunkter?
• Vilket är funktionens största respektive minsta värde?
Vid många praktiska tillämpningar behöver man känna till en funktions
lokala maximi- och minipunkter. Att rita en riktig graf till funktionen
enbart med hjälp av en värdetabell är mycket svårt. Det är lätt att missa
viktiga egenskaper hos funktionsgrafen om man inte låter punkterna
ligga mycket tätt. Och inte ens då kan vi vara helt säkra på att vi hittat
de exakta lägena hos maximi- och minimipunkterna. Vi tar som exempel
12 x 2 − 4 x 3 − 9 x
funktionen y =
.
5
x
y
En värdetabell för heltaliga x-värden får
följande utseende. Av denna tabell kan
5
−1
man dra slutsatsen att kurvan faller för alla
0
0
värden på x.
1
−0,2
2
−0,4
3
−5,4
4
−20
x
y
En tätare värdetabell mellan x = 0 och
x = 2 visar att något intressant händer där
0
0
som vi inte kommer åt med den tidigare
0,25
−0,3125
värdetabellen.
0,5
−0,4
0,75
−0,3375
1
−0,2
1,25
−0,0625
1,5
0
1,75
−0,0875
2
−0,4
Derivata - 32
Det visar sig nu att funktionen
antar ett lägre värde än −0,2 i
intervallet 0 ≤ x ≤ 1 och att
den i intervallet 1 ≤ x ≤ 2
vänder upp till värdet 0 för att
sedan börja falla allt brantare.
Kurvan verkar ha två lokala
extrempunkter. Vi ser att det
kan vara en ofullkomlig metod
att rita kurvor med hjälp enbart av en tabell. Det är då lätt
att missa att kurvan är växande
i intervallet 0,5 < x < 1,5 och
därmed missar vi också
minimum för (0,5; −0,4) och
maximum för (1,5; 0). Kurvan
ser i verkligheten ut så här:
Derivatan ger oss ett mycket starkt hjälpmedel för oss att snabbt och
exakt avslöja hur funktionen verkligen uppträder. Vi kan med den räkna
fram x-värdena för maximi- och minimipunkterna och kan sedan rita
kurvan noggrant.
Hur hittar vi nu x-värdena för de lokala maximi- eller minimipunkterna?
x 3 3x 2
−
+ 2x
3
2
Lösning Vi gör arbetet i följande steg:
• (D) Teckna först derivatan: y ′= x2 – 3x + 2.
• (E) Bestäm sedan för vilka x-värden derivatan är = 0. För dessa xvärden har kurvans tangent k-värdet = 0, det vill säga tangenten är
vågrät. Motsvarande punkt på kurvan kan vara ett lokalt maximum
eller minimum eller en terrasspunkt. För att göra detta tecknar vi
ekvationen y′ = 0: x2 – 3x + 2 = 0.
Exempel Rita tredjegradskurvan y =
2
x1, 2
3
3
= ±   − 2 vilket medför
2
2
 x1 = 1

 x2 = 2
Derivata - 33
•
(DEF) Ofta är funktionens definitionsmängd (D f ) alla reella tal
och då går man vidare med att undersöka samtliga nollställen till
derivatan. Men ibland är definitionsmängden ett begränsat område.
Då undersöker man bara det eller de nollställen som ingår i D f . I
detta fall är definitionsmängden alla reella tal och vi ska alltså undersöka båda nollställena.
(T) Vi vill nu veta om x 1 = 1 ger lokalt maximum, minimum eller
terrasspunkt. Samma sak önskar vi veta för x 2 = 2. Vi undersöker
därför derivatans teckenväxling vid nollställena. Det betyder att
avgöra om derivatan växlar tecken som: + → 0 → − eller
− → 0 → +. Vi beräknar därför derivatans värde för något x-värde i
vart och ett av intervallen: x < 1, 1 < x < 2 och x > 2. Exempelvis
kan vi välja x = 0, x = 1,5 och x = 3. Vi får då f′ (0) = 2 (> 0),
f′ (1,5) = −0,25 (< 0) och f′ (3) = 2 (> 0). Vi får alltså följande tabell:
•
x
x<1
1
1<x<2
2
f ′(x)
+
0
–
0
+
derivatans teckenväxling
f(x)

max

min

grafens utseende
•
x > 2 derivatans nollställen
(T) Vi behöver nu bara en värdetabell för att kunna rita grafen till
funktionen f.
x
f(x)
-2
-12,67
-1
-3,83
0
0
1
0,83
1,5
0,75
2
0,67
3
1,5
4
5,33
DEFT (=skicklig) [D= derivera E= lös ekvation;
DEF = bestäm definitionsmängd T= gör teckenstudium
Derivata - 34
•
Därefter prickar vi
in punkterna i ett
koordinatsystem,
vi ritar en graf.
G4.7
Använd derivatan för att undersöka funktionerna nedan med
avseende på växande och avtagande.
a) f(x) = x2 – 8x
g) f(x) = 3 – 2x – x2
b) f(x) = 3x2 – 24x
h) f(x) = 2x – 5x2
2
c) f(x) = 4x – 8x
i) f(x) = x3 – 12x
d) f(x) = x2 – 8x + 7
j) f(x) = x3 – 3x2 + 7
e) f(x) = 3x2 – 12x – 36
k) f(x) = 7,5x2 – x3 –12x
f) f(x) = 7 – 8x + x2
G4.8
Använd derivatan för att beräkna eventuella maximi-, minimieller terrasspunkter till funktionerna nedan.
a) f(x) = 16x – 8x2
e) f(x) = x3 – x2 – 6x
b) f(x) = 9x – 3x2 – x3
f) f(x) = x4 – 3x3 + 9
c) f(x) = 3x2 – 2x3
g) f(x) = x3 + 9x
d) f(x) = x3 – 3x2 + 9x
Derivata - 35
G4.9
Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x) = x2 + 2x –3
i intervallet -3 ≤ x ≤ 2.
G4.10 Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x) = x3 – 3x –3
i intervallet -2 ≤ x ≤ 2.
G4.11 Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x) = x4 – 2x3 i
intervallet -2 ≤ x ≤ 2.
G4.12 Bestäm största och minsta värde för funktionen f(x) = 1 – 3x – x3
i intervallet −3 ≤ x ≤ 0.
G4.13 Bilden visar en rektangel i första kvadranten med nedre
vänstra hörnet i
origo och övre högra hörnet på grafen
till funktionen
y = 4 – x2. Beräkna
rektangelns
maximala area.
G4.14 En villaägare vill anlägga en badplats vid en å. Badplatsens
kortsidor ska gå vinkelrätt mot ån. Han tänker inhägna
badplatsen med ett 120 m långt staket så att badplatsen blir så
stor som möjligt. Hur stor area får badplatsen?
G4.15 Isabelle har fått i uppdrag att
rita en fågelpark åt ett zoo.
Hon tänker skapa ett
rektangulärt område som i
sin tur innehåller 4 inre
rektangulära områden.
Områdena ska separeras med
ett ganska dyrbart nät med
längden 1200 m. Vilken är
den största möjliga area som
hon kan åstadkomma med
detta nät?
Derivata - 36
V4.22 Roger skall tillverka en tryckt affisch med så liten area som
möjligt. Området med tryck är 243 cm2. Sidomarginalerna är
4 cm och marginalerna upptill och nedtill är vardera 6 cm.
Beräkna det optimala värdet på arean.
V4.23 En tillverkare av aluminium har 100 ton som han kan sälja
med en vinst på 15kkr/ton. För varje vecka som han
fördröjer försäljningen hinner han producera ytterligare 20
ton aluminium. Tyvärr så faller också priset 2 kkr/ton för
varje veckas fördröjning. Vid vilken tidpunkt gör han
maximal vinst vid försäljningen av metallen?
V4.24 Om funktionen f vet man följande: f ( 7)  3 och för
7  x  9 gäller att 0,8  f ( x )  1,2 .
Bestäm största möjliga värde för f (9) . (NpC vt 96)
V4.25
Vilken är den maximala volymen hos en cylinder som är
omskriven av en sfär med radien 12 cm?
V4.26
Bestäm lokala extrempunkter till funktionen.
y = 2x0,5 – 2x2 där x >0
V4.27 Lös ekvationen f ( x ) = 0 om f(x) = x3 + 5x2 – 11x.
Ange svaret med tre gällande siffror.
V4.28 Bestäm ekvationen för den eller de tangenter till kurvan
y = x3 – 3x2 – 12x som har k-värdet 12. Grafisk lösning
godtas ej.
V4.29 Bestäm största och minsta värde för funktionen
f(x) = 2x2 – x4 + 1 i intervallet 3  x  0.
V4.30 Skissa grafen till en funktion för vilken följande villkor
gäller:
a) f (0) = 1
b) f (3) = 1
c) f (1) = 0
Derivata - 38
d) f (3) = 0
V4.22 Roger skall tillverka en tryckt affisch med så liten area som
möjligt. Området med tryck är 243 cm2. Sidomarginalerna är 4
cm och marginalerna upptill och nedtill är vardera 6 cm.
Beräkna det optimala värdet på arean.
V4.23 En tillverkare av aluminium har 100 ton som han kan sälja
med en vinst på 15kkr/ton. För varje vecka som han fördröjer
försäljningen hinner han producera ytterligare 20 ton
aluminium. Tyvärr så faller också priset 2 kkr/ton för varje
veckas fördröjning. Vid vilken tidpunkt gör han maximal vinst
vid försäljningen av metallen?
V4.24 Om funktionen f vet man följande: f ( 7 ) = 3 och för
7 ≤ x ≤ 9 gäller att 0,8 ≤ f ′( x ) ≤ 1,2 .
Bestäm största möjliga värde för f ( 9 ) . (NpC vt 96)
V4.25
Vilken är den maximala volymen hos en cylinder som är
omskriven av en sfär med radien 12 cm?
V4.26
Bestäm lokala extrempunkter till funktionen
2
f ( x ) =2 x − x ( x > 0) .
V4.27 Lös ekvationen f ′( x ) = 0 om f(x) = x3 + 5x2 – 11x.
Ange svaret med tre gällande siffror.
V4.28 Bestäm ekvationen för den eller de tangenter till kurvan
y = x3 – 3x2 – 12x som har k-värdet 12. Grafisk lösning godtas
ej.
V4.29 Bestäm största och minsta värde för funktionen
f(x) = 2x2 – x4 + 1 i intervallet −3 ≤ x ≤ 0.
V4.30 Skissa grafen till en funktion för vilken följande villkor gäller:
a) f (0) = 1
b) f (3) = 1
c) f ′(1) = 0
Derivata - 38
d) f ′(3) = 0
V4.31 Bredvid finns grafen till f ´(x).
a)
b)
c)
d)
Vilket av alternativen a) – d)
motsvarar grafen?
f(x) = −x3/3 + 2x2 – 4x
f(x) = x2 – 4x + 4
f(x) = x3/3 – 2x2 + 4x
1
f(x) = (x – 2)4
4
V4.32 Använd grafritande räknare för att bestämma de lokala
a)
b)
extrempunkterna till funktionerna a) – b).
f(x) = 192x4 – 544x3 + 252x2 + 324x – 189
f(x) = x3 – 0,3x4
V4.33 Bestäm konstanten a i f ( x ) =x 3 + ax 2 −9 x så att funktionen får
ett lokalt maximum för x = –3.
V4.34 Bestäm konstanterna a och b i f ( x ) = 3 x 4 + ax 3 + bx 2 så att funktionen får ett lokalt minimum för x = 3 och maximum för x = 2.
V4.35 A family wants to build a veranda on their
cottage. The architect drew them a sketch
which shows it built on the corner of the cottage. A railing is to be constructed around the
four outer edges of the veranda. If AB = DE,
BC = CD and the length of the railing is 30
m, then what dimensions will give max area?
V4.36
a)
b)
Ekonomipriset år 2001 tilldelades bl a
svenskättlingen George Akerlof för teorin
om sambandet mellan inflation, i och
arbetslöshet, a.
Är i en funktion av a eller är a en funktion
av i? Motivera svaret.
Ange den lokala extrempunkten till
funktionen i uppgift a).
Derivata - 39
5 Funktionen ex, dess derivata
samt logaritmlagarna
Teori ▪ Hur definieras talet e ?
Vi har tidigare studerat exponentialfunktionen y =B⋅k x men vi har ännu
inte sagt något om dess derivata.
I figurerna nedan har vi ritat funktionerna y=2x (blå kurva) och y=3x (röd
kurva) samt deras tangenter i punkten (0,1) dvs de räta linjer som
nuddar kurvorna i denna punkt.
Derivata - 40
Tangenten till y = 2x är y = 0,7x+1 samt tangenten till y = 3x är
y =1,1x + 1.
Eftersom y = kx blir brantare i punkten (0, 1) ju större värden basen k
har, så är det troligt att det finns ett värde på basen k, då k i sin ökning
från 0,7 till 1,1 får värdet 1. För detta k-värde, som fått symbolen e, bli
alltså tangenten y =1⋅x+1 eller y = x +1. Vi skall nu se om vi kan beräkna
värdet på e.
Figuren ovan tyder på att i närheten av x = 0 är ex ≈ x + 1. Om vi
upphöjer både vänstra och högra sidan av ekvationen till 1/x får
(ex)1/x = (x+1)1/x
e = (x+1)1/x
Ju närmare x = 0 vi befinner oss, desto bättre stämmer denna likhet. Vi
kan utnyttja detta för att beräkna värdet på e med allt bättre
noggrannhet.
x
0,1
0,001
0,00001
0,0000001
(x+1)1/x
2,593742
2,716924
2,718268
2,718282
Derivata - 41
Det verkar som vi kan vara säkra på ett närmevärde med tre decimaler
för e, nämligen e=2,718. Basen e är ett irrationellt tal. Kan du minnas
några andra irrationella tal?
Räknare har en funktion [ex] för beräkningar med talet e.
Inmatningen [ex] 1 ger ett närmevärde på e1 (=e).
Teori ▪ Mer om talet e. Naturlig tillväxt.
När man har pengar på ett räntebärande konto, är det vanligast att
räntan läggs till kapitalet en gång om året. Om man öppnar ett
konto vid ett årsskifte och sätter in 10 000 kr till 4% ränta
kommer det att finnas 10 000 kr på kontot ända till nästa årsskifte,
då kapitalet tar ett språng upp till 10 400 kr när räntan läggs ihop
med kapitalet. Detta kan tyckas orättvist. Vid halvårsskiftet har ju
pengarna stått på kontot i sex månader och gett upphov till ett
halvt års ränta som inte i sin tur ger någon ränta. Frågan är hur
mycket man skulle tjäna om räntan i stället lades till kapitalet varje
halvår. Vi kallar startkapitalet för K 0 , årsräntan för p% och tiden x
år. Kapitalet K x efter x år beräknat med årsränta blir då:
x
p 

K x = K 0 ⋅ 1 +

 100 
p
Vid halvårsränta blir räntan % och vi ska upphöja till 2x halvår.
2
Kapitalet efter x år blir nu:
p 

