1. No category

Kompendium
for
LEI102 Matematikk
Petter N. Sæterdal
28. oktober 2015
Kompendium for matematikk LEI102
side 1/49
Forord
Dette kompendiet er skrevet for studentene på linjen "Landmåling og eiendomsdesign" ved
Høgskolen i Bergen. Mange av studentene har lite matematikk fra videregående skole, kanskje bare
matematikk fra første året ved vidreregående. Pensumet som vi presenterer i dette kurset går delvis
utenfor det som er undervist i videregående skole på andre- og tredje året. Da er det særlig
elementer fra linær algebra, statistikk og regresjon jeg tenker på. Men også et fokus på øvelser i
trigonomtri og polarkoordinater som er mer fyldig enn det som er vanlig i videregående skole.
Kompendiet er skrevet med OpenOffice 3.4.1
Gangetegnet · er skrevet med Alt250
Grader ° er skrevet med Alt248
Matriser er skrevet i formeleditor ved f.eks. E = left[ matrix {1#2##3#4 } right]
Som skilletegn inni en formel har jeg brukt tilde-tegnet ~ som kommer ved AltGr~ og så SPACE.
Inni formeleditor for matriser har jeg brukt tegnet Alt196 ─ fordi vanlig minustegn virker dårlig.
Dette er særlig sammen med høyrejustering av tallene i matrisen slik matrix{ ─5## alignr 3}
Alt246 ÷ har også vært brukt som minustegn.
Pilen i vektortegnet a⃗ er laget i formeleditoren og skrives vec a.
Det spesielle krysset som er brukt ved kryssprodukt er Alt0215 ×
Hevet skrift i teksten slik som dette er gjort med Ctrl+Alt+P.
Partiell derivasjon: Tegnet ∂ er skrevet med koden partial i formeleditoren.
Integraltegnet ∫ er skrevet med koden int i formeleditoren.
Kompendium for matematikk LEI102
side 2/49
Innhold
1 Matriser................................................................................................................4
1.1 Addisjon og subtraksjon.......................................................4
1.2 Transponering......................................................................4
1.3 Multiplikasjon.......................................................................5
1.4 Determinant .........................................................................6
1.5 Invers....................................................................................6
1.5.1 Cramers Rule........................................7
1.5.2 Gaussisk eliminasjon.............................9
1.5.3 Cholesky ............................................10
1.6 Ligninger på matriseform...................................................11
1.6.1 Likt antall ligninger og ukjente...........11
1.6.2 Flere ligninger enn ukjente.................12
2 Trigonometri.......................................................................................................13
2.1 Vinkler.................................................................................13
2.2 Trekanter.............................................................................13
2.3 Funksjonene sinus, cosinus og tangens..............................16
2.4 Historisk.............................................................................17
3 Polarkoordinater.................................................................................................18
4 Koordinatsystemer.............................................................................................22
5 Arealberegning...................................................................................................23
6 Rette linjer..........................................................................................................24
6.1 Den rette linjen...................................................................24
6.2 Skjæring mellom to rette linjer...........................................25
7 Vektorer..............................................................................................................26
8 Teknisk tegning..................................................................................................29
8.1 Isometrisk...........................................................................29
8.2 Oblique
..................................................................................................29
9 Statistikk.............................................................................................................30
9.1 Standardavvik.....................................................................30
9.2 Linær Regresjon.................................................................31
9.3 Vektet gjennomsnitt.............................................................32
10 Derivasjon........................................................................................................33
10.1 Notasjon............................................................................33
10.2 Grunnleggende om derivasjon.........................................33
10.3 Derivasjonsregler.............................................................34
10.4 Partiell derivasjon............................................................36
10.5 Antiderivert eller integrasjon...........................................38
11 Øvingsoppgaver...............................................................................................39
12 Fasit til øvingsoppgavene.................................................................................45
Kompendium for matematikk LEI102
side 3/49
1 Matriser
1.1 Addisjon og subtraksjon
For at man skal kunne addere eller subtrahere matriser må de ha samme dimensjon.
Ulovlige operasjoner vil være f.eks
A+C og
M+E
Eksempel 1:
A=[ 1 2 ]
Eksempel 2:
C= 1
2
Eksempel 3:
E= 1 2
3 4
Eksempel 4:
G= 5 6
7 12
[ ]
E= 1 2
3 4
Eksempel 5:
1 2
M= 5 6
7 8
[ ]
1 2
N= 3 4
0 1
[]
[ ]
B=[ 3 4 ]
A+B=[ 1+3 2+4 ]=[ 4 6 ]
[]
[ ][]
D= 3
4
C+D= 1+3 = 4
2+4
6
[ ]
F= 5 6
7 8
[ ]
[ ]
[
][
E+F = 1+5 2+6 = 6 8
3+7 4+8
10 12
]
[
][ ]
[
][ ]
G−E= 5−1 6−2 = 4 4
7−3 12−4
4 8
1+1 2+2
2 4
M +N = 5+3 6+4 = 8 10
7+0 8+1
7 9
1.2 Transponering
Når matrisen transponeres blir den liksom både speilvendt og "veltet". En transponert matrise kan
skrives med symbolet T slik at AT er den transponerte av A.
Eksempel 1:
A=[ 1 2 ]
Eksempel 2:
D= 3
4
Eksempel 3:
E= 1 2
3 4
Eksempel 4:
1 2
M= 5 6
7 8
[]
[ ]
[ ]
Kompendium for matematikk LEI102
[]
AT = 1
2
DT =[ 3 4 ]
[ ]
[ ]
ET = 1 3
2 4
M T= 1 5 7
2 6 8
side 4/49
1.3 Multiplikasjon
Når to matriser multipliseres skal antallet kolonner i den første være likt med antallet rader i den
andre. Det er det eneste kravet til dimensjon. Resultatet blir en matrise som har like mange rader
som den første og like mange kolonner som den andre.
Legg spesielt merke til AD som ikke er lik DA.
Eksempel 1:
A=[ 1 2 ]
Eksempel 2:
D= 3
4
Eksempel 3:
E= 1 2
3 4
[]
D= 3
4
[]
] [ ]
[]
[
] [ ]
H= 5
6
E · H = 1· 5+2· 6 = 17
3 · 5+4 · 6
39
[ ]
J · E=[ 5 · 1+6 · 3 5 · 2+6 · 4 ] = [ 23 34 ]
E= 1 2
3 4
J =[ 5 6 ]
[ ]
1 2
M= 5 6
7 8
Eksempel 5:
[
DA= 3· 1 3 · 2 = 3 6
4 · 1 4· 2
4 8
A=[ 1 2 ]
[ ]
Eksempel 4:
AD=[ 1 · 3+2 · 4 ] = [ 3+8 ] = [ 11 ]
[]
1
C=
2
[
] []
1 · 1+2 · 2
5
MC = 5· 1+6 · 2 = 17
7· 1+8 · 2
23
Eksempel 6:
[
S= 3 5 7
4 6 8
A=[ 1 2 ]
]
AS=[ 1· 3+2 · 4 1 · 5+2· 6 1· 7+2 · 8 ] = [ 11 17 23 ]
Eksempel 7:
[
1 3 0
N =
2 4 1
T
]
[ ]
1 2
N= 3 4
0 1
[
T
N N=
] [
1 · 1+3 · 3+0 · 0 1 · 2+3· 4+0 · 1
10 14
=
2 · 1+4 · 3+1· 0 2 · 2+4 · 4+1 · 1
14 21
Eksempel 8:
[ ]
1 2
M= 5 6
7 8
[
] [ ]
1 ·1+2 · 3 1 · 2+2 · 4
7 10
ME = 5 · 1+6 · 3 5· 2+6 · 4 = 23 34
7 · 1+8 · 3 7· 2+8 · 4
31 46
[ ]
E= 1 2
3 4
Matrisen kan også multipliseres med en konstant. Da blir hvert tall i matrisen multiplisert likt:
[ ]
E= 1 2
3 4
k =5
kE =
Kompendium for matematikk LEI102
[
5 10
15 20
]
side 5/49
]
1.4 Determinant
Determinanten kan bare regnes fra matriser som er kvadratiske.
Eksempel med 2x2 matrise:
[ ]
E= 1 2
3 4
det( E) = det( 1 2 )
3 4
kan også skrives
∣13 24∣ = 1· 4−2· 3 = 4−2 = 2
Eksempel med 3x3 matrise:
[
1
Q= 4
7
3
6
9
−2
5
8
]
det(Q) = 1·5·9 + (-2)·6·7 + 3·4·8 -1·6·8 - (-2)·4·9 - 3·5·7 = -24
Ved beregning av determinanter kan det være nyttig å skrive matrisen på denne formen:
[
1
4
7
−2
5
8
3
6
9
1
4
7
−2
5
8
]
Da kan man regne slik at tallene 1·5·9 + (-2)·6·7 + 3·4·8 adderes positivt,
[
1
4
7
−2
5
8
3
6
9
1
4
7
−2
5
8
]
mens tallene – (3·5·7) - (1·6·8) -(-2·4·9) subtraheres (eller adderes med negativt fortegn).
1.5 Invers
Invers kan i likhet med determinant bare regnes fra matriser som er kvadratiske. Men ikke alle
matriser har en invers. F.eks. hvis determinanten til en matrise er lik null, da har matrisen ikke en
invers. En matrise med determinant lik null kalles en singulær matrise.
[ ]
A= 1 4
2 7
[
4
B= ─ 7
2 ─1
]
Siden matrisene A og B er inverse kan de multipliseres AB = BA = I =
[ ]
1 0
0 1
Matrisen I med diagonal som består av 1'tall og ellers bare nuller
kalles for en identitetsmatrise.
På de neste sidene vil jeg gjennomgå noen metoder for invertering av matriser. Metodene er nevnt i
historisk kronologisk rekkefølge, Cramers Rule fra 1700-tallet, Gaussisk eliminasjon fra ca. 1800
og Cholesky's algoritme fra ca. 1900.
Kompendium for matematikk LEI102
side 6/49
1.5.1
Cramers Rule
Gabriel Cramer (1704-1752)
Jeg vil gjennomgå to metoder for beregning av inverse matriser.
Den første metoden kalles "Cramers Rule". Hvis man leser om dette finner man også uttrykk som
"Cofactor expansion rule" og "cofactor matrix". Jeg skal vise to eksempler med invertering av
matriser, én 2x2 matrise og én 3x3 matrise. Jeg starter med matrisen A:
[ ]
[
A= 1 4
2 7
C=
7 ─2
─4
1
]
adjungert = C T =
[
]
7 ─4
─2
1
Matrisen C kalles cofactor-matrisen. Denne forståes slik at man dekker over med et kryss den raden
og kolonnen som man beregner. Jeg starter med å beregne 1. rad og 1. kolonne. Derfor har jeg
dekket over med et svart kryss i A-matrisen den posisjonen i C-matrisen som jeg holder på å
beregne. Da ser vi at 7-tallet står udekket i A-matrisen. Dette fører vi inn på den første plassen i Cmatrisen. I C-matrisen er annenhver celle negativ liksom i et sjakkbrett.
