Aritmetikdopning räcker det?: En studie utförd i årskurserna 2 och 3
Självständigt arbete II, 15 hp Aritmetikdopning räcker det? En studie utförd i årskurserna 2 och 3 Författare: Marie Jansson Handledare: Andreas Ebbelind Examinator: Torsten Lindström Termin: VT 2015 Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad nivå Kurskod: 4GN04E Aritmetikdopning räcker det? En studie utförd i årskurserna 2 och 3 Arithmetic doping is that enough? A study performed in grade 2 and 3 Abstrakt Syftet med den här studien var att undersöka om och hur aritmetikdopning av textuppgifter kan anpassas till elevernas kognitiva förmågor och förkunskaper samt om det är andra faktorer som påverkar elevernas möjlighet att lösa dem. Metoderna som användes var ett test med eget konstruerade aritmetikdopade textuppgifter samt intervjuer. Enligt resultaten hade aritmetikdopning en påverkan på elevernas lösningsfrekvens där de uppgifter som krävde lägst aritmetisk kunskap hade högst lösningsfrekvens. Intervjuerna tydliggjorde att det fanns en förståelse för att elevernas läsförmåga, aritmetiska kunskapsnivå, begreppsförståelse och kognitiva förmåga påverkar elevernas möjligheter att lösa textuppgifter. Lärarnas uppfattning om att de behöver modellera hållbara strategier och metoder för att eleverna ska ges de bästa möjligheterna att lösa textuppgifter överensstämmer med forskningen. Det som ytterligare skulle främja eleverna och utveckla deras möjligheter att lösa textuppgifter skulle vara att stimulera deras kreativa förmåga. Nyckelord Aritmetikdopning, differentiering individualisering, kognitiva förutsättningar, svårighetsgrad, textuppgifter, undervisning Marie Jansson Antal sidor 33 i Innehåll 1 Inledning ____________________________________________________________ 1 1.1 Bakgrund _______________________________________________________ 2 2 Syfte och frågeställningar ______________________________________________ 3 3 Teoribakgrund _______________________________________________________ 4 3.1 Förkunskaper som krävs för att lösa textuppgifter ________________________ 4 3.1.1 Aritmetisk kunskap _____________________________________________ 4 3.2 Textuppgifter och aritmetikdopning ___________________________________ 3.3 Kognitiva förutsättningar ___________________________________________ 3.4 Språkkunskaper __________________________________________________ 3.4.1 Begreppsförmåga _____________________________________________ 5 6 7 8 3.5 Svårigheter vid lösning av textuppgifter _______________________________ 9 3.6 Lärarens roll _____________________________________________________ 9 3.7 Sammanfattning av betydelsefulla fakta_______________________________ 10 4 Metodologi _________________________________________________________ 11 4.1 Datainsamlingsmetoder ___________________________________________ 11 4.1.1 Formulär som metod __________________________________________ 11 4.1.2 Intervju som metod ___________________________________________ 12 4.2 Urval __________________________________________________________ 12 4.2.1 Urval till textuppgifterna och intervjuerna _________________________ 12 4.3 Forskningsetiska principer _________________________________________ 13 4.3.1 Forskningsetiska principer för intervjuer __________________________ 13 4.4 Proceduren _____________________________________________________ 13 4.4.1 Proceduren för genomförande av textuppgifterna ___________________ 13 4.4.2 Bortfall _____________________________________________________ 14 4.4.3 Proceduren för genomförande av intervjuerna ______________________ 14 4.5 Databearbetningsmetoder __________________________________________ 15 4.5.1 Databearbetning av textuppgifterna ______________________________ 15 4.5.2 Databearbetning av intervjuerna ________________________________ 16 4.6 Tillförlitlighet ___________________________________________________ 16 4.6.1 Textuppgifterna ______________________________________________ 17 4.6.2 Intervjuerna _________________________________________________ 17 5 Resultat och analys __________________________________________________ 18 5.1 Resultat av textuppgifterna _________________________________________ 18 5.1.1 Analys av textuppgifterna ______________________________________ 19 5.2 Konstruktion av textuppgifter som kan aritmetikdopas ___________________ 20 5.2.1 Resultat av textuppgifters konstruktioner __________________________ 20 5.2.2 Analys av textuppgifters konstruktioner ___________________________ 21 5.3 Hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper ________________ 22 5.3.1 Resultat av hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper __ 22 ii 5.3.2 Analys av hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper ___ 24 5.4 Elevernas tänkande, uppfattningsförmåga, minne och språk _______________ 25 5.4.1 Resultat av lärarnas syn på elevernas kognitiva förmågor _____________ 25 5.4.2 Resultat av elevernas syn på de kognitiva förmågorna ________________ 26 5.4.3 Analys av elevernas och lärarnas syn på de kognitiva förmågorna ______ 27 5.5 Elevernas och lärarnas uppfattning av textuppgifter _____________________ 28 5.5.1 Resultat av elevernas uppfattningar ______________________________ 28 5.5.2 Analys av elevernas uppfattningar textuppgifter _____________________ 29 5.5.3 Resultat av lärarnas uppfattningar av textuppgifter __________________ 29 5.5.4 Analys av lärarnas uppfattningar av textuppgifter ___________________ 30 6 Diskussion __________________________________________________________ 31 6.1 Metoddiskussion _________________________________________________ 31 6.1.1 Formulär som metod __________________________________________ 31 6.1.2 Intervju som metod ___________________________________________ 31 6.2 Resultatdiskussion _______________________________________________ 32 6.2.1 Aritmetikdopning behöver vidare förståelse ________________________ 32 6.2.2 Faktorer som har påverkat resultatet _____________________________ 32 6.2.3 Lärarens inkluderande förhållningssätt ___________________________ 33 6.3 Förslag på vidare forskning ________________________________________ 33 Referenser ___________________________________________________________ 34 Bilagor _______________________________________________________________ I Bilaga A Brev till föräldrarna ____________________________________________ I Bilaga B Missivbrev __________________________________________________ II Bilaga C Textuppgifter _______________________________________________ III Bilaga D Intervjufrågor till eleverna ____________________________________ IV Bilaga E Intervjufrågor till lärarna _______________________________________ V Bilaga F Redovisning av textuppgifterna _________________________________ VI iii 1 Inledning Den här studien handlar om textuppgifter och vad som krävs för att elever i årskurserna 2 och 3 ska lyckas lösa dem. Textuppgifter och hur de uppfattas av eleverna känns som angeläget att resonera kring eftersom eleverna möter denna typ av uppgifter i matematikundervisningen. Matematiken finns hela tiden runt omkring oss och formuleras inte enbart som siffror. Samhället idag kräver ett mer varierat synsätt och förhållningssätt till matematiken. Matematiken behöver vidgas från att ses som ett ämne som endast fokuserat på symboler och siffror till att vara en del av vardagen och synliggöras i olika situationer och sammanhang (Lindekvist, 2004). Eftersom textuppgifter är en del av matematikundervisningen som kräver en del förkunskaper är det viktigt att eleverna bygger upp en förförståelse och hållbara strategier för att kunna lösa dem. Engström (2002) framhåller att de flesta fel som görs i textuppgifter orsakas av att eleverna inte uppmärksammar vad som står, att de inte plockar ut rätt fakta som behövs för att kunna lösa uppgiften, att de inte vet vilket räknesätt de ska använda eller att de spegelvänder siffrorna och därmed får ett felaktigt svar. För att kunna utföra räkneuppgifter behöver eleverna ha begreppsförståelse, kunna generalisera olika räknemetoder och strategier samt ha abstraktionsförmåga. Abstraktionsförmågan är elevernas förmåga att förstå sådant som inte kan visualiseras (a.a). Alla elever har olika förutsättningar både kunskapsmässigt och kognitivt. För att alla elever ska känna att matematiken är utmanande kan det vara fördelaktigt om undervisningen och uppgifterna differentieras och individualiseras. Eleverna gynnas av att få uppgifter förklarade på olika sätt och ges många exempel på hur matematiken används i sin vardag. Eftersom många ord skiljer sig åt i elevernas vardagliga liv och i skolsammanhang är det viktigt att de uppmärksammas på hur orden ska användas i olika situationer. För att underlätta för eleverna är det fördelaktigt om läraren modellerar användbara strategier för hur eleverna ska lösa textuppgifter (Hill, Blunk, Charalambous, Lewis, Phelps, Sleep & Loewenberg Ball, 2008). För att matematiken ska kännas meningsfull för eleverna måste den vara på en lagom abstraktionsnivå, passa eleverna utifrån deras förkunskaper, gärna kopplade till elevernas vardag, samt vara utmanande för att eleverna ska ges möjligheter till progression, vilket är ett krav enligt läroplanen (Skolverket, 2011). Enligt Lgr 11 (Skolverket, 2011) ska varje elev utmanas utifrån sina individuella förmågor. Därmed krävs det att läraren har kunskaper om elevernas förståelse och kognitiva förutsättningar och hela tiden följer upp elevernas kunskapsnivå, lämpligen genom diagnoser och formativ bedömning (a.a). I en artikel argumenterar Chapman (2013) för varför det är viktigt att läraren har kunskap i och hur matematiska uppgifter påverkar eleverna. Eleverna behöver utmanas utifrån sin egen förmåga för att känna sig motiverade. Elevernas kunskapsbyggande underlättas om de kan relatera till befintlig erfarenhet och kunskap. Redan erhållen kunskap kan byggas på för att nå progression. Läraren kan med hjälp av sina ämneskunskaper och förmåga att välja för eleverna engagerande uppgifter stimulera och väcka en nyfikenhet. Det eftersom det enligt Chapman (2013) är lättare för eleverna att skapa mening i något som de själva kan relatera till och är intresserade av. Aritmetikdopning innebär att texten i uppgiften är den samma, men att det sätts in olika tal i den allt utifrån elevernas aritmetiska kunskapsnivå. Undervisningsmaterialet som kallas för Plan matematik bygger på tanken med aritmetikdopning. Det innebär att 1 samma grunduppgift kan användas till samtliga elever, men att svårighetsgraden varieras utifrån elevernas unika förutsättningar. Materialet bygger på att eleverna först får stärka sitt självförtroende för aritmetiska uppgifter och allt eftersom de utvecklar sin förmåga ökar uppgifternas svårighetsgrad (Kilborn & Johanssons, 1985). Textuppgifterna kan gärna aritmetiskdopas för att alla elever ska kunna utgå från samma uppgift, men anpassas efter deras aritmetiska förkunskaper, det vill säga deras förståelse för hur tal förhåller sig till varandra. De bör också ha automatiserat och befäst tabellkunskaperna till exempel att 4+6=10 (Löwing & Kilborn, 2010). Forskningen som redovisas i teoribakgrunden visar på att faktorer som påverkar svårighetsgraden är bland annat läsförmågan, elevernas aritmetiska kunskap, där det i uppgifterna krävs en differentiering och individualisering, elevernas kognitiva förutsättningar samt hur undervisningen bedrivs. Utifrån egna erfarenheter och inhämtning av kunskap via aktuell forskning funderar jag därmed på om det räcker med aritmetikdopning eller om textuppgifterna i matematik måste anpassas på flera olika sätt för att möta alla elever utifrån deras unika förutsättningar och behov. 1.1 Bakgrund Den här studien bygger på eget intresse av att som blivande lärare kunna konstruera egna textuppgifter som är anpassade efter elevernas unika förutsättningar och behov när det gäller deras förkunskaper samt kognitiva förmågor. Att utgå från samma grunduppgift känns som ett inkluderande förhållningssätt där alla elever kan känna att de gör samma uppgift, men att den anpassas för att utmana alla. De uppgifter som används i denna studie är självkonstruerade utifrån den kunskap jag erhållit efter att ha tagit del av forskning och egna upplevelser genom VFU och vikariat. Tanken är att uppgifterna ska kännas igen av eleverna som vardagsnära och något som de kan möta i verkliga situationer. Eftersom eleverna tillbringar en stor del av sin undervisningstid i matematik med sina matematikböcker undersöktes ett av de läromedlen som de intervjuade eleverna använder. Det för att bilda mig en uppfattning av hur textuppgifterna kan se ut. Det för att själv kunna konstruera egna textuppgifter till den här studien som eleverna skulle lösa. En reflektion vid granskningen av Matte Direkt Safari 1B (Falck, Picetti, Elofsdotter Meijer, 2011) var att boken i en övervägande del av textuppgifterna med räknesättet subtraktionen efterfrågar hur mycket som finns kvar, och i additionsuppgifterna tillsammans. Här ser jag en risk med att eleverna generaliserar de här två begreppen och får en för snäv förståelse för vad de olika räknesätten innefattar. Vid konstruktionen av textuppgifterna i den här studien har ordet fler används, men leder i den uppgiften inte till addition, utan eleverna måste ha en djupare förståelse för begreppet. Mitt urval till studien har jag begränsat kraftig på grund av att tiden inte räckte till för att analysera större mängder material. Jag anser dock att underlaget räckte för att bilda sig en uppfattning om och hur textuppgifter kan anpassas. 2 2 Syfte och frågeställningar Syftet med studien är att utforska om och i så fall hur aritmetikdopning av textuppgifter kan anpassas till elevernas kognitiva förmåga och förkunskaper, samt om det är andra faktorer som påverkar elevernas möjligheter att lösa uppgifterna. För att besvara syftet kommer följande frågeställningar användas: Hur kan en textuppgift konstrueras för att kunna aritmetikdopas? Hur kan uppgifter anpassas utifrån elevernas förkunskaper? Hur påverkar elevernas tänkande, uppfattningsförmåga, minne och språk deras möjligheter att lösa textuppgifter? Vilken upplevelse har elever och lärare av textuppgifter? 3 3 Teoribakgrund Här presenteras bakgrundsfakta och forskning som har relevans för studiens syfte och frågeställningar. Teoribakgrunden är indelad under följande rubriker: Aritmetisk kunskap, Textuppgifter och aritmetikdopning, Kognitiva förutsättningar, Språkkunskaper, Begreppsförmåga och Lärarens roll. 3.1 Förkunskaper som krävs för att lösa textuppgifter För att kunna lösa en textuppgift behöver eleverna ha taluppfattning, räknefärdigheter, textförståelse, samt lämpliga strategier och metoder för att lösa uppgiften (Pettersson, 1990). 3.1.1 Aritmetisk kunskap Ofta är det en bristande taluppfattning som ligger bakom elevernas svårigheter att lösa matematiska textuppgifter. Eleverna fastnar ofta i ohållbara uppräkningsstrategier såsom fingerräkning. Eleverna med uppräkningsstrategi har svårt att se samband mellan olika räknesätt och automatisera additions- och multiplikationstabellerna. Eleverna behöver därför utveckla andra mer hållbara strategier (Engström, 2007). Engström skiljer på två olika sätt att formulera textuppgifter. Den konkreta där eleverna kan räkna mängden och den mer abstrakta där eleverna måste se relationen mellan tal och göra jämförelser mellan mängder som vid fler än eller färre än. Eleverna har ofta svårare med de abstrakta uppgifterna (Engström, 2007). Flertalet fel vid uträkningar beror på bristande förståelse för talens inbördes ordning, positionssystemet, tabellkunskaperna och problem med minnessiffra. Syftet med Petterssons (1990) studie i vilken hon lät fler än 8800 elever i årskurs 3 delta, samt 7900 elever i årskurs 6 var att undersöka hur elevernas prestationer förändrades mellan årskurserna 3 och 6. Studien utgick från ett test med 15 uppgifter i årskurs 3 och samma 15 uppgifter i årskurs 6, med ett tillägg på fyra uppgifter. Räkneuppgifterna innehöll de viktigaste områdena som fanns beskrivna i läroplanen. De vanligaste räknefelen berodde på slarvfel där bland annat minnessiffran satts ut, men har glömts vid uträkningen, talen har inte skrivits av rätt eller att eleverna inte har behärskat additionstabellerna. Vid subtraktions-, multiplikations- och divisionsuppgifterna är de vanligaste felen blandade räknesätt och felräkning vid växling. Elever hade också problem med att omvandla tal skrivna med bokstäver till siffror och hade brister i begreppsförståelsen. De kunde inte heller läsa ut att räknesättet addition skulle användas när det stod addera (Pettersson, 1990). Alla elever kan automatisera tabellerna inom alla räknesätten om de ges tillräckligt med tid, rätt metoder samt motivation. För att diagnostisera elevernas tabellkunskaper behöver detta göras på tid för att se att eleverna verkligen har automatiserat kunskapen (Kilborn & Johansson, 1985). I sitt material Plan matematik framhåller Kilborn och Johansson (1985) att eleverna bör lära sig aritmetik genom vardagsförankrade problem i vilka eleverna kan känna igen sig i situationen. Författarna har i sitt material konstruerat ett antal remsor för de fyra olika räknesätten addition, subtraktion, division och multiplikation. Remsornas konstruktion möjliggör en utgångspunkt i samma textuppgift som sedan kan anpassas aritmetiskt utifrån elevernas förkunskaper. 