1. No category

Reglerteknik I: F2
Överföringsfunktionen, poler och stabilitet
Dave Zachariah
Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
1 / 16
Linjära systemmodeller
Linjära tidsinvarianta modeller är användbara och träffsäkra nog
för många reglertillämpningar.
u(t)
G
y(t)
Linjära ODE:er är en beskrivning av relationen mellan in- och
utsignal, dvs. G:
dn
d
dm
d
y
+
·
·
·
+
a
y
+
a
y
=
b
u + · · · + bm−1 u + bm u
n−1
n
0
n
m
dt
dt
dt
dt
med initialvillkor.
2 / 16
Linjära systemmodeller
Linjära tidsinvarianta modeller är användbara och träffsäkra nog
för många reglertillämpningar.
u(t)
G
y(t)
Linjära ODE:er är en beskrivning av relationen mellan in- och
utsignal, dvs. G:
dn
d
dm
d
y
+
·
·
·
+
a
y
+
a
y
=
b
u + · · · + bm−1 u + bm u
n−1
n
0
n
m
dt
dt
dt
dt
med initialvillkor.
Sällan praktisk för analys och design i reglering!
2 / 16
Laplacetransformen
Används som verktyg för att lösa samt analysera linjära ODE:er
I
Beteckning:
y(t)
3 / 16
L
←→
L [y(t)] = Y (s)
Laplacetransformen
Används som verktyg för att lösa samt analysera linjära ODE:er
I
Beteckning:
y(t)
I
L
←→
L [y(t)] = Y (s)
Definition:
Y (s) = L[y(t)] =
Z
∞
0
y(t)e−st dt, s ∈ C
Inverstransform:
y(t) = L
−1
1
[Y (s)] =
2πi
Z
C
Y (s)est ds, s ∈ C
Notera att s och Y (s) är komplexvärda!
3 / 16
Viktiga egenskaper
L
y(t) = αx(t) + βz(t) ←→ Y (s) = αX(s) + βZ(s)
dy
L
derivator:
←→ sY (s) − y(0)
dt
d2 y
L
←→ s2 Y (s) − sy(0) − ẏ(0)
dt2
..
.
Z t
1
L
y(τ )dτ ←→ Y (s)
integralen:
s
0
Z t
L
faltning:
x(τ )z(t − τ )dτ ←→ X(s)Z(s)
linjäritet:
0
slutvärdesteor.:
4 / 16
lim y(t)
t→∞
=
lim sY (s)
s→0
Lösning av linjär ODE
Exempel på begynnelsevärdesproblem:
d
d2
d
y + 2 y + 3y = 4 u + 5u,
2
dt
dt
dt
5 / 16
u(t), y(0), ẏ(0)
givna
Lösning av linjär ODE
Exempel på begynnelsevärdesproblem:
d
d2
d
y + 2 y + 3y = 4 u + 5u,
2
dt
dt
dt
u(t), y(0), ẏ(0)
givna
Laplacetransformera ODE:en =⇒
V.L. = s2 Y (s) − sy(0) − ẏ(0) + 2 (sY (s) − y(0)) + 3Y (s)
= (s2 + 2s + 3)Y (s) − (s + 2)y(0) − ẏ(0)
H.L. = 4 (sU (s) − u(0)) + 5U (s) = (4s + 5)U (s) − 4u(0)
5 / 16
Lösning av linjär ODE
Exempel på begynnelsevärdesproblem:
d
d2
d
y + 2 y + 3y = 4 u + 5u,
2
dt
dt
dt
u(t), y(0), ẏ(0)
givna
Laplacetransformera ODE:en =⇒
V.L. = s2 Y (s) − sy(0) − ẏ(0) + 2 (sY (s) − y(0)) + 3Y (s)
= (s2 + 2s + 3)Y (s) − (s + 2)y(0) − ẏ(0)
H.L. = 4 (sU (s) − u(0)) + 5U (s) = (4s + 5)U (s) − 4u(0)
Sätt V.L. = H.L. och lös ut Y (s): ⇒
Y (s) =
4s + 5
s+2
1
U (s) + 2
y(0) + 2
(ẏ(0) − 4u(0))
s2 + 2s + 3
s + 2s + 3
s + 2s + 3
U (s), u(0), y(0) och ẏ(0) är kända ⇒ använd L−1 -transformen (tabell)
för att få fram y(t).