[ ]
[ ]
[ ]
A= 1 4
2 7
A= 1 4
2 7
[
C=
[
T
Den adjungerte ajd (A)=C =
A= 1 4
2 7
7 ─2
─4
1
7 ─4
─2
1
]
]
[ ]
A= 1 4
2 7
[
C= positiv negativ
negativ positiv
]
vil være den transponerte av C-matrisen.
Den inverse kan nå beregnes ved å dividere den adjungerte matrisen med determinanten til A.
A−1 = adjA ·
1
detA
Jeg beregner determinanten til A
detA = 7·1 – 4·2 = -1
og vi kan beregne den inverse etter formelen for A-1 som er vist ovenfor
[
2
A−1= ─ 7
4 ─1
]
Kompendium for matematikk LEI102
side 7/49
Ved invertering av 3x3 matrise blir metoden "Crames Rule" litt vanskeligere og vi bruker blant
annet determinanter inni matrisen. Jeg bruker matrisen Q som ble vist på siden om determinanter.
[
1
Q= 4
7
−2
5
8
3
6
9
]
[
positiv negativ positiv
C= negativ positiv negativ
positiv negativ positiv
Tar også hensyn til positive og negative
]
Cellen C11 beregnes ved determinanten til de tallene i Q som ikke er dekket over.
[ ] [
[ ] [
[ ] [
[ ] [
[ ] [
[ ] [
[ ] [
[ ] [
[ ] [
C 11 · ·
C=
· · ·
· · ·
1
Q= 4
7
C 11 C 12 ·
C=
·
· ·
·
· ·
1
Q= 4
7
]
]
3
6
9
−2
5
8
−2
5
8
[
─3 · ·
C=
· · ·
· · ·
C 11=det ( 5 6) = 5·9-6·8 = -3
8 9
3
6
9
[
C 12=det ( 4 6 ) = 4·9-6·7 = -6
7 9
]
]
]
]
]
]
]
C=
[
[
]
─3 6 ·
· · ·
· · ·
]
]
]
]
]
]
]
]
C 11 C 12 C 13
·
·
·
·
·
·
1
Q= 4
7
−2
5
8
3
6
9
C 11 C 12 C 13
C= C 21
·
·
·
·
·
1
Q= 4
7
−2
5
8
3
6
9
C 11 C 12 C 13
C= C 21 C 22
·
·
·
·
1
Q= 4
7
−2
5
8
3
6
9
=> 1·9-3·7 = -12
C 11 C 12 C 13
C= C 21 C 22 C 23
·
·
·
1
Q= 4
7
−2
5
8
3
6
9
=> 1·8 - (-2)·7 = 22
─3
6 ─3
C= 42 ─ 12 ─ 22
·
·
·
C 11 C 12 C 13
C= C 24 C 25 C 26
C 31
·
·
1
Q= 4
7
−2
5
8
3
6
9
=> (-2)·6 - 3·5 = -27
─3
6 ─3
C= 42 ─ 12 ─ 22
─ 27
·
·
C 11 C 12 C 13
C= C 21 C 22 C 23
C 31 C 32
·
1
Q= 4
7
−2
5
8
3
6
9
=> 1·6 - 3·4 = -6
C=
─3
6 ─3
42 ─ 12 ─ 22
─ 27
6
·
C 11 C 12 C 13
C= C 21 C 22 C 23
C 31 C 32 C 33
1
Q= 4
7
−2
5
8
3
6
9
=> 1·5 - (-2)·4 = 13
C=
─3
6 ─3
42 ─ 12 ─ 22
─ 27
6
13
C=
Kompendium for matematikk LEI102
=>
C=
4·8-5·7 = -3
─3 6 ─3
· ·
·
· ·
·
─3 6 ─3
C= 42 ·
·
· ·
·
=> -2·9-3·8 = -42
[
[
[
[
[
─3
6 ─3
C= 42 ─ 12
·
·
·
·
side 8/49
[
[
C=
Matrisen C kalles "cofactor-matrisen".
T
Adj(Q) = C =
Denne skal transponeres og kalles den adjungerte:
A−1 = adjA ·
Nå gjenstår kun å beregne
]
]
─3
6 ─3
42 ─ 12 ─ 22
─ 27
6
13
─3
42 ─ 27
6 ─ 12
6
─ 3 ─ 22
13
1
detA
Determinanten til Q ble beregnet til 24 (under avsnittet "Determinant").
Q−1 = adjQ ·
1.5.2
1
24
[
=
]
─3
42 ─ 27
1
6 ─ 12
6 ·
24
─ 3 ─ 22
13
=
[
─ 0.125
1.75 ─ 1.125
0.25
─ 0.5
0.25
─ 0.125 ─ 0.91667 0.54167
]
Gaussisk eliminasjon
Johann Carl Friedrich Gauß (1777-1855)
Den andre metoden for invertering av matriser kalles "Gaussisk eliminasjon". Jeg starter med å
skrive opp matrisen A (fra forrige eksempel) og til høyre for denne har jeg skrevet en
identitetsmatrise. Deretter må man flytte på tallene slik at man ender opp med identitetsmatrisen på
venstre side. For hver ------- skillestrek har jeg regnet etter gitte regler.
Dette er reglene:
Alle tallene i en linje kan multipliseres med ett valgt tall.
To linjer kan adderes eller subtraheres som om hver linje var en matrise.
Det er også lovlig å rokkere to linjer, dvs. at de bytter plass.
1 4
1 0
2 7
0 1
------------2 8
2 0
2 7
0 1
------------2 8
2 0
0 1
2 -1
------------2 8
2 0
0 8
16 -8
------------2 0
-14 8
0 8
16 -8
------------1 0
-7 4
0 1
2 -1
·2
L1-L2
·8
Jeg velger å starte med å gange første linje med 2 fordi
da får man to 2-tall over hverandre. Slik planlegger jeg den andre
operasjonen som er L1-L2, for slik har jeg en plan for å få et
0-tall som første tall i den andre linjen. Det neste jeg gjør er å se på
andre kolonne. Der har vi nå tallene 8 og 1. Da tenker jeg at hvis jeg
ganger den andre linjen med 8 vil jeg få
L1-L2
to 8-tall over hverandre.
Slik at det øverste 8-tallet kan bli til null ved L1-L2.
/2
/8
Så har jeg delt begge linjene på 2 og
8 slik at vi ender med
identitetsmatrisen lengst til venstre.
Tallene som står lengst til høyre nå er den inverse matrisen.
I det neste eksemplet vises invertering av en 3x3 matrise med Gaussisk eliminasjon. For å unngå
brøker eller desimaler velger jeg å multiplisere opp tallene til minste felles multiplum. Vi starter med
matrisen som som skal inverteres i venstre kolonne og setter en identitetsmatrise til høyre. Deretter
Kompendium for matematikk LEI102
side 9/49
gjøres linjeoperasjoner helt til vi har identitetsmatrisen til venstre og den inverse til høyre.
2
5
2
-2
0
1
3
4
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
*5
*2
*5
10
10
10
-10
0
5
15
8
5
5
0
0
0
2
0
0
0
5
L2-L1
L3-L1
10
0
0
-10
10
15
15
-7
-10
5
-5
-5
0
2
0
0
0
5
/5
*3
*2
2
0
0
-2
30
30
3
-21
-20
1
-15
-10
0
6
0
0
0
10
/3
L3-L2
2
0
0
-2
10
0
3
-7
1
1
-5
5
0
2
-6
0
0
10
*7
2
0
0
-2
10
0
3
-7
7
1
-5
35
0
2
-42
0
0
70
L2+L3
2
0
0
-2
10
0
3
0
7
1
30
35
0
-40
-42
0
70
70
L1*5 + L2
/10
/7
10
0
0
0
1
0
15
0
1
35
3
5
-40
-4
-6
70
7
10
L1-L3*15
10
0
0
0
1
0
0
0
1
-40
3
5
50
-4
-6
-80
7
10
1
0
0
0
1
0
0
0
1
-4
3
5
5
-4
-6
-8
7
10
1.5.3
/10
Cholesky
André-Louis Cholesky (1875-1918)
Metoden Gaussisk eliminasjon er videre studert og bearbeidet av den polsk-franske matematiker og
landmåler Cholesky og kalles gjerne Cholesky's algoritme eller "Cholesky's decomposition" som
kan brukes ved programmering av matriseinvertering. Dette nevner jeg bare i dette kompendiet slik
at interesserte har et navn som lenke til videre studier.
Kompendium for matematikk LEI102
side 10/49
1.6 Ligninger på matriseform
Jeg vil vise eksempler på ligninger med to- og flere ukjente og hvordan disse kan skrives på
matriseform. Vanligvis vil jeg kalle matrisene i slike ligninger for A, x og L, der x er en vektor som
inneholder de ukjente. Vi starter med et eksempel med to ligninger med to ukjente.
1.6.1
Likt antall ligninger og ukjente
2x + 3y = 4
5x + 6y = 7
Ligningene er ordnet slik at x og y står ordnet i to kolonner på venstre side av likhetstegnet.
A =
Jeg sett inn tallene i A og L matrisen slik:
[ ]
2 3
5 6
Ax = 2 3
5 6
Vi ser at venstre side av ligningen kan skrives som:
Derfor kan ligningene skrives på matriseformen:
[]
[ ][ ] [
x =
x
y
[]
4
7
L =
x = 2x+3y
y
5x+6y
]
Ax = L
Når ligningen skal løses må som vanlig x komme alene på venstre side. Ved matriseregning kan
man ikke dividere på hver side med A, men man kan multiplisere med invers A på hver side slik:
A−1 Ax = A−1 L
−1
A A blir en identitetsmatrise I .
−1
A A = I
[ ][ ] [
Ix = x
Ix = 1 0
0 1
Dermed kan man skrive:
x = A−1 L
[
][ ] [
A−1 =
Den inverse til A må beregnes:
[
─2
1
4 =
x = A L =
5
2
─
7
3
3
−1
Jeg vil vise en kontroll av x:
Kompendium for matematikk LEI102
[ ][ ] [
─2
5
3
] []
x = 1x+0y =
y
0x+1y
x
y
]
1
−2
3
] [ ]
─ 2 · 4+1 · 7
−8+7
= 20 14 = ─ 1
5
−2
· 4+
·7
−
2
3
3
3
3
] []
Ax = 2 3 ─ 1 = 2 ·(─ 1)+3 · 2 = 4
5 6
2
5·( ─1)+6 · 2
7
[ ]
som er lik L
side 11/49
1.6.2
Flere ligninger enn ukjente
[ ]
x= ■
■
L= ■
■
[ ]
x= ■
■
■
L= ■
■
Vi kan tenke oss at matrisene på forrige side så slik ut:
A= ■ ■
■ ■
Hvis vi har tre ligninger med to ukjente vil matrisene se slik ut:
■ ■
A= ■ ■
■ ■
[]
[]
[]
[]
Men denne A-matrisen er ikke kvadratisk og derfor ikke inverterbar.