K x = K 0 ⋅ 1 +

 2 ⋅100 
2x
2

p  
= K 0 ⋅ 1 +
 
 2 ⋅100  
Läggs kapitalet till månadsvis blir formeln denna:
12

p  
K x = K 0 ⋅ 1 +
 
 12 ⋅100  
Derivata - 42
x
x
Tabellen visar hur kapitalet 10 000 kr växer med ränta helårs-, halvårsoch månadsvis. Räntesatsen är 4%.
Årsränta
Halvårsränta
Månadsränta
10 400
10 404
10 200
10 033
10 067
10 100
10 134
10 168
10 202
10 236
10 270
10 304
10 338
10 373
10 407
Till slut ska vi låta räntan läggas till kapitalet i samma ögonblick som den
uppkommer. Det gör vi genom att skriva uttrycket
x
a

p  
K x = K 0 ⋅ 1 +
 
 a ⋅100  
där a är det antal gånger som räntan ska läggas till kapitalet under ett år.
Sedan låter vi a växa mot oändligheten.
a

p  

K x = K 0 ⋅ lim1 +
 
a ⋅100  
 a→∞
Vi skriver nu
x
p
1
= , som ger
a ⋅100 n
a
p 

 1
= lim1 + 
lim1 +

a →∞
 a ⋅100  n→∞ n 
pn
100
  1
= lim1 + 
n→∞ n 
n
n



p
100
 1
vilket värde lim1 +  får för större och större n:
n →∞
 n
n
n
 1
1 + 
 n
1
2,0000000
10
2,5937425
100
2,7048138
1000
2,7169239
10 000
2,7181459
100 000
2,7182682
1 000 000
2,7182805
10 000 000 2,7182817
100 000 000 2,7182818
Derivata - 43
. Vi undersöker nu
Här känner vi igen talet e. Vi har med andra ord visat, att om räntan
läggs till kapitalet direkt, växer kapitalet enligt funktionsuttrycket
px
K = K 0 e 100 . Kapitalet i vårt exempel kommer då på ett år att växa till
4⋅1
10000 ⋅ e 100 kr = 10 408,10 kr. Skillnaden mellan ögonblicklig ränta och
årsvis ränta är tydligen inte så stor. Denna matematiska modell kan användas på många olika växanden och avtaganden i naturen, till exempel
tillväxt av djurpopulationer och bakterier, sönderfall av kemiska föreningar och radioaktiva atomer, urladdning av kondensatorer och mycket
annat.
p
= k . Då skrivs
100
funktionen y = y0 e kx , vilket är uttrycket för naturlig eller organisk
tillväxt. Talet k kallas tillväxthastigheten. Logaritmer med basen e kallas
naturliga logaritmer.
Vi släpper kopplingen till procenttal och gör bytet
G5.1
Bestäm med räknare
a) e0,27
b) e1,17
G5.2
Värdet av en bil beräknas med formeln V = 132000⋅e-0,01t,
där t är tiden i år sedan bilen köptes ny för 132000 kr.
Beräkna bilens värde efter 6 år.
c) e-0,58
Derivata - 44
Teori ▪ Derivatan av ex
Vi ska nu bestämma derivatan till funktionen ex. Funktionens värde för
ett speciellt x-värde tecknar vi ex. Vi ökar nu x-värdet med tal ∆x och
skriver upp ändringsfaktorn:
e x +∆x − e x e x e ∆x − e x e x (e ∆x − 1)
= =
∆x
∆x
∆x
Eftersom e ∆x ≈ ∆x + 1 får vi:
e x ( ∆x + 1 − 1) x
e x (e ∆x − 1)
≈
=e
∆x
∆x
Vi ser, att ju mindre ∆x är desto mer lika blir ändringsfaktorn och ex.
Alltså: Dex = ex
Försök själv att härleda formeln: Dekx = k⋅ekx .
Modell ▪ Den naturliga logaritmen ln x
Om y = ex så är x den naturliga logaritmen till y, som skrivs x = ln y.
Uttrycken y = ex och x = ln y kan kombineras till sambandet y = eln y
Visa själv att x = ln ex
Vi kan nu uttrycka ett godtyckligt tal som en potens med talet e som
bas. Så blir till exempel 5,89 = eln 5,89 = e1,77.
Exempel 1 Lös ekvationen e0,67x = 3,45
Lösning Enligt definitionen på naturliga logaritmer är:
0,67x = ln 3,45
x = (ln 3,45)/0,67
x ≈ 1,85
Svar: x ≈ 1,85
Derivata - 45
Exempel 2 Vi har tidigare ofta använt exponentialfunktionen y = B⋅k x .
Många gånger kan man önska sig denna skriven med basen e. Vi kan
t ex lätt derivera funktionen om dess bas är e. Skriv y = B⋅1,19 x med
basen e.
Lösning Eftersom 1,19 = eln1,19 får vi y = B ⋅1,19 x = B(eln1,19)x = B e0,174x
V5.3
a)
Derivera följande funktioner
y = 120⋅0,89 x
Derivata - 46
b)
y = A 0 ⋅1,192x
M atematiken i historien
Logaritmer har ända sedan det vetenskapliga århundradets tid (1600talet) spelat en mycket viktig roll vid numeriska beräkningar. Det var
den skotske matematikern John Napier (1550 - 617) som publicerade
den första tabellen med logaritmer år 1614. Tycho Brahe och Johannes
Kepler genomförde sina komplicerade beräkningar med hjälp av logaritmer. Det är först under de senaste decennierna som logaritmtabell och
räknesticka har ersatts av datorer och räknedosor. Logaritmtabellerna,
som användes i gymnasieskolorna ända fram på 60-talet, bygger på basen 10. De kallades även briggska logaritmer efter matematikprofessorn i
Oxford Henry Briggs (1561–1630), som utvecklade John Napiers uppfinning och gav ut den första tabellen över logaritmer som kunde
användas praktiskt vid beräkningar.
Hur fungerar en logaritmtabell (eller räknesticka)?
En logaritmtabell upptar logaritmernas decimaldelar. Att beräkna
multiplikationen 345⋅23 går till så att man slår upp 354 i tabellen och
får 5378. Talet 345 ligger mellan 100 och 1000, så lg 345 = 2,5378. På
samma sätt fås siffrorna 3617 när man slår upp 23. Det talet ligger
mellan 10 och 100 och då blir lg 23 = 1,3617. Vi vet alltså att 102,5378 =
345 och 101,3617 = 23.
Vi får 345⋅23 = 102,5378⋅101,3617 = 102,5378+1,3617 = 103,8995 = 7934.
Heltalsdelen av en logaritm kallas karakteristika (siffror med fet stil) och
decimaldelen kallas mantissa.
Detta innebär att multiplikationer utförs genom att addera produkternas
logaritmer och sedan gå tillbaka till tabellen och avläsa det tal som har
summan som logaritm.
Man kan visa att divisioner utförs genom att subtrahera logaritmer och
att potensberäkningar görs genom att multiplicera logaritmer.
Tabellerna behöver bara redovisa mantissor eftersom heltalssiffran talar
om storleksordningen på talen.
Derivata - 47
John Napier som var först med att visa på användningen av logaritmer
använde sig av det som nu kallas naturliga (naperianska) logaritmer, ln x.
Detta innebär att talet e är bas. Detta tal namngavs av Euler (ca 1750)
och han beräknade även e med 23 siffror. En av honom hittad algoritm
för beräkning av e är:
e = 2+
1
1
1+
2
2+
3
3+
4+
G5.4
4
5 + 5...
Bestäm derivatan av
a) e2x b) e-x c) 8⋅e2 – x d) e3x – x
e) 6⋅ex/2 f) 1/ex
G5.5
Beräkna f ´(0) om f(x) = 7⋅e-2x
G5.6
Rita kurvan y = e x/2 för definitionsmängden [-4, 4]
G5.7
Skriv följande tal som en potens med basen e.
a) 5,67
G5.8
a)
b)
c)
d)
e)
G5.9
a)
b) 0,045
c) 123
Lös följande ekvationer och svara med tre gällande siffror
e3x = 0,782
f)
ln(2x) = 0,452
-5x
e = 2,12
g)
4,56⋅ln(5x+2) = 1,23
3x-2
e = 7,81
h)
ex = e3x
9,0⋅e-x = 4,72
i)
3ex = 5e4-x
ex –2,42 = 6,85
j)
2,3e3x = 1,7e-x.
Derivera följande funktioner
y = 3+ex
b) y = 5x – 7ex
c)
G5.10 Beräkna f ′(2) om f(x) = 5x – 3e x/2
Derivata - 48
y = 3 + x – 2x2 + e-5x
G5.11 Ett företag som tillverkar termosar har utvecklat en ny termos. Med hjälp av mätningar
har man undersökt dess förmåga
att behålla temperaturen för
olika drycker. För kaffe har man
kommit fram till att nedanstående formel gäller under vissa
förutsättningar:
f (t ) = 85 ⋅ e −0, 038t där f (t ) är
temperaturen i °C och t är tiden i
timmar efter kaffet hällts i.
a)
b)
c)
d)
e)
Beräkna kaffets temperatur efter 24 timmar.
Formulera en fråga som kan besvaras med hjälp av lösningen
till ekvationen f (t ) = 50.
Lös ekvationen och besvara din fråga.
Vad säger värdet f ′(5) om kaffet?
Nämn någon förutsättning som ska vara uppfylld för att
formeln ska gälla. (NpC vt 98)
G5.12 Befolkningen i ett område beräknas växa enligt formeln
a)
b)
y = 25000⋅e0,01x där x är tiden i år.
Beräkna befolkningens storlek efter 5 år.
Efter hur många år har befolkningen växt till 40 000?
G5.13 För en vara är utbud och efterfrågan, U = 200e0,03x och
E = 500e-0,02x ton/vecka när priset är x kr/kg. Vid vilket pris är
utbud och efterfrågan lika stora?
V5.14 Bestäm det största och minsta värde som funktionen
f(x) = e2x – 2x antar i intervallet –1 ≤ x ≤ 1.
V5.15 Lös, med grafritande räknare, ekvationen 2 – 0,5x = e x/2 genom
att rita kurvorna y = 2 – 0,5x och y = e x/2.
V5.16 Undersök funktionen y = ex – e⋅x + 1 med avseende på extrempunkter samt åskådliggör den i ett koordinatsystem.
V5.17 Bestäm det exakta värdet på a, så att e x + e x+1 = e x+ a.
Derivata - 49
V5.18 En metallstång placeras i ett kylrum med temperaturen 35 °C.
Stångens begynnelsetemperatur är 540 °C. Efter 5 minuter är
dess temperatur 370 °C. Hur länge dröjer det innan metallstången får sin arbetstemperatur som är 95 °C? Formeln för
stångens avkylning är T(t) A + Be -k t.
V5.19 En medicin injiceras i en person. Medicinen avklingar därefter
a)
b)
c)
i blodet enligt formeln Q = Q 0 ⋅e-0,2t där Q 0 är den mängd som
injicerades vid tidpunkten t = 0 och Q är mängden medicin
efter tiden t timmar.
Rita grafen till formeln för definitionsmängden 0 ≤ t ≤ 12 om
Q 0 = 15 mg.
Använd grafen för att beräkna mängden medicin i blodet efter
4 h.
Beräkna avklingningshastigheten efter 3 h om Q 0 = 8 mg.
V5.20 Rita graferna till följande par av funktioner med grafritande
a)
b)
e)
f)
g)
h)
räknare. Den ena grafen är en spegelbild av den andra. Vilken
linje är spegel i de olika fallen?
y = ex och y = ln x
c)
y = ln x och y = ln (-x)
x
y = 10 och y = lg x
d)
y = -ln x och y = ln x
y = x2 och y = x där x ≥ 0
y = ln x2 och y = ex/2
y = x3 och y = x1/4
Funktioner som
är varandras
spegelbilder i den
räta linjen y = x
kallas varandras
inversa
funktioner . Vilka
av funktionerna
ovan är inversa?
Derivata - 50
Modell ▪ Tangent till exponentialfunktionen
Exempel
Beräkna tangentens ekvation till funktionen y = ex + 4x – 2 i den
punkt vars x-koordinat är 0.
Lösning
Vid tangentberäkningar görs ansatsen y = kx + m.
Därefter beräknar vi k-värdet. Eftersom k-värdet i en punkt på
funktionen är lika med derivatans värde måste vi först derivera
funktionen.
y´(x) = ex + 4
y´(0) = e0 + 4 = 1 + 4 = 5
Alltså är k = 5
Därefter måste vi veta tangeringspunktens koordinater.
Om x = 0 blir y(0) = e0+ 4⋅0 – 2 = 1 – 2 = -1
Genom att sätta in punktens koordinater och k-värdet i ansatsen
y = kx + m får vi:
-1 = 5⋅0 + m
Alltså m = -1
Resultat: Tangentens ekvation är y = 5x – 1
G5.21 Beräkna tangentens ekvation i punkten (1, e) till
funktionen y= ex
G5.22 If the tangent to y = ex at the point x = x 0 intersects the x-axis
at x = x 1 , show that x 0 - x 1 = 1.
Derivata - 51
Teori ▪ Logaritmlagar (endast kurs 2C)
Enligt definitionen på logaritmer gäller att x = 10lgx och y = 10lgy, där x
och y är positiva tal. Alltså är xy = 10lgx ⋅ 10lgy
Enligt potenslagarna fås xy = 10lgx + lgy Men enligt definitionen på
logaritm är xy = 10lg(xy). Alltså gäller 10lg(xy) = 10lgx + lgy
Identifikation av exponenterna ger lgx + lgy = lg(xy)
x
y
Försök själv att bevisa lgx – lgy = lg och lgxp =p⋅lgx
Vi har bevisat lagarna med basen 10 Eftersom bevisen ovan är
oberoende av basen så gäller lagarna även för basen e.
lg x + lg y = lg(xy)
ln x + ln y = ln(xy)
lg x – lg y = lg
ln x – ln y = ln
x
y
lg xp =p⋅lg x
x
y
ln xp = p⋅ln x
G5.23 Lös följande ekvationer exakt
a)
b)
c)
d)
lg x = lg 5 + lg 7
lg x = lg 3 + 2lg 5
2ln x = ln 3 – ln 6
ln x = ln 8 – ln 2
e)
f)
g)
lg x = 2lg 3
2ln x = ln 81
ln x = 1 – 3ln 3
G5.24 I en fabrik ger en maskin ljudnivån 74 dB. Vilken ljudnivå ger
två sådana maskiner bredvid varandra? Vi utgår från att intensiteten från de två maskinerna adderas. Formeln för sambandet
mellan ljudnivå, L (mätt i decibel, dB) och ljudintensitet,
I
I (mätt i W/m2) är L = 10lg . I 0 = 0,468⋅10-12 W/m2.
I0
G5.25 Den minsta intensitet som behövs för att vi skall höra ett ljud
är 1,2⋅10-12 W/m2. Tröskelvärdet för smärta är 1,2 W/m2.
Intensiteten för hård rockmusik är 0,15 W/m2. Beräkna
ljudnivån i dessa tre fall.
V5.26 Lös ekvationerna
a) ln x – ln 3 = 1 b) ln x + ln(6 – x) = 3 ln 2 c) lg x – lg(x – 1) = 2lg 3
Derivata - 52
6 Derivatan av en sammansatt funktion
Teori ▪ Sammansatta funktioner
___
Derivata - 53
Modell ▪ Uppdelning av sammansatta funktioner
Exempel 1 Dela upp följande funktioner i inre och yttre funktion.
b) y = sin(2x – 3)
a) =
y ( x 3 − x )2
2
c) y = cos x
y= 3
x −1
d)
Lösning
a) y = u2, u = x3 − x
c) y = u , u = cos x
b) y = sin u, u = 2x − 3
2
d) y = , u = x3 − 1
u
Exempel 2 Teckna den sammansatta funktionen om
a) u(x) = 2x + 1 och y(u) = u2
b) u(x) = πx – π/2 och y(u) = sin u
c) u(x) = x2 – 5x och y(u) = eu
Lösning
a) y(u(x)) = (2x+1)2
b) y(u(x)) = sin (πx – π/2)
c) y(u(x)) = e x
2
−5 x
Dela upp följande funktioner två enkla funktioner:
2x
a) =
y
3x 2 −1
e) =
y sin( − π )
3
1
b)
y=
2
f)
y = lg (x + 5)
( x − 2)3
g)
y = 0,2e1−5 x
c)
y = sin2 x
y ln( x 2 − 2)
d)
y = e5 x
h) =
G6.1
G6.2
a)
b)
c)
d)
Teckna den sammansatta funktionen om
u(x) = x + π och y(u) = cos u
u(x) = 1 − x och y(u) = 2eu
1
u(x) = 2x2 + 1 och y(u) =
u
2
u(x) = cos x och y(u) = u
Derivata - 54
Teori ▪ Den sammansatta funktionens derivata
I Exempel 1 a) ovan kan vi utveckla kvadraten:
y =( x 3 − x )2 =x 6 − 2 x 4 + x 2 . Deriverar vi detta uttryck på vanligt sätt
får vi y ′ = 6 x 5 − 8 x 3 + 2 x . Men om vi först deriverar den yttre
funktionen och sedan den inre funktionen och multiplicerar ihop dessa
dy
derivator får vi först y(u) = u2 får vi
= 2u = 2( x 3 − x ) = 2 x 3 − 2 x ,
du
du
sedan = 3 x 2 − 1 . Produkten blir
dx
3
(2 x − 2 x )(3 x 2 − 1)= 6 x 5 − 8 x 3 + 2 x , alltså samma resultat som vi fick
genom att derivera det utvecklade uttrycket. Detta är ingen tillfällighet.
Derivatan av en sammansatt funktion ges av den så kallade kedjeregeln
dy dy du
som lyder =
⋅ . Ett annat sätt att skriva denna regel är
dx du dx
Dy(u=
( x )) Dy(u ) ⋅ Du( x ) . I detta fall hade vi frihet att använda vilken
metod vi ville, antingen att utveckla uttrycket före deriveringen, eller att
derivera med kedjeregeln. Men i de flesta av ovanstående funktioner är
vi hänvisade till kedjeregeln för att kunna bestämma derivatan.
Vi motiverar nu varför regeln gäller och betraktar en funktion
y = f(g(x)) där g(x) = u.
•
•
Låt x-värdet få en förändring ∆x. Detta ger g-värdet en förändring ∆u
och den sammansatta funktionen får förändringen ∆y. Om ∆x, ∆u och
∆y ∆y ∆u
∆y ≠ 0 gäller =
.
⋅
∆x ∆u ∆x
Eftersom ∆u → ("går mot") 0 när ∆x → 0 liksom ∆y → 0 då ∆u → 0,
så gäller att ändringskvoten
ändringskvoten
∆u
∆y
du
dy
→ , ändringskvoten
→
och
∆x
∆u
dx
du
∆y
dy
→
då ∆x → 0.
dx
∆x
Derivata - 55
Vi sammanfattar kedjeregeln:
Om funktionen y(u(x)) är sammansatt av funktionerna y(u) och
dy dy du
u(x) så är den sammansatta funktionens derivata =
.
⋅
dx du dx
Alternativt skrivsätt: Dy(u(x)) = Dy(u)⋅Du(x)
Modell ▪ D y(u(x)) = D y(u)⋅D u(x)
Exempel 1 Derivera funktionen y = sin(3x+2)
Lösning
Vi låter u(x) = 3x + 2 och y(u) = sin u.
dy
du
dy
Alltså
= cos u och
= 3. Alltså är
= (cos u)⋅3
du
dx
dx
Vi ser sedan till att bara variabeln x förekommer i derivatan.
dy
= 3cos(3x+2)
dx
Exempel 2 Derivera y = e x
2
−5 x
Lösning
Vi sätter u = x2 – 5x och y = eu
dy
du
dy
Alltså
= eu och
=2x – 5. Alltså är
= (2x – 5)eu
du
dx
dx
Vi sätter sedan in u = x2 – 5x i derivatan och får:
2
dy
= (2x – 5) e x −5 x
dx
Derivata - 56
G6.3
a)
b)
c)
G6.4
a)
b)
G6.5
G6.6
G6.7
a)
b)
c)
G6.8
a)
b)
c)
d)
Bestäm derivatan till funktionerna
y = (3x – 1)3
y = (1 – 0,5x)2
y = (3x2 – 2x)4
Bestäm derivatan till funktionerna
y = 0,5e2x
c)
4x - 3
y = 2e
y = ex
3
Bestäm derivatan till funktionerna
x
a) y = sin 3 x b) y= 2 + cos =
c) y cos(π − x )
3
Bestäm derivatan till funktionerna
a) y = esinx b) y = cos 2π x c) y = (sin x )3
Bestäm f ´(2) till funktionerna
f(x) = (3x – 1)5
f(x) = (3 – 5x3)4
f(x) = (x3 – 0,75x2)4
Bestäm f ´a) om
f(x) = (6x + 1)2
f(x) = (x – a)7
f(x) = (3x – 1)4
f(x) = (x – 3a)4 + 12
Teori ▪ Andraderivatan
Om vi deriverar funktionen f(x) = x5 – 5x2 + e-2x får vi
f ’(x)= 5x4 – 10x – –2e-2x. Eftersom f ’(x) är ett polynom kan det
deriveras. Vi får den så kallade andraderivatan och vi skriver
f ’’ (x) =16x3 – 10 + 4e-2x.
Andra skrivsätt är y’’ och
d2y
.
dx 2
Vi kan t ex även skriva D2(sin x + 5cos x) = -sin x – 5cos x.
Derivata - 57
G6.9
Bestäm f ´´(x) om a) f(x) = ex-3
b) f(x) = 8e3x – 2
G6.10 Lös ekvationen f’(x) = 0 om f(x) = e x
2
−5 x
G6.11 En elektrisk krets innehållande en spole och en resistor ansluts
till en spänningskälla. Då ändras strömstyrkan enligt uttrycket
U
− R ⋅t L
där i är strömstyrkan, U spänningen, R
i(t )
1− e
=
R
resistansen, L induktansen och t tiden. Beräkna i´(0,12) om U
= 3,3 V; R = 12Ω och L = 0,045 H. Vilken enhet får derivatan
i´(t)?
(
)
Modell ▪ D y( u( x)) = D y( u)⋅D u( x)
Exempel 3 Derivera funktionen y =
Lösning
1
2x − 5
Vi sätter u = 2x − 5 och y =
1
.
u
dy
1
du
dy
1
2
= − 2 och
= 2. Alltså är
=− 2 ⋅ 2 =−
du
u
dx
dx
u
(2 x + 5)2
Exempel 4 Derivera funktionen=
y
6x − 2
Lösning
Vi sätter u = 6x − 2 och y = u .
dy
1
du
Alltså
och
=
=6.
du 2 u
dx
dy
1
3
3
Alltså är =
⋅ 6=
=
dx 2 u
u
6x − 2
Alltså
Derivata - 58
G6.12 Bestäm derivatan till följande funktioner
a) f ( x ) =
1
2x + 2
3
b) f ( x ) = x
+2
3
c) f ( x ) =
1
x +1
2

