Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2016
Seuraavista 25 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 8.3.2016.
Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen ei
kannata kysellä kurssin opettajilta, muuta kuin vielä jäljellä olevien kotitehtävien
osalta. Tentissä mahdollisesti tarvittavat avaruuskulma-alkio pallokoordinaateissa,
Laplacen operaattorin lausekkeet, Legendren polynomit yms. annetaan tehtäväpapereissa. Sitä vastoin Maxwellin yhtälöt ja Lorentzin voima täytyy osata ulkoa!
1. Lähtien Gaussin laista (Maxwellin ensimmäinen yhtälö) osoita, että tasaisesti
varatun pallon (varaus Q, säde R) sähkökenttä on
r≤R:
r>R:
Qr
4π0 R3
Q
.
E(r) =
4π0 r2
E(r) =
2. Muodosta sähködipolin potentiaali tarkastelemalla kahden lähekkäisen, mutta
vastakkaismerkkisen varauksen yhteenlaskettua potentiaalia kaukana varauksista. Laske sen jälkeen sähködipolin sähkökenttä
1
E(r) =
4π0
3r · p
p
r− 3
5
r
r
.
Korvaa seuraavaksi sähköinen dipolimomentti magneettimomentilla m ja muodosta vastaava lauseke magneettiselle dipolille. SI-suureiden 0 , µ0 ja 4π sijoittelun voit päätellä vaikka tarkastelemalla lausekkeissa olevien suureiden fysikaalisia dimensioita (eli laatuja).
3. Varaus Q on sijoitettu kahden toisiaan vastaan kohtisuorassa olevan maadoitetun johdelevyn väliin oheisen kuvan osoittamalla tavalla. Laske johdelevyille
indusoituvien varausten varaukseen Q aiheuttama voima.
d1
Q
d2
4. Maadoitetun yz-tason pinnassa on puolipallon muotoinen johtava ja myös nollapotentiaalissa oleva kohouma (pallon säde a) symmetrisesti x-akselin suhteen. Olkoon puolipallon yläpuolella pisteessä (d, 0, 0) varaus q (siis d > a).
Ratkaise kuvalähdemenetelmällä q:n puoleisen avaruuden sähköstaattinen potentiaali.
5. Tarkastellaan ulkoisessa vakiosähkökentässä E0 olevaa johdepalloa. Laske pallon pintavarausjakautuma ja tämän varausjakautuman dipolimomentti.
6. Tarkastellaan tasaiseen sähkökenttään E0 asetettua pitkää sylinterinmuotoista johdetta, jonka säde on a ja nettovaraus nolla. Olkoon E0 kohtisuorassa
sylinterin akselia vastaan.
(a) Määritä potentiaali sylinterin ulkopuolella.
(b) Määritä varaustiheys sylinterin pinnalla.
7. Eristepallossa (säde R) on vakiopolarisoituma P0 eikä muita sähkentän lähteitä
ole. Laske E ja D pallon sisä- ja ulkopuolella (ulkopuolinen alue on ilmaa).
8. Eristepallon (säde R) polarisoituma on radiaalinen: P = αr (α = vakio). Muita
sähkökentän lähteitä ei ole.
a) Laske polarisaatiovaraustiheys pallon sisällä ja pinnalla.
b) Laske sähkökenttä (E) ja sähkövuon tiheys (D) kaikkialla.
9. Tarkastellaan johdetta (johtavuus σu ), jossa on toisesta johdeaineesta (johtavuus σi ) koostuva pitkä ympyräsylinterin muotoinen este (olkoon sylinterin
akseli suunnassa ez ). Kaukana esteestä johteessa on vakiosähkökenttä E0 ex .
Laske sähkövirran tiheys sylinterin sisä- ja ulkopuolella.
10. Pitkä sylinteri (säde a, permeabiliteetti µ) on sijoitettu tasaiseen magneettikenttään B0 siten, että sylinterin akseli on kohtisuorassa B0 :aa vastaan. Laske
B sylinterin sisällä ja luonnostele B:n kenttäviivat sylinterin läpi.
11. Äärettömän pitkä ympyräsylinteri (säde R), jonka sisällä varaustiheys on vakio (ρ), pyörii akselinsa ympäri kulmanopeudella ω. Laske magneettikenttä B
kaikkialla.
12. R-säteinen pallo, jonka varaustiheys on ρs (r), kokonaisvaraus q, massatiheys
ρm (r) ja kokonaismassa M , pyörii kulmanopeudella ω keskipisteensä kautta
kulkevan akselin ympäri. Osoita, että pallon magneettinen momentti m on
verrannollinen sen liikemäärämomenttiin L ja laske verrannollisuuskerroin.
13. Tarkastellaan Helmholtzin kelaa, jossa kelojen säteet ovat a ja keskinäinen
etäisyys myös a. Olkoot kelojen keskipisteet z-akselilla ja toinen niistä origossa.
Kehittämällä magneettikenttä Taylorin sarjaksi pisteen z = a/2 ympäristössä
osoita, että magneettikentän z-komponentti on
"
144
Bz (z) ≈ Bz (a/2) 1 −
125
z − a/2
a
4 #
.
Anna suuruusluokka-arvio kentän z-suuntaiselle epähomogeenisuudelle, kun a
on 10 cm ja tarkastelupiste on a) 1 mm, b) 1 cm päässä pisteestä a/2.