For å få x alene på venstre side kan man følge denne metoden:
Ax= L
AT A x=AT L
man multipliserer med AT på hver side
(AT A)−1 AT A x =( AT A)−1 AT L
man multipliserer med
x=( AT A)−1 AT L
legg merke til at
(ATA)-1 på hver side
(ATA)-1 · ATA = I
Eksempel:
x + 2y = 10
x + 3y = 12
x + 4y = 14
1x + 2y = 10
1x + 3y = 12
1x + 4y = 14
Først må vi skrive
det usynlige 1-tallet
[ ]
1 2
A= 1 3
1 4
Så skriver vi ligningene på matriseform Ax=L:
][
]
1 2
1
1
1
3 9
A A =
1 3 =
2 3 4
9 29
1 4
T
[
[]
10
L= 12
14
[]
x= x
y
][
]
10
1
1
1
36
A L=
12 =
2 3 4
112
14
[ ]
T
[
[ ]
Invers ATA beregnes med Cramers Rule:
Beregner determinant av ATA:
det(ATA) = 3·29 – 9·9 = 6
Beregner cofaktormatrisen
C =
Beregner den adjungerte
Adjungert = C T =
T
(A A)
Beregner den inverse
[
[] []
Beregner x=(AT A)−1 AT L
Resultatet er ⃗x =
−1
][ ]
1 29 ─ 9 36
6 ─9
3 112
=
[
29 ─ 9
─9
3
T
]
]
]
] [ ] []
Adjungert ( A A)
=
=
T
Determinant ( A A)
[
[
[
29 ─ 9
─9
3
29 ─ 9 · 1
─9
3 6
1
29 · 36 ─ 9· 112 = 1 36 = 6
6 (─ 9)· 36+3· 112
6 12
2
x = 6
y
2
Kompendium for matematikk LEI102
side 12/49
2 Trigonometri
2.1 Vinkler
Lengden av buen langs en halv sirkel er omtrent 3.14 ganger radiusen (R).
R
Tallet 3.141592654osv.. kalles π og skrives som pi() eller pi i regneark og andre dataprogrammer.
En vinkel tilsvarer størrelsen på et kakestykke. I eksemplet til høyre har jeg skåret ut en firedel av
en kake. En slik vinkel kan beskrives ved radianer, grader eller gon.
Radianer:
Halve sirkelen kalles π
Kakestykket er
π/2
Grader:
Halve sirkelen er 180°
Kakestykket er 180°/2 =
90°
Gon:
Halve sirkelen er 200 gon
Kakestykket er 200 gon/2 = 100 gon
Vinkelen på tegningen under er omtrent en tredel av den som er tegnet ovenfor,
altså 90°/3 = 30°. I skolematematikken er det vanlig at vinkler tegnes slik at de går mot urviseren,
slik som man løper på en idrettsbane. Men i landmåling er dette ofte annerledes, slik at vinkler
tegnes med urviseren.
Buen b
Radius R
Vinkel α
(gresk tegn = alfa)
Forholdet er slik:
med ord:
α=b/R
vinkel = bue / radius
b
α
R
Eksempel:
Buen b på tegningen er målt til 16 millimeter. Radius er målt til 30 millimeter.
Da er vinkelen
αrad
= b/R = 16/30
= 0.533 radianer
Det kan omregnes til grader:
αgrader
Omregning til gon:
αgon
· 180/π
= αrad · 200/π
= αrad
= 30.588°
= 33.953 gon
γ
2.2 Trekanter
Jeg kaller sidene for a b c og vinklene for α β γ (alfa beta gamma)
Bokstaven gamma tilsvarer ikke en c, men gamma er den tredje bokstaven
i det greske alfabetet. Jeg pleier å skrive vinkelen a på motsatt side av
trekantes side a. Tilsvarende med de andre vinklene og sidene.
b
a
α
β
c
Kompendium for matematikk LEI102
side 13/49
En rett vinkel i en trekant,
dvs 90°, tegnes gjerne med
et kvadratisk symbol.
b
Når en trekant inneholder en rett vinkel slik som denne kan man
kalle den lengste siden, c for hypotenusen. De to andre sidene, a
og b kalles for kateter.
a
Sammenhengen mellom disse lengdene er
Pytagoras sin læresetning:
2
2
a +b =c
c
2
Forholdet mellom sidelengdene og vinklene kan skrives med funksjoner som kalles sinus, cosinus
og tangens.
Disse forkortes til sin, cos, tan.
sinus til en vinkel =
motstående katet
hypotenusen
I trekanten som er tegnet til høyre:
sinus til β =
Dette kan skrives slik:
sinβ =
eller slik:
sin(β) =
b
c
c
b
c
b
c
b
β
a
cosinus til en vinkel =
som kan skrives slik:
hosliggende katet
hypotenusen
cos β =
b
a
c
a
β
c
motstående katet
tangens til en vinkel =
hosliggende katet
som kan skrives slik:
tan β =
b
a
Til høyre på denne siden har jeg tegnet trekanter på to forskjellige måter.
Som landmåler må man øve på begge disse trekantene.
Kompendium for matematikk LEI102
side 14/49
De inverse funksjonene til sinus kalles arc sinus, arcus sinus, asin arcsin eller sin-1 eller invers.sinus.
Det er tilsvarende navn for invers cosinus- og tangensfunksjon.
Ordet arcus er latin og betyr bue.
Når man kjenner tallverdien av f.eks. sinβ kan man beregne β ved den inverse sinusfunksjonen.
b
b
sinβ =
β = asin( )
=>
c
c
Når man bruker den inverse sinus-, cosinus-, eller tangensfunksjonen må man også være
oppmerksom på om vinkelen β skal vises i radianer, grader eller gon. Regneark og
beregningsprogrammer på datamaskin vil som regel ha radianer som standard. Derfor må vinkelen
omregnes til grader ved β·180/π og til gon ved β·200/π.
For alle trekanter, både med og uten en rett vinkel i trekanten beskriver
sinussetningen og cosinussetningen forholdet mellom vinklene og
sidelengdene i trekanten.
Sinussetningen
sin β
sin γ
sin α
=
=
a
b
c
Cosinussetningen
a 2 = b 2+c2 −2bc cos α
γ
b
a
α
β
c
Eksempel 1:
a
= 65.953 gon
a
= 54 mm
b
= 62 mm
Vi skal beregne vinkel β
sin β
sin α
=
a
b
sin α
b
a
sinβ =
β = asin(
sin α
b)
a
β = asin(
sin (65.953 gon)
· 62 mm)
54 mm
β = 90.057 gon
Eksempel 2:
2
2
2
α
= 65.953 gon
b
= 62 mm
c
= 40 mm
Vi skal beregne vinkel β
a = b +c −2bc cos α
Nå er det umulig med
sinussetningen.
Så kan man bruke sinussetn.
slik som den er utledet i
eksempel 1.
a =
√( b2+c 2−2bc cos α)
sinβ =
Kompendium for matematikk LEI102
sin α
b
a
a=√( 62 +40 −2 · 62· 40· cos (65.953))
2
2
a = 54.000
β = asin(
sin (65.953 gon)
· 62 mm)
54 mm
β = 90.057 gon
side 15/49
2.3 Funksjonene sinus, cosinus og tangens
Sinus, cosinus og tangens er funksjoner som er så kompliserte at man vanligvis aldri beregner dem
selv, men lar kalkulator eller et program f.eks. i datamaskinen gjøre det for oss. Vi sender et tall til
funksjonen, tallet behandles, og vi mottar et nytt tall tilbake fra funksjonen. Man sier at funksjonen
har ett argument. Argumentet er det tallet man sender inn til funksjonen og resultatet er det tallet
som kommer tilbake. På denne måten kan begrepet argument minne om slik det brukes i dagligtale.
Da kaster man et argument inn i en sak og resultatet kan bli at argumentet får bedydning for
avgjørelser som tas i saken.
Noen av de matematiske funksjonene kan ha flere argumenter. De enkleste eksemplene kan være
addisjon og subtraksjon. Ved addisjon "kaster" man to eller flere tall inn i addisjons-funksjonen og
så kommer resultatet tilbake og kalles summen. Multiplikasjon og divisjon kan også forståes som
funksjoner der man "kaster" inn to tall og da kalles resultatet hhv. produkt og dividend.
Tangensfunksjonen er litt annerledes enn sinus og cosinus fordi den egentlig også er en funksjon
med to argumenter. I sin enkleste form, slik den er på en vanlig kalkulater, er den bare en funksjon
med ett tall som argument; Argumentet er motsående katet dividert på hosliggende katet.
Tangensfunksjonen gjelder kun for vinkler mellom 0 og π. Men i landmåling bruker man stadig
retningsvinkler mellom 0 og 2π og da er ikke tangensfunksjonen alene god nok. Da bruker man en
utvidet tangensfunksjon som finnes i alle avanserte kalkulatorer og i regneprogrammer på
datamaskin. Denne utvidede tangensfunksjonen kalles atan2 og blir omtalt senere. Den har to
argumenter slik at både hosliggende katet og motstående katet er argumenter i funksjonen.
I figuren under har jeg vist sinusfunksjonens forløp med vinkler fra 0 til 2π . Figuren til venstre
viser vinkelen α. Vi ser at dette er en vinkel som er litt mindre enn π/2, eller litt mindre enn 90°.
α
α
1
π
2π
vinkel
-1
I figuren til høyre ser vi også vinkelen α, men da er den tegnet langs en akse som går mot høyre.
Sinusfunksjonen har tall fra 0 til 2π som argument og resultatet er et tall mellom -1 og 1. Man kan
også legge inn argumenter som er større enn 2π i sinusfunksjonen, men det betyr bare at man har
startet på en ny runde. Resultatet blir likevel et tall mellom -1 og 1.
Cosinusfunksjonen er nesten lik sinusfunksjonen,
men kun med den forskjell at cosinusfunksjonen
starter med 1 som resultat når argumentet er null.
Og når sinusfunksjonen har 1 som resultat, da har 1
cosinusfunksjonen null som resultat.
α
π
2π
vinkel
-1
Kompendium for matematikk LEI102
side 16/49
2.4 Historisk
I 1970-årene ble det vanlig med kalkuatorer, så før den tid hadde man tabeller eller regnestaver eller
andre metoder for å beregnede trigonometriske funksjonene. Når vi trykker på sinus og cosinus på
en kalkulator eller hver gang denne funksjonen kjøres i en datamaskin må vi være klar over hvilken
omfattende historie som ligger bak disse funksjonene og hvilken beregning som landmålerne før oss
hadde i det daglige arbeidet. Det var helt vanlig frem til 1980-årene at landmålerne gjorde lite
arbeid ute om vinteren, ikke bare fordi snøen lå over alle fastmerker, grensemerker og andre punkt i
terrenget, men også fordi man f.eks. i Jordskifteverket brukte hele sommersessongen til målearbeid
og vinteren til beregningsarbeid. En av mine kolleger i Jordskifteverket sa en gang at det var ikke
datamaskinen som var den største "nyvinningen" i arbeidet, men kalkulatoren. Da tenkte han særlig
på funksjonene sinus, cosinus, tangens og de inverse trigonometriske funksjonene.