4 Figur 1. Additions- och subtraktionsremsor eget konstruerade utifrån Kilborns och Johanssons (1985) förlaga. Additionsremsorna ger 49 kombinationsmöjligheter där en förflyttning av den högra remsan uppåt ger svårare tal, medan en nedflyttning av den högra remsan ger enklare tal. När det gäller subtraktionsmatriserna är de mer begränsade eftersom den högra remsan endast kan flyttas ned ett par steg, därefter går uppgifterna inte att lösa. En uppflyttning av den högra remsan ger fler uppgiftsmöjligheter. Alla remsor sätts in i ett sammanhang och uppgifter konstrueras utifrån dem. Remsorna möjliggör konstruktion av uppgifter som är kopplade till elevernas vardag, samt en individualisering av svårighetsgraden. Ett exempel på en uppgift kan vara: Du har 75 kronor. Du köper en docka som kostar 60 kronor. Hur mycket pengar har du kvar? Den här uppgiften kräver att eleverna behärskar ental och tiotal men den kräver ingen tiotalsövergång. En uppgift med högre svårighetsgrad skulle vara att istället placera in 63 kronor och 36 kronor, vilket leder till en tiotalsövergång (Kilborn & Johansson, 1985). 3.2 Textuppgifter och aritmetikdopning Utifrån ovanstående resonemang bör eleverna få möta olika textuppgifter och utmanas utifrån sin individuella kunskapsnivå. Ett sätt att möta elevernas unika förutsättningar är att använda samma grunduppgift till eleverna och aritmetikdopa densamma för att anpassa den utifrån elevernas aritmetikkunskaper. Med det menas att lärare utgår ifrån en uppgift där talen uteblir och sedan sätter in lämpliga tal utifrån varje elevs förmåga. Exempel på en uppgift kan vara: Kalle köper ____ glassar. Varje glass kostar_________ kronor. Hur mycket kostar glassarna tillsammans? Här ges läraren möjlighet att konstruera uppgifter med olika svårighetsgrad genom att i det enklaste fallet skriva in att Kalle köper 2 glassar och varje glass kostar 5 kronor styck. En svårare uppgift kan formuleras genom att Kalle istället köper 14 glassar och att glassarna kostar 5 kronor styck. Svårighetsgraden kan sedan försvåras ytterligare genom att Kalle köper 5 paket som vardera innehåller 7 glassar, varje glass kostar 5 kronor. Genom att använda liknande uppgifter kan alla elever få uppgifter med samma grundstruktur, men att den matematiska svårighetsgraden justeras och anpassas utifrån elevernas förkunskaper och kognitiva förmågor (Löwing & Kilborn, 2010). 5 3.3 Kognitiva förutsättningar Elevernas kognitiva förmåga handlar om vilken kunskap de har förvärvat. Kunskapen delas upp i två olika kategorier, dels den formella vilken skolan har till uppgift att lära ut, och sedan den informella som eleverna tillägnar sig utanför skolan. Det förekommer ofta konflikter mellan den formella och den informella kunskapen. Det är viktigt att det talas inom matematiken för att skapa gemensamma referenspunkter. Det är i samtalet som eleverna uppmärksammas på matematiska begrepp och lösningsstrategier. I sin studie har Riesbeck (2008) genom video- och ljudupptagningar sett hur interaktionen fungerar i klassrummet när det gäller språkets användning inom matematiken. Resonemang sker mellan formella och informella ord. Förståelse för begrepp och deras innebörd är en förutsättning för att eleverna ska förstå när läraren hänvisar till användningen av ett visst begrepp i matematiskt sammanhang. Eleverna använder i sina diskussioner sitt informella språk, vilket kan försvåra för eleverna när de ska förstå det matematiska innehållet. Ett flertal elever löser uppgifter utan att ha någon egentlig förståelse för vad de gör och utan att reflektera över att de kan ha en koppling till vardagliga händelser. De löser dem ur ett skolperspektiv (Riesbeck, 2008). Den mentala representationen utgörs av läsarens förståelse för den text som den läser. Hur texten är uppbyggd beror på dess innehåll och hur delarna i texten hänger samman. Texter kan ha olika svårighetsgrad beroende på deras läsbarhet. En matematisk text innehåller ämnesspecifika ord och det krävs att läsaren har förförståelse för deras innebörd. För att förstå textens innebörd krävs det att läsaren har lagrade kunskaper i sitt långtidsminne för att korttidsminnet inte ska bli för belastat av ordavkodning eller söka förståelse för vissa matematiska begrepp. Det är en åtskillnad på korttidsminnet och arbetsminnet, där arbetsminnet är sammankopplat med långtidsminnet och därmed kan underlätta belastningen på korttidsminnet. Olika texter behöver olika förkunskaper och det är därför viktigt att läsaren av till exempelvis en matematisk text har mött denna typ tidigare för att kunna associera till dess specifika stil (Österholm, 2004). En av de viktigaste faktorerna för att kunna lagra kunskap i minnet är repetition. Det är avgörande för att sedan kunna hämta upp den lagrade kunskapen och känna igen den, assimilera. Ju fler gånger eleverna uppmärksammas på liknande uppgifter desto starkare lagras det i långtidsminnet. Det som lagras behöver vidgas för att få en bredare förståelse för exempelvis ett begrepp. Det behöver samtidigt kännas meningsfullt för eleverna (Atkinson & Shiffrin, 1968). En viktig ingrediens för att skapa bra kognitiva förutsättningar för eleverna är deras metakognitiva förmåga. Det vill säga vilken tilltro och kunskap eleverna har om sin egen förmåga. De elever som har en bra uppfattning om vad de kan och inte kan har större möjligheter att beskriva sina egna brister och kan därmed få hjälp att utvecklas. I en studie bytte Stendrup (2001) klassrum med en kollega för att kunna göra en jämförelse mellan hur eleverna tänkte och resonerade inom matematikämnet. Studien visade att kollegans elever räknade på i sina böcker och hade svårt att uttrycka det som de inte förstod. Eleverna hade ett perceptivt minne av begreppens betydelse men saknade en djupare förståelse av dess innebörd. Vidare visade studien att läraren i det undersökande klassrummet behövde arbeta med elevernas uppfattning av matematiken för att minska den kognitiva stress som en del elever känner. Eleverna behövde nå förståelse för att den metakognitiva förmågan är sammankopplad med förståelsen för ämneskunskaperna i matematik (Stendrup, 2001). 6 Uppgifter har olika påverkan på elevernas möjligheter att lösa dem. Elever har fått prova olika resonemangstyper, där det ena är ett imitativt sätt där endast redan kända strategier behöver användas och det andra där eleverna utmanas till mer kreativt resonemang (Liljekvist, 2014). I sin studie utgår Liljekvist (2014) från 91 elever på gymnasiets naturvetenskapliga program. Innan eleverna delades in i två olika grupper mättes elevernas arbetsminnesförmåga, man tittade på deras betyg och problemlösningsförmåga. Resultatet visade på att samma del av hjärnan används oavsett svårighetsgraden på aritmetiken, men att andra delar av hjärnan kopplas in när eleverna ska lösa uppgifter som kräver ett resonemang. De elever som fick ledning i hur de skulle lösa uppgifter gjorde detta mekaniskt utan att reflektera, medan de som fick vägledning i ett mer kreativt tänkande utvecklades mer. Det gällde generellt oavsett kognitiva förutsättningar. (Liljekvist, 2014). 3.4 Språkkunskaper Matematiken har ett eget språk som innehåller cirka hundra symboler, tio utav dem är siffror medan den stora delen består av olika tecken. För att förstå matematiken måste man ha ett språk till vilket matematiken kan översättas. Det behövs också förståelse för innehållet. Matematiken innehåller bestämda regler som behöver befästas. I de matematiska textuppgifterna möts två olika språk, det svenska och det matematiska. I många sammanhang kan det vara svårt att märka skillnad på var problemet ligger, i språket eller i bristen på matematisk förmåga, eftersom all kunskap förmedlas via språket. Det matematiska språket behöver förklaras och översättas till svenska för att eleverna ska få förståelse (Lennerstad, 2005). Fokus bör ligga på det som står i texten och inte organisera upp texten utifrån till exempel signalord. Eleverna kan ofta läsa texten, men saknar strategier för att omvandla det som de läst till en matematisk innebörd. Eleverna har enklare för textuppgifter utan symboler. Symbolerna kan läsas utifrån att de symboliserar exempelvis ett visst räknesätt istället för att läsa ordet utifrån dess semantiska betydelse, det vill säga att ordet betyder någonting. Undervisning i lässtrategier inom matematiken är viktigt för att modellera hur eleverna ska tänka kring lösandet av textuppgifter (Österholm, 2009). En textuppgift i matematiken är ofta faktaspäckad och abstrakt och kräver att läsaren kan plocka ut fakta under tiden som den läser. Texten behöver oftast läsas flera gånger. Eleverna behöver känna till symbolernas och begreppens betydelse och innebörd för att kunna använda dem på ett korrekt sätt i uppgiften. Österholms (2004) studie, där ett hundratal gymnasieelever och studenter deltog visar på att det fanns en uppfattning om att det var svårare att läsa en matematisk text utan symboler än att läsa en text med. Däremot visar studiens resultat på att förståelsen ökar i texterna utan symboler. En förklaring till det kan vara att texten då läses mer noggrant och att fokus blir på innehållet istället för att plocka ut symbolerna (a.a). Utifrån ALP-test, Analys av Läsförståelse i Problemlösning, där 61 elever i årskurserna 3 och 5 deltog, samt genom litteraturstudier granskades varför annars högpresterande elever hade problem med textuppgifter i matematiken. Det som framkom var att de främsta orsakerna till problemen låg i läsförmågan och själva förståelsen av innehållet, bristande begreppsförståelse samt elevernas egen kreativitet och förmåga att tänka ut lösningar. För att förebygga svårigheter vid textuppgifter bör läraren tidigt förklara och använda de matematiska begreppen, uppmuntra eleverna att komma på egna lösningar samt uppmärksamma och synliggöra hur vanlig matematiken är i det vardagliga livet (Lindekvist, 2004). En textuppgifts ordomfång och ordens svårighetsgrad kan påverka elevernas förmåga att lösa uppgifterna. I en jämförelse mellan PISA resultaten för matematiska uppgifter och läsförståelseuppgifter visade resultatet på att mängden ord i 7 uppgifterna har en betydelsefull roll i om eleverna lyckades lösa dem eller inte. Läraren måste vara uppmärksam på om de uppgifter som eleverna gör verkligen mäter deras matematiska kunskaper och inte blir ett test på elevernas läs- och ordförståelse. Författarna framhåller att ordens längd och textuppgiftens längd påverkar läsbarheten (Bergqvist, Dyrvold & Österholm, 2012). För att kunna lösa en textuppgift behöver eleverna kunna läsa ut vad det frågas efter, välja en lämplig lösningsstrategi och kontrollera rimligheten i svaret (Lindekvist, 2004; Sterner & Lundberg, 2002; Kilborn & Johansson, 1985). 3.4.1 Begreppsförmåga Förståelsen för begrepp kan delas in i tre stadier. Först behövs det en förståelse för vad begreppet betyder, i nästa steg hur det förhåller sig till verkligheten samt skapa sig en gemensam erfarenhet kring begreppet. Det är först i det tredje stadiet eleverna kan använda sig av begreppet i matematiska uträkningar. Det som är viktigt för pedagogen att tänka på är att förståelse för begreppen i sig inte kan synliggöras eftersom det är en kognitiv process, vilket innebär hur någon uppfattar, bearbetar, lagrar och återger information, som måste ske hos individen själv (Stendrup, 2001). Vissa begrepp är förknippade med olika räknesätt. För addition är det bland annat summa, addera, additionstecken och slanguttrycket plussa. Eleverna behöver veta att det vid en addition ska lägga samman två eller flera tal. Vid subtraktion är det begreppen differens, skillnad, subtraktionstecknet och att subtrahera, vilket innebär att något dras ifrån ett annat tal. Inom multiplikationen används begrepp som faktor, faktorisera och dela upp i faktorer, multiplicera, multiplikationstecken eller med slanguttrycket gångra. Räknesättet multiplikation innebär att ett tal multipliceras med att annat och mångfaldigas. Viktiga begrepp inom division är bråkstreck, delbart med, division, dividera och divisionstecken. Räknesättet division innebär att ett tal delas med ett annat (Kiselman & Mouwitz, 2008 ). Det matematiska språket innehåller flera olika delar, dels det språk eleverna talar, men också ett symbol- och bildspråk (Bergqvist & Österholm, 2014). Eleverna har stöd i sitt lärande av den representionella kunskapen genom vilka eleverna via olika representationsformer skapar sig inre bilder av det matematiska innehållet. De inre bilderna hjälper sedan eleverna att generalisera den kunskap de har till nya situationer och sammanhang (Stendrup, 2001). När det gäller det matematiska språket gäller det att alla elever talar samma matematiska språk och lägger in samma innebörd i de enskilda begreppen. Det gäller därmed att läraren förmedlar de korrekta begreppen till eleverna så att de inte fastnar i de mer vardagliga betydelserna. Ett exempel på det är att vi i vardagen säger plussa, medan vi inom matematikundervisningen förväntas benämna detsamma som addera. Läraren behöver vara medveten om vilken förståelse eleverna har för begreppen (Bergqvist & Österholm, 2014). Eleverna kan se begreppen endast som en process, där tillexempel ett plustecken får eleverna att associera till en addition mellan två tal. De kan ha en djupare förståelse och se begreppet som ett objekt där eleven är medveten om att addition innebär mer än att bara kunna addera två tal, bland annat den kommutativa lagen (a+b=b+a) och den associativa lagen (a+(b+c)=(a+b)+c) (Bergqvist & Österholm, 2014; Atkinson & Shiffrin, 1968). En kunskap om begreppen på objektsnivå är avgörande för om eleverna ska behärska textuppgifter som innehåller signalord, vilka i sig kan vara vilseledande. Eleverna behöver förstå begreppen i sin helhet, kunna sätta in dem i flera olika sammanhang och skapa mening i de uppgifter de löser (Bergqvist & Österholm, 2014). 