5 / 16
Överföringsfunktionen
Studera effekten av insignalen u, bortse från begynnelsevärdena —
anta t.ex. att y(0) = ẏ(0) = · · · = 0 och u(0) = u̇(0) = · · · = 0:
⇒
6 / 16
Y (s) =
s2
4s + 5
U (s) = G(s)U (s)
+ 2s + 3
I
G(s) är systemets överföringsfunktion.
I
Y (s) = G(s)U (s) är en modell som beskriver sambandet
mellan systemets insignal u och utsignal y.
Överföringsfunktionen
I
Ett system som beskrivs av en linjär ODE
dn
dm
d
d
y
+
a
y
=
b
y
+
·
·
·
+
a
u + · · · + bm−1 u + bm u
n
0
n−1
n
m
dt
dt
dt
dt
med begynnelsevärden 0.
I
Laplacetransform av båda leden:
(sn + · · · + an−1 s + an )Y (s) = (b0 sm + · · · + bm−1 s + bm )U (s)
7 / 16
Överföringsfunktionen
I
Ett system som beskrivs av en linjär ODE
dn
dm
d
d
y
+
a
y
=
b
y
+
·
·
·
+
a
u + · · · + bm−1 u + bm u
n
0
n−1
n
m
dt
dt
dt
dt
med begynnelsevärden 0.
I
Laplacetransform av båda leden:
(sn + · · · + an−1 s + an )Y (s) = (b0 sm + · · · + bm−1 s + bm )U (s)
I
Systemets överföringsfunktionen blir en rationell funktion:
G(s) =
b0 sm + · · · + bm
sn + a1 sn−1 + · · · + an
Notera att s och G(s) är komplexvärda!
7 / 16
Viktfunktionen/impulssvaret
För ett system Y (s) = G(s)U (s) (i vila vid t = 0) ger
inversetransformen
Z t
y(t) = L−1 [Y (s)] =
g(τ )u(t − τ )dτ,
0
dvs. en faltning mellan u(t) och g(t) = L−1 [G(s)].
Funktionen g(t) är systemets viktfunktion.
8 / 16
Viktfunktionen/impulssvaret
För ett system Y (s) = G(s)U (s) (i vila vid t = 0) ger
inversetransformen
Z t
y(t) = L−1 [Y (s)] =
g(τ )u(t − τ )dτ,
0
dvs. en faltning mellan u(t) och g(t) = L−1 [G(s)].
Funktionen g(t) är systemets viktfunktion.
Med u(t)=δ(t) = (Dirac)puls blir
Z
y(t) =
0
t
g(τ )δ(t − τ )dτ = g(t).
Därför kallas g(t) också för impulssvar.
8 / 16
Poler och nollställen
Att karakterisera systemets beteende
u(t)
G
y(t)
System med överföringsfunktionen G(s)
9 / 16
I
Nollställen: s0 är dess nollställe, om G(s0 ) = 0.
I
Poler: s0 är dess pol, om G(s0 ) är en singulär punkt, dvs.
G(s0 ) = ±∞.
Poler och nollställen
Att karakterisera systemets beteende
u(t)
y(t)
G
System med överföringsfunktionen G(s)
I
Nollställen: s0 är dess nollställe, om G(s0 ) = 0.
I
Poler: s0 är dess pol, om G(s0 ) är en singulär punkt, dvs.
G(s0 ) = ±∞.
I
Om G(s) =
I
I
9 / 16
B(s)
A(s)
är en rationell funktion ges systemets
nollställen av rötterna till
och polerna av rötterna till
B(s) = 0,
A(s) = 0.
Poler och lösning till linjära ODE:er
Att karakterisera systemets beteende
I
Anta system Y (s) = G(s)U (s), där G(s) =
I
Vill ha
Z
t
y(t) =
0
där g(τ ) = L−1 [B(s)/A(s)].