Man kan lese om greske, indiske, islamske, kinesiske og europeiske matematikere som har engasjert
seg i arbeidet med å definere de trigonometriske funksjonen gjennom de siste 2000 år. Til slutt kom
europeerne. Kjente folk som Copernicus, Newton, Euler, Taylor og Maclaurin har arbeidet med
dette. Beregningen av de trigonometriske funksjonen kan gjøres som rekker og følger disse
formlene:
sin x = x−
x3 x5 x 7
+ − +· ·· ·
3! 5! 7 !
cos x = 1−
x 2 x 4 x6
+ − +·· · ·
2! 4 ! 6!
Utropstegnet i nevneren (!) kalles for fakultet. Det beregnes slik:
3! = 1·2·3 = 6
4! = 1·2·3·4 = 24
5! = 1·2·3·4·5 = 120
Tangensfunksjonen er beskrevet på flere måter, blant annet disse:
(a)
1 3 2 5 17 7 62 9
tan x = x+ x + x +
x+
x +· ·· · gjelder for vinkler fra 0 til 90°.
3
15
315
2835
tan x =
(b)
x
1
−
x
1
3
−
x
1
5
1
−
x
7
1
−
x
· ··
vinkel
De to funksjonene (a) og (b) har jeg testet i et regneark.
-1
I andre kolonne "tangens" har jeg brukt den innebygde
-0,8
funksjonen =tan(x) i regnearket og i kollonnen (a) har jeg
-0,6
brukt nøyaktig slik som formelen er vist ovenfor. Mens i
-0,4
kolonnen (b) har jeg gått videre til 9 slik som i (a).
Ut fra dette ser jeg at formelen (b) kanskje blir regnet litt
mer presis enn formelen (a). Men i begge tilfeller
konkluderer jeg med at de som har programmert
regnearket har brukt flere iterasjoner enn 9.
Kompendium for matematikk LEI102
tangens
-1,557408
-1,029639
-0,684137
-0,422793
-0,2 -0,202710
(a)
-1,542504
-1,028611
-0,684099
-0,422793
-0,202710
(b)
-1,557407
-1,029640
-0,684137
-0,422793
-0,202710
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,202710
0,422793
0,684099
1,028611
1,542504
0,202710
0,422793
0,684137
1,029640
1,557407
0,202710
0,422793
0,684137
1,029639
1,557408
side 17/49
3 Polarkoordinater
Nord
Punktet p i koordinatsystemet kan beskrives med
rettvinkelkoordinater eller med polarkoordinater.
E
N
φ
Når punktet beskrives med rettvinkelkoordinater er det
med lengden N langs Nord-aksen og
lengden E langs Øst-aksen.
p
D
Øst
De polare koordinatene for p er
retningsvinkelen φ og avstanden D.
Vi har altså fire størrelser som kan beskrive et punkt:
NE
eller
φD
Nord
Øst
Nord
Øst
10 timer eller
333 gon
For de fleste vil det være begrepet retningsvinkel som trenger
mest forklaring. Når vi bruker utrykket retninger eller
retningsvinkler snakker vi også om vinkler, men da er det
relatert til et referansesystem. Den lange i pilen i tegningen til
venstre har en retningsvinkel på omtrent 50 gon og da er
retningsvinkelen i forhold til Nord-aksen. Legg merke til at når
vi bruker aksene Nord og Øst og gon som vinkel, da starter
gjerne retningsvinklene ved nordaksen og beveger seg med
urviseren.
Dette eksemplet er en pil med
retningsvinkel som er omtrent 150 gon.
I dette eksemplet har jeg tegnet en pil med retningsvinkel
omtrent 333 gon. Vi ser at retningsvinkelen er vinkelen mellom
nord-aksen og pilen når man følger urviseren.
At 10 timer tilsvarer 333 gon kan beregnes slik:
400 gon · 10timer / 12timer = 333 gon
Kompendium for matematikk LEI102
side 18/49
1
Dette eksemplet ligner klokke. Vi ser at den ene viseren peker
på 10 og den andre på 1. Spørsmålet er: Hvor mange timer er
det fra klokken 10 til klokken 1?
10
Det er selvsagt lett å se at dette er 3 timer, men for å regne dette
kan man gjøre det slik: 1─10 = ─ 9
Men ─9 er et litt dumt resultat. Derfor adderer man 12 timer og
får 1─10 + 12 = 3 timer
28g
I dette eksemplet har vi en tilsvarende situasjon med to
retningsvinkler, den ene 28 gon og den andre 330.
330g
Vi vil regne ut vinkelen mellom disse to retningsvinklene.
Vinkel = 28 – 330 = ─302 gon
Men for å unngå negative vinkler kan man addere 400 slik:
Vinkel = 28 – 300 + 400 = 98 gon
Nord
∆N
∆E
φ
q
Eksempel:
Koordinater i
millimeter:
N E
q 9 17
p 28 56
p
D
Øst
I dette eksemplet vil jeg vise symbolene ∆N og ∆E.
Det er vanlig i matematikken å bruke slik symboler, men
i skolematematikken bruker man gjerne ∆x og ∆y.
Forskjellen fra denne figuren og den som er vist på
forrige side er at jeg har tegnet en vektor (pil) fra punkt q
til p.
Da viser ∆N den nordlige økningen fra q til p,
mens ∆E viser den østlige økningen fra q til p.
Her kan man beregne
∆N = 28 - 9 = 19
∆E = 56 - 17 = 39
Fra dette kan man beregne φ og D slik:
φ = atan(∆E/∆N)
D= √ (Δ N 2+Δ E 2)
Vi ser at
tan(φ) = ∆E/∆N
D 2 =Δ N 2+Δ E 2
Vi beregner med tall:
φ = atan(39/19) = 71.396 gon
D= √ (192+39 2)
= 43.382 mm
Oppgaver:
(1) Kontroller avstandene ∆N, ∆E og D med linjal, og vinkelen φ med en vinkelmåler.
(2) Beregn φ og D slik som vist ovenfor (selvstendig uten å se etter utregningen)
Oppgave (2) som jeg har gitt her er sentralt og må øves helt til man kan det.
Kompendium for matematikk LEI102
side 19/49
Når vi har et Nord-Øst koordinatsystem som dreier med urviseren
kommer første kvadrant, andre-, tredje- og fjerde kvadrant i den
rekkefølgen som er vist på tegningen til venstre.
Nord
IV
I
Øst
III
Dette får betydning når vi skal regne ut retningsvinkler fordi en
vanlig kalkulator vil ikke forstå at en retningsvinkel kan være i
kvadrant II eller III. Dette vil jeg vise i et eksempel nedenfor.
II
Når vinkelen φ er større enn 100 gon får vi en negativ verdi for
∆N. Derfor vil en vanlig tangensfunksjon på en kalkulator
ikke regne riktig. I dette eksemplet har vi størrelsene:
Nord
∆N = -3 cm
∆E = 1 cm
a
φ
∆N
φ =
D
∆E
b
Øst
atan(
1
)
−3
= - 20.483 gon
Her "vet ikke" kalkulatoren at vi har en retningsvinkel i
fjerde kvadrant (IV), men vi ser jo av tegningen at
retningsvinkelen er i andre kvadrant (II). Derfor må man
addere 200 gon til den beregnede retningsvinkelen φ slik:
φ = -20.483 gon + 200 gon = 179.517 gon.
Nord
IV
I
Øst
III
II
De vanligste regneprogrammene på datamaskin har en egen
funksjon som virker slik at retningsvinkelen alltid blir riktig.
Denne funksjonen kalles vanligvis for atan2.
Denne funksjonen beregner retningsvinkler mellom -π og p.
Deretter må man selv regne dette om til
f.eks. gon mellom 0 og 400.
Hvis man arbeider med en kalkulator kan man regne slik:
Kvadrant I:
if ∆N>0 and ∆E>0
then
φ = atan(∆E/∆N)
Kvadrant II:
if ∆N<0 and ∆E>0
then
φ = atan(∆E/∆N) + π
Kvadrant III:
if ∆N<0 and ∆E<0
then
φ = atan(∆E/∆N) + π
Kvadrant IV:
if ∆N>0 and ∆E<0
then
φ = atan(∆E/∆N) + 2π
Hvis kalkulatoren er innstilt på gon kan man addere hhv. 200 og 400 gon istedenfor π og 2π.
Nå har vi sett på beregning av φ og D når ∆N og ∆E er gitt.
Dette kan kalles for "å regne fra rettvinkelkoordinater til polarkoordinater".
Kompendium for matematikk LEI102
side 20/49
Nå skal vi se på den motsatte beregningen, som er å beregne ∆N og ∆E
Dette kan kalles for "å regne fra polarkoordinater til rettvinkelkoordinater".
Nord
∆N
∆E
φ
p
D
q
Øst
cos φ =
ΔN
D
=>
Δ N = D cos(φ)
sin φ =
ΔE
D
=>
Δ E = D sin(φ)
Formelen er gyldig i alle de fire kvadrantene.
Eksempel:
Koordinater:
Her kan man beregne
Deretter må man beregne koordinatene
for punkt p slik:
N
q 9
∆N = D·cos(φ)
∆E = D·sin(φ)
pN = qN + ∆N
pE = qE + ∆E
∆N = 43.382·cos(71.396) = 19
∆E = 43.382·sin(71.396) = 39
pN = 9 + 19 = 28
pE = 17 + 39 = 56
E
17
D = 43.382
φ = 71.396 gon
Oppgaver:
(1) La punktet p være gitt [28 56] slik som over og beregn punkt q
når avstanden D = 43.382 og retningen φ = 243.382 gon.
(2) Beregn koordinaten for punkt b når
punkt a har koordinatene Nord=4 og Øst=2
avstanden D = 3.162 og retningen φ = 179.517 gon.
Fasit for b: [Nord=1 Øst=3]
Nord
a
φ
∆N
D
∆E
b
Kompendium for matematikk LEI102
Øst
side 21/49
4 Koordinatsystemer
Tenk det at du er i selskap, leker mimeleken og skal vise en revolvermann som trekker to revolvere
samtidig og skyter fremover. Se på hendene dine, sammenlign med tegningen under og lær
forskjellen mellom høyre- og venstrehånds koordinatsystemer.
Z langs tommelen
X
Y
la
ng
s
ef
ek
p
gs
lan
la
ng
f
in
g
er
in g
er
høyrehåndssystem
X
Z langs tommelen
venstrehåndssystem
lan
gs
pe
ke
fin
ge
r
Y
s
ng
la
n
la
g
r
ge
n
fi
I vår kontekst er det vanlig at landmåling gjøres i venstrehånds-systemer. Da kaller man x-aksen for
Nord og y-aksen for Øst. Når venstrehåndssystem med aksene Nor og Øst benyttes vil jeg alltid
bruke gon som vinkelenhet og tilsvarende – når et høyrehåndssystem benyttes med aksene x og y
vil jeg alltid prøve å huske på å bruke grader° som vinkelenhet. Dette gjelder i dette
matematikkurset og jeg håper det også vil gjelde for hele denne skolen slik at de andre lærerne også
har den samme oppfatningen.
Det kan også være aktuelt at noen skal arbeide med programmering på bilder (GIS). Dette kan man
se ved vanlige bildeprogrammer som f.eks. Paint i Windows. Da går
x-aksen mot høyre og y-aksen nedover skjermen, i et venstrehånds-system.
