1. No category

Matematikk for IT, høsten 2015
Oblig 2
Løsningsforslag
4. september 2015
2.1.4
A   a, b, c  , B   c, d  og C   a, b, c, d 
Avgjør om en av mengdene er en delmengde til en av de to andre.
Her ser vi at
A  C og B  C
2.1.5
Hvilke påstander er sanne om A   1, 3, 4 .
a) Sann
b) Falsk
c) Sann
d) Falsk
e) Sann
f) Falsk
g) Falsk
h) Falsk
i) Sann
j) Falsk
2.2.1
A   1, 2, 3, 4  og B   3, 4, 5 
a) A  B   1, 2, 3, 4, 5 
b) A  B   3, 4 
c) A  B   1, 2 
d) B  A   5 
2.2.2
Gitt U   1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , A   1, 2, 3, 4 , B   3, 4, 5  og C   1, 2, 7 .
a) ( A  B)  C
Her kan vi først finne A  B :
A  B   1, 2, 3, 4, 5 
Vi finner så snittet mellom denne mengden og C:
( A  B)  C   1, 2 
b) A  ( B  C )
Her er det lurt å først finne B  C :
B  C    
Vi finner så unionen av denne og A:
A  ( B  C )  A   1, 2, 3, 4 
c) A  C
Her finner vi først A :
A   5, 6, 7, 8 
Dette gir
A C  7 
d) ( A  C )  B
Her får vi
A  C   1, 2, 3, 4, 7 
som gir
A C   5, 6, 8 
og følgelig
( A  C)  B   5 
e) ( A  B)  C
Her er
A  B   1, 2, 3, 4, 5 
og følgelig
( A  B)  C   3, 4, 5 
f) (C  B)  A
Her er
C   3, 4, 5, 6, 8 
og derfor
C  B   6, 8 
Videre er
2
A   5, 6, 7, 8 
som følgelig gir
(C  B )  A  
 
2.3.1
A   1, 2, 3  og B   a, b  .
a) A  B  (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)
Oppgave 1
a) Hva kreves for at man skal kunne si at to mengder er like?
For at to mengder skal være like, må de inneholde de samme elementer.
b) Hvilke av disse mengdene er like?
A = {1, 2, 3}
B = {3, 2, 1, 3}
C = {3, 1, 2, 3}
D = {1, 2, 2, 3}
Alle disse mengdene er like.
Oppgave 2
Gitt mengdene A = {0}, B = {1, 2, 3} og C = {2, 3, 5}, samt universet
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Hva er da:
a) A   = {0}
b) A  B = {0, 1, 2, 3}
c) |A| = 1 (antall elementer i mengden A)
d) |B| = 3
e) | B  C| = 4
f)
B  C = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
g) P(C )  ,2, 3, 5, 2, 3, 2, 5, 3, 5, 2, 3,5
h) B  C = {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5)}
3
Oppgave 3
Gitt tre ikke-disjunkte mengder A, B og C (dvs. mengder som har felles elementer, tegnet som
delvis overlappende i et venndiagram). Tegn venndiagram som viser følgende:
a) B – A
A
B
A
B
b) A  B
Vi ser av dette ved å sammenligne med oppgave a), at B  A  A  B .
c) (A  B) – C
B
A
C
4
d) A – (B  C)
B
A
C
e) (A – B)  (A – C)
B
A
C
Vi ser av dette ved å sammenligne med oppgave d, at A – (B  C) = (A – B)  (A – C)
g) A  B  C
B
A
C
5
Oppgave 4
Skriv følgende mengder ved å liste opp deres elementer:
a) A = {n | n er et positivt oddetall mindre enn 10}
A = {1, 3, 5, 7, 9}
b) B = {n | n2 < 5 og n  Z}
B = {–2, –1, 0, 1, 2}
c) C = {1 + (– 1)n | n  N}
C = {0, 2}
d) D = {x  Z | x ≤ 0}  {x  Z | x > 6}
D = {…,-2, -1, 0, 7, 8, 9, …}
Oppgave 5
Benytt Venn-diagram til å diskutere følgende:
a) Anta at B  A. Hva er da A  B?
A
B
Vi ser at dersom B  A, så er A  B = B.
6
b) Anta at B  A. Hva er da A  B?
A
B
Vi ser at dersom B  A, så er A  B = A.
c) Anta at A  B og B  C. Er da A  C?
C
U
B
A
Vi ser at vi da må ha at A  C.
Oppgave 6
Gjør en forenkling av følgende uttrykk ved hjelp av lovene for mengdeteori:
Vær oppmerksom på at det kan finnes andre veier for å komme fram til rett svar enn de jeg
viser her.
a) A  (B – A)
(rett svar: )
Fra oppgave 3b vet vi at
B A A B
Setter vi inn dette, får vi
A  ( A  B)
7
Benytter vi den assosiative lov for snitt, får vi at dette er lik
(A  A )  B
Av inversloven ser vi at uttrykket i parentesen er lik . Får da
B
Benytter vi dominansloven, finner vi at dette er