10 / 16
g(τ )u(t − τ )dτ
B(s)
A(s) .
Poler och lösning till linjära ODE:er
Att karakterisera systemets beteende
I
Anta system Y (s) = G(s)U (s), där G(s) =
I
Vill ha
Z
t
y(t) =
0
I
B(s)
A(s) .
g(τ )u(t − τ )dτ
där g(τ ) = L−1 [B(s)/A(s)].
Nämnaren kan alltid faktoriseras med sina rötter/poler:
A(s) = sn + a1 sn−1 + · · · + an
= (s + σ1 ) · · · ((s + σj )2 + ωj2 ) · · ·
där polerna är antingen
I
I
10 / 16
reellvärda: −σ1 , . . .
komplexkonjugerade: −σj ± iωj , . . .
Poler och lösning till linjära ODE:er
Att karakterisera systemets beteende
I
Sätt in A(s) och partialbråksuppdela
G(s) =
I
Bj (s)
B(s)
β1
=
+ ··· +
+ ···
A(s)
s + σ1
(s + σj )2 + ωj2
Så att
Z
y(t) =
0
t
g(τ )u(t − τ )dτ
där inverstransform genom tabell ger
g(t) = β1 e−σ1 t + · · · + bj e−σj t sin(ωj t + ϕj ) + · · ·
I
11 / 16
Linjärkombination av exponentialfunktioner.
Poler och lösning till linjära ODE:er
Att karakterisera systemets beteende
Lösningarna till linjära ODE:er ges i regel som linjärkombinationer
av exponentialfunktioner.
1.8
1.6
e0.2t
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
e−t
e−2t
0
−0.2
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
3
Polernas realdelar σi spelar stor roll.
12 / 16
Stabilitet
Att karakterisera systemets beteende
Definition:
Ett system Y (s) = G(s)U (s) är insignal-utsignalstabilt ifall varje
begränsad insignal u(t) ger en begränsad utsignal y(t).
Signalen x(t) begränsad ⇔ |x(t)| ≤ K för något K.
[Tavla: begränsad viktfunktion + realdel av poler]
13 / 16
Stabilitet
Att karakterisera systemets beteende
Definition:
Ett system Y (s) = G(s)U (s) är insignal-utsignalstabilt ifall varje
begränsad insignal u(t) ger en begränsad utsignal y(t).
Signalen x(t) begränsad ⇔ |x(t)| ≤ K för något K.
[Tavla: begränsad viktfunktion + realdel av poler]
Sats:
Antag G(s) = B(s)/A(s) där gradtal i nämnaren ≥ täljaren och
poler p1 , p2 , . . . , pn
Systemet Y (s) = G(s)U (s) är insignal-utsignalstabilt ⇔
Re{pi } < 0
13 / 16
Poler och nollställen grafiskt
Att karakterisera systemets beteende
Im{s}
Re{s}
G(s) =
14 / 16
B(s)
A(s)
stabilt ⇔ polerna ligger i vänster halvplan
Bygg intuition från enkla system
Ex. #1: Fordon i rörelse
y
Ff r
u
m
Figur : Kraft u(t) och hastighet y(t).
Standardform:
d
y+
dt
C
m
y=
1
m
[Tavla: Poler]
15 / 16
u
Bygg intuition från enkla system
Ex. #2: Dämpare
y
u
Figur : Kraft u(t) och position y(t).
Standardform:
d2
y+
dt2
K
m
y=
[Tavla: Poler]
15 / 16
1
m
u
Bygg intuition från enkla system
Ex. #3: Inverterad pendel
L
y
mg
u
Figur : Vridmoment u(t) och vinkel y(t).
Standardform (kring y ≈ 0):
3g
d2
3
y−
y=
u
dt2
2L
mL2
[Tavla: Poler]
15 / 16
Återblick
16 / 16
I
Överföringsfunktioner som beskrivning av system
I
Poler och nollställen
I
Insignal-utsignalstabilitet