I den alminnelige skolematematikken brukes konsekvent høyrehåndssystem. Da er vanligvis
x-aksen tegnet liggende og peker mot høyre, mens y-aksen er stående og peker oppover langs arket.
Innenfor oljeindustrien har jeg sett at noen anlegg bruker et venstrehånds system, mens andre
bruker høyrehåndssystem.
Kompendium for matematikk LEI102
side 22/49
5 Arealberegning
Arealer kan beregnes etter trapesmetoden slik
Dette kan gjøres for alle punktene
i et polygon. I eksemplet til høyre
ser vi et polygon som består av de
fire punktene A, B, C og D.
øst
42
34
27
34
37
48
35
25
a+b
2
a
A
nord
D
Disse punktene er gitt ved
koordinatene:
nord
Areal=G ·
b
B
G
C
A
B
C
D
øst
Arealet av polygonet er 172.5 og kan beregnes som summen av alle trapesene.
Vi ser at arealet av trapesene BC og CD blir negative fordi de er beregnet i vestlig retning.
Bn+An
2
Cn+Bn
Area BC =(Cø− Bø)·
2
Dn+Cn
Area CD =( Dø−Cø)·
2
An+Dn
Area DA=( Aø−Dø)·
2
Area AB=( Bø−Aø)·
=
(48-37) · (34+42) / 2
=
418
=
(35-48) · (27+34) / 2
=
- 396.5
=
(25-35) · (34+27) / 2
=
- 305
=
(37-25) · (42+34) / 2
=
456
Anvendelser
Denne metoden er lett å
programmere og blir
sannsynligvis brukt til beregning
av arealer for polygoner i GISog CAD-programvare.
I avsnittet om vektorer viser jeg
metoden kryssprodukt som også
kan brukes til arealberegning.
Trapesmetoden som er omtalt her på denne siden er begrenset til arealer i 2D, mens metoden
kryssprodukt kan brukes til å beregne arealer for trekanter i 3D, dvs en metode som vil regne ut
arealer for trekanter uansett hvilken retning trekantene har i rommet.
Kompendium for matematikk LEI102
side 23/49
6 Rette linjer
6.1 Den rette linjen
y
Figuren viser et høyrehånds koordinatsystem med
∆y
en rett linje. Den rette linjen krysser gjennom yb
aksen 1 cm over origo. Den rette linjen har
∆x
stigningstallet 0.5 som kan forståes slik: For hver
centimeter langs x-aksen stiger linjen 0.5 cm.
x
Stigningstallet beregnes som ∆y/∆x. Alle punkt
langs linjen kan beskrives som y = a·x + b.
I denne formelen er a stigningstallet og b er det punktet der x=0 og linjen skjærer gjennom y-aksen.
Formelen for den rette linjen i dette eksemplet er
y = 0.5 x + 1
0.5 er stigningstallet som kommer fra ∆y/∆x = 1/2 = 0.5
Tallet 1 viser hvor linjen skjærer y-aksen.
(Her har jeg brukt centimeter som lengde-enhet i koordinatsystemet)
y
b=5
Eksempel 2:
Jeg vil tegne linjen y = 5 – 2x
Vi ser at denne krysser y-aksen ved y=5 og at
stigningstallet er -2, fordi ∆y/∆x = -2/1
(Her har jeg også brukt centimeter
som lengde-enhet i koordinatsystemet)
∆x
∆y
x
Eksempel 3:
Hvis linjen kalles y = 1 vil den se slik ut
som vist på tegning til høyre.
y
x
Eksempel 4:
Hvis linjen kalles y = x
er den egentlig y = 1·x + 0
y
x
Kompendium for matematikk LEI102
side 24/49
6.2 Skjæring mellom to rette linjer
Skjæringspunktet mellom to rette linjer kan beregnes på flere måter.
y
Det kan beregnes som to likninger med to ukjente.
I dette eksemplet bruker jeg linjene som er vist i eksempel 3 og 4
ovenfor.
3
y = x
y = 1
2
1
Her ser vi at løsningen blir x=1 fordi y=1
Løsningen kan vi også få ved å se på tegningen hvor linjene krysser.
1
2
3
x
1
2
3
x
I et litt vanskeligere eksempel vi beregne skjæringspunktet mellom linjene
5y = x + 5
y = 3 – 3x
Disse kan skrives om til formen
y = ax+b
og ligningene skrives slik:
y = 0.2x + 1
y = -3x + 3
y
3
Tegningen blir slik som vist til høyre og vi kan se at
skjæringspunktet blir omtrent x=0.6 og x=1.1
2
Dette vil jeg beregne som to ligninger. Jeg skriver dem slik som
vist i innledningen:
5y = x + 5
y = 3 – 3x
1
Jeg setter x og y på venstre side:
-x + 5y = 5
3x
y = 3
Nå setter jeg ligningene på matriseform:
[
M= ─1 5
3 1
]
[]
h= 5
3
Løsningen vil da være M-1 h som kan beregnes til
Kompendium for matematikk LEI102
[ ]
0.6
1.1
side 25/49
7 Vektorer
Vektorer kan forståes som piler i planet eller i rommet. Vektoren har en retning og en lengde. Jeg vil
vise noen av funksjonene på vektorer: addisjon og subtraksjon, skalar multiplikasjon, norm av en
vektor, prikkproduktet (skalarprodukt/indreprodukt/dot product) og kryssproduktet (cross product)
v
u= w
Addisjon ⃗v +⃗
⃗
+
u
u
v
=
w
v −⃗
u =⃗a
Subtraksjon ⃗
─
v
-u
=
-u
a
v
v
v =
Skalar 2 · ⃗
norm av en vektor
skalarproduktet
kalles på engelsk
dot product
v
=
2v
Dette er vektorens lengde eller kalles også vektoren absoluttverdi.
v | = norm( ⃗
v)
Skrivemåte kan var slik
|⃗
I 2d beregnes den slik:
| v⃗ | =
I 3d beregnes den slik:
v |=
|⃗
v
√(Δ X 2 +Δ Y 2)
√(Δ X 2 +Δ Y 2+Δ Z 2 )
v·w
v∣·∣w
⃗
⃗ =∣⃗
⃗ ∣· cos α
a
w
α er vinkelen mellom ⃗
v og w
⃗
På matriseform:
[ ]
v·w
⃗
⃗ = v w T = [ vx vy ] wx
wy
⃗
a og ⃗
Kryssproduktet av ⃗
b en vektor a×b som står vinkelrett på planet ab
a og ⃗
og lengden av vektoren a×b, |a×b| er lik 2·arealet som utspennes av ⃗
b.
Kryssproduktet
v:
Eksempel med u⃗ og ⃗
u = [1 2 ─ 2 ]
⃗
v = [3
⃗
a×b
b
tilsvarer
u×⃗
v =
⃗
b
a
Kompendium for matematikk LEI102
Areal
a
1]
0
[∣
∣ ─∣13 ─ 21∣ ∣13 20∣]
2 ─2
0
1
Kryssproduktet beregnes ved kofaktorekspansjon og determinanter som vist i
kap 1.5.1. Legg merke til at den 2. cellen er
negativ.
side 26/49
Normalvektoren til et plan i et tre-dimensjonalt rom er tegnet som n i
figuren til høyre. Likningen for et slikt plan er
a·x + b·y + c·z = d
z
n
Verdiene a, b og c er det samme som normalvektoren
n =[a b c ]
⃗
y
x
Anvendelser
I bildet ser vi et rør som er produsert for
oljeindustrien. En slik spool som på bildet veier
omtrent 100 kg og flensene i endene av røret har
en diameter på 280 mm i dette eksemplet.
Oppmåleren skal kontrollere rørets dimensjoner
og bruker teorien om normalvektoren til et plan
når rapporten for målingene av røret skal lages.
De tre flensene i bildet skal kanskje ligge presis i
xz-planet, xy-planet og yz-planet. Men målingen
viser noen avvik. Når slike flenser kontrolleres
kan det gjøres ved nettopp å beregne
normalvektoren til planet.
Eksempel:
Den nærmeste flensen i bildet er beregnet med
normalvektoren [ 0.002 1.000 0.017 ]
Normalvektoren i dette eksemplet er oppgitt som 1 meter lang. Det viktige er å vurdere c=0.017 og
om dette er større eller mindre enn et gitt toleransekrav.
I en terrengmodell av typen TIN (Triangulated Irregular
Network) har vi tegnet hver trekant slik at den har forskjellig
lys eller mørke bestemt etter et klokkeslett for hvor solen
står. Terrengmodellen er en innmålt steinhaug, ca 60 m lang
og 3 m høy. Man tenker seg at solen står i sørøst. Derfor er
de trekantene som vender mot sørøst farget lyse, mens de
som vender mot nordvest er mørke. Kartet er laget ved
beregne kryssproduktet for hver trekant. Trekanten tegnes
mørk hvis kryssproduktet er en vektor som peker mot
nordøst, og trekanten tegnes lys hvis kryssproduktet er en
vektor som peker mot sørvest.
Kompendium for matematikk LEI102
side 27/49
Eksempler:
Addisjon
3
[]
a = 3
⃗
1
2
⃗c = ⃗
a +⃗b = 3 + 2 = 5
1
2
3
c
b
[]
[][] []
og ⃗
b = 2
2
kan også skrives slik:
1
a = [ 3 1 ] og ⃗b = [ 2 2 ]
⃗
⃗c =⃗
a +⃗b=[3 1 ] +[ 2 2 ] = [ 5 3 ]
a
1
2
3
4
5
Skalar multiplikasjon
3
[]
a = 3
⃗
1
[] [ ]
2
1.42 ·⃗a = 1.42· 3 = 4.26
1
1.42
Norm av en vektor (lengde)
∣⃗
a = 3
⃗
a∣= √ 32 +12 =
1
1
a
1
2
3
4
5
[]
[]
⃗
b = 2
2
∣⃗
a∣= √ 22+22 =
Skalarprodukt (dot product)
a = 3 og ⃗
⃗
b = 2
1
2
3
[]
b
2
[]
a⃗ · ⃗b = aT b = [ 3 1 ] 2 = 8
2
a
1
a
b·
1
[]
Vi beregner vinkelen mellom ⃗
a og ⃗
b:
a · ⃗b = ∣⃗
a∣·∣⃗
b∣· cos( α)
⃗
cosa
2
3
a·⃗
b
cos (α) = ⃗
∣⃗
a∣·∣⃗
b∣
b
8
⃗a · ⃗
α = acos (
) = acos (
) = 26.565°
⃗
∣⃗a∣·∣b∣
√ 10 √8
Kompendium for matematikk LEI102
side 28/49
√ 10
√8
8 Teknisk tegning
8.1 Isometrisk
Aksene er tegnet med 60° mellom z- og y-aksen.
Det er også 60° mellom z- og x-aksen.
x
20
15
318
y
3000
z
Eksempel på isometrisk
tegning med lengder i
millimeter. Legg merke til at
lengdene ikke har riktig
målestokk i dette eksemplet.
Her er det tegnet på et
ISO-papir, dvs papir med
rutenett på 60 grader.
8.2 Oblique
Flaten som vender mot "oss" er tegnet som et rektangel i xz-planet.