8 3.5 Svårigheter vid lösning av textuppgifter Det är betydligt svårare att lösa en uppgift som innehåller flera olika räknesteg. Det underlättar om uppgiften är skriven i aktiv form där eleverna känner sig delaktiga. Svårigheter kan uppstå om eleverna förutom det som står i uppgiften måste hämta annan information till exempel hur många dagar det är på två veckor (Unenge, 1992). Det kan vara svårt för elever att se sambandet mellan textuppgifter och tidigare erfarenheter de har av matematik i samband med uträkning av nakna tal. Med det menas att eleverna tidigare har räknat tal som inte är insatta i något sammanhang utan det har mer skett en mekanisk räkning av uppgifterna. För att eleverna ska ha hjälp av den här typen av uppgifter behöver de erhållit en förståelse för vad det är de gör vid uträkningen. Det för att de ska kunna generalisera kunskapen om räknemetoden och använda den i andra situationer som till exempel vid lösningar av textuppgifter (Sterner & Lundberg, 2002). Det är viktigt att eleverna lär sig nyckelord inom matematiken, men samtidigt är uppmärksamma på vilken funktion de fyller i uppgiften. Eleverna behöver skapa sig en helhetsbild av problemet. De elever som förlitar sig på regler och nyckelord får problem när uppgifterna innehåller mer än ett steg. Ett exempel är när uttrycket färre än används i en uppgift, vilket i vanliga fall leder in tankegången på subtraktion men kan vara ett delmoment eller ha en annan innebörd i en uppgift som egentligen är en addition. Ett exempel på detta är: Pelle har 15 kulor, vilket är 8 kulor färre än Kalle. Hur många kulor har Kalle? Uppgiften innebär att eleverna ska utföra additionen 15+8 och få fram summan 23. Det är därför angeläget att läraren undervisar eleverna i att förstå nyckelorden i en situation och att det inte går att plocka ut enstaka tal eller ord för att förstå vilken räkneoperation det är som ska utföras. Ytterligare problem kan uppstå när det inte ges några ledtrådar alls i uppgiften som till exempel i: Hur många ben har 7 hundar? (Clement och Bernhard, 2005). 3.6 Lärarens roll Undervisningen av innehållet kräver en variation för att kunna möta upp till alla elevers förkunskaper och förmågor. Den egentliga individualiseringen av innehållet sker när innehållet framhålls på olika sätt för att passa den enskilda eleven (Karlsson & Kilborn, 2015). I en studie har tio lärare fått besvara ett frågeformulär, intervjuats och filmats, om vilka förmågor en bra lärare behöver behärska för att bedriva en bra undervisning. Det som framkom var att det är betydelsefullt att läraren innehar goda kunskaper i matematik och pedagogik, men även förståelse för elevernas kognitiva och kunskapsmässiga förmågor. Lärarens förmågor hänger samman med hur de ger instruktioner till eleverna. För att kunna välja ut lämpliga uppgifter till eleverna behöver alla aspekter tas med och beaktas. Då läraren tänker in eleverna i valet av uppgifter och anpassar dem utifrån elevernas förförståelse ökar elevernas möjligheter att förstå dem. Det är betydelsefullt att läraren modellerar varierade metoder och strategier eftersom eleverna är olika och lär sig på skiftande sätt (Hill m.fl.,2008). Det är viktigt för eleverna att läraren förmedlar sina matematiska ämneskunskaper, vilka förväntningar de har på eleverna samt hur mycket tid eleverna får på sig för att lära sig innebörden av nya områden inom matematiken. Det för att eleverna tydligt ska veta vilka förutsättningar som gäller (Charalambous, 2008). I Charalambous (2008) studie filmas ett antal lärare under lektionerna för att se hur de anpassar uppgifterna efter elevernas kognitiva förutsättningar och läroplanens mål. Eleverna behöver ha olika kognitiva kunskaper för att lösa olika typer av uppgifter. En del uppgifter kräver att eleverna kan använda sig av lagrad kunskap, sådant de kan, andra uppgifter kräver att eleverna kan använda sig av inlärda räknemetoder utan att behöva förstå. Den tredje typen av uppgifter kräver att 9 eleverna kan utföra uppgifterna med förståelse och den fjärde typen av uppgifter omfattas av att eleverna måste kunna se uppgifterna i ett sammanhang och använda sin kreativa förmåga (Charalambous, 2008). Ett felaktigt sätt i undervisningssammanhang är att lotsa eleverna förbi svårigheterna i uppgifterna. Lotsning betyder att läraren plockar bort saker som eleverna tycker är svårt, eller talar om för dem hur de ska göra istället för att ställa frågor till eleverna och låta dem komma fram till lösningen själva (Löwing & Kilborn, 2010). 3.7 Sammanfattning av betydelsefulla fakta Här följer en kort sammanfattning av teoribakgrunden samt meningsbärande fakta som framkommit med stor relevans för studiens syfte och frågeställningar. För att kunna aritmetikdopa textuppgifter krävs det att läraren har kännedom om elevernas aritmetiska förkunskaper, kognitiva förmågor, begreppsförståelse samt språkets påverkan på elevernas möjligheter att lösa textuppgifter (Pettersson, 1990). Det för att kunna individanpassa och differentiera uppgifternas svårighetsgrad utifrån varje elevs förutsättningar. Det krävs för att eleverna ska utmanas och känna att uppgifterna är meningsfulla och motiverande (Kilborn & Johansson, 1985). Läraren behöver modellera hållbara strategier för hur eleverna kan plocka ut relevant information samt lära dem hur de ska hantera signalord och på ett mer generellt sätt läsa textuppgifter för att inte tappa bort betydelsefull fakta (Österholm, 2004). Eleverna behöver möta en variation av textuppgifter för att kunna lagra dess specifika lösningsstrategier (Hill m.fl., 2008). Det för att eleverna ska kunna lägga sin minneskapacitet på kreativa lösningsalternativ istället för att uppehålla sig vid grundläggande aritmetik som borde vara befäst och automatiserad (Charalambous, 2008). Resterande delar av studien kopplar tillbaka till ovan beskrivna viktiga fakta, då de utgör en viktig förutsättning för att kunna besvara uppsatt syfte och frågeställningar. Vid transkriberingen av intervjuerna valdes därför delar ut som innehöll ord som till exempel textuppgifter, begrepp, tänka i flera led och saker som är kopplade till språket såsom läsning. 10 4 Metodologi Den här studien grundar sig på intervjuer, då avsikten var att ta reda på det som Feijes och Thornberg (2015) beskriver som den upplevelse elever och lärare har av textuppgifter och aritmetikdopning. Till grund för intervjuerna har eleverna genomfört ett frågeformulär med textuppgifter. Studien bygger på vad Feijes och Thornberg (2015) påtalar är kvalitativt i den bemärkelsen att den bygger på intervjuer som är en kvalitativ metod. Intervjufrågorna var semistrukturerade, det vill säga att de utgick från färdiga grundfrågor, men det fanns ändå en flexibilitet och öppenhet för nya saker som kan uppkomma. Data strukturerades upp efter uppkomna mönster. Studien har en hermeneutisk inriktning där avsikten var att utveckla och tolka en förståelse samt ett fenomenologiskt perspektiv där fenomenet aritmetikdopning i samband med textuppgifter undersöktes. 4.1 Datainsamlingsmetoder Under denna rubrik presenteras intervju och ett formulär med textuppgifter som metod för att samla in empirin. Insamling av data till en fenomenologisk studie sker ofta med hjälp av intervjuer (Feijes och Thornberg, 2015). 4.1.1 Formulär som metod Syftet med att använda formuläret (se bilaga C) var att utforska, upptäcka och få en djupare förståelse av hur eleverna löste de aritmetiskt dopade uppgifterna. Avsikten med formuläret var att samla in fakta som sedan kunde analyseras. Formuläret valdes för att ganska snabbt få in ett hanterbart antal svar. Under framställan av formuläret togs hänsyn till hur frågeformuläret skulle presenteras, vilken bakgrundsinformation deltagarna behövde, information om att fakta som framkom skulle behandlas konfidentiellt samt att deltagandet var frivilligt. Uppräknade faktorer är grundprinciper enligt de etiska aspekterna som föreligger vid användning av formulär (Denscombe, 2013). Vid konstruktionen av formuläret övervägdes aspekter såsom hur många uppgifter som kunde vara rimligt att eleverna skulle ha tålamod att genomföra och att uppgifterna innehållsmässigt skulle innehålla det som kunde generera svar på studiens syfte och frågeställningar. Frågornas längd varierades för att de skulle ge möjlighet till vidare analys om hur textuppgifternas längd påverkade lösningsfrekvensen. Samtidigt beaktades det som Denscombe (2013) påtalar att det är viktigt att formulera sig kortfattat, för eleverna på ett begripligt sätt samt att säkerställa sig om att formuläret besvarar det som är avsikten att det ska besvara. Tanken med uppgifterna var att de skulle ske en stegring av den aritmetiska svårighetsgraden. Det var för att se om det blev någon skillnad på lösningsfrekvensen av uppgifterna. Konstruktionen av uppgifterna utgick från tanken med Kilborns och Johanssons (1985) remsor. Där den aritmetiska svårigheten stegrades från den första uppgiften som var den lättaste till den tredje som skulle innebära större aritmetisk utmaning för eleverna. Varför valet föll på tre uppgifter åt gången var att hänsyn togs till att uppgifterna skulle kunna lösas på fem minuter. En uppsatt tid med tanke på uppgifternas svårighetsgrad i förhållande till årskurserna. Tidsaspekten tog utgångspunkt i Kilborns och Johanssons (1985) argumentation för att elevernas kunskaper behöver ske på tid för att se om de är befästa. Uppgifterna varierades efter vad som krävdes för att eleverna skulle kunna lösa dem. I de första tre uppgifterna behövde eleverna läsa noggrant för att inte luras av signalordet fler. Nästkommande tre uppgifter ville se om eleverna kunde hämta information utanför uppgifterna, det vill säga hur många ben respektive djur hade och sedan kunna omsätta det i matematiskt 11 sammanhang. Valet av de här uppgifterna grundade sig på det som Clement och Bernhard (2005) framhåller att det är svårt när information ska hämtas utanför uppgiften. Uppgifterna 7, 8 och 9 konstruerades för att vara verklighetsnära, en situation som eleverna kunde känna igen sig i. Uppgifterna innehöll ganska mycket text, vilket krävde att eleverna skulle kunna plocka ut den relevanta informationen från en stor textmassa samt vara förtrogen med begreppet dubbelt. 4.1.2 Intervju som metod Intervjufrågorna hade en öppen struktur för att erbjuda informanten möjlighet att svara utifrån sina egna tankar och funderingar och inte bli styrda av vad Feijes och Thornberg (2015) skriver forskarens åsikter. Innan intervjun fick informanten information om vad intervjun skulle handla om samt lämna sitt samtycke till att medverka. För att intervjun skulle bli bra var intervjun noga förberedd och frågorna var formulerade så att svaren på frågorna kunde hjälpa till att besvara studiens syfte och frågeställningar, något som är viktigt enligt Denscombe (2013). De intervjuer som genomfördes i den här studien var semistrukturerade, vilket innebär att det finns färdiga frågor. Intervjuaren var ändå öppen och flexibel under intervjun och kunde anpassa ordningsföljden utefter hur intervjun fortlöpte. Intervjuerna skedde vid ett möte mellan intervjuaren och informanten, som en personlig intervju (Denscombe, 2013). För att intervjuerna skulle kännas naturliga och trivsamma var intervjuaren noga med att passa tiden för intervjun och visade ett genuint intresse för det som informanten förmedlade. Intervjuerna spelades in med hjälp av en diktafon för att viktig information inte skulle missas. 4.2 Urval Under denna rubrik presenteras hur urvalet för genomförandet av textuppgifterna och intervjuerna gick till. Urvalet av elever att delta i studien har utgått ifrån det Feijes och Thornberg (2015:271) kallar för icke- sannolikhetsurval, där urvalet har skett genom bekvämlighetsprincipen. Elevernas lärare och en del av eleverna var redan kända. 4.2.1 Urval till textuppgifterna och intervjuerna Urvalet byggde på sökning av klasser med elever i årskurserna 2 och 3. Det med tanke på att eleverna ombads att genomföra textuppgifter och att de därmed skulle ha kommit en bit i sin läsutveckling för att avkodningen inte skulle ställa till problem för eleverna. Tre klasser valdes ut där eleverna fick genomföra textuppgifterna. Det var en årskurs 2, en årskurs 3 och en åldersintegrerad årskurs 2-3. De som deltog var 15 elever i årskurserna 2-3 (8 stycken i årskurs 2 och 7 stycken i årskurs 3), 17 elever i årskurs 3 och 16 elever i årskurs 2. Totalt var det 48 elever varav 24 elever i vardera årskurserna 2 och 3. Urvalet av elever till intervjuerna skedde utifrån de svar som framkom vid genomförandet av formuläret med textuppgifterna. Den viktigaste faktorn till urvalet var att föräldrarna hade gett sitt medgivande till att eleverna fick delta i studien. Den andra avgörande faktorn var att urvalet grundade sig på intressanta svar som framkom och att det genom en intervju fanns möjligheter till ytterligare förklaringar av uträkningarna av uppgifterna. Eleverna till intervjuerna valdes ut utifrån det som Denscombe (2013) beskriver som ett urval utifrån tanken om att de har något speciellt att förmedla och bidra med. Lärarnas valdes ut efter principen att de var klassföreståndare i de klasser där eleverna deltagit och besvarat formuläret med textuppgifter, och därmed även hade goda kunskaper om elevernas förutsättningar och förmågor. Det var också de som hade bedrivit matematikundervisningen med eleverna som deltog i studien. 12 4.3 Forskningsetiska principer Forskaren ska med fördel komma fram med nya infallsvinklar och perspektiv på redan befintlig forskning. Det som ligger till grund för den här studien är det som Gustafsson, Herméren och Petersson (2005) framhåller är viktigt nämligen att tydligt redovisa vem som säger vad och att forskning inte förvanskas (a.a). I denna studie har Vetenskapsrådets (2002) fyra huvudkrav för att skydda den enskilda individen följts. De fyra kraven är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Det är extra viktigt att beakta dessa grundprinciper då intervjuer kräver ett aktivt deltagande av medverkande personer (a.a). Informationskravet har efterlevts genom att samtliga deltagare i studien har informerats om vad studien handlar om och vad deras inblandning kommer innebära. Samtyckeskravet innebär att den som deltar ska lämna sitt medgivande till att delta och informeras om att den när som helst har rätt att avsluta sin medverkan. Konfidentialitetskravet betyder att alla inblandade har rätt att vara anonyma. Det gäller i första hand som Vetenskapsrådet (2002) framhåller där känsliga uppgifter framkommer, vilket nu inte var fallet i denna studie. Nyttjandekravet ska säkerställa att framkommen fakta endast ska användas i detta forskningssammanhang och inte användas till andra ändamål (Vetenskapsrådet, 2002). 4.3.1 Forskningsetiska principer för intervjuer Information skickades ut till berörda föräldrar i samband med att de fick ge sitt samtycke till att deras minderåriga barn fick delta i studien, något som framhålls i Vetenskapsrådets (2002) skrift. Andra viktiga etiska aspekter i samband med intervjuer med barn är att skapa ett tillitsfullt klimat där eleverna känner att deras synpunkter tas på allvar. Intervjuerna ägde därför rum i för eleverna kända miljöer. Intervjuerna startades upp med frågor kring elevernas ålder och vilken klass de gick i. Det var för att avdramatisera intervjun och få eleverna att känna sig lugna och trygga. De medverkande lärarna fick information och undertecknade ett godkännande av sitt deltagande. I och med allas underskrifter efterlevdes både informations- och samtyckeskravet. Informationen om vad som gällde för deltagande i intervjun framkom i det missivbrev som lärarna erhöll innan sin medverkan vid intervjun. 4.4 Proceduren 4.4.1 Proceduren för genomförande av textuppgifterna Innan textuppgifterna formulerades fördjupades utförarens kunskaper kring textuppgifter, deras uppbyggnad och vilka svårigheter som framkom i tidigare forskning angående vad som kan ställa till problem för eleverna vid lösning av uppgifterna. Uppgifterna skrevs utifrån framkommen data och avsikten var att kontrollera elevernas och lärarnas uppfattning och upplevelsen av uppgifternas konstruktion samt hur de upplevde själva genomförandet av uppgifterna. Innan klasserna besöktes skickades information ut till föräldrarna där det tydligt framkom varför eleverna ombads att delta och för att få föräldrarnas medgivande till att eleverna fick delta (se bilaga A för brev till föräldrarna). Vid genomförandet av textuppgifterna var forskaren på plats för att informera eleverna om varför de skulle utföra textuppgifterna samt hur svaren sedan skulle användas (se bilaga C för formulär med textuppgifter). Eleverna informerades om att alla svar skulle behandlas konfidentiellt, men att eleverna ändå ombads skriva namn på formulären eftersom vissa av eleverna senare skulle ombeds att ställa upp på en intervju för att beskriva hur de uppfattat textuppgifterna och att det fanns intresse av att ta del av deras tankar kring själva lösningarna upplevdes. För att tidsaspekten inte skulle skilja sig åt delades uppgifter in i grupper om tre, med tre olika aritmetiska svårighetsgraderna på uppgifterna. De tre uppgifterna visades på Powerpoint och 13 eleverna gavs fem minuter att utföra de tre uppgifterna. Därefter visades tre nya uppgifter. Det upprepades tills alla 12 uppgifterna hade visats i vardera fem minuter. Tidsgränsen för genomförandet var därmed 20 minuter. Det kändes betydelsefullt att kunna säga till eleverna och läraren hur lång tid det hela skulle ta. När de 20 minuterna hade gått samlades svaren in. Svaren gicks igenom och granskade kritiskt för att kunna plocka ut tre elever från varje klass som fick delta på intervju och förklara sina lösningar och uppfattningar (se bilaga D för intervjufrågor till eleverna). 