b) A  B  ( A  B  C )
(rett svar: A  B  C )
Vi benytter først De Morgans lov på den første delen av uttrykket, og får
(A  B )  (A  B C )
For enklere å kunne se det neste trinnet innfører vi nå en hjelpemengde definert ved
D=AB
og kan da skrive uttrykket som (setter inn for A  B to steder):
(D )  (D  C )
Bruker vi så den distributive loven, kan vi skrive dette som
( D  D)  ( D  C )
Bruker vi den kommutative loven på den første parentesen (bytter om på D og D), og deretter
inversloven, finner vi at D  D  U , og vi skriver
U  (D  C )
Identitetsloven sier at en mengde snitt U er mengden selv, så dette kan da skrives
D C
Vi erstatter nå D med A  B og får:
(A  B )  C )
Bruker vi De Morgans lov på den første parentesen, får vi
A B C
som er det søkte svaret.
Ved hjelp av De Morgans lov, kan dette også skrives som
A B C
Oppgave 7
Ved en høyskole ble det foretatt en undersøkelse for å finne ut hvilke av de tre avisene Halden
Arbeiderblad, Dagbladet og VG studentene brukte når de skulle sette opp sine tippesystemer.
Undersøkelse ga følgende resultat:
Av til sammen 100 studenter som satte opp tippesystem, svarte
- 28 at de brukte Halden Arbeiderblad (og evt. en av de to andre avisene)
- 26 at de brukte Dagbladet (og evt. en av de to andre avisene)
- 14 at de brukte VG (og evt. en av de to andre avisene)
- 8 at de brukte både Halden Arbeiderblad og Dagbladet (og evt. en VG)
- 4 at de brukte både Halden Arbeiderblad og VG (og evt. Dagbladet)
- 3 at de brukte Dagbladet og VG (og evt. Halden Arbeiderblad)
- 2 at de brukte alle tre avisene
Her må vi benytte prinsippet for inklusjon og eksklusjon. For tre mengder lyder dette:
|A  B  C| = |A| + |B| + |C| – | A  B| – |A  C| – |B  C| + |A  B  C|
8
Her kan vi definere mengdene HA som mengden av de studenter som benytter Halden
Arbeiderblad, DB som mengden av de som benytter Dagbladet og VG som mengden av de
som benytter VG. Vi kan tegne disse slik:
DB
HA
VG
Vi har da fra oppgaveteksten:
Universet, dvs mengden av alle de 100 studentene som satte opp tippesystem:
|U| = 100
De som brukte HA:
|HA| = 28
De som brukte Dagbladet:
|DB| = 26
De som brukte VG:
|VG| = 14
De som brukte både HA og Dagbladet:
|HA  DB| = 8
De som brukte både HA og VG:
|HA  VG| = 4
De som brukte både Dagbladet og VG:
|DB  VG| = 3
De som brukte alle tre avisene
|HA  DB  VG| = 2
a) Hvor mange av studentene brukte minst én av avisene?
DB
HA
VG
9
|HA  DB  VG| =
|HA| + |DB| + |VG| - |HA  DB| - |HA  VG| - |DB  VG| + |HA  DB  VG| =
28 + 26 + 14 – 8 – 4 – 3 + 2 = 55
b) Hvor mange av studentene satte opp sitt tippesystem uten å bruke noen av de tre avisene?
DB
HA
VG
Mengden av studenter som ikke brukte aviser, er gitt ved
HA  DB  VG  U  ( HA  DB  VG)
Kardinaliteten til denne mengden, er gitt ved
HA  DB  VG 
U  ( HA  DB  VG) 
100 – 55 = 45
c) Hvor mange studenter brukte både Halden Arbeiderblad og Dagbladet, men ikke VG?
DB
HA
VG
10
Kardinaliteten er her gitt ved
|(HA  DB)| – |HA  DB  VG| =
8–2=6
d) Hvor mange av studentene brukte både Dagbladet og VG, men ikke Halden Arbeiderblad?
DB
HA
VG
|(VG  DB)| – |HA  DB  VG| =
3–2=1
e) Hvor mange av studentene brukte Dagbladet, men ingen av de to andre avisene?
DB
HA
VG
|DB| – |(HA  DB)| – |(VG  DB)| + |HA  DB  VG| =
26 – 8 – 3 + 2 = 17
11