Streker som følger y-aksen tegnes i 45° vinkel i forhold til x- og z-aksen.
z
45° vinkel
x
Kompendium for matematikk LEI102
side 29/49
9 Statistikk
9.1 Standardavvik
Gjennomsnitt, residual, feilkvadratsum, overbestemmelser, varians, og standardavvik.
Begrepene er skrevet opp i den rekkefølgen som man beregner dem.
måling nr
lengde
x
v
v2
x1
50
52
-2
4
x2
52
52
0
0
x3
55
52
3
9
x4
51
52
-1
1
I tabellen over starter vi med å summere lengdene
Denne summen deles på antallet observasjoner som gir gjennomsnittet:
Kolonnen v viser residualene mellom målt- og gjennomsnitlig lengde.
Kolonnen v2 viser kvadratet av v.
Summen av alle v2 kalles feilkvadratsummen
Antallet målinger kalles gjerne for N eller n.
Overbestemmelser (df) beregnes som N-1 i dette tilfellet
Varians beregnes som SSE/df
Standardavvik = √ varians
Ordliste:
Gjennomsnitt
Residual
Feilkvadratsum
Overbestemmelser
Standardavvik
50+52+55+51 = 208
x = 208/4 = 52
SSE = 4+0+9+1 = 14
N=4
df = N-1 = 4-1 = 3
var = SSE/df = 14/3
s = √ varians = 2.16
average, mean, x
restfeil, avvik, error, v
Sum of Squares Error (SSE), Σ vv , Σv 2 , vTv
frihetsgrader, degrees of fredom (df)
Standard deviation, stdv, s eller s (sigma)
Beregningen kan gjøres med matriser.
Vi har tidligere vist at ligninger kan skrives på formen Ax = L
Men når vi har flere målinger enn ukjente trenger vi å skrive formelen slik:
Da er v⃗ en vektor som inneholder residualene.
[]
1
A = 1
1
1
x = [ gjennomsnitt ]
[]
SSE=vT v = 14
Kompendium for matematikk LEI102
[]
50
L= 52
55
51
Gjennomsnittet beregnes slik:
2
0
v= Ax−L =
─3
1
Ax = L+v
x=(AT A)−1 AT L = 52
df =4−1=3
standardavvik =
√
SSE
= 2.16
df
side 30/49
9.2 Linær Regresjon
Vi fortsetter med eksemplet fra avsnittet 1.6.2 som er en rett linje gjennom tre punkt. Vi gjør en
liten endring slik at tre punkter ikke ligger helt presis på en rett linje. Dette er for at residualene ikke
skal bli helt lik null. Hensikten med dette eksemplet er å vise et eksempel med beregning av
standarddavvik der frihetsgradene (df) beregnes som som df = 3 – 2. (3 ligninger minus 2 ukjente)
y
De tre punktene er
4
x
2
4
7
3
2
y
2
3
4
Formelen for en rett linje er ax+b = y
der a er stigningstallet og
b viser hvor linjen krysser y-aksen.
1
1
2
[ ]
2 1
A= 4 1
7 1
4
3
[]
x= a
b
5
[]
2
L= 3
4
6
7
x
x=( AT A)−1 AT L
v= Ax−L
SSE =v T v
s=
√
SSE
df
Resultatet blir:
[ ]
x= 0.39
1.29
[ ]
0.08
v= ─ 0.13
0.05
SSE=0.0263
s=0.16
formel for linje:
y = 0.39x + 1.29
Residualene v = [0.08 -0.13 0.05]T kan forståes som avstanden fra hvert punkt og opp eller ned til
linjen. Standardavviket er et uttrykk for den midlere avstand fra punkt til linje.
Kompendium for matematikk LEI102
side 31/49
9.3 Vektet gjennomsnitt
Noen ganger kan det være riktig å legge forskjellig vekt på målinger slik at man ikke beregner et
alminnelig gjennomsnitt. Et enkelt eksempel kan være slik: Lengden på et gulv skal måles og de
som måler er litt forskjellige folk.
En 7-åring måler gulvet til
En tilfeldig voksen person måler
En profesjonell gulvlegger måler
12.37 meter
12.39 meter
12.422 meter
Vi skal ta hensyn til alle målingene og beregne et vektet gjennomsnitt. I dette tilfellet kan vi velge
vektene f.eks. slik: 7-åring vekt=1, voksen vekt=3, gulvlegger=7
vektet snitt =
∑ (måling · vekt)
∑ (vekt )
=
12.37· 1 + 12.39 · 3 + 12.422 · 7
= 12.409
1 + 3 + 7
Beregning av vektet gjennomsnitt på tabellform
lengde
vekt
lengde·vekt
En 7-åring
12,37
1
12,37
En tilfeldig voksen
12,39
3
37,17
En profesjonell gulvlegger
12,422
7
86,954
sum=11
Sum=136,494
Vektet gjennomsnitt = 136,494 / 11 = 12,409
Beregning av vektet gjennomsnitt på matriseform
[] [ ] [ ]
1
A= 1
1
12.37
L= 12.39
12.422
1 0 0
P= 0 3 0
0 0 7
x=(AT P A)−1 AT P L
Beregning i Matlab
A=[1 1 1]';
L=[12.37 12.39 12.422]';
P=[1 0 0;0 3 0;0 0 7];
x=(A'*P*A)^-1*A'*P*L
Kompendium for matematikk LEI102
side 32/49
10
Derivasjon
I forrige kapittel beregnet vi stigningstallet for en rett linje. Hvis en rett linje har formelen
y = 3x + 7 da er stigningstallet 3. Dette er det samme som den deriverte. I de tilfellene man
deriverer en rett linje blir den deriverte et tall, stigningstallet for den rette linjen.
10.1
Notasjon
Notasjon betyr "skrivemåte". Det finnes flere notasjoner for derivasjon. Den som er brukt i
videregående skolen er Lagrange-notasjonen. Da brukes en apostrof ' som tegn for derivasjon.
Da kan man skrive den deriverte slik:
y = 3x + 7
y'(x) = 3
y derivert med hensyn på x er lik 3.
I dette kurset vil jeg legge vekt på Leibniz-notasjonen fordi denne er mest vanlig i matematikk- og
fysikkbøker, artikler og dataprogrammer. I litteratur om landmåling er også Leibniz-notasjonen
brukt slik at det kan være en fordel om vi klarer å bli vant til å lese dette.
Etter Leibniz-notasjonen skrives det samme uttrykket slik:
y = 3x + 7
10.2
dy
=3
dx
eller
d
y=3
dx
Grunnleggende om derivasjon
Jeg vil bruke eksemplet y = x2
Funksjonen har en graf som er vist til høyre.
Hvis man ser på grafen med forstørrelsesglass i det
området der x=3 vil stigningen være omtrent slik som
vist i figuren nedenfor. Hvis vi "zoomer" langt nok inn
i bildet av grafen vil vi ikke se at y=x2 går i en bue
(eller parabel). Det vil se ut som en liten del av en rett
linje med stigningstallet dy/dx. Lengst til venstre i
denne lille trekanten er y1= x 2 og lengst til høyre er
y2=( x +dx )2 . Av dette kan vi beregne dy= y2− y1
og videre: dy = ( x+dx)2 − x 2 som omregnes til
2
2
2
2
x +2 x dx+dx −x = 2 x dx+dx = (2 x +dx )· dx
Så kan vi beregne stigningstallet for linjen:
(2 x+dx) · dx
dy
=
= 2x+dx
dx
dx
y2
dy
y1
Dermed kan vi si at
2
den deriverte av x er lik 2x
fordi dx er en liten avstand langs
x-aksen, en avstand med lengde helt ned mot null.
Kompendium for matematikk LEI102
dx
x
x+dx
side 33/49
10.3
Derivasjonsregler
Konstant C
dC
=0
dx
Den deriverte av en konstant (et tall) er null
Potensregelen
d n
n −1
X =nX
dx
Addisjon
d
du dv
( u+v )= +
dx
dx dx
Produktregelen
d
dv
du
(u · v )=u +v
dx
dx
dx
Brøkregelen
du
dv
−u
d u
dx
dx
( )=
2
dx v
v
Kjerneregelen
dy dy du
= ·
dx du dx
v
Nevner ganger teller derivert
minus teller ganger nevner derivert
delt på nevner i annen.
Derivasjon av trigonometriske funksjoner:
sinus
d
sin x=cos x
dx
cosinus
d
cos x=−sin x
dx
tangens
d
1
tan x=
2
dx
cos x
Eksempler med potensregelen
d n
X =nX n −1
dx
d 2
X =2X 2−1=2x 1=2x
dx
d
4X 3=4 · 3X3−1=12x 2
dx
d −1
−1
X = X −1−1=−1x−2= 2
dx
x
x−1=
1
x
Eksempel med produktregelen
d
dv
du
(u · v )=u +v
dx
dx
dx
d
( x · sin x )=x · cos x+sin x
dx
d
( x · cos x)=cos x− x sin x
dx
Kompendium for matematikk LEI102
side 34/49
Eksempel med brøkregelen
du
dv
−u
d u
dx
dx
( )=
2
dx v
v
v
d sin x
x cos x−sin x
(
)=
dx x
x2
d
x
sin x+x cos x
(
)=
dx sin x
sin 2 x
Eksempler med kjerneregelen
y=( 3x+1)2
y skal deriveres med hensyn på x
u=3x+1
du
=3
dx
y=u 2
dy
=2u
du
dy dy du
= ·
dx du dx
dy
=2u · 3
dx
y=sin( x 2)
u=x
=
6(3x+1)
18x+6
=
y skal deriveres med hensyn på x
du
=2x
dx
2
y=sin(u)
dy
=cos(u)
du
dy dy du
= ·
dx du dx
dy
=cos( u) · 2x
dx
=
2
2x · cos ( x )
Eksempel med kjerner
y=sin 2 ( x 3)
dy dy dv du
= · ·
dx dv du dx
u=x 3
du
=3x 2
dx
v=sin u
dv
=cos u
du
y=v 2
dy
=2v
dv
dy
=2v · cos u · 3x 2
dx
Kompendium for matematikk LEI102
= 2 sin( u) · cos(u)· 3x 2 = 6x 2 · sin( x 3)· cos( x 3)
side 35/49
10.4
Partiell derivasjon
I forrige avsnitt så vi på funksjoner som har ett argument, slik som f.eks. y=2x+3 hvor
høyresiden av dette uttrykket inneholder kun én variabel (eller ett argument) nemlig x. En slik
funksjon kan tegnes i et todimensjonalt koordinatsystem med x og y.