3x 
c) D  3 1 +

2 

2
G6.14 Bestäm a) D 4 − x 2 b) D( x 4 − 1)4 c) D
2− x
G6.15 Bestäm ekvationen för tangenten till följande kurvor
a)
y = x + 2 cos 3x
i den punkt där x = 0
G6.13 Bestäm a) D 1 + 3 x
6x + 4
2
y=
2 + 3x
b) D 1 − 0,2 x
b) =
y
i den punkt där x = 2
c)
i den punkt där x = −2
V6.16 Tangerar tangenten i uppgift G6.15a) kurvan y = x + 2cos 3x
i några fler punkter?
Derivata - 59
7 Derivatan av logaritm- och exponentialfunktionerna
Teori ▪ Derivatan av logaritmfunktionen
Uttrycket y = ln x kan också skrivas
x = ey. Vi deriverar detta yttryck
med avseende på x och får då
dx y dy
=e
. Derivatan av högerdx
dx
ledet ges av kedjeregeln, där ey är
dy
inre deridx
dy
vatan. Alltså är ey ⋅
= 1, vilket
dx
dy 1
ger
=
. Eftersom x = ey får vi
dx e y
dy 1
1
= . Alltså: D(ln x) =
dx x
x
yttre derivatan och
G7.1
Derivera
y = ln 4x
y = ln (0,5 + x)
c)
d)
y = 6,3 + ln 2x
y = ln x4
G7.2
Derivera
y = ln (x2 + 3)
y =2 ln (x2 + 3x − 2)
c)
d)
y = ln (x3 + e2x)
y = 3 ln (1 − 6x3)
a)
b)
a)
b)
G7.3
x2
′
Beräkna f ( x ) om f(x) =
– ln x.
2
Derivata - 60
x2
– ln x.
2
G7.4
Bestäm f ′′( x ) om f(x) =
G7.5
Bestäm tangentens ekvation till y = x2 – ln x i punkten (1, 1).
G7.6
Tangenten till kurvan y = ln x i punkten (e, 1) skär y-axeln i
punkten P. Bestäm y-koordinaten för P.
G7.7
Beräkna f ′ (3) om f(x) = 4⋅ln 3x.
G7.8
Beräkna f ′′(2) om f(x) = 3⋅ln 5x.
G7.9
Man har funktionerna f(x) = ln 3x och g(x) = ln 5x.
Visa att f´(x) = g´(x).
G7.10 Beräkna f ′( x ) om f (x) = 5⋅ln(x3 – 3x)
G7.11 Beräkna f ′(0,8) om f(x) = 2⋅ln x3
V7.12 En bakteriekultur växer enligt formeln N = 250⋅e0,04t, där N är
a)
antalet bakterier och t antalet minuter.
Beräkna antalet bakterier efter 30 min.
b)
Beräkna bakteriekulturens tillväxthastighet efter 30 min.
c)
Hur länge dröjer det innan tillväxthastigheten blivit 50
bakterier/min?
Derivata - 61
Modell ▪ Kedjeregel tillämpad på en summa
Exempel Två bilar framförs, på två mot varandra vinkelräta
raksträckor, mot samma skymda vägkors. Den ena har farten 90 km/h
och den andra 100 km/h. Med vilken fart närmar sig bilarna varandra då
de befinner sig 1,8 km respektive 2,1 km från korset?
Lösning Avståndet, A, mellan bilarna är enligt Pythagoras sats:
du
dv
2u + 2v
dA
dt
dt vilket ger farten =
=
=
A
u 2 + v2
2
2
dt
2 u +v
dA 2 ⋅1,8 ⋅ 90 + 2 ⋅ 2,1 ⋅100
≈ 134 (km/h)
=
dt
2 1,82 + 2,12
V7.13 Två taxibilar startar samtidigt från korsningen Park Avenue och
59:nde gatan. Den ena åker norrut längs Park Avenue med
farten 40 km/h och den andra västerut längs 59:e gatan med
farten 50 km/h. Båda har kan hålla konstant fart. Visa att
bilarnas fart relativt varandra är 64 km/h när bilen på Park
Avenue har färdats 1 km?
Derivata - 62
Teori ▪ Derivatan av exponentialfunktionen
Om y = kx så gäller y = ex lnk.
dy d (e x ln k )
= ln k ⋅ exlnk = kx ⋅ln k
=
dx
dx
Vi har tidigare visat hur man deriverar potensfunktionen y = x a för vissa
a (positiva heltal samt −1). Vi kan nu också härleda derivatan av
potensfunktionen för alla a om x > 0
Derivatan tecknas:
⋅
Om y = xa så gäller y = ea lnx.
dy d (e a ln x )
1
a
Derivatan tecknas: = =
= a ⋅ ⋅ e a⋅ln x = ⋅ xa = a⋅ xa-1
dx
dx
x
x
x
x
−
1
a
a
och Dk= k ⋅ ln k
Dx = ax
Exempel
Lösning
Beräkna D(3,7⋅1,3x + 5x3)
D[ k1 ⋅ f ( x )] D[ k2 ⋅ g ( x )]
1 ⋅ Df ( x )
2 ⋅ Dg ( x )