4.4.2 Bortfall 4 av eleverna i de tre klasserna deltog inte i testet. Två av eleverna fick inte medgivande till att delta av sina föräldrar, en elev var sjuk och en föll bort på grund av att eleven inte följer samma läroplan som de övriga eleverna. 4.4.3 Proceduren för genomförande av intervjuerna Först skickades frågeformulär om elevernas och lärarnas deltagande ut (se bilaga A för brev till föräldrarna och bilaga B för missivbrev). Inför intervjuerna formulerades frågor som skulle hjälpa till att få svar på uppfattningen som eleverna och lärarna hade av textuppgifter och vad som upplevdes som lätt och svårt. Intervjuerna skulle bidra med att få en förklaring till de olika lösningar som eleverna hade använt sig av vid genomförandet av formuläret med textuppgifter. Intervjuerna började med frågor kring informanten som person för att mjuka upp situationen och avdramatisera deltagandet. Informanten informerades om att intervjun skulle spelas in med hjälp av en diktafon för att undvika att betydelsefull information försvann. Under intervjuerna var forskaren aktiv och utnyttjade tystnaden för att ge informanten tid att tänka, ibland bad intervjuaren om ytterligare förklaringar och sammanfattade det som informanten just sagt för att visa att det skedde ett aktivt lyssnande och intresse av det som informanten förmedlade. För att eleverna skulle känna sig bekväma i intervjusituationen ägde intervjuerna rum i ett för eleverna välbekant rum, något som Kvale och Brinkmann (2014) framhåller som viktigt. Intervjufrågorna är formulerade utifrån Kvales och Brinkmanns (2014) olika frågetyper. Författarna förordar olika frågeställningar beroende på vilka svar som efterfrågas. Den första frågan var en inledande fråga där tanken var att informanten själv skulle börja tänka på vilka viktiga aspekter denna lägger in i fenomenet textuppgifter. När informanten avgav sitt svar lyssnade intervjuaren uppmärksamt för att utifrån framkommen fakta kunna ställa relevanta uppföljningsfrågor. Uppföljningsfrågorna skedde på varierade sätt, ibland genom att ett viktigt begrepp lyftes upp, med en nick eller ett mumlande som bekräftelse och en uppmuntran till informanten om att intervjuaren var intresserad och ville höra mer. Tystnaden användes för att ge informanten möjlighet att tänka efter och vidareutveckla sitt svar. Några frågor var sonderande frågor där intervjuaren var mer intresserad av ett specifikt område. Där ställdes frågor där intervjuaren bad informanten att vidareutveckla sina svar. Specificerande frågor ställdes för att få reda på mer konkret och specificerat vad läraren gjorde för att ta reda på elevernas kunskapsnivå och kognitiva förutsättningar. Direkta frågor användes i de fall då intervjuaren ville ha svar på exempelvis när och hur textuppgifter introducerades för eleverna. Indirekta frågor ställdes för att ta reda på hur läraren trodde att andra uppfattade textuppgifter, deras innebörd och svårigheter. En fråga som behandlade detta var exempelvis: Vilka svårigheter upplever du brukar nämnas av eleverna som kan orsaka problem för dem när de ska lösa textuppgifter? 14 Frågorna var strukturerade på det sättet att avsikten var att utifrån svaren kunna besvara syftet och frågeställningarna som låg till grund för studien. Eftersom tiden för intervjuerna var tidsbegränsade var det viktigt att hela tiden fokusera på det som var relevant i det här sammanhanget. Tolkande frågor användes för att intervjuaren skulle bekräfta att den uppfattat svaret på ett korrekt sätt. Frågorna började då med: Om jag har uppfattat dig rätt så…. För att få en helhetsbild av intervjun iakttog intervjuaren informantens kroppsspråk. Efter intervjun tackades informanten för sitt deltagande och intervjuaren frågade om det fanns möjlighet att höra av sig med uppföljande frågor om det skulle vara aktuellt. Efter intervjuerna skrevs det fältanteckningar för att teckna ned sådant som kan få en betydelse för intervjuerna i sitt sammanhang (Denscombe, 2013). 4.5 Databearbetningsmetoder 4.5.1 Databearbetning av textuppgifterna När formulären gicks igenom tänktes faktorer som kan ha påverkat resultatet igenom. Frågor som om formulären innehöll relevanta uppgifter för att kunna besvara syfte och frågeställningar, om svaren överensstämde med det som kommit fram i teoridelen om tidigare forskning och om det var ett tillräckligt stort underlag för att dra några riktiga slutsatser. Det är viktigt att granska resultaten och ställa sig frågor kring den information som framkommit (Denscombe, 2013). Testresultaten redovisades i ett diagram utifrån fem huvudfrågor: antal rätt, rätt räknesätt, ritat lösningen, använt matematiskt språk samt antal rätt på respektive uppgift. Tanken med den första kategorin var att mäta hur eleverna hanterade stress, en faktor som Stendrup (2001) framhåller ofta hänger samman med lösning av matematiska uppgifter. Vidare skulle kategorin verifiera om eleverna kunde det som Bergqvist och Österholm (2014) poängterar om de kunde läsa uppgiften som en helhet, om de kunde läsa bortom signalorden samt om de vilket Kilborn och Johansson (1985) argumenterar för hade automatiserade kunskaper. Kategori två hade för avsikt att se om eleverna kunde läsa ut vilket räknesätt som var lämpligt att använda i uppgiften. Något som Österholm (2009) är betydelsefullt att kunna läsa ut ordens semantiska betydelse för att kunna lista ut vilket räknesätt som är lämpligt att använda. Den tredje kategorin var avsedd för att visa elevernas tankeförmåga att använda sig av mer utvecklade metoder än att enbart rita sin lösning. Här fick eleverna visa att det är viktigt att tillgodogöra sig olika lösningsstrategier och metoder, något som Karlsson och Kilborn (2015) framhåller. Den fjärde kategorin var tänkt att besvara om eleverna hade använt sig av ett matematiskt språk och löst uppgifterna med hjälp av någon form att uppställning. Här var tanken att det skulle visa sig om eleverna hade generaliserade kunskaper om uträkningar som de kunde använda sig av för att lösa uppgifterna. En generalisering av uträkningsmetoder är något som Sterner och Lundberg (2002) menar är avgörande när eleverna ska välja lämpliga metoder. Den sista och femte frågeställningen hade för avsikt att uppmärksamma om uppgifternas utifrån Löwings och Kilborns (2010) tanke om aritmetikdopning hade visat sig i lösningsfrekvensen. Alla kategorierna hade studiens syfte och frågeställningar som utgångspunkt med fokus på begreppen individualisering, differentiering, svårighetsgrad, undervisning, aritmetikdopning och textuppgifter. 15 4.5.2 Databearbetning av intervjuerna Vid den första bearbetningen av inspelningarna lyssnades intervjuerna igenom och fakta som kan kopplas till syfte och frågeställningar lyftes ut och transkriberades. Utifrån transkriberingen plockades sedan det mest betydelsefulla ut, vilket Feijes och Thornberg (2015) framhåller som meningsbärande enheter. Innehållet strukturerades sedan upp under respektive frågeställningar. Exempel på meningsinnehåll som plockades ut: Enkla textuppgifter introduceras tidigt och man pratar om vad är det man tittar efter en textuppgift, hur tar man sig an en textuppgift, vad har man för strategier? (Lärare A). För ett fåtal är det läsningen som ställer till problem för eleverna men oftast är det är det inte förstår hur de ska ta reda på vad de ska göra, vilka siffror är det jag behöver plocka ut och använda och så. Det är det som jag uppfattar är det svåraste att välja rätt strategi (Lärare B). Begreppen ställer till mycket, man förstår inte begreppens betydelse och sedan vet jag att det är viktigt att använda rätt begrepp från början, annars får man lära sig två språk. (Lärare C). Läraren tycker att vi ska välja något som är en utmaning för oss, så vi inte tar för lätta. Jag brukar välja den svåraste. (Elev 1, årskurs 3). En uppgift kan vara svår när jag måste tänka i flera steg och sedan räkna ihop dem (Elev 8, årskurs 2). 4.6 Tillförlitlighet Det har under hela processen funnits en öppenhet och ärlighet i de resultat som framkommit samtidigt som forskaren haft ett kritiskt förhållningssätt där det som Gustafsson m.fl. (2005) lyfter fram reflektioner kring felkällor till resultatet har analyserats. Studien har bedrivits på ett noggrant sätt, där inkänning och kritiska ögon har varvats med inläsning av forskning och förankring i empiri, något som förordas av Feijes och Thornberg (2015) som nödvändiga inslag i en kvalitativ studie. Under processens gång har forskaren beaktat det som Feijes och Thornberg (2015) framhåller som viktiga aspekter att beakta nämligen hur väl forskaren kan argumentera för de framkomna resultaten, att resultaten stämmer överens med det som framkommit i empirin och att de inte är motsägelsefulla samt hur användbart det framkomna resultatet är för verksamheten. Alla dessa kriterier visar på studiens validitet. Forskaren har under processen försökt att vara tydlig och redovisa data för att fakta ska vara transparent och ge andra möjlighet att återupprepa studien med ett likvärdigt resultat, något som enligt Denscombe (2013) påtalar är viktigt för studiens tillförlitlighet. Studiens validitet påverkas av valet av informanter och antalet deltagare i studien (Kvale & Brinkmann, 2014). Forskarens avsikter i den här studien vara att noggrant välja ut ett hanterbart antal deltagare för att hinna genomföra testet, och intervjuerna samt bearbeta resultatet och genomföra en tillförlitlig analys av framkomna material på den korta tid som studien haft till förfogande. Den främsta tanken var att ha ett tillräckligt stort antal deltagare för att kunna få svar på studiens syfte och frågeställningar. Studiens validitet beaktades i studien genom det som Kylèn (2004) påtalar genom att frågorna formulerades för att ge svar på det som var relevant för studiens syfte och frågeställningar samt att frågorna skulle förstås av informanten för att misstolkningar av frågorna inte skulle leda till vilseledande data. Reliabiliteten i studien beaktades hela tiden under processens gång då sanningshalten och överensstämmelsen mellan olika fakta ifrågasattes. Eftersom studien upprepades i tre olika klasser på tre olika skolor stärktes reliabiliteten då de olika svaren kunde jämföras med varandra. Det gav forskaren en möjlighet att granska om frågorna gav möjlighet att få svar som pekade i samma riktning, vilket skulle ge en antydan om att datainsamlingen skulle ge samstämmiga svar vid upprepade testtillfällen. Naturligtvis 16 måste det finnas en öppenhet för att klasserna är olika, att de har olika lärare och ligger i olika kommuner. Kylèn (2004) framhåller att testens reliabilitet kan stärkas genom att test utförda på olika ställen visar på likvärdiga resultat. Reliabiliteten ökar enligt (Kylèn (2004) om det inte blir ett för stort bortfall vid genomförandet av testen. Det försöktes förhindras genom att frågorna som ställdes var korta, relevanta och svåra att misstolkas. Utföraren av studien deltog själv vid testtillfällena för att omgående kunna besvara tveksamheter kring hur frågorna skulle tolkas, ett sätt att stärka reliabiliteten. 4.6.1 Textuppgifterna Vid konstruktionen av textuppgifterna har hänsyn tagits till vad tidigare forskning har kommit fram till kan ställa till problem vid elevernas lösning av uppgifterna. Det är enligt Feijes och Thornberg (2015) en förutsättning för att stärka validiteten, där rätt saker ska undersökas. Formuleringarna av syftet och frågeställningarna har lett fram till valet av metoderna där ett frågeformulär till eleverna och uppföljande intervjuer hjälpte till att få reda på elevernas upplevelser av textuppgifterna samt vilka svårigheter de såg med uppgifterna. Genom uppgifterna ville forskaren prova sig fram för att och använda sig av vad Feijes och Thornberg (2015:260) kallar kreativt tänkande. 4.6.2 Intervjuerna En intervjusituation påverkas hela tiden av forskarens jag. Varje intervjusituation är unik och personkemin påverkas av forskarens ämneskunskaper, förberedelse, färdigheter att utföra en intervju och förmåga att analysera framkomna fakta på ett neutralt sätt (Feijes och Thornberg, 2015). Intervjusvaren jämfördes med annan fakta som framkommit i tidigare forskning och övriga intervjuer för att se om informanternas svar överensstämde med dem. Det är för att stärka validiteten i studien. Det som stärkte validiteten var att de enligt vad Denscombe (2013) skriver att de utvalda personerna för intervjuerna var erfarna på sitt område och trovärdigheten i deras utsagor var därmed hög. En fördel för validiteten är att det vid en intervju hela tiden finns möjlighet att bedöma informationens relevans. Något som vidare höjer trovärdigheten är att data har samlats in empiriskt och att forskaren har varit på plats vid insamlingen. Tillförlitligheten påverkades av forskarens förmåga att hålla sig objektiv. 17 5 Resultat och analys Först redovisas resultatet av det genomförda testet med textuppgifter. Resultatet av textuppgifterna ligger sedan till grund för alla resultat och tillsammans med redovisad forskning i teoribakgrunden samt genomförda intervjuer till grund för analyserna som följer under respektive frågeställning. 5.1 Resultat av textuppgifterna Resultaten av de genomförda testen med textuppgifter redovisas utifrån nedan angivna kategorier: antal rätt, rätt räknesätt, ritad lösning, mattespråk och antal rätt på respektive uppgift. Det totala antalet deltagande elever var 48, varav det var 24 i respektive årskurs. Inom parantes anges om det är en elev i årskurs 2 eller 3. Testet utgick från 12 uppgifter vilka var uppdelade i fyra grupper med tre frågor i varje grupp. Inom varje grupp var textuppgifterna densamma, men dess aritmetiska innehåll stegrades från att vara lätt till att bli svårare och svårare. (Testet återfinns i bilaga C). De fyra grunduppgifterna var: Anna samlar __stenar, vilket är __ fler än Stina samlar. Hur många stenar samlar Stina? Hur många hönor har __ ben tillsammans? Eva är på innebandymatch och är hungrig. Hon köper___ korv som kostar__ kronor och en dricka för___ kronor. Hur mycket kostar korven och drickan tillsammans? Sven cyklar____ varv runt fotbollsplanen på fem minuter. Lotta cyklar dubbelt så snabbt. Hur långt hinner Lotta cykla på fem minuter? Figur 2. Ett diagram över resultaten av textuppgifterna. Diagrammet finns i större format i bilaga F. Den ljusblå stapeln visar hur många rätt eleverna hade totalt på testet. Den röda stapeln visar om eleverna hade använt de räknesätt som var bäst anpassat till uppgiften. Den grå stapeln visar hur många elever som ritade lösningen på respektive uppgift. Den gula stapeln visar om eleverna har visat sin lösning med någon form av uträkning. Den mörkblå stapeln visar hur många elever som har avgett ett korrekt svar på uppgiften. 