14. Tarkastellaan kahden yksinkertaisen väliaineen rajapintaa. Olkoot väliaineiden
permittiivisyydet 1 ja 2 ja oletetaan, että pintavarustiheys rajapinnalla on
nolla. Johda sähkövuon tiheyden D taittumislaki
tan α2
2
=
tan α1
1
(1)
missä α1,2 ovat D-vektorin ja pinnan normaalin väliset kulmat rajapinnan eri
puolilla.
15. Tarkastellaan kahden magneettisen väliaineen rajapintaa. Oletetaan, että aineiden permeabiliteetit µ1 ja µ2 ovat vakioita ja että pinnalla ei ole sähkövirtaa.
Olkoon magneettikentän voimakkuusvektorin (H) ja pinnan normaalin välinen
kulma väliaineessa 1 α1 .
(a) Laske lähtien magneettikenttävektoreiden (B, H) jatkuvuusehdoista pinnan normaalin ja H-vektorin välinen kulma α2 väliaineessa 2.
(b) Ilmaise itseisarvo H2 suureiden H1 , α1 , µ1 ja µ2 lausekkeena.
16. Varattu hiukkanen (varaus q) liikkuu nopeudella v = v ez . Etäisyydellä r hiukkasesta on z-akselin suuntainen ohut varattu lanka (viivavaraustiheys λ), jossa
kulkee z-akselin suuntainen virta I. Millä nopeudella hiukkasen liike pysyy
z-akselin suuntaisena?
17. Selitä lyhyesti käsitteet sähkömotorinen voima, virtasilmukan itseinduktanssi
ja silmukoiden välinen keskeisinduktanssi. Kiinnitä erityisesti huomiota siihen,
kuinka sähkömotorinen voima liittyy induktanssiin.
18. Erittäin pitkä suora johdinlanka sijaitsee samassa tasossa kuin neliönmuotoinen
johdinsilmukka (sivun pituus L) siten, että se on samansuuntainen neliön toisen sivuparin kanssa. Johtimessa kulkee virta I ja se liikkuu nopeudella v
poispäin silmukasta. Laske silmukkaan indusoitunut sähkömotorinen voima
ajan funktiona, kun johdin on neliön sivun kohdalla hetkellä t = 0 (eikä kulje
enää sen jälkeen silmukan yli).
19. Kaksi käämiä on kierretty päällekkäin suoran sylinterin ympäri. Sisemmässä
käämissä on N1 kierrosta ja käämin pituus on l1 , ulommassa on N2 kierrosta
ja sen pituus on l2 . Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että l1 > l2 ja että
käämi 2 on kokonaan käämin 1 päällä. Sylinterin säde on a ja permeabiliteetti
µ. Laske käämien keskinäisinduktanssi.
20. Faradayn homopolaarinen generaattori koostuu metallilevystä, joka pyörii tasaista magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevassa tasossa. Laske levyn
reunan ja keskipisteen välinen potentiaaliero, jos levyn pyörimisnopeus on 3000
kierrosta minuutissa ja magneettivuo 0,1 Wb.
21. (a) Kasvatetaan N :ssä kiinteässä virtasilmukassa virrat nollasta lopullisiin
arvoihin In . Osoita, että sähkömotorista voimaa vastaan on tehtävä työ
N
1X
U=
In Φn .
2 n=1
(b) Yleistä tulos jatkuvaan äärellisessä tilavuudessa olevaan virrantiheyteen:
1
U=
2
Z
V
1
J · A dV =
2
Z
H · B dV .
V
22. Tarkastellaan kahdesta yhdensuuntaisesta ympyrälevystä muodostuvaa kondensaattoria (kapasitanssi C), jonka sisällä on epätäydellistä eristettä (permittiivisyys , johtavuus σ) Olkoon kondensaattori aluksi varattu potentiaalieroon 4ϕ ja eristetty sen jälkeen. Määrää
(a) kondensaattorin varaus ajan funktiona,
(b) siirrosvirta eristeessä ja
(c) magneettikenttä eristeessä.
23. (a) Osoita, että Ampèren laki ilman kentänmuutosvirtaa johtaa ristiriitaan
tarkasteltaessa kondensaattorin varaamista kondensaattorilevylle tuotavalla sähkövirralla.
(b) Varataan yksinkertaista kahdesta samansuuntaisesta ympyrän muotoisesta tasolevystä muodostuvaa kondensaattoria tuomalla varausta toiselle levylle pitkin virtajohdinta. Tarkastelemalla Poyntingin vektoria S = E×H
selitä, mistä suunnasta energia tulee kondensaattorin sisään.
24. Lähtien tarkastelemaan tuloa E · J johda Poyntingin teoreema differentiaalimuodossa. Sen jälkeen ilmaise teoreema integraalimuodossa ja anna fysikaalinen tulkinta teoreeman eri termeille.
25. Osoita, että Lorentzin voiman tiheys voidaan ilmaista muodossa
f = ∇ · T − 0 µ0
∂S
∂t
missä T on Maxwellin jännitystensori, jonka komponentit ovat
Tij = 0
1
1
1
Ei Ej − δij E 2 +
Bi Bj − δij B 2
2
µ0
2
ja S on Poyntingin vektori.