1. No category

Linjer och kurvor i 2D
Linjer och kurvor i 3D
Linjer och kurvor i 2D och 3D
Linjer och kurvor i 2D och 3D
Linjer och kurvor i 2D
Linjer och kurvor i 3D
Linjer i 2D
Kurvor i 2D
Linjer på parameterform i 2D
Exempel på tre linjer i planet (2D) på parameterform
(x, y ) = (5 + 3t, 1 − 2t) = (5, 1) + t(3, −2)
(x, y ) = (1 + t, 4 + 2t) = (1, 4) + t(1, 2)
(x, y ) = (2t, −1 − t) = (0, −1) + t(2, −1)
with plots : plot 5 C 3$t, 1 K 2$t, t =K5 ..3 , 1 C t, 4 C 2$t, t =K6 ..5 , 2$ t,K1 K t, t =K5 ..6 ,
scaling = constrained, color = blue, red, black
10
5
K10
0
K5
5
10
K5
Linjer och kurvor i 2D och 3D
Linjer och kurvor i 2D
Linjer och kurvor i 3D
Linjer i 2D
Kurvor i 2D
Kurvor på parameterform i 2D
För linjen (x(t), y (t)) = (5 + 3t, 1 − 2t) = (5, 1) + t(3, −2) har vi
markerat x och y som funktioner x(t) och y (t) av t.
Vad händer om vi byter mot andra funktioner än a + bt ?
Linjer och kurvor i 2D och 3D
Linjer och kurvor i 2D
Linjer och kurvor i 3D
Linjer i 2D
Kurvor i 2D
Kurvor på parameterform i 2D
För linjen (x(t), y (t)) = (5 + 3t, 1 − 2t) = (5, 1) + t(3, −2) har vi
markerat x och y som funktioner x(t) och y (t) av t.
Vad händer om vi byter mot andra funktioner än a + bt ?
(x(t), y (t)) = (4 − 3t 2 , 4t + sin t) , (x(t), y (t)) = (7 cos t, 5 sin t)
2
with plots : plot
5 C 3$t, 1 K 2$t, t =K4 ..2 , 4 K 3$ t , 4$t C sin t , t =K2 ..2 , 7$ cos t , 5
$ sin t , t =KPi ..Pi , color = blue, red, black
8
6
4
2
K8
K6
K4
0
K2
2
4
6
8
10
K2
K4
Man får kurvor på parameterform.
K6
K8
Linjer och kurvor i 2D och 3D
Linjer och kurvor i 2D
Linjer och kurvor i 3D
Linjer i 2D
Kurvor i 2D
Parameterform är den mest allmänna formen för kurvor.
En funktionsgraf y = f (x) är specialfallet (x(t), y (t)) = (t, f (t)).
I Envariabelanalys beräknar man längden av kurvan (x(t), y (t)) för
a ≤ t ≤ b som
Z bq
(x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt
a
Linjer och kurvor i 2D och 3D
Linjer och kurvor i 2D
Linjer och kurvor i 3D
Cykloid
(x(t), y (t)) = (t − sin t, 1 − cos t)
Linjer i 2D
Kurvor i 2D
Hjärta
(x(t), y (t)) =
((1 − sin t) cos t, 1 + (1 − sin t) sin t)
Spiral
(x(t), y (t)) = (e t cos 10t, e t sin 10t)
Blomma (k = 0.6, 0.8 och 1)
(x(t), y (t)) = k(cos t sin 4t, sin t sin 4t)
Linjer och kurvor i 2D och 3D
Linjer och kurvor i 2D
Linjer och kurvor i 3D
Linjer i 3D
Kurvor i 3D
Linjer på parameterform i 3D
Exempel på tre linjer i rummet (3D) på parameterform
(x(t), y (t), z(t)) = (5 + 3t, 1 − 2t, 2 + t) = (5, 1, 2) + t(3, −2, 1)
(x(t), y (t), z(t)) = (1 + t, 4 + 2t, 3 − t) = (1, 4, 3) + t(1, 2, −1)
(x(t), y (t), z(t)) = (2t, −1 − t, −3t) = (0, −1, 0) + t(2, −1, −3)
Linjer och kurvor i 2D och 3D
Linjer och kurvor i 2D
Linjer och kurvor i 3D
Linjer i 3D
Kurvor i 3D
Kurvor på parameterform i 3D
Parameterform är naturliga formen att ange kurvor i rummet (3D).
Helix (x(t), y (t), z(t)) = (cos t, sin t, t)
Linjer och kurvor i 2D och 3D
och kurvor
i 2D
Linjer i 3D
, axes = boxed,
=K8 ..5,scaling
color = red
constrained
, axesLinjer
= boxed,
scaling
= constrained
Linjer och kurvor i 3D
Kurvor i 3D
Dubbelhelix {(2 cos t, 2 sin t, t), (2 cos t, 2 sin t, t + π)}
och DNA (bild: Wikipedia).
Linjer och kurvor i 2D och 3D
Linjer och kurvor i 2D
Linjer och kurvor i 3D
Linjer i 3D
Kurvor i 3D
Längden av kurvan (x(t), y (t), z(t)) för a ≤ t ≤ b är
Z
b
q
(x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 dt
a
Man kan också beräkna krökningen av kurvan
([y 0 (t)z 00 (t) − z 0 (t)y 00 (t)]2 + [z 0 (t)x 00 (t) − x 0 (t)z 00 (t)]2 + [x 0 (t)y 00 (t) − y 0 (t)x 00 (t)]2 )1/2
((x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 + (z 0 (t))2 )3/2
som naturligtvis är 0 för linjer (ty x(t) = a + bt ⇒ x 0 (t) = b ⇒
x 00 (t) = 0, även y 00 (t) = z 00 (t) = 0) och konstant för en helix
(varför?).
Linjer och kurvor i 2D och 3D
Linjer och kurvor i 2D
Linjer och kurvor i 3D
Linjer i 3D
Kurvor i 3D
(x(t), y (t), z(t)) = (cos t, sin t, sin 2t)
(x(t), y (t), z(t)) = ((7 + sin 25t) cos t, (7 + sin 25t) sin t, 2 cos 25t)
Linjer och kurvor i 2D och 3D