18 Resultatet visar på att uppgifterna 1,4 och 7 var de uppgifter som varit lättast att lösa. Medan det i den sista gruppen med uppgifterna 10, 11 och 12 var ett ganska lika resultat. De var lätta, alla utom uppgift 9. Man skulle göra allting och sedan plussa ihop det. Det var många uträkningar. Den lättaste av uppgifterna var den första. Den hade det minsta talet. (Elev 1, åk 3) 5.1.1 Analys av textuppgifterna Uppgifterna 1, 2 och 3 innehöll ordet fler som skulle kunna leda in eleverna på att använda sig av addition, vilket också flera elever gjorde. Det är vanligt enligt Clement och Bernhard (2005) då eleverna inte läser textuppgiften som en helhet och inser att begreppet fler i den här uppgiften endast var ett delmoment och behövdes läsas i ett vidare perspektiv (a.a). Det var dock ingen av de intervjuade eleverna som framhöll fler som ett ord som de kopplade ihop med addition. Uppgifterna 4, 5 och 6 innehöll ordet tillsammans, vilket flera av de intervjuade eleverna kopplade ihop med addition. Majoriteten av de elever som löste de här uppgifterna använde sig av addition, medan en division kanske hade varit ett lämpligare räknesätt. Här har eleverna bildat sig en uppfattning om att begreppet tillsammans symboliseras med räknesättet addition, något som inte överensstämmer med Kiselmans & Mouwitz (2008) förteckning över begrepp som bör kopplas ihop med addition. Här behöver eleverna istället som Österholm (2004;2009) förordar läsa bortom signalorden för att bilda sig en uppfattning av textuppgiften som helhet. En elev i årskurs 2 besvarade uppgifterna 4 och 5, =5, en annan elev i årskurs 2 visade sin lösning 1+1+1+1+1=5. Många elever ritade lösningarna på de här uppgifterna och räknade sedan de ben de hade ritat, vilket överensstämmer med det Engström (2007) benämner en konkret uppgift där eleven kan rita sin lösning och därigenom konkretisera den. Många elever valde att lösa uppgifterna genom att addera antalet ben tills de kom fram till rätt antal, i uppgift 4, 2+2+2+2+2=10. En elev i årskurs 3 ritade och redovisade sin lösning på uppgift 6 genom att rita och addera ihop svaret: Figur 3. En elevlösning på uppgift 6. Det syntes i lösningarna att eleverna hade kunskap om att hönor har två ben och hundar fyra, vilket krävdes för att de skulle kunna lösa uppgifterna. När det gällde uppgifterna 4, 5 och 6 där eleverna skulle räkna ut hur många djur det var som hade ett visst antal ben var det många elever som såg svaret, men hade svårt att hitta ett sätt att visa det på. Uppgift 6 krävde det som Unenge (1992) framhåller att information behöver hämtas utanför själva uppgiften och som Clement och Bernhard (2005) poängterar klara att lösa uppgiften utan några direkta ledtrådar. Uppgift 6 med sin öppna utsaga krävde även att eleverna kunde sätta in innebörden i uppgiften i ett sammanhang och vid lösningen använda sin kreativa förmåga. Ett vanligt fel på uppgift 8 var att eleverna endast plockade ut de synliga talen och adderade ihop dem, 15+7=22. Eleverna läser enligt Österholm (2009) matematiska texter på ett annat sätt än när de läser texter på svenska. Det visas också i en del av de lösningar på de genomförda testuppgifterna, där några elever endast plockade ut de tal de såg i textmassan och formulerade sin lösning utifrån den informationen. Skillnaden 19 mellan nivån i den aritmetiska kunskapen var störst mellan uppgifterna 7 till 9. Där det i uppgift 9 krävdes en uträkning i flera led och med tiotalsövergång. Att uppgifter i flera led kan vara svåra att lösa visade sig i de här uppgifterna, vilket överensstämmer med Unenge (1992) argumentation. De som löst alla uppgifterna 10, 11 och 12 har förstått vad de ska göra och den aritmetiska stegringen var inte så stor utan den högsta summan var i uppgift 12 där eleverna skulle dubblera 7 varv. Det kan vara en förklaring till varför det inte fanns någon tydlig skillnad mellan den lättaste och den svåraste uppgiften bland de här tre uppgifterna. Flera elever räknade hälften av tiden istället för att dubblera antalet varv. Vanliga fel i samtliga uppgifter var att eleverna plockade ut det tal som syntes i uppgiften, att de inte läste ordentligt vad det var det frågades efter och använde fel räknesätt. Många hade problem med begreppet dubbelt. Flera elever dubblerade tiden istället för antalet varv och fick därmed samma svar, 5+5= 10, på uppgifterna 10, 11 och 12. Några tog antalet varv och dubblerade det och adderade sedan ihop båda talen, exempel på lösning på uppgift 10: 2+4=6. Eleverna behöver ha förståelse för hur de ska använda begreppet dubbelt i de här uppgifterna något som Bergqvist, Dyrvold och Österholm (2012) framhåller kan ställa till svårigheter. Det som kan ha påverkat lösningsfrekvensen på uppgifterna 10, 11 och 12 är att talen här stod med bokstäver. Eleverna kunde inte endast plocka ut de tal de såg utan var tvungna att läsa texten för att ta ut de relevanta talen för att kunna lösa uppgifterna. Det visade på att eleverna inte har befäst hur de ska gå tillväga för att lösa en textuppgift och hur viktigt det är att det som Österholm (2004) påtalar plockar ut korrekt fakta ur en text bestående av stor textmassa samt kan relatera den här uppgiften till tidigare erfarenheter av liknande uppgifter. 5.2 Konstruktion av textuppgifter som kan aritmetikdopas Under den här rubriken redovisas resultat och analys av hur lärare beskrev hur textuppgifter kan konstrueras för att kunna aritmetikdopas. 5.2.1 Resultat av textuppgifters konstruktioner Alla de tre intervjuade lärarna var överens om att det måste ske en differentiering av uppgifterna utifrån elevernas unika förutsättningar. Lärarna hade olika tillvägagångssätt för att tillgodose det. En av lärarna valde att ha öppna uppgifter där eleverna själva fick välja vilka siffror som skulle placeras in. Det gjorde hen för att alla elever skulle få möjlighet att utmana sig själva. Lärare B uttryckte det på följande sätt: Textuppgifterna kan variera mellan eleverna. Jag använder öppna uppgifter ibland och då blir det naturligt så att eleverna väljer tal utifrån sin förmåga. Om jag säger åt eleverna att dubblera ett tal kanske några elever väljer ett svårare tal för att de tycker att det är för lätt. De som har jobbigt för matte väljer något enklare. (…) Ibland konstruerar jag egna uppgifter om det är något speciellt som jag vill arbeta med., och ibland tar jag exempel från läroboken eller ifrån andra läromedel som finns, eller från nätet. (Lärare B) Lärarna startade alltid ett nytt område med en genomgång på tavlan, där de modellerade hållbara strategier för att eleverna både nu och i framtiden skulle kunna lösa textuppgifter. De ansåg att det var viktigt att textuppgifterna var kopplade till elevernas vardag och att de såg en mening med att lära sig hur en textuppgift är uppbyggd eftersom det ofta är liknande problem som eleverna sedan kommer stöta på i sin vardag. Lärare C använde sig mycket av bland annat annonsblad för att konstruera egna uppgifter. 20 Jag gör egna uppgifter till barnen i vardagsmatematik. Du ska gå till affären och handla 2 julmust, sedan har jag klippt ut annons ur tidningen. Två stycken julmust kostar 15 kronor. Hur mycket får du betala om du ska köpa en julmust? Det är svårt att hitta sådana uppgifter. Jag brukar klippa ut ur leksaktidningar och klippa ut det som intresserar barnen, det kan vara Minecraft och då försöker jag använda det. Jag använder begreppen som är svåra fler än, färre än, större och mindre. Försöker vända dem om, ordföljden har betydelse. (Lärare C) Lärare A använde sig av en metod där hen började gemensamt med eleverna och utgick från samma uppgift. Eftersom hen var medveten om att eleverna befinner sig på olika kunskapsnivåer gav hen ledtrådar och lät därmed eleverna själva avgöra när de hade tillräcklig med ledtrådar för att självständigt lösa uppgiften. Det gav enligt lärare A eleverna möjligheten att utmana sig själv och tidigt sitta själv och klura ut lösningen på uppgiften. Vi kan utgå från samma uppgift men att jag sedan lämnar ledtrådar efter vägen. Då börjar de som kan tidigt på lösningen räkna ut det tidigare, medan andra behöver flera ledtrådar för att komma igång. Ibland får de helt olika också. ( Lärare A) Lärarnas svar visade på att de gärna startade upp gemensamma genomgångar av textuppgifter med hela klassen och att de därefter individualiserar undervisningen utifrån elevernas förutsättningar. Det är enligt informanterna fördelaktigt eftersom eleverna lyssnar på varandra och deras resonemang för att komma fram till lösningen. Det ger eleverna tillfällen att omvärdera felaktigt inlärda strategier och metoder. Om man har elever som befinner sig på många olika nivåer är grunduppgift och det underlättar väldigt mycket för man uppgifterna tillsammans då så kan man bara sätta siffror sedan, tiotalsövergång och så. De som inte klarar tiotalsövergång övergång och så. det fiffigt att ha en kan ju prata om för dem som klarar kan man ha utan (Lärare B) Lärarna var överens om att de har ett ansvar att ge eleverna förutsättningar att självständigt kunna lösa textuppgifter. Det krävs därför att de som lärare konstruerar uppgifter som passar elevgruppen, vilket kan vara en utmaning i sig eftersom elevkonstellationen varierar väldigt mycket. Frågeställningen är viktig, hur man frågar i matten. Alla textuppgifter är ju konstruerade uppgifter. Signaler gör ju att man tror att det är plus eller minus, tecknet, vad menar man med subtraktion? Minus. Vad då minus. Tecknet visar ju tydligt att det sker någonting i det här. Skillnader eller att det försvinner. Därifrån till att koppla det till verkligheten. (….). Just begrepp som fler än, färre än det är tydligt, du kan använda båda räknesätten bara du vet vad du har skrivit i svaret. Eleverna ser svaren, men vet inte vägen dit. (Lärare C) Nio utav de tio intervjuade eleverna ansåg att det var enklare att läsa ut textuppgifterna där de stod en siffra, exempelvis siffran 5, istället för att fem stod med bokstäver. Det är enklast om man skriver med siffror. En del har svårt att forma bokstäverna. Om det är ett, eller två skriver jag med bokstäver. Annars är det enklast med siffror. (Elev 5, årskurs 2) 5.2.2 Analys av textuppgifters konstruktioner Lärarnas sätt att individualisera uppgifterna stämmer med Kilborns och Johanssons (1985) remsor där tanken är att remsorna ska möjliggöra en differentiering av svårighetsnivån av uppgifterna. Lärarna varierade svårighetsgraden på uppgifterna med hjälp av olika metoder. Bland annat använde lärare B öppna uppgifter och lärare A en genomgång med utgångspunkt i en gemensam uppgift och att eleverna sedan själva fick 21 välja när de ville fortsätta att lösa uppgiften på egen hand. Lärarnas resonemang överensstämmer med det Löwing och Kilborns (2010) framhåller att alla elever måste utmanas utifrån deras unika förutsättningar och förmåga. Uppgifter som kan aritmetikdopas är därmed bra eftersom de möjliggör stor variation av svårighetsgraden. Det lärarna understryker som angeläget att undervisningen av textuppgifter sker på varierade sätt och med olika metoder framhålls även av Karlsson och Kilborn (2015). Läraren har vilket de i likhet med Hill m.fl. (2008) framhåller ett stort ansvar att vara tydliga i sina instruktioner för att alla elever ska ges möjligheter att ta till sig informationen. Lärarna framhöll att de behöver sätta in uppgifterna i ett betydelsefullt sammanhang, och anpassa undervisningen efter alla elevernas olika förutsättningar. Lärarna framhöll liksom Charalambous (2008) att läraren behöver ställa olika krav på eleverna utifrån deras förkunskaper. Det är viktigt att alla elever känner att matematiken är utmanande och att det är värt att kämpa för att lära sig. Lärare A argumenterar för att elevernas olika kunskapsnivåer utmanar läraren att se deras progressionsmöjligheter för att hela tiden utmana dem att nå längre och utveckla sitt matematiska resonemang mot ett mer kreativt med en reell förståelse för matematikens innebörd. Det som lärare C lyfter upp kring begreppsförvirring blev tydligt vid svaren på uppgifterna 4, 5 och 6 i de test som eleverna genomförde. Där skulle eleverna utgå ifrån ett antal ben som djuren hade och sedan berätta hur många det var av djuren. Uppgifterna löstes med hjälp av alla fyra räknesätten, plus att eleverna visualiserade det genom att rita. 5.3 Hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper Här redovisas resultat och analys över hur textuppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper. 5.3.1 Resultat av hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper Att eleverna byggde upp en stabil grund inom matematiken var något som framhölls av de tre intervjuade lärarna. Eleverna behövde behärska de fyra räknesätten, begrepp och lära sig tyda signalord, men samtidigt vara uppmärksamma på deras betydelse i just den uppgift de löser. Lärarna framhöll att begreppen behövde användas redan vid introduktionen av räknesätten för att eleverna skulle vara medvetna om att det var de begrepp som borde användas. Lärarna påtalade att en gemensam begreppsförståelse var viktig för att alla skulle lägga in samma innebörd i det matematiska språk som användes i klassrummet Man har en grund där man har ett gemensamt språk så att man kan ha gemensamma diskussioner men att man ändå sen är så olika och kommit olika långt och kan arbeta med det man själv behöver utveckla. Det behöver inte bli en motsättning. Grunden behöver byggas på grundläggande matematik, begrepp, att man använder de matematiska begreppen och inte är rädd för det. (Lärare A) Lärare C påtalade att ett senare införande av begreppen kunde innebära att eleverna fick lära sig två språk och att det är svårare att lära om något som är felinlärt. De har inte begreppen med sig, och en del har fel begrepp och då blir det krångligt. Det är någonting som är jobbigt om man ska lära om. (..).De vet att jag som lärare har förväntningar på att de ska använda de rätta begreppen, men ändå när man lyssnar använder de sig av de invanda begreppen. Att det är skillnad på tecknet och räknesättet. (Lärare C) 22 Det var inte svårt att veta vilket räknesätt man skulle använda. Jag använde plus, minus och gånger och så. (Elev 3, åk 2) Den gemensamma uppfattningen hos lärarna vara att det mest fördelaktiga sättet att ta reda på elevernas förkunskaper var genom den kontinuerliga formativa bedömningen, där läraren alltid var uppmärksam på hur de löste sin uppgifter under lektionernas gång. Ett annat sätt som alla lärare också använde sig av vara att de samtalade med eleverna om hur de hade kommit fram till svaret, för att på det sättet komma fram till vägen fram till svaret och vilka strategier eleven använde sig av. Jag tycker väl att helst vill jag ha en dialog med eleverna. Nu märker jag mycket när jag pratar med barnen, man upptäcker mycket mer än om de ska lösa uppgifter själva. Jag tror mycket på det att man måste ha de här avstämningstillfällena och titta på vad eleverna kan och se om det har uppnått det som jag förväntar mig att de ska kunna nu när vi har arbetat med det. (Lärare A) Lärarna framhöll att det var viktigt att eleverna skapade en förståelse för de uppgifter de ombads att lösa eftersom det är en förutsättning för att de sedan ska kunna generalisera sina kunskaper och använda dem även fortsättningsvis. Lärare C påtalade dock att det ibland kan vara svårt att undvika att lotsa eleverna fram till svaret. Man lotsar nog en del, men det sker ofta omedvetet. Det är inte hållbart att lotsa, utan eleverna måste verkligen förstå vad de gör. En multiplikation är ju en upprepad addition, och ibland skulle det nog vara bättre att fortsätta med additionen för att befästa den. Det är viktigt att man förstår det man håller på med eftersom det ena bygger på det andra. ( Lärare C) Samtal och att lyssna uppmärksamt på elevernas diskussioner vid genomgångar kan enligt de tre lärarna ge bra vägledning om hur de tänker när de löser olika uppgifter. Även de elever som har kommit längre i sin matematikprogression har ett utbyte av att diskutera det matematiska innehållet och utvecklas genom att få sätta ord på och beskriva sina lösningsstrategier. Där kan ju jag säga ibland att grunden gör vi gemensamt, vi gör den här pratmatematiken tillsammans, även om vi är på så olika håll. För där kan det ju vara någon som är ett halvår före, eller ett halvår efter, men vi kan ändå ha en gemensam genomgång. Matematik är ju så mycket. Det tycker jag fungerar jätte bra. Där är man ju noga med att kolla av så att man inte släpper en elev vidare som inte alls har de kunskaperna som jag som lärare ansågs behövas. ( Lärare A) Eleverna behöver uppmärksammas på skillnaderna mellan hur olika begrepp skiljer sig från den vardagliga användningen till hur de används i matematiska sammanhang. Vid introduktionen av till exempel addition i årskurs 1 används begreppen addition, term och summa. Lär man sig det från början så kanske det inte är så märkvärdigt egentligen. Ska de kunna mattespråket, så gäller det förstås att de får prata matte också. De behöver få använda begreppen både muntligt och skriftligt. Det är viktigt att få beskriva olika begrepp. Det visar på elevernas förståelse för innebörden av dem. Det gäller också att de förstår skillnaden mellan den vardagliga förståelsen för begreppen och den matematiska innebörden av begreppen. (….) Det är viktigt med repetition och att eleverna får komma tillbaka till saker för att befästa dem. (Lärare B) Eleverna hade utifrån intervjusvaren lättast att komma på vilka ord som kunde symbolisera addition och subtraktion, medan 4 av 10 inte kunde nämna något ord som 23 kunde uttrycka att de skulle använda räknesättet multiplikation. De signalord eleverna nämnde i samband med de olika räknesätten var för: Addition: dubbelt, plus, tillsammans, summa, har, får, lägga ihop, ökar. Subtraktion: kvar, tappar bort, skillnad, minus, minskar, tar bort, backar. Division: hur många får alla var, delat, hälften, dela upp i högar. Multiplikation: gånger. 