k
 k


3
x
x
7 ⋅ D1,3 + 5 ⋅ Dx3 =
D(3, 7 ⋅1,3 + 5 x )= 3,


 
k1Df ( x ) + k2 Dg ( x )
D[ k1 f ( x ) + k2 g ( x )]
3,7⋅ln1,3

=3, 7 ⋅1,3 ⋅ ln1,3 + 15 x = 0,97 ⋅1,3x + 15 x 2
2
x
G7.14 Bestäm derivatan till funktionerna
a)
b)
y = 10x
y = 5 ⋅ 3x
c)
G7.15 Bestäm derivatan till funktionerna
a)
b)
c)
d)
y = x3/2
y = 5 ⋅ x2/5
y = 3,5 ⋅ x-1/3
e)
y = 105⋅x
f)
y= 3 ⋅ 42 x
y = 2 − x /3
2
2
+x
Derivata - 63
y = −7,3 ⋅ 1,15x
V7.16 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = 10x i den
punkt där a) x = 0 b) x = 0,5
V7.17 Bestäm den punkt där tangenten till kurvan y = 3x i punkten
med x-koordinaten 2 skär y-axeln. Svara exakt.
V7.18
Utetemperaturen upplevs som lägre om det blåser än om det är
vindstilla. Ju starkare blåst desto kallare känns det. Denna kylande effekt
i blåsigt väder kallas vindkyla. Vid temperaturen -15° C gäller följande
relation mellan vindhastighet och ekvivalent lufttemperatur, det vill säga
den temperatur som luften tycks ha när det blåser.
Vindhastighet (m/s)
Ekvivalent lufttemperatur (°C)
2,23
–18
4,47
–26
6,70
–32
8,94
–35
11,17
–38
13,41
–41
Anpassa dessa mätvärden till en exponentiell funktion, med t ex
Kommandot RegressionExp i GeoGebra. (Hjälp: Addera 50 till varje
temperatur. Subtrahera sedan 50 från funktionsuttrycket.)
Visa att f ´(5) = –2,5 genom att derivera funktionen f(x).
Derivata - 64
8 Derivatan av produkt och kvot
Teori ▪ Derivatan av en produkt
Vi har hittills inte deriverat funktioner av u(x) ⋅ v(x), som till exempel
funktionerna y = x2 ⋅ sin x eller y = x ⋅ ln x. Vi ska nu härleda derivatan
till en produkt av två funktioner som vi kallar y (x)= u(x) ⋅ v(x).
Låt x-värdet få en förändring ∆x . Detta ger u-värdet och v-värdet
förändringarna ∆u och ∆v och produkten förändringen ∆y .
Alltså får vi y + ∆y= (u + ∆u ) ⋅ (v + ∆v )= uv + u∆v + v ∆u + ∆u∆v
Nu är emellertid y = uv vilket ger: ∆y = u∆v + v ∆u + ∆u∆v
∆y
∆v
∆u
∆v
som efter division med ∆x ger: = u
+v
+ ∆u
.
∆x
∆x
∆x
∆x
När ∆x går mot 0 övergår ändringskvoten i
dy
dv
du
.
=u
+v
dx
dx
dx
I ord: Derivatan av en produkt av två funktioner är lika med den
första funktionen gånger den andra funktionens derivata plus den
första funktionens derivata gånger den andra funktionen.
dy
dv
du
Om y(x) = u(x)⋅v(x) så gäller = u + v .
dx
dx
dx
Alternativa uttryckssätt är D y(x) = u(x)D v(x) + v(x) D u(x) eller
=
y′ uv ′ + vu′ .
Derivata - 65
Modell ▪ Derivatan av en produkt
Exempel Vad är derivatan av funktionen y = (x2+2) sin x?
Lösning
Vi sätter u = x2+2 och v = sin x. Då blir
du
dv
=2x och
= cos x.
dx
dx
dy
= (x2+2)⋅cos x + (sin x)⋅2x
dx
Exempel Bestäm derivatan av funktionen y = sin x ⋅ cos x.
Derivatan av produkten blir alltså
Lösning
Vi sätter u = sin x och v = cos x. Då blir
du
dv
= cos x och
= −sin x .
dx
dx
Derivatan av produkten blir alltså =
y′ uv′ + vu′
= sin x ⋅ (−sin x) + cos x ⋅ cos x = − sin2 x + cos2 x = = cos 2x.
Låt oss betrakta två funktioner, u(x) och v(x). Vi frågar oss nu, vad blir
u( x )
u( x )
derivatan av funktionen y( x ) =
? Vi ska alltså bestämma D
.
v( x )
v( x )
Vi beräknar först
1
−1
′( x ) =
D
=D(v( x ))−1 =−1 ⋅ (v( x ))−2 ⋅ v
⋅ v ′( x )
2
v( x )
(
v
(
x
))
Inre derivatan
u( x )
1
.
= u( x ) ⋅
v( x )
v( x )
Derivatan av denna produkt får vi med produktregeln:
1
1
1
−1
y ′( x ) = u′( x ) ⋅
+ u( x ) ⋅ D
= u′( x ) ⋅
+ u( x ) ⋅
⋅ v ′( x ) =
v( x )
v( x )
v( x )
(v( x ))2
u′( x ) ⋅ v( x ) u( x ) ⋅ v ′( x ) u′( x ) ⋅ v( x ) − u( x ) ⋅ v ′( x )
.
=
−
=
(v( x ))2
(v( x ))2
(v( x ))2
Vi skriver nu kvoten som en produkt: y=
(x )
du
dv
⋅v − ⋅u
dy dx
u′ ⋅ v − u ⋅ v ′
u( x )
dx
=
,=
så gäller
.
Alltså: Om y( x ) =
2
dx
v
v2
v( x )
Derivata - 66
Modell ▪ Derivatan av en kvot
Exempel 1
Derivera y =
Lösning
1+ x2
.
1− x2
u′ ⋅ v − u ⋅ v ′
ger direkt derivatan
v2
2 x ⋅ (1 − x 2 ) − (1 + x 2 ) ⋅ ( −2 x ) 2 x − 2 x 3 + 2 x + 2 x 3
4x
.
y′
=
=
2 2
2 2
(1 − x )
(1 − x )
(1 − x 2 )2
Exempel 2
sin x
Derivera y = y = 2 .
x
Lösning
Formeln y ′ =
cos x ⋅ x 2 − sin x ⋅ 2 x x ⋅ cos x − 2 sin x
=
x4
x3
y′
G8.1
a)
b)
c)
d)
G8.2
a)
b)
c)
d)
Beräkna derivatorna
D[(x + 1) ⋅ ex]
D(3ex)
D[(x2 – 2) ⋅ ex]
D(ln x⋅sin x)
Beräkna derivatorna
x
D(
)
x −2
x2
D(
)
x +1
1
D(
)
1 − 4x
x2 −1
D( 2
)
x +1
Derivata - 67
e)
f)
D(x2⋅sin x)
D ln x⋅ex
e)
D(
f)
x3 −1
)
x3 + 1
2x + 3
D(
)
4 − 5x
G8.3
a)
b)
c)
d)
G8.4
a)
b)
c)
d)
G8.5
Beräkna f ′( x) när
f (=
x)
x ⋅ ln x
f ( x=
) x2 ⋅ ex
ex
f (x ) =
cos x
e −x
f (x ) =
x
Beräkna
f ′(1) när f ( x ) =
b)
f ′( −1) när
x
f (x ) = −x
e
f ′(e) när
=
f (x )
G8.6
G8.7
G8.8
G8.9
f)
Beräkna f ′(0) om
f (x) = 3e-x
x
f (x) =
x−2
f (x) = (2 + x)⋅ex
x
f (x ) = x
e
a)
c)
e)
e)
f)
ex
x
d)
ln x
,x > 0
x
ln x
=
f (x )
,x > 0
x
=
f (x )
cos x
x +1
f ( x )= ln( x + 3) ⋅ cos x
f (x ) =
f ′(2) när
f ( x ) = x 2e − x
e)
f ′( −1) när
f (x ) =
f)
2
x
,x >0
ln x
π
x +1
x −2
f ′( ) när
4
1
f (x ) =
sin x
x
x
e− x
x +D x =
e
e
Bestäm ekvationen för den vågräta tangenten till kurvan
x
y= x.
e
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y= x 2⋅ ln x i den
Visa att
punkt där x = 1.
Härled ett uttryck för derivatan till tangensfunktionen genom
sin x
att först göra omskrivningen tan x =
.
cos x
Derivata - 68
V8.10 Bestäm konstanten a i funktionen f ( x ) = e − ax så att
y′ + 3 y =
0.
V8.11 Vilket värde ska konstanten a ha i funktionen f ( x ) =
ax 2
för
x −1
att f ′(4) = 8 .
V8.12 Vid tidpunkten t sekunder är den elektriska spänningen mellan
två punkter U(t) volt, och U(t) = 200 (1 − e−0,03t).
Strömstyrkan mellan punkterna är I(t) ampere, och I(t) = U’(t).
Bestäm strömstyrkan för t = 20.
1 − cos x
V8.13 Visa att graferna nedan är funktionen f ( x ) =
och
1 + cos x
dess derivata. Använd gärna grafritande räknare. Förklara varför
den ena kurvan är diskontinuerlig på fem ställen.
Derivata - 69
9 Lokala extrempunkter med
andraderivatan
Teori ▪ Bestämning av extrempunktens typ med
andraderivatan
De gröna tangenternas lutning växer, k 4 < k 5 < k 6
De röda tangenternas lutning avtar, k 1 > k 2 > k 3
Vi tittar på grafen till funktionen f(x) här ovan. Medan vi följer kurvan
från vänster (A) till höger avtar kurvans lutning på väg mot toppen (B).
Detta betyder att derivatans värde minskar allteftersom vi närmar oss
toppen. När den passerats blir det nedförsbacke och den blir allt
brantare på vägen ner mot origo. Nu är derivatans värden negativa och
de minskar medan vi rör oss åt höger.
Derivata - 70
Vi fortsätter att följa kurvan från origo till (C) och nu blir lutningen blir
allt mindre brant. Detta betyder att derivatans (negativa) värden ökar.
Efter att ha passerat minimipunkten (C) blir uppförsbacken fram till (D)
brantare och brantare, det betyder att derivatans (positiva) värden ökar.
Alltså: Derivatans värden är alltså avtagande omkring en maximipunkt
och växande omkring en minimipunkt. Detta innebär att:
Om andraderivatan är negativ i en lokal extrempunkt, så är denna
en maximipunkt.
Om andraderivatan är positiv i en lokal extrempunkt, så är denna
en minimipunkt.
Anders är positiv, hans mungipor är uppdragna – men här är han negativ.
Vi visar med ett exempel vad som måste göras om både första- och
andraderivatan är lika med noll i en punkt.
Exempel Gör ett funktionsstudium av funktionerna y = x4 och y = x5.
Lösning Eftersom både första- och andraderivatorna är 0 för x = 0, så
måste vi utföra ett teckenstudium för att utröna kurvornas utseende. Vi
ser ganska snabbt att derivatan till y = x4 är y´ = 4x3 som teckenväxlar
– 0 + under det att derivatan till y = x5 är y′ = 5x4 som teckenväxlar + 0 +.
Resultatet av denna undersökning är graferna nedan.
Derivata - 71
Modell ▪ Extrempunkter med andraderivatan
Exempel Bestäm största och minsta värde till funktionen
f(x) = 8 + 24x – 3x2 – x3. D f : -5 ≤ x ≤ 3. Rita grafen.
Lösning: Derivera funktionen: f ′( x) = 24 – 6x – 3x2
Teckna och lös ekvationen f ′( x) = 0: 24 – 6x – 3x2 = 0
Först dividerar vi alla termerna med –3 och använder sedan
lösningsformeln för andragradsekvationen:
x2 + 2x – 8=0
x = −1 ± 1 + 8
x = −1 ± 3
x 1 = 2 eller x 2 = −4
Andraderivatan tecknas: f ′′( x) =−6 − 6 x .
f ′′(2) =−6 − 6 ⋅ 2 =−18 < 0 . Alltså får vi lokalt maximum för x = 2
f ′′( x) =−6 − 6 ⋅ (−4) > 0 . Alltså får vi lokalt minimum för x = −4
Eftersom funktionen bara är definierad i intervallet –5 ≤ x ≤ 3 beräknar
vi dessutom ändpunkternas funktionsvärden och får följande värdetabell.
x
y
−5
−4
2
3
−62
−72
36
26
Resultat: Funktionens största värde är alltså 36 och dess minsta värde
är –72
Derivata - 72
G9.1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
G9.2
a)
b)
c)
d)
Beräkna f ′′( x ) om
f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 2 x − 1
f (=
x ) 2x 2 − 4
3x 3 − 4 x 2
f (x ) =
3
2
f ( x ) =( x + 2)( x − 1)
x4 x3 x2
f (x )=
+ − −x +2
12 6
8
3
x − 2 )( x 2 − x )
(
f (x ) =
6
Beräkna
D 2 (3 x + 2)
D 2 (2e x )
D 2 (0,5(e x − e − x ))
D 2 (sin 2 x )
G9.3
Beräkna f ′′(0) när
a)
b)
c)
f (=
x ) 4 x 2 + 2e − x
e)
D 2 (ln x ), x > 0
f)
D 2 (e −2 x )
f ( x ) = sin x 2
f ( x=
) e x ⋅ sin x
V9.4 Beräkna f ′′( x ) till funktionerna
a)
f ( x ) = e − x sin ax
b)
f ( x ) =sin x ⋅ ln x , x > 0
c)
f (=
x ) ax 2 ⋅ e 2 x
G9.5
Bestäm derivatans nollställen till f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 5.
G9.6
För vilka x är funktionen f växande om f(x) = x3 – 2 x2 + x + 4?
G9.7
Funktionen f given genom f(x) = 5 + 4x – x2 har ett maximum.
Bevisa detta och beräkna maximivärdet.
G9.8
Bestäm värdemängden till funktionen f som är given genom
f(x) = x3 – 3 x2, där –2 ≤ x ≤ 2.
Derivata - 73
G9.9
Bestäm lokala minimi- och maximipunkter till funktionerna
nedan samt rita deras grafer
a)
y =x2 – 4x + 3
d)
y = x3 – 6x2 + 3x + 1
b)
y = x2 + 5x
e)
y = x3 – 3x2/26 – x
c)
y = 8x – x2
f)
y = 2x3 – 9x2 + 3
G9.10 Använd andraderivatan för att bestämma extrempunkterna till
=
y 2 x ⋅ e x . Rita grafen.
G9.11 Visa att funktionen y= x ⋅ ln x har ett minsta värde och
bestäm detta. Rita grafen. Vilken är största möjliga
definitionsmängd?
G9.12 Undersök funktionen =
y x 3 ⋅ ln x och bestäm eventuella
maximi- eller minimipunkter. Rita grafen.
G9.13 Bestäm eventuella lokala maximi- eller minimipunkter till
x
och rita grafen.
ex
V9.14 Antag att du förestår ett antal biografer. Biograferna tar emot i
genomsnitt 5000 besökare per dag. Biljettpriset för ett biobesök är 50 kr. Antag vidare att du vill öka biljettpriset för att
få en större vinst än den nuvarande vinsten som är 20 kronor
per biljett. Du uppskattar att du förlorar 300 besökare för varje
ökning av biljettpriset med 5 kronor. Vilket biljettpris ger nu
maximal vinst om varje ökning av priset ger en direkt vinst.
funktionen y =
V9.15 Linus har köpt 100 par skidor för 400 kr/par. Om han sålde
dem för 600 kr/par så skulle han sälja samtliga. Han gör
uppskattningen att varje prisökning på 10 kr/par utöver
600 kr/par minskar försäljningen med ett par skidor. De skidor
som blir kvar måste realiseras för 500 kr/par. Vilket
försäljningspris ska han sätta för att få maximal förtjänst och
vilken blir denna förtjänst?
V9.16 En cylindrisk tunna rymmer 20 m3. Material för botten och
lock kostar 100 kr/m2 och material för mantelytan kostar 80
kr/m.2 Beräkna radie och höjd för den tunna som rymmer
minst.
Derivata - 74
V9.17 Antag att du står vid den flod som flyter förbi ditt hem. Floden
är 1 km bred och ditt hem befinner sig på den andra stranden,
1 km från det läge mittemot den punkt som du befinner dig.
Antag vidare att du kan simma med farten 3 km/h och
promenera med farten 5 km/h. Till vilken punkt på den
motsatta stranden skall du först simma för att du skall komma
hem så fort som möjligt?
V9.18 On 24 april, 1990, the Hubble Space telescope was placed in
orbit around the earth. It was deployed by the space shuttle
Discovery. It is possible to estimate the velocity of the shuttle
from lift-off until jettisoning of the solid rocket boosters by
using the following model: lift-off at t = 0 seconds, the jettisoning of the boosters at t =126 seconds. The velocity is given
by v(t) = 0,001302t3 – 0,09029t2 + 23,61t – 3,083 in feet per
second. Use this model to work out the extreme values of the
acceleration of the shuttle between lift-off and the jettisoning of
the boosters.
Derivata - 75
10 Konkav - konvex
Teori ▪ Konkavitet och konvexitet
Definitioner:
En funktion är konvex i ett intervall a
≤ x ≤ b om grafen till funktionen
ligger under alla sina kordor i detta