Funksjoner kan ha flere variable (eller argumenter) slik som
Eksempel 1:
funksjonen z= x 2+ y
y
%Matlab-kode
for i=1:9
for j=1:9
x=i-5;
y=j-5;
z(i,j)=x^2+y;
end
end
surf(z);
Et lite utdrag av denne funksjonen kan
se slik ut, tegnet med Matlab. Hvis
denne sees fra venstre slik at man sikter
langs y-aksen, da ser den ut som en U
eller z=x2. Hvis man sikter fra høyre,
langs x-aksen, da ser man ikke U'en
men kun noe som ligner en rett stigende
linje z=y. Ved partiell derivasjon kan
man tenke seg at man deriverer
funksjonen z slik den ser ut ved å sikte
langs x-aksen eller y-aksen.
x
Når z deriveres med hensyn på x kan variabelen y forståes som en konstant slik at z= x 2+ y
∂z
=2x
deriveres på samme måte som z= x 2+5 og det vil si at den deriverte er
∂x
Tilsvarende når man deriverer z med hensyn på y. Da kan x forståes som en konstant og z= x 2+ y
∂z
=1
kan deriveres på samme måte som z=52+ y og det vil si at den deriverte er
∂y
Her har jeg brukt et tegn ∂ som er vanlig i matematikkbøker når man beskriver partiell derivasjon.
Eksempel 2:
Figuren viser en "klosse" og man kan tenke seg at det er en ost.
Grunnflaten av denne er
G = a·b
Volumet er
V = G·h
h
a
b
∂V
= G
∂h
Den deriverte av Volumet mhp. høyden er grunnflaten.
Den deriverte er liksom en skive av osten, en skive som er så tynn at den ikke har noe volum.
Kompendium for matematikk LEI102
side 36/49
Eksempel 3:
Figuren viser en sylinder. Denne har radius lik 15 mm og høyde lik 10 mm.
Hva vil gi mest volumøkning av å øke radius eller øke høyden?
∂V
∂V
= π r2
= 2πrh
Volumet V =π r 2 h
∂h
∂r
Her også ser vi at den deriverte mhp. høyden er grunnflaten eller "lokket".
Den deriverte mhp radius er arealet til sylinderveggene.
Hvis vi øker høyden med 1 millimiter utgjør det et volum på
Hvis vi øker radius med 1 millimeter ugjør det et volum på
∂V
2
= πr
∂h
∂V
= 2 πr h
∂r
= 225 π
= 300 π
Eksempel 4:
I dette eksemplet vil jeg vise at
∂V
= π r2
∂h
For en gitt høyde er volumet
Hvis vi øker denne høyden litt med ∂ h kan vi skrive
Volumøkningen er ∂V
= V2−V1
V1=π r 2 h
V2=π r 2 ( h+∂ h)
= π r 2 (h+∂ h) - π r 2 h
= π r 2 h+π r 2 · ∂ h−π r 2 h
Her kan vi stryke to stk π r 2 h
= π r 2· ∂ h
Den deriverte
∂V
∂h
=
π r2 · ∂ h
= πr2
∂h
∂V
= 2πrh
∂r
Så vil jeg også vise at
For en gitt radius er volumet
Hvis vi øker radius litt med ∂ r kan vi skrive
Volumøkningen er ∂V
= V2−V1
2
V1=π r h
V2=π(r +∂ r )2 h
= π(r+∂r )2 h - π r 2 h
= π( r 2 +2 r ∂ r +∂ r 2 )h − π r 2 h
= π r 2 h+2 π r h · ∂ r +π h · ∂ r 2−π r 2 h
= 2 π r h · ∂r + π h · ∂ r 2
Den deriverte
∂V
∂h
=
Her kan vi stryke to π r 2 h
= (2 π r h + π h ∂ r )· ∂ r
(2 π r h + π h ∂ r )· ∂ r
= 2 π r h + π h · ∂r
∂r
Det siste leddet π h · ∂ r forsvinner når ∂ r er et tall som er helt ned mot null.
Kompendium for matematikk LEI102
side 37/49
10.5
Antiderivert eller integrasjon
Som pensum i dette kurset skal integrasjon bare såvidt nevnes og får ikke et eget kapittel i
kompendiet. Integrasjon kan brukes til å beregne arealet under kurven til en matematisk funksjon,
og integrasjon er det motsatte av derivasjon og kalles derfor også for antiderivert.
Eksempel:
Funksjon: y=x 2
Derivert:
Integral skrives slik:
∫ dx
dy
=2 x
dx
Integral av 2 x= x 2+C
hvor C er et tall
x n+1
Den generelle formelen for integrasjon med potens-uttrykk er slik: ∫ x dx =
+C
n+1
1
Formelen gjelder for alle n utenom n = ─1. Når n = ─1 gjelder:
∫ x dx = ln (x )+C
n
ln(x) kalles den naturlige logaritmen og skrives som
ln(x) eller LN i de aller fleste kalkulatorer eller
regneprogram. Figuren til høyre viser funksjonen
y = ln(x)
y = ln(x) har en motsatt funksjon som kalles x = ey
Denne kalles eksponentialfunksjonen.
Den kalles gjerne ex på kalkulatoren og exp(x) i
andre regneprogrammer. Hvis vi ser i plottet nederst
til høyre på denne siden finner vi at
LN(x) = 1 når x = 2.7. Dette kalles for tallet e
Du kan gjerne undersøke dette på kalkulatoren og
skrive inn 1 og deretter trykke på LN. Da kommer
tallet e = 2.718281828...
Det finnes flere desimaler på dette som kalles Eulers tall.
1828 er Henrik Ibsens fødeår.
Med tallet e = 2.718281828 i kalkulatoren kan du trykke på LN(x) og se at du kommer tilbake til 1.
Figuren under viser funksjonen y = ex
Funksjonene LN(x) og EXP(x) har en
"kusine og fetter" som heter LOG(x) og
10x. Disse ligner helt, men kun med den
forskjellen at de er litt "hissigere", med det
mener jeg LOG(x) vil redusere
argumentet x mye mer enn LN(x)
10x vil løfte opp
argumentet x mye mer enn ex
Kompendium for matematikk LEI102
side 38/49
11
Øvingsoppgaver
1) Multiplikasjon av matriser. Beregn B·A og A·B
[]
1
A= 2
3
2) Bruk metoden Gauss-eliminasjon og beregn den innverse av matrisen.
B=[ 5 7 2 ]
[ ]
A= 1 2
3 4
En 2x2-matrise kan også inverteres ved Cramers Rule
Kontroller at den inverse er riktig beregnet ved AA-1
3) Ligninger på matriseform Et ligningssett er gitt ved:
2x -3y +5z = 3
x +4y -2z = 0
x + y
= 7
Vis hvordan ligningene kan skrives på matriseform
4) Minste kvadraters metode
Start med Ax=L og beregn deg frem til x=(ATA)-1ATL
5)
[
A= 2 −1 −5
3
7
3
[]
1
1
6) M =
1
1
1
2
3
4
[
2 −1
−3
4
B=
[
1 1
4
−2 0 −1
]
Beregn A+B, A-B, ABT og AT B
[]
Beregn MP og PTMT
[]
Beregn EF og FE
P= 5
6
7) E=[ 1 1 1 1 ]
8) N =
]
1
F= 1
1
1
]
Beregn invers av N ved hjelp av både Gaussisk eliminasjon og Cramers Rule og
kontroller resultatet ved N-1N
9) x + 3y + 3z = 3
2x + 5y + 3z = 8
1x
+ 8z = 2
Skriv ligningene på matriseform og
løs ligningene, dvs. beregn x, y og z.
10) Beregn for hånd og kontroller deretter med dataprogram
determinanten av en selv-valgt 3x3 matrise (A).
Beregn også den adjungerte (engelsk = adjoint) slik som vist i video om Cramers Rule.
Beregn deretter den inverse til matrisen A ved hjelp av formelen A-1 = adj(A) · 1/det(A)
Kontroller resultatet for A-1 ved å invertere den i et dataprogram.
Undersøk også at man kan beregne den adjungerte ved
adj(A) = A-1 · det(A)
Kompendium for matematikk LEI102
side 39/49
11) En rettvinklet trekant har kateter med lengdene 3 og 4. Beregn hypotenusen.
12) Beregn alle vinklene i trekanten i oppgave 11. Svar i gon.
13) Beregn arealet av trekanten i oppgave 11.
14) Hypotenusen i en rettvinklet trekant er 100 m.
Den spisse vinkelen er 1 gon
Hvor lang er den korte kateten?
15) Hypotenusen i en rettvinklet trekant er 100 m.
Den spisse vinkelen er 0.001 gon
Hvor lang er den korte kateten?
16) Hvor stor er den spisse vinkelen hvis
hypotenusen er 100 m
og den korte kateten er 1 cm? (svar i gon)
17) Hvor stor er den spisse vinkelen hvis
den lange kateten er 100 m
og den korte kateten er 1 cm? (svar i gon)
18) Hypotenusen er 30 m.
Vinkelen α er 70 gon.
Hvor lange er katetene?
α
19) Den lange katet er 65, den korte er 8.
Hvor stor er da vinkelen α?
α
20) En trekant har sidelengdene 4, 5 og 9.
Hvor store er vinklene i trekanten?
21) En trekant har sidelengdene 5, 5 og 9.
Hvor store er vinklene i trekanten?
22) Beregn alle vinklene når a = 30 mm,
b = 37 mm og c = 42 mm.
23) Beregn alle vinklene når a = 42 mm,
b = 21 mm og c = 30 mm.
γ
a
b
α
β
c
α
c
β
b
γ
a
24) En trekant har tilsvarende form og navn som i oppgave 22. Vinkelen α er 56 gon,
vinkelen β er 70 gon. Sidelengden c er 42 mm. Beregn sidelengdene a og b.
25) Gitte koordinater
N
E
A 883.08 67.69
B 855.38 98.46
C 856.92 30.77
D 883.08 63.26
Tegn skisse-kart over punktene for å se hvordan
punktene er i forhold til hverandre og for å unngå
grove feil i dine svar. Regn først alt med
symboler (formler) som viser til en tegning.
Kompendium for matematikk LEI102
Beregn avstandene AB, AC og AD.
Beregn retningsvinklene AB, AC og AD.
Retningsvinkelen skal være mellom 0 og 400 gon.
Beregn avstanden fra punkt D til den rette linjen AC.
Beregn avstanden fra punkt D til den rette linjen BC.
Beregn arealet av polygonet ABCD.
side 40/49
26)
Punkt
North
a
0.000
b
100.000
East
5.000
10.000
Vinkelen bac er målt: 115 gon
Horisontal avstand ac er 50 meter
Beregn koordinatene til c (2 desimaler)
27)
Gitte punkt:
Punkt
North East
a
0.000
0.000
b
0.000 100.000
Målt vinkel bac = 370 gon
Målt horisontal avstand ac = 70 meter
Beregn koordinater for c (2 desimaler)
28)
Ah
Ph
i
s
Z
Ds
=
=
=
=
=
=
høyde i pkt A, en kjent høyde over havet
høyde i pkt P, en ukjent høyde
instrumenthøyde over bolt i A
siktehøyde (prismets høyde over bolt i P)
målt zenitvinkel (Z=0.000 er rett oppover)
Distanse på skrå (målt skråavstand)
Skriv en formel som gjelder for Ph i begge tilfeller som er tegnet ovenfor og
forklar hvorfor formelen er riktig.
Kompendium for matematikk LEI102
side 41/49
29)
Koordinatene er gitt på punktene a og b:
N
a
b
E
10.818 305.089
80.830 492.434
Den målte horisontalvinkelen i punkt a er 290.11 gon slik som vist på tegningen.
Fra a til c er det målt en skrå avstand Ds=101.98 meter.