5.3.2 Analys av hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper Det som visade sig i textuppgifterna och som överensstämmer med det som Engström (2007) påtalar var att flera elever hade bristande taluppfattning. Det visade sig bland annat i ett svar från en elev i årskurs 3 på uppgift 9 där hen skriver 25+25=14. Här sker inte heller en rimlighetsbedömning, vilken hade tydliggjort för eleven att svaret var orimligt. Ett annat exempel är en elevlösning på uppgift 2 där eleven har skrivit 27/6=21. Det fanns också exempel på att eleverna hade skrivit av talen fel och därmed fick ett felaktigt svar vilket Pettersson (1990) framhåller är ett vanligt fel. En elev i årskurs 3 svarade på uppgift 1, 4-8=4. Flera elever missade när talen i uppgiften stod skrivna med bokstäver och kunde inte omvandla dem och använda dem i uträkningen. Eleverna hade svårigheter med att läsa ut och förstå ordet styck i uppgifterna 7, 8 och 9. Flertalet elever räknade endast med en dricka och en korv oavsett vilket antal som efterfrågades. Exempel på det är på uppgift 8, 15+7=22. Elevernas automatiserade kunskaper mättes i textuppgifterna genom att uppgifterna genomfördes på tid, något som Kilborn och Johansson (1985) framhåller är gångbart. Lärarnas resonemang kring att motivera eleverna, ge dem rätt metoder och strategier stämmer med Hill m.fl. (2008) resonemang. Trots att alla tre intervjuade lärare framhöll vikten av att eleverna använder sig av de rätta begreppen använde alla de tio intervjuade eleverna de informella begreppen minus, plus, gånger och delat. Att det är viktigt att eleverna behöver förståelse för begreppens betydelse och innebörd är både lärarna och forskningen överens om. Förståelsen för begreppen utvecklas enligt Stendrup (2001) hos eleverna i tre steg. Det är först i det sista steget eleverna har verklig förståelse för begreppet och kan använda sig av det i matematiska sammanhang. Det som visades tydligt i elevintervjuerna var att eleverna inte hade den fördjupade kunskapen om begreppen och dess innebörd. Kiselman och Mouwitz (2008) påtalar att det finns en mängd begrepp som hänger samman med de olika räknesätten och för att visa på en riktig förståelse behöver begreppen vara befästa. Alla lärare framhöll det som Bergqvist och Österholm (2014) påtalar är betydelsefull nämligen att eleverna behöver förståelse för matematiken och att den kan visa sig via det svenska språket, bilder och symboler. Eleverna i klassen behöver bilda sig en gemensam förståelse för begreppens innebörd. Det för att de sedan ska veta at de pratar om samma sak när de använder sig av begreppen. Eleverna får heller inte fastna i den informella förståelsen av begreppen utan måste utvidga förståelsen till den formella. Det är därför viktigt att det talas inom matematiken, dels för att uppmärksamma eventuellt felinlärda begrepp och strategier, men också för att förtydliga matematiken och hållbara strategier. De intervjuade lärarna var övertygade om att det var viktigt att modellera och prata matematik för att eleverna skulle ges möjlighet att uppmärksammas på det matematiska innehållet och det formella matematiska språket. Det överensstämmer med Riesbecks (2008) resonemang vilket tyder på att eleverna allt för ofta använder sig av det informella språket även i skolan. Eleverna behöver påminnas om att de behöver matematiken utanför skolan och därmed kunna koppla den till vardagliga situationer. 24 Liksom lärare C påtalar menar även Löwing och Kilborn (2010) att det inte är bra att lotsa eleverna förbi saker som kan orsaka problem i textuppgifterna och förenkla uppgifterna eftersom det i förlängningen kan orsaka större svårigheter för eleverna. Det krävs istället att läraren förklarar textuppgifter och ställer frågor till eleven som leder denna vidare i sitt eget resonemang för att komma fram till lösningen. och ger eleverna strategier för att senare kunna lösa mer komplicerade (a.a). 5.4 Elevernas tänkande, uppfattningsförmåga, minne och språk För att kunna lösa textuppgifter krävs det att eleverna har utvecklat sina kognitiva förmågor, att tänka, att uppfatta, att minnas och den språkliga kompetensen. Under denna rubrik redovisas resultat och analys för hur lärarna bedömer dessa förmågor samt hur eleverna själva uttrycker sina förmågor i samband med textuppgifter. 5.4.1 Resultat av lärarnas syn på elevernas kognitiva förmågor Alla tre lärare lyfte fram att det är avgörande att eleverna känner sig motiverade för att lösa matematiska uppgifter samt känna att de har någon användning av det och därmed känner att det är meningsfullt. Eleverna behöver lära sig för livet och inte för att klara av att lösa uppgifter i skolan. Vi pratar mycket om det här i alla ämnen, men hur gör man när man lär sig? Hur kan jag tänka när jag vill lära mig någonting? Hur kan jag få upp min motivation? Är det viktigt, varför är det viktigt, när har jag kunskap av detta? Om de inte känner mening med det de ska lära sig kan man ju inte heller känna motivationen för det man ska lära sig. De får ju inte tänka när jag frågar dem: Vad ska du ha det här till? Jag ska ha det i skolan. Det är det värsta man kan höra som lärare tycker jag. Jag måste kunna det. Vi pratade om vikt och jag frågade när man använder det. Det var mycket om när man bakar, reser, i affären och någon sa när man är i skolan. Det är ju helt riktigt, det är ju klart, men det är ju inte huvudsyftet utan de lär sig ju för livet på något sätt. (Lärare A) De intervjuade lärarna var ense om att det är fördelaktigt att använda sig av konkret material för att bygga upp en förståelse för eleverna. Genom materialet kan tänkandet struktureras upp och eleverna får ett bildligt minne av det matematiska resonemanget. Många elever har lättare att förstå om de får se och lagra en bild parallellt med den matematiska lösningen. Lärarna påtalade vidare att det var viktigt att eleverna sedan inte fastnade i det konkretiserande bilderna och materialet, utan att de succesivt utvecklade sitt matematiska tänkande, där de inte behövde använda sig av annat än de matematiska symbolerna. Det grundläggande är att man bygger upp bilder, att man använder konkret material, det är så lätt att man ger dem 5-2. En del tycker det är jättebra att bygga upp bilder med fingrar och jag försöker att de inte ska använda fingrarna så länge, men samtidigt är de dem du har med dig.(….) Jag gillar pengar eller tiobasstavar och ser dem framför mig som en bild av det. (…). Lägger du upp en hög med stenar är det svårt att se och strukturera upp det för att skapa en bild i sitt huvud. Jag vill att de ska kunna blunda och kunna se staplarna med tiotalen, entalen och så. (Lärare A) Lärarna framhöll att det var bra att de hade en nära relation till eleverna och dagligen kunde följa deras progression. Det gav många möjligheter till att fråga hur de tänkte kring olika lösningar och sätta sig in i deras tankegångar för att antingen kunna bekräfta att de tänker på ett långsiktigt hållbart sätt, eller ges möjlighet att resonera fram mer användbara strategier. 25 När man är så här nära barnen och frågar dem hur de tänkte, och de får motivera och de får berätta hur de tänker och man kan förstå vad de har menat på ett annat sätt om man pratar om strategier och så, då har man ganska bra koll på hur de ligger till. (Lärare A) Lärarna B och C uttryckte att det är svårt att mäta elevernas kognitiva förmågor samt förklara för eleverna att förståelsen hänger ihop med deras minnesförmåga, och vilka kunskaper de har automatiserat och därmed kan hämta fram vid behov. Lärarna påtalade att det var viktigt att förklara på olika sätt för eleverna för att öka chanserna till att de skulle förstå. Eleverna behövde uppmärksammas på att det kan ta tid att lära sig och att det krävdes tålamod och träning. Lärarna var överens om att repetition var nödvändig för att alla elever skulle ges möjlighet att förstå och utvecklas inom matematiken. Det är svårt att mäta det kognitiva. Men det är viktigt att förmedla till eleverna att de kanske inte kan detta just nu, men gör vi på det här sättet istället så kanske du förstår och sedan får vi prova olika sätt. Ibland kanske det bara släpper och eleverna förstår att det var ju så här vi skulle göra. Repetition är viktigt och att återkomma till vad det var vi gjorde? ( Lärare C) Lärare B påtalade att det är viktigt att som lärare försöka förstå även de elever som har svårt att förmedla sina tankar verbalt. Det lättaste sättet att uppmärksamma de kognitiva förmågorna är när det finns brister. Den språkliga förmågan testas ju dagligen. Hur de kommunicerar och så. Jag gör inget speciellt för att kontrollera elevernas kognitiva förmågor. Det är mer om man märker att det finns brister inom ett visst område. (Lärare B) Lärarna lyfter fram att eleverna även behöver en metakognitiv förmåga för att kunna reflektera över sitt eget tänkande. Det är en förutsättning för att kunna uppmärksamma egna felaktigt inlärda strategier och metoder. Det är viktigt att man lär sig strategier, hur man kan tänka, strategier för hur jag kan kontrollera mig själv att mina tankar stämmer, vilka samband finns det mellan olika räknesätt? Lär eleverna lite knep, sedan måste läraren hjälpa eleverna att befästa hållbara strategier. (…). Det är vardagsmatematiken jag ska klara av. (Lärare C) 5.4.2 Resultat av elevernas syn på de kognitiva förmågorna Samtliga intervjuade elever framhöll att de tyckte det var roligt med textuppgifter. De påtalade att det som gör om en uppgift uppfattas som enkel eller svår att lösa beror på om de ser lösningen eller inte och om de kan formulera ner det med matematiska symboler. Eleverna var överens om att de matematiska uppgifterna behöver vara utmanande för att kännas meningsfulla. Talens storlek var också betydelsefullt för om eleverna skulle uppfatta uppgifterna som enkla eller svåra. De flesta eleverna uppfattade att det var lättare när talen var representerade av siffror i textuppgifter. Det som avgör om en uppgift är lätt eller svår är om man kan hitta på något. Om man ser hur man ska göra. Hur man ska beskriva. Beskriva vad det är man frågar efter. Det är lika enkelt att läsa om det står 5 som siffra eller fem med bokstäver. (Elev 1, åk 3) 26 Flera av eleverna framhöll att det som kan försvåra en uppgift var när de behövde tänka i flera olika led för att komma fram till svaret. Det fanns uppgifter där de behövde göra flera olika uträkningar efter varandra och det krävdes då att de skrev ned sina lösningar för att inte behöva hålla allting i huvudet samtidigt. Det som gör en uppgift svår är när det är rätt mycket man måste tänka på. När uppgiften är i många led. En lätt uppgift är när det bara är något enkelt att lista ut, när man ser svaret på en gång. (Elev 4, åk 2) Ett antal elever beskrev att det var lättare med den typ av uppgifter de tidigare hade stött på och arbetat med i skolan. De såg då hur de skulle lösa uppgiften i huvudet och behövde inte tänka så mycket på hur de skulle gå tillväga, medan uppgifter som de inte hade stött på tidigare uppfattades som svåra. Eleverna framhöll att de då ville kunna ställa frågor till läraren för att få vägledning. De kände sig annars stressade över att inte komma på någon strategi för att kunna lösa uppgiften. Elev 10 framhöll det på följande sätt: Jag fastnar vid uppgifter som jag inte har tränat så mycket på. Uppgifterna blir lätta om jag har tränat mycket på den typen av uppgifter. Då vet jag precis vad jag ska göra. (Elev 10, åk 3) 5.4.3 Analys av elevernas och lärarnas syn på de kognitiva förmågorna Alla de tio intervjuade eleverna använde sig av de informella orden av begrepp under intervjutillfällena, såsom plussa, och gångra. Det är något som Stendrup (2001) framhåller är mycket vanligt. Det är därför som lärarna säger viktigt att tidigt, redan vid introduktionen av olika räknesätt att använda sig av de korrekta begreppen för att eleverna ska känna sig bekväma med att använda sig av dem. Alla tre lärarnas uppfattning om att det är viktigt att modellera olika lösningsmetoder och visualisera dem för att eleverna ska kunna skapa sig inre bilder, och matematisk förståelse för det matematiska innehållet överensstämmer med Spendrups (2001) syn. Eleverna behöver också ha förståelse för sin egen kapacitet inom matematikämnet, den metakognitiva förmågan. För att lösa en textuppgift krävs det att eleverna har den mest grundläggande aritmetiken automatiserade eftersom de enkla uträkningarna annars tar för mycket tankekraft från elevernas kreativa och problemlösande förmågor (Stendrup, 2001). Lärarna framhöll, vilket överensstämmer med Atkinson och Shiffrins (1968) tankar att de automatiserade kunskaperna och igenkänningsfaktorn fyllde en viktig funktion för att elevernas tankekraft skulle kunna fokusera på en bredare förståelse av textuppgiftens innebörd samt vad de behövde veta för att kunna lösa den. Eleverna har lättare att lösa uppgifter där de endast behöver använda en imitativa resonemangstyp. Eleverna behöver då endast ta en färdigkonstruerad lagrad lösning och återanvända den i en ny uppgift (Liljekvist, 2014). Uppgifterna 10- 12 i testet var sådana uppgifter. Det krävdes att eleverna hade förståelse för begreppet dubbelt, men hade de det och tidigare mött uppgifter där de skulle dubblera tal så utgjorde de tre uppgifterna ingen större utmaning. Resultatet av antalet rätt på uppgifterna 10-12 visade på att eleverna hade löst alla uppgifterna korrekt när de hade förståelse för begreppet dubbelt. De uppgifter som eleverna vid intervjuerna framhöll som svåra var uppgifterna 4-6 där de ombads att utifrån antal ben skulle tala om hur många djur dessa ben tillhörde. Även uppgifterna 7-9 krävde att eleverna behövde tänka efter och föra ett resonemang kring vilken information de behövde och sedan utföra lösningen i flera steg. Det skulle visa på att uppgifterna 4-9 behövde en djupare resonemangsförmåga än 27 de övriga uppgifterna. I de här uppgifterna räckte det inte som Liljekvist (2014) framhåller att använda sig av färdiga strategier, utan det behövdes mer resonemangsförmåga av eleverna. Flera av uppgifterna i elevtestet, främst uppgifterna 8 och 9, visade på det som Österholm (2009) beskriver att många har svårare för att läsa och lösa uppgifter med symboler. Det eftersom de då glömmer att läsa textens innebörd och i ett sammanhang och istället endast plockar ut symbolerna. Det är därför viktigt att som Österholm (2009) och lärarna framhöll modellera hållbara strategier för hur en textuppgift bör läsas för att rätt information ska plockas ut och användas. Lärarnas uppfattning om att eleverna behöver