intervall.
En funktion är konkav i ett intervall a
≤ x ≤ b om grafen till funktionen
ligger över alla sina kordor i detta
intervall.
Derivata - 76
Om andraderivatan är positiv i en lokal extrempunkt, så är detta
en minimipunkt. Om andraderivatan är positiv i ett intervall, så
är funktionen f konvex i detta intervall .
Om andraderivatan är negativ i en lokal extrempunkt, så är detta
en maximipunkt. Om andraderivatan är negativ i ett intervall, så
är funktionen f konkav i detta intervall.
Kurvan kan bara skifta från konkav till konvex eller omvänt i de punkter
där y′′(x) = 0.
En punkt där kurvan övergår från att vara konvex till att vara konkav
eller omvänt kallas en inflexionspunkt. I inflexionspunkten passerar
kurvan sin tangent.
För att vara säker på att man hittat inflexionspunkterna så måste ett
teckenstudium göras.
Fundera på!
(Sant eller falskt?)
Alla tredjegradsfunktioner har exakt en inflexionspunkt.
Alla fjärdegradsfunktioner har exakt två inflexionspunkter.
Derivata - 77
Modell ▪ Inflexionspunkter
Exempel I vilka intervall är funktionen f ( x ) = 6 x + x − x 2 konvex
respektive konkav? Beräkna ekvationen för tangenten till kurvan i en
inflexionspunkt.
Lösning Eftersom kurvan är kontinuerlig kommer den att skifta från
konkav till konvex i de punkter där f ′′( x ) = 0 .
f ′( x ) = 12 x + 3 x 2 − 2 x 3
f ′′( x ) =12 + 6 x − 6 x 2
2
0 ⇔ x 1 = −1 och x 2 = 2
f ′′( x ) = 0 ⇔ 12 + 6 x − 6 x =
2
3
4
Teckenstudium ger: x < −1 −1 −1 < x < 2 2 2 < x
0
+
0
f ′′( x)
−
−
konkav
konvex
konkav
f ( x)
Kurvan har en inflexionspunkt för x = 2. Motsvarande funktionsvärde är
f (2) = 24 .
Tangentens k-värde är
f ′(2) = 12 ⋅ 2 + 3 ⋅ 22 − 2 ⋅ 23 = 20.
Tangentens ekvation blir alltså
=
y 20 x + m . Punkten (2, 24) ger
m = –16 vilket medför tangentens
ekvation: y = 20x – 16.
Figuren här bredvid visar var
kurvan är konkav respektive
konvex samt en tangent som skär
kurvan i inflexionspunkten.
Derivata - 78
x4
och bestäm
4
eventuella maximi- minimi- och inflexionspunkter.
V10.1 Rita grafen till funktionen f ( x=) x 3 −
V10.2 Kurvan y = f(x), där f(x) är en hel rationell funktion av tredje
graden, tangerar linjen x − y = 0 i origo samt har maximum för
1
x = 1 och en inflexionspunkt för x = − . Bestäm f(x) och
2
konstruera kurvan. (Studentex. jan.41 spec.kurs.)
V10.3 Bestäm tredjegradspolynomet f(x) om du får följande data:
polynomet har ett lokalt maximum för (3, 4). Polynomet har
ett lokalt minimum för (5, 0). Polynomet har en
inflexionspunkt för (4, 2).
V10.4 För vilka värden på a har kurvan
y = 2 x 4 + 2 ax 3 + (2a − 1)x 2 + bx + c inflexionspunkter?
m
m −1
V10.5 Visa att Dx = x n med reglerna för implicit derivering.
n
V10.6 Familjen Bredband har bestämt sig för att lägga ned optokablar
till sitt hus för att få tillgång till höghastighetsinternet på 10
Mbit/s. Man kommer till befintlig optokabel genom att röra
sig vinkelrät mot vägen, en sträcka på 2 km, och därefter röra
sig 4 km efter vägen. Kostnaden för att lägga ned kabel i terrängen utanför vägen är dubbelt så stor som att lägga den längs
vägen. Hur skall kabeln läggas för att minimera kostnaden?
m/n
V10.7 Vilken punkt på grafen till funktionen y = 2x ligger så nära
punkten (1, 0) som möjligt?
V10.8 Strålningsintensiteten i
punkten A på marken är
direkt proportionell mot sin x
och omvänt proportionell mot
avståndet till strålningskällan
K. Vilken höjd skall
strålningskällan ha om vi
önskar maximal intensitet i
punkten P?
Derivata - 79
V10.9 På ett ställe i Kiruna med latituden 68° och longituden 20°
a)
b)
c)
gäller formeln: y = 21,6 sin (0,27x – 1,85) + 23 för solens höjd
över horisonten den 21 juni (lokal tid).
När stiger solens höjd över horisonten som snabbast.
När når solen sin högsta höjd över horisonten?
När når solen sin lägsta höjd över horisonten?
V10.10 Ett dyrbart 150 m långt säkerhetsstängsel skall innesluta ett
rektangulärt område. Detta område i sin tur består av två delar
O 1 och O 2 åtskilda med samma dyrbara stängsel. Dessa två
delars area förhåller sig som 1:2. Vilka mått har det
rektangulära området om dess area skall vara så stor som
möjligt?
V10.11 I en svensk dagstidning kunde man hösten 2001 läsa:
”Arbetslösheten fortsätter att minska. Men det finns tecken på
avmattning. Takten i arbetslöshetsminskningen har avtagit,
antalet nyanmälda platser avtar och antalet varsel är högt.” Om
antalet arbetslösa är A personer och N är antalet nyanmälda
platser, vilka av följande påståenden är sanna?
dN
dA
(a)
>0
(c)
<0
dt
dt
d 2N
d2A
(b)
>
0
(d)
<0
dt 2
dt 2
Derivata - 80
Tema - Polynomfunktioner av högre
grad
Vi har tidigare nämnt att Carl Friedrich Gauss år 1800 formulerade
algebrans fundamentalsats. Vi formulerar nu denna på följande sätt: Varje
algebraisk ekvation av grad n har högst n reella lösningar.
Vi betraktar graferna till några olika funktioner med varierande gradtal.
Den röda kurvan
Den gröna kurvan
Den lila kurvan
Grafen till en funktion av fjärde graden
Grafen till en funktion av tredje graden
Grafen till en funktion av andra graden
•
Fjärdegradskurvans utseende gör att den kan skära x-axeln högst fyra
gånger. Den kan alltså ha högst fyra nollställen och motsvarande
ekvation högst fyra rötter. Om kurvan förflyttas uppåt eller nedåt
kan antalet rötter bli färre.
•
Tredjegradskurvans utseende gör att den skär x-axeln högst tre
gånger. Den kan alltså ha högst tre nollställen och motsvarande
ekvation högst tre rötter. Om kurvan förflyttas uppåt eller nedåt kan
vi få färre rötter. Den andra figuren visar en förflyttning som ger
ekvationen en reell rot. Till skillnad från fjärdegradsfunktionen har
alltid tredjegradsfunktionen minst ett reellt nollställe. Varför?
Derivata - 81
• Andragradskurvans utseende gör att den skär x-axeln högst två gånger.
Den kan alltså ha högst två nollställen och motsvarande ekvation
högst två rötter. Om kurvan förflyttas uppåt eller nedåt kan antalet
rötter bli färre.
Gör en utredning av antalet maxima och minima till 4:e, 3:e och 2:agradskurvorna om du vet att derivatan av en fjärdegradsfunktion blir en
funktion av tredje graden osv.
Om du önskar träna mer på detta moment, försök att göra en utredning
för femtegradsfunktionen med GeoGebra med följande metodik:
Föreställ dig en femtegradskurva med t ex fyra maxima och minima.
Därefter prickar du in ett tänkt läge för punkter A, B, C, D……O, P
Du behöver naturligtvis inte sluta med punkten P. Du kan använda
färre eller flera punkter. Använd nu RegressionPoly – kommandot:
RegressionPoly[A, B, C, ……….O, P, 5]
Derivata - 82
FACIT
1.1
a) Genomsnittlig befolkningsändring
från 1996 till 1998 är (19200 –
18500)/2 invånare/år = 350 invånare/år
b) Genomsnittlig befolkningsändring
under hela perioden är
(19500–18500)/4 invånare/år =
= 250 invånare/år
b) Farten är
(4500 – 3200)/(27 – 20) fot/s =
= 190 fot/s
c) Farten är
(5000 – 4700)/(45 – 30)) fot/s =
= 20 fot/s
2.1
a) 0
b) –1
c) 2
1.2
d) 4 och 2
a) Den genomsnittliga temperaturändringen är (32–10)/(12–8) °C /h =
= 5,5°C /h.
2.2
b) Ändringskvoten är
a) [(3 + ∆x)2 – 9 ]/ ∆x =
(12 – 24)/(20,5 – 14) °C /h =
= [9 + 6∆x + (∆x)2 – 9 ]/ ∆x =
= –1,8°C/h
= 6 + ∆x → 6 när ∆x →0
Alltså är gränsvärdet lika med 6
1.3
b) –6
Ändringskvoten = (43 – 23)/(4 – 2) = 28
c) 12
1 – 1–
1.4
–––––
f (3 + ∆x) – f (3) 3 + ∆x 3
Ändringskvoten från djupet 0 km till
d) ––––––––––––– = –––––––– =
∆x
∆x
400 km är (1500 –10)/400 °C/km =
= 3,7 °C/km.
3
(3 + ∆x) 3––––––––
– 3 – ∆x
––––––––
– –––––––
Ändringskvoten från djupet 2800 km
3(3
+
∆x)
3(3
+
∆x)
3(3
+ ∆x) =
= ––––––––––––––––– = ––––––––
till 5100 km är 0,3 °C/km.
∆x
∆x
– ∆x
–1
= ––––––––––
= ––––––––
→ –1/9
1.5
3(3 + ∆x)∆x 3(3 + ∆x)
a) Farten är
när ∆x → 0
(2250 – 1200)/(15 – 10) fot/s =
= 210 fot/s
Analys - 83
2.3
2.9
a) f (6) = 87 betyder att kylvattnets
temperatur efter 6 min är 87°C. b) f ′(6) = 0
betyder att kylvattnets temperatur inte
förändras vid tidpunkten 6 min.
f (3 + ∆x) – f (3)
a) lim ––––––––––––– = 6
∆x →0
∆x
f (3 + ∆x) – f (3)
b) lim ––––––––––––– = 10
∆x →0
∆x
2.10
2.4
f (5 + ∆x) – f (x)
–––––––––––––– =
∆x
(5+ ∆x)2 –3(5 + ∆x) – ––––––]/∆x
52 –15
= [––––––––––––––––
=
5 + ∆x – 1
5 –1
25+10∆x + (∆x)2 –15–3∆x –10
= [–––––––––––––––––––––
––]/∆x =
4 + ∆x
4
10 + 7∆x + (∆x)2 – 10
= [–––––––––––––
––]/∆x =
4 + ∆x
4
2 ) 10(4+∆x)
4(10
+7∆x
+
(∆x)
= [––––––––––––––– – ––––––––]/∆x =
4(4 + ∆x)
4(4 + ∆x)
2
40 + 28∆x + 4(∆x) – 40 –10∆x
= [––––––––––––––––––––––––]/∆x
=
4(4 + ∆x)
2.11
2
a) f ′(2) = 0
18∆x + 4(∆x)
18 + 4∆x
= [–––––––––––]/∆x
= ––––––––.
b) f ′(3) = 0,8
4(4 + ∆x)
4(4 + ∆x)
c) x = 2
Alltså är f ′(5) = 9/8
d) Alla x utom x = 2
2.5
Derivatan i punkten (–1, 4) är 3,3,
i punkten (1, 2) är den –3,6 samt
i punkten (–3,1; –4,1) är den 0.
2.12
a) B, D och F
b) A och E
c) C och G
2.6
a) f ′(2) = –3,6
b) f ′(5) = 5,6
2.13
EFFFFF
3·2,01 – EFFFFF
3·1,99
–––––––––––––––––
2,01 – 1,99
2.7
2.14
Graferna till funktionerna f (x) och g(x)
7 · 3,012 –5 · 3,01 –
tangerar varandra för x = 3 vilket innebär
[–––––––––––––––
3
att i denna punkt har funktionerna
samma värde på derivatan.
7 · 3,002 – 5 · 3,00
– ––––––––––––––––]/0,01
= 12,4
3
2.8
Graferna till funktionerna f (x) och g(x) är 2.15
[(24,0 + 41 · 0,97916) –
vinkelräta mot varandra för x = 2 vilket
– (24,0 + 41 · 0,97914)]/2 = –0,6
innebär att de två kurvornas tangenter är
Efter 15 min sjunker temperaturen
vinkelräta mot varandra. Då gäller att
med 0,6°C/min.
f ′(2) · g ′(2) = –1
Analys - 84
2.16
a) P ′(5) = 55. Detta innebär att 55
personer smittas per dag den femte
dagen.
b) P ′(t) = 0 visar att smittan når sin
kulmen den 9:e dagen (efter 8,7 dagar).
Ändringstakten på smittan är noll både
denna dag och ”startpunkten”.
3.1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Dx5 = 5x4
D7x = 7
D3x2 = 6x
D(–7x) = –7
D(19) = 0
D(x 4 + x 2) = 4x 3 + 2x
3.2
a) D(4x 3 – 3x) = 12x 2 – 3
b) D(x –13) = 1
c) D(0,04x + 0,02x 2) = 0,04 + 0,04x
x 3 – 3x) = x 2 – 3
d) D(––
3
5
x
e) D(–– + 3x 4) = 5x4/3 + 12x 3
3
6 x3
5x
f ) D(––– – ––)
= 5x5 – x 2
6
3
3.3
· 6x 5 – 4–––––
· 5x 4 = 4x 5 –4x 4
a) f ′(x) = 2–––––
3
5
1
5 · 2x – 3
b) f ′(x) = ––––––––
= 5x/3 – 1/2
6
c) f (x) = x(x – 3) = x 2 – 3x.
Alltså är f ′(x) = 2x –3
5 · 5x 4 + 4 = 25x 4/6 + 2/3
d) f ′(x) = –––––––––
6
e) f (x) = (3x – 1)2 = 9x 2 – 6x + 1.
Alltså är f ′(x) = 18x – 6
f ) f (x) = (x – 3)(x + 3) = x 2 – 9.
Alltså är f ′(x) = 2x
g) f (x) = (3x – 2)(x + 4) =
= 3x 2 – 2x + 12x – 8 = 3x 2 + 10x –8
Alltså är f ′(x) = 6x + 10
4· 5x4 12x5 20x4
2· 6x5 + –––––
h) f ′(x) = –––––
= –––– + ––––
5
3
5
3
3.4
För de två punkterna är derivatan till
f(x) = x3 – 4x – 3 lika med –1.
f ′(x) = 3x2 – 4. Alltså 3x2 – 4 = –1
vilket medför 3x2 = 3 som ger x 1 = 1
eller x 2 = –1.
Punkterna är (1, –6) och (–1, 0)
3.5
y′ = 3x 2 – 2
a) k = 3 · 12 – 2 = 1 och tangeringspunkten är (1, –1). Alltså är y = x – 2
b) k = 3 · 22 – 2 = 10 och tangeringspunkten är (2, 4).
Alltså är y = 10x – 16
c) k = 3 · (–1)2 – 2 = 1 och tangeringspunkten är (–1, 1). Alltså är y = x + 2
3.6
f ′(x) = x 2 –5x – 6. Ekvationen
x 2 –5x – 6 = 0 har lösningarna
x 1 = 6 eller x 2 = –1.
x1 = 6 eller x2 = –1 är derivatans nollställen.
3.7
f ′(x) = 3ax2 + 2x Eftersom f ′(2) = 0
får vi 3a·22 + 2·2 = 0.
Ekvationen har en lösning a = –1/3.
För a = –1/3 har derivatan ett nollställe x = 2.
3.8
dy
dy = z 3 – 2xz.
–– = 3xz 2 – x 2 och ––
dz
dx
3.9
1 – 1–
–––––
x
+
∆x x =
Ändringskvoten = ––––––––
∆x
x
x + ∆x
––––––––
– ––––––––
x(x
+
∆x)
x(x
+ ∆x) =
= ––––––––––––––––––
∆x
–∆x
–1 →
= ––––––––––
= –––––––
x(x + ∆x)∆x x(x + ∆x)
–1 när ∆x → 0. Alltså är D 1– = – ––
1
→ ––
x2
x
x2
Analys - 85
3.10
d Φ = k·N/l och
Φ = k·i·N/l Alltså är –––
di
dΦ
2
––– = –k·i· N/l enligt V23.9
dl
2 2 = x 2 + –––
4x + 4– =
g) f (x) = (x + –––)
EFx
EFx x
= x 2 + 4EFx + 4–.
x
2
4
f ′(x) = 2x + ––– – ––.
EFx x2
Alltså är f ′(1) = 2 + 2/1 – 4/1 = 0
3.11
Ändringskvoten =
x + ∆x –EFx =
4.1
= EFFFFF
–––––––––––
∆x
Funktionen är växande för x ≤ –2 och
3 ≤ x samt avtagande för –2 ≤ x ≤ 3
(EFFFFF
x + ∆x –EFx )(EFFFFF
x + ∆x +EF
x) =
= –––––––––––––––––––––––––
∆x(EFFFFF
x + ∆x +EFx )
4.2
Funktionen är växande för 0 ≤ x < 2
x
+
∆x
–x
∆x
= ––––––––––––– = –––––––––––––– →
∆x(EFFFFF
x+ ∆x+EF
x ) ∆x(EFFFFF
x +∆x +EF
x)
4.3
1
Lokala maxima är (–4; 9,4), (1; 1) och
→ –––– när ∆x går mot noll.
(5,3; 10). Lokala minima är (–5,3; –10),
2EF
x
(–1; –1) och (4; –9,4). Funktionens
1
Alltså är DEFx = ––––