Til denne skrå avstand er det målt en zenit-vinkel Z=87.434 gon
Beregn koordinatene for punktet c.
30) En rett linje L er gitt ved:
En annen linje M er:
2y = 4 – x
5y = 5 – x
(a) Beregn linjenes stigninstall og hvor de krysser y-aksen
(b) Beregn koordinater for punktet der linjene L og M krysser.
(c) Beregn avstand fra et punkt P(-0.7 2.3) til linjen L. (3 desimaler)
(d) Beregn formelen til en paralell linje som går over linjen L med avstand 1.000 til L.
(e) Beregn arealet som er begrenset av linjen L, M og y-aksen.
31) Gitte punkt:
A = [1 2]
B = [2 5]
(a) Hvordan kan du på enklest mulig måte ved en liten kommando beregne avstanden
mellom disse to punkt ved hjelp av Matlab?
(b) Beregn avstanden ved hjelp av kalkulator.
(c) Beregn dot-produktet mellom vektorene [fra Origo til A] og [fra Origo til B].
32) Gitte punkt:
A = [ 1 0 -0.5]
B = [ -1 1 0.5]
(a) Tegn en isometrisk tegning av punktene A og B og linjen mellom dem.
(b) Beregn avstanden mellom A og B.
33) Gitte punkt:
a = [7 2 3]
b = [-3 1 1]
c = [1 6 5]
(a) Tegn en isometrisk tegning av punktene A, B C.
(b) Beregn en normal-vektor til planet ABC.
(En normal-vektor er vinkelrett til planet ABC)
(c) Skriv kode som du kunne brukt i Matlab for å beregne kryssproduktet.
Kompendium for matematikk LEI102
side 42/49
34) I en utjevningsberegning er det 7 observasjoner og 3 ukjente. Feilkvadratsummen = 36.
Beregn standardavviket.
35) I en utjevningsberegning er det 3 observasjoner og 2 ukjente. Feilkvadratsummen = 9.
Beregn standardavviket.
36) I en utjevningsberegning har A- og x-matrisene slike dimensjoner som
vist i figuren til høyre.
(Hver rund prikk representerer et tall i matrisen)
Residualene er v = [-1.1 0.9 1.9 -1.1 0.9 -1.1 -0.1]T
Beregn standardavviket.
37) Målinger med ulik vekt:
En avstand er målt på tre forskjellige måter og vi har bestemt at det skal
beregnet et vektet gjennomsnitt.
lengde
1. måling
2. måling
3. måling
vekt
14 meter
15 meter
17 meter
1
1
3
Vis hvordan et vektet gjennomsnitt kan beregnes
(a) Ved å gjøre dette i en tabell
(b) Ved å beregne dette med matriser (og evt. Kalkulator)
(c) Skriv beregningen fra innlegging av A og L
og beregning av vektet gjennomsnitt og standardavvik med Matlab koding. (sse = vTPv)
(Du må selvsagt få samme resultat i (a) og (b) og (c))
38) Deriver utrykkene med hensyn på x:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
y=x
y = x2
y = 3 – x2
y = 2x – 1
y = x3/3 + x2/2 + x
y = x4 - 7x3 + 2x2 + 15
y = (3x - 1)(2x + 5)
y = (x - 1) / (x + 7)
y = 3 / x2
a)
b)
c)
d)
y = 1 + x – cosx
y = 1/x + 5sinx
y = 3x + xtanx
y = 4/cosx
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
y = sin(x+1)
y = cos(5x)
y = tan(2+x)
y = (2x+1)5
y = (4-3x)9
y = sin2(3x-2)
y = (1+cos(2x))2
39)
40)
Kompendium for matematikk LEI102
side 43/49
41) Beregn partiellderivert ∂x og ∂y:
a)
f(x,y) = 2x
b)
f(x,y) = ─ 3y
c)
f(x,y) = ─ 4
d)
f(x,y) = 2x – 3y – 4
e)
f(x,y) = x(y ─ 1)
f)
f(x,y) = x2 + y2
g)
f(x,y) = x2 ─ xy + y2
h)
f(x,y) = (x+2)(y+3)
i)
f(x,y) = 5xy – 7x2 – y2 + 3x – 6y + 2
j)
f(x,y) = 1/(x+y)
k)
f(x,y) = √ x 2+ y 2
L)
f(x,y) = x/(x2 + y2)
m)
f(x,y) = (x + y)/(xy – 1)
o)
f(x,y) = sin(x+y)
−1 y
p)
f(x,y) = tan ( )
x
Kompendium for matematikk LEI102
side 44/49
12
Fasit til øvingsoppgavene
[
5 7 2
AB= 10 14 4
15 21 6
1) BA=[ 25 ]
]
2) Vi har gjennomgått metoden med 3x3-matriser, men det er enklere med 2x2-matriser.
1 2
Hvis man starter med matrisen A=
3 4
4 −3
Kontroller på papir at da vil Cofaktor-matrisen bli C=
−2
1
adj( A)= 4 −2
Denne skal transponeres og blir da den adjungerte
−3
1
Deretter regner man determinanten av matrisen A slik
det(A) = 1·4 - 2·3 = -2
Nå beregnes den inverse slik
invers(A) = adj(A)/det(A)
−2
1
Kontroller selv at dette blir invers( A)=
1.5 −0.5
[ ]
[
]
[
[
]
]
3) Ligningene kan skrives på matriseformen Ax = L
2 −3 5
3
x
A= 1 4 −2
L= 0
x= y
Innholdet i matrisene er
1 1
0
7
z
Den sistnevnte av disse matrisene, x inneholder de ukjente som er x, y og z.
[
]
[]
[]
4) er vist på side 12.
5)
[
6)
11
17
MP=
23
29
3 0 −1
1 7 2
[
]
[]
7) EF = [4]
1 −2 −9
5 7
4
]
[
−19 1
22 −9
]
[
−4
2
5
−15 −1 −11
−11 −5 −23
]
P T M T =[ 11 17 23 39 ]
[ ]
1
FE= 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8) Ingen fasit på denne.
[ ]
1 3 3
9) A= 2 5 3
1 0 8
[]
3
L= 8
2
[] [ ]
x
x= y
z
=
6
−0.5
−0.5
10) Ikke fasit på denne.
11) Hypotenusen = katet2 + katet2 = kvadratrot (32+42) = 5
12) 40.967 gon, 59.033 gon og 100 gon.
Kompendium for matematikk LEI102
side 45/49
13) 6
14) 1.571 m
15) 0.002 m eller 1.57 mm
16) 0.006 gon
17) Omtrent det samme som i oppgave 16. Man må ha mange desimaler for å se forskjellen.
18) 13.620 m og 26.730 m.
19) 92.204 gon
20) Hvis lengdene er presist målt til 4, 5 og 9 vil ikke dette være en trekant, men hvis den
lengste er ørlite lengre enn 9.000 vil trekanten ha vinkler som er tilnærmet 0, 0 og 200 gon.
21) To stk som er 28.713 gon og én som er 142.573 gon.
22) alfa 48.969
beta 65.641
gama 85.390
Beregning vist i notisblokk.
23) alfa 121.800
beta
gama
31.220
46.984
24) a = 35.262
b = 40.776
25)
distAB = 41.4015
distAC = 45.249
distAD = 4.430
retningAB = 146.6605
retningAC = 260.7558
retningAD = 300
D til AC =
2.561
D til BC = 26.896
areal
= 971.758
26)
Punkt
c
27)
North
-14.09
c
East
52.98
31.78
62.37
28) Ph=Ah+i+Ds*cos(Z)-s
Denne er lettest å se i den øverste tegningen, men er også riktig i den nederste tegningen
fordi cos(Z) gir negativt fortegn når Z er større enn 100 gon.
29) N=97.946 E=256.011
30)
31)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a) L: stigning = -1/2 og y = 2
(3.33 , 0.33)
0.045
y = 3.118 – x/2
1.67
M: stigning = -1/5 og y = 1
A = [1 2]
B = [2 5]
norm(B-A)=3.16
dot(A,B)=12
32) Avstand AB=2.37
Kompendium for matematikk LEI102
side 46/49
I tegningen (under) har jeg definert et venstrehånds koordinatsystem med Nord, Øst, Høyde.
33)
Jeg har brukt programmet SketchUp. I illustrasjonen har jeg brukt et
høyrehånds koordinatsystem. Legg merke til den lange normal-vektoren som
peker ut av planet ABC. normalvektoren = [ -6 -32 46]
matlab:
a=[7 2 3]
b=[-3 1 1]
c=[1 6 5]
ab=b-a ac=c-a
k=cross(ac,ab)
% k=[-6 -32 46]
Kompendium for matematikk LEI102
side 47/49
34)
3
35)
3
36) 1.72
37)
Vektet gjennomsnitt = 16.00
standardavvik = 2.00
L=[14 15 17]'
P=[1 0 0;0 1 0;0 0 3];
A=[1 1 1]'
x=(A'*P*A)^-1*A'*P*L
v=A*x-L
sse=v'*P*v
df=2
s=sqrt(sse/df)
38)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
1
2x
-2x
2
x2 + x + 1
4x3 - 21x2 + 4x
3(2x + 5) + 2(3x-1)
8 / (x + 7)2
-6x-3
39) a)
1 + sinx
x-2 + 5cosx
3 + tanx + x/cos2x
4tanx / cosx
b)
c)
d)
40)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
cos(x+1)
-5sin(5x)
-1/cos2(2-x)
10(2x+1)4
27(4-3x)8
dy/dx=6sin(3x-2)·cos(3x-2)
dy/dx=-4sin(2x)·(1+cos(2x))
Løsningsforslag:
y = (1+cos(2x))2
derivasjon av
u = 2x
v = cosu
w = 1+v
y = w2
kjerneregelen:
dy/dx
derivert
du/dx = 2
dv/du = -sinu
dw/dv = 1
dy/dw = 2w
dy dy dw dv du
=
dx dw dv du dx
= 2w·1·(-sinu)·2
= -4(1+v)sin(2x)
= -4w·sinu
= -4(1+cos(2x))sin(2x)
= -4sin(2x)(1+cos(2x))
Kompendium for matematikk LEI102
side 48/49
41) a)
∂x
b) ∂x
c) ∂x
d) ∂x
e) ∂x
f) ∂x
g) ∂x
h) ∂x
i) ∂x
j) ∂x
k) ∂x
L) ∂x
m)
o)
p)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2
0
0
2
y-1
2x
2x-y
y+3
5y – 14x + 3
-1/(x+y)2
x(x2+y2)-1/2
(y2-x2)/(x2+y2)2
− y 2−1
∂x =
( xy−1)2
∂x = cos(x+y)
−y
∂x = 2 2
x +y
Kompendium for matematikk LEI102
∂y
∂y
∂y
∂y
∂y
∂y
∂y
∂y
∂y
∂y
∂y
= 0
= -3
= 0
= -3
= x
= 2y
= -x + 2y
= x+2
= 5x – 2y – 6
= -1/(x+y)2
= y(x2+y2)-1/2
jf/jy = -2xy/(x2+y2)2
−x 2−1
∂y =
( xy−1)2
∂y = cos(x+y)
x
∂y =
2
x + y2
side 49/49