vara förtrogna med både det svenska och matematiska språket överensstämmer med det Lennerstads (2005) beskriver om att det annars kan vara svårt att förmedla sina matematiska tankar. Det eftersom all språklig kommunikation sker via det svenska språket. Det som framhölls av lärarna om att elevernas svårigheter vid lösning av textuppgifter hänger samman med deras förmåga att läsa textuppgifterna på rätt sätt där de plockar ut relevant information samstämmer med Lindekvist (2004) resonemang. Eleverna behöver ha förståelse för det matematiska innehållet i texten i uppgifterna samtidigt som de har förståelse för begreppens betydelse och kan använda sin kreativitet för att komma på ett lämpligt lösningsalternativ. Något som flera elever enligt analys av testresultaten visade sig vara svårt var när eleverna på de första tre uppgifterna behövde läsa den semantiska betydelsen av begreppet fler. Det eftersom det normalt kopplas ihop med addition, medan det i de här tre uppgifterna skulle lösas med subtraktion. Det samstämmer med det Clement och Bernhard (2005) och Österholm (2004)framhåller att nyckelord kan ställa till problem för eleverna eftersom de förlitar sig på dem och glömmer bort att fokusera på sammanhanget i uppgiften. Elevernas lösningsförmåga underlättas av de lagrade kunskaperna i långtidsminnet eftersom de kunskaperna underlättar arbetsminnets kapacitet (Österholm, 2004). Även eleverna läsförmåga påverkar lösningsprocessen eftersom det i textuppgifter krävs att eleverna kan koncentrera sig på att komma på kreativa lösningar istället för att koncentrera sig och uppehålla arbetsminnet med kunskaper som behöver vara automatiserade. Alla textuppgifterna i testet krävde att eleverna hade automatiserade kunskaper för att hinna lösa alla tre uppgifterna som visades samtidigt. Flera av eleverna framhöll i intervjuerna att de tyckte att det som utmärkte en svårare textuppgift var om det krävdes en lösning i flera steg, vilket krävdes i uppgifterna 8 och 9. Det är något som också påtalas av Unenge (1992). Även uppgifter där eleverna behövde hämta information utanför själva uppgiften, vilket testades i uppgifterna 4-6 kan vara problematiskt, vilket stämmer med Sterner och Lundbergs (2002) resonemang. Alla uppgifterna krävde det Liljekvist (2014) kallar för en djupare resonemangstyp som krävde ett kreativt resonemang, eftersom eleverna i alla uppgifterna behövde läsa bortom signalordens betydelse. 5.5 Elevernas och lärarnas uppfattning av textuppgifter Genom intervjuerna framkom hur eleverna och lärarna tänker kring textuppgifter. Nedan presenteras deras uppfattningar. 5.5.1 Resultat av elevernas uppfattningar De tio intervjuade eleverna framhöll att de tyckte det var roligt med textuppgifter. Det som de uttryckte som svårt var att de hade svårt att plocka ut det relevanta föra att lösa uppgiften samt att veta vilket räknesätt de skulle använda. De flesta påtalade att de såg svaret, men hade svårt att själva skriva ned det med matematiska symboler. 28 Jag kom inte på hur jag skulle göra med plus och minus och gånger och så där. Jag såg svaret men visste inte hur jag skulle räkna ut det. (Elev 9, åk 2) Den största utmaningen med textuppgifter var enligt eleverna när de skulle göra flera uträkningar efter varandra och speciellt om det krävdes flera olika räknesätt i samma uppgift. Det kan vara svårt med många uträkningar, jag är inte van vid den typen av uppgifter. En uppgift kan vara svår när jag måste tänka i flera steg och sedan räkna ihop dem. Jag känner vilket räknesätt som verkar enklast. Det ser jag på en gång. En uppgift blir lätt om det är plus och minus och delat med och gånger också. Ibland kan jag haka upp mig på de enkla talen. (Elev 8, åk 2) Det var endast en av de tio intervjuade eleverna som framhöll att det var enklare att läsa en textuppgift när talet stod med bokstäver. De andra nio tyckte att det underlättade när talen stod med siffror. Det är enklast när det står med siffror, det tar minst plats. Det är lättare att se. En bokstav kan vara svår att läsa ut, om a ser ut som ett u och så. (Elev 3, åk 2) En av eleverna påtalade att det var lättare att arbeta med textuppgifter som inte fanns i matematikboken. Jag får inga idéer i matteboken. Jag vill hellre arbeta med uppgifter utanför boken. (Elev 5, åk 3) 5.5.2 Analys av elevernas uppfattningar textuppgifter Det var ingen av eleverna som påtalade att texten i uppgifterna ställde till problem vid lösningen. Dock var flertalet av eleverna överens om att det var lättare att se siffror i en textuppgift än talen skrivna med bokstäver, vilket elev 3, åk 2 uttrycker. Elev 8 i årskurs 2 var den ena av de 2 elever som hade alla rätt på testet. Eleven valdes ut för intervju. Det beroende på att hen tydligt hade redovisat sina lösningar, använt rätt räknesätt i alla uppgifterna och dessutom vid intervjun klart och tydligt kunde redogöra för sina lösningar. Det tyder på att eleven har befästa och automatiserade aritmetiska kunskaper samt goda kunskaper i de fyra räknesätten. Den förförståelsen, begreppskunskapen och förkunskaperna är viktiga moment att behärska eftersom de annars tar för mycket tankekraft enligt Engström (2007); Pettersson (1990) och Kilborn och Johansson (1985). 5.5.3 Resultat av lärarnas uppfattningar av textuppgifter Lärarna framhöll att flertalet elever uppfattar att textuppgifter är ganska komplicerade att lära sig. Det krävs att eleverna har förståelse för hur de ska gå tillväga för att på ett strukturerat sätt kunna lösa uppgiften. Eleverna behöver börja med att läsa uppgiften flera gånger för att bilda sig en uppfattning om vad det är som det är de ombeds att göra. De behöver strategier för hur de kan plocka ut den relevanta informationen ur en textmassa. Lärare B påtalade att de ibland stryker över all irrelevant information för att synliggöra att det ofta bara är en liten del av textinnehållet som behövs för att kunna lösa uppgiften. Alla lärare påtalade att de fick uppmuntra eleverna och beskriva vardagliga sammanhang där eleverna faktiskt möter matematiken i textuppgift sammanhang. Det för att visa eleverna att det är värt att anstränga sig för att lära sig hur man på olika sätt kan ta sig an och lösa textuppgifter. 29 Mycket text kan ställa till det för eleverna. De kan inte plocka ut det som är relevant för att kunna lösa uppgifter. (…). Det kan vara bättre att skriva siffrorna med bokstäver eftersom eleverna då behöver läsa dem för att kunna plocka ut dem. (…..) De uppgifter som eleverna möter är nästan uteslutande med siffror. Det känns viktigt att ge dem liknande uppgifter och att de kan vara i flera steg också. Många uppgifter är ganska lika, men i nationella proven kan det vara att eleverna ska tänka i flera steg. Man vill ju att de ska känna att det är liknande uppgifter som de har arbetat med. Det kan ställa till det för eleverna om de måste hämta kunskap som bygger på egen förståelse och som inte står i texten. (Lärare B) Lärarna var överens om att textuppgifter behöver introduceras redan i årskurs 1 för att eleverna ska lära sig strategier för hur dessa uppgifter fungerar och vad som krävs för att man ska kunna lösa dem. Hjälp eleverna att strukturera. Ge eleverna självförtroendet, strukturerna, strategierna och modellerar för hur man gör, för när de kommer upp sedan i högre årskurser. (..). Textuppgifter är ju ändå det som du behöver i livet. Matteboken med de tillrättalagda uppgifterna är ju inte det som du kommer möta sedan i det verkliga livet. Det är mängdträning. Men det är textuppgifter och problemlösning som du har nytta av sedan. (Lärare A) 5.5.4 Analys av lärarnas uppfattningar av textuppgifter Lärarna påtalade att det som ofta ställer till det för eleverna är när de möter en stor textmängd i vilken de ombeds att plocka ut användbar fakta för att kunna lösa textuppgiften. Det är också något som Bergqvist, Dyrvold och Österholm (2012) framhåller visar sig i PISA resultaten för matematiska textuppgifter. Här behöver läraren vara observant på vilken förmåga textuppgiften egentligen fyller, den matematiska eller läs- och ordförståelsen. Samtidigt lyfter de tre lärarna upp hur viktigt det är att eleverna behärskar textuppgifter eftersom det är i denna form som eleverna möter matematiken i sin vardag. Eleverna gör en åtskillnad på matematikböckerna textuppgifter och övriga textuppgifter som de möter i andra sammanhang, vilket över stämmer med Liljekvist (2014) tankar. Många textuppgifter i böckerna kräver endast imitativt resonemang, medan eleverna i textuppgifterna i till exempel nationella proven behöver behärska ett kreativt resonemang kopplat till tidigare erfarenheter. 30 6 Diskussion I nedanstående avsnitt kommer valet av metoder att diskuteras samt ett resonemang kring resultatet. 6.1 Metoddiskussion Det är alltid en avvägning av vilka metoder och vilka frågor och uppgifter som ska användas för att säkerställa att de faktiskt besvarar det som var avsikten, vilket påverkar validiteten. Ett större antal test och intervjuer hade gjort resultatet mer generaliserbart och ökat möjligheterna att ännu grundligare klargöra för vad fenomenet aritmetikdopning i samband med textuppgifter har för betydelse för elevernas förutsättningar att lösa textuppgifter. Något som stärker tillförlitligheten i studien är att data bygger på fakta hämtad i empirin (Denscombe, 2013). Studiens dualistiska val av metoder underbygger en trovärdighet när det gäller resultatet. 6.1.1 Formulär som metod De utvalda textuppgifterna i det test som genomfördes och som utgör ett underlag i den här studien har utgått från det Kylèns (2004) framhåller att frågorna måste ta sin utgångspunkt i studiens syfte och frågeställningar. Att använda ett test visade sig generera stressfaktorer hos eleverna. Den första påverkande faktorn var att eleverna inte var vana vid att utföra test och att inte få fråga när de behövde vägledning när de inte förstod vad de skulle göra. Många av eleverna kände av att testet var på tid. Ytterligare stressfaktor var att tre uppgifter visades på en gång. Det var dock en avvägning att visa tre uppgifter åt gången, och den främsta orsaken till det var att uppmärksamma om eleverna såg mönstret i uppgifternas uppbyggnad utifrån Löwing och Kilborns (2010) tanke med aritmetikdopning. De flesta elever uttryckte efter testet att de tyckte att det hade varit roligt och alla de intervjuade eleverna bekräftade det. Flera elever uttryckte att de gärna skulle vilja ha flera tillfällen med textuppgifter i matematikundervisningen och att uppgifterna då skulle vara utmanande. Testet visade sig vara ett bra sätt att som Denscombe (2013) framhåller verifiera uppkomna resultat eftersom testresultaten samstämde med den jämförbara forskningen i teoribakgrunden. Formuläret gav en möjlighet att få in en större mängd data som kunde jämföras med tidigare forskning och fördjupas i intervjuerna. 6.1.2 Intervju som metod Valet av lärare föll sig naturligt eftersom de var undervisande lärare till de elever som genomförde testet och elevintervjuerna. Däremot var valet till elevintervjuerna en process som krävde ett djupare resonemang. Det som var avgörande för urvalet i den här studien bygger på Denscombes (2013) tanke att de ansågs kunna bidra med något extra. De utvalda eleverna hade löst uppgifterna på ett intressant sätt som skilde sig från övriga lösningsstrategier. Ett antal hade löst uppgifterna med fel räknesätt, vilket kunde tyda på att de hade utgått från signalorden i texten och andra där det tydligt framgick att de hade sett svaret men inte visste vägen fram till svaret. Det var därmed intressant att höra elevernas syn på hur och varför de hade löst uppgiften på det sättet. Intervjuerna bidrog till en djupare förståelse av hur textuppgifternas konstruktion påverkar den enskilda elevens möjligheter att lösa dem. Intervjuerna kan ha påverkats av forskarens jag, det vill säga vilken tillit de hade till forskaren vid intervjutillfället. Varje intervjusituation var unik och blir därmed svår att genomföra på ett exakt likadant sätt av någon annan, eftersom sammanhanget och personligheterna spelar in. Forskaren var noga med att vara påläst inom ämnet, ha förberedda frågor samtidigt som det fanns ett 31 genuint intresse att ta del av annan för studien relevant fakta, vilket även framhålls av Feijes och Thornberg (2015) som angeläget. 6.2 Resultatdiskussion Under den här rubriken kommer resonemang föras kring de resultat som framkommit i studien. 6.2.1 Aritmetikdopning behöver vidare förståelse Utifrån det som har framkommit i den här studien genom litteraturen, det genomförda testet och intervjuerna finns det en förståelse för att aritmetikdopning behöver djupare reflektion än att ändra några siffror i en uppgift. Det finns så många andra parametrar som inverkar på elevernas förutsättningar att lyckas med att lösa matematiska textuppgifter. Det är främst elevernas begreppsförmåga, läsförmåga och kognitiva förmåga som krävs. De matematiska kompetenserna ställer stora krav på att det matematiska innehållet ska kunna användas och sättas in i olika sammanhang och förstås. De matematiska frågorna och svaren behöver kännas igen för att utföraren ska kunna plocka ut relevant information och omforma dem till olika lösningsstrategier (Hill m.fl.,2008). Läraren har en betydelsefull uppgift att i större utsträckning kommunicera matematik för att ge eleverna hållbara strategier och metoder för att kunna läsa ut ur texten vad det är det frågas efter samt kunna reflektera över vilket räknesätt som är lämpligt att använda. De tre lärarna liksom Hill m.fl. (2008) framhåller att det är avgörande för elevernas progression i samband med lösning av textuppgifter att de får kunskap i hur en textuppgift kan struktureras upp och vilka lösningsstrategier som är hållbara. På sikt försvåras elevernas möjligheter till en djupare förståelse om texterna förenklas istället för att läraren hjälper och vägleder eleverna till att utveckla det Liljekvist (2014) argumenterar för ett mer kreativt resonemang. Det är annars lätt att vilket lärare C, och Löwing och Kilborn (2010) framhåller lotsa eleverna förbi de svårigheter som uppstår. Elevernas resultat och intervjusvar visar på att det behövs mer undervisning i hur de ska förhålla sig till textuppgifter, vilken typ av fakta som är relevant i textuppgifterna och vad som eleverna behöver vara observanta på. Det gäller bland annat att de inte enbart kan plocka ut de siffror de uppmärksammar, eller som Österholm (2009) och Bergqvist och Österholm (2014) påtalar förlitar sig på eventuella signalord i texten. Signalordet kan behövas tolkas utifrån sin semantiska betydelse i en specifik uppgift eftersom det annars kan leda in eleverna på felaktiga tankebanor. 6.2.2 Faktorer som har påverkat resultatet En felaktig tanke i konstruktionen av uppgift 11 resulterade i att det inte med säkerhet går att utläsa om eleverna har plockat ut antal varv eller tiden, eftersom båda var de samma. I den här studien har uppgiften bedömts utifrån elevsvaren på uppgifterna 10 och 12. Forskarens avsikt med de tre frågorna var att se om eleverna behärskade begreppet dubbelt, samt kunde läsa ut talen när de stod med bokstäver. Då eleverna hade löst uppgifterna 10 och 12 samt 11 på ett korrekt sätt gjordes ett antagande att de hade en förståelse för hur de skulle lösa uppgift 11. Ett övervägande som bör beaktas inför nästa studie är hur forskarens medverkan under testtillfället påverkade resultatet. Det som konstaterats är att det i den här studien innebar att forskaren själv kunde observera att läsförståelsen ställde till problem för ett flertal elever samt att flera elever visade tecken på stress. Stressen kan ha påverkat elevernas möjligheter att prestera på en för dem normal kunskapsnivå. Resultatet kunde ha blivit ett annat om eleverna hade haft mer tid på sig på varje uppgift. Grunden till att det var en begränsad tid var med tanke på det Kilborn och Johansson (1985) framhåller 32 för att se om eleverna hade automatiserat sina kunskaper och därmed inte behövde så mycket tid för att lösa varje uppgift. Vid genomförandet av textuppgifterna började forskaren med att läsa upp en uppgift åt gången och uppmärksammade eleverna på att det skulle komma upp tre uppgifter på PowerPoint vilka de sedan ombads att lösa. Tanken med detta var att alla elever åtminstone en gång hade fått uppgifterna upplästa. En del av eleverna bad om hjälp med att läsa uppgifterna, vilket de fick. Det gjordes eftersom huvudsyftet med testet vara att utforska elevernas matematiska kunskaper och inte läsförmågan. Trots att uppgift 7 innehöll mycket text var det den uppgift som flest antal elever lyckades lösa. 44 utav 48 elever lyckades lösa den uppgiften. Det tolkar jag som att eleverna känner igen sig i denna typ av uppgift och att de även känner igen sig i situationen. För att få ett helt rättvisande resultat behöver varje elevs test analyseras och eleven behöver därefter tillfrågas hur den har tänkt när den har löst textuppgiften. Den här studien har varit mycket tidsbegränsad och har därmed inte kunnat gå så på djupet som forskaren hade önskat. Eleven och dess förutsättningar och förmågor måste alltid vägas in valet av textuppgifter. 