gradtal är fem. Funktionens största vär2EFx
de är 10 och dess minsta värde är –10.
3.12
4.4
a) x = 1
b) x > 1
1
a) f ′(x) = –––––––
.
5 · 2EFx
Alltså är f ′(1) = 1/10
3
b) f ′(x) = –––––––.
7 · 2EFx
Alltså är f ′(1) = 3/14
–3 Alltså är f ′(1) = –3/5
c) f ′(x) = –––.
5x 2
4.5
a) Derivatan för x = 0 är noll.
b) x = 0 eller x = 4 ger derivatan värdet
noll.
c) f ′(x) ≤ 0, dvs funktionen är avtagande
för 0 ≤ x ≤ 4
4.6
3 + 5. Alltså är f ′(1) = 6,5 a) A har maximipunkt för x = –3 och
d) f ′(x) = ––––
minimipunkt för x = 2
2EFx
B har maximipunkt för x = 2 och
minimipunkter för x = –3 och x = 4
3
+
2x
e) f (x) = –––––– = 3/x + 2.
C har minimipunkt för x = –3 och
x
terrasspunkt för x = 2
f ′(x) = –3/x 2.
E har terrasspunkter för x = –2 och
Alltså är f ′(1) = –3
x = 2 och minimipunkt för x = 0
f ) f (x) = EFF
3x = EF3 ·EFx .
b) A är växande för x ≤ –3 och x ≥ 2 och
avtagande för –3 ≤ x ≤ 2
EF3
f ′(x) = ––––.
B är växande för –3 ≤ x ≤ 2 och x ≥ 4
2EFx
och
avtagande för x ≤ –3 och 2 ≤ x ≤ 4
3
Alltså är f ′(1) = EF
–––
2
Analys - 86
C är växande för x ≥ –3 och avtagande
för x ≤ –3
E är växande för x ≥ 0 och avtagande
för x ≤ 0
↓
4<x
+
↓
4
0
– 1–
3
0
– 1– < x
3
–
↓
Funktionen är växande för x ≤ – –1
3
och avtagande för x ≥ – –1 .
3
g) f ′(x) = – 2 – 2x
–2x – 2 = 0
x = –1
x
x < –1
–1
–1 < x
f ′(x)
+
0
–
f (x)
↓
1<x
+
↓
↓
1
0
Funktionen är växande för x ≥ 1 och
avtagande för x ≤ 1.
Funktionen är växande för x ≤ –1
och avtagande för x ≥ –1.
h) f ′(x) = 2 – 10x
2 – 10x = 0
x = 0,2
x
x < 0,2
f ′(x)
+
f (x)
0,2
0
0,2 < x
–
↓
↓
d) f ′(x) = 2x + 1–
2
1
2x + – = 0
2
x = – –1
4
Funktionen är växande för x ≤ 0,2
och avtagande för x ≥ 0,2.
– 1–
4
0
– 1– < x
4
+
↓
x < 1–
4
–
↓
f ′(x)
f (x)
x < 1–
3
+
↓
Funktionen är växande för x ≥ 4 och
avtagande för x ≤ 4.
c) f ′(x) = 8x – 8
8x – 8 = 0
x=1
x
x<1
f ′(x)
–
f (x)
x
f ′(x)
f (x)
↓
b) f ′(x) = 6x – 24
6x – 24 = 0
x=4
x
x<4
f ′(x)
–
f (x)
f ) f ′(x) = – 6x – 2
–6x – 2 = 0
x = – –1
3
↓
↓
↓
x
x < –3
–3
–3 < x
f ′(x)
–
0
+
f (x)
Funktionen är växande för x ≥ –3
och avtagande för x ≤ –3.
x
x
x<2
2
2<x
f ′(x)
–
0
+
f (x)
Funktionen är växande för x ≥ 2 och
avtagande för x ≤ 2.
↓
4.7
a) f ′(x) = 2x + 6
2x + 6 = 0
x = –3
e) f ′(x) = 6x – 12
6x – 12 = 0
x=2
Funktionen är växande för x ≥ – –1
4
och avtagande för x ≤ – –1 .
4
Analys - 87
Funktionen är växande för x ≤ –2
och x ≥ 2 samt avtagande för
–2 ≤ x ≤ 2
j) f ′(x) = 3x 2 – 6x
3x 2 – 6x = 0
x1 = 2 eller x2 = 0
0
0
0<x<2 2 2<x
–
0 +
↓
↓
↓
x
x<0
f ′(x)
+
f (x)
Funktionen är växande för x ≤ 0 och
x ≥ 2 samt avtagande för 0 ≤ x ≤ 2
k) f ′(x) = 15x –3x 2 –12
15x –3x 2–12 = 0
x 2 – 5x + 4 = 0
x1 = 1 eller x2 = 4
1<x<4 4 4<x
+
0 –
↓
1
0
↓
↓
x
x<1
f ′(x)
–
f (x)
Funktionen är avtagande för x ≤ 1
och x ≥ 4 samt växande för 1 ≤ x ≤ 4
4.8
a) f ′(x) =16–16x. Ekvationen
16 –16x = 0 har lösningen x = 1.
Ett teckenstudium visar att funktionen har maximipunkt för (1, 8).
b) f ′(x) = 9 – 6x – 3x 2. Ekvationen
9 – 6x – 3x 2 = 0 har lösningarna
x1 = 1 eller x 2 = –3
Ett teckenstudium visar att funktionen har maximipunkt för (1, 5) och
minimipunkt för (–3, –27).
d) f ′(x) = 3x 2 – 6x + 9. Ekvationen
3x 2 – 6x + 9 = 0 har inga reella
lösningar.
Ett teckenstudium visar att funktionen är ständigt växande.
e) f ′(x) = 3x 2 – 2x – 6.
Ekvationen 3x 2 – 2x – 6 = 0 har
19
lösningarna x1 = 1+EFF
–––––– ≈ 1,8
3
19 ≈ –1,1
eller x1 = 1–EFF
––––––
3
Ett teckenstudium visar att funktionen har maximipunkt för (–1,1; 4,1)
och minimipunkt för (1,8; –8,2).
f ) f ′(x) = 4x 3 – 9x 2. Ekvationen
4x 3 – 9x 2 = 0 har lösningarna
x1,2 = 0 eller x 3 = 2,25
Ett teckenstudium visar att funktionen har terrasspunkt för (0, 9) och
minimipunkt för (2,25; 0,46).
g) f ′(x) = 3x 2 + 9. Ekvationen
3x 2 + 9 = 0 har inga reella lösningar.
Ett teckenstudium visar att funktionen är ständigt växande.
4.9
Eftersom f ′(x) = 2x + 2 så är derivatans
nollställe x = –1.
x
f ′(x)
f (x)
x < –1
–
–1
0
–1 < x
+
↓
↓
↓
↓
x
x < –2 –2 –2 < x < 2 2 2 < x
f ′(x)
+
0
–
0 +
f (x)
c) f ′(x) = 6x – 6x 2. Ekvationen
6x – 6x2 = 0 har lösningarna
x1 = 1 eller x 2 = 0
Ett teckenstudium visar att funktionen har maximipunkt för (1, 1) och
minimipunkt för (0, 0) .
↓
i) f ′(x) = 3x 2 – 12
3x 2 – 12 = 0
x1 = –2 eller x2 = 2
Funktionen är växande för x ≥ –1 och
avtagande för x ≤ –1
Analys - 88
Eftersom funktionens största och minsta
värden finns bland lokala extrempunkter
eller ändpunkter gör vi en värdetabell.
(Egentligen kan vi för kontinuerliga
kurvor strunta i teckenstudium, varför?)
–3
0
–1
–4
2
5
Funktionens största värde är 5 och dess
minsta värde är –4.
+
f (x)
0
–
0
–2
–5
–1
–1
1
–5
2
–1
Funktionens största värde är –1
och dess minsta värde är –5.
0
1,5
–1,6875
2
0
f (x)
+
–3
37
0
1
Eftersom funktionens största och minsta
värden finns bland lokala extrempunkter
eller ändpunkter gör vi en värdetabell.
f (x)
0
x
Funktionen är växande för x ≤ –1 och
x ≤ 1 samt avtagande för –1 ≤ x ≤ 1
x
32
4.12
f ′(x) = –3 – 3x 2 saknar nollställen.
Funktionen är avtagande för alla x.
↓
f ′(x)
–2
Funktionens största värde är 32 och
dess minsta värde är –1,6875.
x < –1 –1 –1< x <1 1 1< x
↓
x
f (x)
↓
4.10
Eftersom f ′(x) = 3x 2 – 3 så är derivatans
nollställen x1 = –1 och x 2 = 1.
x
Funktionens största värde är 37 och
dess minsta värde är 1.
4.13
Antag att övre högra hörnet är
(a, 4 – a 2). Alltså är arean y = a(4 – a 2)
y′ = 4 – 3a 2
4 – 3a 2 = 0
a = ± F4– = (±)1,15
3
Figuren visar att Dy = [0 ≤ a ≤ 2]
E
x
y′(x)
y(x)
x < 1,15
+
1,15
0
max
1,15 < x
–
↓
f (x)
↓
x
4.11
Eftersom f ′(x) = 4x3 – 6x2 så är derivatans nollställen x1,2 = 0 och x3 = 1,5.
Värdetabell:
Alltså får den maximala arean för
a = F4–
3
Den maximala arean är
F–4 (4 – 4/3) = –8 F–4 = ––
16 EF
3 (a.e.)
3
3 3 9
E
E
Analys - 89
E
30 < x
A′(x)
+
0
–
A(x)
max
25
25 < x
P ′(x)
+
0
–
P(x)
max
+
0
–
max
Alltså är den maximala arean
120 m · 300 m = 36 000 m2 = 3,6 ha
Om områdena ligger som bilden
visar så blir den maximala arean
40 000 m2 = 4 ha
P(x)
6
6<x
+
0
–
max
↓
P ′(x)
x<6
↓
x
Den maximala produkten får vi för
x = 6 och y = 3
4.18
Intäkten I(x) = x(50 – 0,1x) = 50x – 0,1x2
I ′ = 50 – 0,2x
50 – 0,2x = 0 vilket ger x = 250
DI = [0 ≤ x ≤ 300]
Teckenstudium ger:
x
I ′(x)
I(x)
x < 250
250
250 < x
+
0
–
max
↓
100 < x
4.17
Om de två talen är x och y så är x + y = 9.
Produkten är P = x 2(9 – x) = 9x 2 – x 3
P ′ = 18x – 3x 2
18x –3x2 = 0 vilket ger x = 0 och x = 6
Eftersom x > 0 och y > 0 använder vi
endast nollstället x = 6.
Teckenstudium ger:
↓
100
↓
A(x)
x < 100
↓
4.15
Om områdena ligger i rad blir arean
A = 4x(150 – 5x/8) = 600x – 2,5x 2
A′ = 600 – 5x
600 – 5x = 0 vilket ger x = 120
Eftersom en längd är ett positivt tal
är x > 0.
Teckenstudium ger:
A′(x)
x < 25
Den maximala produkten får vi för
x = 25 och y = 50.
Badplatsen blir så stor som möjligt
med sidorna 30 m och 60 m.
x
x
↓
30
↓
x
4.16
Produkten är P = x(100 – 2x) =
= 100x – 2x2
P ′ = 100 – 4x
100 – 4x = 0 vilket ger x = 25
Alla tal x är tillåtna.
Teckenstudium ger:
↓
x < 30
↓
4.14
Antag att badplatsens kortsidor är
x m långa.
Alltså blir badplatsens area (Enhet: m2)
A = x(120 –2x) =120x – 2x 2
A′ = 120 – 4x
120 – 4x = 0 vilket ger x = 30
Formeln för A visar att
DA = [0 < x < 60]
Teckenstudium ger:
Den maximala intäkten är 6 250 kr
Analys - 90
0
–320
21
121
30
40
V(x)
x < 400
400
400 < x
+
0
–
↓
4.20
V(x)= (40–0,01x)x –
– (0,02x 2 +16x +2000) =
= 40x – 0,01x2 – 0,02x 2 –16x – 2000 =
= 24x – 0,03x 2 – 2000
V ′(x) = 24 – 0,06x
24 – 0,006x = 0
4000 < x < 4000
Teckenschema:
V ′(x)
f ′(x)
+
0
–
f (x)
max
↓
25 < x
Han får maximal skörd om han sätter
ytterligare 25 äppelträd.
Vinsten blir störst om det produceras
21 st och minst för 30 st.
x
25
max
4.22
Antag att området för tryck har bredden
x cm och höjden y cm.
Alltså är xy = 243 och A = (x + 8)(y + 12)
Detta ger A = xy + 8y + 12x + 96
vilket ger A = 243 + 8 · 243/x + 12x + 96
A = 339 + 1944/x + 12x
A′ = –1944/x2 + 12
–1944/x2 + 12 = 0 vilket ger
x = EFFFFFFF
1944/12 = EFFF
162 = 12,7
Teckenschema:
x
A′(x)
A(x)
x < 12,7
12,7
12,7 < x
–
0
+
min
↓
V(x)
x
↓
x
x < 25
↓
4.19
V ′(x) = 42 – 2x
42 – 2x = 0 vilket ger x = 21
0 ≤ x ≤ 30
Arean på affischen skall vara 644 cm 2.
↓
↓
↓
4.23
Antag att han dröjer med försäljningen
Vi får maximal vinst för 400 tillverkade
x veckor. Priset efter x veckor är
2
digitalur. V(x) = 24x –0,03x –2000
(15 – 2x) kkr/ton. Mängden han kan
sälja efter x veckor är (100 + 20x) ton.
Intäkten = I(x) = (15 – 2x) (100 + 20x) =
= 1500 – 200x + 300x – 40x2
4.21
I′(x) = 100 – 80x
Antag att han sätter ytterligare x äppel100 – 80x = 0
träd och att den totala skörden äpplen
x = 1,25
är y st.
y = (50 + x)(2000 – 20x)
x
x < 1,25 1,25 1,25 < x
y = 100 000 + 1000x – 20x 2
I ′(x)
+
0
–
y′ = 1000 – 40x
1000 – 40x = 0
I(x)
max
x = 25
x>0
Aluminiumtillverkaren gör maximal
Teckenschema:
intäkt efter c:a 9 dagar.
Analys - 91
4.28
y ′ = 3x 2 – 6x –12 vilket ger
3x 2 – 6x –12 =12 med lösningarna
x 1 = –2 och x 2 = 4.
Detta innebär att y1 = 4 och y 2 = –32
Formeln för tangenterna är
4.25
y = 12x + m.
Antag att dess höjd är 2x cm. Alltså är
Punkt 1 ger 4 = 12 · (–2) + m vilket ger
dess radie EFFFFFF
122 – x 2.
m = 28 med tangenten: y = 12x + 28
Alltså är volymen V = π ·(122 – x 2) · 2x = Punkt 2 ger –32 = 12 · 4 + m vilket ger
m = –80 med tangenten: y = 12x – 80
= 2π ·(144x – x 3)
V ′=2π ·(144 –3x2) = 6π ·(48– x 2)
48 – x 2 = 0 om och endast om
4.29
x = ±EFF
48 = ±6,9
f ′(x) = 4x – 4x 3 = 4x(1 – x 2) vilket ger
Volymformeln visar att
rötterna x1 = –1, x 2 = 0 och x 3 = 1.
DV = [0 < x < 12]
Eftersom x 3 = 1 inte tillhör definitionsTeckenväxling:
mängden får vi:
x
6,9
6,9 < x
V ′(x)
+
0
–
V(x)
max
x
–3
–1
0
f (x)
–62
2
1
↓
x < 6,9
↓
4.24
Om funktionen växer med f ′(x) = 1,2 i
hela intervallet 7 ≤ x ≤ 9 så får vi största
värde på f (9). Alltså är största möjliga
värde f (9) = 3 + 1,2·2 = 5,4
Funktionens största värde är 2 och dess
minsta värde är –62.
Alltså är den maximala volymen
π ·(144 – 48) · 2EFF
48 cm3 = 4180 cm3 =
= 4,18 dm 3
4.30
4.26
0<x<1
1
1<x
f ′(x)
+
0
–
f (x)
↓
max
↓
1 –x
f ′(x) = –––
EFx
1
––– – x = 0 vilket ger x = 1
EF
x
EF
x visar att Df = [0 < x]
Teckenväxling:
x
Funktionen har en lokal maximipunkt
(1; 1,5).
4.27
Eftersom f ′(x) = 3x 2 + 10x – 11 får vi
ekvationen 3x 2 + 10x – 11 = 0
x 1 = –4,21 eller x 2 = 0,872
4.31
Alternativ c)
Analys - 92
4.32
4.36
a) Funktionen har lokalt maximum i
a) a är en funktion av i.
(0,93; 36,3) och lokalt minimum i
b) maximipunkten är (3,4,5)
(–0,30; –247) och (1,5; 0,00)
b) Funktionen har terrasspunkt i (0; 0)
och lokalt maximum i (2,5; 3,9)
4.33
f ′(x) = 3x 2 + 2ax – 9
3 · (–3)2 + 2a ·(–3) – 9 = 0
⇔
27 – 6a –9 = 0
⇔
a=3
Visa nu att f (x) har maximum för x = –3
4.34
f ′(x) = 12x3 + 3ax 2 + 2bx
12 ·3 3 + 3a · 32 + 2b · 3 = 0
12 ·23 + 3a · 22 + 2b · 2 = 0
⇔
324 + 27a + 6b = 0
96 + 12a + 4b = 0
⇔
a = –20
b = 36
Visa nu att f (x) = 3x 4 – 20x3 + 36x 2 har
maximum för x = 2 och minimum för
x=3
x<5
5
5<x
A′(x)
+
0
–
A(x)
↓
max
↓
4.35
Antag att AB = DE = x m samt att
BC = CD = y m.
A = x 2 + 2x(y – x).
Eftersom 2x + 2y = 30 (x + y = 15) får vi
A = x2 + 2x(15 – x – x) = 30x – 3x2
A′ = 30 – 6x med nollstället x = 5.
0 < x < y < 15
x
Verandan får maximal area om
AB = DE = 5 m samt BC = CD = 10 m
Analys - 93
33.9
c) 5 = 100 · 0,92x vars lösning är x = 36.
Eftersom kapitalet förräntas exponentiellt
Om fotogenen passerar 3,6 m lera så
får vi 2 = 1,045 t där t är tiden som
återstår bara 5 % föroreningar.
behövs för att kapitalet skall fördubblas.
Kapitalet fördubblas efter 16 år
33.14
(15,7 år).
a) P = 1,84523 · (194 – 75)1,348 =
= 1158 (poäng).
33.10
b) 715 = 1,84523(x – 75)1,348
Eftersom kulturen från början innehåller
715 1/1,348
3280 bakterier får vi
(x – 75) = (–––––––)
1,84523
3280 = 2 000 + 6 000 · lg a
(x – 75) = 83
1280/6 000 = lg a
x = 158.
a = 1,63.
Eva hoppade 158 cm.
Alltså gäller formeln
P(x) = 2000 + 6 000 · lg(x + 1,63).
c) P = 5,74352(28,50 – 15)1,92 =
Antalet bakterier efter 6 dagar är
= 850 (poäng).
2000 + 6 000 · lg(6 + 1,63) = 7 300.
33.11
a) Temperatur i nyponsoppan är efter
4 h: 22 + 58 · 0,93 4 = 65 °C.
b) 40 = 22 + 58 · 0,93 t vilket ger
t = lg[(40 – 22)/58]/lg 0,93 = 16.
16 h senare har nyponsoppan
temperaturen 40 °C.
c) Nej
5.1
Bestäm med räknare
a) e 0,27 = 1,3
b) e1,17 = 3,22
c) e –0,58 = 0,56
5.2
Bilens värde efter 6 år är
132 000 · e–0,01 · 6 = 124 000 kr.
33.12
Enligt formeln T = T0 · k t får vi
65 = 80 · k 3 vilket ger k = 0,933.
Antag att han skall duscha t h efter
kl 21.00 för att temperaturen skall vara
40 °C.
Vi får ekvationen 40 = 80 · 0,933 t med
lösningen 10.
Han skall duscha kl 7.00 dagen efter.
5.3
a) y = 120 · 0,89x = 120 · (eln0,89)x =
= 120 · e ln0,89 x
y′ = 120 · ln 0,89 · e ln0,89 x =
= –13,98 · 0,89 x
b) y = A0 · 1,992x = A0 · (eln1,99)2x =
= A0 · e 2 ln1,99 x
y′ = A0 · 2 ln1,99 · e 2 ln1,99 x =
= A0 ·1,38 ·1,99 2x
33.13
a) Exponentialfunktionen kan skrivas
A = 100 · 0,92 x, där A är den andel
föroreningar som återstår när fotogen
passerat x dm lera.
b) Efter tre dm lera återstår
100 · 0,923 = 78 % föroreningar.
5.4
a) 2e 2x
b) –e–x
c) –8 · e2 – x
d) 3e3x – 1
e) 3 · e x/2
f ) –e–x
5.5
f ′(x) = –14 · e–2x Alltså är f ′(0) = –14.
Analys - 94
5.6
Om du använder en värdetabell får du
följande graf:
y
8
5.12
a) Efter 5 år är befolkningen
25 000 · e 0,01 · 5 = 26 300.
b) 40 000 = 25 000 · e 0,01x har lösningen
x = 47. Efter 47 år är befolkningen
40 000.
6
4
2
x
–4
–2
5.7
a) e ln5,67
2
b) e ln0,045
5.13
200e 0,03x = 500e –0,02x som har lösningen
x ≈ 18.
Utbudet är lika med efterfrågan vid
priset 18 kr/kg.
4
c) e ln123
5.8
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3x = ln 0,782 ⇒ x = –0,0820
–5x = ln 2,12 ⇒ x = –0,150
3x – 2 = ln 7,81 ⇒ x = 1,35
e–x = 4,72/9 ⇒ x = 0,645
e x = (6,85 + 2,42) ⇒ x = 2,23
2x = e 0,452 ⇒ x = 0,786
ln (5x + 2) = 1,23/4,56 ⇒
⇒ 5x + 2 = e1,23/4,56 ⇒ x = –0,138
h) x = 3x ⇒ x = 0
i) 3/5 = e 4–x–x ⇒ 0,6 = e4–2x ⇒
⇒ 4 – 2x = ln 0,6 ⇒ x = 2,26
j) x = –0,0756
5.9
a) y′ = e x
b) y′ = 5 – 7e x
d) Efter 5 timmar ändras kaffets temperatur med f ′(5) °C per timme.
e) En förutsättning är att termosens
omgivande temperatur är 0 °C.
c) y′ = 1 – 4x –
5e–5x
5.14
D(e 2x – 2x) = 2e 2x – 2
2e 2x – 2 = 0 för x = 0
x
f(x)
–1
e –2 + 2 (= 2,14)
0
1
e2
1
– 2 (= 5,39)
Funktionens största värde är
e 2 – 2 (= 5,39) och dess minsta
värde är 1.
5.15
Den enda lösningen är x =0,886
y
8
5.10
f ′(2) = 5 – 1,5e 2/2 = 5 – 1,5e
6
5.11
a) Kaffets temperatur efter 24 timmar
är f ′(24) = 85 · e–0,038 · 24 = 34°C.
b) När är kaffets temperatur 50 °C?
c) 50 = 85 · e–0,038t med lösningen t =
= 14. Kaffets temperatur är 50 °C
efter 14 timmar.
4
2
x
–4
Analys - 95
–2
2
4
5.16
D(e x – e · x +1) = e x – e
e x – e = 0 för x = 1
y(1) = 1
5.19
a)
y
x
x<1
x=1
1<x
f ′(x)
–
0
+
min
↓
↓
16
f (x)
12
8
y
8
4
6
x
4
8
12
4
b) Efter 4 h är mängden medicin
6,7 mg.
2
x
–2
2
c) Avklingningshastigheten är
dQ
––– = –0,2Q 0e –0,2t
dt
Om Q0 = 8 mg och t = 3 h så är
avklingningshastigheten –0,88 mg/h.
5.17
Eftersom e x ≠ 0 kan vi dividera alla
termerna med denna faktor.
5.20
Vi får 1 + e1 = e a vilket ger a = ln(1 + e)
a) Linjen y = x
b) Linjen y = x
c) Linjen x = 0
5.18
När t går mot oändligheten så går stångd) Linjen y = 0
ens temperatur mot 35 °C.
e) Linjen y = x
Alltså är T(t) = 35 + Be –kt
f ) Linjen y = x
540 = 35 + B och 370 = 35 + Be –k·5
Den första ekvationen ger B = 505 som
h) a), b), e), f)
insatt i den andra ekvationen ger
–k·5
370 = 35 + 505e
vars lösning är
k = 0,082.
5.21
Alltså gäller formeln
D(e x) = e x. För tangenten gäller k = e1
–0,082t
T(t) = 35 + 505e
Ansats y = kx + m
95 = 35 + 505e –0,082t
ger e = e · 1 + m
vars lösning är t = 26.
vilket ger m = 0.
Tangentens ekvation är y = ex
Metallstången har fått sin arbetstemperatur efter 26 timmar.
Analys - 96
5.22
Tangentens ekvation i punkten (x0, ex0)
är y = ex0 x + m.
5.25
1,2·10–12 = 4,1 dB
a) L = 10lg –––––––––––
0,468 ·10–12
Alltså gäller ex0 = ex0 x0 + m
vilket ger m = ex0 – ex0 x0
1,2
b) L = 10lg –––––––––––
= 124 dB
0,468 ·10–12
Tangentens ekvation är alltså
y = ex0 x + ex0 – ex0 x0
0,15
c) L = 10lg –––––––––––
= 115 dB
0,468 ·10–12
För y = 0 fås skärningen med x-axeln
dvs x = x1.
ex0 x + ex0 – ex0 x0 = 0
vilket ger x1 + 1 – x0 = 0.
Alltså är x0 – x1 = 1. V.S.B.
5.26
a) ln x – ln 3 = 1
ln (x/3) = 1
x/3 = e. Alltså är x = 3e
b) ln x + ln(6 – x) = 3 ln 2
ln x ·(6 – x) = ln 8
x (6 – x) = 8
Alltså är x1 = 4 eller x2 = 2
5.23
a) lg x = lg 5 + lg 7 = lg 35
Alltså är x = 35.
b) lg x = lg 3 +2lg 5 = lg 3 + lg 52 = lg 75.
Alltså är x = 75.
c) 2ln x = ln 3 – ln 6
ln x 2 = ln 3/6
x = 0,5 0,5 = EFFF
0,5 .
d) ln x = ln 8 – ln 2 = ln 4. Alltså är x = 4.
e) lg x = 2lg 3 = lg 9. Alltså är x = 9.
f ) 2ln x = ln 81
ln x 2 = ln 81
x = 9.
c) lg x – lg(x –1) = 2 lg 3
x = 32
–––
x –1
x = –9
8
36.1
Efter 5 år har Sima
230 000 · (1 + 0,038 · 0,7)5 kr =
= 262 261 kr
36.2
a8 = 5 · 2,48–1 = 2 293.
g) ln x = 1 – 3ln 3
ln x = ln e – 3ln 3 = ln e/27
x = e/27.
36.3
a14 = 1 000 · 0,713 = 9,69.
5.24
Vi vill veta ljudnivån L för två maskiner
med lika höga intensiteter på ljudet.
I
74 = 10 lg––.
I0
36.4
Kvoten är 3.
36.5
a11 = 10 · 1,210 = 61,9.
2I = 10 lg2 + 10 lg ––
I = 3 + 74 = 77
10 lg ––
I0
I0
Resultatet blir 77 dB
Analys - 97
c) Vi låter u(x) = 3x 2 – 2x och y = u 4.
dy
du
Alltså –– = 4u3 och –– = 6x – 2.
du
dx
dy
3
Alltså är –– = 4u ·(6x – 2).
dx
dy
Resultat: –– = 4(3x2 – 2x)3 ·(6x – 2)
dx
6.1
a) u = 3x 2 – 1 och y = EF
u
1
b) u = (x – 1) och y = ––3
u
c) u = sinx och y = u2
d) u = 5x och y = eu
2x – π och y = sinu
e) u = ––
3
f ) u = x 2 + 0,5 och y = lgu
g) u = 1 – 5x och y = 0,2 eu
h) u = x 2 – 1 och y = lnu
6.4
a) Vi låter u(x) = 2x och y = 0,5eu.
dy
du
Alltså –– = 0,5eu och –– = 2.
du
dx
dy
Alltså är –– = 0,5eu ·2.
dx
dy
Resultat: –– = e 2x
dx
dy
b) –– = 8e4x–3
dx
6.2
a) y(x) = cos(x + π)
b) y(x) = 2e1–x
1
c) y(x) = –––––
2
2x +1
d) y(x) = cos 2x
6.3
a) Vi låter u(x) = 3x – 1 och y = u 3.
dy
du
Alltså –– = 3u2 och –– = 3.
du
dx
dy
Alltså är –– = 3u2 ·3
dx
dy
Resultat: –– = 9(3x –1) 2
dx
b) Vi låter u(x) = 1 – 0,5x och y = u 2.
dy
du
Alltså –– = 2u och –– = – 0,5.
du
dx
dy
Alltså är –– = 2u·(–0,5)
dx
dy
Resultat: –– = –(1 – 0,5x) = 0,5x –1
dx
c) Vi låter u(x) = x3 och y = eu.
dy
du
Alltså –– = eu och –– = 3x 2.
du
dx
dy
u
Alltså är –– = e ·3x 2
dx
dy
3
Resultat: –– = 3x 2·e x
dx
6.5
dy
a) –– = 3cos3x
dx
dy 1
x
1 x
b) –– = –·(–sin–) = – –sin–
dx 3
3
3 3
dy
c) –– = sin(π – x)
dx
Analys - 98
6.6
6.11
dy
a) –– = cosx e sin x
dx
dy
b) –– = –2π ·sin 2πx
dx
dy
c) –– = 3sin2x cosx
dx
U · ––
R ·e –Rt/L = U
––·e –Rt/L
i′(t) = ––
R L
L
3,3
i′(0,12) = ––––– ·e –12·0,12/0,045 =
0,045
= 9,3·10 –13.
di ∆i
Eftersom i′(t) är –– ≈ –– för mycket små
dt ∆t
värden på ∆i och ∆t ger enhetsanalys
di
∆i [∆i]
–– = –– = ––– = A/s
dt
∆t [∆t]
6.7
a) Vi låter u(x) = 3x –1 och y = u 5.
dy
du
Alltså –– = 5u 4 och –– = 3.
du
dx
6.12
dy
Alltså är –– = 5u 4 ·3 = 15(3x – 1)4.
a) Vi sätter u = 2x + 2 och y = 1–.
dx
u
Resultat: f ′(2)=15(3·2 –1)4 = 9375
dy
1
du
Alltså –– = – ––2 och –– = 2.
b) Vi låter u(x) = 3 – 5x 3 och y = u 4.
du
u
dx
dy
du
dy
1
2
Alltså –– = 4u 3 och –– = –15x 2.
Alltså är –– = – ––2 ·2 = – –––––––2
du
dx
dx
u
(2x + 2)
dy
3
2
Alltså är –– = 4u ·(–15x ) =
3
b) Vi sätter u = x/3 + 2 och y = –.
dx
u
= –60x 2 ·(3 – 5x 3)3
dy
3
du 1
Alltså –– = – ––2 och –– = –.
Resultat: f ′(2) = –60·22(3 – 5·23)3 =
du
u
dx 3
=12 156 720
dy
3
1
1
Alltså är –– = – ––2 · – = – –––––––
c) Resultat: f ′(2) = 4·(3·22 – 0,75·2·2)·
x
dx
u 3
(– + 2)2
·(23 – 0,75·22)3 = 4 500
3
1
2
6.8
c) Vi sätter u = x + 1 och y = –.
u
a) f ′(x) = 12(6x + 1).
dy
1
du
Alltså f ′(a) = 12(6a +1)
Alltså –– = – ––2 och –– = 2x.
du
u
dx
b) f ′(x) = 7(x – a)6.
dy
–2x
6
Alltså f ′(a) = 7(a – a) = 0
Alltså är –– = –––––––
dx (x 2 +1)2
c) f ′(x) = 12(3x – 1)3.
[] []
Alltså f ′(a) = 12(3a – 1)3
d) f ′(x) = 4(x – 3a)3.
Alltså f ′(a) = 4(a – 3a)3 = –32a3
6.9
Bestäm f ′′(x) om
a) f ′′(x) = ex–3
b) f ′′(x) = 8·3·3·e3x –2 = 72 e3x – 2
6.13
a) DEFFFF
1+ 3x = 0,5·3·(1+ 3x)–0,5 =
1,5
= ––––––
EFFFF
1+3x
FFFF
b) D EFFFFFF
1– 0,2x = 0,5·(–0,2)·
–0,1
·(1– 0,2x)–0,5 = –––––––
EFFFFFF
1– 0,2x
6.10
2
f ′(x) = (2x – 5)e x –5x vilket ger
2
(2x – 5)e x – 5x = 0.
Alltså är 2x –5 = 0 med resultatet x = 2,5.
(E )
3x = 3·0,5 · –3 ·
c) D 3 FFFFF
1+ ––
2
2
3x
2,25
–0,5
·(1 + ––)
= –––––––
2
FFFFF
1+ 3x
––
2
Analys - 99
E
6.14
7.1
a) D EFFFF
4 – x 2 = –x(4 – x 2)–0,5
a) Vi sätter u = 4x och y = lnu.
4
4
3
4
3
dy 1
du
b) D(x –1) = 16x (x –1)
Alltså –– = – och –– = 4.
du u
dx
c) Vi sätter u = 2 – EF
x och y = 2–.
u
dy 4
4 1
Alltså är –– = – = –– = –
dy
2
du
–1
dx
u
4x
x
Alltså –– = – ––2 och –– = ––– .
du
u
dx 2EF
x
dy
1
b) –– = ––––––
dy 2
1
dx 0,5 + x
Alltså är –– = ––
·
–––
=
dx u2 2EF
x
dy 1
c) –– = –
1
1
dx
x
= ––––––––––
= –––––––––––––– =
x (4 – 4EF
x + x)EF
x
(2 –EF
x )2 EF
dy 4x 3 4
d) –– = –––
=–
1
= ––––––––––––––
dx
x4 x
(4EF
x – 4x + xEF
x)
7.2
6.15
dy
2x
a) –– = –––––
dy
a) –– = 1 – 6sin3x
dx x 2 + 3
dx
dy 2(2x + 3)
Tangeringspunkten är (0, 2).
b) –– = ––––––––
dx x 2 + 3x –2
Tangentens k-värde är 1 – 6sin0 = 1.
Eftersom tangentens ekvation är
dy 3x 2 + 2e2x
c)
––
= ––––––––
y = kx + m får vi y = 1·x + m
dx
x 3 + e2x
Alltså är 2 = 1·0 + m.
dy 3·(–18x 2)
54x 2
Resultat: y = x + 2
d) –– = ––––––––
= ––––––
3
dx
1– 6x
6x 3 –1
dy
3
b) –– = –––––––
7.3
dx EFFFFF
6x + 4
Tangeringspunkten är (2, 4).
f ′(x) = 2x
–– – 1/x = x – 1/x
2
3
Tangentens k-värde är ––––––––
=3/4.
EFFFFFF
6·2+4
7.4
Eftersom tangentens ekvation är
f ′(x) = x –1/x vilket ger f ′′(x) = 1+1/x 2
y = kx + m får vi y = 3x/4 + m
7.5
Alltså är 4 = 3– · 2 + m.
f ′(x) = 2x – 1/x. Alltså är tangentens
4
k-värde = 2 – 1/1 = 1.
3x
5
Resultat: y = –– + –
Om tangentens ekvation ansätts till
4 2
y = kx + m får vi 1 = 1·1 + m.
dy
c) –– = –6(2 + 3x)–2
Eftersom m = 0 blir tangentens ekvation
dx
y = x.
Tangeringspunkten är (–2, –1/2).
Tangentens k-värde är –3/8.
7.6
Eftersom tangentens ekvation är
f ′(x) = 1/x
–2 + m
Alltså är tangentens k-värde = 1/e.
y = kx + m får vi –1/2 = –3·
–––––
8
Ansatsen y = kx + m ger 1 = (1/e)·e + m.
3x – –5
Ekvationens lösning är m = 0 och därmed
Resultat: y = – ––
8 4
är tangenten y = x/e.
6.16
2π n· –––
2π + 2)
(n· –––;
3
3
Tangenten skär y-axeln för x = 0.
Resultat: yp = 0.
Analys - 100
7.7
12 = –.
4 Alltså är f ′(3) = 4–.
f ′(x) = ––
3x x
3
7.8
–3
f ′(x) = –3 och f ′′(x) = ––.
x
x2
–3
Resultat: f ′′(2) = –3
––2 = ––
2
4
7.9
3 = –1 och g ′(x) = ––
5 = –.
1
f ′(x) = ––
3x x
5x x
Alltså är f ′(x) = g′(x).
7.10
5(3x 2 – 3) = ––––––––
15(x 2 –1)
f ′(x) = ––––––––
3
x – 3x
x 3– 3x
7.11
6x 2 = –6
f ′(x) = –––
x3 x
Resultat: f ′(0,8) = 7,5
7.16
a) y′ = 10x ·ln10. Alltså är tangentens
k-värde ln10.
Tangeringspunkten är (0, 1). Med
ansatsen y = kx + m får vi
1 = (ln10)·0 + m vilket ger m = 1.
Resultat: Tangentens ekvation är
y = (ln10)·x + 1.
b) y′ = 10x ·ln10. Alltså är tangentens
k-värde 100,5 ·ln10 (≈ 7,28)
Tangeringspunkten är (0,5; 100,5).
Med ansatsen y = kx + m får vi
100,5 = (100,5 ·ln10)·0,5 + m
vilket ger m = 100,5 – (100,5 ·ln10)·
·0,5 (≈ –0,478)
Resultat: Tangentens ekvation är
y = 7,28x – 0,478.
7.17
y′ = 3x ·ln3. Alltså är tangentens k-värde
9·ln3. Tangeringspunkten är (2, 9).
7.12
Med ansatsen y = kx + m för tangentens
N = 250·e0,04t
ekvation får vi 9 = (9·ln3)·2 + m.
a) N = 250·e0,04·30 bakterier = 830
Alltså är m = 9 – (9·ln3)·2 = 9 –18ln3≈
bakterier
≈ –10,78.
b) N = 250·0,04·e0,04t vilket ger
Resultat: För x = 0 är y = 9 –18ln3≈
N′ = 10·e0,04t
Alltså är N ′(30) eller bakteriekulturens ≈ –10,78.
tillväxthastighet 33 bakterier/min
7.18
c) 10·e0,04t = 50 vilket ger t = 40.
Resultat: Efter 40 min är tillväxthastigheten 50 bakterier/min.
7.14
a) y′ = 10x ·ln10
b) y = 5·3x ·ln3
c) y = –7,3·1,15x ·ln1,15
7.15
a) y′ = –3 x1/2
2
b) y′ = 5·–2 x –3/5 = 2x–3/5
5
–1 x –4/3 = ––
–7x –4/3
c) y = 3,5·––
3
6
–1
–ln2 · 2–x/3
–x/3
d) y′ = –– ·2
·ln2 = ––––
3
3
2
e) y′ = 10x ·105x ·ln10
2
f ) y′ = 3·(4x +1)·42x +x ·ln 4
8.1
a) D[(x + 1)·e x ] = (x + 1) e x + 1·e x =
= (x + 2)·e x
b) D(3e x) = 3ex
c) D[(x 2 – 2)·e x ] = (x 2 – 2)·e x + 2x ·
· e x = (x 2 + 2x – 2)·e x
d) D(ln x · sin x) = ln x · cosx +(1/x)· sinx
e) D(x 2 ·sinx) = x 2 ·cosx + 2x · sinx
f ) D(ln x ·e x ) = lnx · e x + (1/x)·e x =
= (ln x +1/x)·e x
Analys - 101
8.2
x
(x –2)·1–1·x
–2
a) D(––––) = –––––––––––
= ––––––2
2
x –2
(x –2)
(x –2)
x2
(x +1)·2x –1·x 2 x 2 +2x
b) D(––––) = ––––––––––––
= ––––––2
x +1
(x +1)2
(x +1)
1
(1– 4x)·0 –1· (–4)
4
c) D(––––) = –––––––––––––
= ––––––2
2
1– 4x
(1– 4x)
(1– 4x)
x 2 –1
(x 2 +1)·2x – (x 2 –1)·2x
d) D(–––––)
=
––––––––––––––––––
=
x 2 +1
(x 2 +1)2
4x
= –––––––
(x 2 +1)2
x 3 –1 (x 3 +1)·3x 2 – (x 3 –1)·3x 2
e) D(–––––)
= –––––––––––––––––––
=
x 3 +1
(x 3 +1)2
6x 2
= –––––––
3
(x +1)2
8.4
a) f ′(x) = –3e–x
Alltså är f ′(0) = –3e–0 = –3
(x – 2)·1– x ·1
–2
b) f ′(x) = –––––––––––
= ––––––2