6.2.3 Lärarens inkluderande förhållningssätt Som verksam lärare skulle det vara önskvärt med en bedömningsmatris som fokuserar på de kognitiva förmågorna. Det finns ett flertal diagnosmaterial när de gäller de rent kunskapsmässiga delarna, men eftersom de kognitiva förmågorna har så stor inverkan på elevernas möjligheter att kunna lösa textuppgifter skulle det även behövas ett lättanvänt material för detta. En annan avgörande faktor för att eleverna ska ges de bästa möjligheterna att lyckas med sin utveckling i matematikämnet är lärarnas utbildning. Det behövs mer fokus på elevernas skiftande behov av varierade svårighetsgraderade uppgifter för att alla elever ska känna motivation och meningsfullhet inom ämnet matematik. Forskaren har varit noga med att under hela processen ha i åtanke det som Feijes och Thornberg (2015) påtalar är nödvändigt för studiens validitet. Det är att resultatet redovisas på ett sätt som överensstämmer med den faktiskt framkomna empirin samt att beakta att de framkomna resultateten är betydelsefulla för verksamheten. Att resultatet är betydelsefullt för verksamheten är jag övertygad om eftersom alla pedagoger ska bedriva en undervisning som bygger på ett inkluderande förhållningssätt. Det kräver att läraren använder sig av varierade material, metoder och strategier samt konstruerar uppgifter som erbjuder alla elever utmanande, meningsfulla och motiverande uppgifter. De erhållna resultateten i den här studien visar på att eleverna har olika förmåga att lösa uppgifterna och det därför skulle vara angeläget att matematikböckerna erbjuder en nivågruppering av uppgifterna i böckerna. Det med tanke på att eleverna arbetar i böckerna en stor del av tiden under matematiklektionerna. 6.3 Förslag på vidare forskning I en uppföljande studie skulle det vara intressant att titta på läromedel och deras möjligheter till differentiering i förhållande till elevernas förkunskaper och kognitiva förmågor. Inom ämnet svenska finns det flera serier där det finns böcker i tre olika svårighetsgrader för att materialet ska passa alla elever och deras förutsättningar. Jag är dock inte medveten om att det finns material inom matematiken som erbjuder samma möjlighet. Det skulle vara intressant att titta på befintliga läromedel och hur de skulle kunna nivåanpassas. 33 Referenser Atkinson R.C. & Shiffrin R.M. (1968). The psychology of learning and motivation. Advances in research and theory volume 2. Ed. Spence Kenneth W. and Spence Taylor Janet. University of Texas, Austin, Texas. Academic press. Bergqvist, Ewa, Dyrvold, Anneli och Österholm, Magnus (2012). Relating Vocabulary in Mathematical Tasks to Aspects of Reading and Solving. Umeå universitet. Monash University, Melbourne. Bergqvist, Ewa. & Österholm, Magnus. (2014). Språkbrukets roll i matematikundervisningen. Nämnaren tidskrift för matematikundervisning, 2014(1): 2731 Chapman, Olive (2013). Mathematical-task knowledge for teaching. Journal math teacher education. Vol. 16. Pp. 1-6. Charalambous, Charalambos Y. (2008).Mathematical knowledge for teaching and the unfolding of tasks in mathematics lessons: integrating two lines of research. University of Michigan. In International Group for the Psychology of Mathematics Education. Proceedings of the Joint Meeting of PME 32 and PME-NA XXX.Morelia, México July 17-21, 2008 Clement, Lisa L, Bernhard, Jamal Z (2005). A problemsolving alternative to using key words. Mathematics teaching in the middle school. Vol 10, no 7, pp 360-365. National Council of mathematics. Denscombe, Martyn (2013). Forskningshandboken- för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. Lund. Studentlitteratur AB. Engström, Arne (2002). Rationalitet och intersubjektivitet- några preliminära utgångspunkter i ett försök att förstå matematikundervisningens kommunikativa karaktär. Bergsten I C. Dahland G & Grevholm B. Eds. Research and action in the mathematics classroom. Proceedings of MADIF 2. The second Swedish mathematics education research seminar. Göteborg. Januari 26-27, s 88-106. Skrifter från Svensk förening för matematikdidaktisk forskning 1. Engström, Arne (2007). Varför är textuppgifter så svåra? Nationellt centrum för matematik. NCM. Nummer 4, s 13-17. Falck, Pernilla, Picetti, Margareta & Elofsdotter Meijer, Siw (2011). Matte Direkt Safari 1B. Bonnier utbildning AB. Stockholm. Feijes, Andreas & Thornberg, Robert (2015) red. Handbok i kvalitativ analys. Liber AB. Malmö Gustafsson, Bengt, Herméren, Göran & Petersson, Bo (2005). Vad är god forskningsed? Synpunkter, riktlinjer och exempel. Vetenskapsrådet. Stockholm. 34 Hill, Heather C. ,Blunk Merrie, L., Charalambous, Charalambos Y., Lewis, Jennifer M., Geoffrey C. Phelps Geoffrey C., Laurie, Sleep Laurie and Deborah Loewenberg Deborah. (2008). Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study Heather C. Hill Harvard Graduate School of Education. Ball University of Michigan School of Education Karlsson, Natalia & Kilborn, Wiggo (2015). Matematikdidaktik I praktiken. Att undervisa i årskurs 1-6. Gleerups utbildning AB. Team Media Sweden AB. Falkenberg. Kilborn, Wiggo och Johansson, Bengt (1985). Plan matematik mellanstadiet. Författarna och W & B Utbildningsprodukter AB. Göteborg. Kiselman, Christer & Mouwitz, Lars (2008) Matematiktermer för skolan. Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM Göteborgs universitet. Göteborg. Kvale, Steinar & Brinkmann, Svend (2014). Den kvalitativa forskningsintervjun. Studentlitteratur AB. Lund. Kylèn, Jan- Axel (2004). Att få svar intervju, enkät och observation. Bonnier utbildning AB, Stockholm. Lennerstad, Håkan (2005). Matematikens dubbelnatur- undflyende, självtillräckligt språk. I Utbildning och demokrati- 1102-6472; 14:2, s. 27-55. Blekinge tekniska högskola. Sektionen för teknik- avd. för matematik och naturvetenskap. Blekinge. Liljekvist, Yvonne (2014). Lärande i matematik Om resonemang och matematikuppgifters egenskaper. Doktorsavhandling. Karlstads universitet Fakulteten för humaniora och samhällsvetenskap Institutionen för pedagogiska studier. Karlstad Lindekvist, Anna-Lena (2004). Att analysera, förebygga och åtgärda matematiksvårigheter i förskolan och grundskolans tidigare år. Delrapport från ett utvecklingsarbete. Tsunami 3 2004. Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2010). Baskunskaper I matematik för skola, hem och samhälle. Studentlitteratur AB Lund. Pettersson, Astrid (1990). Att utvecklas I matematik. En studie av elever med olika prestationsutveckling. Almqvist & Wiksell International, Stockholm. Stockholm. Riesbeck, Eva (2008). På tal om matematik. Matematiken, vardagen och den matematikdidaktiska diskursen. Linköping Studies in Behavioural Science No. 129. Institutionen för Beteendevetenskap och lärande Linköpings universitet. Linköping, Sverige. Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklass och fritidshemmet 2011. Stockholm. Fritzes Stendrup, Conny (2001). Undervisning och tanke. En ämnesdidaktisk bok om språk och begreppskunskap. Exemplet matematik. HLS Förlag. Göteborg. 35 Sterner, Görel & Lundberg, Ingvar (2002). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. NCM- rapport 2002:2. Göteborgs universitet. Göteborg. Unenge, Jan (1992). Matematikdidaktik för grundskolan. Andra upplagan. Studentlitteratur. Lund Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk samhällsvetenskaplig forskning. Elanders Gotab Österholm, Magnus. (2004). Läsa matematiska texter: Förståelse och lärande i läsprocessen. Matematiska institutionen Linköpings universitet. Linköping. Österholm, Magnus. (2009). Läsförståelsens roll inom matematikutbildning. I Matematikdidaktiska frågor: Resultat från en forskarskola, Brandell, Gerd (ed.), p. 154165. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet 36 Bilagor Bilaga A Brev till föräldrarna Hej! Jag heter Marie Jansson och går fjärde och sista året på lärarutbildning med inriktning F-3 på Linnéuniversitetet. Jag skriver nu mitt andra och avslutande självständiga arbete. I arbetet skriver jag om hur textuppgifter i matematik kan anpassas för att alla elever ska kunna lösa dem. Min fråga till dig/er är om din son/dotter får delta i studien? Alla uppgifter kommer att behandlas konfidentiellt och alla svar kommer att förstöras efter att studien är avslutad och godkänd. Vid studien kommer jag att utgå ifrån de forskningsetiska principerna. Eleverna kommer att få utföra ett antal textuppgifter och några elever kommer sedan att få ställa upp på en intervju för att vidare få förklara hur de tänkte då de genomförde uppgifterna. För att få använda ditt/ert barns svar behöver jag ditt/ert medgivande. Jag ber er därför vänligen att fylla i nedanstående talong och snarast skicka med den tillbaka till klassläraren. Tack på förhand! Student: Marie Jansson [email protected] Handledare: Andreas Ebbelind [email protected] Jag/vi samtycker till att material där mitt/vårt barn finns med får användas enligt ovan JA ( ) NEJ ( ) Barnets namn:_________________________________________________ Vårdnadshavarens underskrift:____________________________________ I Bilaga B Missivbrev Missivbrev Hej! Jag heter Marie Jansson och läser mitt sista och fjärde år på lärarutbildningen på Linnéuniversitetet med inriktning mot F-3. Jag skriver nu mitt avslutande arbete. Syftet med arbetet som skrivs i ämnet matematik är att utforska hur textuppgifter upplevs av eleverna och lärare. Tanken är att eleverna ska få genomföra ett formulär med textuppgifter och några elever kommer sedan att bli intervjuade för att jag ska få en fördjupad kunskap i hur eleverna uppfattar textuppgifterna och det aritmetiska innehållet. Jag har satt mig in i ämnet, men vill genom en intervju med dig tillföra aktiva lärares syn på textuppgifterna utformning och innehåll. Studien utgår från de forskningsetiska principerna och all fakta kommer att behandlas utifrån de fyra grundprinciperna informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. För att underlätta analysarbetet kommer intervjun att spelas in. Det ger också en möjlighet att gå tillbaka och kontrollera svaren. Efter att arbetet är godkänt av examinatorn kommer inspelningarna att raderas. Har du några funderingar kring min studie får du gärna kontakta mig eller min handledare för ytterligare information. Student: Marie Jansson [email protected] Handledare: Andreas Ebbelind [email protected] Jag har tagit del av ovanstående information och vet att jag när som helst har rätt att avbryta intervjun. Jag undertecknar och godkänner därmed att jag ställer upp på intervjun. Namn: Namnförtydligande: Datum och ort II Bilaga C Textuppgifter Förslag på uppgifter Lös uppgifterna! Du får gärna rita din lösning! Gör en uträkning! Lycka till! 1. Anna samlar 8 stenar, vilket är 4 fler än Stina samlar. Hur många stenar samlar Stina? 2. Anna samlar 27 stenar, vilket är 6 fler än Stina samlar. Hur många stenar samlar Stina? 3. Anna samlar 27 stenar, vilket är 9 fler än Stina samlar. Hur många stenar samlar Stina? 4. Hur många hönor har 10 ben tillsammans? 5. Hur många hundar har 20 ben tillsammans? 6. Hur många hundar och hönor har 24 ben tillsammans? 7. Eva är på innebandymatch och är hungrig. Hon köper 1 korv som kostar 10 kronor och en dricka för 5 kronor. Hur mycket kostar korven och drickan tillsammans? 8. Eva är på innebandymatch och är hungrig. Hon köper 2 korvar som kostar 15 kronor styck och 2 drickor som kostar 7 kronor styck. Hur mycket kostar korvarna och drickorna tillsammans? 9. Eva är på innebandymatch och är hungrig. Hon köper 4 korvar som kostar 17 kronor styck och 2 drickor som kostar 25 kronor styck. Hur mycket kostar korvarna och drickorna tillsammans? 10. Sven cyklar två varv runt fotbollsplanen på fem minuter. Lotta cyklar dubbelt så snabbt. Hur långt hinner Lotta cykla på fem minuter? 11. Sven cyklar fem varv runt fotbollsplanen på fem minuter. Lotta cyklar dubbelt så snabbt. Hur långt hinner Lotta cykla på fem minuter? 12. Sven cyklar sju varv runt fotbollsplanen på fem minuter. Lotta cyklar dubbelt så snabbt. Hur långt hinner Lotta cykla på fem minuter? III Bilaga D Intervjufrågor till eleverna Intervjufrågor till eleverna: Hur gammal är du? Vilken klass går du i? Kan du berätta för mig vad ni vanligtvis gör under matematiklektionerna? Vad tycker du är roligt med matematik? Är det något som du tycker är svårt inom matematiken? (Varför?) Vad tyckte du om uppgifterna? Var det någon uppgift som var svår? (Varför?) Var det någon uppgift som var lätt? (Varför?) Vad tycker du gör att en uppgift är lätt eller svår? (språket, aritmetiken, räknesätt, koppla utanför uppgiften, vardagsnära) Om du skulle skriva en textuppgift hur skulle den då se ut? Hur ser du vilket räknesätt du ska använda i en textuppgift? Finns det några speciella ord som du kopplar ihop med addition? (Vilka, varför?) Finns det några speciella ord som du kopplar ihop med subtraktion? (Vilka, varför?) Finns det några speciella ord som du kopplar ihop med division? (Vilka, varför?) Finns det några speciella ord som du kopplar ihop med multiplikation? (Vilka, varför?) IV Bilaga E Intervjufrågor till lärarna Intervjufrågor till lärarna: Hur många år har du varit lärare? Hur många år har du undervisat i matematik? Har du förändrat ditt sätt att undervisa i matematiken under dina yrkesår? Kan du berätta för mig om en lektion när du arbetat med textuppgifter i klassen? Vilken undervisning behövs för att eleverna ska kunna lösa textuppgifter självständigt? Vilka aspekter är viktigast att ta hänsyn till för att eleverna ska lyckas lösa textuppgifterna? När introducerar du textuppgifter för eleverna? Hur introducerar du textuppgifter för eleverna? Använder du samma textuppgifter till alla elever? Om inte: Vad är det som skiljer? Konstruerar du egna textuppgifter? Hur kan en textuppgift konstrueras för att passa alla elever? Använder du någon gång uppgifter med samma grundstruktur, men ändrar talen för att anpassa dem utifrån elevernas förmågor? (Här förklarar jag vad jag menar, och ger exempel genom att visa det formulär som eleverna genomfört) Hur gör du för att ta reda på elevernas förkunskaper? Vilka svårigheter upplever du brukar nämnas av eleverna som kan orsaka problem för dem när de ska lösa textuppgifter? Hur gör du för att ta reda på elevernas kognitiva förmåga? (tänkande, uppfattningsförmåga, minne, språk) Behöver du tänka på något speciellt när du lär ut de matematiska begreppen? Undervisar du eleverna specifikt i matematiska begrepp? (eller integreras de i den ordinarie undervisningen?, Vilka begrepp behöver eleverna lära sig? Varför just dessa?) Är det något som du vill tillägga som du har kommit på under intervjuns gång? Tack så mycket för din medverkan! Du har bidragit med värdefull information. Om det är något jag undrar över i efterhand, är det då okej att jag återkommer? V Bilaga F Redovisning av textuppgifterna VI Fakulteten för teknik 391 82 Kalmar | 351 95 Växjö Tel 0772-28 80 00 [email protected] Lnu.se/fakulteten-for-teknik
© Copyright 2024