2
(x – 2)
(x – 2)
Alltså är f ′(0) = –0,5
c) f ′(x) = (2 + x)·ex + 1· ex = (3 + x)e x
Alltså är f ′(0) = 3
1·ex – xex ex (1– x) 1– x
d) f ′(x) = ––––––––
= –––––––
= ––––
(ex )2
(ex )2
ex
Alltså är f ′(0) = 1
(x +1)(–sinx) – 1· cosx
e) f ′(x) = ––––––––––––––––––
=
(x + 1)2
–(x sinx + sinx + cosx)
= ––––––––––––––––––
(x +1)2
Alltså är f ′(0) = –1
1
2x + 3 (4 – 5x)·2–(2x + 3)(–5)
f ) D(–––––) = ––––––––––––––––––
= f ) f ′(x) = –––– · cosx – ln(x +3)·sinx
x +3
4 –5x
(4 – 5x)2
Alltså är f ′(0) = 1/3
23
= –––––––
(4 – 5x)2
8.5
xex –1· e x (x –1)e x
a) f ′(x) = ––––––––
= –––––––
8.3
x2
x2
1
ln
x
2
+
ln
x
a) f ′(x) = EF
x · – + –––– = ––––––
Alltså är f ′(1) = 0
x 2EF
x
2EF
x
e–x + xe–x 1 + x
b) f ′(x) = ––––––––
= ––––
b) f ′(x) = x2·ex + 2xe x = e x (x2 + 2x)
(e–x )2
e–x
Alltså är f ′(–1) = 0
cosx · ex + sinx · ex =
c) f ′(x) = –––––––––––––––
2
cos x
(ln x)·2x – 1– · x 2
ex(cosx + sinx)
x
x(2lnx –1)
= ––––––––––––
c) f ′(x) = ––––––––––––
= –––––––––
2
cos2x
(lnx)
(lnx)2
e(2ln e –1)
–xe–x –1·e –x –e–x (1+x)
Alltså är f ′(e) = –––––––––
=e
d) f ′(x) = ––––––––––
= –––––––––
(ln e)2
2
2
x
x
x · 1– –1· lnx
x
1 – lnx
e) f ′(x) = ––––––––––
= ––––––
x2
x2
lnx ·1 – x · 1–
x = ––––––
lnx –1
f ) f ′(x) = –––––––––––
2
(lnx)
(lnx)2
d) f ′(x) = 2xe–x – x 2 · e–x = xe–x(2 – x)
Alltså är f ′(2) = 0
(x – 2) – (x + 1)
–3
e) f ′(x) = ––––––––––––
= ––––––2
2
(x – 2)
(x – 2)
Alltså är f ′(–1) = –1/3
– cosx
f ) f ′(x) = ––––––
sin2x
Alltså är f ′( –π ) = –EF2
4
Analys - 102
8.6
9.1
a)
b)
c)
d)
8.7
e)
1–x
Eftersom y′= –––
får vi en vågrät tangent f )
ex
för x = 1. Tangeringspunkten är (1, 1/e).
9.2
Resultat: Tangentens ekvation är y = 1/e.
a)
b)
8.8
c)
y′ = x 2 · –1 +2x · lnx = x + 2x ln x.
d)
x
e)
Tangentens k-värde i punkten (1, 0) är
(1 + 2ln1) = 1. Om vi antar att
f)
tangentens ekvation är y = kx + m får vi
0 =1·1 + m vilket ger m = –1.
9.3
Resultat: Tangentens ekvation är
a)
y = x –1
b)
x + ––––
1 – x = ––
1 = e–x
V.L. = ––
ex
ex
ex
H.L. = e–x Alltså V.L = H.L. V.S.B.
8.9
cosx ·cosx +sinx ·sin x = –––––.
1
Dtanx = ––––––––––––––––––
2
cos x
cos2x
8.10
Eftersom f ′(x) = –a·e–ax är y ′+ 3y =
= –a·e–ax + 3e–ax = e–ax(3 – a).
Eftersom detta uttryck skall vara lika
med noll för varje tänkbart x-värde så
måste a = 3.
8.11
(x –1)2ax – ax 2 ax 2 – 2ax
f ′(x) = ––––––––––––
= –––––––
(x –1)2
(x –1)2
16a – 8a = 8
Alltså gäller –––––––
9
vilket medför a = 9.
8.12
U ′(t) = –200·(–0,03)·e –0,03t
I(20) = 3,3.
Strömstyrkan är 3,3 A efter 20 s.
f ′′(x) = 6x – 6
f ′′(x) = 4
f (x) = x3 –4x2/3 f ′′(x) = 6x –8/3
f (x) = (x3 – x2 + 2x – 2) f ′′(x) = 6x –2
f ′′(x) = x 2 + x – 1/4
f(x) = x5 / 6 – x4 / 6 – x2 / 3 + x / 3
Alltså är f ′′(x) = 10x3/3 – 2x 2 – 2/3
D2 (3x + 2) = 0
D2 (2ex) = 2ex
D2 (0,5(ex – e–x )) = 0,5(ex – e–x )
D2 (sin2x) = –4sin2x
–1
D2 (ln x) = ––
x2
2
–2x
D (e ) = 4 e–2x
f ′′(x) = 8 + 2e–x ; f ′′(0) = 10
f ′(x) = 2x ·cosx2
vilket ger f ′′(x) = 2x ·(–2x·sinx 2) +
+ 2·cosx2 = 2·cosx 2 – 4x 2 sinx 2
f ′′(0) = 2
c) f ′(x) = excosx + exsinx
f ′′(x) = –exsinx + excosx + excosx +
+ exsinx = 2excosx ;
f ′′(0) = 2
9.4
a) f ′(x) = e–x · a·cos ax – e–x · sinax
f ′′(x) = –e–x · a2 ·sinax – e–x ·a·cos ax –
– e–x · a·cos ax + e–x · sinax =
= –e–x · a2 · sinax – 2e–x · a· cosax +
+ e–x · sinax
sinx + cosx · lnx
b) f ′(x) = ––––
x
x
cosx – sinx + ––––
cosx –
f ′′(x) = –––––––––––
2
x
x
2cosx
sinx
– sinx ·ln x = ––––– – ––––
– sinx·ln x
x
x2
c) f ′(x) = 2ax2 ·e2x + 2ax·e2x
f ′′(x) = 4ax2 ·e2x + 4ax ·e2x +
+ 4ax ·e2x + 2a·e2x =
4ax 2 ·e 2x + 8ax·e 2x + 2a·e 2x
Analys - 103
9.5
f ′(x) = 3x2 – 6x – 9. Ekvationen
3x2 – 6x – 9 = 0 ger derivatans nollställen.
Resultat: Derivatans nollställen är
x1 = 3 och x2 = –1.
9.6
f ′(x) = 3x2 – 4x +1. Derivatans nollställen är x1 = 1 och x2 = 1/3.
Varför är funktionen växande för
x ≤ 1/3 och x ≥ 1?
b) y′ = 2x + 5; 2x + 5 = 0
ger lösningen x = –2,5.
y′′ (–2,5) = 2 > 0 vilket medför en
minimipunkt för x = –2,5.
Minimipunkten är (–2,5; –6,25).
En värdetabell med x-värden mindre
än och större än –2,5 ger en graf.
9.7
f ′(x) = 4 – 2x. Derivatan är noll för
x = 2. Eftersom f ′′(x) = – 2 < 0 har
funktionen ett maximum för x = 2.
Maximivärdet är 9.
9.8
f ′(x) = 3x2 – 6x. Derivatans nollställen är
x1 = 0 och x2 =2. Värdetabellen nedan ger
största och minsta värde.
x
y
–2
–20 är minsta värde
0
0 är största värde
2
–4
9.9
a) y ′ = 2x – 4; 2x – 4 = 0
ger lösningen x = 2.
y ′′ (2) = 2 > 0 vilket medför en
minimipunkt för x = 2.
Minimipunkten är (2, –1).
En värdetabell med x-värden mindre
än och större än 2 ger en graf.
c) y′ = 8 – 2x; 8 – 2x = 0
ger lösningen x = 4.
y′′ = –2 < 0 vilket medför en
maximipunkt för x = 4.
Maximipunkten är (4, 16).
En värdetabell med x-värden mindre
än och större än 2 ger en graf.
15
12
9
6
3
2
Analys - 104
4
6
8
d) y′= 3x2 – 12x + 3; 3x2 – 12x + 3 = 0
ger lösningen x 1,2 = 2±EF3
y ′′= 6x – 12; y ′′(2 – EF3 ) < 0
vilket medför en maximipunkt för
x = 2 –EF
3 ≈ 0,268.
y ′′= 6x – 12; y′′(2 + EF3 ) > 0
vilket medför en minimipunkt för
x = 2 + EF3 ≈ 3,732.
Maximipunkten är (0,268; 1,39).
Minimipunkten är (3,732; –19,4).
En värdetabell ger en graf.
f ) y′ = 6x2 –18x; 6x2 –18x = 0
vilket ger x1 = 3 eller x2 = 0
y′′= 12x – 18; y′′(0) < 0
vilket medför en maximipunkt.
y′′(3) > 0 vilket medför en
minimipunkt.
Maximipunkten är (0; 3).
Minimipunkten är (3; –24).
En värdetabell ger en graf.
e) y ′= 3x2 – 3x/13 –1; x2 – x/13 –1/3 = 0 9.10
vilket ger x1,2 = 1/26 ±EFFFFFFFF
679/2028
y ′ = 2·e x + 2x·e x; e x (2 + 2x) = 0
vilket ger x = –1
eller approximativt x1 = –0,540 och
y′′= 2·e x + 2·e x + 2x·e x = e x(4 + 2x);
x2 = 0,617
y′′(–1) > 0 vilket ger en minimipunkt.
y ′′= 6x – 3/13; y′′(–0,540) < 0
Minimipunkten är (–1; –2e–1).
vilket medför en maximipunkt.
En värdetabell ger en graf.
y′′(0,617) > 0 vilket medför en
minimipunkt.
Maximipunkten är (–0,54; 0,35).
Minimipunkten är (0,62; –0,43).
En värdetabell ger en graf.
Analys - 105
9.11
y′ = ln x + x/x; lnx + 1 = 0 vilket ger
x = e–1
y′′ = 1/x; y′′( e–1) > 0 vilket ger en
minimipunkt.
Minimipunkten är (e–1, – e–1).
Största möjliga definitionsmängd
är x >0.
9.12
y′ = x2 (3lnx + 1)
y′ = 0 för x = 0,717
Andra derivatan ger minimum
(0,717; –0,123)
9.13
ex(1– x )
ex– xex = –––––––;
y′ = ––––––
2x
e
e2x
Derivatan är noll om och endast om x =1.
Teckenstudium ger maximipunkten
(1; 1/e) ≈ (1; 0,368).
9.14
Antag att du ökar biljettpriset med 5x kr.
Det nya biljettpriset är (50 + 5x) kr.
Antalet biobesökare med det nya priset är
(5000 – 300x) st.
Vinstfunktionen blir
V = (5000–300x) (50 + 5x)–30·5000 =
= 250 000 + 25 000x –15000x –
– 1500x2 – 150 000 =
= 100 000 + 10 000x – 1500x2
V ′ = 10 000 – 3000x vilket ger derivatans nollställe x = 3,3.
V ′′ = –3000 < 0 vilket innebär maximal
vinst för x = 3,3.
Om du vill ha ett pris i jämna femkronor
så måste du ta det pris av 65 kr eller 70 kr
som ger maximal vinst.
Biljettpriset 65 kr ger maximal vinst.
9.15
Antag att han ökar försäljningspriset med
x tiokronorsmynt där 0 ≤ x ≤ 100. Priset
för de oreade skidorna är då (600 + 10x)
kronor/par och av dessa får han sälja
(100 – x) par.
Analys - 106
H
(
(
9.18
v(t) = 0,001302t 3 – 0,09029t 2 + 23,61t –
– 3,083
a(t) = 0,003906t 2 – 0,18058t + 23,61.
Accelerationens extremvärden får vi ur
ekvationen
a′(t) = 0,007812t – 0,18058 = 0
vilken ger t = 23,12 s.
a′′(t) = 0,007812 > 0 vilket innebär att
accelerationen har sitt minsta värde för
t = 23,12 s.
Extremvärden för accelerationen får vi ur
följande tabell:
t (s)
a ( feet/s2)
0
23,6
23,12
21,5
126
62,9
Accelerationens största värde är
62,9 feet/s2 och dess minsta värde är
21,5 feet/s2.
55.1
y ′ = –1,5·e–3x insatt i differentialekvationens vänstra led ger
–1,5e–3x + 3(0,5e–3x ) = 0. Vilket
skulle bevisas.
Analys - 107
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
P
(
(
(
(
(
1 km
(
EFFFF
1+ x 2 + 1––––.
–x
T = ––––––
3
5
x
T ′= –––––––
– –1 ;
3EFFFF
1+ x 2 5
A
x
(
9.17
Antag att du skall simma mot punkten A
x km från det vinkelräta avståndet.
Sträckan från dig, P, till A är EFFFF
1+ x2 km
och resterande sträcka till huset är
(1 – x) km. För tiden, T h, för att komma
hem gäller alltså
1 km
(
9.16
Antag att tunnans radie och höjd är r m
respektive h m.
Alltså gäller πr 2 ·h = 20.
Kostnaden K kr =
= 2πr 2·100 + 2πrh · 80 =
20 =
= 200πr 2 + 160πr–––
πr 2
3200
= 200πr 2 + ––––
r
3200
K ′ = 400πr – ––––.
r2
K ′ = 0 för r = (8/π)1/3 =1,366.
K ′′= 400π + 6400
––––
>0
r3
vilket ger minsta kostnad för radien
1,37 m och höjden 3,41 m.
x
x2 = ––
1 ⇔
T ′= 0⇔ –––––––
= –1 ⇒ ––––––
2
3EFFFF
1+ x
5 9(1+x2) 25
⇔ 25x 2/9 = 1 + x 2 ⇔ 16x 2/9 = 1 ⇔
⇔ x = ±3/4
Kontroll visar att x = 3/4 satisfierar
ekvationen T ′= 0.
Du skall simma till punkten som
befinner sig 0,25 km från huset.
(
Antag att x par säljs till reapriset.
Den totala intäkten blir alltså
(100 – x)(600 + 10x) + 500x kronor
och drar vi ifrån inköpspriset får vi
förtjänsten
V = (100 – x)(600+10x) +500x – 40 000=
= 60 000 + 1000x – 600x – 10x 2 +
+ 500x – 40 000 =
= 20 000 + 900x – 10x 2
V ′= 900 – 20x vilket ger maximal
förtjänst för x = 45 ty V ′′ = –20 < 0.
Försäljningspriset bör vara 1050 kr för
att ge maximal förtjänst. Förtjänsten
blir 40 250 kr.
55.10
2
y′ = –2axe–ax och
2
2
y′′ = –2ae–ax + 4a2x 2e–ax .
2
Alltså är y ′′ + xy ′ + y = –2ae–ax +
2
2
2
+ 4a2x 2e–ax –2ax2e–ax + e–ax = 0
Identiteten kan bara stämma om
4a2 – 2a = 0 och 1–2a = 0.
Konstanten a = 1/2 och lösningen är
y=e
x2
– ––
2
De två sista ekvationerna ger
a = –1/6 och b = –1/4
Alltså är f (x) = –x3/6 –x2/4 + x
.
10.1
f ′(x) = 3x2 – x3 och f ′′(x) = 6x – 3x2
Kurvan har maximi- eller minimipunkter
för x1 = 0 eller x2 = 3.
10.3
f (0) = 0 och f (3) = 6,75
y = ax3 + bx2 + cx + d ; y′ = 3ax2 + 2bx + c;
2
f ′′(x) = 6x – 3x = 0 ger x1 = 0
y′′= 6ax + 2b;
eller x2 = 2
Teckenstudium visar att (3; 6,75) är en Texten ger:
4 = 27a + 9b + 3c + d
maximipunkt, (0, 0) en inflexionspunkt
27a + 6b + c = 0
(i detta fall även terrasspunkt) och
0 = 125a + 25b + 5c + d
(2, 4) en inflexionspunkt.
75a + 10b + c = 0
24a + 2b = 2
⇔
a =1
b = –12
c = 45
d = –50
Tredjegradspolynomet är
y = x 3 – 12x 2 + 45x – 50.
{
{
10.2
y = ax3 + bx2 + cx + d;
y′ = 3ax2 + 2bx + c;
y′′= 6ax + 2b;
Enligt texten är y′(0) = 1 och y(0) = 0
vilket ger c = 1 och d = 0.
Maximum för x = 1 ger 3a + 2b + 1 = 0.
Inflexionspunkt för x = –0,5 ger
–3a + 2b = 0
10.4
y′ = 8x3 + 6ax 2 + (4a – 2)x + b
y′′ = 24x 2 + 12ax + (4a – 2)
24x 2 + 12ax + (4a – 2) = 0
x 2 + ax/2 + (2a – 1)/12 = 0
3a2– 8a + 4
x = –a/4 ± FFFFFFFFF
–––––––––
48
Kurvan har inflexionspunkter endast om
3a2 – 8a + 4 > 0
a2 – 8a/3 + 4/3 = 0
a1 = 2 eller a2 = 2/3
Kurvan har alltså inflexionspunkter om
a ligger i intervallen a ≤ 2/3 eller a ≥ 2.
Analys - 108
E
10.6 Antag att kostnaden längs vägen är a kr/km och att kabeln läggs ned på en sträcka
av x km. Då blir den totala kostnaden y = ax + 2a 2 2 + (4 − x )2
2 a(2 x − 8)
2x − 8
= a(1+
)
(D) y´ = a +
2
2
2 4 + 16 + x − 8 x
x − 8 x + 20
2x − 8
(E) 1+
=0
2
x − 8 x + 20
(8 − 2 x )2
1= 2
x − 8 x + 20
x2 – 8x + 20 = 64 –32x + 4x2
3x2 – 24x + 44 = 0
x2 – 8x + 44/3 = 0
x2 = 4 ±
16 − 44 / 3
x2 = 4 ± 4 / 3
x 2 = 2,85
x
f ´ ( x)
f(x)
x < 2,85
–
↓
2,85
0
min
2,85 < x
+
↑
”derivatans nollställen”
”derivatans teckenväxling”
”grafens utseende”
10.7Antag att punkten (x, 2x) är en godtycklig punkt på grafen till y = 2x. För
avståndet i kvadrat, y, till punkten (1, 0) gäller y = (x – 1)2 + (2x)2.
y = x2 – 2x + 1+ 4x2
y = 5x2 – 2x + 1
y´ = 10x – 2 vilket ger 10x – 2 = 0 för x = 0,2
y ´´ = 10 > 0.
Vi får ett minsta avstånd från punkten (0,2; 0,4) på kurvan till punkten (1, 0).
sin x k sin x cos x k sin 2 x
10.8 I=
= k
vilket ger I ´= (k/a)⋅cos 2x. Ekvationen
=
a
a
2a
cos x
cos 2x = 0 ger 2x = π/2 vilket medför x = π/4. Alltså blir strålningskällans höjd a.
10.9
a) y´ = 21,6⋅0,27⋅cos (0,27x – 1,85). Solen stiger som snabbast när
cos(0,27x - 1,85) = 1 ⇒ (0,27x – 1,85) = 0 ⇔ x = 6,85 alltså kl. 6.51.
b) Solen har sin högsta höjd när 0,27x – 1,85 = π/2 ⇔ x = 12,67 alltså kl.12.40.
c)
Solen har sin lägsta höjd när 0,27x – 1,85 = -π/2 ⇔ x = 1,03 alltså kl.1.02.
Analys - 109
10.10 Antag att O 1 och O 2 har måtten 2x⋅(150 – 6x)/3 resp. x⋅(150 – 6x)/3
Då blir den totala arean, A = 3x⋅(50 – 2x).
A = 150x – 6x2
A´ = 150 – 12x med nollställe x = 150/12.
A´´ = -12 < 0 .
Det rektangulära området har maximal area om dess yttre mått är 37,5 m och 25 m
10.11 Endast c) kan beläggas av texten.